Exercice 1    5 points

On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ :

• la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ $u_{n+1} = 2u_n-n + 3$ ;
• la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$.

Partie A : Conjectures

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l’aide d’un tableur.
Une copie d’écran est donnée ci-dessous.

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules $B3$ et $C3$ pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?
   $\quad$
2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :
   
   Conjecturer les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
   $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 3 \times 2^n + n-2$.
   $\quad$
2. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
3. Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à $1$ million.
   $\quad$

Partie C : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)}$ 

1. Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ est décroissante à partir du rang $3$.
   $\quad$
2. On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $4$, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} \pp \dfrac{1}{n}$.
   Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
   $\quad$

Exercice 2    5 points

Partie A

On considère la fonction $h$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par : $h(x) = x\e^{-x}$.

1. Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+\infty$.
   $\quad$
2. Étudier les variations de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et dresser son tableau de variations.
   $\quad$
3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction $h$.
   a. Vérifier que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$, on a : $$h(x) =\e^{-x}-h'(x)$$ où $h’$ désigne la fonction dérivée de $h$.
   $\quad$
   b. Déterminer une primitive sur l’intervalle $[0;+\infty[$ de la fonction $x\mapsto \e^{-x}$.
   $\quad$
   c. Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   $\quad$

Partie B

On définit les fonctions $f$ et $g$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par: $$f(x) = x\e^{-x} + \ln(x + 1)\qquad\text{ et }\qquad g(x) =\ln(x + 1)$$
On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé.
Ces deux courbes sont tracées en annexe. Cette annexe est à rendre avec la copie.

1. Pour un nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$, on appelle $M$ le point de coordonnées $\left(x;f(x)\right)$ et $N$ le point de coordonnées $\left(x;g(x)\right)$ : $M$ et $N$ sont donc les points d’abscisse $x$ appartenant respectivement aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
   a. Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle la distance $MN$ est maximale et donner cette distance maximale.
   $\quad$
   b. Placer sur le graphique fourni en annexe les points $M$ et $N$ correspondant à la valeur maximale de $MN$.
   $\quad$
2. Soit $\lambda$ un réel appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$. On note $D_{\lambda}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et par les droites d’équations $x = 0$ et $x = \lambda$.
   a. Hachurer le domaine $D_{\lambda}$. correspondant à la valeur $\lambda$ proposée sur le graphique en annexe.
   $\quad$
   b. On note $A_{\lambda}$ l’aire du domaine $D_{\lambda}$, exprimée en unités d’aire. Démontrer que : $$A_{\lambda} = 1-\dfrac{\lambda+1}{\e^{\lambda}}$$
   $\quad$
   c. Calculer la limite de $A_{\lambda}$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$ et interpréter le résultat.
   $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3     6 points

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$ .
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.
Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

1. On considère les points $A(1;1;14)$, $B(0;1;8)$ et $C(-2;2;4)$
   Affirmation 1: Les points $A,B$ et $C$ définissent un plan.
   $\quad$
2. On considère la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=2t-3\\y=t-\dfrac{1}{2}\\z=4t+2\end{cases} ,\quad t\in \R$.
   Affirmation 2: Le point $D\left(-\dfrac{11}{3};-\dfrac{5}{6};-\dfrac{2}{3}\right)$ appartient à la droite $(d)$.
   $\quad$
3. On considère la droite $\left(d’\right)$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=1+t\\y=2\\z=3+2t\end{cases} ,\quad t\in \R$ et la droite $(\Delta)$ passant par $N(1;4;1)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(2;1;3)$.
   Affirmation 3: Les droites $\left(d’\right)$ et $(\Delta)$ ne sont pas coplanaires.
   $\quad$
4. On considère les points $E(1;2;3)$, $F(3;0;1)$, $G(-1;0;1)$, $H(-1;-2;3)$ et $I(-2;-3;4)$.
   On admet que la droite $(HI)$ et le plan $(EFG)$ sont sécants.
   Affirmation 4: Leur point d’intersection est le milieu du segment $[FG]$.
   $\quad$

Partie B

On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté sur la feuille annexe. $M$ est un point de la droite $(CG)$ et $N$ est un point du segment $[AD]$.
Représenter sur cette feuille la section du cube par le plan $MBN$.
Laisser les traits de construction. On ne demande pas de justifier.

Annexe

$\quad$

Exercice 4    4 points

Le plan complexe est  rapporté à un repère orthonormé $\Ouv$. À tout point $M$ d’affixe $z$, on associe le point $M’$ d’affixe $z’=-z^2+2z$. Le point $M’$ est appelé image du point $M$.

1. Résoudre dans l’ensemble $\C$ des nombres complexes l’équation : $-z^2+2z-2=0$.
   En déduire les affixes des points dont l’image est le point d’affixe $2$.
   $\quad$
2. Soit $M$ un point d’affixe $z$ et $M’$ son image d’affixe $z’$.
   On note $N$ le point d’affixe $z_N=z^2$.
   Montrer que $M$ est le milieu du segment $[NM’]$.
   $\quad$
3. Dans cette question, on suppose que le point $M$ ayant pour affixe $z$, appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $1$. On note $\theta$ un argument de $z$.
   a. Déterminer le module de chacun des nombres complexes $z$ et $z_N$, ainsi qu’un argument de $z_N$ en fonction de $\theta$.
   $\quad$
   b. Sur la figure donnée en annexe, on a représenté un point $M$ sur le cercle $\mathcal{C}$.
   Construire sur cette figure les points $N$ et $M’$ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents).
   $\quad$
   c. Soit $A$ le point d’affixe $1$. Quelle est la nature du triangle $AMM’$?

Annexe

 

Exercice 1

Partie A : Conjectures

1. En $B3$ on a pu saisir : $=2*B2-A2+3$
   En $C3$ on a pu saisir : $=2\wedge A3$
   $\quad$
2. Il semblerait que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ soit $+\infty$.
   $\dfrac{3~080}{1~024}\approx 3,008$
   $\dfrac{6~153}{2~048}\approx 3,004$
   $\dfrac{12~298}{4~096}\approx 3,002$
   $\dfrac{24~587}{8~192}\approx 3,001$
   Il semblerait que la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ soit $3$.
   $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

1. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1$ et $3\times 2^0-0-2=3-2=1$
   La  propriété est vraie au rang $0$
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=3\times 2^n+n-2$
   $\begin{align*} u_{n+1}&=2u_n-n+3\\
   &=2\left(3\times 2^n+n-2\right)-n+3\\
   &=3\times 2^{n+1}+2n-4-n+3\\
   &=3\times 2^{n+1}+n-1\\
   &=3\times 2^{n+1}+(n+1)-2
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=3\times 2^n+n-2$.
   $\quad$
2. $2>1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}2^n=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}3\times 2^n=+\infty$
   De plus $\lim\limits_{n\to +\infty}n-2=+\infty$
   Par somme de limite $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty$
   $\quad$
3. On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que $ u_n\pg 10^6$
   Les suites de terme général $\left(3\times 2^n\right)$ et $(n-2)$ sont croissantes. Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est également croissante.
   On a $u_{18}=786~448$ et $u_{19}=1~572~881$
   Par conséquent c’est à partir du rang $19$ que $u_n\pg 10^6$.
   $\quad$

Partie C : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)}$.

1. On note $w_n=\dfrac{u_n}{v_n}$
   $\begin{align*}w_{n+1}-w_n&=\dfrac{3\times 2^{n+1}+n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{3\times 2^n+n-2}{2^n} \\
   &=3+\dfrac{n-1}{2^{n+1}}-3-\dfrac{n-2}{2^n}\\
   &=\dfrac{n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{2(n-2)}{2^{n+1}}\\
   &=\dfrac{n-1-2n+4}{2^{n+1}}\\
   &=\dfrac{3-n}{2^{n+1}}
   \end{align*}$
   Par conséquent, si $n\pg 3$ alors $w_{n+1}-w_n\pp 0$ et la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ est décroissante.
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} \dfrac{u_n}{v_n}&=3+\dfrac{n-2}{2^n}\\
   &=3+\dfrac{n}{2^n}-\dfrac{2}{2^n} \\
   &=3+\dfrac{n}{2^n}-2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n
   \end{align*}$
   $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$
   D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n}{2^n}=0$
   $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$
   Ainsi, par somme des limites $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}=3$
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

1. Pour tout réel $x$ on a $h(x)=x\e^{-x}=\dfrac{x}{\e^{x}}=\dfrac{1}{\dfrac{\e^{x}}{x}}$
   Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc  $\lim\limits_{x \to +\infty} h(x)=0^+$.
   $\quad$
2. La fonction $h$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $f'(x)=\e^{-x}-x\e^{-x} = (1-x)\e^{-x}$
   La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent le signe de $h'(x)$ ne dépend que de celui de $(1-x)$.
   $1-x=0\ssi x=1$ et $1-x>0\ssi x<1$.
   On obtient donc le tableau de variation suivant :
   
3. a. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$ on a :
   $\begin{align*} \e^{-x}-h'(x)&=\e^{-x}-(1-x)\e^{-x} \\
   &=\e^{-x}-\e^{-x}+x\e^{-x}\\
   &=x\e^{-x}\\
   &=h(x)
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. Une primitive de la fonction $x\mapsto \e^{-x}$ définie sur $[0;+\infty[$ est la fonction définie sur ce même intervalle par $x\mapsto -\e^{-x}$.
   $\quad$
   c. On a $h(x)=\e^{-x}-h'(x)$ pour tout réel $x\pg 0$.
   Par conséquent une primitive de la fonction $h$, continue (car dérivable) sur $[0;+\infty[$, est la fonction $H$ définie sur $[0;+\infty[$ par :
   $\begin{align*} H(x)&=-\e^{-x}-h(x)\\
   &=-\e^{-x}-x\e^{-x}\\
   &=-(1+x)\e^{-x}
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. a. D’après le tableau de variation de la fonction $h$, on a $h(x)=x\e^{-x}\pg 0$.
   Par conséquent, le repère étant orthonormé :
   $\begin{align*} MN&=\sqrt{(x-x)^2+\left(f(x)-g(x)\right)^2} \\
   &=\sqrt{\left(x\e^{-x}\right)^2} \\
   &=x\e^{-x}
   \end{align*}$
   $\quad$
   D’après le tableau de variation de la fonction $h$, cette distance est maximale pour $x=1$ et cette distance maximale vaut $\e^{-1}$
   $\quad$
   b. On obtient le graphique suivant :
   
2. a. Voir graphique précédent
   $\quad$
   b. Les fonctions $f$ et $g$ sont continues et sur l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $f(x)-g(x)\pg 0$.
   L’aire du domaine $D_{\lambda}$ est :
   $\begin{align*} A_{\lambda} &=\displaystyle \int_0^{\lambda} \left(f(x)-g(x)\right)\dx \\
   &=\int_0^{\lambda} x\e^{-x}\dx \\
   &=H(\lambda)-H(0) \\
   &=-(1+\lambda)\e^{-\lambda}+1\\
   &=1-\dfrac{\lambda+1}{\e^{\lambda}}
   \end{align*}$
   $\quad$
   c. On a $A_{\lambda}=1-\dfrac{\lambda}{e^{\lambda}}+\dfrac{1}{\e^{\lambda}}$
   Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\e^x}=0$ (voir la question A.1.)
   Et  $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\e^x}=0$
   Ainsi  $\lim\limits_{\lambda \to +\infty} A_{\lambda}=1$.
   $\quad$
   Cela signifie que l’aire du domaine compris entre les deux courbe $C_f$ et $C_g$ vaut $1$.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A

1. On a $\vect{AB}(-1;0;-6)$ et $\vect{AC}(-3;1;-10)$.
   Or $\dfrac{-1}{-3}=\dfrac{1}{3}\neq \dfrac{0}{-3}$.
   Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires. Les trois points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
   Affirmation 1 vraie.
   $\quad$
2. On veut résoudre le système suivant :
   $\begin{cases} -\dfrac{11}{3}=2t-3\\\\t-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{5}{6}\\\\4t+2=-\dfrac{2}{3} \end{cases} \ssi \begin{cases} 2t=-\dfrac{2}{3} \\\\t=-\dfrac{1}{3} \\\\4t=-\dfrac{8}{3} \end{cases} \ssi \begin{cases} t=-\dfrac{1}{3} \\\\t=-\dfrac{2}{3}\end{cases}$.
   Le point $D$ n’appartient donc pas à la droite $(d)$.
   Affirmation 2 fausse.
   $\quad$
3. Un vecteur directeur de ma droite $\left(d’\right)$ est $\vec{u}(1;0;2)$.
   Une coordonnées de $\vec{u}$ est nulle alors que la coordonnée correspondante de $\vec{v}$ ne l’est pas. Les deux vecteurs ne sont donc pas coplanaires. Par conséquent les deux droites ne sont pas parallèles.
   $\quad$
   Une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ est $\begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\end{cases}, \quad k\in \R$.
   Déterminons si les deux droites sont sécantes.
   On veut donc résoudre le système :
   $\begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\\x=1+t\\y=2\\z=3+2t\end{cases} \ssi \begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\\1+2k=1+t\\4+k=2\\1+3k=3+2t\end{cases} \ssi \begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\\k=-2 \\-4=t\\1-6=3+2t\end{cases} \ssi \begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\\k=-2\\t=-4\end{cases}$
   Ce système possède une solution. Les droites sont donc sécantes.
   Les droites $\left(d’\right)$ et $(\Delta)$ sont coplanaires.
   Affirmation 3 fausse.
   $\quad$
4. On appelle $J$ le milieu du segment $[FG]$.
   Par conséquent $J(1;0;1)$.
   Regardons si ce point appartient à la droite $(HI)$.
   $\vect{HJ}(2;2;-2)$ et $\vect{HI}(-1;-1;1)$.
   Donc $\vect{HJ}=2\vect{HI}$.
   Ces deux vecteurs sont colinéaires. Les points $H$, $I$ et $J$ sont donc alignés.
   Affirmation 4 vraie.

Partie B

Le point $I$ est le point d’intersection de la droite $(BM)$ avec la droite $(FG)$.
La droite $(NK)$ est parallèle à la droite $(MB)$.
La droite $(IL)$ est parallèle à la droite $(NB)$.

 

Exercice 4

1. On considère l’équation $-z^2+2z-2=0$.
   Son discriminant est $\Delta = 2^2-4\times (-1) \times (-2) = -4<0$
   Cette équation possède donc deux racines complexes:
   $z_1=\dfrac{-2-\sqrt{4}\ic}{-2}=1+\ic$ et $z_2=\conj{z_1}=1-\ic$
   Les points dont l’image est le point d’affixe $2$ vérifie $z’=2 \ssi -z^2+2z-2=0$.
   Ce sont donc les points d’affixe $1-\ic$ et $1+\ic$.
   $\quad$
2. On appelle $P$ le milieu du segment $\left[NM’\right]$.
   Son affixe est :
   $\begin{align*} z_P&=\dfrac{z_n+z_{M’}}{2} \\
   &=\dfrac{z^2-z^2+2z}{2} \\
   &=z
   \end{align*}$
   Par conséquent $M$ est le milieu du segment $\left[NM’\right]$
   $\quad$
3. a. Le point $M$ appartient au cercle $\mathcal{C}$. Par conséquent $|z|=1$ et arg$(z)=\theta$.
   $z_N=z^2=1^2\times \e^{2\ic \theta}=\e^{2\ic\theta}$
   Ainsi $\left|z_N\right|=1$ et arg$\left(z_N\right)=2\theta$.
   $\quad$
   b.
   
   $\quad$
   c. Le point $N$ appartient au cercle de centre $M$ et de rayon $MA$.
   $M$ est le milieu du segment $\left[NM’\right]$. Ainsi $MN=MM’$.
   Donc $MA=MM’$.
   Le triangle $AMM’$ est par conséquent isocèle en $M$.
   $\quad$