Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Soit la suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0= 400$ vérifiant la relation, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1} = 0,9u_n + 60$$
Soit la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $v_0= -200$ et de raison $0,9$.

  1. Calculer $u_2$ et $v_2$.
    $\quad$
  2. Calculer la somme des $20$ premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est-elle arithmétique ? La suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique ?
    $\quad$
  4. Recopier et compléter la fonction Suite suivante écrite en Python qui permet de calculer la somme $S$ des $20$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def Suite( ) :}\\
    \hspace{1cm} \text{U = 400}\\
    \hspace{1cm} \text{S = 0}\\
    \hspace{1cm} \text{for i in range(20) :} \hspace{2cm}\\
    \hspace{2cm} \text{S = } \ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{2cm} \text{U = } \ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} \text{return(}\ldots)\\
    \hline
    \end{array}$$
    Le sujet original contenait une erreur dans le programme. Elle a été corrigée ici.
    $\quad$
  5. On admet que $u_n=v_n+600$. En déduire $u_{20}$.
    $\quad$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*}u_1&=0,9u_0+60\\
    &=0,9\times 400+60\\
    &=420\end{align*}$
    et
    $\begin{align*}u_2&=0,9u_1+60\\
    &=0,9\times 420+60\\
    &=438\end{align*}$
    $\quad$
    La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=-200$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=-200\times 0,9^n$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}v_2&=-200\times 0,9^2 \\
    &=-162\end{align*}$
    $\quad$
  2. La somme des $20$ premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$ est :
    $\begin{align*} S_{20}&=v_0+v_1+\ldots+v_{19} \\
    &=-200\times \dfrac{1-0,9^{20}}{1-0,9} \\
    &=-2~000\left(1-0,9^{20}\right)\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a $u_1-u_0=20$ et $u_2-u_1=18$
    $20\neq 18$ : La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas arithmétique.
    On a $\dfrac{u_1}{u_0}=1,05$ et $\dfrac{u_2}{u_1}\approx 1,04$
    Les quotients sont différents : La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
    $\quad$
  4. On obtient le code suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def Suite( ) :}\\
    \hspace{1cm} \text{U = 400}\\
    \hspace{1cm} \text{S = 0}\\
    \hspace{1cm} \text{for i in range(20) :} \hspace{2cm}\\
    \hspace{2cm} \text{S = S + U } \\
    \hspace{2cm} \text{U = 0,9 * U + 60} \\
    \hspace{1cm} \text{return(S)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. On a donc :
    $\begin{align*} u_{20}&=v_{20}+600 \\
    &=-200\times 0,9^{20}+600\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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