E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

On considère les deux suites suivantes :

  •  la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier $n$ par : $$u_n=\dfrac{8n-4}{n+1}$$
  • la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_0=0$ et $v_{n+1}=0,5v_n+3,5$ pour tout entier $n$.
  1. Calculer les termes d’indice 3 des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.
    $\quad$
  2. On s’intéresse aux variations de la suite $\left(u_n\right)$.
    Pour cela, on considère la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{8x-4}{x+1}$$
    a. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur $[0; +\infty[$.
    $\quad$
    b. En déduire la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. On considère l’affirmation suivante :
    $\hspace{3cm}$« pour tout entier $n$, $u_n<v_n$ ».
    Camille pense que cette affirmation est vraie alors que Dominique pense le contraire.
    Pour les départager, on réalise le programme suivant écrit en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo( ) :}
    \hspace{1cm}\text{n = 0}\\
    \hspace{1cm}\text{u = – 4}\\
    \hspace{1cm}\text{v = 0}\\
    \hspace{1cm}\text{while u < v :}\\
    \hspace{2cm}\text{n = n+1}\\
    \hspace{2cm}\text{u = (8*n – 4)/(n+1)}\hspace{2cm}\\
    \hspace{2cm}\text{v = 0.5*v + 3.5}\\
    \hspace{1cm}\text{return(n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Le programme renvoie la valeur $11$. Qui de Camille ou Dominique a raison ?
    Expliquer.
    $\quad$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} u_3&=\dfrac{8\times 3-4}{3+1} \\
    &=5\end{align*}$
    $\begin{align*} v_1&=0,5v_0+3,5\\
    &=0,5\times 0+3,5\\
    &=3,5\end{align*}$
    $\begin{align*} v_2&=0,5v_1+3,5\\
    &=0,5\times 3,5+3,5\\
    &=5,25\end{align*}$
    $\begin{align*} v_3&=0,5v_2+3,5\\
    &=0,5\times 5,25+3,5\\
    &=6,125\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{8\times(x+1)-1\times(8x-4)}{(x+1)^2} \\
    &=\dfrac{8x+8-8x+4}{(x+1)^2} \\
    &=\dfrac{12}{(x+1)^2}\end{align*}$
    $(x+1)^2>0$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Par conséquent $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp n<n+1$
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Donc $f(n)<f(n+1)$.
    Or $u_n=f(n)$ et $u_{n+1}=f(n+1)$.
    Par conséquent $u_n<u_{n+1}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
  3. L’algorithme détermine le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>v_n$.
    On a donc $u_{11}>v_{11}$.
    Dominique a donc raison.
    $\quad$

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