Échantillonnage et estimation (QCM)

Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Déterminer celles qui sont correctes.

1. Pour pouvoir utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique, il faut que les paramètres $n$ et $p$ vérifient :
   a. $p\pg 5$
   b. $(1-p)n\pg 5$
   c. $np<5$
   d. $np\pg 30$
   $\quad$
   Correction question 1

   Il faut vérifier trois conditions :
   $n\pg 30 \qquad np\pg 5 \qquad n(1-p)\pg 5$
   Réponse b
   $\quad$

   [collapse]
   
   $\quad$
2. Pour $n=45$ et $p=0,01$, l’intervalle de fluctuation asymptotique est :
   a. inutilisable
   b. utilisable
   $\quad$
   
   Correction question 2

   Il faut vérifier trois conditions pour pouvoir utiliser l’intervalle de fluctuation asympotique:
   $n\pg 30 \qquad np\pg 5 \qquad n(1-p)\pg 5$$n=45\pg 30 \checkmark$
   $np=0,45<5 \textbf{X}$
   Réponse a
   $\quad$

   [collapse]
   
   $\quad$
3. Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ :
   a. est aussi un intervalle de fluctuation au seuil de $90\%$
   b. est aussi un intervalle de fluctuation au seuil de $99\%$
   $\quad$
   
   Correction question 3

   On applique le principe du “qui peut le plus peut le moins”.
   Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ un intervalle dans lequel la grandeur observée doit se trouver dans $95\%$ des cas et donc a fortiori dans $90\%$ des cas.
   On n’est cependant pas certain que ce soit le cas dans $99\%$ des cas.
   Réponse a
   $\quad$

   [collapse]
   
   $\quad$

Dans une usine, une machine fabrique des tiges métalliques. L’ingénieur chargé du réglage affirme que les tiges fabriquées présentent un défaut dans $0,8\%$ des cas.
On s’intéresse à un échantillon de $800$ tiges prélevées au hasard dans le stock. On suppose que le stock est suffisamment grand pour assimiler cela à un tirage au sort avec remise. On note $X$ le nombre de tiges sans défaut.

4. $X$ suit une loi binomiale de paramètres :
   a. $n=800$ et $p=0,8$
   b. $n=640$ et $p=0,008$
   c. $n=800$ et $p=0,008$
   d. $n=800$ et $p=0,992$
   $\quad$
   
   Correction question 4

   On effectue $800$ tirages aléatoires, indépendants et identiques. Chaque tirage ne possède que $2$ issues : $D$ “la tige a un défaut” et $\conj{D}$.
   De plus $p\left(\conj{D}\right)=0,992$.
   Ainsi $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=800$ et $p=0,992$.
   Réponse d
   $\quad$

   [collapse]
   
   $\quad$
5. À $10^{-3}$ près, un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence des tiges dans défaut au seuil de $95\%$ est :
   a. $[0,985\ ;\ 0;999]$
   b. $[0,983\ ;\ 1]$
   c. $[0\ ;\ 0;95]$
   $\quad$
   
   Correction question 5

   On a $n=800$ et $p=0,992$
   Ainsi $n=800\pg 5 \checkmark \qquad np=793,6\pg 5 \checkmark \qquad n(1-p)=6,4\pg 5\checkmark$
   Un intervalle de fluctuation asympotique au seuil de $95\%$ de la fréquence des tiges sans défaut est :
   $\begin{align*} I_{800}&=\left[0,992-1,96\sqrt{\dfrac{0,008\times 0,992}{800}};0,992+1,96\sqrt{\dfrac{0,008\times 0,992}{800}}\right] \\
   &\approx [0,985:0,999]\end{align*}$
   Réponse a
   $\quad$

   [collapse]
   
   $\quad$
6. Un ouvrier trouve $13$ tiges défectueuses dans l’échantillon. Il peut en conclure que :
   a. Au seuil de $95\%$, l’hypothèses de l’ingénieur est à rejeter.
   b. On ne peut pas rejeter l’hypothèse de l’ingénieur.
   c. Il faut recommencer l’expérience.
   $\quad$
   
   Correction question 6

   À la question précédente on a déterminé un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence des tiges sans défaut.
   $I_{800}\approx [0,985:0,999]$
   La fréquence observée de tiges sans défaut est :
   $\begin{align*}f&=\dfrac{800-13}{800}\\
   &=0,983~75\\
   &\notin I_{800}\end{align*}$
   Au risque d’erreur de $5\%$ l’hypothèse de l’ingénieur est à rejeter.
   Réponse a
   $\quad$

   [collapse]
   
   $\quad$

$\quad$

$\quad$
Florian affirme que $15\%$ des êtres humains sont gauchers.
Marjolaine trouve ce pourcentage très important; elle souhaite tester cette hypothèse sur un échantillon de $79$ personnes.

7. À $10^{-3}$ près, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $99\%$ est :
   a. $[0\ ; \ 0,99]$
   b. $[0,071\ ; \ 0,229]$
   c. $[0,99\ ; \ 1]$
   d. $[0,046\ ; \ 0,254]$
   $\quad$
   
   Correction question 7

   On a $n=79$ et $p=0,15$
   Donc $n=79\pg 30 \checkmark \qquad np=11,85\pg 5 \qquad n(1-p)=67,15\pg 5 \checkmark$
   Un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de gaucher au seuil de $99\%$ est :
   $\begin{align*} I_{79}&\left[0,15-2,58\sqrt{\dfrac{0,15\times 0,85}{79}};0,15+2,58\sqrt{\dfrac{0,15\times 0,85}{79}}\right] \\
   &\approx [0,046\ ; \ 0,254]\end{align*}$
   Or $[0,046\ ;\ 0,254]$ est inclus dans $[0\ ;\ 0,99]$
   Réponse a et d
   $\quad$

   [collapse]
   
   $\quad$
8. Elle trouve finalement $19$ gauchers parmi les $79$ personnes étudiées.
   a. Au seuil de $99\%$, l’hypothèse est à rejeter.
   b. On ne peut pas rejeter l’hypothèse.
   c. Il faut recommencer l’expérience.
   $\quad$
   
   Correction question 8

   D’après la question précédente, un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de gaucher est $I_{79}\approx [0,046\ ; \ 0,254]$.
   La fréquence observée est :
   $\begin{align*}f&=\dfrac{19}{79} \\
   &\approx 0,241\\
   &\in I_{79}\end{align*}$
   On ne peut pas rejet l’hypothèse.
   Réponse b
   $\quad$

   [collapse]
   
   $\quad$
9. Elle cherche ensuite à tester l’hypothèse au seuil de $95\%$.
   a. Au seuil de $95\%$, l’hypothèse est à rejeter.
   b. On ne peut pas rejeter l’hypothèse.
   c. Il faut recommencer l’expérience.
   $\quad$
   
   Correction question 9

   On a $n=79$ et $p=0,15$
   Donc $n=79\pg 30 \checkmark \qquad np=11,85\pg 5 \qquad n(1-p)=67,15\pg 5 \checkmark$
   Un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de gaucher au seuil de $99\%$ est :
   $\begin{align*} I_{79}&\left[0,15-1,96\sqrt{\dfrac{0,15\times 0,85}{79}};0,15+1,96\sqrt{\dfrac{0,15\times 0,85}{79}}\right] \\
   &\approx [0,071\ ; \ 0,229]\end{align*}$
   La fréquence observée est :
   $\begin{align*}f&=\dfrac{19}{79} \\
   &\approx 0,241\\
   &\notin I_{79}\end{align*}$
   Au seuil de $95\%$, l’hypothèse est à rejeter.
   Réponse a
   $\quad$

   [collapse]
   
   $\quad$
10. Dans un club de sport, $65\%$ des inscrits sont des hommes.
    Lors d’une réunion de $55$ personnes de cette association :
    a. Il y a $35,75$ hommes.
    b. Il y a entre $28$ et $43$ hommes.
    c. Il peut y avoir moins de $15$ hommes.
    $\quad$
    
    Correction question 10

    On a $n=55$ et $p=0,65$
    Donc $n=55\pg 30 \checkmark \qquad np=35,75\pg 5 \checkmark \quad n(1-p)=19,25 \checkmark$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence des hommes est :
    $\begin{align*} I_{55}&=\left[0,65-1,96\sqrt{\dfrac{0,65\times 0,35}{55}};0,65+1,96\sqrt{\dfrac{0,65\times 0,35}{55}}\right]\\
    &\approx [0,523;0,777]\end{align*}$
    En multipliant par $55$ on obtient un encadrement du nombre d’hommes.
    Il y a donc entre $28$ et $43$ hommes dans $95\%$ des cas (donc pas tout le temps).
    Il peut cependant y avoir moins de $15$ hommes.
    Réponse c
    $\quad$

    [collapse]
    
    $\quad$

Un client désœuvré à la terrasse d’un café décide de compte le nombre de voitures roues qui roulent dans la ville.

11. Sur $504$ voitures, il en a compté $63$ rouges. La proportion de voitures rouges roulant dans la ville est :
    a. Exactement $0,125$
    b. Comprise entre $0,08$ et $0,17$ avec une probabilité supérieure à $0,95$
    c. Comprise entre $0,05$ et $0,2$ avec une probabilité supérieure à $0,95$
    d. Comprise entre $0,13$ et $0,17$ avec une probabilité supérieure à $0,95$
    $\quad$
    
    Correction question 11

    On a $n=504$ et $f=\dfrac{63}{504}$
    Donc $n=504\pg 30 \checkmark \qquad nf=63\pg 5\checkmark \qquad n(1-f)=441\pg 5\checkmark$
    Un intervalle de confiance au seuil de $95\%$ de la proportion de voitures rouges est :
    $\begin{align*}I_{504}&=\left[\dfrac{63}{504}-\dfrac{1}{\sqrt{504}};\dfrac{63}{504}+\dfrac{1}{\sqrt{504}}\right] \\
    &\approx [0,08\ ;\ 0,17]\end{align*}$
    Mais l’intervalle $[0,08 \ ; \ 0,17]$ est inclus dans l’intervalle $[0,05\ ;\ 0,2]$.
    Réponse b et c
    $\quad$

    [collapse]
    
    $\quad$
12. Pour avoir un intervalle de confiance d’amplitude $0,02$ au seuil de $95\%$, le client aurait dû compter :
    a. $50$ voitures
    b. $100$ voitures
    c. $250$ voitures
    d. $10~000$ voitures
    $\quad$
    
    Correction question 12

    Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$
    Ainsi son amplitude est $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,02&\ssi \dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,01 \\
    &\ssi \sqrt{n}=\dfrac{1}{0,01} \\
    &\ssi \sqrt{n}=100\\
    &\ssi n=10~000\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$

    [collapse]
    
    $\quad$
13. Pour avoir un intervalle de confiance de rayon $0,05$ au seuil de $95\%$ le client aurait dû compter :
    a. $100$ voitures
    b. $400$ voitures
    c. $1~000$ voitures
    d. $4~000$ voitures
    $\quad$
    
    Correction question 13

    Le rayon est égal à $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$
    On veut donc :
    $\begin{align*} \dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,05&\ssi \sqrt{n}=\dfrac{1}{0,05} \\
    &\ssi \sqrt{n}=20\\
    &\ssi n=400\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$

    [collapse]
    
    $\quad$