TS – Bac – Nouvelle Calédonie – février 2018

Nouvelle Calédonie – février 2018

Bac TS – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. D’après la calculatrice $P(X \pp 81,2) \approx 0,301$.
    Réponse b
    Remarque : ce ne pouvait pas être la réponse “a” car $P(X \pp 81,2) \pp P(X \pp 100)$ et  $P(X \pp 100)=0,5$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(X>52)&=P(X-50>2) \\
    &=P\left(\dfrac{X-50}{2}>1\right) \\
    &=P(N>1)
    \end{align*}$
    Or $P(-1 < N <1)=2P(N<-1)-1=2P(N>1)-1$
    Donc $P(N>1)=\dfrac{P(-1<N<1)+1}{2}$
    Ainsi $P(X>52)=\dfrac{P(-1<N<1)+1}{2}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. On appelle $\lambda$ le paramètre de la loi exponentielle suivie par $T$.
    $\begin{align*} P(T>2)=0,5 &\ssi \e^{-2\lambda}=0,5 \\
    &\ssi -2\lambda = \ln 0,5 \\
    &\ssi \lambda = -\dfrac{\ln 0,5}{2} \\
    &\ssi \lambda = \dfrac{\ln 2}{2}
    \end{align*}$
    La loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement donc
    $\begin{align*} P_{(T>2)}(T>5)&= P_{(T>2)}(T>2+3) \\
    &=P(T>3) \\
    &=\e^{-\frac{3\ln 2}{2}} \\
    &\approx 0,354
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. On effectue $5$ tirages identiques, indépendants et aléatoires. Chaque tirage possède $2$ issues: $S$ “la boule est grise”  et $\conj{S}$ “la boule n’est pas grise”. De plus $p(S)=\dfrac{3}{8}$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\dfrac{3}{8}$.
    Donc $E(X)=np=\dfrac{15}{8}$. On exclut les réponses a et b.
    D’après la calculatrice $P(X \pg 1) =1-P(X=0)=1-\left(\dfrac{5}{8}\right)^5\approx 0,905$
    Réponse c
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $\quad$
    $\begin{align*} Z&=\dfrac{z_1}{z_2} \\
    &=\dfrac{1-\ic}{-8-8\sqrt{3}\ic} \\
    &=\dfrac{1-\ic}{-8-8\sqrt{3}\ic}\times \dfrac{-8+8\sqrt{3} \ic}{-8+8\sqrt{3} \ic} \\
    &=\dfrac{-8+8\sqrt{3}\ic+8\ic+8\sqrt{3}}{64+64\times 3} \\
    &=\dfrac{-8+8\sqrt{3}+\left(8+8\sqrt{3}\right)\ic}{256} \\
    &=\dfrac{-1+\sqrt{3}+\left(1+\sqrt{3}\right)\ic}{32}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\left|z_1\right|=\sqrt{2}$
    Donc $z_1=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{\ic}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)$
    Donc $z_1=\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}$
    $\quad$
    $\left|z_2\right|=\sqrt{64+64\times 3}=\sqrt{256}=16$
    Donc $z_2=16\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ic\right)=16\e^{-2\ic\pi/3}$
    $\quad$
  3. Par conséquent :
    $\begin{align*} Z&=\dfrac{z_1}{z_2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}}{16\e^{-2\ic\pi/3}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{16}\e^{-\ic\pi/4+2\ic\pi/3} \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{16}\e^{5\ic\pi/12}
    \end{align*}$
    La forme trigonométrique du nombre $Z$ est donc :
    $Z=\dfrac{\sqrt{2}}{16}\left(\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)+\ic \sin \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\right)$.
    $\quad$
  4. En identifiant la forme algébrique et la forme trigonométrique du nombre $Z$ on a :
    $\begin{align*} \dfrac{\sqrt{2}}{16}\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{32} &\ssi \cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\
    &=\dfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \\
    &=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\cos x-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\sin x=-2\sqrt{3} $
    $\ssi \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\cos x-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\sin x=\dfrac{-\sqrt{3}}{2} $
    $\ssi \cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\cos x- \sin \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) \sin x=\cos\left(\dfrac{5\pi}{6} \right)$
    $\ssi \cos\left(\dfrac{5\pi}{12}+x\right)=\cos \left(\dfrac{5\pi}{6}\right) $
    $\ssi \dfrac{5\pi}{12}+x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi ~~ \text{ou} ~~ \dfrac{5\pi}{12}+x=-\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi \quad k\in \Z $
    $\ssi x=\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi ~~ \text{ou} ~~ x=-\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi \quad k\in \Z $
    $\ssi x=\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi ~~ \text{ou} ~~ x=-\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi \quad k\in\Z$
    Or $-\dfrac{5\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}-2\pi$
    Les solutions de l’équation dans $\R$ sont donc les nombres de la forme $\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi$ ou $\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi$ pour tout $k\in\Z$.
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. On a, pour tout entier naturel $n$ :
    $\begin{align*} t_{n+1}&=u_{n+1}-5 \\
    &=2u_n-5-5 \\
    &=2u_n-10\\
    &=2\left(u_n-5\right) \\
    &=2t_n
    \end{align*}$
    la suite $\left(t_n\right)$ est donc géométrique de raison $2$ et de premier terme $t_0=14-5=9$.
    Affirmation A vraie
    $\quad$
    On a donc $t_n=9\times 2^n$ pour tout entier naturel $n$.
    par conséquent $u_n=t_n+5=9\times 2^n+5$.
    Affirmation B vraie
    $\quad$
  2. Si on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier $n$ non nul par $v_n=(-1)^n$.
    On a bien alors $-1-\dfrac{1}{n}\pp v_n \pp 1+\dfrac{1}{n}$.
    Or la suite $\left(v_n\right)$ ne converge pas.
    Affirmation C fausse
    Remarque : on ne pouvait pas appliquer le théorème des gendarmes car, dans l’inégalité, le terme de gauche tend vers $-1$ et celui de droite tend vers $1$.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} (8\times 1+3)+(8\times 2+3)+\ldots+(8\times n+3)&= 8\times (1+2+\ldots+n)+3n \\
    &=8\times \dfrac{n(n+1)}{2}+3n \\
    &=4n(n+1)+3n \\
    &=n\left[4(n+1)+3\right] \\
    &=n(4n+4+3)\\
    &=n(4n+7)
    \end{align*}$
    Affirmation D vraie
    Remarque : on pouvait également utiliser un raisonnement par récurrence
    $\quad$
  4. On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier $n$ non nul par $w_n=\dfrac{1}{n}$.
    On $w_n>0$ pour tout entier naturel $n$ non nul mais $\lim\limits_{n \to +\infty} w_n=0$. La limite n’est donc pas strictement positive.
    Affirmation E fausse
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. a. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$.
    $g'(x)=-2\times 3x^2+2x=2x(-3x+1)$
    $2x=0 \ssi x=0$ et $2x>0 \ssi x>0$
    $-3x+1=0 \ssi x=\dfrac{1}{3}$ et $-3x+1 > 0 \ssi -3x>1 \ssi x<\dfrac{1}{3}$.La fonction $g$ est donc décroissante sur l’intervalle $]-\infty;0]$ et sur $\left[\dfrac{1}{3};+\infty\right[$. La fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $\left[0;+\dfrac{1}{3}\right]$.
    $\quad$
    b. D’après la limite des termes de plus haut degré on a :
    $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)=\lim\limits_{x \to -\infty} -2x^3=+\infty$
    et
    $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} -2x^3=-\infty$
    $\quad$
  2. On a $g\left(\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{26}{27}$
    Ainsi sur l’intervalle $[0;+\infty[$, on a $g(x)\pp -\dfrac{26}{27}<0$.
    L’équation $g(x)=0$ n’admet donc pas de solution  sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et  strictement décroissante sur l’intervalle $]-\infty;0]$.
    De plus $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)=+\infty$ et $g(0)=-1<0$.
    Or $0\in ]-1;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $]-\infty;0]$.
    Par conséquent, l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$.
    De plus $g(0)=-1<0$ et $g(-1)=2>0$
    Donc $\alpha \in [-1;0]$.
    $\quad$
  3. D’après les variations de la fonction $g$ et la question précédente on a :
    – $g(x)>0$ sur l’intervalle $]-\infty;\alpha[$;
    – $g(\alpha)=0$;
    – $g(x)<0$ sur l’intervalle $]\alpha;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

  1. $\lim\limits_{x \to -\infty} -2x+1=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} \e^X=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^{-2x+1}=+\infty$
    D’après la limite des termes de plus degré, on a $\lim\limits_{x \to -\infty} 1+x+x^2+x^3=\lim\limits_{x \to -\infty} x^3=-\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. a. On a $1<x$ donc en multipliant les deux membres de l’inégalité par $x$ (qui est strictement positif) on obtient $x<x^2$.
    On multiplie de nouveau les deux membres de l’inégalité par $x$ on obtient $x^2<x^3$.
    On a donc, pour tout $x>1$,  $1<x<x^2<x^3$.
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ et, pour tout $x>1$ on a $1<x<x^2<x^3$ donc $4<1+x+x^2+x^3<4x^3$.
    Ainsi $0<4\e^{-2x+1}<f(x)<4x^3\e^{-2x+1}$.
    $\quad$
    c. $4x^3\e^{-2x+1}=4x^3\e\e^{-2x}=\dfrac{(2x)^3}{2}\times \e\e^{-2x}=\dfrac{\e}{2}(2x)^3\e^{-2x}$
    $\lim\limits_{x\to +\infty}2x=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty}X^3\e^{-X}=0$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} (2x)^3\e^{-2x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} 4x^3\e^{-2x+1}=0$.
    $\quad$
    d. On a, pour tout $x>1$, $0<f(x)<4x^3\e^{-2x+1}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} 4x^3\e^{-2x+1}=0$
    D’après le théorème des gendarmes on a donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$.
    La courbe $\mathscr{C}_f$ possède donc une asymptote horizontale en $+\infty$ d’équation $y=0$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\left(1+2x+3x^2\right)\e^{-2x+1}+\left(1+x+x^2+x^3\right)\times (-2)\e^{-2x+1} \\
    &=\left(1+2x+3x^2-2-2x-2x^2-2x^3\right)\e^{-2x+1}\\
    &=\left(-1+x^2-2x^3\right)\e^{-2x+1} \\
    &=g(x)\e^{-2x+1}
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $g(x)$.
    D’après la question A.3. la fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $]-\infty;\alpha]$ et décroissante sur l’intervalle $[\alpha;+\infty[$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la réponse correspondante. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $100$ et d’écart-type $36$. On a alors, à $10^{-3}$ près :
    a. $P(X \pp 81,2) \approx 0,542$
    b. $P(X \pp 81,2) \approx 0,301$
    c. $P(81,2 \pp X \pp 103,8) \approx 0,542$
    d. $P(81,2 \pp X \pp 103,8) \approx 0,301$
    $\quad$
  2. Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $50$ et d’écart-type $2$.
    Une variable aléatoire $N$ suit la loi normale centrée réduite. On a alors :
    a. $P(X > 52)= \dfrac{1-P(-2<N<2)}{2}$
    b. $P(X>52)=1-P(-2<N<2)$
    c. $P(X>52)=\dfrac{1-P(-1<N<1)}{2}$
    d. $P(X>52)=1-P(-1<N<1)$
    $\quad$
  3. Une variable aléatoire $T$ suit une loi exponentielle telle que $P(T>2)=0,5$.
    Une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité $P_{(T>2)}(T>5)$ est égale à :
    a. $0,35$
    b. $0,54$
    c. $0,53$
    d. $\dfrac{\e}{2}$
    $\quad$
  4. Une urne contient $5$ boules bleues et $3$ boules grises indiscernables au toucher.
    On tire successivement de manière indépendante $5$ boules avec remise dans cette urne. On note alors $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de boules grises tirées.
    On note $E(X)$ l’espérance de $X$. On a alors :
    a. $E(X)=3$
    b. $E(X)=\dfrac{3}{8}$
    c. $P(X\pg 1)\approx 0,905$ à $10^{-3}$ près
    d. $P(X\pg 1) \approx 0,095$ à $10^{-3}$ près
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Soient les deux nombres complexes : $$z_1=1-\ic \quad \text{et} \quad z_2=-8-8\sqrt{3}\ic$$

On pose : $Z=\dfrac{z_1}{z_2}$.

  1. Donner la forme algébrique de $Z$.
    $\quad$
  2. Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
    $\quad$
  3. Écrire $Z$ sous forme exponentielle puis sous forme trigonométrique.
    $\quad$
  4. En déduire que $\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
    $\quad$
  5. On admet que :
    $\bullet$ $\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
    $\bullet$ pour tous réels $a$ et $b$, $\cos a \cos b-\sin a \sin b=\cos(a+b)$.
    résoudre l’équation suivante dans l’ensemble des réels $\R$ :
    $$\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\cos x-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\sin x=-2\sqrt{3}$$
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des affirmations proposées, indiquer si elle est VRAIE ou FAUSSE et justifier cette réponse.
Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

  1. Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $$\begin{cases} u_0=14\\u_{n+1}=2u_n-5\end{cases}$$
    Soit la suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $t_n=u_n-5$.
    Affirmation A :  La suite $\left(t_n\right)$ est une suite géométrique.
    $\quad$
    Affirmation B : Pour tout entier naturel $n$, $u_n=9\times 2^n+5$.
    $\quad$
  2. Soit une suite $\left(v_n\right)$.
    Affirmation C : Si, pour tout entier naturel $n$ supérieur à $1$, $$-1-\dfrac{1}{n} \pp v_n \pp 1+\dfrac{1}{n}$$
    alors la suite $\left(v_n\right)$ converge.
    $\quad$
  3. Affirmation D : Pour tout entier naturel $n$ non nul, $$(8\times 1+3)+(8\times 2+3)+\ldots+(8\times n+3)=n(4n+7)$$
    $\quad$
  4. Soit $\left(w_n\right)$ une suite convergente.
    Affirmation E : Si, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite $\left(w_n\right)$ sont strictement positifs, alors la limite de la suite $\left(w_n\right)$ est aussi strictement positive.
    $\quad$

Exercice 4     6 points

Soit $\R$ l’ensemble des nombres réels.

Partie A

Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ telle que, pour tout réel $x$, $$g(x)=-2x^3+x^2-1$$

  1. a. Étudier les variations de la fonction $g$.
    $\quad$
    b. Déterminer les limites de la fonction $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Démontrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution dans $\R$, notée $\alpha$, et que $\alpha$ appartient à $[-1;0]$.
    $\quad$
  3. En déduire le signe de $g$ sur $\R$.
    $\quad$

Partie B

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ telle que, pour tout réel $x$, $$f(x)=\left(1+x+x^2+x^3\right)\e^{-2x+1}$$

On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.

  1. Démontrer que $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout $x>1$, $$1<x<x^2<x^3$$
    $\quad$
    b. En déduire que, pour $x>1$, $$0<f(x)<4x^3\e^{-2x+1}$$
    $\quad$
    c. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n\e^{-x}=0$.
    Vérifier que, pour tout réel $x$, $4x^3\e^{-2x+1}=\dfrac{\e}{2}(2x)^3\e^{-2x}$ puis montrer que $$\lim\limits_{x \to +\infty}4x^3\e^{-2x+1}=0$$
    $\quad$
    d. On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère $\Oij$.
    En utilisant la question précédente, déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et en donner une interprétation graphique.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout $x\in \R$, $f'(x)=\left(-2x^3+x^2-1\right)\e^{-2x+1}$.
    $\quad$
  4. À l’aide des résultats de la partie A, déterminer les variations de $f$ sur $\R$.
    $\quad$