Exercice 1     5 points

Pour tous évènements $E$ et $F$, on note $\overline{E}$ l’évènement contraire de $E$, $p(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est de probabilité non nulle, $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$.
On arrondira les résultats au millième si besoin.

Partie A

Pour mieux cerner le profil de ses clients, une banque réalise un sondage qui permet
d’établir que:

• $53\%$ de ses clients ont plus de 50 ans;
• $32\%$ de ses clients sont intéressés par des placements dits risqués ;
• $25\%$ de ses clients de plus de 50 ans sont intéressés par des placements dits
  risqués.

On choisit au hasard un client de cette banque et on considère les évènements suivants:

•  $A$ : « Le client a plus de 50 ans » ;
• $R$ : « Le client est intéressé par des placements dits risqués ».

1.  Donner $P(R)$ et $P_A(R)$.
   $\quad$
2. Représenter la situation par un arbre pondéré. Cet arbre pourra être complété par la suite.
   $\quad$
3. Montrer que la probabilité que le client ait plus de $50$ ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
   $\quad$
4. Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de $50$ ans ?
   $\quad$
5. Calculer $P\left(\overline{A} \cap R\right)$ puis en déduire $P_{\overline{A}}(R)$.
   Interpréter les deux résultats obtenus.
   $\quad$

Partie B

L’une des agences de cette banque charge ses conseillers de proposer un placement dit risqué, $R_1$ à tous ses clients.
Elle promet à ses conseillers une prime de $150$ € s’ils convainquent au moins $10$ clients d’effectuer ce placement en un mois et une prime supplémentaire de $150$ € s’ils convainquent au moins $15$ clients d’effectuer ce placement en un mois.
L’une des conseillères de cette banque, Camille, reçoit $45$ clients ce mois-ci.

On admet que la probabilité que Camille réussisse à placer ce produit auprès de l’un de ses clients est de $0,23$ et que la décision d’un client est indépendante de celles des autres clients.

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients qui acceptent de prendre le produit.

1. Déterminer la probabilité que Camille place le produit $R_1$ auprès de $10$ clients exactement ce mois-ci.
   $\quad$
2. Calculer la probabilité que Camille ait $300$ € de prime.
   $\quad$
3. Montrer que la probabilité que Camille ait $150$ € exactement de prime est environ de $0,532$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

En 2018, la France comptait environ $225~000$ médecins actifs. On prévoit que chaque année, $4\%$ des médecins cessent leur activité tandis que $8~000$ nouveaux médecins s’installent.
Pour étudier l’évolution du nombre de médecins en activité dans les années à venir, on modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$. Pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$ représente le nombre de médecins en $2018 + n$, exprimé en millier.

1. Donner $u_0$ et calculer $u_1$.
   $\quad$
2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,96u_n + 8$.
   $\quad$
3. Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il calcule, selon cette modélisation, le nombre de médecins que compterait la France en 2031.
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   U \gets 225\\
   \text{Pour $N$ allant de $\ldots$ à $\ldots$}\\
   \hspace{1.cm}U \gets \ldots\ldots\\
   \text{Fin Pour}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
4. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par, pour tout entier naturel $n$ :
   $$v_n = u_n-200$$
   a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,96$.
   Préciser son terme initial.
   $\quad$
   b. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
   c. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 25 \times 0,96^n + 200$.
   $\quad$
5. On admet que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} – u_n = -0,96^n$.
   a. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
   b. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$
6. Déterminer à partir de quelle année le nombre de médecin est inférieur à $210~000$.
   $\quad$
7. Sur le long terme combien de médecins la France comptera-t-elle selon cette modélisation ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Le bénéfice en milliers d’euros que réalise une entreprise lorsqu’elle fabrique et vend $x$ centaines d’objets (pour $x$ compris entre 0 et 6) est donné par $$f(x) = (200x – 300)\text{e}^{-x-1} + 10$$
Alix a affiché sur l’écran de sa calculatrice la courbe représentative de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;6]$.

Partie A : objectif « réaliser un bénéfice maximal »

L’écran ne permet pas à Alix de déterminer le bénéfice maximal.

Il décide donc d’étudier la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;6]$. On admet que cette fonction est dérivable sur l’intervalle $[0;6]$. On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

1. Établir que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;6]$, $$f^{\prime}(x) = (500-200x)\text{e}^{-x-1}$$
   $\quad$
2. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;6]$.
   $\quad$
3. En déduire le nombre d’objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal.
   Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à l’euro).
   $\quad$
4. Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettant de visualiser le maximum de la fonction $f$.
   $\quad$

Partie B : objectif « ne pas vendre à perte »

1. Au vu du graphique obtenu par Alix, à partir de combien d’objets l’entreprise ne vend-elle pas à perte ?
   $\quad$
2. Démontrer que sur l’intervalle $[1;2]$ l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$.
   $\quad$
3. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
   $\quad$
4. Préciser le nombre d’objets à partir duquel l’entreprise ne vend pas à perte.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, un seule des quatre réponses proposées est exacte.
Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité.

1. Soit $X$ la variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathscr{B}(20; 0,4)$.
   a. $p(X=7) = 20\times 0,4^7$
   b. $p(X>4) = 0,98$ arrondie au centième
   c. $p(X\leqslant 4) = 0,05$ arrondie au centième
   d. $p(X\leqslant 7) = 0,25$ arrondie au centième
   $\quad$
2. La solution de l’équation $\left ( \e^{x}\right )^2 = \e^{3x}$ est:
   a. $\dfrac{2}{3}$
   b. $\dfrac{3}{2}$
   c. $1$
   d. $0$
   $\quad$
3. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{\e^{x}}$.
   Une autre expression de $f(x)$ est:
   a. $f(x)= \dfrac{\e^{-x}}{-x}$
   b. $f(x)= -x\e^{-x}$
   c. $f(x)= \dfrac{\e^{-x}}{x}$
   d. $f(x)= x \e^{-x}$
   $\quad$
4. Pour tout réel $x$ le nombre $\e^{\frac{3x}{2}}$ est égal à :
   a. $\dfrac{\e^{3x}}{\e^2}$
   b. $\e^{3x}-\e^2$
   c. $\left(\e^{\frac{x}{2}}\right)^3$
   d. $\dfrac{1}{\e^{\frac{2}{3x}}}$
   $\quad$

Exercice 1

Partie A

1. On a $P(R)=0,32$ et $P_A(R)=0,25$.
   $\quad$
2. On obtient donc l’arbre pondéré suivant :
   
   $\quad$
3. D’après l’arbre pondéré on a $P(A\cap R)=0,53\times 0,25=0,132~5$.
   La probabilité que le client ait plus de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_R(A)&=\dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} \\
   &=\dfrac{0,132~5}{0,32} \\
   &\approx 0,414\end{align*}$
   Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de 50 ans est environ égale à $0,414$.
   $\quad$
5. D’après la formule des probabilités totales, on a :
   $\begin{align*} &P(R)=P(A\cap R)+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
   \ssi & 0,32=0,132~5+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
   \ssi & P\left(\conj{A}\cap R\right) =0,187~5\end{align*}$
   La probabilité que le client ait moins de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,187~5$.
   $\quad$
   $\begin{align*} P_{\conj{A}}(R)&=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap R\right) }{P\left(\conj{A}\right)} \\
   &=\dfrac{0,187~5}{0,47} \\
   &\approx 0,399\end{align*}$
   La probabilité que le client soit intéressé par des placements dits risqués sachant qu’il a moins de 50 ans est environ égale à $0,399$.
   $\quad$

Partie B

1. On effectue donc $45$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $R_1$ et $\conj{R_1}$. De plus $P\left(R_1\right)=0,23$.
   La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=45$ et $p=0,23$.
   Par conséquent $P(X=10)=\ds \binom{45}{10}0,23^{10}\times (1-0,23)^{45-10}\approx 0,141$.
   La probabilité que Camille place le produit R1 auprès de 10 clients exactement ce mois-ci est environ égale à $0,141$.
   $\quad$
2. $P(X\pg 15)=1-P(X\pp 14)\approx 0,075$
   La probabilité que Camille ait $300$ € de prime est environ égale à $0,075$.
   $\quad$
3. $P(10\pp X\pp 14)=P(X\pp 14)-P(X\pp 9) \approx 0,532$
   La probabilité que Camille ait 150( exactement de prime est environ de $0,532$.
   $\quad$

 

Exercice 2

1. On a $u_0=225$ et $u_1=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)u_0+8=0,96\times 225+8=224$
   $\quad$
2. Chaque année, $4\%$ des médecins cessent leur activité. Cela signifie donc que $96\%$ des médecins continuent. Cela représente donc $0,96u_n$.
   Chaque année $8~000$ nouveaux médecins ($8$ milliers) s’installent.
   Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=0,96u_n+8$.
   $\quad$
3. On obtient l’algorithme suivant :
   $\begin{array}{|l|}
   \hline
   U\leftarrow 225\\
   \text{Pour $N$ allant de $2~019$ à $2~031$} \\
   \hspace{1cm} U\leftarrow 0,96\times U+8\\
   \text{Fin Pour}\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-200\ssi u_n=v_n+200$
   $\begin{align*}
   v_{n+1}&=u_{n+1}-200\\
   &=0,96u_n+8-200\\
   &=0,96u_n-192\\
   &=0,96\left(v_n+200\right)-192\\
   &=0,96v_n+192-192\\
   &=0,96v_n\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $v_0=u_0-200=25$.
   $\quad$
   b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=25\times 0,96^n$.
   $\quad$
   c. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a :
   $u_n=v_n+200=25\times 0,96^n+200$
   $\quad$
5. a. Pour tout entier naturel $n$, on a $-0,96^n<0$.
   Par conséquent $u_{n+1}-u_n=-0,96^n<0$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement décroissante.
   $\quad$
   b. Cela signifie que chaque année le nombre de médecins actifs va diminuer.
   $\quad$
6. À l’aide de la calculatrice on trouve que $u_{22}\approx 210,18$ et $u_{23}\approx 209,77$.
   Cela signifie qu’à partir de 2041 il y a aura strictement moins de $210~000$ médecins actifs en France.
   $\quad$
7.  On a $0<0,96<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,96^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=200$.
   Cela signifie donc que sur le long terme la France comptera $200~000$ médecins actifs.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A : objectif « réaliser un bénéfice maximal »

1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;6]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $[0;6]$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*}
   f'(x)&=200\e^{-x-1}+(200x-300)\times \left(-\e^{-x-1}\right) \\
   &=(200-200x+300)\e^{-x-1}\\
   &=(500-200x)\e^{-x-1}
   \end{align*}$
   $\quad$
2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $500-200x$.
   Or $500-200x=0 \ssi 500=200x\ssi x=2,5$
   Et $500-200x>0 \ssi 500>200x \ssi 2,5>x$
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   
   Avec $f(0)=300\e^{-1}+10$
   $f(2,5)=200\e^{-3,5}+10$
   $f(6)=900\e^{-7}+10$
   $\quad$
3. D’après le tableau de variations, la fonction $f$ atteint son maximum en $2,5$.
   $f(2,5)\approx 16,039$
   Il faut donc vendre $250$ objets pour réaliser un bénéfice maximal environ égal à $\np{16039}$ euros.
   $\quad$
4. On peut utiliser le réglage suivant :
   $x_{\text{min}}=0 \quad x_{\text{max}}=6 \quad y_{\text{min}}=-10 \quad y_{\text{max}}=17$
   $\quad$

Partie B

1. D’après le graphique, $f(x)=0$ si $x\approx 1,1$. L’entreprise doit donc vendre au moins $110$ objets pour réaliser un bénéfice.
   $\quad$
2. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;2,5]$.
   $f(0)\approx -100<0$ et $f(2,5)\approx 16>0$
   D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;2,5]$.
   $\quad$
   Sur l’intervalle $[2,5;6]$ on a $f(x)\pg f(6) >0$
   L’équation $f(x)=0$ n’admet donc pas de solution sur cet intervalle.
   $\quad$
   Par conséquent, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;6]$.
   $\quad$
3. D’après la calculatrice on a $\alpha \approx 1,094$ soit $\alpha \approx 1,09$ à $10^{-2}$ près.
   $\quad$
4. L’entreprise ne vend pas à perte dès qu’elle vend au moins $110$ objets.
   $\quad$

 

Exercice 4

1. D’après la calculatrice on a $P(X\pp 4) \approx 0,05$.
   Réponse c
   $\quad$
2. $\left(\e^x\right)^2=\e^{3x}\ssi \e^{2x}=\e^{3x}\ssi 2x=3x\ssi x=0$.
   Réponse d
   $\quad$
3. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\dfrac{x}{\e^x}=x\e^{-x}$.
   Réponse d
   $\quad$
4. Pour tout réel $x$ on a $\left(\e^{\frac{x}{2}}\right)^3=\e^{\frac{x}{2}\times 3}=\e^{\frac{3x}{2}}$
   Réponse c
   $\quad$