E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Pour un coefficient multiplicateur de $1,33$ le taux d’évolution en pourcentage est :
$\quad$

Correction Question 1

$1,33=1+\dfrac{33}{100}$
Le taux d’évolution est donc de $33\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Après une hausse de $120 \%$ un produit coûte $1~200$ €.
Quel était son prix initial ?
$\quad$

Correction Question 2

On appelle $P$ le prix initial.
On a donc :
$\begin{align*}
P\left(1+\dfrac{120}{100}\right)=1~200 &\ssi 2,2P=1~200\\
&\ssi P=\dfrac{1~200}{2,2}
\end{align*}$
$P$ n’admet pas d’écriture décimale. Une écriture sous la forme d’une fraction irréductible est $P=\dfrac{6~000}{11}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Écrire sous la forme décimale le résultat du calcul suivant $3\times 10^3+6\times 10^2+4+5\times 10^{-1}$.
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} &3\times 10^3+6\times 10^2+4+5\times 10^{-1}\\=&3\times 1~000+6\times 100+4+5\times 0,1\\
=&3~604,5\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’équation $5-2x=0$.
$\quad$

Correction Question 4

$5-2x=0 \ssi 2x=5\ssi x=\dfrac{5}{2}$.
La solution de l’équation est $\dfrac{5}{2}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
L’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x+6>0$ est
$\quad$

Correction Question 5

$-3x+6>0\ssi -3x>-6\ssi x<2$
L’ensemble des solutions est $]-\infty;2[$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Factoriser $3x(x+5)-(x+5)^2$.
$\quad$

Correction Question 6

$\begin{align*} 3x(x+5)-(x+5)^2&=(x+5)\left[3-(x+5)\right] \\
&=(x+5)(3x-x-5)\\
&=(x+5)(2x-5)\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
$x$ et $y$ sont des nombres réels tels que $6-2x\pp 4y$.
Isoler $x$ dans cette inégalité.
$\quad$

Correction Question 7

$6-2x\pp 4y \ssi -2x\pp 4y-6 \ssi x\pg 3-2y$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
$f(x)=x^2-3$
Calculer l’image de $\sqrt{2}$ par cette fonction.
$\quad$

Correction Question 8

$\begin{align*} f\left(\sqrt{2}\right)&=\sqrt{2}^2-3\\
&=2-3\\
&=-1\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Les coordonnées du point d’intersection de la droite d’équation $y=3x+2$ avec l’axe des abscisses sont
$\quad$

Correction Question 9

$3x+2=0\ssi 3x=-2 \ssi x=-\dfrac{2}{3}$
Les coordonnées du point d’intersection de la droite d’équation $y=3x+2$ avec l’axe des abscisses sont $\left(-\dfrac{2}{3};0\right)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Donner l’équation réduite de la droite $(D)$ représentée ci-dessous
$\quad$

Correction Question 10

On lit que l’ordonnée à l’origine est $-1$ et que le coefficient directeur est $\dfrac{1}{2}$ (on “monte” de $1$ unité quand on se déplace de $2$ unités vers la droite).
L’équation réduite de $(D)$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x-1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Calculer $\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{2}$. Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*}\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{2}&=\dfrac{8}{10}+\dfrac{5}{10} \\
&=\dfrac{13}{10}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Compléter avec les exposants qui conviennent :
$$2^3\times 10^5=2^{\ldots}\times 5^{\ldots}$$
$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} 2^3\times 10^5&=2^3\times (2\times 5)^5 \\
&=2^{3+5}\times 5^5 \\
&=2^8\times 5^5\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Compléter :
Augmenter de $3\%$ revient à multiplier par $\ldots\ldots$.
$\quad$

Correction Question 3

$1+\dfrac{3}{100}=1,03$
Augmenter de $3\%$ revient à multiplier par $1,03$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Une table coûte $289$ €. Quel est son prix après une remise de $20 \%$ ?
$\quad$

Correction Question 4

Montant de la remise : $289\times \dfrac{20}{100}=57,8$
Nouveau prix : $289-57,8=231,2$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un canapé coûte $405,30$ € après une remise de $30 \%$. Quel était son prix avant la remise ?
$\quad$

Correction Question 5

On appelle $P$ le prix avant remise.
On a donc :
$\begin{align*} P\times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=405,30&\ssi 0,7P=405,30 \\
&\ssi P=\dfrac{405,3}{0,7}\\
&\ssi P=579\end{align*}$
Le canapé coûtait $579$ € avant la remise.
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Comparer $0,75$ et $\dfrac{3}{5}$.
$\quad$

Correction Question 6

$\dfrac{3}{5}=0,6<0,75$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’équation $x^2=2$.
$\quad$

Correction Question 7

$x^2=2\ssi x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}$
Les solutions de l’équation sont donc $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Compléter le tableau de signes de $(2-x)(3x+1)$.

$\quad$

Correction Question 8

$2-x=0 \ssi x=2$ et $2-x>0 \ssi x<2$
$3x+1=0\ssi 3x=-1 \ssi x=-\dfrac{1}{3}$ et $3x+1>0\ssi 3x>-1\ssi x>-\dfrac{1}{3}$
On obtient donc le tableau de signes suivant :
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la droite passant par les points $A(1 ; 3)$ et $B(5 ; 5)$.
$\quad$

Correction Question 9

$A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. L’équation réduite de $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
$a=\dfrac{5-3}{5-1}=\dfrac{1}{2}$
Une équation de $(AB)$ est donc de la forme $y=\dfrac{1}{2}x+b$.
$A(1;3)$ appartient à la droite $(AB)$.
Ainsi $3=\dfrac{1}{2}\times 1+b \ssi b=\dfrac{5}{2}$
L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Factoriser l’expression : $(x-5)(x+1)-3(x-5)$.
$\quad$

Correction Question 10

$\begin{align*} (x-5)(x+1)-3(x-5)&=(x-5)\left[(x+1)-3\right] \\
&=(x-5)(x+1-3)\\
&=(x-5)(x-2)\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Le plan étant muni d’un repère, la droite d’équation $y = 2x-2,5$ passe par le point $A$ d’ordonnée $0$ et d’abscisse :
A. $-2,5$
B. $1,5$
C. $-1,25$
D. $\dfrac{5}{4}$
$\quad$

Correction Question 1

$2x-2,5=0\ssi 2x=2,5 \ssi x=1,25\ssi x=\dfrac{5}{4}$
Réponse D
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Une diminution de $50 \%$ est compensée par une augmentation de :
A. $50 \%$
B. $100 \%$
C. $150 \%$
D. $200 \%$
$\quad$

Correction Question 2

On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*}\left(1-\dfrac{50}{100}\right)\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1&\ssi 0,5\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1 \\
&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=2 \\
&\ssi x=100\end{align*}$
Réponse B
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On considère une augmentation de $5 \%$, deux années consécutives. Le coefficient multiplicateur est :
A. $1,055$
B. $1,10$
C. $1,102~5$
D. $2,10$
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*}\left(1+\dfrac{5}{100}\right)^2&=1,05^2 \\
&=1,102~5\end{align*}$
Remarque : le carré d’un nombre se terminant par $5$ se termine par $25$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le prix d’un survêtement est passé de $40$ € à $30$ € entre juin 2019 et juillet 2019. Sachant que l’indice du prix de ce survêtement était $80$ en juin 2019, son indice en juillet 2019 est :
A. $70$
B. $75$
C. $90$
D. $60$
$\quad$

Correction Question 4

On a le tableau de proportionnalité suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Prix}&40&30\\
\hline
\text{indice}&80&x\\
\hline
\end{array}$$
$x=\dfrac{30\times 80}{40}=60$
Réponse D
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Selon une enquête de l’INSEE sur la production de déchets non dangereux dans le commerce en 2016, $75 \%$ des déchets non dangereux du commerce ont été triés en 2016 et $3 \%$ des déchets triés du commerce en 2016 ont été mis en décharge.
En 2016, le pourcentage de déchets du commerce qui ont été triés et mis en décharge est :
A. $2,25 \%$
B. $78 \%$
C. $39 \%$
D. $25 \%$
$\quad$

Correction Question 5

$\dfrac{3}{100}\times \dfrac{75}{100}=\dfrac{2,25}{100}=2,25\%$
Réponse A
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Lors de deux évolution $CM=(1+t)^2. Alors :
A. $t=\sqrt{CM-1}$
B. $t=\sqrt{CM}-1$
C. $t=\sqrt{1-CM}$
D. $t=1-\sqrt{CM}$
$\quad$

Correction Question 6

On a donc $\sqrt{CM}=1+t$ soit $t=\sqrt{CM}-1$
Réponse B
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Pour tout réel $x$, $(1-2x)^2$ est égal à :
A. $1-4x+2x^2$
B. $4x^2-4x+1$
C. $1-4x^2$
D. $1-2x^2$
$\quad$

Correction Question 7

$\begin{align*} (1-2x)^2&=1^2-2\times 1\times 2x+(2x)^2 \\
&=1-4x+4x^2\end{align*}$
Réponse B
$\quad$

[collapse]

$\quad$
L’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $-2x+6$ est négatif est :
A. $[3;+\infty[$
B. $]-\infty;3]$
C. $[-3;+\infty[$
D. $]-\infty;-3]$
$\quad$

Correction Question 8

$-2x+6\pp 0 \ssi -2x\pp -6 \ssi x\pg 3$
L’ensemble solution est donc $[3;+\infty[$.
Réponse A
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On donne la courbe $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$ définie sur $[-3 ; 2]$ :

L’équation $f(x) = 0$ admet :
A. une solution négative ;
B. deux solutions positives ;
C. deux solutions négatives ;
D. une solution positive et une solution négative.
$\quad$

Correction Question 9

La courbe $\mathscr{C}$ coupe $2$ l’axe des abscisses : une des abscisses est positive l’autre est négative.
Réponse D
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le diagramme en barres ci-dessous donne la production brute d’électricité, en Twh (térawatt-heure) selon son origine (source : INSEE).

Indiquer la seule proposition vraie :
A. La quantité d’électricité d’origine hydraulique a diminué entre 2011 et 2016.
B. La quantité d’électricité d’origine hydraulique était de $575$ Twh en 2006.
C. La quantité d’électricité d’origine nucléaire n’a pas cessé de diminuer entre 2001 et 2016.
D. La quantité d’électricité d’origine thermique était d’environ $40$ Twh en 1995.
$\quad$

Correction Question 10

Réponse D
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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Calculer la fraction irréductible égale à $\dfrac{18}{25}\times \dfrac{5}{3}$.
$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*}\dfrac{18}{25}\times \dfrac{5}{3}&=\dfrac{3\times 6\times 5}{5\times 5\times 3}\\
&=\dfrac{6}{5}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Développer $(7-3x)(7+3x)$.
$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*}(7-3x)(7+3x)&=7^2-(3x)^2 \\
&=49-9x^2\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Calculer l’image de $1$ par $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x^2-3$.
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} f(1)&=-2\times 1^2-3\\
&=-2\times 1-3\\
&=-2-3\\
&=-5\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’équation $5x-7=3x-19$.
$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*}
5x-7=3x-19&\ssi 5x-3x=-19+7\\
&\ssi 2x=-12\\
&\ssi x=-6
\end{align*}$
La solution de l’équation est $-6$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un article vaut $44$ euros et son prix subit une diminution de $25\%$. Calculer son nouveau prix.
$\quad$

Correction Question 5

Le nouveau prix est :
$\begin{align*} 44\times \left(1-\dfrac{25}{100}\right) &=44\times \dfrac{75}{100} \\
&=44\times \dfrac{3}{4} \\
&=33\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$

La fonction $h$, définie sur $[-6;5]$ est représentée par la courbe ci-dessous.
Par lecture graphique, répondre aux trois questions suivantes.

Les antécédents de $-3$ par $h$ sont :
$\quad$

Correction Question 6

Graphiquement les antécédentes de $-3$ par $h$ sont $-6$, $-2$ et $2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
L’ensemble des solutions de l’inéquation $h(x)\pp 0$ est :
$\quad$

Correction Question 7

Graphiquement l’ensemble solution de l’inéquation $h(x)\pp 0$ est $[-6;-5]\cup[-3;3]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le tableau de variation de la fonction $h$ sur $[-6;5]$ est :
$\quad$

Correction Question 8

$\quad$

[collapse]

$\quad$
Calculer le coefficient multiplicateur associé à une diminution de $20\%$.
$\quad$

Correction Question 9

Le coefficient multiplication est $1-\dfrac{20}{100}=0,8$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Si $30\%$ d’une quantité $Y$ vaut $60$, que vaut $Y$?
$\quad$

Correction Question 10

On a :
$\begin{align*} \dfrac{30}{100}Y=60&\ssi Y=\dfrac{60\times 100}{30} \\
&\ssi Y=200\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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