Exercice 1     5 points

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Lors d’une soirée, une chaîne de télévision a retransmis un match. Cette chaîne a
ensuite proposé une émission d’analyse de ce match.
On dispose des informations suivantes:

• $56\%$ des téléspectateurs ont regardé le match;
• un quart des téléspectateurs ayant regardé le match ont aussi regardé
  l’émission;
• $16,2\%$ des téléspectateurs ont regardé l’émission.

On interroge au hasard un téléspectateur. On note les évènements:

• $M$ : “le téléspectateur a regardé le match” ;
• $E$ : “le téléspectateur a regardé l’émission”.

On note $x$ la probabilité qu’un téléspectateur ait regardé l’émission sachant qu’il n’a
pas regardé le match.

1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
   $\quad$
2. Déterminer la probabilité de $M \cap E$.
   $\quad$
3. a. Vérifier que $p(E) = 0,44x + 0,14$.
   $\quad$
   b. En déduire la valeur de $x$.
   $\quad$
4. Le téléspectateur interrogé n’a pas regardé l’émission. Quelle est la
   probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu’il ait regardé le match ?
   $\quad$

Partie B

Une usine fabrique des maillots de football qui doivent être cousus par une première machine et décorés par une deuxième machine. Ces deux machines, qui fonctionnent de manière indépendante, ont des probabilités respectives de $0,05$ et $0,08$ de produire des maillots avec un défaut.
On choisit un maillot au hasard.

1. Quelle est la probabilité que le maillot choisi présente un défaut de couture mais pas de défaut de décoration ?
   $\quad$
2. Quelle est la probabilité que le maillot présente au moins un défaut ?
   $\quad$

Partie C

Dans l’entrepôt de l’usine de la partie B, des maillots bleus et des maillots rouges sont stockés dans un carton. La proportion de maillots bleus est égale à $0,55$.

1. Jeanne prend au hasard $10$ maillots dans ce carton pour offrir à un groupe de VIP qui est venu visiter l’usine. Le nombre de maillots présents dans le carton est suffisamment grand pour que les tirages soient considérés comme identiques et indépendants.
   Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de maillots bleus.
   a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier soigneusement la réponse.
   $\quad$
   b. Calculer la probabilité que Jeanne tire exactement huit maillots bleus (on arrondira le résultat au millième près).
   $\quad$
   c. Calculer la probabilité que Jeanne tire au moins deux maillots bleus (on arrondira le résultat au millième près).
2. Jeanne prend toujours au hasard des maillots dans le carton. La proportion de maillots bleus est toujours de $0,55$. Combien Jeanne doit-elle prendre de maillots, au minimum, pour que la probabilité d’avoir au moins un maillot bleu soit supérieure ou égale à $0,999~9$ ?
   $\quad$

Exercice 2     7 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier $n \geqslant 0$ par: $\left\{\begin{array}{l c l}
u_{n+1}&=&3-\dfrac{10}{u_n + 4}\\
u_0&=&5
\end{array}\right.$

Partie A :

1. Déterminer la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$.
   $\quad$
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 1$.
   $\quad$
3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n + 1} – u_n = \dfrac{\left(1-u_n \right)\left(u_n +2\right)}{u_n + 4}$.
   $\quad$
4. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
   $\quad$
5. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
   $\quad$

Partie B :

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{u_n-1}{u_n + 2}$.

1. a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et déterminer le premier terme $v_0$.
   $\quad$
   b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   En déduire que pour tout entier naturel $n$, $v_n \ne 1$.
   $\quad$
2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{2v_n + 1}{1-v_n}$. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$

Partie C :

On considère l’algorithme ci-dessous.
$$\begin{array}{|l|}\hline
u \gets 5\\
n \gets 0\\
\text{Tant que } u \geqslant 1,01\\
\hspace{1cm} n \gets n+1\\
\hspace{1cm} u \gets 3-\dfrac{10}{u+4}\\
\text{Fin du Tant que}\\ \hline
\end{array}$$

1. Après exécution de l’algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable $n$ ?
   $\quad$
2. À l’aide des parties A et B, interpréter cette valeur.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6,5 points

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $$f(x) = -2x+\dfrac{x+1}{\e^x}$$
On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

Partie A: Étude d’une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $$g(x) = -2\e^x-x$$

1. Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
   $\quad$
2. Déterminer la dérivée de la fonction $g$.
   $\quad$
3. En déduire le tableau de variation complet de $g$ sur $\R$.
   $\quad$
4. Démontrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur $\R$.
   $\quad$
5. Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
   $\quad$
6. Déterminer le signe de la fonction $g$ sur $\R$.
   $\quad$

Partie B: Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

1. Démontrer que pour tout réel $x$, $$f'(x)=\dfrac{g(x)}{\e^x}$$
   $\quad$
2. En déduire les variations de $f$ sur $\R$.
   $\quad$

Partie C: Étude de tangentes à $\boldsymbol{\mathscr{C}_f}$

1. Déterminer l’équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ en $x=0$.
   $\quad$
2. La tangente $T’$ à $\mathscr{C}_f$ en $x=-1$ a pour équation $y=(\e-2)x+\e$.
   a. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de $T$ et $T’$. On le nommera $A$.
   $\quad$
   b. On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe $\mathscr{C}_f$ ainsi que le point $M$ de coordonnées $(0;\e)$. Tracer les tangentes $T$ et $T’$ puis placer le point $A$.
   $\quad$

$\quad$

 

Exercice 1

Partie A

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
   $\quad$
2. On a $P(M\cap E)=0,56\times 0,25=0,14$
   $\quad$
3. a. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(E)&=P(M\cap E)+P\left(\conj{M}\cap E\right) \\
   &=0,14+0,44x\end{align*}$
   $\quad$
   b. On sait que $P(E)=0,162$
   Par conséquent $0,44x+014=0,162\ssi 0,44x=0,022\ssi x=0,05$.
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_{\conj{E}}(M)&=\dfrac{P\left(\conj{E}\cap M\right)}{1-P(E)} \\
   &=\dfrac{0,75\times 0,56}{0,838}\\
   &\approx 0,50\end{align*}$
   La probabilité que le téléspectateur ait regardé le match sachant qu’il n’a pas regardé l’émission est environ égale à $0,50$.
   $\quad$

Partie B

1. La on appelle $C$ l’événement “le maillot présente un défaut de couture” et $D$ l’événement “le maillot présente un défaut de décoration”.
   $C$ et $D$ sont indépendants donc $C$ et $\conj{D}$ le sont aussi.
   Ainsi :
   $\begin{align*} p\left(C\cap \conj{D}\right)&=p(C)\times p\left(\conj{D}\right) \\
   &=0,05\times (1-0,08) \\
   &=0,046\end{align*}$
   La probabilité que le maillot présente un défaut de couture mais pas de défaut de décoration est égale à $0,046$.
   $\quad$
2. On a :
   $\begin{align*} p(C\cup D)&=1-p\left(\conj{C}\cap \conj{D}\right) \\
   &=1-p\left(\conj{C}\right)\times p\left(\conj{D}\right) \\
   &=1-(1-0,05)\times (1-0,08) \\
   &=0,126\end{align*}$
   La probabilité que le maillot présente au moins un défaut est égale à $0,126$.
   $\quad$

Partie C

1. a. On effectue $10$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que $2$ issues : $S$ “le maillot est bleu” et $\conj{S}$. De plus $p(S)=0,55$.
   La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,55$.
   $\quad$
   b. On a $P(X=8)=\ds \binom{10}{8}\times 0,55^8\times (1-0,55)^2\approx 0,076$
   La probabilité que Jeanne tire exactement huit maillot bleus est environ égale à $0,076$.
   $\quad$
   c. On a $P(X\pg 2)=1-P(X\pp 1) \approx 0,995$.
   La probabilité que Jeanne tire au moins deux maillots bleus est environ égale à $0,995$.
   $\quad$
2. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de maillots bleus.
   On effectue $n$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que $2$ issues : $S$ “le maillot est bleu” et $\conj{S}$. De plus $p(S)=0,55$.
   La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,55$.
   On a $P(Y\pg 1)=1-P(Y=0)=1-(1-0,55)^n=1-0,45^n$
   On cherche donc le plus petit entier naturel $n$ tel que $1-0,45^n\pg 0,999~9$
   Si $n=12$ on a $1-0,45^n\approx 0,999~85$
   Si $n=13$ on a $1-0,45^n\approx 0,999~93$
   Jeanne doit donc prendre $13$ maillots au minimum pour que la probabilité d’avoir un maillot bleu soit supérieure ou égale à $0,999~9$.
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

1. $u_1=3-\dfrac{10}{5+4}=\dfrac{17}{9}$ et $u_2=3-\dfrac{10}{\dfrac{17}{9}+4}=\dfrac{69}{53}$
   $\quad$
2. Initialisation : On $u_0=5 \pg 1$.
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$, c’est-à-dire que $u_n\pg 1$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $u_{n+1}\pg 1$.
   $\begin{align*} u_n\pg 1&\ssi u_n+4\pg 5 \\
   &\ssi \dfrac{1}{u_n+4} \pp \dfrac{1}{5} \\
   &\ssi \dfrac{10}{u_n+4} \pp 2 \\
   &\ssi -\dfrac{10}{u_n+4} \pg -2 \\
   &\ssi 3-\dfrac{10}{u_n+4} \pg 1 \\
   &\ssi u_{n+1} \pg 1\end{align*}$
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\pg 1$.
   $\quad$
3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*}u_{n+1}-u_n&=3-\dfrac{10}{u_n+4}-u_n \\
   &=\dfrac{3u_n+12-10-u_n\left(u_n+4\right)}{u_n+4} \\
   &=\dfrac{3u_n+2-{u_n}^2-4u_n}{u_n+4} \\
   &=\dfrac{-u_n+2-{u_n}^2}{u_n+4}\end{align*}$
   Or $\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)=u_n+2-{u_n}^2-2u_n=-u_n+2-{u_n}^2$
   Ainsi, $u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)}{u_n+4}$
   $\quad$
4. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg 1$ donc $1-u_n\pp 0$, $u_n+2\pg 0$ et $u_n+4\pg 0$
   Ainsi $u_{n+1}-u_n \pp 0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
   $\quad$
5. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1$; elle est donc convergente.
   $\quad$

Partie B

1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{u_n-1}{u_n+2} \\\\
   &=\dfrac{3-\dfrac{10}{u_n+4}-1}{3-\dfrac{10}{u_n+4}+2} \\\\
   &=\dfrac{2-\dfrac{10}{u_n+4}}{5-\dfrac{10}{u_n+4}} \\\\
   &=\dfrac{~~\dfrac{2\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}~~}{\dfrac{5\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}} \\\\
   &=\dfrac{2u_n+8-10}{5u_n+20-10}\\\\
   &=\dfrac{2u_n-2}{5u_n+10}\\\\
   &=\dfrac{2\left(u_n-1\right)}{5\left(u_n+2\right)} \\\\
   &=\dfrac{2}{5}v_n\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{5-1}{5+2}=\dfrac{4}{7}$.
   $\quad$
   b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $v_n=\dfrac{4}{7}\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$.
   $0<\dfrac{4}{7}<1$ et $0<\dfrac{2}{5}<1$ donc $v_n <1$ et $v_n\neq 1$.
   $\quad$
2. $-1<\dfrac{2}{5}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$
   Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\dfrac{0+1}{1-0}=1$
   $\quad$

Partie C

1. Voici les valeurs prises par les variables $u$ (arrondies au millième) et $n$.
   $$\begin{array}{|c|c|}
   \hline
   u& n \\
   \hline
   5& 0\\
   \hline
   1,889&1\\
   \hline
   1,302 &2\\
   \hline
   1,114& 3\\
   \hline
   1,045& 4\\
   \hline
   1,018& 5\\
   \hline
   1,007&6\\
   \hline
   \end{array}$$
   la variable $n$ a donc la valeur $6$ après exécution de l’algorithme.
   $\quad$
2. Cela signifie donc que pour tout entier supérieur ou égal à $6$ on a $1\pp u_n\pp 1,01$.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire

1. $\lim\limits_{n\to -\infty} \e^x=$ et $\lim\limits_{n\to -\infty}-x=+\infty$
   Donc $\lim\limits_{n\to -\infty} g(x)=+\infty$
   $\quad$
   $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} -2\e^x=-\infty$
   $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$
   Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$
   $\quad$
2. D’après l’énoncé la fonction $g$ est dérivable sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $g'(x)=-2\e^x-1=-\left(2\e^x+1\right)$
   $\quad$
3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $2\e^x+1\pg 1$ et $g(x)<0$
   On obtient ainsi le tableau de variation suivant :
   $\quad$
4. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $\R$.
   De plus $\lim\limits_{n\to -\infty} g(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} g(x)=-\infty$
   $0\in]-\infty;+\infty[$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution sur $\R$.
   $\quad$
5. D’après la calculatrice on a $-0,853<\alpha <-0,852$
   $\quad$
6. D’après le tableau de variations et la question précédente :
   – $g(x)>0$ sur $]-\infty;\alpha[$;
   – $g(\alpha)=0$;
   – $g(x)<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
   $\quad$

Partie B : Etude de la fonction $\boldsymbol{f}$

1. D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=-2+\dfrac{1\times \e^x-(x+1)\e^x}{\e^{2x}} \\
   &=-2+\dfrac{(1-x-1)\e^x}{\e^{2x}}\\
   &=-2+\dfrac{-x}{\e^x} \\
   &=\dfrac{-2\e^x-x}{\e^x} \\
   &=\dfrac{g(x)}{\e^x}\end{align*}$
   $\quad$
2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $g(x)$.
   D’après la question A.6. on a donc :
   – la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty;\alpha]$;
   – la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[\alpha;+\infty[$.
   $\quad$

Partie C : Etude de tangentes à $\boldsymbol{\mathscr{C}_f}$

1. Une équation de la tangente $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
   Or $f(0)=0+\dfrac{1}{1}=1$ et $f'(0)=\dfrac{-2\times 1+0}{1}=-2$
   Une équation de $T$ est donc $y=-2x+1$
   $\quad$
2. a. On veut donc résoudre le système :
   $\begin{align*} \begin{cases} y=-2x+1\\y=(\e-2)x+\e \end{cases} &\ssi \begin{cases} y=-2x+1 \\-2x+1=(\e-2)x+\e\end{cases}\\
   &\ssi \begin{cases} y=-2x+1\\1=\e x+\e \end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} y=-2x+1 \\\e x=1-\e \end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{1-\e}{\e} \\y=\dfrac{3\e-2}{\e}\end{cases}\end{align*}$
   Les coordonnées du point $A$ sont donc $\left(\dfrac{1-\e}{\e};\dfrac{3\e-2}{\e}\right)$.
   $\quad$
   b. On obtient le graphique suivant :
   $\quad$