E3C – Séries technologiques – Suites – Janvier 2020

E3C – Suites

Séries technologiques

On trouve dans le tableau suivant les quantités de chocolat vendues en France en 2017 et 2018, exprimées en tonnes.

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2017&2018\\
\hline
\text{Tonnes de chocolat vendues}&378~850&333~029\\
\hline
\end{array}$$

  1. Quel a été le pourcentage d’évolution de la quantité de chocolat vendue en France entre 2017 et 2018 ? Arrondir le résultat à $1\%$ près.

On s’intéresse maintenant aux années à venir. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité de chocolat vendue en France l’année 2018$+n$, exprimée en tonnes. Ainsi, on a $u_0 = 333~029$. On
suppose que le taux d’évolution annuel sera de $-12,1\%$ à partir de 2018.

  1. Calculer les valeurs de $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique et donner sa raison.
    $\quad$
  3. a. Compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’à la fin de l’algorithme la variable 𝑛 contienne le plus grand entier $n$ tel que $u_n \pp 250~000$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    u\leftarrow 333~029\\
    \text{Tant que }\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{0.5cm} u\leftarrow \ldots\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{0.5cm} n\leftarrow n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. En déduire l’année à partir de laquelle la quantité de chocolat vendue en France passera en dessous de $250~000$ tonnes.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $\dfrac{333~029-378~850}{378~850}\approx -0,12$
    La quantité de chocolat vendue en France entre 2017 et 2018 a donc diminué d’environ $12\%$.
    $\quad$
  2. On a donc :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_0 \\
    &=0,879\times 333~029\\
    &=392~732,491\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} u_2&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_1 \\
    &=0,879\times 392~732,491\\
    &=257~311,859~6\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_n \\
    &=0,879\times u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,879$ et de premier terme $u_0=333~029$.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    u\leftarrow 333~029\\
    \text{Tant que }u> 250~000\\
    \hspace{0.5cm} u\leftarrow 0,879 \times u\\
    \hspace{0.5cm} n\leftarrow n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On a :
    $u_0=333~029$, $u_1 \approx 392~732$, $u_2\approx 257~312$ et $u_3 \approx 229~177$
    C’est donc en 2021 que la quantité de chocolat venue en France passera en dessous de $250~000$ tonnes.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2019, les déchets d’une entreprise sont évalués à $6~000$ tonnes.
Cette entreprise s’engage à réduire ses déchets de $5 \%$ chaque année.

  1. Avec cette politique, quelle quantité de déchets peut envisager l’entreprise pour l’année 2020 ?
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ la quantité de déchets produits en tonne par cette entreprise l’année 2019 $n$. Avec cette notation, on a alors $d_0 = 6~000$.
    a. Exprimer $d_{n+1}$ en fonction de $d_n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    b. Quelle est la nature de la suite $\left(d_n\right)$ ?
    $\quad$
    c. Déterminer la quantité totale de déchets produits par l’entreprise entre 2019 et 2023.
    On arrondira le résultat à la tonne près.
    $\quad$
  3. L’entreprise souhaite savoir au bout de combien d’années d’application de cette politique de réduction des déchets la quantité annuelle produite aura diminué de $40 \%$ par rapport à la quantité produite en 2019.
    Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous sur la copie afin qu’il permette de répondre à la question posée :$$\begin{array}{|l|}
    \hline
    D\leftarrow 6000\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }D\ldots\ldots\ldots\ldots \hspace{1cm}\\
    \hspace{0.5cm} D\leftarrow \ldots\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{0.5cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $6~000\left(1-\dfrac{5}{100}\right)=5~700$.
    Avec cette politique, l’entreprise peut envisager $5~700$ tonnes de déchets pour l’année 2020.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} d_{n+1}&=\left(1-\dfrac{5}{100}\right)d_n\\
    &=0,95d_n\end{align*}$
    $\quad$
    b. La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $d_0=6~000$.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} S&=d_0+d_1+d_2+d_3+d_4\\
    &=6~000\times \dfrac{1-0,95^5}{1-0,95} \\
    &\approx 27~146\end{align*}$
    L’entreprise produira environ $27~146$ tonnes de déchets entre 2019 et 2023.
    $\quad$
  3. $6~000\times \left(1-\dfrac{40}{100}\right)=3~600$
    On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    D\leftarrow 6000\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }D>3600\hspace{1cm}\\
    \hspace{0.5cm} D\leftarrow 0,95\times D\\
    \hspace{0.5cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse.
La première injection est de $10$ ml, puis toutes les heures on lui en injecte $1$ ml.
On étudie l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang en prenant le
modèle suivant :

  • on estime que $20 \%$ de la quantité de médicament présente dans le sang est éliminée chaque heure ;
  • pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la quantité de médicament en ml présente dans le sang au bout de $n$ heures.

Ainsi, $U_0=10$.

  1. Justifier que $U_1=9$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=0,8U_n+1$.
    $\quad$

On donne ci-dessous la représentation graphique de la suite $\left(U_n\right)$ :

  1. Conjecturer la limite de la suite $\left(U_n\right)$.
    $\quad$
    On considère l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    \hspace{1cm}\text{U}\leftarrow 10\\
    \hspace{1cm}\text{N}\leftarrow 0\\
    \hspace{1cm}\text{Tant que U>5,1 faire} \hspace{2cm}\\
    \hspace{2cm}\text{U$\leftarrow 0,8$*U+1}\\
    \hspace{2cm}\text{N$\leftarrow$ N+1}\\
    \hspace{2cm}\text{Fin du tant que}\\
    \hspace{2cm}\text{Afficher N}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. À quoi cet algorithme sert-il ?
    $\quad$
  3. À l’aide de l’extrait du tableau de valeurs de la suite $\left(U_n\right)$ donné ci-dessous, donner la valeur de $\text{N}$ à l’issue de l’exécution de cet algorithme.
    $\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|l|}
    \hline
    n& 8& 9& 10& 11& 12& 13& 14\\
    \hline
    U_n& 5,838861& 5,671089& 5,536871& 5,429497& 5,343597& 5,274878& 5,219902\\
    \hline
    \end{array}$
    $\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|l|}
    \hline
    n& 15& 16& 17& 18& 19& 20& 21\\
    \hline
    U_n& 5,175922& 5,140737& 5,11259\phantom{0}& 5,090072& 5,072058& 5,057646& 5,046117\\
    \hline
    \end{array}$
    $\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|l|}
    \hline
    n& 22& 23& 24& 25& 26& 27& 28\\
    \hline
    U_n& 5,036893& 5,029515& 5,023612& 5,018889& 5,015112& 5,012089& 5,009671\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*} U_1&=\left(1-\dfrac{20}{100}\right)U_0+1\\
    &=0,8\times 10+1\\
    &=9\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} U_{n+1}&=\left(1-\dfrac{20}{100}\right)U_n+1\\
    &=0,8\times U_n+1\end{align*}$
    $\quad$
  3. Il semblerait que la limite de la suite $\left(U_n\right)$ soit $5$.
    $\quad$
  4. Cet algorithme permet de déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $U_n\pp 5,1$.
    $\quad$
  5. D’après le tableau de valeurs, la variable $\text{N}$ contiendra, à l’issue de l’exécution de l’algorithme, la valeur $18$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la
lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des
recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question
sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ donnée par le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
k&-5&0&10&20&50\\
\hline
P(X=k)&0,71&0,03&0,01&0,05&0,2\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance de $X$ est :

a. $15$
b. $0,2$
c. $7,55$
d. $17$

$\quad$

Correction Question 1

L’espérance de $X$ est :

$\begin{align*} E(X)&=\small{-5\times 0,71+0\times 0,03+10\times 0,01+20\times 0,05+50\times 0,2} \\
&=7,55\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On se place dans un repère orthonormé.
Le cercle de centre A( -2 ; 4) et de rayon 9 a pour équation :

a. $(x+2)^2+(y-4)^2=81$
b. $(x-2)^2+(y+4)^2=81$
c. $(x+2)^2+(y-4)^2=9$
d. $(x-2)^2+(y+4)^2=9$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation du cercle est $\left(x-(-2)\right)^2+(y-4)^2=9^2$ soit $(x+2)^2+(y-4)^2=81$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels.

On considère dans un repère la courbe représentative de $f$ tracée ci-dessous.

On appelle $\Delta$ son discriminant.

On peut affirmer que :

a. $a>0$ ou $c<0$
b. $c$ et $\Delta$ sont du même signe
c. $a<0$ et $c<0$
d. $a<0$ et $\Delta<0$

$\quad$

Correction Question 3

D’après le graphique $a<0$ (la fonction $f$ admet un maximum) et $\Delta>0$ (il y a deux racines)
Les deux racines $x_1$ et $x_2$ sont de signes différents.
Or $ax_1x_2=c$ donc $c>0$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_0=-2$ et $U_{n+1}=2U_n-5$.
Un algorithme permettant de calculer la somme $S=U_0+U_1+\ldots+U_{36}$ est :

$\begin{array}{llll}
\textbf{a.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=0}\\
\text{Pour i de 1 à 37}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}&\textbf{b.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=0}\\
\text{Pour i de 1 à 36}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}\\\\
\textbf{c.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=-2}\\
\text{Pour i de 1 à 37}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}&\textbf{d.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=-2}\\
\text{Pour i de 1 à 36}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}\end{array}$

$\quad$

Correction Question 4

Si la variable $\text{U}$ est transformée avant la variable $\text{S}$ alors $\text{S}$ doit être initialisée à $-2$.
Dans l’algorithme c., quand $\text{i}=1$, la variable $S$ prend la valeur $u_0+u_0$ au lieu de $u_0+u_1$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_0=-2$ et $U_{n+1}=2U_n-5$ est :

a. arithmétique mais pas géométrique
b. géométrique mais pas arithmétique
c. ni arithmétique, ni géométrique
d. à la fois arithmétique et géométrique

$\quad$

Correction Question 5

On $U_0=-2$
$\begin{align*} U_1&=2U_0-5\\
&=2\times (-2)-5 \\
&=-9\end{align*}$
$\begin{align*} U_2&=2U_1-5\\
&=2\times (-9)-5\\
&=-23\end{align*}$

Ainsi :

  • $U_1-U_0=-7$ et $U_2-U_1=-14$
    Ces différences ne sont pas égales : la suite n’est pas arithmétique
  • $\dfrac{U_1}{U_0}=\dfrac{9}{2}$ et $\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{23}{9}$
    Ces quotients ne sont pas égaux : la suite n’est pas géométrique

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de $1~000$°C.
À la fin de la cuisson, on éteint le four et commence alors la phase de refroidissement.
Pour un nombre entier naturel $n$, on note $T_n$ la température en degré Celsius du four au bout de $n$ heures écoulées à partir de l’instant où il a été éteint. On a donc $T_0= 1~000$.
La température $T_n$ est calculée grâce à l’algorithme suivant :$$\begin{array}{|l|}
\hline
T  \leftarrow 1~000\\
\text{Pour $i$ allant de $1$ à $n$}\\
\hspace{0.5cm} T\leftarrow 0,82\times T+3,6\\
\text{Fin Pour}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Quelle est la température du four après une heure de refroidissement ?
    $\quad$
  2. Exprimer $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$.
    $\quad$
  3. Déterminer la température du four arrondie à l’unité après $4$ heures de refroidissement.
    $\quad$
  4. La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à $70$°C. Afin de déterminer le nombre d’heures au bout duquel le four peut être ouvert sans risque, on définit une fonction « froid » en langage Python.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{def }}\text{froid() :}\\
    2&\hspace{1cm}\text{T=}\textcolor{Green}{1000}\\
    3&\hspace{1cm}\text{n=}\textcolor{Green}{0}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while} }\ldots :\hspace{1cm}\\
    5&\hspace{1.5cm}\text{T= }\ldots\\
    6&\hspace{1.5cm}\text{n=n+}\textcolor{Green}{1}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Recopier et compléter les instructions $4$ et $5$.
    $\quad$
  5. Déterminer le nombre d’heures au bout duquel le four peut être ouvert sans risque pour les céramiques.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $0,82\times 1~000+3,6=823,6$
    Ainsi $T_1=823,6$.
    La température du four après une heure de refroidissement est $823,6$°C.
    $\quad$
  2. D’après l’algorithme, pour tout entier naturel $n$, on a $T_{n+1}=0,82T_n+3,6$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} T_2&=0,82T_1+3,6\\
    &=678,952\end{align*}$
    $\begin{align*} T_3&=0,82T_2+3,6\\
    &\approx 560\end{align*}$
    $\begin{align*} T_4&=0,82T_3+3,6\\
    &\approx 463\end{align*}$
    La température du four arrondie à l’unité après $4$ heures de refroidissement est $463$°C.
    $\quad$
  4. On obtient le code suivant :
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{def }}\text{froid() :}\\
    2&\hspace{1cm}\text{T=}\textcolor{Green}{1000}\\
    3&\hspace{1cm}\text{n=}\textcolor{Green}{0}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while} }\text{ T>}\textcolor{Green}{70} :\hspace{1cm}\\
    5&\hspace{1.5cm}\text{T=}\textcolor{Green}{0.82}\times \text{T +}\textcolor{Green}{3.6}\\
    6&\hspace{1.5cm}\text{n=n+}\textcolor{Green}{1}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. Voici les premières valeurs prises par $T_n$, arrondies au centième.
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n& T_n\\ \hline
    0& 1000\\ \hline
    1& 823,6\\ \hline
    2& 678,95\\ \hline
    3& 560,34\\ \hline
    4& 463,08\\ \hline
    5& 383,33\\ \hline
    6& 317,93\\ \hline
    7& 264,30\\ \hline
    8& 220,33\\ \hline
    9& 184,27\\ \hline
    10& 154,70\\ \hline
    11& 130,45\\ \hline
    12& 110,57\\ \hline
    13& 94,27\\ \hline
    14& 80,90\\ \hline
    15& 69,94\\ \hline
    \end{array}$
    On peut donc ouvrir le four sans risque pour les céramiques au bout de $15$ heures.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Lors d’une même expérience aléatoire, deux événements $A$ et $B$ vérifient : $$P(A)=0,4 \quad;\quad P(B)=0,6\quad;\quad P\left(A\cap \conj{B}\right)=0,3$$
Alors :

a. $P(A\cap B)=0,1$
b. $P(A\cap B)=0,24$
c. $P(A\cup B)=1$
d. $P(A\cup B)=0,7$

$\quad$

Correction Question 1

$B$ et $\conj{B}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} &P(A)=P(A\cap B)+P\left(A\cap \conj{B}\right) \\
\ssi~&0,4=P(A\cap B)+0,3\\
\ssi~&P(A\cap B)=0,1\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-3x+4$ . L’abscisse du minimum de $f$ est :

a. $-\dfrac{3}{2}$
b. $\dfrac{2}{3}$
c. $\dfrac{3}{2}$
d. $1$

$\quad$

Correction Question 2

$f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
La fonction possède donc un minimum dont l’abscisse est :
$\begin{align*} \alpha&=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-3}{2} \\
&=\dfrac{3}{2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique telle que $u_5=26$ et $u_9=8$. La raison de $\left(u_n\right)$ vaut :

a. $-18$
b. $\dfrac{8}{26}$
c. $4,5$
d. $-4,5$

$\quad$

Correction Question 3

$\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $r$.
On a donc
$\begin{align*} u_9=u_5+4r&\ssi 8=26+4r\\
&\ssi -18=4r\\
&\ssi r=-4,5\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère l’algorithme suivant, écrit en langage usuel :
$$\begin{array}{l}
\text{Suite(N)}\\
\hspace{1cm} \text{A}\leftarrow 10\\
\hspace{1cm} \text{Pour k de 1 à N}\\
\hspace{2cm} \text{A}\leftarrow \text{2*A-4}\\
\hspace{1cm} \text{Fin Pour}\\
\hspace{1cm} \text{Renvoyer A}\end{array}$$
Pour la valeur $N=4$ le résultat affiché sera :

a. $4$
b. $100$
c. $52$
d. $196$

$\quad$

Correction Question 4

Voici les différentes valeurs prises par les variables $\text{A}$ et $\text{k}$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{k}&&1&2&3&4\\
\hline
\text{A}&10&16&28&52&100\\
\hline
\end{array}$$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère un rectangle $ABCD$ tel que $AB=3$ et $AD=2$.

Alors le produit scalaire $\vect{AC}.\vect{DB}$ vaut :

a. $0$
b. $5$
c. $6$
d. $-6$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} \vect{AC}.\vect{DB}&=\left(\vect{AB}+\vect{BC}\right).\left(\vect{DA}+\vect{AB}\right) \\
&=\vect{AB}.\vect{DA}+\vect{AB}.\vect{AB}+\vect{BC}.\vect{DA}+\vect{BC}.\vect{AB} \\
&=0+AB^2-BC^2+0 \qquad (*)\\
&=9-4\\
&=5\end{align*}$

$(*)$ car $\vect{BC}$ et $\vect{DA}$ sont colinéaires de sens contraire.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Partie A

Soit $\left(u_n\right)$ une suite géométrique de raison $2$ de premier terme $u_0 = 0,2$ .

  1. Calculer $u_{18}$ puis $u_{50}$.
    $\quad$
  2. Calculer $u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_{18}$, c’est-à-dire la somme des $19$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Recopier et compléter les trois parties en pointillé de l’algorithme suivant permettant de déterminer le plus petit entier $n$ tel que la somme des $n+1$ premiers termes de la suite $u$ dépasse $100~000$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 0,2 \\
    S\leftarrow 0,2\\
    N\leftarrow 0\\
    \\
    \text{Tant que } \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\
    \qquad U\leftarrow \ldots\ldots\ldots \\
    \qquad S\leftarrow \ldots\ldots\ldots \\
    \qquad N\leftarrow N + 1 \hspace{4cm} \\
    \\
    \text{Fin tant que}\\
    \text{Afficher } N\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Partie B

Claude a donné $20$ centimes d’euros (soit $0,20$ €) à son petit-enfant Camille pour sa naissance. Ensuite, Claude a doublé le montant offert d’une année sur l’autre pour chaque anniversaire jusqu’aux $18$ ans de Camille.

La somme totale versée par Claude à Camille permet-elle de payer un appartement à Angers d’une valeur de $100~000$ € ?

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

  1. $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $2$ et de premier terme $u_0=0,2$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=0,2\times 2^n$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} u_{18}&=0,2\times 2^{18} \\
    &=52~428,8\end{align*}$
    et :
    $\begin{align*} u_{50}&=0,2\times 2^{50} \\
    &\approx 2,25\times 2^{14}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} S&=u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_{18} \\
    &=0,2\times \dfrac{1-2^{19}}{1-2} \\
    &=0,2\left(2^{19}-1\right) \\
    &=104~857,4\end{align*}$
    $\quad$
  3. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 0,2 \\
    S\leftarrow 0,2\\
    N\leftarrow 0\\
    \\
    \text{Tant que } S\pp 100~000\\
    \qquad U\leftarrow 2\times U \\
    \qquad S\leftarrow S + U \\
    \qquad N\leftarrow N + 1 \hspace{4cm}\\
    \\
    \text{Fin tant que}\\
    \text{Afficher } N\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Partie B

Chaque année Camille reçoit donc pour son $n$_ième anniversaire $u_n$ euros où $\left(u_n\right)$ est la suite définie à la partie A.

D’après la question 2. Camille aura donc cumuler $104~857,4$ euros à ses $18$ ans.
Elle pourra se payer un appartement à Angers d’une valeur de $100~000$ euros.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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