Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 2 – mars 2021

Asie – mars 2021

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1 (5 points)

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*}
    f'(x)&=(2x-2)\e^x+\left(x^2-2x-1\right)\e^x \\
    &=\left(2x-2+x^2-2x-1\right)\e^x \\
    &=\left(x^2-3\right)\e^x\end{align*}$
    L’affirmation A est donc fausse.
    $f'(2)>0$ et $f(0)<0$ : l’affirmation B est donc fausse
    Réponse C
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$
    La droite d’équation $y=0$ est donc asymptote à la courbe représentant la fonction $f$.
    $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\dfrac{3}{5}$
    La droite d’équation $y=\dfrac{3}{5}$ est donc asymptote à la courbe représentant la fonction $f$.
    Réponse C
    $\quad$
  3. La fonction $f\dsec$ s’annule en changeant de signe à trois reprise.
    La courbe représentant la fonction $f$ possède donc trois points d’inflexion.
    Réponse B
    $\quad$
  4. $\left(u_n\right)$ est une suite définie de manière explicite par un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
    La fonction du second degré associée possède un minimum, d’abscisse $\dfrac{17}{2}$.
    $\left(u_n\right)$ est donc minorée.
    Réponse A
    $\quad$
  5. Cette fonction renvoie le plus entier naturel $n$ tel que $u_n\pg 45$.
    Réponse ARemarque :dans les faits cette fonction ne renvoie aucun résultat car la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $20$. Il est donc impossible que $u_n\pg 45$ !
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2 (5 points)

  1. On a $A(0;0;0)$, $C(1;1;0)$ et $D(0;1;0)$
    Par conséquent $K\left(\dfrac{1}{2};1;0\right)$
    Donc $\vect{AK}\left(\dfrac{1}{2};1;0\right)$ et $\vect{AL}\left(0;1;\dfrac{3}{2}\right)$.
    $\quad$
  2. a. On a $\vec{n}.\vect{AK}=3-3+0=0$ et $\vec{n}.\vect{AL}=0-3+3=0$.
    $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(AKL)$.
    C’est par conséquent un vecteur normal au plan $(AKL)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(AKL)$ est donc de la forme $6x-3y+2z+d=0$.
    Le point $A(0;0;0)$ appartient à ce plan donc $d=0$.
    Une équation cartésienne du plan $(AKL)$ est alors $6x-3y+2z=0$.
    $\quad$
    c. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
    Ainsi une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est $$\begin{cases} x=6t\\y=1-3t\\z=2t\end{cases} \quad,t\in \R$$
    $\quad$
    d. En prenant $t=\dfrac{3}{49}$, on constate que le point de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{40}{49};\dfrac{6}{49}\right)$ appartient à la droite $\Delta$.
    De plus
    $\begin{align*} 6\times \dfrac{18}{49}-3\dfrac{40}{49}+2\dfrac{6}{49}&=\dfrac{108}{49}-\dfrac{120}{49}+\dfrac{12}{49} \\
    &=0\end{align*}$
    Le point de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{40}{49};\dfrac{6}{49}\right)$ appartient donc également au plan $(AKL)$.
    Par conséquent $N$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{40}{49};\dfrac{6}{49}\right)$.
    $\quad$
  3. a. L’aire de la base $ADK$ est
    $\begin{align*} \mathcal{A}&=\dfrac{AD\times DK}{2} \\
    &=\dfrac{1\times \dfrac{1}{2}}{2} \\
    &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    Ainsi
    $\begin{align*} \mathcal{V}&=\dfrac{\mathcal{A}\times DL}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{2}}{3} \\
    &=\dfrac{1}{8}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La distance du point $D$ au plan $(AKL)$ est
    $\begin{align*} DN&=\sqrt{\left(\dfrac{18}{49}\right)^2+\left(\dfrac{40}{49}-1\right)^2+\left(\dfrac{6}{49}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{9}{49}} \\
    &=\dfrac{3}{7}\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a
    $\begin{align*} \mathcal{V}=\dfrac{1}{8}&\ssi \dfrac{\mathcal{A}_{AKL}\times DN}{3}=\dfrac{1}{8} \\
    &\ssi \dfrac{3}{7}\mathcal{A}_{AKL}=\dfrac{3}{8} \\
    &\ssi \mathcal{A}_{AKL}=\dfrac{7}{8}\end{align*}$
    L’aire du triangle $AKL$ est donc $\dfrac{7}{8}$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3 (5 points)

  1. Il y a $\dbinom{9}{3}=84$ façons différentes de positionner les trois cœurs.
    $\quad$
  2. Il y a $3$ façons de placer les cœurs sur une ligne pour gagner.
    Il y a $3$ façons de placer les cœurs sur une colonne pour gagner.
    Il y a $2$ façons de placer les cœurs sur une diagonale pour gagner.
    La probabilité qu’un ticket soit gagnant est donc $\dfrac{3+3+2}{84}=\dfrac{2}{21}$.
    $\quad$
  3. On appelle $G$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joeur.
    $G$ ne prend donc que $2$ valeurs $4$ et $-1$.
    $p(G=4)=\dfrac{2}{21}$ et $p(G=-1)=\dfrac{19}{21}$.
    L’espérance de $G$ est :
    $\begin{align*} E(G)&=4\times \dfrac{2}{21}+(-1)\times \dfrac{19}{21} \\
    &=-\dfrac{11}{21}\\
    &<0\end{align*}$
    Le jeu est donc défavorable au joueur.
    $\quad$
  4. a. On effectue $20$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : le joueur gagne ou le joueur perd.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=\dfrac{2}{21}$.
    $\quad$
    b. $p(X=5)=\dbinom{20}{5}\left(\dfrac{2}{21}\right)^5\left(\dfrac{19}{21}\right)^{15} \approx 0,027$.
    $\quad$
    c. On a
    $\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
    &=1-\left(\dfrac{19}{21}\right)^{20} \\
    & \approx 0,865\end{align*}$
    La probabilité qu’il y ait au moins un gagnant est environ égale à $0,865$.
    $\quad$

 

 

Ex A

Exercice A (5 points)

Partie I : modèle discret

  1. On a
    $\begin{align*} u_1&=u_0+0,05\left(20-u_0\right) \\
    &=1+0,05\times 19\\
    &=1,95\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a
    $\begin{align*} u_{n+1}&=u_n+0,05\left(20-u_n\right) \\
    &=u_n+1-0,05u_n \\
    &=0,95u_n+1\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=20-u_n$ soit $u_n=20-v_n$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=20-u_{n+1} \\
    &=20-0,95u_n-1 \\
    &=19-0,95u_n \\
    &=19-0,95\left(20-v_n\right) \\
    &=19-19+0,95v_n\\
    &=0,95v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=20-1=19$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=19\times 0,95^n$.
    Par conséquent $u_n=20-19\times 0,95^n$.
    $\quad$
  3. $-1<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,95^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=20$.
    $\quad$

Partie II : modèle continu

  1. La fonction $L$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
    Pour tout $t\pg 0$ on a d’une part :
    $\begin{align*} L'(t)&=-19\times (-0,05)\e^{-0,05t}\\
    &=0,95\e^{-0,05t}\end{align*}$
    D’autre part :
    $\begin{align*} 0,05\left(20-L(t)\right)&=0,05\left(20-20+19\e^{-0,05t}\right) \\
    &=0,05 \times 19\e^{-0,05t} \\
    &=0,95\e^{-0,05t}\end{align*}$
    Ainsi $L$ est solution de $(E)$.
    De plus $L(0)=20-19=1$.
    $\quad$
  2. a. On a $L'(0)=0,95$ et $L'(5)=0,95\e^{-0,25} \approx 0,74$.
    Ainsi $L'(0)>L'(5)$
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{t\to +\infty} -0,05t=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$
    Donc $\lim\limits_{t\to +\infty} L'(t)=0$.
    Ce résultat est cohérent avec la description du modèle de croissance exposé au début de l’exercice : le bambou croît de moins en moins rapidement et atteint finalement une taille de $20$ mètres. Au début de l’observation il mesure bien $1$ mètre.
    $\quad$

Ex B

Exercice B (5 points)

Partie I

  1. On a pu saisir la formule $=B2-\ln(B2-1)$.
    $\quad$
  2. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit décroissante et converge vers $2$.
    $\quad$

Partie II

  1. $\lim\limits_{x\to 1} x-1=0$ et $\lim\limits_{X\to 0} \ln(X)=-\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to 1} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  2. a. $f$ est dérivable sur $]1;+\infty[$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
    Pour tout $x>1$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{1}{x-1} \\
    &=\dfrac{x-1-1}{x-1} \\
    &=\dfrac{x-2}{x-1}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x-2$.
    Or $x-2=0 \ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :
    $\quad$$\quad$
    c. D’après la question précédente, la fonction $f$ admet $2$ pour minimum atteint pour $x=2$.
    Ainsi, pour tout réel $x\pg 2, ~f(x)\pg 2$.
    $\quad$

Partie III

  1. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=10\pg 2$. La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n\in \N$.
    Donc $u_n\pg 2$.
    D’après la question précédente $u_{n+1}=f\left(u_n\right) \pg 2$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg 2$.
    $\quad$
  2. Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&= u_n-\ln\left(u_n-1\right)-u_n \\
    &=-\ln\left(u_n-1\right)\end{align*}$
    Or $u_n\pg 2$ donc $u_n-1\pg 1$ et $\ln\left(u_n-1\right)\pg 0$.
    Donc $u_{n+1}-u_n \pp 0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $2$. Elle converge donc.
    $\quad$
  4. $\ell$ est donc solution de l’équation $f(x)=x$.
    Or
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi x-\ln(x-1)=x\\
    &\ssi -\ln(x-1)=0\\
    &\ssi x-1=1 \\
    &\ssi x=2\end{align*}$
    Par conséquent $\ell=2$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)

Pour chaque question, trois affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.
Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de chaque question et la lettre de la réponse choisie pour celle-ci.
AUCUNE JUSTIFICATION n’est demandée. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x) = \left(x^2-2x-1\right)\e^x$$
    A. La fonction dérivée de $f$ est la fonction définie par $f'(x) = (2x-2)\e^x$.
    B. La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $]-\infty;2]$.
    C. $\ds\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0$.
    $\quad$
  2. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{3}{5 + \e^x}$.
    Sa courbe représentative dans un repère admet :
    A. une seule asymptote horizontale;
    B. une asymptote horizontale et une asymptote verticale;
    C. deux asymptotes horizontales.
    $\quad$
  3. On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f”}$ représentant la fonction dérivée seconde $f”$ d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l’intervalle $[-3,5;6]$.A. La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[-3;3]$.B. La fonction $f$ admet trois points d’inflexion.
    C. La fonction dérivée $f’$ de $f$ est décroissante sur l’intervalle $[0;2]$.
    $\quad$
  4. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2-17n+20$.
    A. La suite $\left(u_n\right)$ est minorée.
    B. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    C. L’un des termes de la suite $\left(u_n\right)$ est égal à $2~021$.
    $\quad$
  5. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,75u_n +5$.
    On considère la fonction « seuil » suivante écrite en Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil() }:\\
    \quad \text{u} = 2\\
    \quad \text{n} = 0\\
    \quad \text{while u} < 45 :\\
    \qquad \text{u} = 0.75*u + 5\\
    \qquad \text{n} = \text{n} + 1\\
    \quad \text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Cette fonction renvoie :
    A. la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n \pg 45$ ;
    B. la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n < 45$ ;
    C. la plus grande valeur de $n$ telle que $u_n \pg 45$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

On considère un pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB = AD = 1$ et $AE = 2$, représenté ci- dessous.
Le point $I$ est le milieu du segment $[AE]$. Le point $K$ est le milieu du segment $[DC]$.
Le point $L$ est défini par: $\vect{DL} = \dfrac{3}{2}\vect{AI}$. $N$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(AKL)$.

 

 

On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AI}\right)$.
On admet que le point $L$ a pour coordonnées $\left(0;1;\dfrac{3}{2}\right)$.

  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{AK}$ et $\vect{AL}$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(6;-3;2)$ est un vecteur normal au plan $(AKL)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(AKL)$.
    $\quad$
    c. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(AKL)$.
    $\quad$
    d. En déduire que le point $N$ de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{40}{49};\dfrac{6}{49}\right)$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(AKL)$.
    $\quad$

On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}$$

  1. a. Calculer le volume du tétraèdre $ADKL$ en utilisant le triangle $ADK$ comme base.
    $\quad$
    b. Calculer la distance du point $D$ au plan $(AKL)$.
    $\quad$
    c. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $AKL$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Une société de jeu en ligne propose une nouvelle application pour smartphone nommée « Tickets coeurs! ».
Chaque participant génère sur son smartphone un ticket comportant une grille de taille $3 \times 3$ sur laquelle sont placés trois cœurs répartis au hasard, comme par exemple ci-dessous.

 

 

Le ticket est gagnant si les trois cœurs sont positionnés côte à côte sur une même ligne, sur une même colonne ou sur une même diagonale.

  1. Justifier qu’il y a exactement $84$ façons différentes de positionner les trois cœurs sur une grille.
    $\quad$
  2. Montrer que la probabilité qu’un ticket soit gagnant est égale à $\dfrac{2}{21}$.
    $\quad$
  3. Lorsqu’un joueur génère un ticket, la société prélève $1$ € sur son compte en banque. Si le ticket est gagnant, la société verse alors au joueur $5$ €. Le jeu est-il favorable au joueur?
    $\quad$
  4. Un joueur décide de générer $20$ tickets sur cette application. On suppose que les générations des tickets sont indépendantes entre elles.
    a. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de tickets gagnants parmi les $20$ tickets générés.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, de l’évènement $(X = 5)$.
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, de l’évènement $(X \pg 1)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B

Exercice A

Principaux domaines abordés :

  • Suites
  • Équations différentielles

Dans cet exercice, on s’intéresse à la croissance du bambou Moso de taille maximale $20$ mètres.
Le modèle de croissance de Ludwig von Bertalanffy suppose que la vitesse de croissance pour un tel bambou est proportionnelle à l’écart entre sa taille et la taille maximale.

Partie I : modèle discret

Dans cette partie, on observe un bambou de taille initiale $1$ mètre.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la taille, en mètre, du bambou $n$ jours après le début de l’observation. On a ainsi $u_0 = 1$.
Le modèle de von Bertalanffy pour la croissance du bambou entre deux jours consécutifs se traduit par l’égalité : $$u_{n+1} = u_n + 0,05\left(20-u_n\right)~~ \text{pour tout entier naturel } n$$

  1. Vérifier que $u_1 = 1,95$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,95u_n + 1$.
    $\quad$
    b. On pose pour tout entier naturel $n$, $v_n = 20-u_n$.
    Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le terme initial $v_0$ et la raison.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 20-19 \times 0,95^n$.
    $\quad$
  3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Partie II : modèle continu

Dans cette partie, on souhaite modéliser la taille du même bambou Moso par une fonction donnant sa taille, en mètre, en fonction du temps $t$ exprimé en jour.
D’après le modèle de von Bertalanffy, cette fonction est solution de l’équation différentielle $$(E) \qquad y’ = 0,05(20-y)$$ où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0;+\infty[$ et $y’$ désigne sa fonction dérivée.
Soit la fonction $L$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $$L(t) = 20-19\e^{-0,05t}$$

  1. Vérifier que la fonction $L$ est une solution de $(E)$ et qu’on a également $L(0) = 1$.
    $\quad$
  2. On prend cette fonction $L$ comme modèle et on admet que, si on note $L’$ sa fonction dérivée, $L'(t)$ représente la vitesse de croissance du bambou à l’instant $t$.
    a. Comparer $L'(0)$ et $L'(5)$.
    $\quad$
    b. Calculer la limite de la fonction dérivée $L’$ en $+\infty$.
    Ce résultat est-il en cohérence avec la description du modèle de croissance exposé au début de l’exercice ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés :

  • Suites, étude de fonction
  • Fonction logarithme

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]1; +\infty[$ par $$f(x) = x-\ln (x-1)$$
On considère la suite $\left(u_n\right)$ de terme initial $u_0 = 10$ et telle que $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$.

Partie I :

La feuille de calcul ci-dessous a permis d’obtenir des valeurs approchées des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
&\phantom{12345}A\phantom{12345} &B\\
\hline
1 &n&u_n\\
\hline
2 &0&10\\
\hline
3& 1&7,802~775~42\\
\hline
4& 2&5,885~444~74\\
\hline
5& 3&4,299~184~42\\
\hline
6& 4&3,105~509~13\\
\hline
7& 5&2,360~951~82\\
\hline
8& 6&2,052~767~5\\
\hline
9& 7&2,001~345~09\\
\hline
10& 8&2,000~000~9\\
\hline
\end{array}$$

  1. Quelle formule a été saisie dans la cellule B3 pour permettre le calcul des valeurs approchées de $\left(u_n\right)$ par recopie vers le bas ?
    $\quad$
  2. À l’aide de ces valeurs, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Partie II :

On rappelle que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]1; +\infty[$ par $$f(x) = x-\ln (x-1)$$

  1. Calculer $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$. On admettra que $\lim\limits_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$.
    $\quad$
  2. a. Soit $f’$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que pour tout $x \in ]1; +\infty[$, $f'(x) = \dfrac{x-2}{x-1}$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau des variations de $f$ sur l’intervalle $]1;+\infty[$, complété par les limites.
    $\quad$
    c. Justifier que pour tout $x\pg 2$, $f(x) \pg 2$.
    $\quad$

Partie III :

  1. En utilisant les résultats de la partie II, démontrer par récurrence que $u_n \pg 2$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  2. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
    $\quad$
  4. On admet que $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$. Donner la valeur de $\ell$.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 1 – mars 2021

Asie – mars 2021

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1 (5 points)

  1. On a
    $\begin{align*} u_1&=\left(1-\dfrac{10}{100}\right)\times u_0+250 \\
    &=0,9\times 1~000+250 \\
    &= 1~150\end{align*}$
    $\quad$
  2. Chaque année elle ne conserve que $90\%$ de ses abonnés soit $0,9u_n$. De plus $250$ nouveaux abonnés s’ajoutent chaque année à ceux conservés.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,9u_n+250$.
    $\quad$
  3. L’instruction suite(10) renvoie la valeur de $u_{10}$ c’est-à-dire le nombre d’abonnés à son profil en 2030.
    $\quad$
  4. a. Initialisation : $u_0=1~000 \pp 2~500$
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=0,9u_n+250 \\
    &\pp 0,9\times 2~500+250 \\
    &\pp 2~250+250\\
    &\pp 2~500\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n \pp 2~500$.
    $\quad$
    b. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=0,9u_n+250-u_n \\
    &=-0,1u_n+250 \\
    &=-0,1\left(u_n-2~500\right) \end{align*}$
    Or $u_n-2~500    \pp 0$ d’après la question précédente.
    Ainsi $u_{n+1}-u_n\pg 0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $2~500$. Elle converge donc.
    $\quad$
  5. a. Soit $n\in \N$. On a $v_n=u_n-2~500$ donc $u_n=v_n+2~500$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-2~500 \\
    &=0,9u_n+250-2~500 \\
    &=0,9\left(v_n+2~500\right)-2~250 \\
    &=0,9v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=u_0-2~500=-1~500$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout $n\in \N$, on a $v_n=-1~500\times 0,9^n$
    Donc $u_n=v_n+2~500=-1~500\times 0,9^n+2~500$.
    $\quad$
  6. On peut écrire $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{u} = 1000 \\
    \text{n} = 2020 \\
    \text{while u} <= 2200 \\
    \quad \text{u} = 0,9 * \text{u} + 250 \\
    \quad \text{n} = \text{n} + 1\\
    \text{disp(n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que:
    $\begin{align*} u_n > 2~200&\ssi -1~500 \times 0,9^n + 2~500>2~200 \\
    &\ssi -1~500\times 0,9^n > -300 \\
    &\ssi 0,9^n < 0,2 \\
    &\ssi n\ln(0,9) < \ln(0,2) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,9)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,9)} \approx 15,3$
    C’est donc en 2036 que le nombre d’abonnés dépassera $2~200$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2 (5 points)

Partie I

  1. On a $P(6;0;0)$ et $Q(0;0;6)$.
    $\quad$
  2. $\vect{PQ}(-6;0;6)$ et $\vect{PR}(2;2;8)$.
    Donc $\vect{PQ}.\vec{n}=-6+0+6=0$ et $\vect{PR}.\vec{n}=2-10+8=0$.
    Par conséquent $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(PQR)$.
    C’est un vecteur normal au plan $(PQR)$.
    $\quad$
  3. Une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est alors de la forme $x-5y+z+d=0$.
    Le point $P(6;0;0)$ appartient à ce plan.
    Donc $6+d=0 \ssi d=-6$.
    Une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est donc $x-5y+z-6=0$.
    $\quad$

Partie II

  1. $\Omega$ est le milieu de $[EC]$
    Or $E(0;0;8)$ et $C(8;8;0)$
    Ainsi $\Omega\left(\dfrac{8+0}{2};\dfrac{0+8}{2};\dfrac{0+8}{2}\right)$ soit $\Omega(4;4;4)$.
    $\quad$
  2. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $d$.
    Une représentation paramétrique de cette droite est $$\begin{cases} x=4+t\\y=4-5t\\z=4+t\end{cases} \quad, t\in \R$$
    $\quad$
  3. Si on prend $t=\dfrac{2}{3}$ on a $4+t=\dfrac{14}{3}$, $4-5t=\dfrac{2}{3}$ donc le point de coordonnées $\left(\dfrac{14}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{14}{3}\right)$ appartient à $d$.
    De plus $\dfrac{14}{3}-\dfrac{5\times 2}{3}+\dfrac{14}{3}-6=\dfrac{18}{3}-6=0$ : le point de coordonnées $\left(\dfrac{14}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{14}{3}\right)$ appartient au plan $(PQR)$.
    Par conséquent $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{14}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{14}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. Cette distance est
    $\begin{align*} L\Omega&=\sqrt{\left(4-\dfrac{14}{3}\right)^2+\left(4-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(4-\dfrac{14}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{12}\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3 (5 points)

  1. a. Il y a $\dbinom{8}{2}=28$ tirages possibles .
    $\quad$
    b. Il y a $\dbinom{6}{1}\times \dbinom{2}{1}=12$ tirages permettant de gagner.
    La probabilités de gagner à ce jeu est donc $\dfrac{12}{28}=\dfrac{3}{7}$.
    $\quad$
  2. a. La variable aléatoire $G$ ne peut prendre que deux valeurs : $10-k$ et $-k$.
    $P(G=10-k)=\dfrac{3}{7}$ et $P(G=-k)=\dfrac{4}{7}$.
    $\quad$
    b. Le jeu est favorable au joueur si son espérance est positive.
    $\begin{align*} E(G)>0&\ssi \dfrac{3}{7}(10-k)-\dfrac{4}{7}k>0 \\
    &\ssi \dfrac{30}{7}-k>0 \\
    &\ssi k<\dfrac{30}{7}\end{align*}$
    Or $\dfrac{30}{7}\approx 4,2857$
    La somme maximale à payer est donc $4,28$ € pour que le jeu reste favorable au joueur.
    $\quad$
  3. a. On effectue $10$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
    À chaque tirage, il n’y a que deux issues : le joueur gagne ou le joueur perd.
    Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{3}{7}$.
    $\quad$
    b. On veut calculer
    $\begin{align*}P(X=4)&=\dbinom{10}{4}\left(\dfrac{3}{7}\right)^4\left(\dfrac{4}{7}\right)^6\\
    &\approx 0,247\end{align*}$
    La probabilité qu’il y ait exactement quatre joueurs gagnants est environ égale à $0,247$.
    $\quad$
    c. $P(X\pp5)=1-P(X\pp 4) \approx 0,440$
    La probabilité qu’il y ait au moins $5$ gagnants est environ égale à $0,440$.
    $\quad$
    d. D’après la calculatrice on a $P(X\pp 5) \approx 0,78$ et $P(X\pp 6) \approx 0,92$.
    Ainsi le plus petit entier naturel $n$ tel que $P(X\pp n) \pg 0,9$ est $6$.
    $\quad$

 

Ex A

Exercice A (5 points)

Partie I – lectures graphiques

  1. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction $f$ en $0$ est $f'(0)$.
    Graphiquement $f'(0)=0,4$.
    Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction $f$ en $0$ est graphiquement égal à $0,4$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f’$ semble décroissante sur $]-\infty;-2[$ et sur $[1;+\infty[$ et croissante sur $[-2;1]$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ semble donc convexe sur $[-2;1]$.
    $\quad$

 

Partie II : étude de fonction

  1. D’après la limite des termes de plus haut degré, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2+x+\dfrac{5}{2}=\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2+x+\dfrac{5}{2}=\lim\limits_{x\to -\infty} x^2=+\infty$
    Or $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+\dfrac{5}{2}}$.
    $\quad$
  3. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2x+1$.
    Or $2x+1=0 \ssi x=-\dfrac{1}{2}$ et $2x+1>0 \ssi x>-\dfrac{1}{2}$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  4. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\left[-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    De plus $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\ln\left(\dfrac{9}{4}\right)\approx 0,81<2$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=2$ possède une unique solution dans $\left[-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $\alpha \approx 1,8$.
    $\quad$
  5. Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $-2x^2-2x+4$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=36>0$ et les racines sont $1$ et $-2$.
    Ainsi $f\dsec(x)$ s’annule en changeant de signe en $-2$ et $1$.
    La courbe représentative de $f$ possède donc deux points d’inflexion d’abscisse $-2$ et $1$.
    $\quad$

 

Ex B

Exercice B (5 points)

Partie I

  1. a. La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t)=1$ est solution de cette équation.
    En effet $f'(t)=0$ pour tout réel $t$ et $-0,4\times 1+0,4=0$.
    Donc $f'(t)=-0,4f(t)+0,4$ pour tout réel $t$.
    $\quad$
    b. Soit $f$ une autre solution de cette équation différentielle.
    Ainsi, la fonction $g$ définie pour tout réel $t$ par $g(t)=f(t)+1$ est également solution de cette équation différentielle.
    Par conséquent :
    $f'(t)=-0,4\left(f(t)+1\right)+0,4 \ssi f'(t)=-0,4f(t)$
    Les solutions de l’équation différentielle $y=-0,4y$ sont les fonctions définies par $t\mapsto C\e^{-0,4t}$ où $C\in \R$.
    Les solutions de l’équation différentielle initiale sont donc les fonctions définies par $t\mapsto C\e^{-0,4t}+1$ pour tout $C\in \R$
    $\quad$
    c. $g(0)=10 \ssi C+1=10 \ssi C=9$
    Ainsi $g$ est la fonction définie sur $\R$ par $t\mapsto 9\e^{-0,4t}+1$.
    $\quad$

Partie II

  1. $\lim\limits_{t\to +\infty} -0,4t=-\infty$ or $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^{X}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{t\to +\infty} p(t)=1$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $t\pg 0$ on a
    $\begin{align*} p'(t)&=\dfrac{9\times -0,4\e^{-0,4t}}{\left(1+9\e^{-0,4t}\right)^2} \\
    &=\dfrac{-3,6\e^{-0,4}}{\left(1+9\e^{-0,4t}\right)^2} \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On a
    $\begin{align*} p(t)=\dfrac{1}{2} &\ssi \dfrac{1}{1+9\e^{-0,4t}}=\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi 2=1+9\e^{-0,4t} \\
    &\ssi \e^{-0,4t}=\dfrac{1}{9} \\
    &\ssi -0,4t=-\ln(9) \qquad \text{car } \ln\left(\dfrac{1}{9}\right)=-\ln(9)\\
    &\ssi t=\dfrac{\ln(9)}{0,4}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(9)}{0,4}>0$ car $9>1$
    L’équation $p(t)=\dfrac{1}{2}$ admet donc une unique solution solution sur $[0;+\infty[$.
    Remarque : On pouvait également utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection)
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $\alpha=\dfrac{\ln(9)}{0,4}\approx 5,5$.
    $\quad$

Partie III

  1. Soit $t\pg 0$
    $\begin{align*} 0,4p(t)\left(1-p(t)\right)&=\dfrac{0,4}{1+9\e^{-0,4t}}\left(1-\dfrac{1}{1+9\e^{-0,4t}}\right) \\
    &=\dfrac{0,4}{1+9\e^{-0,4t}}\times \dfrac{-9\e^{-0,4t}}{1+9\e^{-0,4t}} \\
    &=\dfrac{-3,6\e^{-0,4t}}{1+9\e^{-0,4t}} \\
    &=p'(t)\end{align*}$
    Par conséquent $p$ est solution de l’équation différentielle $y’=0,4y(1-y)$.
    De plus $p(0)=\dfrac{1}{1+9}=\dfrac{1}{10}$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{t\to +\infty} p(t)=1$ signifie que sur le long terme toutes les écoles auront accès à internet.
    $p(\alpha)=\dfrac{1}{2}$ avec $\alpha\approx 5,5$ signifie qu’au milieu de l’année 2026, la moitié des écoles auront accès à internet.
    $p(0)=\dfrac{1}{10}$ signifie qu’en 2020 seulement $10\%$ des écoles ont accès à internet.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

En 2020, une influenceuse sur les réseaux sociaux compte $1~000$ abonnés à son profil. On modélise le nombre d’abonnés ainsi: chaque année, elle perd $10\%$ de ses abonnés auxquels s’ajoutent $250$ nouveaux abonnés.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d’abonnés à son profil en l’année (2020 $+n$), suivant cette modélisation. Ainsi $u_0 = 1~000$.

  1. Calculer $u_1$.
    $\quad$
  2. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,9u_n + 250$.
    $\quad$
  3. La fonction Python nommée « suite » est définie ci-dessous. Dans le contexte de l’exercice, interpréter la valeur renvoyée par suite(10).
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def suite( n) }:\\
    \quad \text{u} = 1000\\
    \quad \text{for i in range(n)} :\\
    \qquad \text{u} = 0,9*\text{u} + 250\\
    \quad \text{return u}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. a. Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $u_n \pp 2~500$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
    c. Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  5. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v_n = u_n – 2~500$ pour tout entier naturel $n$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$ et de terme initial $v_0 = -1~500$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que : $$u_n = – 1~500 \times 0,9^n + 2~500$$
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  6. Écrire un programme qui permet de déterminer en quelle année le nombre d’abonnés dépassera $2~200$.
    Déterminer cette année.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

On considère un cube $ABCDEFGH$ d’arête $8$ cm et de centre $\Omega$.
Les points $P$, $Q$ et $R$ sont définis par $\vect{AP} = \dfrac{3}{4}\vect{AB}$, $ \vect{AQ} = \dfrac{3}{4}\vect{AE}$ et $\vect{FR} = \dfrac{1}{4}\vect{FG}$.
On se place dans le repère orthonormé  $\left(\text{A};\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ avec : $\vec{i} = \dfrac{1}{8}\vect{AB}$, $\vec{j}= \dfrac{1}{8}\vect{AD}$ et $\vec{k} = \dfrac{1}{8}\vect{AE}$.

 

 

Partie I

  1. Dans ce repère, on admet que les coordonnées du point $R$ sont $(8;2;8)$.
    Donner les coordonnées des points $P$ et $Q$.
    $\quad$
  2. Montrer que le vecteur $\vec{n}(1;-5;1)$ est un vecteur normal au plan $(PQR)$.
    $\quad$
  3. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est $x-5y+z-6 = 0$.
    $\quad$

Partie II

On note $L$ le projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan $(PQR)$.

  1. Justifier que les coordonnées du point $\Omega$ sont $(4;4;4)$.
    $\quad$
  2. Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ perpendiculaire au plan $(PQR)$ et passant par $\Omega$.
    $\quad$
  3. Montrer que les coordonnées du point $L$ sont $\left(\dfrac{14}{3}; \dfrac{2}{3};\dfrac{14}{3}\right)$
    $\quad$
  4. Calculer la distance du point $\Omega$ au plan $(PQR)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Un sac contient les huit lettres suivantes: A B C D E F G H ($2$ voyelles et $6$ consonnes).
Un jeu consiste à tirer simultanément au hasard deux lettres dans ce sac.
On gagne si le tirage est constitué d’une voyelle et d’une consonne.

  1. Un joueur extrait simultanément deux lettres du sac.
    a. Déterminer le nombre de tirages possibles.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité que le joueur gagne à ce jeu.
    $\quad$

Les questions 2 et 3 de cet exercice sont indépendantes.
Pour la suite de l’exercice, on admet que la probabilité que le joueur gagne est égale à $\dfrac{3}{7}$.

  1. Pour jouer, le joueur doit payer $k$ euros, $k$ désignant un entier naturel non nul.
    Si le joueur gagne, il remporte la somme de $10$ euros, sinon il ne remporte rien.
    On note $G$ la variable aléatoire égale au gain algébrique d’un joueur (c’est-à-dire la somme remportée à laquelle on soustrait la somme payée).
    a. Déterminer la loi de probabilité de $G$.
    $\quad$
    b. Quelle doit être la valeur maximale de la somme payée au départ pour que le jeu reste favorable au joueur ?
    $\quad$
  2. Dix joueurs font chacun une partie. Les lettres tirées sont remises dans le sac après chaque partie.
    On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de joueurs gagnants.
    a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu’il y ait exactement quatre joueurs gagnants.
    $\quad$
    c. Calculer $P(X \pg 5)$ en arrondissant à $10^{-3}$. Donner une interprétation du résultat obtenu.
    $\quad$
    d. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $P(X \pp  n) \pg 0,9$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B
Il indique sur sa copie l’exercice choisi: exercice A ou exercice B

Exercice A

Principaux domaines abordés :

  • convexité
  • fonction logarithme

Partie I : lectures graphiques

$f$ désigne une fonction définie et dérivable sur $\R$.
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$.

 

 

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes

  1. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction $f$ en $O$.
    $\quad$
  2. a. Donner les variations de la fonction dérivée $f’$.
    $\quad$
    b. En déduire un intervalle sur lequel $f$ est convexe.
    $\quad$

Partie II : étude de fonction

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $$f(x) = \ln \left(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\right)$$

  1. Calculer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
    $\quad$
  2. Déterminer une expression $f'(x)$ de la fonction dérivée de $f$ pour tout $x \in \R$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau des variations de $f$. On veillera à placer les limites dans ce tableau.
    $\quad$
  4. a. Justifier que l’équation $f(x) = 2$ a une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $\left[-\dfrac{1}{2};+ \infty\right[$.
    $\quad$
    b. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
    $\quad$
  5. La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$. On admet que, pour tout $x \in \R$, $f”(x) = \dfrac{-2x^2-2x+4}{\left(x^2+x+\dfrac{5}{2}\right)^2}$.
    Déterminer le nombre de points d’inflexion de la courbe représentative de $f$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés :

  • Étude de fonction, fonction exponentielle
  • Équations différentielles

Partie I

Considérons l’équation différentielle $$y’= -0,4y + 0,4$$ où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0; + \infty[$.

  1. a. Déterminer une solution particulière constante de cette équation différentielle.
    $\quad$
    b. En déduire l’ensemble des solutions de cette équation différentielle.
    $\quad$
    c. Déterminer la fonction $g$, solution de cette équation différentielle, qui vérifie $g(0) = 10$.
    $\quad$

$\quad$

Partie II

Soit $p$ la fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[0;+ \infty[$ par $$p(t) = \dfrac{1}{g(t)} = \dfrac{1}{1 + 9\e^{-0,4t}}$$

  1. Déterminer la limite de $p$ en $+ \infty$.
    $\quad$
  2. Montrer que $p'(t) = \dfrac{3,6\e^{-0,4t}}{ \left(1 + 9\e^{-0,4t}\right)^2}$ pour tout $t \in [0;+ \infty[$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que l’équation $p(t) = \dfrac{1}{2}$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;+ \infty[$.
    $\quad$
    b. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près à l’aide d’une calculatrice.
    $\quad$

Partie III

  1. $p$ désigne la fonction de la partie II.
    Vérifier que $p$ est solution de l’équation différentielle $y’ = 0,4y(1-y)$ avec la condition initiale $y(0) = \dfrac{1}{10}$ où $y$ désigne une fonction définie et dérivable sur $[0; + \infty[$.
    $\quad$
  2. Dans un pays en voie de développement, en l’année 2020, $10\%$ des écoles ont accès à internet.
    Une politique volontariste d’équipement est mise en œuvre et on s’intéresse à l’évolution de la proportion des écoles ayant accès à internet.
    On note $t$ le temps écoulé, exprimé en année, depuis l’année 2020.
    La proportion des écoles ayant accès à internet à l’instant $t$ est modélisée par $p(t)$.
    Interpréter dans ce contexte la limite de la question II.1 puis la valeur approchée de $\alpha$ de la question II 3. b. ainsi que la valeur $p(0)$.
    $\quad$

$\quad$

 

 

 

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 1 – juin 2021

Métropole – juin 2021

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ puisque $f\dsec$ existe.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\e^{2x}\times x-\e^{2x}}{x^2} \\
    &=\dfrac{(2x-1)\e^{2x}}{x^2}\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x-1$.
    Or $2x-1>0 \ssi x>\dfrac{1}{2}$
    Par conséquent $f$ est strictement décroissante sur $\left]0;\dfrac{1}{2}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    Elle admet donc un minimum en $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait répondre à cette question en traçant la courbe représentant la fonction sur la calculatrice.
    $\quad$
    Réponse c
    $\quad$
  3. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{2x}}{x}=+\infty$
    Réponse a
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x^2-2x+1$.
    Son discriminant est :
    $\Delta=(-2)^2-2\times 4\times 1=-4<0$.
    Le coefficient principal est $a=2>0$.
    Par conséquent $f\dsec(x)>0$ sur $]0;+\infty[$ et $f$ est convexe sur $]0;+\infty[$.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

PARTIE I

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(D\cap T)&=p(D)\times p_D(T)\\
    &=0,05\times 0,98\\
    &=0,049\end{align*}$
    La probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans la production de la
    chaîne soit défectueuse et présente un test positif est égale à $0,049$.
    $\quad$
    b. $D$ et $\conj{D}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}
    p(T)&=p(D)\times p_D(T)+p\left(\conj{D}\right)\times p_{\conj{D}}(T)\\
    &=0,05\times 0,98+0,95\times 0,03\\
    &=0,077~5\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_T(D)&=\dfrac{p(T\cap D)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,049}{0,077~5}\\
    &\approx 0,63\end{align*}$
    La valeur prédictive positive de ce test est environ égale à $0,63<0,95$.
    Ce test n’est donc pas efficace.
    $\quad$

PARTIE II

  1. On effectue $20$ tirages aléatoires, indépendants et identiques. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $D$ et $\conj{D}$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n=20$ et $p=0,05$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
    &=1-0,95^{20} \\
    &\approx 0,64\end{align*}$
    La probabilité pour que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse est environ égale à $0,64$.
    $\quad$
  3. L’espérance est $E(X)=20 \times 0,05=1$.
    Cela signifie qu’en moyenne il y a une pièce défectueuse par échantillon de $20$ pièces.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

I – Premier modèle

$1,3-(-19)=20,3$. Cela signifie qu’à chaque minute la température augmente de $2,03$ °C.
Au bout de $25$ minutes, selon ce modèle, la température des gâteaux serait donc de $-19+25\times 2,03=31,75$ °C.
La température ambiante est de $25$ °C. Les gâteaux ne peuvent pas avoir une température supérieure à la température ambiante.
Ce modèle n’est donc pas pertinent.
$\quad$

II – Second modèle 

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} T_{n+1}&=T_n-0,06\left(T_n-25\right) \\
    &=T_n-0,06T_n+1,5\\
    &=0,94T_n+1,5\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a donc $T_1=0,94\times (-19)+1,5\approx -16,4$
    $T_2=0,94 \times T_1+1,5 \approx -13,9$
    $\quad$
  3. Initialisation : Si $n=0$ alors $T_0=-19 \pp 25$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    $\begin{align*} T_{n+1}&=0,94T_n+1,5\\
    &\pp 0,94 \times 25+1,5 \\
    &\pp 25\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$, on a $T_n\pp 25$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1}-T_n=-0,06\times \left(T_n-25\right)$
    Or $T_n-25 \pp 0$. Donc $T_{n+1}-T_n\pg 0$.
    La suite $\left(T_n\right)$ est par conséquent croissante.
    $\quad$
  5. La suite $\left(T_n\right)$ est croissante et majorée par $25$. Elle est donc convergente.
    $\quad$
  6. a. Pour tout entier naturel $n$ on a
    $\begin{align*} U_{n+1}&=T_{n+1}-25 \\
    &=0,94T_n+1,5-25 \\
    &=0,94T_n-23,5 \\
    &=0,94\left(U_n+25\right)-23,5 \\
    &=0,94U_n+23,5-23,5\\
    &=0,94U_n\end{align*}$
    La suite $\left(U_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,94$ et de premier terme $U_0=T_0-25=-44$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $U_n=-44 \times 0,94^n$.
    Donc $T_n=U_n+25=-44\times 0,94^n+25$.
    $\quad$
    c. $-1<0,94<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,94^n =0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} T_n=25$.
    $\quad$
  7. a. On a $T_{30}\approx 18$.
    La température des gâteaux est donc environ égale à $18$ °C au bout d’une demi-heure.
    $\quad$
    b. À l’aide de la calculatrice on trouve que $T_{17} \approx 9,6$ et $T_{18} \approx 10,6$. De plus la suite $\left(T_n\right)$ est croissante.
    Cécile doit donc attendre entre $17$ et $18$ minutes pour déguster son gâteau.
    $\quad$
    c. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{def seuil}(): \\
    \hspace{1.5cm} \text{n = 0} \\
    \hspace{1.5cm} \text{T = -19} \\
    \hspace{1.5cm} \textbf{while } \text{T < 10} : \hspace{1cm} \\
    \hspace{2cm} \text{T = 0.94 * T + 1.5}  \\
    \hspace{2cm} \text{n = n + 1}\\
    \hspace{1.5cm} \textbf{return } n \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

 

 

Ex A

Exercice A

  1. La droite $d$ a pour vecteur directeur le vecteur $\vec{u}$ et passe par le point $0$.
    Une représentation paramétrique de la droite $d$ est donc $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=0\end{cases} \quad, t\in \R$.
    $\quad$
  2. a. On a
    $\begin{align*} AM^2&=(t-1)^2+(t-3)^2+2^2 \\
    &=t^2-2t+1+t^2-6t+9+4\\
    &=2t^2-8t+14\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le coefficient principal de l’expression du second degré $2t^2-8t+14$ est $2>0$.
    Elle admet donc un minimum atteint pour $t=\dfrac{8}{2\times 2}=2$.
    Ainsi le point $M_0(2;2;0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel $AM^2$ est minimal et donc pour lequel la distance $AM$ est minimale.
    $\quad$
  3. $\vect{AM_0}\begin{pmatrix} 1\\-1\\2\end{pmatrix}$
    Donc $\vect{AM_0}.\vec{u}=1-1+0=0$
    Ces deux vecteurs sont donc orthogonaux et les droites $\left(AM_0\right)$ et $d$ sont orthogonales.
    $\quad$
  4. Le vecteur $\vec{u}$ est orthogonal au plan d’équation $z=0$. Les points $A’$ et $M_0$ appartiennent à ce plan. Par conséquent $\vec{u}.\vect{A’M_0}=0$.
    Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal aux vecteurs (non colinéaires) $\vect{A’M_0}$ et $\vect{AM_0}$.
    La droite $d$ est par conséquent orthogonale au plan $\left(AA’M_0\right)$.
    $M_0$ appartient à la droite $d$, droite qui passe par le point $O$..
    Le point $M_0$ est le point du plan $\left(AA’M_0\right)$ le plus proche du point $O$.
    $\quad$
  5. On a $AA’=2$ et $M_0A’=\sqrt{(2-1)^2+(2-3)^2+0^2}=\sqrt{2}$.
    De plus $OM_0=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$
    Ainsi le volume de la pyramide $OM_0A’A$ est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2\times \sqrt{2}}{2}\times \sqrt{8} \\
    &=\dfrac{4}{3}\end{align*}$
    $\quad$

Ex B

Exercice B

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} u'(x)&=2x\e^x+x^2\times \e^x \\
    &=2x\e^x+u(x)\end{align*}$
    Par conséquent $u$ est une solution particulière de $(E)$.
    $\quad$
  2. a. Si $f $est solution de l’équation différentielle $(E)$ alors $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$ et
    $\begin{align*} g'(x)&=f'(x)-u'(x) \\
    &=f(x)+2x\e^x-\left(u(x)+2x\e^x\right) \\
    &=f(x)+2x\e^x-u(x)-2x\e^x\\
    &=f(x)-u(x)\\
    &=g(x) \end{align*}$
    $g$ est donc solution de l’équation différentielle $y’=y$.
    $\quad$
    b. Une solution de l’équation $y’=y$ est la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\e^x$.
    Ainsi, pour tout réel $x$,
    $\begin{align*} f(x)&=g(x)+u(x) \\
    &=\e^x+x^2\e^x\end{align*}$
    $\quad$
  3. Étude de la fonction $\boldsymbol{u}$
    a. et b. Pour tout réel $x$, on a d’après les calculs faits à la question 1.,  $u'(x)=(2+x)x\e^x$.
    Or $2+x=0 \ssi x=-2$ et $2+x>0 \ssi x>-2$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :
    $\quad$
    c. $u’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=2x\e^x+x^2\e^x$ donc
    $\begin{align*} u\dsec(x)&=2\e^x+2x\e^x+2x\e^x +x^2\e^x \\
    &=\left(2+4x+x^2\right)\e^x \end{align*}$
    Le signe de $u\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $x^2+4x+2$.
    Son discriminant est $\Delta=4^2-2\times 4=8>0$.
    Ses racines sont donc $x_1=\dfrac{-4-\sqrt{8}}{2}=-2-\sqrt{2}$ et $x_2=-2+\sqrt{2}$.
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Par conséquent $u\dsec(x)<0$ sur $\left]-2-\sqrt{2};-2+\sqrt{2}\right[$.
    Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $u$ est concave est $\left[-2-\sqrt{2};-2+\sqrt{2}\right]$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$ par:
$$f(x)=\dfrac{\e^{2 x}}{x}$$
On donne l’expression de la dérivée seconde $f\dsec$ de $f$, définie sur l’intervalle $] 0 ;+\infty[$ par:
$$f\dsec(x)=\dfrac{2 \e^{2 x}\left(2 x^{2}-2 x+1\right)}{x^{3}}$$

  1. La fonction $f’$, dérivée de $f$, est définie sur l’intervalle $] 0 ;+\infty[$ par ;
    a. $f'(x)=2 e^{2 x}$
    b. $f'(x)=\dfrac{\e^{2 x}(x-1)}{x^{2}}$
    c. $f'(x)=\dfrac{\e^{2 x}(2 x-1)}{x^{2}}$
    d. $f'(x)=\dfrac{\e^{2 x}(1+2 x)}{x^{2}}$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ :
    a. est décroissante sur $] 0 ;+\infty[$
    b. est monotone sur $] 0 ;+\infty[$
    c. admet un minimum en $\dfrac{1}{2}$
    d. admet un maximum en $\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  3. La fonction $f$ admet pour limite en $+\infty$ :
    a. $+\infty$
    b. $0$
    c. $1$
    d. $\e^{2 x}$
    $\quad$
  4. La fonction $f$ :
    a. est concave sur $] 0$; $+\infty[$
    b. est convexe sur $] 0 ;+\infty[$
    c. est concave sur $\left] 0 ; \dfrac{1}{2}\right]$
    d. est représentée par une courbe admettant un point d’inflexion
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que $5\%$ des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.

Un ingénieur a mis au point un test à appliquer aux pièces. Ce test a deux résultats possibles: « positif » ou bien « négatif ».

On applique ce test à une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne.

On note $p(E)$ la probabilité d’un événement $E$.

On considère les événements suivants:

  •  $D$ : « la pièce est défectueuse »;
  •  $T$ : « la pièce présente un test positif »;
  •  $\conj{D}$ et $\conj{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $D$ et $T$.

Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :

  • La probabilité qu’une pièce présente un test positif sachant qu’elle défectueuse est égale à $0,98$ ;
  • La probabilité qu’une pièce présente un test négatif sachant qu’elle n’est pas défectueuse est égale à $0,97$ .

Les parties I et II peuvent être traitées de façon indépendante.

PARTIE I

  1. Traduire la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. a. Déterminer la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne soit défectueuse et présente un test positif.
    $\quad$
    b. Démontrer que : $p(T)=0,077~5$.
    $\quad$
  3. On appelle valeur prédictive positive du test la probabilité qu’une pièce soit défectueuse sachant que le test est positif. On considère que pour être efficace, un test doit avoir une valeur prédictive positive supérieure à $0,95$ . Calculer la valeur prédictive positive de ce test et préciser s’il est efficace.
    $\quad$

PARTIE II

On choisit un échantillon de $20$ pièces dans la production de la chaîne, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon. On rappelle que: $p(D)=0,05$.

  1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de cette loi.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse. On donnera un résultat arrondi au centième.
    $\quad$
  3. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat obtenu.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 6     6 points

Cécile a invite des amis à déjeuner sur sa terrasse. Elle a prévu en dessert un assortiment de gâteaux individuels qu’elle a achetés surgelés.

Elle sort les gâteaux du congélateur à $-19$ °C et les apporte sur la terrasse ou la température ambiante est de $25$ °C.

Au bout de $10$ minutes la température des gâteaux est de $1,3$ °C.

I – Premier modèle

On suppose que la vitesse de décongélation est constante, c’est-à-dire que l’augmentation de la température des gâteaux est la même minute après minute.

Selon ce modèle, déterminer quelle serait la température des gâteaux $25$ minutes après leur sortie du congélateur.

Ce modèle semble-t-il pertinent?
$\quad$

II – Second modèle

On note $T_{n}$ la température des gâteaux, en degré Celsius, au bout de $n$ minutes après leur sortie du congélateur; ainsi $T_{0}=-19$.

On admet que pour modéliser L’évolution de la température, an doit avoir la relation suivante:
pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1}-T_{n}=-0,06 \times\left(T_{n}-25\right)$.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a: $T_{n+1}=0,94 T_{n}+1,5$.
    $\quad$
  2. Calculer $T_{1}$ et $T_{2}$. On donnera des valeurs arrondies au dixième.
    $\quad$
  3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_{n} \pp 25$. En revenant a la situation étudiée, ce résultat était-il prévisible?
    $\quad$
  4. Etudier le sens de variation de la suite $\left(T_{n}\right)$.
    $\quad$
  5. Démontrer que la suite $\left(T_{n}\right)$ est convergente.
    $\quad$
  6. On pose, pour tout entier naturel $n, U_{n}=T_{n}-25$.
    a. Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $U_{0}$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n, T_{n}=-44 \times 0,94^{n}+25$.
    $\quad$
    c. En déduire la limite de la suite $\left(T_{n}\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de la situation étudiée.
    $\quad$
  7. a. Le fabricant conseille de consommer les gâteaux au bout d’une demi-heure a température ambiante après leur sortie du congélateur. Quelle est alors la température atteinte par les gâteaux? On donnera une valeur arrondie à l’entier le plus proche.
    $\quad$
    b. Cécile est une habituée de ces gâteaux, qu’elle aime déguster lorsqu’ils sont encore frais, a la température de $10$ °C. Donner un encadrement entre deux entiers consécutifs du temps en minutes après lequel Cécile doit déguster son gâteau.
    $\quad$
    c. Le programme suivant, écrit en langage Python, doit renvoyer après son exécution la plus petite valeur de l’entier $n$ pour laquelle $T_{n} \pg  10$.$$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{def seuil}(): \\
    \hspace{1.5cm} \text{n = 0} \\
    \hspace{1.5cm} \text{T = } \ldots\ldots \\
    \hspace{1.5cm} \textbf{while } \text{T }\ldots\ldots : \hspace{1cm} \\
    \hspace{2cm} \text{T = } \ldots\ldots \\
    \hspace{2cm} \text{n = n + 1}\\
    \hspace{1.5cm} \textbf{return } n \\
    \hline
    \end{array}$$Recopier ce programme sur la copie et compléter les lignes incomplètes afin que le programme renvoie la valeur attendue.
    $\quad$

$\quad$

Exercice au chois du candidat     5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
II indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer le choix, les principaux domaines abordés sont indiqués en début de chaque exercice.

Exercice A

Principaux domaines abordés:

  • Géométrie de l’espace rapporté à un repère orthonormé;
  • orthogonalité dans l’espace.

Dans un repère $Oikj$ on considère :

  • le point $A$ de coordonnées $(1 ; 3 ; 2)$,
  • le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$,
  • la droite $d$ passant par l’origine $O$ du repère et admettant pour vecteur directeur $\vec{u}$.

 

Le but de cet exercice est de déterminer le point de $d$ le plus proche du point $A$ et d’étudier quelques propriétés de ce point.

On pourra s’appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
    $\quad$
  2. Soit $t$ un nombre réel quelconque, et $M$ un point de la droite $d$, le point $M$ ayant pour coordonnées $(t ; t ; 0)$.
    a. On note $AM$ la distance entre les points $A$ et $M$. Démontrer que :$$AM^2=2 t^{2}-8 t+14$$
    $\quad$
    b. Démontrer que le point $M_0$ de coordonnées $(2 ; 2 ; 0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel la distance $AM$ est minimale. On admettra que la distance $AM$ est minimale lorsque son carré $AM^2$ est minimal.
    $\quad$
  3. Démontrer que les droites $\left(AM_0\right)$ et $d$ sont orthogonales.
    $\quad$
  4. On appelle $A’$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan d’équation cartésienne $z=0$. Le point $A’$ admet donc pour coordonnées $(1 ; 3 ; 0)$.
    Démontrer que le point $M_0$ est le point du plan $\left(AA’M_0\right)$ le plus proche du point $O$, origine du repère.
    $\quad$
  5. Calculer le volume de la pyramide $OM_0A’A$.
    On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par: $V=\dfrac{1}{3} \mathcal{B} h$, où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.
    $\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés:

  • Équations différentielles;
  • fonction exponentielle.

On considère l’équation différentielle $(E): y’=y+2 x \e^{x}$.

On cherche l’ensemble des fonctions définies et dérivables sur l’ensemble $\R$ des nombres réels qui sont solutions de cette équation.

  1. Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par $u(x)=x^{2} \e^{x}$. On admet que $u$ est dérivable et on note $u’$ sa fonction dérivée. Démontrer que $u$ est une solution particulière de $(E)$.
    $\quad$
  2. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par :$$g(x)=f(x)-u(x)$$
    a. Démontrer que si la fonction $f$ est solution de l’équation différentielle $(E)$ alors la fonction $g$ est solution de l’équation différentielle : $y’=y$. On admet que la réciproque de cette propriété est également vraie.
    $\quad$
    b. À l’aide de la résolution de l’équation différentielle $y’=y$, résoudre l’équation différentielle $(E)$.
    $\quad$
  3. Étude de la fonction $\boldsymbol{u}$
    a. Étudier le signe de $u'(x)$ pour $x$ variant dans $\R$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variations de la fonction $u$ sur $\R$ (les limites ne sont pas demandées).
    $\quad$
    c. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $u$ est concave.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – sujet 2 – Métropole – Mars 2021

Métropole – Mars 2021

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie I

  1. On a
    $\begin{align*} P(X=0)&=\dbinom{9}{0}0,03^0 \times 0,97^9 \\
    &=0,97^9 \\
    &\approx 0,76\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  2. La probabilité qu’exactement deux des neuf adresses soient illisibles pour la machine est :
    $P(X=2)=\dbinom{9}{2}0,03^2 \times 0,97^7$
    Réponse d
    $\quad$
  3. La probabilité qu’au moins une des neuf adresses soit illisible pour la machine est :
    $P(X\pg 1)=1-P(X=0)$
    Réponse d
    $\quad$

Partie II

  1. Si $V_1$ est réalisé alors, parmi les $7$ boules restantes il y a $4$ boules vertes.
    Ainsi $P_{V_1}\left(V_2\right)=\dfrac{4}{7}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. $\left(V_1,B_1\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}
    P\left(V_2\right)&=P\left(V_1\right)P_{V_1}\left(V_2\right)+P\left(B_1\right)P_{B_1}\left(V_2\right) \\
    &=\dfrac{5}{8}\times \dfrac{4}{7}+\dfrac{3}{8}\times \dfrac{5}{7}\\
    &=\dfrac{5}{8}\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $u_1=u_0+v_0=2$
    $v_1=2u_0+v_0=3$
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=2u_n+v_n-v_n\\
    &=2u_n\\
    &>0\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc strictement croissante.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $v_n\pg v_0$
    Soit $v_n \pg 1$
    $\quad$
    c. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1$ et $n+1=1$
    Donc $u_0\pg 0+1$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    On a donc, d’après l’hypothèse de récurrence, $u_n\pg n+1$ et, d’après la question précédente, $v_n\pg 1$
    $\begin{align*} u_{n+1}&=u_n+v_n \\
    &\pg n+1+1\\
    &\pg n+2\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg n+1$.
    $\quad$
    d. Pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg n+1$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} n+1=+\infty$
    D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $-1\pp (-1)^{n+1} \pp 1$
    Donc $-\dfrac{1}{u_n^2}\pp \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\pp \dfrac{1}{u_n^2}$
    $\quad$
    b. Or $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n^2=+\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{u_n^2}=0$
    Par conséquent, d’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}=0$.
    $\quad$
    c. Pour tout $n\in \N$ on a $r_n=2+\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}$.
    $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}=0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} r_n^2=2$.
    $\quad$
    $\lim\limits_{x\to 2} \sqrt{x}=\sqrt{2}$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} r_n=\sqrt{2}$.
    $\quad$
    d. Pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} r_{n+1} &=\dfrac{v_{n+1}}{u_{n+1}} \\
    &=\dfrac{2u_n+v_n}{u_n+v_n}\\
    &=\dfrac{u_n\left(2+\dfrac{v_n}{u_n}\right)}{u_n\left(1+\dfrac{v_n}{u_n}\right)}\\
    &=\dfrac{2+r_n}{1+r_n}\end{align*}$
    $\quad$
    e. Cela signifie que le plus petit entier naturel $n$ vérifiant $\abs{r_n-\sqrt{2}}\pp 10^{-4}$ est $5$.
    Ainsi $r_5$ est une approximation de $\sqrt{2}$ à au plus $10^{-4}$ près.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
    Par conséquent :
    $\vect{AB}.\vec{n}=-6+6+0=0$
    $\vect{AC}.\vec{n}=-6+0+6=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    C’est, par conséquent, un vecteur normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $3x+2y+6z+d=0$
    Le point $A(2;0;0)$appartient à ce plan.
    Ainsi $6+d=0 \ssi d=-6$
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $3x+2y+6z-6=0$.
    $\quad$
  2. a. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $d$.
    Une représentation paramétrique de cette droite est donc $\begin{cases} x=3t\\y=2t\\z=6t\end{cases} \quad t\in \R$.
    $\quad$
    b. La droite $d$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
    Il existe donc un point d’intersection de la droite et du plan.
    Vérifions que le point $H$ de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{12}{49};\dfrac{36}{49}\right)$ appartient à la droite $d$ et au plan $(ABC)$.
    Le point de paramètre $t=\dfrac{6}{49}$ de la droite $d$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{12}{49};\dfrac{36}{49}\right)$. Ainsi $H\in d$.
    $\begin{align*}&3\times \dfrac{18}{49}+2\times \dfrac{12}{49}+6\times \dfrac{36}{49}-6\\
    &=\dfrac{54}{49}+\dfrac{24}{49}+\dfrac{216}{49}-\dfrac{294}{49} \\
    &=\dfrac{294}{49}-\dfrac{294}{49}\\
    &=0\end{align*}$
    Donc $H\in (ABC)$.
    La droite $d$ coupe donc le plan $(ABC)$ au point $H$ de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{12}{49};\dfrac{36}{49}\right)$.
    $\quad$
    c. On a
    $\begin{align*} OH&=\sqrt{\left(\dfrac{18}{49}\right)^2+\left(\dfrac{12}{49}\right)^2+\left(\dfrac{36}{49}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{324}{49^2}+\dfrac{244}{49^2}+\dfrac{1~296}{49^2}}\\
    &=\sqrt{\dfrac{1~764}{49^2}}\\
    &=\dfrac{42}{49} \\
    &=\dfrac{6}{7}\end{align*}$
    $\quad$
  3. D’une part :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{\text{aire}_{OBC}\times OA}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1\times 3}{2}\times 2}{3} \\
    &=1\end{align*}$
    D’autre part :$V=\dfrac{\text{aire}_{ABC}\times OH}{3}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} \text{aire}_{ABC}\times OH=3&\ssi \text{aire}_{ABC}=\dfrac{3}{OH} \\
    &\ssi \text{aire}_{ABC}=3\times \dfrac{7}{6} \\
    &\ssi \text{aire}_{ABC} =\dfrac{7}{2}\end{align*}$

Ex A

Exercice A

  1. a. On résout l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=g(x)&\ssi x^2\e^{-x}=\e^{-x} \\
    &\ssi x^2\e^{-x}-\e^{-x}=0\\
    &\ssi \left(x^2-1\right)\e^{-x}=0\\
    &\ssi (x-1)(x+1)\e^{-x}=0\\
    &=\ssi x=1 \text{ ou } x=-1 \text{ ou } \e^{-x}=0\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Les solutions de l’équation $f(x)=g(x)$ sont donc $-1$ et $1$.
    De plus $f(1)=\e^{-1}$ et $f(-1)=\e$
    Les points d’intersection de $C_f$ et $C_g$ on pour coordonnées $\left(1;\e^{-1}\right)$ et $(-1;\e)$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} f(x)\pp g(x) &\ssi x^2\e^{-x} \pp \e^{-x} \\
    &\ssi \left(x^2-1\right)\e^{-x} \pp 0\\
    &\ssi (x-1)(x+1)\e^{-x} \pp  0 \\
    &\ssi (x-1)(x+1) \pp 0 \text{   car } \e^{-x}>0\\
    &\ssi x\in [-1;1]\end{align*}$
    Ainsi $C_f$ est au-dessous de $C_g$ sur $[-1;1]$ et au-dessus sur $]-\infty;-1]$ et $[1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x\in[-1;1]$ on a :
    $\begin{align*} d'(x)&=-\e^{-x}-2x\e^{-x}+x^2\e^{-x} \\
    &=\left(x^2-2x-1\right)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $d'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2-2x-1$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est $\Delta=8$.
    Ses racines sont donc :
    $x_1=\dfrac{2-\sqrt{8}}{2}=1-\sqrt{2}$ et $x_2=\dfrac{2+\sqrt{8}}{2}=1+\sqrt{2}$.
    Le coefficient principal de ce polynôme est $a=1>0$.
    Par conséquent $x^2-2x-1<0$ sur $\left]1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right[$ et $x^2-2x-1>0$ sur $\left]-\infty;1-\sqrt{2}\right[\cup\left]1+\sqrt{2};+\infty\right[$.
    La fonction $d$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $\left[-1;1-\sqrt{2}\right]$ et décroissante sur l’intervalle $\left[1-\sqrt{2};1\right]$.
    $\quad$
    c. La fonction $d$ atteint donc sur l’intervalle $[-1;1]$ un maximum en $1-\sqrt{2}$.
    Ainsi $x_0=1-\sqrt{2}$.
    $d\left(1-\sqrt{2}\right)\approx 1,3$.
    Ainsi $M_0N_0  \approx 1,3$.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a $h'(x)=-\e^{-x}-1<0$.
    La fonction $h$ est donc continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $\R$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=-\infty$
    Pour tout réel $x$ on a $h(x)=\e^{-x}\left(1-x\e^x-2\e^x\right)$
    Or $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$, $\lim\limits_{x\to -infty} \e^{-x}=+\infty$ et, par croissances comparées $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^x=-\infty$
    Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} h(x)=-\infty$.
    Or $O\in ]-\infty;+\infty[$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $h(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$.
    $\quad$
    $g(x)=x+2 \ssi \e^{-x}=x+2\ssi \e^{-x}-x-2=0\ssi h(x)=0$
    La droite $\Delta$ et la courbe $C_g$ ont donc un unique point d’intersection.
    $\quad$

Ex B

Exercice B

Partie I : Étude d’une fonction auxiliaire

  1. $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} 2x-2=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$
    $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0} 2x-2=2$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$
    $\quad$
  2. La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a $g'(x)=\dfrac{1}{x}+2$
    Par conséquent $g'(x)>0$ sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de termes strictement positifs.
    La fonction $g$ est par conséquent strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
    Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  4. $g(1)=0+2-2=0$
    Ainsi $\alpha=1$
    La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty [$ et $g(1)=0$.
    Par conséquent :
    $\bullet~ g(x)<0$ sur $]0;1[$
    $\bullet~ g(1)=0$
    $\bullet~ g(x)>0$ sur $]1;+\infty[$
    $\quad$

Partie II : Étude d’une fonction $\boldsymbol{f}

  1. a. Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{x^2}\left(\ln(x)-1\right)+\left(2-\dfrac{1}{x}\right)\times \dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{\ln(x)-1+\left(2-\dfrac{1}{x}\right)x}{x^2} \\
    &=\dfrac{\ln(x)-1+2x-1}{x^2} \\
    &=\dfrac{g(x)}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $g(x)$.
    D’après la question I.4. on a :
    $\quad$
  2. $f(x)=0 \ssi 2-\dfrac{1}{x}=0$ ou $\ln(x)-1=0$
    $\phantom{f(x)=0}\ssi x=\dfrac{1}{2}$ ou $x=\e$
    Les solutions de l’équation $f(x)=0$ sont $\dfrac{1}{2}$ et $\e$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0;1]$, strictement croissante sur $[1;+\infty[$ et s’annule uniquement en $\dfrac{1}{2}$ et $\e$.
    De plus $\dfrac{1}{2}<1<\e$
    On obtient alors le tableau de signes suivant :
    $\quad$

Partie III : Étude d’une fonction $\boldsymbol{F}$ admettant pour dérivée la fonction$\boldsymbol{F}$

  1. Pour tout réel $x>0$ on a $F'(x)=f(x)$
    D’après la question précédente :
    $\bullet~ F$ est strictement croissante sur $\left]0;\dfrac{1}{2}\right]$ et sur $[\e;+\infty[$.
    $\bullet~ F$ est strictement décroissante sur $\left[\dfrac{1}{2};\e\right]$.
    $\quad$
  2. $F'(x)=0 \ssi x=\dfrac{1}{2}$ ou $x=\e$.
    Par conséquent les tangentes à $C_F$ aux points d’abscisse $\dfrac{1}{2}$ et $\e$ sont parallèles à l’axe des abscisses.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

PARTIE I

Dans un centre de traitement du courrier, une machine est équipée d’un lecteur optique automatique de reconnaissance de l’adresse postale. Ce système de lecture permet de reconnaître convenablement $97 \%$ des adresses ; le reste du courrier, que l’on qualifiera d’illisible pour la machine, est orienté vers un employé du centre chargé de lire les adresses.
Cette machine vient d’effectuer la lecture de neuf adresses. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’adresses illisibles parmi ces neuf adresses.
On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=9$ et $p=0,03$.

  1. La probabilité qu’aucune des neuf adresses soit illisible est égale, au centième près, à :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $0,24$
    d. $0,76$
    $\quad$
  2. La probabilité qu’exactement deux des neuf adresses soient illisibles pour la machine est :
    a. $\dbinom{9}{2} \times 0,97^2 \times 0,03^7\rule{0pt}{25pt}$
    b. $\dbinom{7}{2} \times 0,97^2 \times 0,03^7\rule{0pt}{25pt}$
    c. $\dbinom{9}{2} \times 0,97^7 \times 0,03^2\rule{0pt}{25pt}$
    d. $\dbinom{7}{2} \times 0,97^7 \times 0,03^2\rule{0pt}{25pt}$
    $\quad$
  3. La probabilité qu’au moins une des neuf adresses soit illisible pour la machine est :
    a. $P(X<1)$
    b. $P(X\pp 1)$
    c. $P(X\pg 2)$
    d. $1-P(X=0)$
    $\quad$

PARTIE II

Une urne contient $5$ boules vertes et $3$ boules blanches, indiscernables au toucher.
On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l’urne.
On considère les évènements suivants :

  • $V_1$ : « la première boule tirée est verte » ;
  • $B_1$ : « la première boule tirée est blanche » ;
  • $V_2$ : « la seconde boule tirée est verte » ;
  • $B_2$ : « la seconde boule tirée est blanche ».
  1. La probabilité de $V_2$ sachant que $V_1$ est réalisé, notée $P_{V_1}\left(V_2\right)$, est égale à :
    a. $\dfrac{5}{8}\rule{0pt}{25pt}$
    b. $\dfrac{4}{7}\rule{0pt}{25pt}$
    c. $\dfrac{5}{14}\rule{0pt}{25pt}$
    d. $\dfrac{20}{56}\rule{0pt}{25pt}$
    $\quad$
  2. La probabilité de l’événement $V_2$ est égale à :
    a. $\dfrac{5}{8}\rule{0pt}{25pt}$
    b. $\dfrac{5}{7}\rule{0pt}{25pt}$
    c. $\dfrac{3}{28}\rule{0pt}{25pt}$
    d. $\dfrac{9}{7}\rule{0pt}{25pt}$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     6 points

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : $$\begin{cases} u_0=v_0=1\\u_{n+1}=u_n+v_n\\v_{n+1}=2u_n+v_n\end{cases}$$
Dans toute la suite de l’exercice, on admet que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont strictement positives.

  1. a. Calculer $u_1$ et $v_1$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est strictement croissante puis en déduire que, pour tout entier naturel $n$, $v_n\pg 1$.
    $\quad$
  2. On pose, pour tout entier naturel $n$ : $$r_n=\dfrac{v_n}{u_n}$$
    On admet que : $$r_n^2=2+\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}$$
    a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $$-\dfrac{1}{u_n^2} \pp \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\pp \dfrac{1}{u_n^2}$$
    $\quad$
    b. En déduire : $$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}$$
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(r_n^2\right)$ et en déduire que $\left(r_n\right)$ converge vers $\sqrt{2}$.
    $\quad$
    d. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $$r_{n+1}=\dfrac{2+r_n}{1+r_n}$$
    $\quad$
    e. On considère le programme suivant écrit en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil():}\\
    \quad n=0\\
    \quad r=1\\
    \quad \text{while abs(r-sqrt(2))}>10**(-4) :\\
    \qquad r=(2+r)/(1+r)\\
    \qquad n=n+1\\
    \quad \text{return }n\\
    \hline
    \end{array}$$
    ($\text{abs}$ désigne la valeur absolue, $\text{sqrt}$ la racine carrée et $10**(-4)$ représente $10^{-4}$)
    La valeur de $n$ renvoyée par ce programme est $5$.
    À quoi correspond-elle ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     4 points

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points :
$A$ de coordonnées $(2 ;0 ;0)$, $B$ de coordonnées $(0 ;3 ;0)$ et $C$ de coordonnées $(0 ;0 ;1)$.

L’objectif de cet exercice est de calculer l’aire du triangle $ABC$.

  1. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $3x+2y+6z-6=0$.
    $\quad$
  2. On note $d$ la droite passant par $O$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
    a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
    $\quad$
    b. Montrer que la droite $d$ coupe le plan $(ABC)$ au point $H$ de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{12}{49};\dfrac{36}{49}\right)$.
    $\quad$
    c. Calculer la distance $OH$.
    $\quad$
  3. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par : $V=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$ , où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.
    En calculant de deux façons différentes le volume de la pyramide $OABC$, déterminer l’aire du triangle $ABC$.
    $\quad$

$\quad$

EXERCICE au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A

Principaux domaines abordés : Fonction exponentielle ; dérivation.

Le graphique ci-dessous représente, dans un repère orthogonal, les courbes $C_f$ et $C_g$ des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par :
$$f(x)=x^2\e^{-x} \quad \text{ et } \quad g(x)=\e^{-x}$$

La question 3 est indépendante des questions 1 et 2.

  1. a. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de $C_f$ et $C_g$.
    $\quad$
    b. Étudier la position relative des courbes $C_f$ et $C_g$.
    $\quad$
  2. Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[-1 ;1]$, on considère les points $M$ de coordonnées $\left(x ;f(x)\right)$ et $N$ de coordonnées $\left(x ;g(x)\right)$, et on note $d(x)$ la distance $MN$.
    On admet que : $d(x)=\e^{-x}-x^2\e^{-x}$.
    On admet que la fonction $d$ est dérivable sur l’intervalle $[-1;1]$ et on note $d’$ sa fonction dérivée.
    a. Montrer que $d'(x) =\e^{-x}\left(x^2-2x-1\right)$.
    $\quad$
    b. En déduire les variations de la fonction $d$ sur l’intervalle $[-1 ;1]$.
    $\quad$
    c. Déterminer l’abscisse commune $x_0$ des points $M_0$ et $N_0$ permettant d’obtenir une distance $d\left(x_0\right)$ maximale, et donner une valeur approchée à $0,1$ près de la distance $M_0N_0$.
    $\quad$
  3. Soit $\Delta$ la droite d’équation $y=x+2$.
    On considère la fonction $h$ dérivable sur $\R$ et définie par : $h(x)=\e^{-x}-x-2$.
    En étudiant le nombre de solutions de l’équation $h(x)=0$, déterminer le nombre de points d’intersection de la droite $\Delta$ et de la courbe $C_g$.
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice B

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme ; dérivation.

Partie I : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=\ln(x)+2x-2$.

  1. Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et $0$.
    $\quad$
  2. Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. Démontrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  4. Calculer $g(1)$ puis déterminer le signe de $g$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie II : Étude d’une fonction $\boldsymbol{f}$

On considère la fonction $f$, définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=\left(2-\dfrac{1}{x}\right)\left(\ln(x)-1\right)$.

  1. a. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on note $f’$ sa dérivée.
    Démontrer que, pour tout $x$ de $]0;+\infty[$[, on a : $$f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$$
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$. Le calcul des limites n’est pas demandé.
    $\quad$
  2. Résoudre l‘équation $f(x)=0$ sur $]0;+\infty[$ puis dresser le tableau de signes de $f$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie III : Étude d’une fonction $\boldsymbol{F}$ admettant pour dérivée la fonction $\boldsymbol{f}$

On admet qu’il existe une fonction $F$ dérivable sur $]0;+\infty[$ dont la dérivée $F’$ est la fonction $f$. Ainsi, on a : $F’=f$.

On note $\mathcal{C}_F$ la courbe représentative de la fonction $F$ dans un repère orthonormé $\Oij$.

On ne cherchera pas à déterminer une expression de $F(x)$.

  1. Étudier les variations de $F$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. La courbe représentative $\mathcal{C}_F$ de $F$ admet-elle des tangentes parallèles à l’axe des abscisses ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$