E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Calculer la masse correspondant à $\dfrac{2}{3}$ de $240$ grammes.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\dfrac{2}{3} \times 240 = 2\times 80=160$.
    Cela correspond donc à $160$ g.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Compléter : « augmenter de $0,3 \%$ revient à multiplier par …… »
    $\quad$
    Correction Question 2

    Cela revient à multiplier par $1+\dfrac{0,3}{100}=1,003$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Compléter : « diminuer de …… $\%$ revient à multiplier par $0,86$ »
    $\quad$
    Correction Question 3

    $0,86=1-0,14$
    Donc « diminuer de $14\%$ revient à multiplier par $0,86$ »
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Des mesures annuelles ont été relevées dans le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{années}&2015&2016&2017\\
    \hline
    \text{mesures}&&5,00&4,00\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Déterminer le taux d’évolution des mesures entre 2016 et 2017.
    $\quad$
    Correction Question 4.a.

    On a $\dfrac{4,00-5,00}{5,00}=-0,2$
    Il s’agit donc d’une baisse de $20\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
    b. Sachant que le taux de 2015 à 2016 est $+25 \%$, calculer la mesure en 2015.
    $\quad$
    Correction Question 4.b.

    On appelle $x$ la mesure en 2015.
    On a donc $x\left(1+\dfrac{25}{100}\right)=5,00$
    Soit $1,25x=5,00$ et par conséquent $x=\dfrac{5,00}{1,25}=4,00$
    $\quad$.

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  5. Déterminer le taux global d’une hausse de $10 \%$ suivie d’une baisse de $20 \%$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    Le coefficient multiplicateur global est :
    $\begin{align*} m&=\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\left(1-\dfrac{20}{100}\right) \\
    &=1,1\times 0,8 \\
    &=0,88\\
    &=1-0,12\end{align*}$
    Il s’agit donc d’une baisse de $12\%$ soit un taux globale de $-12\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  6. Résoudre $2x-(2-x)=7$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $2x-(2-x)=7\ssi 2x-2+x=7 \ssi 3x=9\ssi x=3$
    La solution de l’équation est $3$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Résoudre $(x+3)^2-8=0$.
    $\quad$
    Correction Question 7

    $(x+3)^2-8=0 \ssi x^2+6x+9-8=0\ssi
    x^2+6x+1=0$
    Le discriminant est $\Delta=36-4=32>0$
    Les solutions sont donc $\dfrac{-6-\sqrt{32}}{2}$ et $\dfrac{-6+\sqrt{32}}{2}$.
    $\quad$
    Autre méthode
    $(x+3)^2-8=0 \ssi (x+3)^2=8 \ssi x+3=\sqrt{8}$ ou $x+3=-\sqrt{8}$ $\ssi x=-3+\sqrt{8}$ ou $x=-3-\sqrt{8}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Etudier le signe de $f(x)=4+3x$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $4+3x=0 \ssi 3x=-4 \ssi x=-\dfrac{4}{3}$
    $4+3x>0 \ssi 3x>-4 \ssi x>-\dfrac{4}{3}$
    Ainsi :
    – sur $\left]-\infty;-\dfrac{4}{3}\right[$ on a $f(x)<0$;
    – $f\left(-\dfrac{4}{3}\right)=0$;
    – sur $\left]-\dfrac{4}{3};+\infty\right[$ on a $f(x)>0$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Etudier le signe de $h(x)=2x(5-2x)$.
    $\quad$
    Correction Question 9

    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $2x=0 \ssi x=0$
    $5-2x=0 \ssi -2x=-5 \ssi x=\dfrac{5}{2}$
    De plus $h(x)=10x-4x^2$
    $h$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=-4<0$.
    Par conséquent :
    – sur $]-\infty;0[\cup\left]\dfrac{5}{2};+\infty\right[$ on a $h(x)<0$;
    – $h(0)=0$ et $h\left(\dfrac{5}{2}\right)=0$;
    – sur $\left]0;\dfrac{5}{2}\right[$ on a $h(x)>0$.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également réaliser un tableau de signes pour répondre à la question.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence 

E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Mettre sous la forme d’une fraction irréductible $\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{5}$.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\begin{align*}\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{5}&=\dfrac{15}{20}-\dfrac{28}{20} \\
    &=-\dfrac{13}{20}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Donner l’écriture scientifique de $0,045~6$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $0,045~6=4,56\times 10^{-2}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Compléter l’égalité $10^{-5}\times \ldots\ldots =10^8$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $10^{-5}\times 10^{13}=10^{8}$ car $-5+13=8$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Développer l’expression $7x^2(4x-6)$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    $7x^2(4x-6)=28x^3-42x$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Factoriser l’expression $(5x-3)(3x+1)+4x(5x-3)$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $\begin{align*} (5x-3)(3x+1)+4x(5x-3)&=(5x-3)\left[(3x+1)+4x\right] \\
    &=(5x-3)(7x+1)\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  6. Résoudre dans $\R$ l’équation $(2x-5)(-x+7) = 0$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $2x-5=0\ssi 2x=5 \ssi x=\dfrac{5}{2}$ ou $-x+7=0\ssi x=7$.
    Les solutions de l’équation sont donc $\dfrac{5}{2}$ et $7$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ alors $d=$
    $\quad$
    Correction Question 7

    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \ssi ad=bc \ssi d=\dfrac{bc}{a}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Calculer $40\%$ de $70$ €.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $\dfrac{40}{100}\times 70=\dfrac{2~800}{100}=28$.
    $40\%$ de $70$ € représente donc $28$ €.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Un article est passé de $40$ € à $50$ €.
    Quel est le taux d’évolution en pourcentage de cet article ?
    $\quad$
    Correction Question 9

    On a $\dfrac{50-40}{40}=\dfrac{10}{40}=0,25$
    Le taux d’évolution est donc égal à $25\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. On a représenté une droite D dans le repère ci-dessous.

    Compléter par lecture graphique.
    L’équation réduite de la droite $D$ est : ………………………………….
    $\quad$
    Correction Question 10

    L’ordonnée à l’origine est $-3$.
    Pour chaque déplacement de $1$ unité vers la droite on descend de $3$ unités : le coefficient directeur est donc $-3$.
    L’équation réduite de $D$ est donc $y=-3x-3$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence 

E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Quelle est la fraction irréductible égale à $\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{3}$?
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{21}-\dfrac{14}{21}=-\dfrac{11}{21}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Un objet coûte $25$ €. Son prix baisse de $20\%$. Quel est son nouveau prix?
    $\quad$
    Correction Question 2

    $25\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=\dfrac{100}{4}\times \dfrac{80}{100}=20$.
    Le nouveau prix est $20$ €.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Ecrire le nombre suivant sous la forme $a^n$ avec $a,n \in \N$.
    $$5^6\times \left(4^3\right)^2$$
    $\quad$
    Correction Question 3

    $5^6\times \left(4^3\right)^2=5^6\times 4^6=20^6$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Donner un ordre de grandeur de $$101\times 99$$
    $\quad$
    Correction Question 4

    Un ordre de grandeur de $101\times 99$ est $100\times 100=10~000$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Résoudre dans $\R$ l’équation d’inconnue $x$ suivante : $$3x^2-1=48$$
    $\quad$
    Correction Question 5

    $3x^2-1=48 \ssi 3x^2=49 \ssi x^2=\dfrac{49}{3}$.
    Les solutions sont donc $-\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{3}}$ soit $-\dfrac{7}{\sqrt{3}}$ et $\dfrac{7}{\sqrt{3}}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  6. Résoudre dans $\R$ l’inéquation d’inconnue $x$ suivante : $$-2x+1\pp 3$$
    $\quad$
    Correction Question 6

    $-2x+1\pp 3 \ssi -2x \pp 2 \ssi x\pg -1$
    L’ensemble solution est $[-1;+\infty[$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Factoriser $9x^2-30x+25$
    $\quad$
    Correction Question 7

    $9x^2-30x+25=(3x)^2-2\times 3x\times 5+5^2=(3x-5)^2$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(-x+1)(-2x+4)$.
    Déterminer le tableau de signes de $f(x)$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $-x+1=0 \ssi x=1$ et $-x+1>0 \ssi x<1$
    $-2x+4=0 \ssi -2x=-4 \ssi x=2$ et $-2x+4>0 \ssi -2x>-4 \ssi x<2$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :$\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. $\quad$

    En utilisant la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[-3;2]$ donnée ci-dessous, résoudre l’inéquation $f(x)\pg 0$.
    $\quad$

    Correction Question 9

    L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\pg 0$ est $[-2;1]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Par lecture graphique donner l’équation réduite de la droite d représentée ci-dessus.
    $\quad$
    Correction Question 10

    L’équation réduite de la droite $d$ est : $y=-\dfrac{1}{2}x-1$.
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence 

E3C – Séries technologiques – Information chiffrée – Janvier 2020

E3C – Informations chiffrées

Séries technologiques

Depuis l’an 2000, l’Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d’azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2015, la norme tolérée était fixée à $130$ milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L’objectif de l’Union Européenne est d’atteindre une émission de polluants inférieure à $60$ milligramme par kilomètre.
La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2015, sa baisse est de $5,1\%$ par an.

  1. a. Justifier que la norme tolérée était d’environ 123 milligrammes par kilomètre en 2016.
    $\quad$
    b. Un véhicule émettait $120$ milligrammes par kilomètre en 2017.
    Indiquer, en justifiant, s’il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.
    $\quad$
  2. Dans le cadre d’une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l’Union Européenne atteindra son objectif. Louise a amorcé
    l’algorithme ci-dessous programmé sous Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{0} \\
    \text{p}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{130} \\
    \\
    \textcolor{blue}{\textbf{while}}\fbox{$\phantom{12345}$}\textcolor{Mahogany}{:} \\
    \hspace{1cm} \text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\text{n}\textcolor{Mahogany}{+}\textcolor{Emerald}{1} \\
    \hspace{1cm} \text{p}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{0.949}\textcolor{Mahogany}{*}\text{p}\\
    \textcolor{blue}{\text{print}}\textcolor{Mahogany}{(}\fbox{$\phantom{1}$}\textcolor{Mahogany}{)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Expliquer l’instruction “p=0.949 * p”.
    $\quad$
    b. Deux lignes de l’algorithme comportent des cases vides. Recopier ces lignes et les compéter afin de permettre à Louise de déterminer l’année recherchée.
    $\quad$
  3. Grâce à son algorithme, Louise a conclu qu’à partir de 2030 l’objectif de l’Union Européenne serait atteint. Vérifier à l’aide d’un calcul qu’elle a raison.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $130\times \left(1-\dfrac{5,1}{100}\right)=123,37$
    La norme tolérée était d’environ $123$ milligrammes par kilomètre en 2016.
    $\quad$
    b. $123,37\times \left(1-\dfrac{5,1}{100}\right)\approx 117,08<120$
    Le véhicule ne respectait pas la norme tolérée en 2017.
    $\quad$
  2. a. $1-\dfrac{5,1}{100}=0,949$
    L’instruction permet donc de calculer la norme tolérée l’année suivante.
    $\quad$
    b. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{0} \\
    \text{p}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{130} \\
    \\
    \textcolor{blue}{\textbf{while}}\fbox{p>60}\textcolor{Mahogany}{:} \\
    \hspace{1cm} \text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\text{n}\textcolor{Mahogany}{+}\textcolor{Emerald}{1} \\
    \hspace{1cm} \text{p}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{0.949}\textcolor{Mahogany}{*}\text{p}\\
    \textcolor{blue}{\text{print}}\textcolor{Mahogany}{(}\fbox{n}\textcolor{Mahogany}{)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. $130\times 0,949^{14}\approx 62,47>60$.
    $130\times 0,949^{15}\approx 59,28<60$.
    À partir de 2030 l’objectif est donc atteint.

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence 

E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Dans un repère du plan, on donne $A(2; 4)$ et $B(6; 16)$.
    Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
    Une équation de cette droite est donc de la forme $y=mx+p$.
    Le coefficient directeur est $m=\dfrac{16-4}{6-2}=3$.
    Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=3x+p$.
    Or $A(2;4)$ appartient à la droite $(AB)$.
    Par conséquent $4=3\times 2+p$. Donc $p=-2$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2-x+3$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
    Déterminer l’ordonnée du point de $C_f$ ayant pour abscisse $-3$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $f(-3)=2(-3)^2-(-3)+3=18+3+3=24$.
    Le point de $C_f$ ayant pour abscisse $-3$ a pour ordonnée $24$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Factoriser l’expression $4(x+2)+(x+2)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} 4(x+2)+(x+2)^2&=(x+2)\left[4+(x+2)\right]\\
    &=(x+2)(x+6)\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=-3x+7$.
    Déterminer l’antécédent de $-11$ par $g$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    On veut résoudre l’équation
    $\begin{align*} g(x)=-11&\ssi -3x+7=-11 \\
    &\ssi -3x=-18\\
    &\ssi x=6\end{align*}$
    L’antécédent cherché est donc $6$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Après une baisse de $20\%$ un produit coûte $200$ €. Quel était son prix initial?
    $\quad$
    Correction Question 5

    On appelle $P$ son prix initial.
    On a donc :
    $\begin{align*} P\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=200 &\ssi 0,8P=200\\
    &\ssi P=\dfrac{200}{0,8} \\
    &\ssi P = 250\end{align*}$
    Remarque : diviser par $0,8$ revient à diviser par $4$ puis à multiplier par $5$.
    Le produit coûtait donc initialement $250$ €.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Calculer $\dfrac{10+10^3}{10}$
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\dfrac{10+10^3}{10}=1+10^2=101$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Résoudre l’équation $x^2=25$
    $\quad$
    Correction Question 7

    Les solutions de l’équation sont $-5$ et $5$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. La formule de l’IMC (indice de masse corporelle; noté $I$) est $I=\dfrac{m}{t^2}$ où $m$ est la masse en kilogramme et $t$ la taille en mètre.
    Exprimer $t$ en fonction de $m$ et de $I$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    On a donc $t^2=\dfrac{m}{I}$ soit, puisque $t$ est positif, $t=\sqrt{\dfrac{m}{I}}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Compléter le tableau de signe de l’expression $(x-1)(x+3)$.
    $\quad$
    Correction Question 9

    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x+3=0 \ssi x=-3$ et $x+3>0 \ssi x>-3$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Par lecture graphique, dresser le tableau de variation de la fonction $h$ définie sur $[-6; 6]$ et représentée ci-dessous dans un repère du plan :

    $\quad$

    $\quad$
    Correction Question 10

    [collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence 

E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Un centre de vacances accueille 200 adolescents : parmi eux, $35 \%$ ont choisi l’activité kayak, $25 \%$ l’activité escalade et les autres l’activité équitation. Les filles représentent $30 \%$ des personnes ayant choisi l’activité kayak, $40 \%$ de l’activité escalade et $70 \%$ de l’activité équitation.

  1. À l’aide des données de l’énoncé, compléter le tableau d’effectifs ci-dessous :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &~~\text{Kayak}~~&\text{Escalade}&\text{Équitation}&~~\text{Total}~~\\
    \hline
    \text{Filles}&&&&\\
    \hline
    \text{Garçons}&&&&\\
    \hline
    \text{Total}&&&&200\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Calculer, parmi les filles, la fréquence de celles qui ont choisi l’activité kayak.
    $\quad$
  3. On sélectionne au hasard une personne parmi les $200$ adolescents présents dans le centre.
    a. Calculer la probabilité que la personne sélectionnée soit un garçon qui a choisi l’activité équitation.
    $\quad$
    b. Sachant que la personne sélectionnée est une fille, calculer la probabilité qu’elle ait choisi l’équitation.
    $\quad$
  4. Le centre de vacances, qui peut actuellement accueillir jusqu’à $236$ adolescents, va procéder à un agrandissement de ses locaux afin d’augmenter sa capacité d’accueil de $7 \%$ par an sur les cinq prochaines années.
    Combien d’adolescents le centre de vacances pourra-t-il accueillir après ces cinq années ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &~~\text{Kayak}~~&\text{Escalade}&\text{Équitation}&~~\text{Total}~~\\
    \hline
    \text{Filles}&21&20&56&97\\
    \hline
    \text{Garçons}&49&30&24&103\\
    \hline
    \text{Total}&70&50&80&200\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Parmi les filles, la fréquence de celles qui ont choisi l’activité kayak est $\dfrac{21}{97}$.
    $\quad$
  3. a. La probabilité que la personne sélectionnée soit un garçon qui a choisi l’activité équitation est $\dfrac{24}{200}=0,12$.
    $\quad$
    b. La probabilité que la personne sélectionnée ait choisi l’équitation sachant que c’est une fille est $\dfrac{56}{97}$.
    $\quad$
  4. $236\times \left(1+\dfrac{7}{100}\right)^5\approx 331$
    Après ces cinq années le centre de vacances pourra accueillir $331$ élèves.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence 

 

E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Une baisse de $10\%$ suivie d’une baisse de $20\%$ correspond à une baisse globale de $\ldots$
    $\quad$
    Correction Question 2

    Le coefficient multiplicateur associé à cette évolution est :
    $\begin{align*} m&=\left(1-\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)\\
    &=0,9\times 0,8\\
    &=0,72\\
    &=1-0,28\end{align*}$
    Il s’agit donc d’une baisse globale de $28\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. La forme décimale de $\frac{7}{4}\times 10^{-3}$ est
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} \dfrac{7}{4}\times 10^{-3}&=1,75\times 10^{-3} \\
    &=0,001~75\\
    \end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. La fraction irréductible égale à $1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2$ est :
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} 1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2&=1-\dfrac{4}{9} \\
    &=\dfrac{5}{9}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Une série statistique est résumée à l’aide du diagramme en boîtes ci-dessous, utilisez-le pour répondre aux questions 4 et 5.

  1. L’écart interquartile de cette série vaut
    $\quad$
    Correction Question 4

    D’après le graphique, l’écart interquartile vaut $55-30=25$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Le pourcentage des valeurs de cette série comprises entre $30$ et $60$ est de :
    $\quad$
    Correction Question 5

    D’après le graphique, le premier quartile est $Q_1=30$ et le maximum vaut $60$.
    Ainsi $75\%$ des valeurs de cette série sont comprises entre $30$ et $60$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$
  3. Résoudre l’équation $3x-10=x+2$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} 3x-10=x+2 &\ssi 3x-x=2+10\\
    &\ssi 2x=12\\
    &\ssi x=6\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Développer l’expression $(3x-2)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 7

    $\begin{align*} (3x-2)^2&=(3x)^2-2\times 3x\times 2+2^2 \\
    &=9x^2-12x+4\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Factoriser l’expression $x^3+5x$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $x^3+5x=x\left(x^2+5\right)$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  6. Tracer la droite d’équation $y=-2x+3$ dans le repère ci-dessous

    $\quad$
    Correction Question 9

    Si $x=0$ alors $y=-2\times 0+3=3$. Le point $A$ de coordonnées $(0;3)$ appartient donc à la droite $\Delta$.
    Si $x=2,5$ alors $y=-2\times 2,5+3=-2$. Le point $B$ de coordonnées $(2,5;-2)$ appartient à la droite $\Delta$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Dans un repère, on donne $A (5 ; 8)$ et $B (1 ; 0)$, le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
    $\quad$
    Correction Question 10

    $A$ et $B$ ont des abscisses différentes.
    Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{8-0}{5-1} \\
    &=\dfrac{8}{4}\\
    &=2\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence 

E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

On s’intéresse aux immatriculations de voitures particulières neuves durant l’année 2018 en fonction de leur provenance géographique et de leur type de motorisation.
Les résultats sont partiellement reportés dans le tableau donné en annexe (source Service de la Donnée et des Etudes Statistiques) où l’unité est la centaine de voitures arrondie à l’unité. Ainsi le total global de $21~384$ correspond à environ $2~138~400$ nouvelles immatriculations en France métropolitaine.

  1. L’INSEE précise qu’en 2018 on comptait $38,56 \%$ de voitures Diesel parmi les immatriculations de voitures neuves. A l’aide de cette information, compléter le tableau fourni en annexe. On conservera comme unité la centaine de voitures et les résultats seront arrondis à l’unité.
    $\quad$
  2. Un journaliste spécialisé affirme qu’en 2018 un peu moins d’un quart des voitures particulières neuves hybrides ou électriques ont été immatriculées en Île-de-France.
    Cette déclaration vous semble-t-elle correcte ? Justifier votre réponse.
    $\quad$
  3. Parmi les $137~200$ voitures hybrides ou électriques immatriculées en 2018, on comptait environ $30~900$ purement électriques. On illustre cette situation par un diagramme circulaire donné dans l’annexe 5.
    Quelle est, au degré près, la valeur de l’angle au centre associé à la zone concernant les voitures électriques ?
    $\quad$
  4. Ces chiffres de 2018 permettent aux spécialistes de constater une augmentation de $2,83 \%$ du nombre d’immatriculations de voitures neuves en France métropolitaine par rapport à 2017. Quel était, à la centaine près, le nombre de ces immatriculations en 2017 ?
    $\quad$
  5. Les chiffres de mars 2019 montrent un pourcentage de $6,5 \%$ d’immatriculations de voitures neuves hybrides ou électriques.
    On peut observer que $34 \%$ d’entre elles concernent des voitures purement électriques.
    Quel pourcentage du nombre total des immatriculations de voitures neuves représentent les voitures purement électriques ?
    $\quad$

Annexes

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}&\hspace{0.5cm}\text{Diesel}\hspace{0.5cm}&\hspace{0.35cm}\text{Essence}\hspace{0.35cm}&\begin{array}{c} \text{Hybride ou}\\\text{électrique}\end{array}&\hspace{0.6cm}\text{Total}\hspace{0.6cm}\\
\hline
\rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}\text{Île-de-France}&1~588&1~855&335&3~778\\
\hline
\begin{array}{c}\text{Autres régions}\\\text{de France}\\\text{métropolitaine}\end{array}&&&1~037&17~606\\
\hline
\rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}\text{Total}&&&1~372&21~384\\
\hline
\end{array}$$

 

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}&\hspace{0.5cm}\text{Diesel}\hspace{0.5cm}&\hspace{0.35cm}\text{Essence}\hspace{0.35cm}&\begin{array}{c} \text{Hybride ou}\\\text{électrique}\end{array}&\hspace{0.6cm}\text{Total}\hspace{0.6cm}\\
    \hline
    \rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}\text{Île-de-France}&1~588&1~855&335&3~778\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Autres régions}\\\text{de France}\\\text{métropolitaine}\end{array}&6~658&9~911&1~037&17~606\\
    \hline
    \rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}\text{Total}&8~246&11~766&1~372&21~384\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. $\dfrac{335}{1~372}\approx 0,24$.
    L’affirmation du journaliste semble donc correcte.
    $\quad$
  3. $\dfrac{30~900}{137~200}\times 360\approx 81$.
    L’angle au centre associée à la zone concernant les voitures électriques a une mesure environ égale à $81$ °.
    $\quad$
  4. On appelle $x$ le nombre de nouvelles immatriculations en 2017.
    On a donc $x\times \left(1+\dfrac{2,83}{100}\right)=2~138~400$
    Par conséquent $1,0283x=2~138~400$
    Donc $x=\dfrac{2~138~400}{1,0283}$
    Ainsi $x\approx 2~079~500$
    Il y avait donc eu environ $2~079~500$ nouvelles immatriculations en 2017.
    $\quad$
  5. $0,34\times 0,065=0,022~1=2,21\%$.
    Les voitures purement électriques représentent donc $2,21\%$ du total des immatriculations de voitures neuves en mars 2019.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence 

E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. À quelle évolution globale correspond une hausse de $20\%$ suivi d’une baisse de $30\%$ ?
    $\quad$
    Correction Question 1

    Le coefficient multiplicateur est :
    $\begin{align*} m&=\left(1+\dfrac{20}{100}\right)\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\\
    &=1,2\times 0,7\\
    &=0,84\\
    &=1-0,16\end{align*}$
    Il s’agit donc, au global, d’une baisse de $16\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Convertir $3,52$ h en heure minute seconde.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $0,52$h $=0,52\times 60$ min $= 31,2$ min
    $0,2$ min $=0,2\times 60$ s $=12$ s.
    Ainsi $3,52$h $=3$h $31$min $12$s
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Soit $(d)$ la droite d’équation réduite $y = -3x + 2$.
    Le point $B\left(\dfrac{1}{3};1\right)$ appartient-il à la droite $(d)$ ?
    $\quad$
    Correction Question 3

    $-3\times \dfrac{1}{3}+2=-1+2=1$ donc $B$ appartient à la droite $(d)$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Développer et réduite l’expression suivante :
    $A(x)=(2x-1)^2+3x+2$
    $\quad$
    Correction Question 4

    $\begin{align*} A(x)&=(2x-1)^2+3x+2 \\
    &=(2x)^2-2\times 2x\times 1+1^2+3x+2\\
    &=4x^2-4x+1+3x+2\\
    &=4x^2-x+3\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Soit $f$ la fonction définie par la représentation graphique ci-dessous :

    Déterminer graphiquement l’ensemble des solutions de l’équation $f(x)=0$.
    $\quad$

    Correction Question 5

    L’ensemble solution cherché est, graphiquement, $\left\{-3;0;2;4\right\}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Résoudre dans $\R$ l’inéquation d’inconnue $x$ suivante : $-2x-4\pg x+2$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} -2x-4\pg x+2&\ssi -3x\pg 6\\
    &\ssi x\pp -2 \text{ on divise par $-3$ qui est négatif}\end{align*}$
    L’ensemble solution est donc $]-\infty;-2]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Quelle est la fraction irréductible égale à $\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{12}$?
    $\quad$
    Correction Question 7

    $\begin{align*}\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{12}&=\dfrac{9}{24}+\dfrac{10}{24} \\
    &=\dfrac{19}{24}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. On considère le calcul suivant : $0,003\times 1,5\times 10^8$.
    Donner le résultat en écriture scientifique.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $\begin{align*}0,003\times 1,5\times 10^8&=3\times 10^{-3}\times 15\times 10^{-1}\times 10^8 \\
    &=45\times 10^4 \\
    &=4,5\times 10^5\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Résoudre dans $\R$ l’équation d’inconnue $x$ suivante : $$3x^2+1=13$$
    $\quad$
    Correction Question 9

    $\begin{align*}3x^2+1=13&\ssi 3x^2=12\\
    &\ssi x^2=4\\
    &\ssi x=2 \text{ ou } x=-2\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Les tailles des élèves d’une classe de terminale ont été représentées par l’histogramme ci‐dessous :

    Trois élèves ont une taille inférieure à $160$ cm.
    Déterminer le nombre d’élèves dans cette classe de terminale.
    $\quad$
    Correction Question 10

    $6$ “petits rectangles” représentent donc $3$ élèves.
    Donc $2$ “petits rectangles” représentent $1$ élève.
    Il y a par conséquent $33$ élèves dans cette classe.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence 

E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Pour les question 1 et 2, on utilisera l’énoncé suivant :

On note $T_F$ la température en degrés Fahrenheit et $T_C$ la température en degrés Celsius.
On a la relation : $T_F=1,8T_C+32$.

  1. Si $T_C=30$, a valeur exacte de $T_F$ est :
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\begin{align*} T_F&=1,8T_C+32\\
    &=1,8\times 30+32\\
    &=54+32\\
    &=86\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Si $T_F=50$, alors $T_C$ est égale à :
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} 50=1,8T_C+32&\ssi 18=1,8T_C\\
    &\ssi T_C=10\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Un objet coûte $45$ €. Il augmente de $30 \%$. Quel est son nouveau prix ?
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} 45\times \left(1+\dfrac{30}{100}\right)&=45\times 1,3\\
    &=58,5\end{align*}$
    Après l’augmentation l’article coûte $58,5$ €.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Un prix augmente de $10\%$ puis baisse de $30 \%$.
    Quelle est l’évolution globale de ce prix ?
    $\quad$
    Correction Question 4

    Le coefficient multiplicateur est :
    $\begin{align*} C_M&=\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\\
    &=1,1\times 0,7\\
    &=0,77\\
    &=1-\dfrac{23}{100}\end{align*}$
    Le prix a donc baissé de $23\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Résoudre l’équation $5x+1=4(2x-3)$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $\begin{align*} 5x+1=4(2x-3)&\ssi 5x+1=8x-12\\
    &\ssi -3x=-13\\
    &\ssi x=\dfrac{13}{3}\end{align*}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{13}{3}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Résoudre l’inéquation $-4x+1<3-2x$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} -4x+1<3-2x&\ssi -2<2x\\
    &\ssi -1<x\end{align*}$
    L’ensemble solution est donc $]-1;+\infty[$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Pour les questions 7 à 10, on utilisera l’énoncé suivant :
Sur le graphique suivant, on a représenté la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $\R$

  1. Lire sur le graphique l’image de $-1$ par $f$.
    $\quad$
    Correction Question 7

    Graphiquement $f(-1)=4$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Résoudre $f(x)=-2$ avec la précision que permet le graphique.
    $\quad$
    Correction Question 7

    Graphiquement les solutions de $f(x)=-2$ sont, approximativement $-2,2$ ; $2$ et $2,2$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Dresser le tableau de signe de la fonction $f$ sur $[-2 ; 3]$.
    $\quad$
    Correction Question 9


    $\quad$

    [collapse]
  4. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[-2 ; 3]$.
    Correction Question 10


    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence