Exercice 1

1. $S$ contient la somme des $4$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $9$ et de raison $0,75$.
   Donc $S=9\times \dfrac{1-0,75^4}{1-0,75}\approx 24,6$
   Réponse a
   $\quad$
2. On a
   $\begin{align*} \dfrac{2\text{e}^{a – 1}}{\left(\text{e}^a\right)^2}&=\dfrac{2^{a-1}}{\e^{2a}}\\
   &=2\e^{a-1-2a}\\
   &=2\e^{-1-a}\\
   &=\dfrac{2}{\e^{a+1}}\end{align*}$
   Réponse d
   $\quad$
3. La courbe $\mathscr{C}_f$ possède exactement deux tangentes horizontales (en $-1$ et $1$).
   Réponse c
   $\quad$
4. Sur l’intervalle $[-1;6]$ une solution de l’équation $f(x)=-0,3$ est environ $-0,3$.
   Réponse b
   $\quad$
5. Une équation de la tangente est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
   Or $f'(x)=\e^x+x\e^x=(1+x)\e^x$
   Donc $f'(1)=2\e$ et $f(1)=\e$.
   Ainsi une équation de la tangente est $y=2\e(x-1)+\e$
   Soit $y=2\e x-\e$.
   Réponse b
   $\quad$

 

 

Exercice 2

Partie A

1. On a $u_0=16~000$.
   $u_1=u_0\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)=0,85\times 16~000=13~600$
   $u_2=0,85\times 13~600=11~560$
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $u_{n+1}=u_n\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)=0,85u_n$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,85$.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=16~000\times 0,85^n$.
   $\quad$
3. a. La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,85$.
   Or $0<0,85<1$. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$.
   $\quad$
   b. Cela signifie donc que sur le long teme madame DURAND n’aura plus de capital disponible.
   $\quad$
4. a. On peut donc écrire :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   U\leftarrow 16~000\\
   N \leftarrow 0\\
   \text{Tant que } U\pg 2~000\\
   \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
   \hspace{1cm} U \leftarrow 0,85\times U\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=16~000\times 0,85^n$.
   On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n<2~000$
   D’après la calculatrice on a $u_{12} \approx 2~275,87$ et $u_{13}\approx 1~934,49$
   Cela signifie que la variable $N$ contiendra la valeur $13$ à la fin de l’exécution de l’algorithme.
   $\quad$

Partie B

1. Chaque année elle prélève $15\%$ de son capital. Il lui reste donc $85\%$ de son capital soit $0,85v_n$.
   Elle ajoute $300$ € chaque $1\ier$ décembre. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_{n+1}=0,85v_n+300$.
   $\quad$
2. a. On a $w_0=v_0-2~000=14~000~$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a $w_n=v_n-2~000$ soit $v_n=w_n+2~000$.
   Ainsi :
   $\begin{align*} w_{n+1}&=v_{n+1}-2~000 \\
   &=0,85v_n+300-2~000 \\
   &=0,85v_n-1~700 \\
   &=0,85\left(w_n+2~000\right)-1~700 \\
   &=0,85w_n+1~700-1~700\\
   &=0,85w_n\end{align*}$
   La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,85$.
   $\quad$
   c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $w_n=14~000\times 0,85^n$.
   Or $v_n=w_n+2~000$ donc $v_n=14~000\times 0,85^n+2~000$.
   $\quad$
3. $0<0,85<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,85^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=2~000$.
   Sur le long terme, son capital disponible sera de $2~000$.
   Il ne sera donc pas toujours supérieur à $2~500$ €.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A

1. a. $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x$ de $[0;+\infty[$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=-8x\e^{-x}+\left(-4x^2+5\right)\times \left(-\e^x\right) \\
   &=\left(-8x+4x^2-5\right)\e^{-x} \\
   &=\left(4x^2-8x-5\right)\e^{-x}\end{align*}$
   $\quad$
   b. La fonction exponentielle est strictement positive.
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $4x^2-8x-5$.
   $\Delta=(-8)^2-4\times 4\times (-5)=144>0$
   Le polynôme du second degré possède donc deux racines :
   $x_1=\dfrac{8-\sqrt{144}}{8}=-0,5$ et $x_2=\dfrac{8+\sqrt{144}}{8}=2,5$
   De plus $a=4>0$.
   On obtient donc le tableau de signes suivant :
   $\quad$
2. On obtient donc le tableau de variation suivant :
   $\quad$
3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[0;2,5]$.
   De plus $f(0)=8>2,95$ et $f(2,5) \approx 1,36 < 2,95$.
   D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=2,95$ possède une unique solution $x_0$ sur l’intervalle $[0;2,5]$.
   $\quad$
   Sur l’intervalle $[2,5;8]$ on a $f(x)\pg -251\e^{-8}+3$ or $-251\e^{-8}+3\approx 2,92<2,95$.
   Par conséquent l’équation $f(x)=2,95$ n’admet pas de solution sur l’intervalle $[2,5;8]$.
   $\quad$
   Finalement l’équation $f(x)=2,95$ possède exactement une solution$x_0$ sur l’intervalle $[0;8]$.
   D’après la calculatrice on a $x_0\approx 1,14$.
   $\quad$

Partie B

1. $f(5)\approx 2,36$.
   Le coût moyen unitaire de production pour une production de $500$ litres de peinture est d’environ $236$ €.
   $\quad$
2. a. D’après la question A.2. la fonction $f$ atteint son minimum pour $x=2,5$.
   L’entreprise doit donc produire $250$ litres de peinture pour minimiser le coût moyen de production.
   On a $f(2,5) \approx 1,36$.
   Le coût minimum est alors d’environ $136$ €.
   $\quad$
   b. Le coût moyen unitaire minimum d’environ $136$ €. Un prix fixé à $100$ € ne permet donc pas de réaliser des bénéfices.
   $\quad$
3. D’après le tableau de variation de la fonction $f$ et la question A.3. on a $f(x)\pg 2,95$ sur l’intervalle $\left[0;x_0\right]$ et $f(x)\pp 2,95$ sur l’intervalle $\left[x_0;8\right]$.
   Or $x_0\approx 1,14$.
   Le seuil de rentabilité de l’entreprise est donc de $114$ litres.
   $\quad$

Exercice 4

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
   $\quad$
2. On a $P(F)=1-P(T)-P(M)=1-0,28-0,48=0,24$.
   Et $P(F\cap G)=0,24\times 0,125=0,03$
   $\quad$
3. On a
   $\begin{align*} P_M(G)&=\dfrac{P(M\cap G)}{P(M)}\\
   &=\dfrac{0,12}{0,48}\\
   &=0,25\end{align*}$
   $\quad$
4. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(G)&=P(F\cap G)+P(M\cap G)+P(F\cap G)\\
   &=0,28\times 0,05+0,12+0,03 \\
   &=0,164\end{align*}$
   $\quad$
5. La recette complémentaire espérée est de :
   $1~000\times 50\times 0,164 = 8~200$ €.
   $\quad$

Exercice 1    5 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point; une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

1. On considère l’algorithme ci-dessous :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   v \leftarrow 9\\
   S \leftarrow 9\\
   \text{Pour $i$ allant de $1$ à $N$}\\
   \hspace{0.5cm} v \leftarrow 0,75 \times v\\
   \hspace{0.5cm} S \leftarrow S + v\\
   \text{Fin Pour}\\
   \hline
   \end{array}$$
   On affecte $3$ à la variable $N$.
   Que contient la variable $S$, arrondie au dixième, à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
   a. $24,6$
   b. $-25$
   c. $27$
   d. $20,8$
   $\quad$
2. Soit $a$ un réel, l’expression $\dfrac{2\text{e}^{a – 1}}{\left(\text{e}^a\right)^2}$ est égale à :
   a. $1$
   b. $2\text{e}^{3a-1}$
   c. $\text{e}^{-2}$
   d. $\dfrac{2}{\text{e}^{a + 1}}$
   $\quad$

Pour les questions 3 et 4, on considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ est donnée ci-dessous.
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.

3. Le nombre de solutions dans $[-7~;~7]$ de l’équation $f'(x) = 0$ est :
   a. $0$
   b. $1$
   c. $2$
   d. $3$
   $\quad$
4. Une valeur approchée de la solution de l’équation $f(x) = – 0,3$ sur l’intervalle $[-1~;~6]$ est :
   a. $-3$
   b. $-0,3$
   c. $0,3$
   d. $3$
   $\quad$
5. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^x$.
   Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ de la courbe représentative de la fonction $f$ est :
   a. $y=2x-1$
   b. $y=2\e x-\e$
   c. $y=-\e x-\e$
   d. $y=\e x-2\e$
   $\quad$

Exercice 2     5 points

Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes

Au $1\ier$ janvier 2018, madame DURAND dispose d’un capital de $16~000$ €. Le $1\ier$ juillet de chaque année, elle prélève $15\% du capital disponible en prévision de ses vacances estivales.

Partie A

On modélise le montant du capital de madame DURAND au $1\ier$ janvier par une suite $\left(u_n\right)$. Plus précisément, si $n$ est un entier naturel, $u_n$ désigne le montant du capital de madame DURAND disponible le $1\ier$ janvier de l’année 2018$+n$.

On a donc $u_0 = 16~000$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
   $\quad$
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n$ entier naturel.
   $\quad$
3. a. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ en justifiant votre réponse.
   $\quad$
   b. Interpréter ce résultat dans le cadre de l’énoncé.
   $\quad$
4. À l’aide d’un algorithme, madame DURAND souhaite déterminer le nombre d’années à partir duquel son capital devient inférieur ou égal à $2~000$ €.
   a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’à la fin de son exécution, la variable $N$ contienne le résultat attendu.
   $$\begin{array}{|l|}\hline
   U \leftarrow \ldots\\
   N \leftarrow 0\\
   \text{Tant que } U \ldots\\
   \hspace{0.5cm}N \leftarrow \ldots\\
   \hspace{0.5cm}U \gets \ldots\\
   \text{Fin Tant que}\\ \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. Quelle est la valeur numérique contenue par la variable $N$ à la fin de l’exécution de cet algorithme ?
   $\quad$

Partie B

Cherchant à anticiper la diminution de son capital disponible, madame DURAND décide d’ajouter à son capital disponible $300$ € chaque $1\ier$ décembre.
On note $v_n$ la valeur du capital le $1\ier$ janvier de l’année 2018 $+ n$. On a ainsi $v_0 = 16~000$.

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $v_{n + 1} = 0,85 \times v_n + 300$.
   $\quad$
2. On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = v_n-2~000$.
   a. Calculer $w_0$.
   $\quad$
   b. Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $0,85$.
   $\quad$
   c. En déduire que, pour tout entier $n$, $v_n = 2~000 + 14~000 \times 0,85^n$.
   $\quad$
3. En s’y prenant ainsi, madame DURAND espère toujours disposer d’un capital supérieur à $2~500$ €. A-t-elle raison ?
   $\quad$

Exercice 3     6 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+ \infty[$ par: $$f(x) = \left(-4x^2 + 5\right)\text{e}^{-x} + 3$$

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+ \infty[$.

1. a. Démontrer que pour tout réel $x$ de $[0;+ \infty[$, on a : $$f'(x) = \left(4x^2-8x-5\right)\text{e}^{-x}$$
   $\quad$
   b. Étudier le signe de la fonction $f’$ sur l’intervalle $[0;+ \infty[$.
   $\quad$
2. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[0;8]$.
   $\quad$
3. Justifier que l’équation $f(x) = 2,95$ admet une unique solution $x_{0}$ dans l’intervalle $[0;8[$.
   Donner une valeur approchée de $x_{0}$ à $10^{- 2}$ près.
   $\quad$

Partie B

Une entreprise produit de la peinture qu’elle vend ensuite. Toute la production est vendue. Le coût moyen unitaire de cette production peut être modélisé par la fonction $f$ de la partie A :
pour $x$ hectolitres de peinture fabriqués (avec $x \in [0,5;8]$), le nombre $f(x)$ désigne le coût moyen unitaire de production par hectolitre de peinture, exprimé en centaines d’euros (on rappelle qu’un hectolitre est égal à $100$ litres).
Dans la suite de l’exercice, on utilise ce modèle. On pourra utiliser les résultats de la partie A.
Chaque réponse sera justifiée.

1. Déterminer le coût moyen unitaire de production en euros, arrondi à l’euro près, pour une production de $500$ litres de peinture.
   $\quad$
2. a. Combien de litres de peinture l’entreprise doit-elle produire pour minimiser le coût moyen unitaire de production ? Quel est alors ce coût, arrondi à l’euro près ?
   $\quad$
   b. Le prix de vente d’un hectolitre de peinture est fixé à $100$ euros. À l’aide de la question précédente, déterminer si l’entreprise peut réaliser des bénéfices.
   $\quad$

Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

3. Le prix de vente d’un hectolitre de peinture est fixé à $295$ euros.
   On appelle seuil de rentabilité la quantité à partir de laquelle la production est rentable, c’est-à-dire qu’elle permet à l’entreprise de réaliser un bénéfice.
   Quel est le seuil de rentabilité pour cette entreprise?
   $\quad$

Exercice 4     4 points

Dans un magasin spécialisé en électroménager et multimédia, le responsable du rayon informatique fait le bilan sur les ventes d’ordinateurs portables, de tablettes, et d’ordinateurs fixes. Pour ces trois types de produit, le rayon informatique propose une extension de garantie.
Le responsable constate que $28\%$ des acheteurs ont opté pour une tablette, et $48\%$ pour un ordinateur portable.
Dans cet exercice, on suppose que chaque acheteur achète un unique produit entre tablette, ordinateur portable, ordinateur fixe, et qu’il peut souscrire ou non une extension de garantie.
Parmi les acheteurs ayant acquis une tablette, $5\%$ ont souscrit une extension de garantie et, parmi ceux ayant acquis un ordinateur fixe, $12,5\%$ ont souscrit une extension de garantie.

On choisit au hasard un de ces acheteurs.
On note :

• $T$ l’événement « l’acheteur a choisi une tablette » ;
• $M$ l’avènement « l’acheteur a choisi un ordinateur portable »;
• $F$ l’événement « l’acheteur a choisi un ordinateur fixe »;
• $G$ l’événement « l’acheteur a souscrit une extension de garantie ».

On note aussi $\overline{F} , \overline{M} , \overline{T} , \overline{G}$ les événements contraires.

1. Construire un arbre pondéré en indiquant les données de l’énoncé.
   $\quad$
2. Calculer $P(F)$ la probabilité de l’événement $F$, puis $P(F \cap G)$.
   $\quad$
3. On sait de plus que $12\%$ des acheteurs ont choisi un ordinateur portable avec une extension de garantie.
   Déterminer la probabilité qu’un acheteur ayant acquis un ordinateur portable souscrive une extension de garantie.
   $\quad$
4. Montrer que $P(G) = 0,164$.
   $\quad$
5. Pour tous les appareils, l’extension de garantie est d’un montant de $50$ euros. Quelle recette complémentaire peut espérer le responsable du rayon lorsque $1~000$ appareils seront vendus ?
   $\quad$