E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Plusieurs fois par jour, un auxiliaire de puériculture change le nourrisson dont il a la charge en choisissant une couche au hasard, puis prépare un biberon, en utilisant un lait qu’il choisit au hasard également. Le stock de couches est composé de :

  • $50 \%$ de couches de la marque Nouvonez à $0,25$ € l’unité ;
  • $30 \%$ de couches de la marque Supersec à $0,35$ € l’unité ;
  • $20 \%$ de couches de la marque distributeur à $0,15$ € l’unité.

Dans le placard de la cuisine, l’auxiliaire de puériculture dispose de :

  • $60 \%$ de lait Vitamax (le coût du biberon est alors de $0,10$ €) ;
  • $40 \%$ de lait Grandivit (le coût du biberon est alors de $0,15$ €).

Dans tout l’exercice, on appelle séquence l’action de changer le nourrisson, puis de lui donner un biberon.

  1. Construire un arbre illustrant cette séquence.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que, lors d’une séquence, l’auxiliaire de puériculture utilise une couche Nouvonez et le lait Grandivit. Quel est alors le coût d’une telle
    séquence ?
    $\quad$

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque séquence, associe son coût en euro.

  1. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
    $\quad$
  2. Calculer l’espérance de 𝑋 et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

On admet que la probabilité que l’auxiliaire de puériculture utilise la séquence la moins chère est égale à $0,12$. L’auxiliaire de puériculture change et nourrit le nourrisson quatre fois au cours d’une même journée.

  1. Quelle est la probabilité qu’au cours d’une journée l’auxiliaire de puériculture utilise quatre fois la séquence la moins chère pour ce nourrisson ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On considère les événements :
    – $N$ « la couche est de la marque Nouvonez »
    – $S$ « la couche est de la marque Supersec »
    – $D$ « la couche est de la marque distributeur »
    – $V$ « le lait est de la marque Vitamax »
    On obtient alors l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P\left(N \cap \conj{V}\right)&=P(N)\times P_N\left(\conj{V}\right)\\
    &=0,5\times 0,4\\
    &=0,2\end{align*}$
    La probabilité que, lors d’une séquence, l’auxiliaire de puériculture utilise une couche Nouvonez et le lait Grandivit est égale à $0,2$.
    $\quad$
    Le coût est alors égal à $0,25+0,15=0,40$ €.
    $\quad$
  3. $X$ peut prendre les $0,25;0,3;0,35;0,4;0,45;0,5$.
    $P(X=0,25)=P(D\cap V)=0,2\times 0,6=0,12$
    $P(X=0,3)=P\left(D\cap \conj{V}\right)=0,2\times 0,4=0,08$
    $P(X=0,35)=P(N\cap V)=0,5\times 0,6=0,3$
    $P(X=0,4)=P\left(N\cap \conj{V}\right)=0,5\times 0,4=0,2$
    $P(X=0,45)=P(S\cap V)=0,3\times 0,6=0,18$
    $P(X=0,5)=P\left(S\cap \conj{V}\right)=0,3\times 0,4=0,12$
    $\quad$
  4. L’espérance est :
    $\begin{align*} E(X)&=0,25\times 0,12+0,3\times 0,08+0,35\times 0,3\\
    &\phantom{=}+0,4\times 0,2+0,45\times 0,18+0,5\times 0,12 \\
    &=0,38\end{align*}$
    En moyenne une séquence coûte $0,38$ €.
    $\quad$
  5. La probabilité que l’auxiliaire de puériculture utilise quatre fois la séquence la moins chère est : $p=0,12^4=0,000~207~36$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Probabilités

Séries technologiques

  1. Antonella prend tous les jours sa voiture pour se rendre au travail. Il rencontre sur son trajet $3$ feux tricolores qui fonctionnent tous les trois de la même manière et de façon indépendante. Des relevés statistiques ont permis d’établir que pour chaque feu la
    probabilité qu’il soit vert lorsqu’Antonella s’y présente est égale à $0,6$.
    $V$ désigne l’événement : « le feu est vert » et $\conj{V}$ l’événement contraire.
    a. Illustrer par un arbre de probabilité l’expérience aléatoire consistant à rencontrer successivement les trois feux.
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité qu’Antonella rencontre $3$ feux verts ?
    $\quad$
    c. Quelle est la probabilité qu’Antonella rencontre au moins un feu vert ?
    $\quad$
  2. Une tombola a été organisée par l’Amicale des personnels de la société dans laquelle Antonella travaille. $200$ billets ont été mis en vente et ils ont été tous vendus.
    Chaque billet était vendu au tarif unique de $5$ euros.
    Parmi ces $200$ billets, un billet permet de gagner $100$ euros, $5$ billets permettent, chacun, de gagner $20$ euros, $20$ billets permettent, chacun, de gagner $5$ euros et enfin les autres billets
    sont tous perdants.
    Soit $X$ la variable aléatoire associant à chaque billet le gain algébrique du joueur. On rappelle que le gain algébrique est la différence entre le montant gagné à l’issue du jeu et la mise.
    a. Donner les différentes valeurs prises par $X$.
    $\quad$
    b. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. La probabilité qu’Antonella rencontre $3$ feux verts est égale à $0,6^3=0,216$.
    $\quad$
    c. La probabilité qu’Antonella ne rencontre aucun feu vert est égale à $0,4^3=0,064$.
    La probabilité qu’Antonella rencontre au moins un feux vert est égale à $1-0,064=0,936$.
    $\quad$
  2. a. $X$ peut prendre les valeurs $-5;0;15$ et $95$.
    $\quad$
    b. $P(X=95)=\dfrac{1}{200}$
    $P(X=15)=\dfrac{5}{200}=\dfrac{1}{40}$
    $P(X=0)=\dfrac{20}{200}=\dfrac{1}{10}$
    $P(X=-5)=1-\left(P(X=95)+P(X=15)+P(X=0)\right)=\dfrac{887}{100}$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Probabilités

Séries technologiques

Une agence a lancé une campagne de publicité afin de faire connaître un nouveau produit. Elle a réalisé un sondage dans une zone géographique déterminée afin de connaître l’impact de cette campagne.

  • $28\%$ des personnes interrogées ont plus de 60 ans. Parmi elles, $40\%$ ont déclaré connaitre le produit.
  • $42 \%$ des personnes interrogées ont entre 25 et 60 ans. Parmi elles, $55\%$ ont déclaré connaitre le produit.
  • Parmi les personnes de moins de 25 ans, $75\%$ ont déclaré connaitre le produit.

On choisit au hasard une personne interrogée par l’agence de publicité et on considère les événements suivants :

  • $S$ : « la personne interrogée a plus de 60 ans » ;
  • $M$ ∶ « la personne interrogée a entre 25 et 60 ans » ;
  • $J$ ∶ « la personne interrogée a moins de 25 ans » ;
  • $C$ ∶ « la personne interrogée déclare connaitre le produit ».
  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

    $\quad$

  2. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait entre 25 et 60 ans et déclare ne pas connaître le produit.
    $\quad$
  3. a. Calculer la probabilité de l’événement $S\cap C$
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité de l’évènement $C$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité que la personne ait plus de 60 ans, sachant qu’elle déclare connaitre le produit. Arrondir le résultat au millième.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P\left(S\cap \conj{C}\right)&=P(S)\times P_S\left(\conj{C}\right) \\
    &=0,28\times 0,6\\
    &=0,168\end{align*}$
    La probabilité que la personne interrogée ait entre 25 et 60 ans et déclare ne pas connaître le produit est égale à $0,168$.
    $\quad$
  3. a. On a
    $\begin{align*} P(S\cap C)&=P(S)\times P_S(C)\\
    &=0,28\times 0,4\\
    &=0,112\end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(C)&=P(S\cap C)+P(M\cap C)+P(J\cap C)\\
    &=0,112+0,42\times 0,55+0,3\times 0,75\\
    &=0,568\end{align*}$
    La probabilité de l’événement $C$ est égale à $0,568$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_C(S)&=\dfrac{P(C\cap S)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,112}{0,568}\\
    &\approx 0,197\end{align*}$
    La probabilité que la personne ait plus de 60 ans, sachant qu’elle déclare connaitre le produit est environ égale à $0,197$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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