E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère un cône de révolution ayant une génératrice de longueur $20$ cm et d’une hauteur $h$ en cm.

On rappelle que le volume $V$ en cm$^3$ d’un cône de révolution de base un disque d’aire $\mathcal{A}$ en cm$^2$ et de hauteur $h$ en cm est : $V=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}h$.

Dans cet exercice, on cherche la valeur de la hauteur $h$ qui rend le volume du cône maximum.

  1. Exprimer le rayon de la base en fonction de $h$.
    $\quad$
  2. Démontrer que le volume du cône, en fonction de sa hauteur $h$, est : $$V(h)=\dfrac{\pi}{3}\left(400h-h^3\right)$$
    $\quad$
  3. Quelle hauteur ℎ choisir pour que le volume du cône soit maximum ?
    $\quad$

$\quad$


$\quad$
Correction Exercice

  1. On appelle $S$ le sommet du cône, $O$ le centre du cercle de base et $A$ un point du cercle.
    Le triangle $SOA$ est rectangle en $O$.
    D’après le théorème de Pythagore on a :
    $SA^2=OS^2+OA^2 \ssi 20^2=h^2+OA^2$
    Ainsi $OA^2=400-h^2$
    $OA$ est un nombre positif.
    Par conséquent $OA=\sqrt{400-h^2}$.
    Le rayon de la base est donc égal à $\sqrt{400-h^2}$.
    $\quad$
  2. L’aire du disque de base est :
    $\begin{align*} \mathcal{A}&=\pi\left(\sqrt{400-h^2}\right)^2 \\
    &=\pi\left(400-h^2\right) \end{align*}$
    Par conséquent, le volume du cône de révolution est :
    $\begin{align*} V(h)&=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}h \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \pi\left(400-h^2\right)\times h\\
    &=\dfrac{\pi}{3}\left(400h-h^3\right)\end{align*}$
    $\quad$
  3. On considère la fonction $V$ définie sur l’intervalle $]0;20[$ par $V(h)=\dfrac{\pi}{3}\left(400h-h^3\right)$.
    La fonction $V$ est dérivable sur l’intervalle $]0;20[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $h$ appartenant à l’intervalle $]0;20[$ on a alors :
    $$ V'(h)=\dfrac{\pi}{3}\left(400-3h^2\right)$$
    Le signe de $V'(h)$ ne dépend que de celui de $400-3h^2$
    $\begin{align*} 400-3h^2>0 &\ssi -3h^2>-400 \\
    &\ssi h^2<\dfrac{400}{3} \\
    &\ssi h\in \left]-\sqrt{\dfrac{400}{3}};\sqrt{\dfrac{400}{3}}\right[\end{align*}$
    La fonction $V$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $\left]0;\sqrt{\dfrac{400}{3}}\right]$ et strictement croissante sur l’intervalle $\left[\sqrt{\dfrac{400}{3}};20\right[$.
    Le volume du cône est maximal quand $h=\sqrt{\dfrac{400}{3}}$

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