E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Pour les question 1 et 2, on utilisera l’énoncé suivant :

On note $T_F$ la température en degrés Fahrenheit et $T_C$ la température en degrés Celsius.
On a la relation : $T_F=1,8T_C+32$.

Si $T_C=30$, a valeur exacte de $T_F$ est :
$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} T_F&=1,8T_C+32\\
&=1,8\times 30+32\\
&=54+32\\
&=86\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Si $T_F=50$, alors $T_C$ est égale à :
$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} 50=1,8T_C+32&\ssi 18=1,8T_C\\
&\ssi T_C=10\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un objet coûte $45$ €. Il augmente de $30 \%$. Quel est son nouveau prix ?
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} 45\times \left(1+\dfrac{30}{100}\right)&=45\times 1,3\\
&=58,5\end{align*}$
Après l’augmentation l’article coûte $58,5$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un prix augmente de $10\%$ puis baisse de $30 \%$.
Quelle est l’évolution globale de ce prix ?
$\quad$

Correction Question 4

Le coefficient multiplicateur est :
$\begin{align*} C_M&=\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\\
&=1,1\times 0,7\\
&=0,77\\
&=1-\dfrac{23}{100}\end{align*}$
Le prix a donc baissé de $23\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’équation $5x+1=4(2x-3)$.
$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} 5x+1=4(2x-3)&\ssi 5x+1=8x-12\\
&\ssi -3x=-13\\
&\ssi x=\dfrac{13}{3}\end{align*}$
La solution de l’équation est $\dfrac{13}{3}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Résoudre l’inéquation $-4x+1<3-2x$.
$\quad$

Correction Question 6

$\begin{align*} -4x+1<3-2x&\ssi -2<2x\\
&\ssi -1<x\end{align*}$
L’ensemble solution est donc $]-1;+\infty[$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Pour les questions 7 à 10, on utilisera l’énoncé suivant :
Sur le graphique suivant, on a représenté la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $\R$

Lire sur le graphique l’image de $-1$ par $f$.
$\quad$

Correction Question 7

Graphiquement $f(-1)=4$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre $f(x)=-2$ avec la précision que permet le graphique.
$\quad$

Correction Question 7

Graphiquement les solutions de $f(x)=-2$ sont, approximativement $-2,2$ ; $2$ et $2,2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Dresser le tableau de signe de la fonction $f$ sur $[-2 ; 3]$.
$\quad$

Correction Question 9

$\quad$

[collapse]
Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[-2 ; 3]$.

Correction Question 10

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Pour un coefficient multiplicateur de $1,33$ le taux d’évolution en pourcentage est :
$\quad$

Correction Question 1

$1,33=1+\dfrac{33}{100}$
Le taux d’évolution est donc de $33\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Après une hausse de $120 \%$ un produit coûte $1~200$ €.
Quel était son prix initial ?
$\quad$

Correction Question 2

On appelle $P$ le prix initial.
On a donc :
$\begin{align*}
P\left(1+\dfrac{120}{100}\right)=1~200 &\ssi 2,2P=1~200\\
&\ssi P=\dfrac{1~200}{2,2}
\end{align*}$
$P$ n’admet pas d’écriture décimale. Une écriture sous la forme d’une fraction irréductible est $P=\dfrac{6~000}{11}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Écrire sous la forme décimale le résultat du calcul suivant $3\times 10^3+6\times 10^2+4+5\times 10^{-1}$.
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} &3\times 10^3+6\times 10^2+4+5\times 10^{-1}\\=&3\times 1~000+6\times 100+4+5\times 0,1\\
=&3~604,5\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’équation $5-2x=0$.
$\quad$

Correction Question 4

$5-2x=0 \ssi 2x=5\ssi x=\dfrac{5}{2}$.
La solution de l’équation est $\dfrac{5}{2}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
L’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x+6>0$ est
$\quad$

Correction Question 5

$-3x+6>0\ssi -3x>-6\ssi x<2$
L’ensemble des solutions est $]-\infty;2[$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Factoriser $3x(x+5)-(x+5)^2$.
$\quad$

Correction Question 6

$\begin{align*} 3x(x+5)-(x+5)^2&=(x+5)\left[3-(x+5)\right] \\
&=(x+5)(3x-x-5)\\
&=(x+5)(2x-5)\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
$x$ et $y$ sont des nombres réels tels que $6-2x\pp 4y$.
Isoler $x$ dans cette inégalité.
$\quad$

Correction Question 7

$6-2x\pp 4y \ssi -2x\pp 4y-6 \ssi x\pg 3-2y$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
$f(x)=x^2-3$
Calculer l’image de $\sqrt{2}$ par cette fonction.
$\quad$

Correction Question 8

$\begin{align*} f\left(\sqrt{2}\right)&=\sqrt{2}^2-3\\
&=2-3\\
&=-1\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Les coordonnées du point d’intersection de la droite d’équation $y=3x+2$ avec l’axe des abscisses sont
$\quad$

Correction Question 9

$3x+2=0\ssi 3x=-2 \ssi x=-\dfrac{2}{3}$
Les coordonnées du point d’intersection de la droite d’équation $y=3x+2$ avec l’axe des abscisses sont $\left(-\dfrac{2}{3};0\right)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Donner l’équation réduite de la droite $(D)$ représentée ci-dessous
$\quad$

Correction Question 10

On lit que l’ordonnée à l’origine est $-1$ et que le coefficient directeur est $\dfrac{1}{2}$ (on “monte” de $1$ unité quand on se déplace de $2$ unités vers la droite).
L’équation réduite de $(D)$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x-1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Calculer $\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{2}$. Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*}\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{2}&=\dfrac{8}{10}+\dfrac{5}{10} \\
&=\dfrac{13}{10}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Compléter avec les exposants qui conviennent :
$$2^3\times 10^5=2^{\ldots}\times 5^{\ldots}$$
$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} 2^3\times 10^5&=2^3\times (2\times 5)^5 \\
&=2^{3+5}\times 5^5 \\
&=2^8\times 5^5\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Compléter :
Augmenter de $3\%$ revient à multiplier par $\ldots\ldots$.
$\quad$

Correction Question 3

$1+\dfrac{3}{100}=1,03$
Augmenter de $3\%$ revient à multiplier par $1,03$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Une table coûte $289$ €. Quel est son prix après une remise de $20 \%$ ?
$\quad$

Correction Question 4

Montant de la remise : $289\times \dfrac{20}{100}=57,8$
Nouveau prix : $289-57,8=231,2$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un canapé coûte $405,30$ € après une remise de $30 \%$. Quel était son prix avant la remise ?
$\quad$

Correction Question 5

On appelle $P$ le prix avant remise.
On a donc :
$\begin{align*} P\times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=405,30&\ssi 0,7P=405,30 \\
&\ssi P=\dfrac{405,3}{0,7}\\
&\ssi P=579\end{align*}$
Le canapé coûtait $579$ € avant la remise.
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Comparer $0,75$ et $\dfrac{3}{5}$.
$\quad$

Correction Question 6

$\dfrac{3}{5}=0,6<0,75$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’équation $x^2=2$.
$\quad$

Correction Question 7

$x^2=2\ssi x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}$
Les solutions de l’équation sont donc $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Compléter le tableau de signes de $(2-x)(3x+1)$.

$\quad$

Correction Question 8

$2-x=0 \ssi x=2$ et $2-x>0 \ssi x<2$
$3x+1=0\ssi 3x=-1 \ssi x=-\dfrac{1}{3}$ et $3x+1>0\ssi 3x>-1\ssi x>-\dfrac{1}{3}$
On obtient donc le tableau de signes suivant :
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la droite passant par les points $A(1 ; 3)$ et $B(5 ; 5)$.
$\quad$

Correction Question 9

$A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. L’équation réduite de $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
$a=\dfrac{5-3}{5-1}=\dfrac{1}{2}$
Une équation de $(AB)$ est donc de la forme $y=\dfrac{1}{2}x+b$.
$A(1;3)$ appartient à la droite $(AB)$.
Ainsi $3=\dfrac{1}{2}\times 1+b \ssi b=\dfrac{5}{2}$
L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Factoriser l’expression : $(x-5)(x+1)-3(x-5)$.
$\quad$

Correction Question 10

$\begin{align*} (x-5)(x+1)-3(x-5)&=(x-5)\left[(x+1)-3\right] \\
&=(x-5)(x+1-3)\\
&=(x-5)(x-2)\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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Calculer la fraction irréductible égale à $\dfrac{18}{25}\times \dfrac{5}{3}$.
$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*}\dfrac{18}{25}\times \dfrac{5}{3}&=\dfrac{3\times 6\times 5}{5\times 5\times 3}\\
&=\dfrac{6}{5}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Développer $(7-3x)(7+3x)$.
$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*}(7-3x)(7+3x)&=7^2-(3x)^2 \\
&=49-9x^2\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Calculer l’image de $1$ par $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x^2-3$.
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} f(1)&=-2\times 1^2-3\\
&=-2\times 1-3\\
&=-2-3\\
&=-5\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’équation $5x-7=3x-19$.
$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*}
5x-7=3x-19&\ssi 5x-3x=-19+7\\
&\ssi 2x=-12\\
&\ssi x=-6
\end{align*}$
La solution de l’équation est $-6$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un article vaut $44$ euros et son prix subit une diminution de $25\%$. Calculer son nouveau prix.
$\quad$

Correction Question 5

Le nouveau prix est :
$\begin{align*} 44\times \left(1-\dfrac{25}{100}\right) &=44\times \dfrac{75}{100} \\
&=44\times \dfrac{3}{4} \\
&=33\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$

La fonction $h$, définie sur $[-6;5]$ est représentée par la courbe ci-dessous.
Par lecture graphique, répondre aux trois questions suivantes.

Les antécédents de $-3$ par $h$ sont :
$\quad$

Correction Question 6

Graphiquement les antécédentes de $-3$ par $h$ sont $-6$, $-2$ et $2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
L’ensemble des solutions de l’inéquation $h(x)\pp 0$ est :
$\quad$

Correction Question 7

Graphiquement l’ensemble solution de l’inéquation $h(x)\pp 0$ est $[-6;-5]\cup[-3;3]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le tableau de variation de la fonction $h$ sur $[-6;5]$ est :
$\quad$

Correction Question 8

$\quad$

[collapse]

$\quad$
Calculer le coefficient multiplicateur associé à une diminution de $20\%$.
$\quad$

Correction Question 9

Le coefficient multiplication est $1-\dfrac{20}{100}=0,8$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Si $30\%$ d’une quantité $Y$ vaut $60$, que vaut $Y$?
$\quad$

Correction Question 10

On a :
$\begin{align*} \dfrac{30}{100}Y=60&\ssi Y=\dfrac{60\times 100}{30} \\
&\ssi Y=200\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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