Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 2 – juin 2021

Métropole – juin 2021

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Question 1 :  Si $t=5$ alors $\begin{cases} x=-4+3\times 5\\y=6-3\times 5\\z=8-6\times 5\end{cases} \ssi \begin{cases} x=11\\y=-9\\z=-22\end{cases}$
Réponse b
$\quad$

Question 2 : Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}’$ est $\vec{u}\begin{pmatrix} 3\\-3\\-6\end{pmatrix}$.
Réponse c
$\quad$

Question 3 : Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ est $\vect{AB}\begin{pmatrix}-2\\2\\4\end{pmatrix}$.
On constate que $\vect{AB}=-\dfrac{3}{2}\vect{u_3}$.
Les deux droites sont donc parallèles.
En prenant $t=2$ on constate que le point $B$ appartient à la droite $\mathcal{D}’$.
Les deux droites sont donc confondues.
Réponse d
$\quad$

Question 4 : Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\m\\-2\end{pmatrix}$
La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$
$\ssi$ $\vec{n}$ et $\vect{AB}$ sont orthogonaux
$\ssi \vec{n}.\vect{AB}=0$\\
$\ssi -2+2m-8=0$
$\ssi 2m=10$
$\ssi m=5$
Réponse c
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(M\cap T)&=p(M)\times p_M(T)\\
    &=0,4\times 0,9\\
    &=0,36\end{align*}$
    La probabilité que le chat soit porteur de la maladie et que son test soit positif est égal à $0,36$.
    $\quad$
    c. $\left(M,\conj{M}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}
    p(T)&=p(M)\times p_M(T)+p\left(\conj{M}\right)\times p_{\conj{M}}(T)\\
    &=0,36+0,6\times 0,15\\
    &=0,45\end{align*}$
    La probabilité que le test du chat soit positif est égale à $0,45$.
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_T(M)&=\dfrac{p(T\cap M)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,36}{0,45} \\
    &=0,8\end{align*}$
    La probabilité que le chat soit porteur de la maladie sachant que le test est positif est égale à $0,8$.
    $\quad$

  2. a. On effectue $20$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $T$ et $\conj{T}$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n=20$ et $p=0,45$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(X=5)&=\dbinom{20}{5}0,45^5\times 0,55^{15} \\
    &\approx 0,036\end{align*}$
    La probabilité qu’il y ait dans l’échantillon exactement $5$ chats présentant un test positif est environ égale à $0,036$.
    $\quad$
    c. On veut calculer $p(X\pp 8) \approx 0,414$ d’après la calculatrice.
    La probabilité qu’il y ait dans l’échantillon au plus $8$ chats présentant un test positif est environ égale à $0,414$.
    $\quad$
    d. $E(X)=np=9$.
    En moyenne, $9$ chats présentent un test positif dans un échantillon de $20$ chats.
    $\quad$
  3. a. On effectue $n$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $T$ et $\conj{T}$.
    La variable $Y$ donnant le nombre de chats présentant un test positif suit donc la loi binomiale de paramètre $n$ et $p=0,45$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} p_n&=p(Y\pg 1) \\
    &=1-p(Y=0)\\
    &=1-0,55^n\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le programme renvoie le plus petit entier naturel $n$ tel que $p_n\pg 0,99$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*}
    p_n\pg 0,99 &\ssi 1-0,55^n \pg 0,99 \\
    &\ssi -0,55^n \pg -0,01 \\
    &\ssi 0,55^n \pp 0,01 \\
    &\ssi n\ln(0,55) \pp \ln(0,01) \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,55)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,55)}\approx7,7$
    Le programme renverra donc la valeur $8$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Il semblerait que $\dfrac{4}{u_n}=n+4$.
    $\quad$
  2. Initialisation : On a $u_0=1>0$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    Ainsi $4u_n >0$ et $u_n+4>4>0$.
    Par conséquent $u_{n+1}>0$ en tant que quotient de nombres strictement positifs.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout $n\in \N$, on a $u_n >0$.
    $\quad$
  3. Pour tout $n\in \N$.
    $\begin{align*}
    u_{n+1}-u_n&=\dfrac{4u_n}{u_n+4}-u_n\\
    &=\dfrac{4u_n-\left(u_n^2+4u_n\right)}{u_n+4}\\
    &=\dfrac{-u_n^2}{u_n+4}\\
    &<0\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
  4. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $0$. Elle est par conséquent convergente.
    $\quad$
  5. Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\dfrac{4}{~~\dfrac{4u_n}{u_n+4}~~}-\dfrac{4}{u_n} \\
    &=\dfrac{4\left(u_n+4\right)}{4u_n}-\dfrac{4}{u_n}\\
    &=\dfrac{u_n+4}{u_n}-\dfrac{4}{u_n}\\
    &=\dfrac{u_n}{u_n}\\
    &=1\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $1$ et de premier terme $v_0=4$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=4+n$.
    $\quad$
  6. Pour tout entier naturel $n$ on a donc
    $\begin{align*} v_n=\dfrac{4}{u_n}&\ssi 4+n=\dfrac{4}{u_n} \\
    &\ssi u_n=\dfrac{4}{4+n}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} 4+n=0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
    $\quad$

 

 

Ex A

Exercice A

Partie I

  1. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=1$.
    $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} x^2=0^+$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{\ln(x)}{x^2}=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} h(x)=-\infty$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} h'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x^2-2x\ln(x)}{x^4} \\
    &=\dfrac{x-2x\ln(x)}{x^4} \\
    &=\dfrac{1-2\ln(x)}{x^3}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Le signe de $h'(x)$ sur $]0;+\infty[$ ne dépend donc que de celui de $1-2\ln(x)$.
    Or $1-2\ln(x)=0 \ssi \ln(x)=\dfrac{1}{2} \ssi x=\e^{1/2}$
    Et $1-2\ln(x)>0 \ssi -2\ln(x)>-1\ssi \ln(x)<\dfrac{1}{2} \ssi x<\e^{1/2}$
    Ainsi $h'(x) >0$ sur $\left]0;\e^{1/2}\right[$ et $h'(x)<0$ sur $\left]\e^{1/2};+\infty\right[$.
    La fonction $h$ est donc strictement croissante sur $\left]0;\e^{1/2}\right[$ et strictement décroissante sur $\left]\e^{1/2};+\infty\right[$.
    $\quad$
  4. La fonction $h$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\left]0;\e^{1/2}\right[$.
    De plus $\lim\limits_{x\to 0^+} h(x)=-\infty$ et $h\left(\e^{1/2}\right)=1+\dfrac{1}{2\e}>0$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $h(x)=0$ possède une solution sur l’intervalle $\left]0;\e^{1/2}\right[$.
    $\quad$
    La fonction $h$ est strictement décroissante sur $\left]\e^{1/2};+\infty\right[$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=0$.
    Par conséquent $h(x)>0$ sur $\left]\e^{1/2};+\infty\right[$.
    $\quad$
    Ainsi l’équation $h(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ solution sur $]0;+\infty$.
    $\quad$
    $h\left(\dfrac{1}{2}\right) \approx -1,8<0$ et $h(1)=1>0$
    Par conséquent $h\left(\dfrac{1}{2}\right)<h(\alpha)<h(1)$.
    La fonction $h$ est strictement croissante sur $\left]0;\e^{1/2}\right[$. Donc $\dfrac{1}{2} <\alpha <1$.
    $\quad$
  5. D’après les question 3. et 4. :
    $\bullet$ $h(x)<0$ sur $]0;\alpha[$;
    $\bullet$ $h(\alpha)=0$;
    $\bullet$ $h(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    $\quad$

Partie II

  1. Pour tout $x>0$ on a
    $\begin{align*} f_1(x)-f_2(x)&=x-1-\dfrac{\ln(x)}{x^2}-\left(x-2-\dfrac{2\ln(x)}{x^2} \right)\\
    &=x-1-\dfrac{\ln(x)}{x^2}-x+2+\dfrac{2\ln(x)}{x^2} \\
    &=1+\dfrac{\ln(x)}{x^2}\\
    &=h(x)\end{align*}$
    $\quad$
  2. L’équation $h(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$.
    Les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ n’ont donc qu’un seul point d’intersection d’abscisse $\alpha$
    $h(\alpha)=0 \ssi \dfrac{\ln(\alpha}{\alpha^2}=-1$
    Ainsi $f_1(\alpha)=\alpha-1-\dfrac{\ln(\alpha}{\alpha^2}=\alpha$.
    Le point d’intersection des courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ a donc pour coordonnées $(\alpha;\alpha)$.
    D’après la question I.5., $\mathcal{C}_1$ est au-dessous de $\mathcal{C}_2$ sur $]0;+\alpha[$ et au-dessus de $\mathcal{C}_2$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    $\quad$

Ex B

Partie I

  1. La fonction $f$ semble strictement croissante sur $]-\infty;-1]$ et strictement décroissante sur $[-1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ semble concave sur $]-\infty;0]$ et convexe sur $[0;+\infty[$
    $\quad$

Partie II

  1. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f(x)&=(x+2)\e^{-x} \\
    &=x\e^{-x}+2\e^{-x} \\
    &=\dfrac{x}{\e^x}+2\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
    Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{\e^x}=0$
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
    La droite d’équation $y=0$ est donc asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^{-x}+(x+2)\times \left(-\e^{-x}\right) \\
    &=(1-x-2)\e^{-x} \\
    &=(-x-1)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x-1$.
    Or $-x-1=0 \ssi x=-1$ et $-x-1>0 \ssi -x>1 \ssi x<-1$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :


    $\quad$
    c. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[-2;-1]$.
    De plus $f(-2) = 0<2$ et $f(-1)=\e>2$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=2$ possède une unique solution $\alpha$.
    D’après la calculatrice $\alpha \approx -1,6$.
    $\quad$

  3. $f’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=-\e^{-x}-(-x-1)\e^{-x} \\
    &=(-1+x+1)\e^{-x} \\
    &=x\e^{-x}\end{align*}$
    La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $x$.
    Ainsi :
    $\bullet$ $f\dsec(x)<0$ sur $]-\infty;0[$;
    $\bullet$ $f\dsec(0)=0$;
    $\bullet$ $f\dsec(x)>0$ sur $]0;+\infty[$.
    La fonction $f$ est donc concave sur $]-\infty;0]$ et convexe sur $[0;+\infty[$.
    Le point $A$, d’abscisse $0$, est un point d’inflexion pour la courbe $\mathcal{C}$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère :

  • La droite $\mathcal{D}$ passant par les points $A(1 ; 1 ;-2)$ et $B(-1 ; 3 ; 2)$.
  • La droite $\mathcal{D}’$ de représentation paramétrique : $\left\{\begin{array}{l}x=-4+3 t \\ y=6-3 t \\ z=8-6 t\end{array}\right. \quad \text { avec } t \in \R $.
  • Le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne $x+m y-2 z+8=0$ où $m$ est un nombre réel.

Question 1 : Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\mathcal{D}’$ ?
a. $M_{1}(-1 ; 3 ;-2)$
b. $M_{2}(11 ;-9 ;-22)$
c. $M_{3}(-7 ; 9 ; 2)$
d. $M_{4}(-2 ; 3 ; 4)$
$\quad$

Question 2 : Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}’$ est:
a. $\vect{u_{1}}\begin{pmatrix}-4 \\ 6 \\ 8\end{pmatrix}$
b. $\vect{u_{2}}\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 6\end{pmatrix}$
c. $\vect{u_{3}}\begin{pmatrix}3 \\ -3 \\ -6\end{pmatrix}$
d. $\vect{u_{4}}\begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix}$
$\quad$

Question 3 : Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}’$ sont:
a. sécantes
b. strictement parallèles
c. non coplanaires
d. confondues
$\quad$

Question 4 : La valeur du réel $m$ pour laquelle la droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ est:
a. $m=-1$
b. $m=1$
c. $m=5$
d. $m=-2$
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 6 points

Dans cet exercice, les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.
La leucose féline est une maladie touchant les chats; elle est provoquée par un virus. Dans un grand centre vétérinaire, on estime à $40 \%$ la proportion de chats porteurs de la maladie. On réalise un test de dépistage de la maladie parmi les chats présents dans ce centre vétérinaire. Ce test possède les caractéristiques suivantes.

  • Lorsque le chat est porteur de la maladie, son test est positif dans $90 \%$ des cas.
  • Lorsque le chat n’est pas porteur de la maladie, son test est négatif dans $85 \%$ des cas.

On choisit un chat au hasard dans le centre vétérinaire et on considère les événements suivants:

  • $M$ : « Le chat est porteur de la maladie » ;
  • $T$ : « Le test du chat est positif » ;
  • $\conj{M}$ et $\conj{T}$ désignent les événements contraires des événements $M$ et $T$ respectivement.
  1. a. Traduire la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que le chat soit porteur de la maladie et que son test soit positif.
    $\quad$
    c. Montrer que la probabilité que le test du chat soit positif est égale à $0,45$.
    $\quad$
    d. On choisit un chat parmi ceux dont le test est positif. Calculer la probabilité qu’il soit porteur de la maladie.
    $\quad$
  2. On choisit dans le centre vétérinaire un échantillon de $20$ chats au hasard. On admet que l’on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.
    On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de chats présentant un test positif dans l’échantillon choisi.
    a. Déterminer, en justifiant, la loi suivie par la variable aléatoire $X$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité qu’il y ait dans l’échantillon exactement $5$ chats présentant un test positif.
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité qu’il y ait dans l’échantillon au plus $8$ chats présentant un test positif.
    $\quad$
    d. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on choisit un échantillon de $n$ chats dans le centre, qu’on assimile encore à un tirage avec remise. On note $p_{n}$ la probabilité qu’il y ait au moins un chat présentant un test positif dans cet échantillon.
    a. Montrer que $p_{n}=1-0,55^{n}$.
    $\quad$
    b. Décrire le rôle du programme ci-dessous écrit en langage Python, dans lequel la variable $\text{n}$ est un entier naturel et la variable $\text{P}$ un. nombre réel.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \hspace {1cm} \textbf{def seuil} ():\\
    \hspace {1.5 cm} \text{n = 0} \\
    \hspace {1.5 cm} \text{P = 0}\\
    \hspace {1.5 cm} \textbf {while }\text{P < 0.99:} \\
    \hspace {2 cm}\text{n = n + 1}\\
    \hspace {2 cm}\text{P = 1 – 0.55**n}\\
    \hspace {1.5 cm}\textbf{return }\text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. Déterminer, en précisant la méthode employée, la valeur renvoyée par ce programme.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $: u_{0}=1$ et, pour tout entier naturel $n$,
$$u_{n+1}=\dfrac{4 u_{n}}{u_{n}+4}$$

  1. La copie d’écran ci-dessous présente les valeurs, calculées à l’aide d’un tableur, des termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ pour $n$ variant de $0$ à $12$, ainsi que celles du quotient $\dfrac{4}{u_{n}}$ (avec, pour les valeurs de $u_{n}$, affichage de deux chiffres pour les parties décimales).
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline n & u_{n} & \dfrac{4}{u_{n}} \\
    \hline 0 & 1,00 & 4 \\
    \hline 1 & 0,80 & 5 \\
    \hline 2 & 0,67 & 6 \\
    \hline 3 & 0,57 & 7 \\
    \hline 4 & 0,50 & 8 \\
    \hline 5 & 0,44 & 9 \\
    \hline 6 & 0,40 & 10 \\
    \hline 7 & 0,36 & 11 \\
    \hline 8 & 0,33 & 12 \\
    \hline 9 & 0,31 & 13 \\
    \hline 10 & 0,29 & 14 \\
    \hline 11 & 0,27 & 15 \\
    \hline 12 & 0,25 & 16 \\
    \hline
    \end{array}$$
    À l’aide de ces valeurs, conjecturer l’expression de $\dfrac{4}{u_{n}}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    Le but de cet exercice est de démontrer cette conjecture (question 5.), et d’en déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ (question 6.).
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $: u_{n}>0$.
    $\quad$
  3. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  4. Que peut-on conclure des questions 2. et 3. concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
    $\quad$
  5. On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_{n}=\dfrac{4}{u_{n}}$.
    Démontrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.
    En déduire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_{n}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  6. Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
    En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
    $\quad$

$\quad$

EXERCICE au choix du candidat     5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés dans chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

$\quad$

Exercice A

Principaux domaines abordés:

  • Fonction logarithme;
  • dérivation.

Partie I

On désigne par $h$ la fonction définie sur l’intervalle $] 0 ;+\infty[$ par :
$$h(x)=1+\dfrac{\ln (x)}{x^{2}}$$
On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ et on note $h’$ sa fonction dérivée.

  1. Déterminez les limites de $h$ en $0$ et en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de $] 0 ;+\infty[$, h'(x)=\dfrac{1-2 \ln (x)}{x^{3}}$.
    $\quad$
  3. En déduire les variations de la fonction $h$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$
    $\quad$
  4. Montrer que l’équation $h(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à $] 0 ;+\infty[$ et vérifier que : $\dfrac{1}{2}<\alpha<1$.
    $\quad$
  5. Déterminer le signe de $h(x)$ pour $x$ appartenant à $] 0 ;+\infty[$.
    $\quad$

 

Partie II

On désigne par $f_{1}$ et $f_{2}$ les fonctions définies sur $] 0 ;+\infty[$ par :
$$
f_{1}(x)=x-1-\dfrac{\ln (x)}{x^{2}} \text { et } \quad f_{2}(x)=x-2-\dfrac{2 \ln (x)}{x^{2}}$$
On note $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ les représentations graphiques respectives de $f_{1}$ et $f_{2}$ dans un repère $\Oij$.

  1. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $] 0 ;+\infty[$, on a :
    $$f_{1}(x)-f_{2}(x)=h(x)$$
    $\quad$
  2. Déduire des résultats de la Partie I la position relative des courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2} .$ On justifiera que leur unique point d’intersection a pour coordonnées $(\alpha ; \alpha)$.
    On rappelle que $\alpha$ est l’unique solution de l’équation $h(x)=0$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés :

  • Fonction exponentielle;
  • dérivation;
  • convexité.

PARTIE I

On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la fonction dérivée $f’$ d’une fonction $f$ dérivable sur $\R$. À l’aide de cette courbe, conjecturer, en justifiant les réponses:

  1. Le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. La convexité de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$

$\quad$

PARTIE II

On admet que la fonction $f$ mentionnée dans la Partie I est définie sur $\R$ par : $$f(x)=(x+2) \e^{-x}$$
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\Oij$.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$, et on note $f’$ et $f\dsec$ les fonctions dérivées première et seconde de $f$ respectivement.

  1. Montrer que, pour tout nombre réel $x$, $$
    f(x)=\dfrac{x}{\e^{x}}+2 \e^{-x}$$
    En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
    Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l’on précisera. On admet que $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que, pour tout nombre réel $x, f'(x)=(-x-1) \e^{-x}$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations sur $\R$ de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations.
    $\quad$
    c. Montrer que l’équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[-2 ;-1]$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
    $\quad$
  3. Déterminer, pour tout nombre réel $x$, l’expression de $f\dsec(x)$ et étudier la convexité de la fonction $f$. Que représente pour la courbe $\mathcal{C}$ son point $A$ d’abscisse $0$ ?
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 1 – juin 2021

Métropole – juin 2021

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ puisque $f\dsec$ existe.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\e^{2x}\times x-\e^{2x}}{x^2} \\
    &=\dfrac{(2x-1)\e^{2x}}{x^2}\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x-1$.
    Or $2x-1>0 \ssi x>\dfrac{1}{2}$
    Par conséquent $f$ est strictement décroissante sur $\left]0;\dfrac{1}{2}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    Elle admet donc un minimum en $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait répondre à cette question en traçant la courbe représentant la fonction sur la calculatrice.
    $\quad$
    Réponse c
    $\quad$
  3. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{2x}}{x}=+\infty$
    Réponse a
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x^2-2x+1$.
    Son discriminant est :
    $\Delta=(-2)^2-2\times 4\times 1=-4<0$.
    Le coefficient principal est $a=2>0$.
    Par conséquent $f\dsec(x)>0$ sur $]0;+\infty[$ et $f$ est convexe sur $]0;+\infty[$.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

PARTIE I

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(D\cap T)&=p(D)\times p_D(T)\\
    &=0,05\times 0,98\\
    &=0,049\end{align*}$
    La probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans la production de la
    chaîne soit défectueuse et présente un test positif est égale à $0,049$.
    $\quad$
    b. $D$ et $\conj{D}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}
    p(T)&=p(D)\times p_D(T)+p\left(\conj{D}\right)\times p_{\conj{D}}(T)\\
    &=0,05\times 0,98+0,95\times 0,03\\
    &=0,077~5\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_T(D)&=\dfrac{p(T\cap D)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,049}{0,077~5}\\
    &\approx 0,63\end{align*}$
    La valeur prédictive positive de ce test est environ égale à $0,63<0,95$.
    Ce test n’est donc pas efficace.
    $\quad$

PARTIE II

  1. On effectue $20$ tirages aléatoires, indépendants et identiques. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $D$ et $\conj{D}$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n=20$ et $p=0,05$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
    &=1-0,95^{20} \\
    &\approx 0,64\end{align*}$
    La probabilité pour que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse est environ égale à $0,64$.
    $\quad$
  3. L’espérance est $E(X)=20 \times 0,05=1$.
    Cela signifie qu’en moyenne il y a une pièce défectueuse par échantillon de $20$ pièces.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

I – Premier modèle

$1,3-(-19)=20,3$. Cela signifie qu’à chaque minute la température augmente de $2,03$ °C.
Au bout de $25$ minutes, selon ce modèle, la température des gâteaux serait donc de $-19+25\times 2,03=31,75$ °C.
La température ambiante est de $25$ °C. Les gâteaux ne peuvent pas avoir une température supérieure à la température ambiante.
Ce modèle n’est donc pas pertinent.
$\quad$

II – Second modèle 

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} T_{n+1}&=T_n-0,06\left(T_n-25\right) \\
    &=T_n-0,06T_n+1,5\\
    &=0,94T_n+1,5\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a donc $T_1=0,94\times (-19)+1,5\approx -16,4$
    $T_2=0,94 \times T_1+1,5 \approx -13,9$
    $\quad$
  3. Initialisation : Si $n=0$ alors $T_0=-19 \pp 25$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    $\begin{align*} T_{n+1}&=0,94T_n+1,5\\
    &\pp 0,94 \times 25+1,5 \\
    &\pp 25\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$, on a $T_n\pp 25$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1}-T_n=-0,06\times \left(T_n-25\right)$
    Or $T_n-25 \pp 0$. Donc $T_{n+1}-T_n\pg 0$.
    La suite $\left(T_n\right)$ est par conséquent croissante.
    $\quad$
  5. La suite $\left(T_n\right)$ est croissante et majorée par $25$. Elle est donc convergente.
    $\quad$
  6. a. Pour tout entier naturel $n$ on a
    $\begin{align*} U_{n+1}&=T_{n+1}-25 \\
    &=0,94T_n+1,5-25 \\
    &=0,94T_n-23,5 \\
    &=0,94\left(U_n+25\right)-23,5 \\
    &=0,94U_n+23,5-23,5\\
    &=0,94U_n\end{align*}$
    La suite $\left(U_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,94$ et de premier terme $U_0=T_0-25=-44$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $U_n=-44 \times 0,94^n$.
    Donc $T_n=U_n+25=-44\times 0,94^n+25$.
    $\quad$
    c. $-1<0,94<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,94^n =0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} T_n=25$.
    $\quad$
  7. a. On a $T_{30}\approx 18$.
    La température des gâteaux est donc environ égale à $18$ °C au bout d’une demi-heure.
    $\quad$
    b. À l’aide de la calculatrice on trouve que $T_{17} \approx 9,6$ et $T_{18} \approx 10,6$. De plus la suite $\left(T_n\right)$ est croissante.
    Cécile doit donc attendre entre $17$ et $18$ minutes pour déguster son gâteau.
    $\quad$
    c. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{def seuil}(): \\
    \hspace{1.5cm} \text{n = 0} \\
    \hspace{1.5cm} \text{T = -19} \\
    \hspace{1.5cm} \textbf{while } \text{T < 10} : \hspace{1cm} \\
    \hspace{2cm} \text{T = 0.94 * T + 1.5}  \\
    \hspace{2cm} \text{n = n + 1}\\
    \hspace{1.5cm} \textbf{return } n \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

 

 

Ex A

Exercice A

  1. La droite $d$ a pour vecteur directeur le vecteur $\vec{u}$ et passe par le point $0$.
    Une représentation paramétrique de la droite $d$ est donc $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=0\end{cases} \quad, t\in \R$.
    $\quad$
  2. a. On a
    $\begin{align*} AM^2&=(t-1)^2+(t-3)^2+2^2 \\
    &=t^2-2t+1+t^2-6t+9+4\\
    &=2t^2-8t+14\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le coefficient principal de l’expression du second degré $2t^2-8t+14$ est $2>0$.
    Elle admet donc un minimum atteint pour $t=\dfrac{8}{2\times 2}=2$.
    Ainsi le point $M_0(2;2;0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel $AM^2$ est minimal et donc pour lequel la distance $AM$ est minimale.
    $\quad$
  3. $\vect{AM_0}\begin{pmatrix} 1\\-1\\2\end{pmatrix}$
    Donc $\vect{AM_0}.\vec{u}=1-1+0=0$
    Ces deux vecteurs sont donc orthogonaux et les droites $\left(AM_0\right)$ et $d$ sont orthogonales.
    $\quad$
  4. Le vecteur $\vec{u}$ est orthogonal au plan d’équation $z=0$. Les points $A’$ et $M_0$ appartiennent à ce plan. Par conséquent $\vec{u}.\vect{A’M_0}=0$.
    Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal aux vecteurs (non colinéaires) $\vect{A’M_0}$ et $\vect{AM_0}$.
    La droite $d$ est par conséquent orthogonale au plan $\left(AA’M_0\right)$.
    $M_0$ appartient à la droite $d$, droite qui passe par le point $O$..
    Le point $M_0$ est le point du plan $\left(AA’M_0\right)$ le plus proche du point $O$.
    $\quad$
  5. On a $AA’=2$ et $M_0A’=\sqrt{(2-1)^2+(2-3)^2+0^2}=\sqrt{2}$.
    De plus $OM_0=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$
    Ainsi le volume de la pyramide $OM_0A’A$ est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2\times \sqrt{2}}{2}\times \sqrt{8} \\
    &=\dfrac{4}{3}\end{align*}$
    $\quad$

Ex B

Exercice B

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} u'(x)&=2x\e^x+x^2\times \e^x \\
    &=2x\e^x+u(x)\end{align*}$
    Par conséquent $u$ est une solution particulière de $(E)$.
    $\quad$
  2. a. Si $f $est solution de l’équation différentielle $(E)$ alors $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$ et
    $\begin{align*} g'(x)&=f'(x)-u'(x) \\
    &=f(x)+2x\e^x-\left(u(x)+2x\e^x\right) \\
    &=f(x)+2x\e^x-u(x)-2x\e^x\\
    &=f(x)-u(x)\\
    &=g(x) \end{align*}$
    $g$ est donc solution de l’équation différentielle $y’=y$.
    $\quad$
    b. Une solution de l’équation $y’=y$ est la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\e^x$.
    Ainsi, pour tout réel $x$,
    $\begin{align*} f(x)&=g(x)+u(x) \\
    &=\e^x+x^2\e^x\end{align*}$
    $\quad$
  3. Étude de la fonction $\boldsymbol{u}$
    a. et b. Pour tout réel $x$, on a d’après les calculs faits à la question 1.,  $u'(x)=(2+x)x\e^x$.
    Or $2+x=0 \ssi x=-2$ et $2+x>0 \ssi x>-2$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :
    $\quad$
    c. $u’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=2x\e^x+x^2\e^x$ donc
    $\begin{align*} u\dsec(x)&=2\e^x+2x\e^x+2x\e^x +x^2\e^x \\
    &=\left(2+4x+x^2\right)\e^x \end{align*}$
    Le signe de $u\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $x^2+4x+2$.
    Son discriminant est $\Delta=4^2-2\times 4=8>0$.
    Ses racines sont donc $x_1=\dfrac{-4-\sqrt{8}}{2}=-2-\sqrt{2}$ et $x_2=-2+\sqrt{2}$.
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Par conséquent $u\dsec(x)<0$ sur $\left]-2-\sqrt{2};-2+\sqrt{2}\right[$.
    Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $u$ est concave est $\left[-2-\sqrt{2};-2+\sqrt{2}\right]$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$ par:
$$f(x)=\dfrac{\e^{2 x}}{x}$$
On donne l’expression de la dérivée seconde $f\dsec$ de $f$, définie sur l’intervalle $] 0 ;+\infty[$ par:
$$f\dsec(x)=\dfrac{2 \e^{2 x}\left(2 x^{2}-2 x+1\right)}{x^{3}}$$

  1. La fonction $f’$, dérivée de $f$, est définie sur l’intervalle $] 0 ;+\infty[$ par ;
    a. $f'(x)=2 e^{2 x}$
    b. $f'(x)=\dfrac{\e^{2 x}(x-1)}{x^{2}}$
    c. $f'(x)=\dfrac{\e^{2 x}(2 x-1)}{x^{2}}$
    d. $f'(x)=\dfrac{\e^{2 x}(1+2 x)}{x^{2}}$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ :
    a. est décroissante sur $] 0 ;+\infty[$
    b. est monotone sur $] 0 ;+\infty[$
    c. admet un minimum en $\dfrac{1}{2}$
    d. admet un maximum en $\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  3. La fonction $f$ admet pour limite en $+\infty$ :
    a. $+\infty$
    b. $0$
    c. $1$
    d. $\e^{2 x}$
    $\quad$
  4. La fonction $f$ :
    a. est concave sur $] 0$; $+\infty[$
    b. est convexe sur $] 0 ;+\infty[$
    c. est concave sur $\left] 0 ; \dfrac{1}{2}\right]$
    d. est représentée par une courbe admettant un point d’inflexion
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que $5\%$ des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.

Un ingénieur a mis au point un test à appliquer aux pièces. Ce test a deux résultats possibles: « positif » ou bien « négatif ».

On applique ce test à une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne.

On note $p(E)$ la probabilité d’un événement $E$.

On considère les événements suivants:

  •  $D$ : « la pièce est défectueuse »;
  •  $T$ : « la pièce présente un test positif »;
  •  $\conj{D}$ et $\conj{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $D$ et $T$.

Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :

  • La probabilité qu’une pièce présente un test positif sachant qu’elle défectueuse est égale à $0,98$ ;
  • La probabilité qu’une pièce présente un test négatif sachant qu’elle n’est pas défectueuse est égale à $0,97$ .

Les parties I et II peuvent être traitées de façon indépendante.

PARTIE I

  1. Traduire la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. a. Déterminer la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne soit défectueuse et présente un test positif.
    $\quad$
    b. Démontrer que : $p(T)=0,077~5$.
    $\quad$
  3. On appelle valeur prédictive positive du test la probabilité qu’une pièce soit défectueuse sachant que le test est positif. On considère que pour être efficace, un test doit avoir une valeur prédictive positive supérieure à $0,95$ . Calculer la valeur prédictive positive de ce test et préciser s’il est efficace.
    $\quad$

PARTIE II

On choisit un échantillon de $20$ pièces dans la production de la chaîne, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon. On rappelle que: $p(D)=0,05$.

  1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de cette loi.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse. On donnera un résultat arrondi au centième.
    $\quad$
  3. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat obtenu.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 6     6 points

Cécile a invite des amis à déjeuner sur sa terrasse. Elle a prévu en dessert un assortiment de gâteaux individuels qu’elle a achetés surgelés.

Elle sort les gâteaux du congélateur à $-19$ °C et les apporte sur la terrasse ou la température ambiante est de $25$ °C.

Au bout de $10$ minutes la température des gâteaux est de $1,3$ °C.

I – Premier modèle

On suppose que la vitesse de décongélation est constante, c’est-à-dire que l’augmentation de la température des gâteaux est la même minute après minute.

Selon ce modèle, déterminer quelle serait la température des gâteaux $25$ minutes après leur sortie du congélateur.

Ce modèle semble-t-il pertinent?
$\quad$

II – Second modèle

On note $T_{n}$ la température des gâteaux, en degré Celsius, au bout de $n$ minutes après leur sortie du congélateur; ainsi $T_{0}=-19$.

On admet que pour modéliser L’évolution de la température, an doit avoir la relation suivante:
pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1}-T_{n}=-0,06 \times\left(T_{n}-25\right)$.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a: $T_{n+1}=0,94 T_{n}+1,5$.
    $\quad$
  2. Calculer $T_{1}$ et $T_{2}$. On donnera des valeurs arrondies au dixième.
    $\quad$
  3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_{n} \pp 25$. En revenant a la situation étudiée, ce résultat était-il prévisible?
    $\quad$
  4. Etudier le sens de variation de la suite $\left(T_{n}\right)$.
    $\quad$
  5. Démontrer que la suite $\left(T_{n}\right)$ est convergente.
    $\quad$
  6. On pose, pour tout entier naturel $n, U_{n}=T_{n}-25$.
    a. Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $U_{0}$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n, T_{n}=-44 \times 0,94^{n}+25$.
    $\quad$
    c. En déduire la limite de la suite $\left(T_{n}\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de la situation étudiée.
    $\quad$
  7. a. Le fabricant conseille de consommer les gâteaux au bout d’une demi-heure a température ambiante après leur sortie du congélateur. Quelle est alors la température atteinte par les gâteaux? On donnera une valeur arrondie à l’entier le plus proche.
    $\quad$
    b. Cécile est une habituée de ces gâteaux, qu’elle aime déguster lorsqu’ils sont encore frais, a la température de $10$ °C. Donner un encadrement entre deux entiers consécutifs du temps en minutes après lequel Cécile doit déguster son gâteau.
    $\quad$
    c. Le programme suivant, écrit en langage Python, doit renvoyer après son exécution la plus petite valeur de l’entier $n$ pour laquelle $T_{n} \pg  10$.$$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{def seuil}(): \\
    \hspace{1.5cm} \text{n = 0} \\
    \hspace{1.5cm} \text{T = } \ldots\ldots \\
    \hspace{1.5cm} \textbf{while } \text{T }\ldots\ldots : \hspace{1cm} \\
    \hspace{2cm} \text{T = } \ldots\ldots \\
    \hspace{2cm} \text{n = n + 1}\\
    \hspace{1.5cm} \textbf{return } n \\
    \hline
    \end{array}$$Recopier ce programme sur la copie et compléter les lignes incomplètes afin que le programme renvoie la valeur attendue.
    $\quad$

$\quad$

Exercice au chois du candidat     5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
II indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer le choix, les principaux domaines abordés sont indiqués en début de chaque exercice.

Exercice A

Principaux domaines abordés:

  • Géométrie de l’espace rapporté à un repère orthonormé;
  • orthogonalité dans l’espace.

Dans un repère $Oikj$ on considère :

  • le point $A$ de coordonnées $(1 ; 3 ; 2)$,
  • le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$,
  • la droite $d$ passant par l’origine $O$ du repère et admettant pour vecteur directeur $\vec{u}$.

 

Le but de cet exercice est de déterminer le point de $d$ le plus proche du point $A$ et d’étudier quelques propriétés de ce point.

On pourra s’appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
    $\quad$
  2. Soit $t$ un nombre réel quelconque, et $M$ un point de la droite $d$, le point $M$ ayant pour coordonnées $(t ; t ; 0)$.
    a. On note $AM$ la distance entre les points $A$ et $M$. Démontrer que :$$AM^2=2 t^{2}-8 t+14$$
    $\quad$
    b. Démontrer que le point $M_0$ de coordonnées $(2 ; 2 ; 0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel la distance $AM$ est minimale. On admettra que la distance $AM$ est minimale lorsque son carré $AM^2$ est minimal.
    $\quad$
  3. Démontrer que les droites $\left(AM_0\right)$ et $d$ sont orthogonales.
    $\quad$
  4. On appelle $A’$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan d’équation cartésienne $z=0$. Le point $A’$ admet donc pour coordonnées $(1 ; 3 ; 0)$.
    Démontrer que le point $M_0$ est le point du plan $\left(AA’M_0\right)$ le plus proche du point $O$, origine du repère.
    $\quad$
  5. Calculer le volume de la pyramide $OM_0A’A$.
    On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par: $V=\dfrac{1}{3} \mathcal{B} h$, où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.
    $\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés:

  • Équations différentielles;
  • fonction exponentielle.

On considère l’équation différentielle $(E): y’=y+2 x \e^{x}$.

On cherche l’ensemble des fonctions définies et dérivables sur l’ensemble $\R$ des nombres réels qui sont solutions de cette équation.

  1. Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par $u(x)=x^{2} \e^{x}$. On admet que $u$ est dérivable et on note $u’$ sa fonction dérivée. Démontrer que $u$ est une solution particulière de $(E)$.
    $\quad$
  2. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par :$$g(x)=f(x)-u(x)$$
    a. Démontrer que si la fonction $f$ est solution de l’équation différentielle $(E)$ alors la fonction $g$ est solution de l’équation différentielle : $y’=y$. On admet que la réciproque de cette propriété est également vraie.
    $\quad$
    b. À l’aide de la résolution de l’équation différentielle $y’=y$, résoudre l’équation différentielle $(E)$.
    $\quad$
  3. Étude de la fonction $\boldsymbol{u}$
    a. Étudier le signe de $u'(x)$ pour $x$ variant dans $\R$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variations de la fonction $u$ sur $\R$ (les limites ne sont pas demandées).
    $\quad$
    c. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $u$ est concave.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – mai 2021

Amérique du Nord – Mars 2021

Spécialité maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. $\left(D,\conj{D}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}
    P(T)&=P(D)\times P_D(T)+P\left(\conj{D}\right)\times P_{\conj{D}}(T)\\
    &=0,08\times 0,98+0,92\times 0,005\\
    &=0,083\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On veut calculer
    $\begin{align*} P_T(D)&=\dfrac{P(T\cap D)}{P(T)}\\
    &=\dfrac{0,08\times 0,98}{0,083}\\
    &\approx 0,945\end{align*}$
    La probabilité qu’un athlète soit dopé sachant qu’il présente un test positif est environ égale à $0,945$.
    $\quad$
    b. $0,945<0,95$. Le test proposé par le laboratoire ne sera donc pas commercialisé.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On effectue $5$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : « le test est positif », de probabilité $0,103$ et « le test est négatif ».
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,103$.
    $\quad$
    b. Ainsi, $E(X)=np=0,515$.
    En moyenne, sur $5$ athlètes testés, environ $0,5$ est positif. Cela peut se traduire par sur $10$ athlètes testés, environ $1$ est positif.
    $\quad$
    c. On veut calculer
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-(1-0,103)^5 \\
    &\approx 0,419\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins un des $5$ athlètes contrôlés présente un test positif est environ égale à $0,419$.
    $\quad$
  2. On appelle $n$ le nombre d’athlètes contrôlés et note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre d’athlètes présentant un test
    positif parmi les $n$ athlètes contrôlés. Pour les mêmes raisons qu’à la question 1. $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,103$.
    On veut
    $\begin{align*} P(Y\pg 1)\pg 0,75& \ssi 1-P(Y=0)\pg 0,75 \\
    &\ssi 1-(1-0,103)^n \pg 0,75 \\
    &\ssi 0,897^n \pp 0,25\\
    &\ssi n\ln(0,897) \pp \ln(0,25) \qquad \text{($\ln$ est strictement décroissante sur $\R$)}\\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,897)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,897)}\approx 12,75$
    Il faut donc contrôler au minimum $13$ personnes pour que la probabilité de l’événement « au moins un athlète contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à $0,75$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. $u_1=0,75\times 0,6\times (1-0,15\times 0,6)=0,409~5$
    Il y avait donc $410$ individus sur l’île au début de l’année 2021.
    $u_2=0,75\times 0,409~5\times (1-0,15\times 0,409~5)\approx 0,288$
    Il y avait donc $288$ individus sur l’île au début de l’année 2021.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x\in [0;1]$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=0,75(1-0,15x)-0,75x\times 0,15 \\
    &=0,75-0,225x\end{align*}$
    Or $0,75-0,225x>0 \ssi 0,75>0,225x\ssi \dfrac{10}{3}>x$
    Par conséquent $f'(x)>0$ sur $[0;1]$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;1]$.
    $\quad$
    On obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi 0,75x(1-0,15x)=x \\
    &\ssi 0,75x(1-0,15x)-x=0 \\
    &\ssi x\left(0,75(1-0,15x)-1\right)=0\\
    &\ssi x(0,75-0,112~5x-1)=0\\
    &\ssi x(-0,25-0,112~5x)=0\\
    &\ssi x=0 \text{ ou } -0,25-0,112~5x=0 \\
    &\ssi x=0 \text{ ou } x=-\dfrac{20}{9} \end{align*}$
    Or $-\dfrac{20}{9} \notin [0;1]$
    $0$ est donc la seule solution appartenant à $[0;1]$ de l’équation $f(x)=x$.
    $\quad$
  4. a. Initialisation : $u_0=0,6$ et $u_1=0,409~5$.
    Par conséquent $0\pp u_1 \pp u_0\pp 1$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    Donc $0\pp u_{n+1} \pp u_n \pp 1$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$. Par conséquent :
    $f(0) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right) \pp f(1)$
    soit
    $0 \pp u_{n+2} \pp u_{n+1} \pp 0,637~5 \pp 1$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_{n+1} \pp u_n \pp 1$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $0$. Elle converge par conséquent vers un réel $\ell$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est continue (car dérivable) sur $[0;1]$. $\ell$ est donc solution de l’équation $f(x)=x$.
    D’après la question 3. $\ell =0$.
    $\quad$
  5. a. La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $0$. Selon ce modèle, le biologiste a effectivement raison.
    $\quad$
    b. La fonction menace() renvoie la valeur $11$.
    Cela signifie donc qu’il faut $11$ ans pour que l’espèce soit menacée d’extinction sur cette île selon le modèle étudié.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Les points $K$ et $H$ appartiennent au plan $(AED)$. Pour qu’une droite passant par $A$ soit parallèle à la droite $(KH)$ il faut que tous ses points appartiennent au plan $(AED)$. Or $I$ n’appartient pas à ce plan.
    Les droites $(AI)$ et $(KH)$ ne sont donc pas parallèles.
    $\quad$
  2. a. $I$ a pour coordonnées $(0,5;0;1)$ et $J$ a pour coordonnées $(1;0,5;0)$.
    $\quad$
    b. Ainsi $\vect{IJ}\begin{pmatrix}0,5\\0,5\\-1\end{pmatrix}$, $\vect{AE}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$
    On constate donc que $\vect{AC}=2\vect{AI}+2\vect{AE}$.
    Cela signifie que les vecteurs $\vect{AC}$, $\vect{AI}$ et $\vect{AE}$ sont coplanaires.
    $\quad$
  3. Un vecteur directeur de $d_1$ est $\vec{u_1}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $d_2$ est $\vec{u_2}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$.
    $\dfrac{1}{1}\neq \dfrac{1}{-2}$ : par conséquent les vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ ne sont pas colinéaires et les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
  4. Un vecteur normal au plan $P$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$.
    $\vec{n}.\vec{u_2}=1+3-4=0$.
    Les vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{u_2}$ sont donc orthogonaux.
    La droite $d_2$ est par conséquent parallèle au plan $P$.
    $\quad$
  5. $4+3\times 0-2\times 3+2=4-6+2=0$ donc $L$ appartient au plan $P$.
    $\vect{LM}\begin{pmatrix} 1\\3\\-2\end{pmatrix}=\vec{n}$.
    $\vect{LM}$ est donc normal au plan $P$.
    Par conséquent $L$ est le projeté orthogonal du point $M$ sur le plan $P$.
    $\quad$

Ex A

Exercice A

Affirmation 1 fausse:
Si $a=0$ et $b=0$ alors  :

  • $\left(\e^{a+b}\right)^2=\left(\e^0\right)^2=1^2=1$
  • $\e^{2a}+\e^{2b}=\e^0+\e^0=1+1=2$

Donc $\left(\e^{a+b}\right)^2\neq \e^{2a}+\e^{2b}$ si $a=0$ et $b=0$.

$\quad$

Affirmation 2 vraie:
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Par conséquent, pour tout réel $x$ :
$\begin{align*} f'(x)&=-\e^x+(3-x)\e^x\\
&=(-1+3-x)\e^x\\
&=(2-x)\e^x\end{align*}$
Par conséquent $f'(0)=2$ et $f(0)=-2+3=1$
Une équation de la tangente au point $A$ à la courbe représentative de la fonction $f$ est $y=f'(0)x+f(0)$ soit $y=2x+1$.

$\quad$

Affirmation 3 fausse:
Pour tout réel $x$ $\e^{2x}-\e^{x}+\dfrac{3}{x}=\e^x\left(\e^x-1\right)+\dfrac{3}{x}$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3}{x}=0$
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \left(\e^x-1\right)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x\left(\e^x-1\right)+\dfrac{3}{x}=+\infty$

$\quad$

Affirmation 4 vraie:
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;2]$ par $f(x)=1-x+\e^{-x}$.
$f$ est dérivable sur $[0;2]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x\in[0;2]$, $f'(x)=-1-\e^{-x}<0$ car la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[0;2]$.
De plus $f(0)=2>0$ et $f(2)=-1+\e^{-2}\approx -0,86<0$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution.

$\quad$

Affirmation 5 vraie:
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$, $g'(x)=2x-5+\e^x$.
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$, $g\dsec(x)=2+\e^x>0$. car la fonction exponentielle est strictement positive.
Ainsi $g$ est convexe sur $\R$.

$\quad$

Ex B

Exercice B

  1. Le point $A(1;4)$ appartient à $C_f$ donc $f(1)=4$.
    La courbe $C_f$ admet une tangente horizontale au point $A(1;4)$. Donc $f'(1)=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\dfrac{b}{x}\times x-\left(a+b\ln(x)\right)}{x^2} \\
    &=\dfrac{b-a-b\ln(x)}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. En utilisant l’expression algébrique de $f(x)$ fournie et la réponse à la question précédente on a $f(1)=a$ et $f'(1)=b-a$.
    Par conséquent $\begin{cases} a=4\\b-a=0\end{cases} \ssi \begin{cases} a=4\\b=4\end{cases}$.
    $\quad$
  4. $\lim\limits_{x\to 0^+} 4+4\ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
    Pour tout réel $x>0$,
    $f(x)=\dfrac{4}{x}+4\times \dfrac{\ln(x)}{x}$.
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{4}{x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  5. On a donc, d’après l’expression de $f'(x)$ trouvée à la question 2. $f'(x)=\dfrac{-4\ln(x)}{x^2}$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-\ln(x)$.
    Or $-\ln(x)=0 \ssi x=1$ et $-\ln(x)>0 \ssi x<1$.
    On obtient ainsi le tableau suivant :
    $\quad$
  6. Pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)=-\dfrac{4\ln(x)}{x^2}$.
    $f’$ est donc dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ :
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=-\dfrac{\dfrac{4}{x}\times x^2-4\ln(x)\times 2x}{x^4} \\
    &=-\dfrac{4x-8x\ln(x)}{x^4}\\
    &=\dfrac{-4+8\ln(x)}{x^3}\end{align*}$
    $\quad$
  7. Sur $]0;+\infty[$, le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $-4+8\ln(x)$.
    Or $-4+8\ln(x)=0\ssi \ln(x)=\dfrac{1}{2} \ssi x=\e^{1/2}$
    et $-4+8\ln(x)>0 \ssi \ln(x)>\dfrac{1}{2} \ssi x>\e^{1/2}$
    Ainsi $f\dsec{x}$ s’annule en changeant de signe en $\e^{1/2}$.
    De plus $f\left(\e^{1/2}\right)=\dfrac{4+4\times \dfrac{1}{2}}{\e^{1/2}}=6\e^{-1/2}$
    Ainsi $f$ possède un unique point d’inflexion $B$ de coordonnées $\left(\e^{1/2};6\e^{-1/2}\right)$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à $10^{-3}$.

Un laboratoire pharmaceutique vient d’élaborer un nouveau test anti-dopage.

Partie A

Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :

  • si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est $0,98$ (sensibilité du test) ;
  • si un athlète n’est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est $0,995$ (spécificité du test).

On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des participants à une compétition d’athlétisme. On
note $D$ l’événement « l’athlète est dopé » et $T$ l’événement « le test est positif ». On admet que la probabilité de l’événement $D$ est égale à $0,08$.

  1. Traduire la situation sous la forme d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Démontrer que $P(T)= 0,083$.
    $\quad$
  3. a. Sachant qu’un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité qu’il soit dopé ?
    $\quad$
    b. Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de l’événement « un athlète présentant un
    test positif est dopé » est supérieure ou égale à $0,95$.
    Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Partie B

Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu’un athlète contrôlé présente un test positif est $0,103$.

  1. Dans cette question 1., on suppose que les organisateurs décident de contrôler 5 athlètes au hasard parmi les
    athlètes de cette compétition. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d’athlètes présentant un test
    positif parmi les $5$ athlètes contrôlés.
    a. Donner la loi suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
    c. Quelle est la probabilité qu’au moins un des $5$ athlètes contrôlés présente un test positif ?
    $\quad$
  2. Combien d’athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l’événement « au moins un athlète
    contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à $0,75$ ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Un biologiste s’intéresse à l’évolution de la population d’une espèce animale sur une île du Pacifique.
Au début de l’année 2020, cette population comptait $600$ individus. On considère que l’espèce sera menacée d’extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à $20$ individus.

Le biologiste modélise le nombre d’individus par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$\begin{cases} u_0&=0,6\\u_{n+1}&=0,75u_n\left(1-0,15u_n\right)\end{cases}$$

où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre d’individus, en milliers, au début de l’année 2020 $+n$.

  1. Estimer, selon ce modèle, le nombre d’individus présents sur l’île au début de l’année 2021 puis au début
    de l’année 2022.
    $\quad$

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;1]$ par $f(x)=0,75x(1-0,15x)$.

  1. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;1]$ et dresser son tableau de variations.
    $\quad$
  2. Résoudre dans l’intervalle $[0;1]$ l’équation $f(x)=x$.
    $\quad$

On remarquera pour la suite de l’exercice que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

  1. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 \pp u_{n+1} \pp u_n \pp 1$.
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  2. Le biologiste a l’intuition que l’espèce sera tôt ou tard menacée d’extinction.
    a. Justifier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
    $\quad$
    b. Le biologiste a programmé en langage Python la fonction menace() ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def menace():}\\
    \quad \text{u = 0.6}\\
    \quad \text{n = 0}\\
    \quad \text{while u > 0.02:}\\
    \qquad \text{u = 0.75 * u * (1 – 0.15 * u)}\\
    \qquad \text{n = n + 1}\\
    \quad \text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu’on appelle la fonction menace().
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Les questions 1. à 5. de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

On considère un cube $ABCDEFGH$. Le point $I$ est le milieu du segment $[EF]$, le point $J$ est le milieu du segment $[BC]$ et le point $K$ est le milieu du segment $[AE]$.

 

  1.  Les droites $(AI)$ et $(KH)$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
    $\quad$

Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

  1. a. Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
    $\quad$
    b. Montrer que les vecteurs $\vect{IJ}$ , $\vect{AE}$ et $\vect{AC}$ sont coplanaires.
    $\quad$

On considère le plan $P$ d’équation $x+3y-2z+2=0$ ainsi que les droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques ci-dessous : $$d_1:\begin{cases} x=3+t\\y=8-2t\\z=-2+3t\end{cases}, t\in \R \quad \text{et} \quad d_2:\begin{cases} x=4+t\\y=1+t\\z=8+2t\end{cases}, t\in \R$$.

  1. Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
    $\quad$
  2. Montrer que la droite $d_2$ est parallèle au plan $P$.
    $\quad$
  3. Montrer que le point $L(4;0;3)$ est le projeté orthogonal du point $M(5;3;1)$ sur le plan $P$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat (5 points)
Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Exercice A

Principaux domaines abordés :

  • Fonction exponentielle
  • Convexité

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On justifiera chaque réponse.

Affirmation 1 : Pour tous réels $a$ et $b$, $\left(\e^{a+b}\right)^2=\e^{2a}+\e^{2b}$.
$\quad$

Affirmation 2 : Dans le plan muni d’un repère, la tangente au point $A$ d’abscisse $0$ à la courbe représentative de
la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2+(3-x)\e^x$
admet pour équation réduite $y=2x+1$.
$\quad$

Affirmation 3 : $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{2x}-\e^x+\dfrac{3}{x}=0$.
$\quad$

Affirmation 4 : L’équation $1-x+\e^{-x}=0$ admet une seule solution appartenant à l’intervalle $[0 ; 2]$.
$\quad$

Affirmation 5 : La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x^2-5x+\e^x$ est convexe.
$\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés :

  • Fonction logarithme népérien
  • Convexité

Dans le plan muni d’un repère, on considère ci-dessous la courbe $C_f$ représentative d’une fonction $f$, deux fois
dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$. La courbe $C_f$ admet une tangente horizontale $T$ au point $A(1;4)$.

  1.  Préciser les valeurs $f(1)$ et $f'(1)$.
    $\quad$

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;+\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{a+b\ln(x)}{x}$$
où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

  1. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a : $$f'(x)=\dfrac{b-a-b\ln(x)}{x^2}$$
    $\quad$
  2. En déduire les valeurs des réels $a$ et $b$.
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, on admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;+\infty[$ par :^$$f(x)=\dfrac{4+4\ln(x)}{x}$$

  1. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Déterminer le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a : $$f\dsec(x)=\dfrac{-4+8\ln(x)}{x^3}$$
    $\quad$
  4. Montrer que la courbe $C_f$ possède un unique point d’inflexion $B$ dont on précisera les coordonnées.
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – sujet 2 – Métropole – Mars 2021

Métropole – Mars 2021

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie I

  1. On a
    $\begin{align*} P(X=0)&=\dbinom{9}{0}0,03^0 \times 0,97^9 \\
    &=0,97^9 \\
    &\approx 0,76\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  2. La probabilité qu’exactement deux des neuf adresses soient illisibles pour la machine est :
    $P(X=2)=\dbinom{9}{2}0,03^2 \times 0,97^7$
    Réponse d
    $\quad$
  3. La probabilité qu’au moins une des neuf adresses soit illisible pour la machine est :
    $P(X\pg 1)=1-P(X=0)$
    Réponse d
    $\quad$

Partie II

  1. Si $V_1$ est réalisé alors, parmi les $7$ boules restantes il y a $4$ boules vertes.
    Ainsi $P_{V_1}\left(V_2\right)=\dfrac{4}{7}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. $\left(V_1,B_1\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}
    P\left(V_2\right)&=P\left(V_1\right)P_{V_1}\left(V_2\right)+P\left(B_1\right)P_{B_1}\left(V_2\right) \\
    &=\dfrac{5}{8}\times \dfrac{4}{7}+\dfrac{3}{8}\times \dfrac{5}{7}\\
    &=\dfrac{5}{8}\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $u_1=u_0+v_0=2$
    $v_1=2u_0+v_0=3$
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=2u_n+v_n-v_n\\
    &=2u_n\\
    &>0\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc strictement croissante.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $v_n\pg v_0$
    Soit $v_n \pg 1$
    $\quad$
    c. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1$ et $n+1=1$
    Donc $u_0\pg 0+1$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    On a donc, d’après l’hypothèse de récurrence, $u_n\pg n+1$ et, d’après la question précédente, $v_n\pg 1$
    $\begin{align*} u_{n+1}&=u_n+v_n \\
    &\pg n+1+1\\
    &\pg n+2\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg n+1$.
    $\quad$
    d. Pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg n+1$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} n+1=+\infty$
    D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $-1\pp (-1)^{n+1} \pp 1$
    Donc $-\dfrac{1}{u_n^2}\pp \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\pp \dfrac{1}{u_n^2}$
    $\quad$
    b. Or $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n^2=+\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{u_n^2}=0$
    Par conséquent, d’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}=0$.
    $\quad$
    c. Pour tout $n\in \N$ on a $r_n=2+\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}$.
    $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}=0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} r_n^2=2$.
    $\quad$
    $\lim\limits_{x\to 2} \sqrt{x}=\sqrt{2}$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} r_n=\sqrt{2}$.
    $\quad$
    d. Pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} r_{n+1} &=\dfrac{v_{n+1}}{u_{n+1}} \\
    &=\dfrac{2u_n+v_n}{u_n+v_n}\\
    &=\dfrac{u_n\left(2+\dfrac{v_n}{u_n}\right)}{u_n\left(1+\dfrac{v_n}{u_n}\right)}\\
    &=\dfrac{2+r_n}{1+r_n}\end{align*}$
    $\quad$
    e. Cela signifie que le plus petit entier naturel $n$ vérifiant $\abs{r_n-\sqrt{2}}\pp 10^{-4}$ est $5$.
    Ainsi $r_5$ est une approximation de $\sqrt{2}$ à au plus $10^{-4}$ près.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
    Par conséquent :
    $\vect{AB}.\vec{n}=-6+6+0=0$
    $\vect{AC}.\vec{n}=-6+0+6=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    C’est, par conséquent, un vecteur normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $3x+2y+6z+d=0$
    Le point $A(2;0;0)$appartient à ce plan.
    Ainsi $6+d=0 \ssi d=-6$
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $3x+2y+6z-6=0$.
    $\quad$
  2. a. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $d$.
    Une représentation paramétrique de cette droite est donc $\begin{cases} x=3t\\y=2t\\z=6t\end{cases} \quad t\in \R$.
    $\quad$
    b. La droite $d$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
    Il existe donc un point d’intersection de la droite et du plan.
    Vérifions que le point $H$ de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{12}{49};\dfrac{36}{49}\right)$ appartient à la droite $d$ et au plan $(ABC)$.
    Le point de paramètre $t=\dfrac{6}{49}$ de la droite $d$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{12}{49};\dfrac{36}{49}\right)$. Ainsi $H\in d$.
    $\begin{align*}&3\times \dfrac{18}{49}+2\times \dfrac{12}{49}+6\times \dfrac{36}{49}-6\\
    &=\dfrac{54}{49}+\dfrac{24}{49}+\dfrac{216}{49}-\dfrac{294}{49} \\
    &=\dfrac{294}{49}-\dfrac{294}{49}\\
    &=0\end{align*}$
    Donc $H\in (ABC)$.
    La droite $d$ coupe donc le plan $(ABC)$ au point $H$ de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{12}{49};\dfrac{36}{49}\right)$.
    $\quad$
    c. On a
    $\begin{align*} OH&=\sqrt{\left(\dfrac{18}{49}\right)^2+\left(\dfrac{12}{49}\right)^2+\left(\dfrac{36}{49}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{324}{49^2}+\dfrac{244}{49^2}+\dfrac{1~296}{49^2}}\\
    &=\sqrt{\dfrac{1~764}{49^2}}\\
    &=\dfrac{42}{49} \\
    &=\dfrac{6}{7}\end{align*}$
    $\quad$
  3. D’une part :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{\text{aire}_{OBC}\times OA}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1\times 3}{2}\times 2}{3} \\
    &=1\end{align*}$
    D’autre part :$V=\dfrac{\text{aire}_{ABC}\times OH}{3}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} \text{aire}_{ABC}\times OH=3&\ssi \text{aire}_{ABC}=\dfrac{3}{OH} \\
    &\ssi \text{aire}_{ABC}=3\times \dfrac{7}{6} \\
    &\ssi \text{aire}_{ABC} =\dfrac{7}{2}\end{align*}$

Ex A

Exercice A

  1. a. On résout l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=g(x)&\ssi x^2\e^{-x}=\e^{-x} \\
    &\ssi x^2\e^{-x}-\e^{-x}=0\\
    &\ssi \left(x^2-1\right)\e^{-x}=0\\
    &\ssi (x-1)(x+1)\e^{-x}=0\\
    &=\ssi x=1 \text{ ou } x=-1 \text{ ou } \e^{-x}=0\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Les solutions de l’équation $f(x)=g(x)$ sont donc $-1$ et $1$.
    De plus $f(1)=\e^{-1}$ et $f(-1)=\e$
    Les points d’intersection de $C_f$ et $C_g$ on pour coordonnées $\left(1;\e^{-1}\right)$ et $(-1;\e)$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} f(x)\pp g(x) &\ssi x^2\e^{-x} \pp \e^{-x} \\
    &\ssi \left(x^2-1\right)\e^{-x} \pp 0\\
    &\ssi (x-1)(x+1)\e^{-x} \pp  0 \\
    &\ssi (x-1)(x+1) \pp 0 \text{   car } \e^{-x}>0\\
    &\ssi x\in [-1;1]\end{align*}$
    Ainsi $C_f$ est au-dessous de $C_g$ sur $[-1;1]$ et au-dessus sur $]-\infty;-1]$ et $[1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x\in[-1;1]$ on a :
    $\begin{align*} d'(x)&=-\e^{-x}-2x\e^{-x}+x^2\e^{-x} \\
    &=\left(x^2-2x-1\right)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $d'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2-2x-1$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est $\Delta=8$.
    Ses racines sont donc :
    $x_1=\dfrac{2-\sqrt{8}}{2}=1-\sqrt{2}$ et $x_2=\dfrac{2+\sqrt{8}}{2}=1+\sqrt{2}$.
    Le coefficient principal de ce polynôme est $a=1>0$.
    Par conséquent $x^2-2x-1<0$ sur $\left]1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right[$ et $x^2-2x-1>0$ sur $\left]-\infty;1-\sqrt{2}\right[\cup\left]1+\sqrt{2};+\infty\right[$.
    La fonction $d$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $\left[-1;1-\sqrt{2}\right]$ et décroissante sur l’intervalle $\left[1-\sqrt{2};1\right]$.
    $\quad$
    c. La fonction $d$ atteint donc sur l’intervalle $[-1;1]$ un maximum en $1-\sqrt{2}$.
    Ainsi $x_0=1-\sqrt{2}$.
    $d\left(1-\sqrt{2}\right)\approx 1,3$.
    Ainsi $M_0N_0  \approx 1,3$.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a $h'(x)=-\e^{-x}-1<0$.
    La fonction $h$ est donc continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $\R$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=-\infty$
    Pour tout réel $x$ on a $h(x)=\e^{-x}\left(1-x\e^x-2\e^x\right)$
    Or $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$, $\lim\limits_{x\to -infty} \e^{-x}=+\infty$ et, par croissances comparées $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^x=-\infty$
    Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} h(x)=-\infty$.
    Or $O\in ]-\infty;+\infty[$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $h(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$.
    $\quad$
    $g(x)=x+2 \ssi \e^{-x}=x+2\ssi \e^{-x}-x-2=0\ssi h(x)=0$
    La droite $\Delta$ et la courbe $C_g$ ont donc un unique point d’intersection.
    $\quad$

Ex B

Exercice B

Partie I : Étude d’une fonction auxiliaire

  1. $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} 2x-2=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$
    $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0} 2x-2=2$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$
    $\quad$
  2. La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a $g'(x)=\dfrac{1}{x}+2$
    Par conséquent $g'(x)>0$ sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de termes strictement positifs.
    La fonction $g$ est par conséquent strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
    Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  4. $g(1)=0+2-2=0$
    Ainsi $\alpha=1$
    La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty [$ et $g(1)=0$.
    Par conséquent :
    $\bullet~ g(x)<0$ sur $]0;1[$
    $\bullet~ g(1)=0$
    $\bullet~ g(x)>0$ sur $]1;+\infty[$
    $\quad$

Partie II : Étude d’une fonction $\boldsymbol{f}

  1. a. Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{x^2}\left(\ln(x)-1\right)+\left(2-\dfrac{1}{x}\right)\times \dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{\ln(x)-1+\left(2-\dfrac{1}{x}\right)x}{x^2} \\
    &=\dfrac{\ln(x)-1+2x-1}{x^2} \\
    &=\dfrac{g(x)}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $g(x)$.
    D’après la question I.4. on a :
    $\quad$
  2. $f(x)=0 \ssi 2-\dfrac{1}{x}=0$ ou $\ln(x)-1=0$
    $\phantom{f(x)=0}\ssi x=\dfrac{1}{2}$ ou $x=\e$
    Les solutions de l’équation $f(x)=0$ sont $\dfrac{1}{2}$ et $\e$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0;1]$, strictement croissante sur $[1;+\infty[$ et s’annule uniquement en $\dfrac{1}{2}$ et $\e$.
    De plus $\dfrac{1}{2}<1<\e$
    On obtient alors le tableau de signes suivant :
    $\quad$

Partie III : Étude d’une fonction $\boldsymbol{F}$ admettant pour dérivée la fonction$\boldsymbol{F}$

  1. Pour tout réel $x>0$ on a $F'(x)=f(x)$
    D’après la question précédente :
    $\bullet~ F$ est strictement croissante sur $\left]0;\dfrac{1}{2}\right]$ et sur $[\e;+\infty[$.
    $\bullet~ F$ est strictement décroissante sur $\left[\dfrac{1}{2};\e\right]$.
    $\quad$
  2. $F'(x)=0 \ssi x=\dfrac{1}{2}$ ou $x=\e$.
    Par conséquent les tangentes à $C_F$ aux points d’abscisse $\dfrac{1}{2}$ et $\e$ sont parallèles à l’axe des abscisses.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

PARTIE I

Dans un centre de traitement du courrier, une machine est équipée d’un lecteur optique automatique de reconnaissance de l’adresse postale. Ce système de lecture permet de reconnaître convenablement $97 \%$ des adresses ; le reste du courrier, que l’on qualifiera d’illisible pour la machine, est orienté vers un employé du centre chargé de lire les adresses.
Cette machine vient d’effectuer la lecture de neuf adresses. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’adresses illisibles parmi ces neuf adresses.
On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=9$ et $p=0,03$.

  1. La probabilité qu’aucune des neuf adresses soit illisible est égale, au centième près, à :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $0,24$
    d. $0,76$
    $\quad$
  2. La probabilité qu’exactement deux des neuf adresses soient illisibles pour la machine est :
    a. $\dbinom{9}{2} \times 0,97^2 \times 0,03^7\rule{0pt}{25pt}$
    b. $\dbinom{7}{2} \times 0,97^2 \times 0,03^7\rule{0pt}{25pt}$
    c. $\dbinom{9}{2} \times 0,97^7 \times 0,03^2\rule{0pt}{25pt}$
    d. $\dbinom{7}{2} \times 0,97^7 \times 0,03^2\rule{0pt}{25pt}$
    $\quad$
  3. La probabilité qu’au moins une des neuf adresses soit illisible pour la machine est :
    a. $P(X<1)$
    b. $P(X\pp 1)$
    c. $P(X\pg 2)$
    d. $1-P(X=0)$
    $\quad$

PARTIE II

Une urne contient $5$ boules vertes et $3$ boules blanches, indiscernables au toucher.
On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l’urne.
On considère les évènements suivants :

  • $V_1$ : « la première boule tirée est verte » ;
  • $B_1$ : « la première boule tirée est blanche » ;
  • $V_2$ : « la seconde boule tirée est verte » ;
  • $B_2$ : « la seconde boule tirée est blanche ».
  1. La probabilité de $V_2$ sachant que $V_1$ est réalisé, notée $P_{V_1}\left(V_2\right)$, est égale à :
    a. $\dfrac{5}{8}\rule{0pt}{25pt}$
    b. $\dfrac{4}{7}\rule{0pt}{25pt}$
    c. $\dfrac{5}{14}\rule{0pt}{25pt}$
    d. $\dfrac{20}{56}\rule{0pt}{25pt}$
    $\quad$
  2. La probabilité de l’événement $V_2$ est égale à :
    a. $\dfrac{5}{8}\rule{0pt}{25pt}$
    b. $\dfrac{5}{7}\rule{0pt}{25pt}$
    c. $\dfrac{3}{28}\rule{0pt}{25pt}$
    d. $\dfrac{9}{7}\rule{0pt}{25pt}$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     6 points

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : $$\begin{cases} u_0=v_0=1\\u_{n+1}=u_n+v_n\\v_{n+1}=2u_n+v_n\end{cases}$$
Dans toute la suite de l’exercice, on admet que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont strictement positives.

  1. a. Calculer $u_1$ et $v_1$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est strictement croissante puis en déduire que, pour tout entier naturel $n$, $v_n\pg 1$.
    $\quad$
  2. On pose, pour tout entier naturel $n$ : $$r_n=\dfrac{v_n}{u_n}$$
    On admet que : $$r_n^2=2+\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}$$
    a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $$-\dfrac{1}{u_n^2} \pp \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\pp \dfrac{1}{u_n^2}$$
    $\quad$
    b. En déduire : $$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}$$
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(r_n^2\right)$ et en déduire que $\left(r_n\right)$ converge vers $\sqrt{2}$.
    $\quad$
    d. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $$r_{n+1}=\dfrac{2+r_n}{1+r_n}$$
    $\quad$
    e. On considère le programme suivant écrit en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil():}\\
    \quad n=0\\
    \quad r=1\\
    \quad \text{while abs(r-sqrt(2))}>10**(-4) :\\
    \qquad r=(2+r)/(1+r)\\
    \qquad n=n+1\\
    \quad \text{return }n\\
    \hline
    \end{array}$$
    ($\text{abs}$ désigne la valeur absolue, $\text{sqrt}$ la racine carrée et $10**(-4)$ représente $10^{-4}$)
    La valeur de $n$ renvoyée par ce programme est $5$.
    À quoi correspond-elle ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     4 points

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points :
$A$ de coordonnées $(2 ;0 ;0)$, $B$ de coordonnées $(0 ;3 ;0)$ et $C$ de coordonnées $(0 ;0 ;1)$.

L’objectif de cet exercice est de calculer l’aire du triangle $ABC$.

  1. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $3x+2y+6z-6=0$.
    $\quad$
  2. On note $d$ la droite passant par $O$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
    a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
    $\quad$
    b. Montrer que la droite $d$ coupe le plan $(ABC)$ au point $H$ de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{12}{49};\dfrac{36}{49}\right)$.
    $\quad$
    c. Calculer la distance $OH$.
    $\quad$
  3. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par : $V=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$ , où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.
    En calculant de deux façons différentes le volume de la pyramide $OABC$, déterminer l’aire du triangle $ABC$.
    $\quad$

$\quad$

EXERCICE au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A

Principaux domaines abordés : Fonction exponentielle ; dérivation.

Le graphique ci-dessous représente, dans un repère orthogonal, les courbes $C_f$ et $C_g$ des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par :
$$f(x)=x^2\e^{-x} \quad \text{ et } \quad g(x)=\e^{-x}$$

La question 3 est indépendante des questions 1 et 2.

  1. a. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de $C_f$ et $C_g$.
    $\quad$
    b. Étudier la position relative des courbes $C_f$ et $C_g$.
    $\quad$
  2. Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[-1 ;1]$, on considère les points $M$ de coordonnées $\left(x ;f(x)\right)$ et $N$ de coordonnées $\left(x ;g(x)\right)$, et on note $d(x)$ la distance $MN$.
    On admet que : $d(x)=\e^{-x}-x^2\e^{-x}$.
    On admet que la fonction $d$ est dérivable sur l’intervalle $[-1;1]$ et on note $d’$ sa fonction dérivée.
    a. Montrer que $d'(x) =\e^{-x}\left(x^2-2x-1\right)$.
    $\quad$
    b. En déduire les variations de la fonction $d$ sur l’intervalle $[-1 ;1]$.
    $\quad$
    c. Déterminer l’abscisse commune $x_0$ des points $M_0$ et $N_0$ permettant d’obtenir une distance $d\left(x_0\right)$ maximale, et donner une valeur approchée à $0,1$ près de la distance $M_0N_0$.
    $\quad$
  3. Soit $\Delta$ la droite d’équation $y=x+2$.
    On considère la fonction $h$ dérivable sur $\R$ et définie par : $h(x)=\e^{-x}-x-2$.
    En étudiant le nombre de solutions de l’équation $h(x)=0$, déterminer le nombre de points d’intersection de la droite $\Delta$ et de la courbe $C_g$.
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice B

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme ; dérivation.

Partie I : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=\ln(x)+2x-2$.

  1. Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et $0$.
    $\quad$
  2. Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. Démontrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  4. Calculer $g(1)$ puis déterminer le signe de $g$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie II : Étude d’une fonction $\boldsymbol{f}$

On considère la fonction $f$, définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=\left(2-\dfrac{1}{x}\right)\left(\ln(x)-1\right)$.

  1. a. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on note $f’$ sa dérivée.
    Démontrer que, pour tout $x$ de $]0;+\infty[$[, on a : $$f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$$
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$. Le calcul des limites n’est pas demandé.
    $\quad$
  2. Résoudre l‘équation $f(x)=0$ sur $]0;+\infty[$ puis dresser le tableau de signes de $f$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie III : Étude d’une fonction $\boldsymbol{F}$ admettant pour dérivée la fonction $\boldsymbol{f}$

On admet qu’il existe une fonction $F$ dérivable sur $]0;+\infty[$ dont la dérivée $F’$ est la fonction $f$. Ainsi, on a : $F’=f$.

On note $\mathcal{C}_F$ la courbe représentative de la fonction $F$ dans un repère orthonormé $\Oij$.

On ne cherchera pas à déterminer une expression de $F(x)$.

  1. Étudier les variations de $F$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. La courbe représentative $\mathcal{C}_F$ de $F$ admet-elle des tangentes parallèles à l’axe des abscisses ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – sujet 1 – Métropole – Mars 2021

Métropole – Mars 2021

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie I

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :


    $\quad$

  2. On veut calculer
    $\begin{align*} p(D\cap A)&=p(D)\times p_D(A)\\
    &=0,1\times 0,6\\
    &=0,06\end{align*}$
    La probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l’école est égale à $0,06$.
    $\quad$
  3. $\left(D,\conj{D}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(A)&=p(D)\times p_D(A)+p\left(\conj{D}\right)p_{\conj{D}}(A)\\
    &=0,06+0,9\times 0,2\\
    &=0,06+0,18\\
    &=0,24\end{align*}$
    La probabilité de l’événement $A$ est égale à $0,24$.
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} p_A\left(\conj{D}\right)&=\dfrac{p\left(A\cap \conj{D}\right)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,18}{0,24} \\
    &=0,75\end{align*}$
    La probabilité que le dossier du candidat n’ait pas été sélectionné sachant qu’il a été admis à l’école est égale à $0,75$.
    $\quad$

Partie II

  1. a. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=7$ et $p=0,24$.
    $\quad$
    b. On a
    $\begin{align*} P(X=1)&=\dbinom{7}{1}0,24\times (1-,24)^6 \\
    &\approx 0,32\end{align*}$
    La probabilité qu’un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l’école est environ égale à $0,32$.
    $\quad$
    c. On a
    $\begin{align*} P(X\pg 2)&=1-P(X\pp 1)\\
    &\approx 0,53\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école est environ égale à $0,53$.
    $\quad$
  2. a. La probabilité qu’un candidat ne soit pas admis est égale à $1-0,24=0,76$.
    Les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.
    Par conséquent la probabilité qu’aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l’école est égale à $0,76^n$.
    $\quad$
    b. La probabilité qu’au moins un élève de ce lycée soit admis à l’école est $1-0,76^n$.
    On doit donc déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que
    $\begin{align*} 1-0,76^n \pg 0,99 &\ssi -0,76^n \pg -0,01 \\
    &\ssi 0,76^n\pp 0,01\\
    &\ssi n\ln(0,76) \pp \ln(0,01)\\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,76)}\end{align*}$
    Car $\ln(0,76)<0$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,76)} \approx 16,8$.
    Le lycée doit donc présenter au moins $17$ candidats dans cette école pour que la probabilité qu’au moins un élève de ce lycée soit admis à l’école soit supérieure ou égale à $0,99$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$.
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \e^x=1$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$.
    L’axe des ordonnées est donc asymptote à la courbe $C_f$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x\times x-\e^x \times 1}{x^2} \\
    &=\dfrac{(x-1)\e^x}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-1$.
    Or $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. $\bullet $ Pour tout réel $x>0$ on a donc $f(x)\pg \e$.
    Ainsi si $m<\e$ alors l’équation $f(x)=m$ ne possède pas de solution.
    $\bullet$ Soit $m>\e$.
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) strictement décroissante sur l’intervalle $]0;1[$.
    $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$ et $f(1)=\e$
    Or $m\in ]\e;+\infty[$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=m$ possède une unique solution sur l’intervalle $]0;1[$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) strictement croissante sur l’intervalle $]1;+\infty[$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ et $f(1)=\e$
    Or $m\in ]\e;+\infty[$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=m$ possède une unique solution sur l’intervalle $]0;1[$.
    $\quad$
    Par conséquent l’équation $f(x)=m$ possède exactement deux solutions sur $]0;+\infty[$.
    $\bullet$ Si $m=\e$ La fonction $f$ atteint une seule fois son minimum en $1$ et celui-ci vaut $\e$.
    L’équation $f(x)=m$ possède alors une unique solution sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  5. a. Le coefficient directeur de la droite $\Delta$ est $-1$.
    Deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées sont parallèles si, et seulement si, leur coefficients directeurs sont égaux.
    Le coefficient directeur d’une tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $a$ est $f'(a)$.
    Ainsi $a$ est solution, dans $]0;+\infty[$ de l’équation
    $\begin{align*} f'(x)=-1&\ssi \dfrac{\e^x(x-1)}{x^2}=-1\\
    &\ssi \e^x(x-1)=-x^2\\
    &\ssi \e^x(x-1)+x^2=0\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction $g$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a
    $\begin{align*} g'(x)&=\e^x(x-1)+\e^x+2x \\
    &=x\e^x+2x\\
    &=x\left(\e^x+2\right)\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc $\e^x+2>0$ sur $\R$
    De plus sur $[0;+\infty[$ on a $x\pg 0$ et ne s’annule qu’en $0$.
    Par conséquent $g'(x)\pg 0$ et $g'(x)$ ne s’annule qu’en $0$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty} x-1=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2$
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
    $\quad$
    c. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $g(0)=-1<0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
    Or $0\in ]-1;+\infty[$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $[0;+\infty[$.
    De plus $g(0)\neq 0$.
    Il existe par conséquent un unique point $A$ en lequel la tangente à $\mathscr{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Le point $K$ appartient à $(SD)$ donc $(DK)$ et $(SD)$ sont coplanaires.
    $S$ est le sommet de la pyramide et $I$ est le centre du carré $ABCD$ donc $(AS)$ et $(IC)$ sont coplanaires.
    D’après le théorème des milieux (ou du théorème de Thalès) la droite $(LM)$ est parallèle à la droite $(BC)$, elle-même parallèle à la droite $(AD)$. Par conséquent $(LM)$ et $(AD)$ sont coplanaires.
    Réponse c
    $\quad$
  2. $K$ est le milieu de $[SD]$. Ses coordonnées sont donc $\left(0;-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
    $L$ est le milieu de $[SC]$. Ses coordonnées sont donc $\left(\dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2}\right)$
    Ainsi $N$ milieu de $[KL]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{4};-\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. Les coordonnées du vecteur $\vect{AS}$ sont $\begin{pmatrix} 0-(-1)\\0-0\\1-0\end{pmatrix}$ soit $\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$.
    Réponse b
    $\quad$
  4. Un vecteur directeur de la droite $(AS)$ est $\vect{AS}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$.
    On exclut donc les propositions a. et d., dont un vecteur directeur a pour coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
    En prenant $t=0$ dans la propositions c. on retrouve les coordonnées du point $S$ et en prenant $t=-1$ on retrouve les coordonnées du point $A$.
    Réponse c
    $\quad$
  5. Si on remplace $x, y$ et $z$ par les coordonnées des points $S$, $C$ et $B$ on constate que seule l’équation $x+y+z-1=0$ convient.
    Réponse b
    $\quad$

Ex A

Exercice A

  1. On a $u_1=\dfrac{3}{4}\times 1+0+1=\dfrac{7}{4}$
    $u_2=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{7}{4}+\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{41}{16}$
    $\quad$
  2. a. On a pu écrire $=3/4*\text{B2}+1/4*\text{A2}+1$
    $\quad$
    b. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit strictement croissante.
    $\quad$
  3. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1$ et $0\pp u_0 \pp 0+1$
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    $\begin{align*} n\pp u_n\pp n+1&\ssi \dfrac{3}{4}n \pp \dfrac{3}{4}u_n \pp \dfrac{3}{4}n+\dfrac{3}{4} \\
    &\ssi n\pp \dfrac{3}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n\pp n+\dfrac{3}{4} \\
    &\ssi n+1\pp u_{n+1} \pp n+1+\dfrac{3}{4}\end{align*}$
    Or $n+2> n+1+\dfrac{3}{4}$
    Ainsi $n+1\pp u_{n+1}\pp n+2$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $n\pp u_n \pp n+1$.
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{3}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n+1-u_n\\
    &=-\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n+1 \\
    &=\dfrac{1}{4}\left(n-u_n\right)+1\\
    &\pg \dfrac{1}{4}\left(n-(n+1)\right)+1\\
    &\pg -\dfrac{1}{4}+1\\
    &\pg \dfrac{3}{4}\\
    &> 0\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
    $\quad$
    c. Pour tout $n\in \N^*$ on a $n\pp u_n \pp n+1$ donc $1\pp \dfrac{u_n}{n}\pp 1+\dfrac{1}{n}$
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+\dfrac{1}{n}=1$
    D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{u_n}{n}=1$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-(n+1) \\
    &=\dfrac{3}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n+1-n-1\\
    &=\dfrac{3}{4}u_n-\dfrac{3}{4}n\\
    &=\dfrac{3}{4}\left(u_n-n\right)\\
    &=\dfrac{3}{4}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$ et de premier terme $v_0=u_0-0=1$.
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $v_n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$.
    Ainsi $u_n=v_n+n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+n$.
    $\quad$

 

Ex B

Exercice B

  1. Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x\left(1+\dfrac{4}{x}-\dfrac{4\ln(x)}{x}-\dfrac{3}{x^2}\right)$.
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{4}{x}=0$, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3}{x^2}=0$ et, par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2} \\
    &=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2-4x+3$.
    $\Delta=16-12=4>0$
    Le polynôme du second degré possède donc deux racines :
    $x_1=\dfrac{4-2}{2}=1$ et $x_2=\dfrac{4+2}{2}=3$
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    b. On a $6-4\ln(3)\approx 1,61$ et $\dfrac{5}{3} \approx 1,67$.
    Ainsi, par lecture du tableau de variations, l’équation $f(x)=\dfrac{5}{3}$ possède exactement $3$ solutions (une dans chaque intervalle du tableau).
    $\quad$
  4. La fonction $f’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    On reprend l’expression de $f'(x)=1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2}$
    Par conséquent, pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{6}{x^3} \\
    &=\dfrac{4x-6}{x^3} \end{align*}$
    Sur $]0;+\infty$, on a $x^3>0$ donc $f\dsec(x)$ est du signe de $4x-6$ sur $]0;+\infty[$.
    $4x-6=0 \ssi x=\dfrac{3}{2}$ et $4x-6>0 \ssi x>\dfrac{3}{2}$
    La fonction $f$ est donc concave sur $\left]0;\dfrac{3}{2}\right]$ et convexe sur $\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
    La fonction $f$ ne change qu’une seule fois de convexité sur $]0;+\infty[$. La courbe $\mathcal{C}$ possède donc un unique point d’inflexion d’abscisse $\dfrac{3}{2}$ et d’ordonnées $f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{7}{2}-4\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux façons :

  • $10 \%$ des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l’issue duquel $60 \%$ d’entre eux sont finalement admis à l’école.
  • Les candidats n’ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l’issue de laquelle $20 \%$ d’entre eux sont admis à l’école.

Partie I

On choisit au hasard un candidat à ce concours de recrutement.
On notera :

  • $D$ l’événement « le candidat a été sélectionné sur dossier » ;
  • $A$ l’événement « le candidat a été admis à l’école » ;
  • $\conj{D}$ et $\conj{A}$ les événements contraires des événements $D$ et $A$ respectivement.
  1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l’école.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité de l’événement $A$ est égale à $0,24$.
    $\quad$
  4. On choisit au hasard un candidat admis à l’école. Quelle est la probabilité que son dossier n’ait pas été sélectionné ?
    $\quad$

Partie II

  1. On admet que la probabilité pour un candidat d’être admis à l’école est égale à $0,24$.
    On considère un échantillon de sept candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l’école parmi les sept tirés au sort.
    a. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Quels sont les paramètres de cette loi ?
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité qu’un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l’école. On donnera une réponse arrondie au centième.
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité qu’au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école. On donnera une réponse arrondie au centième.
    $\quad$
  2. Un lycée présente $n$ candidats au recrutement dans cette école, où $n$ est un entier naturel non nul.
    On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d’être admis à l’école est égale à $0,24$ et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.
    a. Donner l’expression, en fonction de $n$, de la probabilité qu’aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l’école.
    $\quad$
    b. À partir de quelle valeur de l’entier $n$ la probabilité qu’au moins un élève de ce lycée soit admis à l’école est-elle supérieure ou égale à $0,99$ ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{\e^x}{x}$$
On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

  1. a. Préciser la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
    b. Justifier que l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe $C_f$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0;+\infty[$, on a : $$f'(x)=\dfrac{\e^x(x-1)}{x^2}$$
    où $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Déterminer les variations de la fonction $f$  sur l’intervalle $]0;+\infty[$. On établira un tableau de variations de la fonction $f$ dans lequel apparaîtront les limites.
    $\quad$
  4. Soit $m$ un nombre réel. Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel $m$, le nombre de solutions de l’équation $f(x)=m$.
    $\quad$
  5. On note $\Delta$ la droite d’équation $y=-x$.
    On note $A$ un éventuel point de $C_f$ d’abscisse $a$ en lequel la tangente à la courbe $C_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.
    a. Montrer que $a$ est solution de l’équation $\e^x(x-1)+x^2=0$.
    On note $g$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=\e^x(x-1)+x^2$.
    On admet que la fonction $g$ est dérivable et on note $g’$ sa fonction dérivée.
    $\quad$
    b. Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;+\infty[$ , puis dresser le tableau de variations de $g$ sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    c. Montrer qu’il existe un unique point $A$ en lequel la tangente à $C_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

$SABCD$ est une pyramide régulière à base carrée $ABCD$ dont toutes les arêtes ont la même longueur.
Le point $I$ est le centre du carré $ABCD$. On suppose que : $IC=IB=IS=1$.
Les points $K$, $L$ et $M$ sont les milieux respectifs des arêtes $[SD]$, $[SC]$ et $[SB]$.

  1. Les droites suivantes ne sont pas coplanaires :
    a. $(DK)$ et $(SD)$
    b. $(AS)$ et $(IC)$
    c. $(AC)$ et $(SB)$
    d. $(LM)$ et $(AD)$
    $\quad$

Pour les questions suivantes, on se place dans le repère orthonormé de l’espace $\left(I;\vect{IC},\vect{IB},\vect{IS}\right)$.
Dans ce repère, on donne les coordonnées des points suivants :
$I(0 ;0 ;0)$ ; $A(-1 ;0 ;0)$ ; $B(0 ;1 ;0)$ ; $C(1 ;0 ;0)$ ; $D(0 ;-1 ;0)$ ; $S(0 ;0 ;1)$.

  1. Les coordonnées du milieu $N$ de $[KL]$ sont :
    a. $\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)$
    b. $\left(\dfrac{1}{4};-\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)$
    c. $\left(-\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)$
    d. $\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2};1\right)$
    $\quad$
  2. Les coordonnées du vecteur $\vect{AS}$ sont :
    a. $\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$
    b. $\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$
    c. $\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$
    d. $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. Une représentation paramétrique de la droite $(AS)$ est :
    a. $\begin{cases} x=-1-t\\y=t\\z=-t\end{cases} \quad (t\in\R)$
    b. $\begin{cases} x=-1+2t\\y=0\\z=1+2t\end{cases} \quad (t\in\R)$
    c. $\begin{cases} x=t\\y=0\\z=1+t\end{cases} \quad (t\in\R)$
    d. $\begin{cases} x=-1-t\\y=1+t\\z=1-t\end{cases} \quad (t\in\R)$
    $\quad$
  4. Une équation cartésienne du plan $(SCB)$ est :
    a. $y+z-1=0$
    b. $x+y+z-1=0$
    c. $x-y+z=0$
    d. $x+z-1=0$
    $\quad$

$\quad$

EXERCICE au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A

Principaux domaines abordés : Suites numériques; raisonnement par récurrence ; suites géométriques.

La suite $\left(u_n\right)$ est définie sur $\N$ par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=\dfrac{3}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n+1$$

  1. Calculer, en détaillant les calculs, $u_1$ et $u_2$ sous forme de fraction irréductible.
    $\quad$

L’extrait, reproduit ci-dessous, d’une feuille de calcul réalisée avec un tableur présente les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.

  1. a. Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule $\text{B3}$ de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ dans la colonne B ?
    $\quad$
    b. Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $n \pp u_n \pp n+1$.
    $\quad$
    b. En déduire, en justifiant la réponse, le sens de variation et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    c. Démontrer que : $$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{u_n}{n}=1$$
    $\quad$
  3. On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n=u_n-n$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+n$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme ; convexité.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$[ par : $$f(x)=x+4-4\ln(x)-\dfrac{3}{x}$$
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
On note $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.

  1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    Démontrer que, pour tout nombre réel $x>0$, on a : $$f'(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2}$$
    $\quad$
  3. a. Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$. On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. On admettra que $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
    b. Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l’équation $f(x)=\dfrac{5}{3}$.
    $\quad$
  4. Étudier la convexité de la fonction $f$, c’est-à-dire préciser les parties de l’intervalle $]0;+\infty[$ sur lesquelles $f$ est convexe, et celles sur lesquelles $f$ est concave. On justifiera que la courbe $\mathcal{C}$ admet un unique point d’inflexion, dont on précisera les coordonnées.
    $\quad$

$\quad$