Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Sud – sujet 2 – 27 septembre 2023

Amérique du Sud – 27 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} p(X=2)&=p\left(\left(A_1\cap A_2\cap \conj{A_3}\right)\cup \left(A_1\cap\conj{ A_2}\cap A_3\right)\cup \left(\conj{A_1}\cap A_2\cap A_3\right)\right)\\
&\underset{\text{(incompatibilité)}}{=}p\left(A_1\cap A_2\cap \conj{A_3}\right)+p \left(A_1\cap\conj{ A_2}\cap A_3\right)+p\left(\conj{A_1}\cap A_2\cap A_3\right)\\
&=0,6\times 0,35\times 0,65+0,6\times 0,65\times 0,5+0,4\times 0,5\times 0,35 \\
&=0,401~5
\end{align*}$
La probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des trois tirs est égale à $0,401~5$.
$\quad$
a. $p(X=1)=1-\left(p(X=0)+p(X=2)+p(X=3)\right)=0,425$.
$\begin{array}{|c||c||c||c|}
\hline
X=x_i&0&1&2&3\\
\hline
p\left(X=x_i\right)&0,1&0,425&0,401~5&0,073~5\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
b.
$\begin{align*}E(X)&=p(X=1)+2p(X=2)+3p(X=3) \\
&=0,425+0,803+0,2205\\
&=1,448~5\end{align*}$
$\quad$
c. En moyenne, sur $3$ tirs, le joueur atteint sa cible $1,448~5$ fois.
$\quad$

Partie B

a. On répète $N=15$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,073~5$.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,073~5$.
$\quad$
b. On a alors :
$\begin{align*} p(Y=5)&=\dbinom{15}{5}0,073~5^5\times (1-0,073~5)^10 \\
&\approx 0,003\end{align*}$
La probabilité qu’exactement $5$ joueurs soient gagnants à ce jeu est environ égale à $0,003$.
$\quad$
On répète $N$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,073~5$.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $N$ et $p=0,073~5$.
$\begin{align*} p(Y\pg 1)\pg 0,98&\ssi 1-p(Y=0)\pg 0,98 \\
&\ssi p(Y=0) \pp 0,02 \\
&\ssi 0,926~5^N \pp 0,02 \\
&\ssi N\ln(0,926~5) \pp \ln(0,02) \\
&\ssi N\pg \dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,926~5)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,926~5)}\approx 51,2$.
Il faut donc au moins $52$ joueurs pour que la probabilité qu’il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0,98$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

$\vect{AB}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix} -1\\-2\\3\end{pmatrix}$.
Or $\dfrac{1}{-1}\neq \dfrac{-2}{-2}$.
$\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires.
Les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
$\quad$
a. D’une part $\vec{n}.\vect{AB}=1-2+1=0$
D’autre part $\vec{n}.\vect{AC}=-1-2+3=0$.
$\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. Il est donc normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est de la forme $x+y+z+d=0$.
$A(1;1;-4)$ appartient à ce plan. Donc $1+1-4+d=0\ssi d=2$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $x+y+z+2=0$.
$\quad$
a. $1+1+2+2=6\neq 0$. $\Omega$ n’appartient pas au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. On appelle $(d)$ la droite orthogonale au plan $(ABC)$ passant par $\Omega$.
Une représentation paramétrique de $(d)$ est donc $$\begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\end{cases} \quad t\in \R$$
Les coordonnées du point $H$ sont donc solution du système suivant :
$\begin{align*} \begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\\x+y+z+2=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\\1+t+1+t+2+t+2=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\\6+3t=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} t=-2\\x=-1\\y=-1\\z=0\end{cases}\end{align*}$
Ainsi $H$ a pour coordonnées $(-1;-1;0)$.
$\quad$
Remarque : On peut “vérifier” le résultat obtenu en calculant la distance $\Omega H$ et vérifier que celle-ci est bien égale à la valeur fournie par l’énoncé juste après.
$\quad$
$H$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(ABC)$.
Par conséquent, pour tout point $N$ de $(ABC)$ distinct de $H$ on a $\Omega N>\Omega H$.
Ainsi $\Omega N>2\sqrt{3}$ et le point $N$ n’appartient pas à $S$.
$\quad$
Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
$\vect{\Omega K}\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}=2\vec{u}$.
Ainsi $(\Omega K)$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
$3+3-0-6=0$ : $H$ appartient à $\mathscr{P}$.
$\begin{align*} \Omega H&=\sqrt{2^2+2^2+(-2)^2} \\
&=\sqrt{12} \\
&=2\sqrt{3}\end{align*}$.
$K$ appartient à $S$.
Le plan $\mathscr{P}$ est tangent à la sphère $S$ au point $K$.
$\quad$
Soit $M(x,y,z)$ appartenant à $(\Delta)$.
On a alors :
$\begin{align*}\begin{cases} x+y+z+2=0\\x+y-z-6=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x+y+z+2=0\\2z+8=0&L_2\leftarrow L_1-L_2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} z=-4\\x+y-2=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=k\\y=2-k\\z=-4\end{cases}\end{align*}$. Une représentation paramétrique de $(\Delta)$ est $ \begin{cases} x=k\\y=2-k\\z=-4\end{cases} \qquad k\in\R$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

$\begin{align*}u_1&=5\times 0-8\times 0+6\\
&=6\end{align*}$
$\begin{align*}u_2&=5\times 6-8\times 1+6\\
&=28\end{align*}$
$\quad$
On peut écrire :
$$\begin{array}{l} \\
\text{def suite_u(n) :} \\
\quad \text{u = 0}\\
\quad \text{for i in range(1,n+1) :}\\
\qquad \text{u = 5 * u – 8 * (i – 1) + 6}\\
\quad \text{return(u)}\end{array}$$
Remarque : On écrit $i-1$ car on calcule à chaque tour de boucle la valeur de $u_i=5u_{i-1}-8(i-1)+6$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$, on pose $P(n):~u_n\pg 2n$.
Initialisation : $u_0=0$ et $2\times 0=0$ donc $u_0\pg 2\times 0$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} u_{n+1}&=5u_n-8n+6 \\
&\pg 5\times 2n-8n+6 \\
&\pg 10n-8n+6 \\
&\pg 2n+6 \\
&\pg 2(n+3) \\
&\pg 2(n+1)\end{align*}$
$P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, $u_n\pg 2n$.
$\quad$
b. $\lim\limits_{n\to +\infty} 2n=+\infty$.
D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
$\quad$
c. $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$ donc pour tout réel $M>0$ il existe un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier $n\pg n_0$, on a $u_n\pg M$.
Pour tout $p\in \N^*$ on peut prendre $M=10^p$.
Il existe donc un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier $n\pg n_0$, on a $u_n\pg 10^p$.
$\quad$
Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=5u_n-8n+6-u_n \\
&=4u_n+8n+6 \\
&\pg 4\times 2n+8n+6 \\
&\pg 6\\
&>0\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
$\quad$
a. Il semblerait que, pour tout $n\in \N$ on ait $v_n=5^n$.
$\quad$
Soit $n\in \N$
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-2(n+1)+1 \\
&=5u_n-8n+6-2n-2+1 \\
&=5u_n-10n+5\\
&=5\left(u_n-2n+1\right) \\
&=5v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $5$ et de premier terme $v_0=1$.
Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $v_n=5^n$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} u_n&=v_n+2n+1 \\
&=5^n+2n+1\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

$\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{X\to 0} \ln(1+X)=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(1+\e^{-x}\right)=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}}+\dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{-1}{1+\e^x}+\dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{-4+1+\e^x}{4\left(1+\e^x\right)} \\
&=\dfrac{\e^x-3}{4\left(1+\e^x\right)}\end{align*}$$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $\e^x-3$.
Or $\e^x-3>0 \ssi \e^x>3\ssi x>\ln(3)$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\left]-\infty;\ln(3)\right]$ et strictement croissante sur $\left[\ln(3);+\infty\right[$.
$\quad$
c. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[2;5]$ (car $\ln(3)<2$).
De plus $f(2)\approx 0,6<1$ et $f(5)\approx 1,3>1$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=1$ admet donc une unique solution dans l’intervalle $[2;5]$.
$\quad$

Partie B

a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f\dsec(x)>0$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est donc convexe et la courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de toutes ses tangentes et en dessous de toutes ses cordes.
Ainsi, $\mathscr{C}_f$ est inscrite dans le quadrilatère $MNPQ$.
$\quad$
a. On a
$\begin{align*} f(-\alpha)&=\ln\left(1+\e^{\alpha}\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
&=\ln\left(\e^{\alpha}\left(\e^{-\alpha}+1\right)\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
&=\ln\left(\e^{\alpha}\right)+\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
&=\alpha+\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
&=\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{3}{4}\alpha \end{align*}$
$\quad$
b. $f'(0)=-\dfrac{1}{4}$ et $f(0)=\ln(2)$.
Une équation de $Delta$ est $y=-\dfrac{1}{4}x+\ln(2)$.
Ainsi $P$ a pour coordonnées $\left(-\alpha;\ln(2)+\dfrac{1}{4}\alpha\right)$ et $Q$ a pour coordonnées $\left(\alpha;\ln(2)-\dfrac{1}{4}\alpha\right)$.
$N$ a pour coordonnées $\left(-\alpha;\ln\left(1+\e^{-\alpha}+1\right)+\dfrac{3}{4}\alpha \right)$ et $M$ a pour coordonnées $\left(\alpha;\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{4}\alpha\right)$.
Par conséquent $\vect{PN}$ a pour coordonnées :
$\begin{align*} \begin{pmatrix} 0\\\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{3}{4}\alpha-\ln(2)-\dfrac{1}{4}\alpha \end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix} 0\\\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{2}\alpha-\ln(2)\end{pmatrix}\end{align*}$.
$\vect{QN}$ a pour coordonnées :
$\begin{align*} \begin{pmatrix} 0\\\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{4}\alpha-\ln(2)+\dfrac{1}{4}\alpha\end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix} 0\\ \ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{2}\alpha-\ln(2)\end{pmatrix}\end{align*}$
Ainsi $\vect{PN}=\vect{QM}$ et $MNPQ$ est un parallélogramme.
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées

Exercice 1 5 points

Partie A

Un jeu proposé dans une fête foraine consiste à effectuer trois tirs successivement sur une cible mouvante. On a constaté que :

Si le joueur atteint la cible lors d’un tir alors il ne l’atteint pas lors du tir suivant dans $65 \%$ des cas ;
Si le joueur n’atteint pas la cible lors d’un tir alors il l’atteint lors du tir suivant dans $50 \%$ des cas.

La probabilité qu’un joueur atteigne la cible lors de son premier tir est de $0,6$.
Pour tout événement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité et $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$.

On choisit au hasard un joueur à ce jeu de tirs. On considère les événements suivants :

$A_1$ : « Le joueur atteint la cible lors du 1$^{\text{er}}$ tir » ;
$A_2$ : « Le joueur atteint la cible lors du 2$\ieme$ tir » ;
$A_3$ : « Le joueur atteint la cible lors du 3$\ieme$ tir ».

Recopier et compléter, avec les probabilités correspondantes sur chaque branche, l’arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.
$\quad$

$\quad$

Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur atteint sa cible au cours des trois tirs.

Montrer que la probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des trois tirs est égale à $0,401~5$.
$\quad$
L’objectif de cette question est de calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$, notée $E(X)$.
a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
X = x_i& 0& 1& 2& 3\\
\hline
P\left(X=x_i\right)& ~~0,1~~&\phantom{0,0735}&\phantom{0,0735}& 0,0735\\
\hline
\end{array}$$
b. Calculer $E(X)$.
$\quad$
c. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

Partie B

On considère $N$, un entier naturel supérieur ou égal à $1$.
Un groupe de $N$ personnes se présente à ce stand pour jouer à ce jeu dans des conditions identiques et indépendantes. Un joueur est déclaré gagnant lorsqu’il atteint trois fois la cible.
On note $Y$ la variable aléatoire qui compte parmi les $N$ personnes le nombre de joueurs déclarés gagnants.

Dans cette question, $N = 15$.
a. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
$\quad$
b. Donner la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu’exactement $5$ joueurs soient gagnants à ce jeu.
$\quad$
Par la méthode de votre choix, que vous expliciterez, déterminer le nombre minimum de personnes qui doivent se présenter à ce stand pour que la probabilité qu’il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0,98$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

Dans un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points :
$$A(1 ; 1 ; -4),~ B(2 ; -1 ; -3),~ C(0 ;-1 ;-1) \text{ et } \Omega(1 ; 1 ; 2)$$

Démontrer que les points $A$, $B$, et $C$ définissent un plan.
$\quad$
a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x+y+z+2=0$.
$\quad$
a. Justifier que le point $\Omega$ n’appartient pas au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan $(ABC)$.$\quad$

On admet que $\Omega H = 2\sqrt{3}$. On définit la sphère $S$ de centre $\Omega$ et de rayon $2\sqrt{3}$ comme l’ensemble de tous les points $M$ de l’espace tels que $\Omega M = 2\sqrt{3}$.

Justifier, sans calcul, que tout point $N$ du plan $(ABC)$, distinct de $H$, n’appartient pas à la sphère $S$.
$\quad$

On dit qu’un plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ en un point $K$ lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :

$K\in \mathcal{P}\cap S$
$(\Omega K) \perp \mathcal{P}$

Soit le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne $x+y-z-6=0$ et le point $K$ de coordonnées $K(3 ; 3 ; 0)$. Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ au point $K$.
$\quad$
On admet que les plans $(ABC)$ et $\mathcal{P}$ sont sécants selon une droite $(\Delta)$.
Déterminer une équation paramétrique de la droite $(\Delta)$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n\in \N,~u_{n+1}=5u_n-8n+6$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
Soit $n$ un entier naturel.
Recopier et compléter la fonction $\text{suite_u}$ d’argument $\text{n}$ ci-dessous, écrite en langage Python, afin qu’elle retourne la valeur de $u_n$.
$$\begin{array}{l}
\text{def suite_u(n):}\\
\quad \text{u = …}\\
\quad \text{for i in range(1,n + 1):}\\
\qquad \text{u = …}\\
\quad \text{return u}\end{array}$$
$\quad$
a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \N$, $u_n\pg 2n$.
$\quad$
b. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
c. Soit $p\in \N^*$. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ vérifiant, $n\pg n_0$, $u_n\pg 10^p$ ?
$\quad$
Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
$\quad$
On considère la suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout $n\in \N$, par $v_n=u_n-2n+1$.
a. En dessous de la fonction $\text{suite_u}$ précédente, on a écrit la fonction $\text{suite_v}$ ci-dessous :
$$\begin{array}{l}
\text{def suite_v(n):}\\
\quad \text{L = [ ]}\\
\quad \text{for i in range(1,n + 1):}\\
\qquad \text{L.append(suite_u(i) – 2 * i + 1)}\\
\quad \text{return L}\end{array}$$
$\quad$
La commande « $\text {L.append}$ » permet de rajouter, en dernière position, un élément dans la liste $\text{L}$.
Lorsqu’on saisit $\text{suite_v(5)}$ dans la console, on obtient l’affichage suivant :
$$\begin{array}{l}
\text{>>> suite_v(5)}\\
\text{[1, 5, 25, 125, 625, 3125]}\end{array}$$
Conjecturer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
Démontrer cette conjecture.
$\quad$
b. En déduire, pour tout entier naturel $n$, la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\ln\left(1+\e^{-x}\right)+\dfrac{1}{4}x$.
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\Oij$ du plan.

Partie A

Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
$\quad$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
a. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{\e^x-3}{4\left(\e^x+1\right)}$.
$\quad$
b. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
c. Montrer que l’équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[2 ; 5]$.
$\quad$

Partie B

On admettra que la fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $f\dsec(x)=\dfrac{\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$.
On note $\Delta$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $0$.
Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathcal{C}_f$, la tangente $\Delta$ et le quadrilatère $MNPQ$ tel que $M$ et $N$ sont les deux points de la courbe $\mathcal{C}_f$ d’abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$, et $Q$ et $P$ sont les deux points de la droite $\Delta$ d’abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$.

a. Justifier le signe de $f\dsec(x)$ pour tout $x\in \R$.
$\quad$
b. En déduire que la portion de la courbe $\mathcal{C}_f$, sur l’intervalle $[-\alpha;\alpha]$, est inscrite dans le quadrilatère $MNPQ$.
$\quad$
a. Montrer que $f(-\alpha)=\ln\left(\e^{-\alpha}+1\right)+\dfrac{3}{4}\alpha$.
$\quad$
b. Démontrer que le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Sud – sujet 1 – 26 septembre 2023

Amérique du Sud – 26 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

$\lim\limits_{x\to 0^+} 1+x^2=1$ et, par croissances comparées , $\lim\limits_{x\to 0^+} x^2\ln(x)=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=1$.
Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=1+x^2\left(1-2\ln(x)\right)$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} 2-\ln(x)=-\infty$
$\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2x-2\times 2x\ln(x)-2x^2\times \dfrac{1}{x} \\
&=2x-4x\ln(x)-2x \\
&=-4x\ln(x)\end{align*}$
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a $-4x<0$.
$\ln(x)=0 \ssi x=1$ et $\ln(x)>0 \ssi x>1$
On obtient le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
De plus $f(1)=2>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1;+\infty[$.
$f(\e)=1-\e^2<0$
Ainsi $f(\e)<0<f(1)$ soit $f(\e)<f(\alpha)<f(1)$
La fonction $f$ est décroissante sur $[1;+\infty[$ par conséquent $1<\alpha<\e$.
$\quad$
L’appel $\text{dichotomie(1)}$ fournit un encadrement de $\alpha$ à, au plus, $10^{-1}$ près.
D’après la question 4., $1<\alpha<\e$ et $\e\approx 2,72$.
Par conséquent les propositions C et D sont fausses.
$f(1,85)\approx 0,2>0$ : par conséquent, lors du premier tour de la boucle $\text{while}$, la variable $\text{a}$ prend la valeur $1,85$. et ne pourra plus prendre de valeur inférieur.
La proposition B : $ \text{(1.85, 1.9031250000000002)}$ est la bonne.
$\quad$
Autre méthode : On veut un encadrement à $10^{-1}$ près. La différence entre les deux bornes de l’intervalle doit donc être inférieure à $10^{-1}$. On exclut donc les propositions A et C.
L’intervalle obtenu à l’aide de l’algorithme de dichotomie est inclus dans l’intervalle fourni initialement. On exclut donc également la proposition D.
Il ne reste donc que la proposition B.
$\quad$

Partie B

Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times \left(1+x^2\right)-2x\ln(x)}{\left(1+x^2\right)^2} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{x}+x-2x\ln(x)}{\left(1+x^2\right)^2} \\
&=\dfrac{1+x^2-2x^2\ln(x)}{x\left(1+x^2\right)^2} \\
&=\dfrac{f(x)}{x\left(1+x^2\right)^2} \end{align*}$
$\quad$
$g'(x)$ est donc du signe de $f(x)$.
D’après la partie A :
$\bullet ~f(x)>0$ sur $]0;\alpha[$ ;
$\bullet ~f(\alpha)=0$ ;
$\bullet ~f(x)<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
Ainsi $g$ est strictement croissante sur $]0;+\alpha[$ et strictement décroissante sur $]\alpha;+\infty[$.
Elle admet donc un maximum en $\alpha$.
$\quad$
On a $g'(1)=\dfrac{f(1)}{4}=\dfrac{1}{2}$ et $g(1)=0$
Une équation de $T_1$ est donc $y=\dfrac{1}{2}(x-1)$
On a $g'(\alpha)=0$ et $g(\alpha)=\dfrac{1}{2\alpha^2}$
Une équation de $T_{\alpha}$ est donc $y=\dfrac{1}{2\alpha^2}$
L’abscisse du point d’intersection de ces deux droites est solution de l’équation $\dfrac{1}{2}(x-1)=\dfrac{1}{2\alpha^2}\ssi x-1=\dfrac{1}{\alpha^2} \ssi x=1+\dfrac{1}{\alpha^2}$.
Ainsi le point d’intersection des deux droites a pour coordonnées $\left(1+\dfrac{1}{\alpha^2};\dfrac{1}{2\alpha^2}\right)$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. La fréquence des accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020 est :
$$\begin{align*} \dfrac{293~898}{18~221~965} &\approx 0,0161\\
&\approx 1,6\%\end{align*}$$
$\quad$
b. La fréquence des accouchements donnant naissance à au moins trois enfants sur la période 1998-2020 est :
$$\begin{align*} \dfrac{4~921}{18~221~965} &\approx 0,000~27\\
&\approx 0,027\% \\
&<0,1\%\end{align*}$$
$\quad$
a. On effectue $20$ expériences indépendantes de Bernoulli de paramètre $0,016$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,016$.
$\begin{align*}P(X=1)&=\dbinom{20}{1} 0,016\times (1-0,016)^{19} \\
&\approx 0,236\end{align*}$
La probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double est environ égale à $0,236$.
$\quad$
b. On effectue $n$ expériences indépendantes de Bernoulli de paramètre $0,016$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,016$.
$\begin{align*} P(X\pg 1)\pg 0,99& \ssi 1-P(X=0)\pg 0,99 \\
&\ssi P(X=0)\pp 0,01 \\
&\ssi 0,984^n \pp 0,01 \\
&\ssi n\ln(0,984) \pp \ln(0,01) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,984)}\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,984)} \approx 285,5$
La plus petite valeur de $n$ telle que $P(X\pg 1)\pg 0,99$ est $286$.
Cela signifie qu’il faut que la maternité réalise $286$ accouchements en une journée pour que la probabilité qu’il y ait au moins un accouchement double soit supérieure ou égale à $0,99$.
$\quad$
a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
b. $\left(M,\conj{M}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P\left(F_1\cap F_2\right)&=P\left(M\cap F_1\cap F_2\right)+P\left(\conj{M}\cap F_1\cap F_2\right) \\
&=0,3\times 0,49\times 1+0,7\times 0,49\times 0,49 \\
&=0,315~07\end{align*}$
$\quad$
c. On veut calculer :
$\begin{align*} P_{F_1\cap F_2}(M)&=\dfrac{P\left(M\cap F_1\cap F_2\right)}{P\left(F_1\cap F_2\right)} \\
&=\dfrac{0,3\times 0,49\times 1}{0,315~07} \\
&\approx 0,467\end{align*}$
La probabilité que les nouveaux nés soient monozygotes sachant que ce sont des jumelles est environ égale à $0,467$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. On a $\vect{CK}\begin{pmatrix}-4\\12\\3\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} CK&=\sqrt{(-4)^2+12^2+3^2} \\
&=\sqrt{169} \\
&=13\end{align*}$
Le point $C$ appartient bien à la sphère $S$.
$\quad$
b. $\vect{AC}\begin{pmatrix}4\\-12\\-16\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix}4\\-12\\10\end{pmatrix}$.
Par conséquent $\vect{AC}.\vect{BC}=16+144-160=0$.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
$\quad$
a. $\vec{n}.\vect{AC}=12-12+0=0$ et $\vec{n}.\vect{BC}=12-12+0$.
$\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $3x+y+d=0$.
Le point $A(0;4;16)$ appartient au plan $(ABC)$ donc $4+d=0\ssi d=-4$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $3x+y-4=0$.
$\quad$
a. On note $D’$ le point de coordonnées $(12;0;0)$
$\vect{D’K}\begin{pmatrix}-12\\4\\3\end{pmatrix}$ donc
$\begin{align*} D’K&=\sqrt{(-12)^2+4^2+3^2} \\
&=\sqrt{169} \\
&=13\end{align*}$
Le point $D'(12;0;0)$ appartient donc à la fois à l’axe des abscisses et à la sphère $S$ et $12>0$
Ainsi $D$ a pour coordonnées $(12;0;0)$.
$\quad$
b. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
Ainsi, une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :
$$\begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\end{cases} \quad t\in \R$$
$\quad$
c. On recherche les coordonnées du point d’intersection de $\Delta$ avec le plan $(ABC)$. On résout pour cela le système suivant :
$\begin{align*}\begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\\3x+y-4=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\\36+9t+t-4=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\\t=-3,2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2,4\\y=-3,2\\z=0\end{cases}\end{align*}$
On note $H(2,4;-3,2;0)$.
On a alors $\vect{HD}\begin{pmatrix}9,6\\3,2\\0\end{pmatrix}$.
Ainsi, la distance du point $D$ au plan $(ABC)$ est égale à :
$\begin{align*} DH&=\sqrt{9,6^2+3,2^2} \\
&=\sqrt{102,4} \\
&=\dfrac{16\sqrt{10}}{5}\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} AC&=\sqrt{4^2+(-12)^2+(-16)^2}\\
&=\sqrt{416}\\
&=4\sqrt{26}\end{align*}$
$\begin{align*} BC&=\sqrt{4^2+(-12)^2+10^2}\\
&=\sqrt{260}\\
&=2\sqrt{65}\end{align*}$
$\quad$
L’aire du triangle $ABC$ est :
$\begin{align*} \mathscr{B}&=\dfrac{AC\times BC}{2} \\
&=\dfrac{AC\times BC}{2} \\
&=52\sqrt{10} \end{align*}$
$\quad$
Le volume du tétraèdre est alors égal à :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times 52\sqrt{10}\times \dfrac{16\sqrt{10}}{5}\\
&=\dfrac{1~664}{3} \\
&\approx 555 \text{ u.v.}\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

Pour tout réel $x$ on a $f(x)=-2x^2+2x$
$f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $-2<0$.
Le maximum est alors atteint en $\dfrac{-2}{2\times (-2)}=\dfrac{1}{2}$.
$f$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]$ et par conséquent, en particulier sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
$\quad$
$u_1=0,6\times 0,7=0,42$.
Pour tout $n\in \N$, on pose $P(n):~u_n\pp u_{n+1}$.
Initialisation : $u_0=0,3$ et $u_1=0,42$ donc $u_0\pp u_1$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
Donc $0\pp u_n\pp u_{n+1}\pp \dfrac{1}{2}$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
Par conséquent $f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right)$ soit $u_{n+1} \pp u_{n+2}$.
$P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, $u_n\pp u_{n+1}$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\dfrac{1}{2}$. Elle converge donc. vers un réel $\ell$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue sur $\R$ et, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
Ainsi $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi 2x-2x^2=x \\
&\ssi x-2x^2=0 \\
&\ssi x(1-2x)=0\\
&\ssi x=0 \text{ ou } x=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et $u_0=0,3$. Par conséquent $\ell\pg 0,3$.
Ainsi $\ell=\dfrac{1}{2}$.
La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$

Partie B

a. Si $b=0$ alors, pour tout $n\in \N$ on a $P_{n+1}-P_n=P_n\ssi P_{n+1}=2P_n$
La suite $\left(P_n\right)$ est alors géométrique de raison $2$.
$\quad$
b. $2>1$ et $P_0=3>0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} P_n=+\infty$.
$\quad$
a. $v_0=0,1\times 3=0,3$.
Pour tout $n\in \N$ on a $P_{n+1}=P_n+P_n\left(1-0,2P_n\right)$. Ainsi :
$\begin{align*}
v_{n+1}&=0,1P_{n+1} \\
&=0,1P_n+0,1P_n\left(1-0,2P_n\right) \\
&=0,1P_n\left(1+1-0,2P_n\right) \\
&=0,1P_n\left(2-0,2P_n\right) \\
&=2\times 0,1P_n\left(1-0,1P_n\right) \\
&=2v_n\left(1-v_n\right)\end{align*}$
$\quad$
b. Ainsi $\left(v_n\right)$ est égale à la suite $\left(u_n\right)$ de la partie A.
$\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0,5$. Or, pour tout $n\in \N$, $P_n=10v_n$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} P_n=5$.
La population se stabilisera donc autour de $5~000$ individus.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $f(x) = 1+x^2-2x^2\ln(x)$.

On admet que $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

Justifier que $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$ et, en remarquant que $f(x)=1+x^2\left(1-2\ln(x)\right)$, justifier $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0; +\infty[$, $f'(x)=-4x\ln(x)$.
$\quad$
Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
$\quad$
Démontrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[1 ; +\infty[$ et que $a\in [1 ; \e]$.

On admet, dans la suite de l’exercice, que l’équation $f(x) = 0$ n’admet pas de solution sur l’intervalle $]0 ; 1]$.

On donne la fonction ci-dessous écrite en Python. L’instruction $\text{from lycee import *}$ permet d’accéder à la fonction $\ln$.
$$\begin{array}{l}
\text{from lycee import *}\\
\\
\text{def f(x) :}\\
\quad \text{return 1 + x**2 – 2 * x**2 * ln(x)} \\
\\
\text{def dichotomie(p) :} \\
\quad \text{a = 1}\\
\quad \text{b = 2.7}\\
\quad \text{while b – a > 10**(-p) :}\\
\qquad \text{if f(a) * f((a + b) / 2) < 0 :}\\
\quad \qquad \text{b = (a + b) / 2 }\\
\qquad \text{else :} \\
\quad \qquad \text{a = (a + b) / 2}\\
\quad \text{return (a,b)} \end{array}$$On écrit dans la console d’exécution :
$\text{>>> dichotomie(1)}$
$\quad$
Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l’instruction précédente ? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination).
Proposition A : $\quad(1.75, 1.9031250000000002)$
Proposition B : $\quad(1.85, 1.9031250000000002)$
Proposition C : $\quad(2.75, 2.9031250000000002)$
Proposition D : $\quad(2.85, 2.9031250000000002)$
$\quad$

Partie B

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$, par $g(x) = \dfrac{\ln(x)}{1+x^2}$.

On admet que $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.

On note $C_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère $\Oij$.

Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ; +\infty$[, $g'(x)=\dfrac{f(x)}{x\left(1+x^2\right)^2}$.
$\quad$
Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $x=\alpha$.
$\quad$

On admet que $g(\alpha)=\dfrac{1}{2\alpha^2}$.

On note $T_1$ la tangente à $C_g$ au point d’abscisse $1$ et on note $T_{\alpha}$ la tangente à $C_g$ au point d’abscisse $\alpha$.
Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées du point d’intersection des droites $T_1$ et $T_{\alpha}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

Entre 1998 et 2020, en France, $18~221~965$ accouchements ont été recensés, parmi lesquels $293~898$ ont donné naissance à des jumeaux et $4~ 921$ ont donné naissance à au moins trois enfants.
a. Avec une précision de $0,1\%$, calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d’accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020.
$\quad$
b. Vérifier que le pourcentage d’accouchements qui ont donné naissance à au moins trois enfants est inférieur à $0,1\%$. On considère alors que ce pourcentage est négligeable.
$\quad$

On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.
On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.

On considère dans la suite de l’exercice qu’un accouchement est soit ordinaire, soit double.
La probabilité d’un accouchement ordinaire est égale à $0,984$ et celle d’un accouchement double est alors égale à $0,016$.

Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.

On admet qu’un jour donné dans une maternité, on réalise $n$ accouchements.
On considère que ces $n$ accouchements sont indépendants les uns des autres.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’accouchements doubles pratiqués ce jour.
a. Dans le cas où $n = 20$, préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et calculer la probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double.
$\quad$
b. Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $P(X\pg 1) \pg 0,99$.
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Dans cette maternité, parmi les naissances doubles, on estime qu’il y a $30\%$ de jumeaux monozygotes (appelés « vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc $70\%$ de jumeaux dizygotes (appelés « faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents : deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).
Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d’être une fille à la naissance est égale à $0,49$ et que celle d’être un garçon à la naissance est égale à $0,51$.
Dans le cas d’une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.
$\quad$
On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :
$\bullet \quad M$ : « les jumeaux sont monozygotes » ;
$\bullet \quad F_1$ : « le premier nouveau-né est une fille » ;
$\bullet \quad F_2$ : « le second nouveau-né est une fille ».
$\quad$
On notera $P(A)$ la probabilité de l’évènement $A$ et $\conj{A}$ l’évènement contraire de $A$.
a. Recopier puis compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
$\quad$
b. Montrer que la probabilité que les deux nouveau-nés soient des filles est $0,315~07$.
$\quad$
c. Les deux nouveau-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu’elles soient monozygotes.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points $A(0 ; 4 ; 16)$, $B(0 ; 4 ;-10)$, $C(4 ;-8 ; 0)$ et $K(0 ; 4 ; 3)$.

On définit la sphère $S$ de centre $K$ et de rayon $13$ comme l’ensemble des points $M$ tels que $KM = 13$.

a. Vérifier que le point $C$ appartient à la sphère $S$.
$\quad$
b. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
$\quad$
a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
$\quad$
On admet que la sphère $S$ coupe l’axe des abscisses en deux points, l’un ayant une abscisse positive et l’autre une abscisse négative. On note $D$ celui qui a une abscisse positive.
a. Montrer que le point $D$ a pour coordonnées $(12 ; 0 ; 0 )$.
$\quad$
b. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.
$\quad$
c. Déterminer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
$\quad$
Calculer une valeur approchée, à l’unité de volume près, du volume du tétraèdre $ABCD$.
On rappelle la formule du volume $\mathcal{V}$ d’un tétraèdre :
$$\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times \mathcal{B}\times h$$
où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

PARTIE A

Le but de la partie A est d’étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=2u_n\left(1-u_n\right)$$
Cette relation de récurrence s’écrit $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ , où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : $$f(x)=2x(1-x)$$

Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $\left[0 ;\dfrac{1}{2}\right]$.
$\quad$
On admet que pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_n\pp \dfrac{1}{2}$
Calculer $u_1$ puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\pp u_{n+1}$.
$\quad$
En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
Justifier que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est égale à $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$

PARTIE B

Le but de cette partie est d’étudier un modèle d’évolution d’une population.
En 2022, cette population compte $3~000$ individus.

On note $P_n$ l’effectif en milliers de la population l’année 2022 $+n$. Ainsi $P_0 = 3$.
Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du 19$^{\text{e}}$ siècle, on considère que, pour tout entier naturel $n$ :
$$ P_{n+1}-P_n=P_n\left(1-b\times P_n\right)~, \text{où $b$ est un réel strictement positif}$$
Le réel $b$ est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.

Dans cette question $b=0$.
a. Justifier que la suite $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
$\quad$
b. Déterminer la limite de $P_n$.
$\quad$
Dans cette question $b = 0,2$.
a. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=0,1\times P_n$.
Calculer $v_0$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=2v_n\left(1-v_n\right)$.
$\quad$
b. Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d’une valeur que l’on précisera.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 2 – 12 septembre 2023

Métropole – 12 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré :
$\quad$

$\quad$
a. On veut calculer :
$\begin{align*} p\left(\conj{I}\cap \conj{T}\right)&=p\left(\conj{I}\right) p_{\conj{I}}\left(\conj{T}\right) \\
&=0,996\times 0,984 \\
&\approx 0,980\end{align*}$
La probabilité que la vache ne soit pas atteinte par l’infection et que son test soit négatif est environ égale à $0,980$.
$\quad$
b. $\left(I,\conj{I}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} p(T)&=p(I)p_I(T)+p\left(\conj{I}\right)p_{\conj{I}}[T) \\
&=0,004\times 0,992+0,996\times 0,016 \\
&\approx 0,020\end{align*}$
La probabilité que la vache présente un test positif est environ égale à $0,020$.
$\quad$
c. On a :
$\begin{align*} p_T(I)&=\dfrac{p(I\cap T)}{p(T)} \\
&=\dfrac{p(I)p_I(T)}{p(T)} \\
&=\dfrac{0,004\times 0,992}{0,020} \\
&\approx 0,198\end{align*}$
La « valeur prédictive positive du test » est environ égale à $0,198$.
$\quad$
d. On a
$\begin{align*} p\left(\left(I\cap \conj{T}\right)\cup\left(\conj{I}\cap T\right)\right)&=p\left(I\cap \conj{T}\right)+p\left(\conj{I}\cap T\right)\qquad \text{(incompatibilité)}\\
&=p(I)p_I\left(\conj{T}\right)+p\left(\conj{I}\right)p_{\conj{I}}(T) \\
&=0,004\times 0,008+0,996\times 0,016 \\
&\approx 0,016\end{align*}$
La probabilité que le test donne une information erronée sur l’état de santé de la vache est environ égale à $0,016$.
$\quad$

Partie B

a. On répète $100$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,02$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n=100$ et $p=0,02$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} p(X=3)&=\dbinom{100}{3}0,02^3\times 0,98^{97} \\
&\approx 0,182\end{align*}$
La probabilité que dans un échantillon de $100$ vaches, il y ait exactement $3$ vaches présentant un test positif est environ égale à $ 0,182$.
$\quad$
c. On a, d’après la calculatrice $p(X\pp 3) \approx 0,859$.
La probabilité que dans un échantillon de $100$ vaches, il y ait au plus $3$ vaches présentant un test positif est environ égale à $0,859$.
$\quad$
On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,02$.
On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de vaches présentant un test positif.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,02$.
$\begin{align*} p(Y\pg 1)\pg 0,99&\ssi 1-p(Y=0)\pg 0,99 \\
&\ssi p(Y=0)\pp 0,01 \\
&\ssi 0,98^n \pp 0,01 \\
&\ssi n\ln(0,98) \pp \ln(0,01) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,98)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,98)}\approx 227,9$.
L’échantillon doit donc comporter au moins $228$ vaches pour que la probabilité qu’il y ait au moins un vache testée positive soit supérieure ou égale à $0,99$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. Le point de coordonnées $(1;2)$ semble appartenir à la courbe $C’$.
Le coefficient directeur de la tangente à $C$ a point d’abscisse $1$ est donc environ égal à $2$.
$\quad$
b. $f$ est convexe si $f’$ est croissante.
Le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe semble être $[7,4;+\infty[$.
$\quad$
a. $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} 2-\ln(x)=-\infty$
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
$\quad$
b. $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} 2-\ln(x)=+\infty$
Donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$
La droite d’équation $x=0$ est asymptote à la courbe $C$.
$\quad$
On a :
$$f(x)=0\ssi \begin{cases} \ln(x)=0\\2-\ln(x)=0\end{cases} \ssi \begin{cases} x=1\\x=\e^2\end{cases}$$
La courbe $C$ coupe donc l’axe des abscisses en exactement deux points de coordonnées $(1;0)$ et $\left(\e^2;0\right)$.
$\quad$
a. Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{1}{x}\ln(x)+\left(2-\ln(x)\right)\times \dfrac{1}{x} \\
&=\dfrac{-\ln(x)+2-\ln(x)}{x} \\
&=\dfrac{2\left(1-\ln(x)\right)}{x}\end{align*}$
$\quad$
b. $f'(x)$ est du signe de $1-\ln(x)$.
Or $1-\ln(x)=0\ssi \ln(x)=1\ssi x=\e$
et $1-\ln(x)>0\ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
$f\dsec(x)$ est du signe de $\ln(x)-2$.
Or $\ln(x)-2>0\ssi \ln(x)>2\ssi x>\e^2$.
$\ln(x)-2=0 \ssi \ln(x)=2 \ssi x=\e^2$.
$f\left(\e^2\right)=0$
$f$ est donc concave sur $\left]0;\e^2\right]$ et convexe sur $\left[\e^2;+\infty\right[$.
$C$ admet un point d’inflexion de coordonnées $\left(\e^2;0\right)$.

Ex 3

Exercice 3

On a
$\begin{align*} u_2&=\dfrac{1}{\e}\left(1+\dfrac{1}{1}\right)\times \dfrac{1}{\e} \\
&=\dfrac{2}{\e^2}\end{align*}$
$\begin{align*} u_3&=\dfrac{1}{\e}\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\times \dfrac{2}{\e^2} \\
&=\dfrac{3}{\e^3}\end{align*}$
$\quad$
On peut écrire à la ligne $L_1 :$ $\text{u = 1 / math.e}$
et à la ligne $L_3:$ $\text{u = 1 / math.e * (1 + 1 / i) * u}$
$\quad$
a. On a $n\in \N^*$ donc $n\pg 1$.
Ainsi $\dfrac{1}{n} \pp 1$ et $1+\dfrac{1}{n}\pp 2<\e$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N^*$ on a donc
$\begin{align*} u_{n+1} &=\dfrac{1}{\e}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)u_n \\
&\pp \dfrac{1}{\e}\times \e \times u_n \\
&\pp u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
$\quad$
c. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $0$ (tous les termes sont strictement positifs).
La suite est donc convergente.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N^*$ on pose $P(n):~u_n=\dfrac{n}{\e^n}$
Initialisation : $u_1=\dfrac{1}{\e}=\dfrac{1}{\e^1}$ donc $P(1)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N^*$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{\e}\left(\dfrac{1}{n}\right)u_n \\
&=\dfrac{1}{\e}\left(\dfrac{1}{n}\right)\times \dfrac{n}{\e^n} \\
&=\dfrac{n+1}{n}\times \dfrac{n}{\e^{n+1}} \\
&=\dfrac{n+1}{\e^{n+1}}\end{align*}$
$P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N^*$, $u_n=\dfrac{n}{\e^n}$.
$\quad$
b. Par croissances comparées, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n}{\e^n}=0$.
La suite $\left(u_n\right)$ converge donc vers $0$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

$3\times 1+2\times 0+1-4=0$ donc $T(1;0;1)$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
Réponse c
$\quad$
On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}$, $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$
Par conséquent $\vect{AB}.\vect{AC}=4+0-4=0$.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
De plus $AB=\sqrt{2^2+0^2+4^2}=\sqrt{20}$ et $AC=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=3$. Le triangle $ABC$ n’est pas isocèle.
Réponse d
$\quad$
Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}$.
Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$.
Ainsi $\vec{u}.\vec{n}=-3+0+3$.
La droite $\Delta$ est donc parallèle au plan $\mathscr{P}$.
Le point $D(1;2;-4)$ appartient à la droite $\Delta$.
$3\times 1+2\times 2+(-4)-4=-1\neq 0$ : $D$ n’appartient pas au plan $\mathscr{P}$.
La droite $\Delta$ est strictement parallèle au plan $\mathscr{P}$.
Réponse d
$\quad$
On a $BA=\sqrt{20}$ d’après la question 2.
$\vect{BC}=\begin{pmatrix}0\\2\\-5\end{pmatrix}$ donc $BC=\sqrt{29}$
Or
$\begin{align*}\vect{BA}.\vect{BC}=20&\ssi BA\times BC\times \cos\widehat{ABC}=20 \\
&\ssi \sqrt{20}\times \sqrt{29}\cos\widehat{ABC}=20 \\
&\ssi \cos\widehat{ABC}=\dfrac{20}{\sqrt{580}}\end{align*}$
Par conséquent $\widehat{ABC} \approx 33,9$°
Réponse a
$\quad$
Un vecteur normal au plan $\mathscr{Q}$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}-6\\-4\\-2\end{pmatrix}$.
Par conséquen $\vec{v}=-2\vec{n}$.
Les deux plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{Q}$ sont parallèles.
Le point $T(1;0;1)$ appartient au plan $\mathscr{P}$
$-6\times 1+0-2\times 1+7=-1$ : $T$ n’appartient pas au plan $\mathscr{Q}$
Les plans sont strictement parallèles.
Réponse b
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

La paratuberculose est une maladie digestive infectieuse qui touche les vaches. Elle est due à la présence d’une bactérie dans l’intestin de la vache.
On réalise une étude dans une région dont $0,4\%$ de la population de vaches est infectée.
Il existe un test qui met en évidence la réaction immunitaire de l’organisme infecté par la bactérie.
Le résultat de ce test peut être soit « positif », soit « négatif ».

On choisit une vache au hasard dans la région.

Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :

Si la vache est atteinte par l’infection, la probabilité que son test soit positif est de $0,992$ ;
Si la vache n’est pas atteinte par l’infection, la probabilité que son test soit négatif est de $0,984$.

On désigne par :

$I$ l’événement « la vache est atteinte par l’infection » ;
$T$ l’événement « la vache présente un test positif ».

On note $\conj{I}$ l’événement contraire de $I$ et $\conj{T}$ l’événement contraire de $T$.

Les parties A et B sont indépendantes

PARTIE A

Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.
$\quad$

$\quad$
a. Calculer la probabilité que la vache ne soit pas atteinte par l’infection et que son test soit négatif. On donnera le résultat à $10^{-3}$ près.
$\quad$
b. Montrer que la probabilité, à $10^{-3}$ près, que la vache présente un test positif est environ égale à $0,020.$.
$\quad$
c. La « valeur prédictive positive du test » est la probabilité que la vache soit atteinte par l’infection sachant que son test est positif. Calculer la valeur prédictive positive de ce test.
On donnera le résultat à $10^{-3}$ près.
$\quad$
d. Le test donne une information erronée sur l’état de santé de la vache lorsque la vache n’est pas infectée et présente un résultat positif au test ou lorsque la vache est infectée et présente un résultat négatif au test.
Calculer la probabilité que ce test donne une information erronée sur l’état de santé de la vache. On donnera un résultat à $10^{-3}$ près.
$\quad$

Partie B

Lorsqu’on choisit au hasard dans la région un échantillon de $100$ vaches, on assimile ce choix à un tirage avec remise.
On rappelle que, pour une vache choisie au hasard dans la région, la probabilité que le test soit positif est égale à $0,02$.
On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $100$ vaches de la région choisies au hasard associe le nombre de vaches présentant un test positif dans cet échantillon.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier la réponse et préciser les paramètres de cette loi.
$\quad$
b. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 100 vaches, il y ait exactement $3$ vaches présentant un test positif. On donnera un résultat à $10^{-3}$près.
$\quad$
c. Calculer la probabilité que dans un échantillon de $100$ vaches, il y ait au plus $3$ vaches présentant un test positif. On donnera un résultat à $10^{-3}$ près.
$\quad$
On choisit à présent un échantillon de $n$ vaches dans cette région, $n$ étant un entier naturel non nul. On admet que l’on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.
Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu’il y ait, dans l’échantillon, au moins une vache testée positive, soit supérieure ou égale à $0,99$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par $f(x)=\left(2-\ln(x)\right)\times \ln(x)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0; +\infty[$.
On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal et $C’$ la courbe représentative de la fonction $f’$, fonction dérivée de la fonction $f$.
La courbe $\boldsymbol{C’}$ est donnée ci-dessous ainsi que son unique tangente horizontale $(T)$.

Par lecture graphique, avec la précision que permet le tracé ci-dessus, donner :
a. le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d’abscisse $1$.
$\quad$
b. le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.
$\quad$
a. Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\quad$
b. Calculer $\lim\limits_{x\to 0} f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat.
$\quad$
Montrer que la courbe $C$ coupe l’axe des abscisses en deux points exactement dont on précisera les coordonnées.
$\quad$
a. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $]0; +\infty[$, $f'(x)=\dfrac{2\left(1-\ln(x)\right)}{x}$.
$\quad$
b. En déduire, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$.
$\quad$
On note $f\dsec$ la dérivée seconde de $f$ et on admet que pour tout réel $x$ appartenant à $]0; +\infty[$, $f\dsec(x) =
\dfrac{2\left(\ln(x)-2\right)}{x^2}$.
Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe et préciser les coordonnées du point d’inflexion de la courbe $C$.
$\quad$

Exercice 3 5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $\begin{cases} u_1=\dfrac{1}{\e}\\ \text{pour tout entier }n\pg 1,~u_{n+1} =\dfrac{1}{\e}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)u_n\end{cases}$

Calculer les valeurs exactes de $u_2$ et $u_3$. On détaillera les calculs.
$\quad$
On considère une fonction écrite en langage Python qui, pour un entier naturel $n$ donné, affiche le terme $u_n$. Compléter les lignes $L_2$ et $L_4$ de ce programme.
$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
L_1&\text{def suite(n) :}\\
L_2& \quad \text{……………….}\\
L_3&\quad \text{for i in range(1,n) :}\hspace{2cm}\\
L_4&\qquad \text{u = ……………….}\\
L_5&\quad \text{return u}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
On admet que tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont strictement positifs.
a. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $1+\dfrac{1}{n}\pp \e$.
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
c. La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier votre réponse.
$\quad$
a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul, on a : $u_n=\dfrac{n}{\e^n}$.
$\quad$
b. En déduire, si elle existe, la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse
à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère :

les points $A(-1;-2;3)$ , $B(1;-2; 7)$ et $C(1; 0; 2)$ ;
la droite $\Delta$ de représentation paramétrique : $\begin{cases} x=1-t\\y=2\\z=-4+3t\end{cases} \quad$ où $t\in \R$;
le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne : $3x+ 2y + z-4 = 0$ ;
le plan $\mathcal{Q}$ d’équation cartésienne : $-6x-4y-2z + 7 = 0$.

Question 1 : Lequel des points suivants appartient au plan $\mathcal{P}$ ?
a. $R(1;-3; 1)$
b. $S(1; 2;-1)$
c. $T(1; 0; 1)$
d. $U(2;-1; 1)$
$\quad$

Question 2 : Le triangle $ABC$:
a. équilatéral
b. rectangle isocèle
c. isocèle non rectangle
d. rectangle non isocèle.
$\quad$

Question 3 : La droite $\Delta$ est :
a. orthogonale au plan $\mathcal{P}$
b. sécante au plan $\mathcal{P}$
c. incluse dans le plan $\mathcal{P}$
d. strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$.
$\quad$

Question 4 : On donne le produit scalaire $\vect{BA}.\vect{BC}= 20$.
Une mesure au degré près de l’angle $\widehat{ABC}$ est :
a. $34$°
b. $120$°
c. $90$°
d. $0$°.
$\quad$

Question 5 : L’intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ est :
a. un plan
b. l’ensemble vide
c. une droite
d. réduite à un point.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 1 – 11 septembre 2023

Métropole – 11 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(x)&=x\e^{x^2-3} \\
&=\dfrac{1}{2}\times 2x\e^{x^2-3} \end{align*}$
Ainsi $f(x)$ est de la forme $\dfrac{1}{2}u'(x)\e^{u(x)}$ où $u(x)=x^2-3$.
Une primitive de la fonction $f$ est donc la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2-3}$.
Réponse d
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a
$\begin{align*} u_{n+1}&=\e^{2(n+1)+1} \\
&=\e^{2n+2+1} \\
&=\e^2\e^{2n+1} \\
&=\e^2u_n\end{align*}$
$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\e^2$.
Réponse c
$\quad$
On doit écrire $\text{u <= 10000}$.
Réponse a
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}+60 \\
&=1,2u_n+12+60 \\
&=1,2u_n+72 \\
&=1,2\left(u_n+60\right) \\
&=1,2v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $1,2$.
Réponse b
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$.
Or $\dfrac{1}{2}\neq \dfrac{0}{3}$. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
$\quad$
b. $\vect{CD}\begin{pmatrix} 2\\1\\-1\end{pmatrix}$
D’une part $\vect{CD}.\vect{AB}=4-1-3=0$.
D’autre part $\vect{CD}.\vect{AC}=2-2+0=0$.
$\vect{CD}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$. Il est donc orthogonal à ce plan.
La droite $(CD)$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
$C$ est donc le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
c. Une équation du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $2x+y-z+d=0$.
Le point $A$ appartient à ce plan. Ainsi $2+0-(-1)+d=0 \ssi d=-3$.
Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est $2x+y-z-3=0$.
$\quad$
a.
$\begin{align*} CD&=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \\
&=\sqrt{6}\end{align*}$
$\quad$
b. $C$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $\mathscr{P}$ c’est donc l’unique point de ce plan situé à la distance $\sqrt{6}$ de $D$.
Il n’existe donc pas de point $M$ du plan $\mathscr{P}$ différent de $C$ vérifiant $MD=\sqrt{6}$.
$\quad$
a. Soit $t\in \R$.
$\begin{align*}2\times 0+(2+t)-(-1+t)+3&=2+t+1-t+3 \\
&=0\end{align*}$
Ainsi, le point $M(0:2+t;-1+t)$ appartient au plan $\mathscr{P}$ pour tout $t\in \R$.
La droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
b. On appelle $N$ le point de $\Delta$ associé à la valeur $-2$. Ainsi $N(0;0;-3)$.
$\vect{ND}\begin{pmatrix}4\\-1\\1\end{pmatrix}$.
Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}\begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}$.
Par conséquent $\vec{u}.\vect{ND}=0-1+1=0$.
La droite $(ND)$ est donc perpendiculaire à la droite $\Delta$ en $N$.
$N$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur la droite $\Delta$.
$H$ est donc bien le point de $\Delta$ associé à la valeur $t=-2$.
$\quad$
c. Ainsi :
$\begin{align*} HD&=\sqrt{4^2+(-1)^2+1^2} \\
&=\sqrt{18}\\
&=3\sqrt{2}\end{align*}$
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
a. $\left(A,\conj{A}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(T)&=p(A)p_A(T)+p\left(\conj{A}\right)p_{\conj{A}}(T)\\
&=0,97x+0,043(1-x) \\
&=0,043+0,927x\end{align*}$
$\quad$
b. On sait que $p(T)=0,2$.
Par conséquent :
$\begin{align*} 0,2=0,043+0,927x&\ssi 0,157=0,927x \\
&\ssi x=\dfrac{157}{927}\end{align*}$.
La probabilité que l’individu choisi soit allergique est donc environ égale à $0,169$.
$\quad$
On calcule :
$\begin{align*} p_T(A)&=\dfrac{p(A\cap T)}{p(T)} \\
&=\dfrac{p(A)p_A(T)}{p(T)} \\
&\approx \dfrac{0,169\times 0,97}{0,2}\\
&\approx 0,820\end{align*}$
L’affirmation est donc vraie.
$\quad$

Partie B

On répète $150$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,08$.
Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=150$ et $p=0,08$.
On veut calculer :
$\begin{align*} p(X=20)&=\dbinom{150}{20}0,08^{20}\times 0,92^{130} \\
&\approx 0,008\end{align*}$
La probabilité que $20$ personnes exactement parmi les $150$ interrogées soient allergiques est environ égale à $0,008$.
$\quad$
D’après la calculatrice :
$\begin{align*} p(X\pg 15)&=1-p(X\pp 14) \\
&\approx 0,220\end{align*}$
La probabilité qu’au moins $10 \%$ des personnes parmi les $150$ interrogées soient allergiques est environ égale à $0,220$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{1}{x} \\
&=\dfrac{-2x+2+x^2}{x^3}\end{align*}$
Or $x^3>0$ sur $]0;+\infty[$.
Ainsi $g'(x)$ est du signe de $x^2-2x+2$.
$\quad$
Le discriminant de $x^2-2x+2$ est $\Delta=-4<0$.
Le signe de ce trinôme est celui de son coefficient principal qui est $1>0$.
Ainsi, pour tout réel $x>0$, $x^2-2x+2>0$.
Donc $g'(x)>0$ et la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
$g(0,5)=\ln(0,5)= -\ln(2)<0$ et $g(1)=1>0$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0,5;1]$.
$\quad$
La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et s’annule en $\alpha$.
Ainsi, pour tout $x\in ]0;\alpha[$ on a $g(x)<g(\alpha)$ soit $g(x)<0$ et, pour tout $x>\alpha$ on a $g(x)>g(\alpha)$ doit $g(x)>0$.
$\quad$

Partie B

Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f\dsec(x)&=\e^x\left(\dfrac{1}{x}+\ln(x)\right)+\e^x\left(-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}\right) \\
&=\e^x\left(\dfrac{1}{x}+\ln(x)-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}\right) \\
&=\e^x\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\ln(x)\right)\end{align*}$
$\quad$
a. On a ainsi, pour tout réel $x>0$, $f\dsec(x)=g(x)\e^x$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. $f\dsec(x)$ est donc du signe de $g(x)$.
On obtient alors le tableau de signes suivant :
$\quad$

$\quad$
b. La fonction $f\dsec$ ne s’annule qu’une fois en changeant de signe en $\alpha$.
$\mathscr{C}_f$ possède donc une unique point d’inflexion $A$ d’abscisse $\alpha$.
$\quad$
c. La fonction $f$ est donc concave sur $]0;+\alpha]$ et convexe sur $[\alpha;+\infty[$.
$\quad$
a. $\lim\limits_{x\to 0^+} \e^x=1$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$
Par conséquent $\lim\limits_{x\to 0+}f(x)=-\infty$
$\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$
Par conséquent $\lim\limits_{x\to v}f(x)=+\infty$
$\quad$
b.
$g(\alpha)=0\ssi \ln(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha^2}-\dfrac{2}{\alpha}$
Ainsi :
$\begin{align*} f'(\alpha)&=\e^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha}+\ln(\alpha)\right) \\
&=\e^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\alpha^2}-\dfrac{2}{\alpha}\right) \\
&=\e^{\alpha}\left(-\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\alpha^2}\right) \\
&=\dfrac{\alpha}{\alpha^2}(-\alpha+1)\end{align*}$
c. On a $0,5<\alpha<1$ donc $1-\alpha>0$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ et $\alpha^2>0$.
Ainsi $f'(\alpha)>0$.
La fonction $f’$ admet un minimum en $\alpha$ et $f'(\alpha)>0$.
Ainsi, pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)>0$.
$\quad$
d. On en déduit donc le tableau de variations suivant :
$\quad$
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^{x^2-3}$.
Une des primitives $F$ de la fonction $f$ sur $\R$ est définie par :
a. $F(x)=2x\e^{x^2-3}$ ;
b. $F(x)=\left(2x^2+1\right)\e^{x^2-3}$ ;
c. $F(x)=\dfrac{1}{2}x\e^{x^2-3}$ ;
d. $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2-3}$.
$\quad$
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_n=\e^{2n+1}$.
La suite $\left(u_n\right)$ est :
a. arithmétique de raison $2$ ;
b. géométrique de raison $\e$ ;
c. géométrique de raison $\e^2$ ;
d. convergente vers $\e$.
$\quad$

Pour les questions 3. et 4., on considère la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par :
$\hspace{1cm} u_0 = 15$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = 1,2u_n + 12$.

La fonction Python suivante, dont la ligne 4 est incomplète, doit renvoyer la plus petite valeur de l’entier $n$ telle que $u_n > 10~000$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil() :}\\
\quad \text{n=0}\\
\quad \text{u=15}\\
\quad \text{while …}\\
\qquad \text{n=n+1}\\
\qquad \text{u=1.2*u+12}\\
\qquad \text{return(n}\\
\hline
\end{array}$$
À la ligne 4, on complète par :
a. $\text{u <=10 000}$ ;
b. $\text{u = 10 000}$ ;
c. $\text{u > 10 000}$ ;
d. $\text{n <= 10 000}$.
$\quad$
On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par : $v_n=u_n+60$. La suite $\left(v_n\right)$ est :
a. une suite décroissante ;
b. une suite géométrique de raison $1,2$ ;
c. une suite arithmétique de raison $60$ ;
d. une suite ni géométrique ni arithmétique.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(1 ; 0 ;-1)$, $B(3 ;-1 ; 2)$, $C(2 ;-2 ;-1)$ et $D(4 ;-1 ;-2)$.
On note $\Delta$ la droite de représentation paramétrique $\begin{cases} x=0\\y=2+t\\z=-1+t\end{cases}$, avec $t\in \R$.

a. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan que l’on notera $\mathcal{P}$.
$\quad$
b. Montrer que la droite $(CD)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$. Sur le plan $\mathcal{P}$, que représente le point $C$ par rapport à $D$ ?
$\quad$
c. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est : $2x+y-z-3=0$.
$\quad$
a. Calculer la distance $CD$.
$\quad$
b. Existe-t-il un point $M$ du plan $\mathcal{P}$ différent de $C$ vérifiant $MD=\sqrt{6}$ ? Justifier la réponse.
$\quad$
a. Montrer que la droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
$\quad$
Soit $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur la droite $\Delta$.
b. Montrer que $H$ est le point de $\Delta$ associé à la valeur $t =-2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ donnée ci-dessus.
$\quad$
c. En déduire la distance du point $D$ à la droite $\Delta$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 4 points

Les parties A et B sont indépendantes.
Les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ près.

Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif.

Dans une population, ce test donne les résultats suivants :

Si un individu est allergique, le test est positif dans $97 \%$ des cas ;
Si un individu n’est pas allergique, le test est négatif dans $95,7\%$ des cas.

Par ailleurs, $20 \%$ des individus de la population concernée présentent un test positif.

On choisit au hasard un individu dans la population, et on note :

$A$ l’événement « l’individu est allergique » ;
$T$ l’événement « l’individu présente un test positif ».

On notera $\conj{A}$ et $\conj{T}$ les événements contraires de $A$ et $T$.

On appelle par ailleurs $x$ la probabilité de l’événement $A$ : $x = p(A)$.

$\quad$

Partie A

Reproduire et compléter l’arbre ci-dessous décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.
$\quad$

$\quad$
a. Démontrer l’égalité : $p(T)=0,927x+0,043$.
$\quad$
b. En déduire la probabilité que l’individu choisi soit allergique.
$\quad$
Justifier par un calcul l’affirmation suivante :
« Si le test d’un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de $80\%$ de chances que cet individu soit allergique ».
$\quad$

Partie B :

On réalise une enquête sur les allergies dans une ville en interrogeant $150$ habitants choisis au hasard, et on admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.
On sait que la probabilité qu’un habitant choisi au hasard dans cette ville soit allergique est égale à $0,08$.
On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $150$ habitants choisis au hasard associe le nombre de personnes allergiques dans cet échantillon.

Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres.
$\quad$
Déterminer la probabilité que 20 personnes exactement parmi les $150$ interrogées soient allergiques.
$\quad$
Déterminer la probabilité qu’au moins $10\%$ des personnes parmi les $150$ interrogées soient allergiques.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

PARTIE A

On définit sur l’intervalle $]0;+\infty[$ la fonction $g$ par : $g(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\ln(x)$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.

Montrer que pour $x>0$, le signe de $g'(x)$ est celui du trinôme du second degré $\left(x^2-2x+2\right)$.
$\quad$
En déduire que la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
$\quad$
Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0,5 ; 1]$, que l’on notera $\alpha$.
$\quad$
On donne le tableau de signes de $g$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$ :
$\quad$

$\quad$
Justifier ce tableau de signes à l’aide des résultats obtenus aux questions précédentes.
$\quad$

PARTIE B
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $f(x)=\e^x\ln(x)$.
On note $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0; +\infty[$ , on note $f’$ sa fonction dérivée, $f\dsec$ sa fonction dérivée seconde et on admet que :
pour tout nombre réel $x > 0,~f'(x)=\e^x\left(\dfrac{1}{x}+\ln(x)\right)$
Démontrer que, pour tout nombre réel $x > 0$, on a : $f\dsec(x)=\e^x\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\ln(x)\right)$.
$\quad$
On pourra remarquer que pour tout réel $x>0$, $f\dsec(x) = \e^x\times g(x)$, où $g$ désigne la fonction étudiée dans la partie A.
a. Dresser le tableau de signes de la fonction $f\dsec(x)$ sur $]0; +\infty[$. Justifier.
$\quad$
b. Justifier que la courbe $C_f$ admet un unique point d’inflexion $A$.
$\quad$
c. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$. Justifier.
$\quad$
a. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
$\quad$
b. Montrer que $f'(x)(\alpha) =\dfrac{\e^{\alpha}}{\alpha^2}(1-\alpha)$. On rappelle que $\alpha$ est l’unique solution de l’équation $g(\alpha) = 0$.
$\quad$
c. Démontrer que $f'(\alpha)> 0$ et en déduire le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $]0; +\infty[$.
$\quad$
d. En déduire le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Nouvelle Calédonie – sujet 2 – 29 août 2023

Nouvelle Calédonie – 29 août 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Les points $F$ et $K$ appartiennent au plan $(EHG)$, ne sont pas confondus et le point $C$ n’appartient pas à ce plan.
Ainsi $C$, $F$ et $K$ définissent bien un plan.
$\quad$
a. $K$ est le milieu de $[HG]$ et $HG=1$ donc $KG=0,5$.
$[GF]$ et $[GC]$ sont des arêtes du cube. Donc $GF=GC=1$.
$\quad$
b. Le triangle $FGC$ est rectangle en $G$.
L’aire du triangle $FGC$ est donc :
$\begin{align*} A_{FGC}&=\dfrac{GF\times GC}{2} \\
&=\dfrac{1}{2} \text{u.a.}\end{align*}$
$\quad$
c. Le volume du tétraèdre $FGCK$ est
$\begin{align*} V_{FGCK}&=\dfrac{A_{FGC}\times KG}{3} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}}{3} \\
&=\dfrac{1}{12} \text{u.v.}\end{align*}$
$\quad$
a. On a $C(1;1;0)$, $F(0;1;1)$ et $K(1;0,5;1)$.
Donc $\vect{CF}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{CK}\begin{pmatrix}0\\-0,5\\1\end{pmatrix}$
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle (ou car, d’après la question 1, ils définissent un plan).
$\vec{n}.\vect{CF}=-1+0+1=0$ et $\vec{n}.\vect{CK}=0-1+1=0$.
$\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(CFK)$. Il est donc normal à ce plan.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(CFK)$ est donc de la forme $x+2y+z+d=0$.
$C(1;1;0)$ appartient à ce plan. Par conséquent $1+2+0+d=0\ssi d=-3$.
Une équation cartésienne du plan $(CFK)$ est par conséquent $x+2y+z-3=0$.
$\quad$
La droite $\Delta$ passe par $G(1;1;1)$ et admet comme vecteur directeur le vecteur $\vec{n}$.
Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $\begin{cases} x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases} \quad (t\in \R)$.
$\quad$
a. On note $L(x;y;z)$.
Les coordonnées de $L$ sont solution du système
$\begin{align*} \begin{cases} x+2y+z-3=0\\x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases}&\ssi \begin{cases} 1+t+2+4t+1+t-3=0\\x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 6t+1=0\\x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} t=-\dfrac{1}{6}\\[3mm]x=\dfrac{5}{6}\\[3mm]y=\dfrac{2}{3}\\[3mm]\dfrac{5}{6}\end{cases}\end{align*}$
Ainsi les coordonnées du point $L$ sont $\left(\dfrac{5}{6};\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{6}\right)$.
$\quad$
b. On a alors $\vect{LG}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{6}\\[3mm]\dfrac{1}{3}\\[3mm]\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}$
Donc :
$\begin{align*} LG&=\sqrt{\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{6^2}} \\
&=\sqrt{\dfrac{1}{6}} \\
&=\dfrac{\sqrt{6}}{6}\end{align*}$
$\quad$
On a
$\begin{align*}V_{FGCK}=\dfrac{1}{12}&\ssi \dfrac{A_{CFK}\times LG}{3}=\dfrac{1}{12} \\
&\ssi A_{CFK}\times \dfrac{\sqrt{6}}{6}=\dfrac{1}{4} \\
&\ssi A_{CFK}=\dfrac{\sqrt{6}}{4} \text{u.a.}\end{align*}$.
L’aire du triangle $CFK$ est donc égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4} $ u.a.

Ex 2

Exercice 2

Pour tout réel $x\pg 0$ on a
$\begin{align*} f(x)&=x\e^{-x} \\
&=x\times \dfrac{1}{\e^x} \\
&=\dfrac{x}{\e^x}\end{align*}$
Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
La droite d’équation $y=0$ est par conséquent une asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
$\quad$
D’après l’énoncé $f$ est dérivable sur $\R_+$.
Pour tout réel $x\pg 0$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\e^{-x}-x\e^{-x} \\
&=(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0\ssi x<1$.
On obtient alors le tableau de variations suivant :
$\quad$
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0;1]$.
$f(0)=0$ et $f(1)=\e^{-1}\approx 0,3679$. Donc $\dfrac{367}{1~000}\in \left]0;\e^{-1}\right[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=\dfrac{367}{1~000}$ admet une unique solution sur $]0;1[$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$ et $f(1)=\e^{-1}\approx 0,3679$. Donc $\dfrac{367}{1~000}\in \left]0;\e^{-1}\right[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=\dfrac{367}{1~000}$ admet une unique solution sur $]1;+\infty[$.
$\quad$
Finalement, l’équation $f(x)=\dfrac{367}{1~000}$ admet exactement deux solutions sur $[0;+\infty[$.
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-2$.
$x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0\ssi x>2$.
La fonction $f$ est donc concave sur $[0;2]$ et convexe sur $[2;+\infty[$.
$\quad$
a. Une équation de la droite $T_a$ est :
$\begin{align*}y=f'(a)(x-a)+f(a)&\ssi y=(1-a)\e^{-a}(x-a)+a\e^{-a} \\
&\ssi y=(1-a)\e^{-a}x-a\e^{-a}+a^2\e^{-a}+a\e^{-a} \\
&\ssi y=(1-a)\e^{-a}x+a^2\e^{-a}\end{align*}$
$\quad$
b. L’ordonnée à l’origine de $T_a$ est $a^2\e^{-a}$.
Donc $g(a)=a^2\e^{-a}$.
$\quad$
c. On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=x^2\e^{-x}$.
La fonction $g$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x\pg 0$ on a
$\begin{align*} g'(x)&=2x\e^{-x}-x^2\e^{-x} \\
&=x(2-x)\e^{-x} \\
&=-xf\dsec(x)\end{align*}$
Ainsi, sur $[0;+\infty[$ $g'(x)$ et $f\dsec(x)$ sont de signes contraires.
D’après la question 5., $g(a)$ est maximale quand $x=2$ c’est-à-dire quand $A$ est un point d’inflexion de $\mathcal{C}_f$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

On a
$\begin{align*} u_1&=\dfrac{-u_0-4}{u_0+3} \\
&=-\dfrac{4}{3}\end{align*}$
$\begin{align*} u_2&=\dfrac{-u_1-4}{u_1+3} \\
&=-\dfrac{8}{5}\end{align*}$
$\quad$
On peut écrire $$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def terme(n):}
\quad \text{u = 0} \\
\quad \text{for i in range(n):}\\
\qquad \text{u = (-u – 4)/(u + 3)}\\
\quad \text{return(u)}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $]-3;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>-3$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-(x+3)-(-x-4)}{(x+3)^2} \\
&=\dfrac{-x-3+x+4}{(x+3)^2} \\
&=\dfrac{1}{(x+3)^2}\\
&>0\end{align*}$
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-3;+\infty[$.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~-2<u_{n+1} \pp u_n$.
Initialisation : $u_0=0$ et $u_1=-\dfrac{4}{3}$ donc $-2<u_1\pp u_0$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
On a $-2<u_{n+1}\pp u_n$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-3;+\infty[$.
Par conséquent $f(-2)<f\left(u_{n+1}\right)\pp f\left(u_n\right)$
Donc $-2<u_{n+2}\pp u_{n+1}$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout $n\in \N$, $-2<u_{n+1}\pp u_n$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $-2$.
Elle converge donc.
$\quad$
a. On a $v_0=\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
b. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\dfrac{1}{u_{n+1}+2}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{-u_n-4}{u_n+3}+2}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{-u_n-4+2u_n+6}{u_n+3}}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{u_n+2}{u_n+3}}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
&=\dfrac{u_n+3}{u_n+2}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
&=\dfrac{u_n+2}{u_n+2}\\
&=1\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $1$.
$\quad$
c. Ainsi, pour tout $n\in \N$, on a $v_n=\dfrac{1}{2}+n$.
Or $v_n=\dfrac{1}{u_n+2}\ssi u_n+2=\dfrac{1}{v_n} \ssi u_n=\dfrac{1}{0,5+n}-2$.
$\quad$
d. $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n+0,5}=0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-2$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

On a $P_A(F)=\dfrac{25}{75}$.
Réponse b
$\quad$
On a
$\begin{align*} P(A\cup F)&=\dfrac{75+80}{200} \\
&=\dfrac{155}{200} \\
&=\dfrac{31}{40}\end{align*}$
Réponse c
$\quad$
On appelle $B$ l’événement “le bus est en panne” et $T$ l’événement ‘le train est en panne”.
On veut calculer :
$\begin{align*}p_1&=P(B\cup T)\\
&=P(B)+P(T)-P(B\cap T)\\
&=b+t-P(B)P(T) \qquad \text{(indépendance)}\\
&=b+t-bt\end{align*}$
Réponse d
$\quad$
Albert peut se rendre à son travail si le train et le bus ne sont pas en panne. Donc
$\begin{align*} p_2&=P\left(\conj{B\cap T}\right) \\
&=1-P(B\cap T) \\
&=1-P(B)P(T) \qquad \text{(indépendance)}\\
&=1-bt\end{align*}$
Réponse b
$\quad$
On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de FACE.
On effectue $n$ expériences identiques de Bernoulli de paramètre $x$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n$ et $x$.
Ainsi :
$\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
&=1-(1-x)^n\end{align*}$
Réponse d
$\quad$

Énoncé

La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 5 points

On considère le cube $ABCDEFGH$ d’arête $1$ représenté ci-dessous.

On note $K$ le milieu du segment $[HG]$.
On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AD},\vect{AB},\vect{AE}\right)$.

Justifier que les points $C$, $F$ et $K$ définissent un plan.
$\quad$
a. Donner, sans justifier, les longueurs $KG$, $GF$ et $GC$.
$\quad$
b. Calculer l’aire du triangle $FGC$.
$\quad$
c. Calculer le volume du tétraèdre $FGCK$.
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par :
$$V=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}\times h$$
où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondante.
$\quad$
a. On note $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$.
Démontrer que $\vec{n}$ est normal au plan $(CFK)$.
$\quad$
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(CFK)$ est :
$$x +2y + z-3 = 0$$
$\quad$
On note $\Delta$ la droite passant par le point $G$ et orthogonale au plan $(CFK)$.
Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :
$$\begin{cases}x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases}\quad (t\in \R)$$
$\quad$
Soit $L$ le point d’intersection entre la droite $\Delta$ et le plan $(CFK)$.
a. Déterminer les coordonnées du point $L$.
$\quad$
b. En déduire que $LG = \dfrac{\sqrt{6}}{6}$.
$\quad$
En utilisant la question 2., déterminer la valeur exacte de l’aire du triangle $CFK$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la fonction $f$ , définie sur $[0 ;+\infty[$ par : $$f(x) = x\e^{-x}$$
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $[0 ;+\infty[$.
On note $f’$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.

En remarquant que pour tout x dans $[0 ;+\infty[$, on a $f(x) =\dfrac{x}{\e^x}$ , démontrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède une asymptote en $+\infty$ dont on donnera une équation.
$\quad$
Démontrer que pour tout réel $x$ appartenant à $[0 ;+\infty[$ : $$f'(x) = (1-x)\e^{-x}$$
$\quad$
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0 ;+\infty[$, sur lequel on fera figurer les valeurs aux bornes ainsi que la valeur exacte de l’extremum.
$\quad$
Déterminer, sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$, le nombre de solutions de l’équation : $$f(x) = \dfrac{367}{1~000}$$
$\quad$
On admet que pour tout $x$ appartenant à $[0 ;+\infty[$ : $$f\dsec(x) = \e^{-x}(x-2)$$
Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$.
$\quad$
Soit $a$ un réel appartenant à $[0 ;+\infty[$ et $A$ le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a$.
On note $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A$.
On note $H_a$ le point d’intersection de la droite $T_a$ et de l’axe des ordonnées.
On note $g(a)$ l’ordonnée de $H_a$.
La situation est représentée sur la figure ci-dessous.
$\quad$

$\quad$
a. Démontrer qu’une équation réduite de la tangente $T_a$ est :
$$y=\left((1-a)\e^{-a}\right).x+a^2\e^{-a}$$
$\quad$
b. En déduire l’expression de $g(a)$.
$\quad$
c. Démontrer que $g(a)$ est maximum lorsque $A$ est un point d’inflexion de la courbe $C_f$.
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1} =\dfrac{-u_n-4}{u_n +3}$$
On admet que $u_n$ est défini pour tout entier naturel $n$.

Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
On considère la fonction terme ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def terme(n):}\\
\quad \text{u = …}\\
\quad \text{for i in range(n):}\\
\qquad \text{u = …}\\
\quad \text{return(u)}\\
\hline
\end{array}$$
On rappelle qu’en langage Python, « $\text{i in range(n)}$ » signifie que $\text{i}$ varie de $\text{0}$ à $\text{n-1}$.
Recopier et compléter le cadre ci-dessus de sorte que, pour tout entier naturel $n$, l’instruction $\text{terme(n)}$ renvoie la valeur de $u_n$.
$\quad$
Soit la fonction $f$ définie sur $]-3 ;+\infty[$ par : $$f(x) = \dfrac{-x-4}{x+3}$$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-3 ;+\infty[$.
$\quad$
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
$$−2 < u_{n+1} \pp u_n$$
$\quad$
En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$vn = \dfrac{1}{u_n+2}$$
a. Donner $v_0$.
$\quad$
b. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $1$.
$\quad$
c. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $$u_n =\dfrac{1}{n+0,5}-2$$
$\quad$
d. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

L’énoncé ci-dessous est commun aux questions 1. et 2.

Les $200$ adhérents d’un club sont des filles ou des garçons. Ces adhérents pratiquent l’aviron ou le basket selon la répartition figurant dans le tableau ci-dessous.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\text{Aviron}&\text{Basket}&\text{Total}\\
\hline
\text{Filles}& 25& 80& 105\\
\hline
\text{Garçon}& 50&45&95\\
\hline
\text{Total}& 75& 125& 200\\
\hline
\end{array}$$
On choisit un adhérent au hasard et on considère les évènements suivants :
$F$ : l’adhérent est une fille. $\qquad A$ : l’adhérent pratique l’aviron.

La probabilité de $F$ sachant $A$ est égale à :
a. $\dfrac{25}{100_{\phantom{1}}}$
b. $\dfrac{25}{75_{\phantom{1}}}$
c. $\dfrac{25}{105_{\phantom{1}}}$
d. $\dfrac{75}{105_{\phantom{1}}}$
$\quad$
La probabilité de l’événement $A\cup F$ est égale à :
a. $\dfrac{9}{10_{\phantom{1}}}$
b. $\dfrac{1}{8_{\phantom{1}}}$
c. $\dfrac{31}{40_{\phantom{1}}}$
d. $\dfrac{5}{36_{\phantom{1}}}$
$\quad$
$$\begin{array}{c} \ast\\[-1cm]\ast\ast\end{array}$$

L’énoncé ci-dessous est commun aux questions 3. et 4.

Pour se rendre à son travail, Albert peut utiliser au choix le bus ou le train.

La probabilité que le bus soit en panne est égale à $b$.
La probabilité que le train soit en panne est égale à $t$.
Les pannes de bus et de train surviennent de façon indépendante.

La probabilité $p_1$, que le bus ou le train soient en panne est égale à :
a. $p_1 = bt$
b. $p_1 = 1-bt$
c. $p_1 = b+t$
d. $p_1 = b + t-bt$
$\quad$
La probabilité p2 que Albert puisse se rendre à son travail est égale à :
a. $p_1 = bt$
b. $p_1 = 1-bt$
c. $p_1 = b+t$
d. $p_1 = b + t-bt$
$\quad$
$$\begin{array}{c} \ast\\[-1cm]\ast\ast\end{array}$$

On considère une pièce de monnaie pour laquelle la probabilité d’obtenir FACE est égale à $x$. On lance la pièce $n$ fois. Les lancers sont indépendants.
La probabilité $p$ d’obtenir au moins une fois FACE sur les $n$ lancers est égale à :
a. $p = x^n$
b. $p = (1- x)^n$
c. $p = 1-x^n$
d. $p = 1-(1-x)^n$
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – La Réunion – sujet 2 – 29 mars 2023

La Réunion – 29 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
$\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(S)=P(S\cap R)+P\left(S\cap \conj{R}\right)&\ssi 0,82=P(R)P_R(S)+P\left(\conj{R}\right)P_{\conj{R}}(S) \\
&\ssi 0,82=0,2\times 0,9+0,8x \\
&\ssi 0,64=0,8x \\
&\ssi x=0,8\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_S(R)&=\dfrac{P(S\cap R)}{P(S)} \\
&=\dfrac{P(R)P_R(S)}{P(S)} \\
&=\dfrac{0,2\times 0,9}{0,82} \\
&=\dfrac{9}{41} \\
&\approx 0,22\end{align*}$
La probabilité que le client ait acheté un matelas RESSORTS sachant qu’il a été satisfait de son achat est environ égal à $0,22$.
$\quad$

Partie B

a. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,82$.
$\quad$
b. La probabilité qu’au plus trois clients soient satisfaits de leur achat est $$P(X\pp 3)\approx 0,222$$
$\quad$
a. On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $p=0,82$.
On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces $n$ clients.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,82$.
Ainsi,
$\begin{align*} p_n&=P(Y=n) \\
&=0,82^n\end{align*}$
$\quad$
b.
$\begin{align*} p_n<0,01 &\ssi 0,82^n <0,01 \\
&\ssi n\ln(0,82) < \ln(0,01) \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,82)}\qquad \text{(car $\ln(0,82)<0$)}\end{align*} $
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,82)}\approx 23,2$.
Ainsi $p_n<0,01$ si, et seulement si, $n\pg 24$.
La probabilité que tous les clients soient satisfaits de leur achat est inférieure à $1\%$ dès qu’il y a au moins $24$ clients.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

On a
$\begin{align*} u_1&=\dfrac{6u_0+2}{u_0+5} \\
&=\dfrac{48+2}{13 }\\
&=\dfrac{50}{13}\end{align*}$
$\quad$
a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
Pour tout $x>0$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{6(x+5)-(6x+2)}{(x+5)^2} \\
&=\dfrac{28}{(x+5)^2}\\
&>0\end{align*}$
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
$\quad$
$f(2)=\dfrac{14}{7}=2$.
La fonction $f$ étant strictement croissante sur $[0;+\infty[$, pour tout $x>2$ on a $f(x)>f(2)$ soit $f(x)>2$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$ on a $P(n):~u_n>2$.
Initialisation : $u_0=8>2$. Donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
Donc $u_n>2$. D’après la question 2.a, $f\left(u_n\right) > 2$ soit $u_{n+1}>2$.
Par conséquent $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout $n\in \N$, $u_n>2$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on a $u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(2-u_n\right)\left(u_n+1\right)}{u_n+5}$.
D’après la question précédente, pour tout $n\in \N$, $u_n>2$.
Ainsi $2-u_n<0$, $u_n+1>0$ et $u_n+5>0$.
Donc $u_{n+1}-u_n<0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $2$; elle converge donc .
a. $v_0=\dfrac{8-2}{8+1}=\dfrac{2}{3}$
$\quad$
b. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+1} \\
&=\dfrac{\dfrac{6u_n+2}{u_n+5}-2}{\dfrac{6u_n+2}{u_n+5}+1} \\
&=\dfrac{~\dfrac{6u_n+2-2u_n-10}{u_n+5}~}{\dfrac{6u_n+2+u_n+5}{u_n+5}} \\
&=\dfrac{4u_n-8}{7u_n+7} \\
&=\dfrac{4}{7}\times \dfrac{u_n-2}{u_n+1}\\
&=\dfrac{4}{7}v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{4}{7}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{2}{3}$.
$\quad$
c. Pour tout $n\in \N$, on a $v_n=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{4}{7}\right)^n$.
$-1<\dfrac{4}{7}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a
$\begin{align*} v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+1}&\ssi v_n\left(u_n+1\right)=u_n-2 \\
&\ssi u_nv_n+v_n=u_n-2\\
&\ssi u_nv_n-u_n=-2-v_n\\
&\ssi u_n\left(v_n-1\right)=-2-v_n \\
&\ssi u_n=\dfrac{-2-v_n}{v_n-1}\end{align*}$
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{-2-v_n}{v_n-1}=2$.
$\quad$
On a $u_{13}\approx 2,0014>2,001$ et $u_{14}\approx 2,000~8<2,001$.
La commande $\texttt{seuil(2.001)}$ renverra donc la valeur $14$.
Il s’agit du rang à partir duquel tous les termes de la suite prendront des valeurs inférieures ou égales à $2,001$.

Ex 3

Exercice 3

Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est $$\begin{cases} x=1\\y=1+2t\\z=-t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
$\quad$
Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{w}\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}$.
$\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
Ainsi $(d)$ et $\mathscr{P}$ sont sécants.
$1-4+2+1=4-4=0$ : le point de coordonnées $(1;-1;1)$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
En prenant $t=-1$ dans la représentation paramétrique de $(d)$ on obtient le point de coordonnées $(1;-1;1)$.
Ainsi la droite $(d)$ et le plan $\mathscr{P}$ sont sécants en un point $B$ de coordonnées $(1;-1;1)$.
$\quad$
a. $\vect{AC}\begin{pmatrix} 0\\-2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{AB}\begin{pmatrix} 0\\-2\\1\end{pmatrix}$.
$\dfrac{-2}{-2}=1$ et $\dfrac{-1}{1}=-1$ donc $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires.
Par conséquent $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
$\quad$
b. $\vec{n}.\vect{AC}=0+0+0=0$ et $\vec{n}.\vect{AB}=0+0+0$.
Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
Donc $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
c. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $x+d=0$.
$A(1;1;0)$ appartient à ce plan. Par conséquent $1+d=0 \ssi d=-1$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x-1=0$.
$\quad$
a.
$\begin{align*} AB&=\sqrt{0^2+(-2)^2+1^2}\\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
$\begin{align*} AC&=\sqrt{0^2+(-2)^2+(-1)^2}\\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
Ainsi $AB=AC$ et le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
$\quad$
b. $H$ est le milieu de $[BC]$. Il a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1+1}{2};\dfrac{-1-1}{2};\dfrac{1-1}{2}\right)$ soit $(1;-1;0)$.
Donc $\vect{AH}\begin{pmatrix} 0\\-2\\0\end{pmatrix}$
Donc :
$\begin{align*} AH&=\sqrt{0^2+(-2)^1+0} \\
&=2\end{align*}$
$\vect{BC}\begin{pmatrix}0\\0\\-2\end{pmatrix}$
On a donc également $BC=2$.
Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ donc $[AH]$ est à la fois une médiane, une médiatrice, une hauteur et une bissectrice du triangle.
L’aire du triangle $ABC$ est :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AH\times BC}{2} \\
&=2\text{ u.a.}\end{align*}$
$\quad$
a. $\vect{BD}\begin{pmatrix} -1\\0\\0\end{pmatrix}$
Ainsi $\vec{n}=-\vect{BD}$.
$\vect{BD}$ est donc normal au plan $(ABC)$.
Par conséquent $(BD)$ est une hauteur de la pyramide $ABCD$.
$\quad$
b. $\quad$
$\begin{align*} BD&=\sqrt{1^2+0^2+0^2}\\
&=1\end{align*}$
Par conséquent :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times BD\\
&=\dfrac{2}{3} \text{ u.v.}\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2\e^x+2x\e^x \\
&=2(x+1)\e^x\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+1$.
Or $x+1=0\ssi x=-1$ et $x+1>0\ssi x>-1$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;-1]$ et strictement croissante sur $[-1;+\infty[$.
De plus $f(-1)=-2\e^{-1} \approx -0,736$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]-\infty;-1]$
Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0>-\dfrac{73}{100}$ et $f(-1)<-\dfrac{73}{100}$
D’après le théorème de la bijection, l’équation $f(x)=-\dfrac{73}{100}$ possède une unique solution sur $]-\infty;-1]$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[-1;+\infty[$
$f(-1)<-\dfrac{73}{100}$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ (produit de deux fonctions tendant vers $+\infty$).
D’après le théorème de la bijection, l’équation $f(x)=-\dfrac{73}{100}$ possède une unique solution sur $[-1;+\infty[$.
$\quad$
L’équation $f(x)=-\dfrac{73}{100}$ possède donc exactement deux solutions sur $\R$.
Réponse c
$\quad$
$\lim\limits_{x\to -\infty} x+1=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0^+$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=-\infty$.
Réponse a
$\quad$
La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} h'(x)&=4\e^{2x}+2(4x-16)\e^{2x} \\
&=(4+8x-32)\e^{2x} \\
&=(8x-28)\e^{2x} \\
&=4(2x-7)\e^{2x}\end{align*}$
La fonction $h’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} h\dsec(x)&=4\left(2\e^{2x}+2(2x-7)\e^{2x}\right) \\
&=8(1+2x-7)\e^{2x} \\
&=8(2x-6)\e^{2x}\end{align*}$
$h\dsec(x)>0 \ssi 2x-6>0 \ssi x>3$ et $\dsec(x)=0 \ssi 2x-6=0\ssi x=3$.
La fonction $h\dsec$ s’annule en changeant de signe en $3$.
Le point d’abscisse $3$ est donc un point d’inflexion pour la courbe $\mathscr{C}_h$.
Réponse b
$\quad$
La fonction $k$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a $k'(x)=\dfrac{3}{x}-1$
Une équation de $T$ est $y=k'(\e)(x-\e)+k(\e)$.
Par conséquent $k'(\e)=\dfrac{3-\e}{\e}$ et $k(\e)=3-\e$.
Une équation de $T$ est donc $y=\dfrac{3-\e}{\e}(x-\e)+3-\e$
Soit $y=\dfrac{3-\e}{\e}x$
Réponse b
$\quad$
$\left(\ln(x)\right)^2+10\ln(x)+21=0 \ssi \begin{cases} X^2+10X+21=0 \\X=\ln(x)\end{cases}$
Le discriminant de l’équation $X^2+10X+21=0$ est $\Delta=16$.
Elle possède donc deux solutions $\dfrac{-10-\sqrt{16}}{2}=-7$ et $\dfrac{-10+\sqrt{16}}{2}=-3$.
$\ln(x)=-7 \ssi x=\e^{-7}$
$\ln(x)=-3\ssi x=\e^{-3}$.
Par conséquent $\e^{-7}$ et $\e^{-3}$ sont les solutions de l’équation $\left(\ln(x)\right)^2+10\ln(x)+21=0$.
Réponse c
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

Un commerçant vend deux types de matelas: matelas RESSORTS et matelas MOUSSE.
On suppose que chaque client achète un seul matelas.

On dispose des informations suivantes :

$20\%$ des clients achètent un matelas RESSORTS. Parmi eux, $90\%$ sont satisfaits de leur achat.
$82\%$ des clients sont satisfaits de leur achat.

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

On choisit au hasard un client et on note les évènements :

$R$ : : « le client achète un matelas RESSORTS »,
$S$ : « le client est satisfait de son achat ».

On note $x = P_{\conj{R}}(S)$, où $P_{\conj{R}}(S)$ désigne la probabilité de $S$ sachant que $R$ n’est pas réalisé.

Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.
$\quad$
$\quad$
Démontrer que $x = 0,8$.
$\quad$
On choisit un client satisfait de son achat.
Quelle est la probabilité qu’il ait acheté un matelas RESSORTS ?
On arrondira le résultat à $10^{-2}$.

Partie B

On choisit $5$ clients au hasard. On considère la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces $5$ clients.
a. On admet que $X$ suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.
$\quad$
b. Déterminer la probabilité qu’au plus trois clients soient satisfaits de leur achat.
On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
Soit $n$ un entier naturel non nul.
On choisit à présent $n$ clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.
a. On note $p_n$ la probabilité que les $n$ clients soient tous satisfaits de leur achat.
Démontrer que $p_n = 0,82^n$.
$\quad$
b. Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $p_n < 0,01$.
Interpréter dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n +1} = \dfrac{6u_n+2}{u_n +5}$$

Calculer $u_1$.
$\quad$
Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par : $$f(x) = \dfrac{6x+2 }{x+5}$$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
a. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
En déduire que pour tout réel $x > 2$, on a $f(x) > 2$.
$\quad$
b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n > 2$.
$\quad$
On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$u_{n+1}-u_n = \dfrac{\left(2-u_n\right)\left(u_n+1\right)}{u_n +5}$$
a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
On définit la suite $\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel par: $$v_n = \dfrac{u_n-2}{u_n+1}$$
a. Calculer $v_0$.
$\quad$
b. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{4}{7}$.
$\quad$
c. Déterminer, en justifiant, la limite de $\left(v_n\right)$.
En déduire la limite de $\left(u_n\right)$.
$\quad$
On considère la fonction Python $\text{seuil}$ ci-dessous, où $\text{A}$ est un nombre réel strictement plus grand que $2$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil (A) :}\\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{u = 8}\\
\quad \text{while u > A :}\\
\qquad \text{u = (6*u + 2) / (u + 5)}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
Donner, sans justification, la valeur renvoyée par la commande $\text{seuil (2.001)}$ puis interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

On se place dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère le point $A(1;1;0)$ et le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}0\\2\\- 1\end{pmatrix}$.
On considère le plan $\mathcal{P}$ d’équation : $x+4y+2z+1 = 0$.

On note $(d)$ la droite passant par A et dirigée par le vecteur $\vec{u}$.
Déterminer une représentation paramétrique de $(d)$.
$\quad$
Justifier que la droite $(d)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants en un point $B$ dont les coordonnées sont $(1;-1;1)$.
$\quad$
On considère le point $C(1;-1;-1)$.
a. Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
$\quad$
b. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
c. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
$\quad$
a. Justifier que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
$\quad$
b. Soit $H$ le milieu du segment $[BC]$.
Calculer la longueur $AH$ puis l’aire du triangle $ABC$.
$\quad$
Soit $D$ le point de coordonnées $(0;-1;1)$.
a. Montrer que la droite $(BD)$ est une hauteur de la pyramide $ABCD$.
$\quad$
b. Déduire des questions précédentes le volume de la pyramide $ABCD$.
$\quad$
On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par: $$V = \dfrac13 \mathcal{B} \times h$$
où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondante.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2x\e^x$.
Le nombre de solutions sur $\R$ de l’équation $f(x) = -\dfrac{73}{100}$ est égal à :
a. $0$
b. $1$
c. $2$
d. une infinité.
$\quad$
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $$g(x) = \dfrac{x+ 1}{\e^x}$$
La limite de la fonction $g$ en $- \infty$ est égale à :
a. $-\infty$
b. $+\infty$
c. $0$
d. elle n’existe pas.
$\quad$
On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par: $$h(x) = (4x-16)\e^{2x}$$
On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère orthogonal.
On peut affirmer que:
a. $h$ est convexe sur $\R$.
b. $\mathcal{C}_h$ possède un point d’inflexion en $x = 3$.
c. $h$ est concave sur $\R$.
d. $\mathcal{C}_h$ possède un point d’inflexion en $x = 3,5$.
$\quad$
On considère la fonction $k$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $$k(x) = 3 \ln (x)-x$$
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $k$ dans un repère orthonormé.
On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $x = \e$.
Une équation de $T$ est:
a. $y = (3-\e)x$
b. $y = \left(\dfrac{3-\e}{\e}\right)x$
c. $y = \left(\dfrac{3}{\e}- 1\right)x + 1$
d. $y = (\e-1)x + 1$
$\quad$
On considère l’équation $\left(\ln (x)\right)^2+10\ln(x)+21 = 0$, avec $x \in ]0;+\infty[$.
Le nombre de solutions de cette équation est égal à :
a. $0$
b. $1$
c. $2$
d. une infinité.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 2 – 28 mars 2023

Amérique du Nord – 28 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

La fonction $f’$ semble être positive sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et négative sur $[0,3;2,5]$.
Par conséquent $f$ semble croissante sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et décroissante sur $[0,3;2,5]$.
$\quad$
La fonction $f’$ semble strictement croissante sur $]-\infty;-1]$ et $[2;+\infty[$ et strictement décroissante sur $[-1;2]$.
La fonction $f$ semble être convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
$\quad$

Partie B

a. D’après la limite des termes de plus haut degré, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2-5x+6=\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$.
De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x^2\e^x-5x\e^x+6\e^x$.
$\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2\e^x=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=(2x-5)\e^x+\left(x^2-5x+6\right)\e^x \\
&=\left(2x-5+x^2-5x+6\right)\e^x \\
&=\left(x^2-3x+1\right)\e^x\end{align*}$.
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent $f'(x)$ est du même signe que $x^2-3x+1$.
Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=5>0$.
Ses racines sont donc $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$.
$\quad$
De plus son coefficient principal est $1>0$.
Par conséquent :
$\bullet~f'(x)<0$ sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ ;
$\bullet~f'(x)=0$ si $x\in \acco{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}$ ;
$\bullet~f'(x)>0$ sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$ et strictement décroissante sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ .
$\quad$
Une équation de $(\mathscr{T})$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
Or $f(0)=6$ et $f'(0)=1$.
Une équation de $(\mathscr{T})$ est donc $y=x+6$.
$\quad$
a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent $f\dsec(x)$ est du signe de $(x+1)(x-2)$.
$x+1=0\ssi x=-1$ et $x+1>0\ssi x>-1$
$x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
Par conséquent $f\dsec(x)<0 \ssi x\in ]-1;2[$.
La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$ et convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$. Sa courbe représentative est donc située sous ses tangentes sur cet intervalle.
Or $0$ appartient à $[-1;2]$.
Par conséquent $f(x)\pp x+6$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Pour tout entier naturel $n$ on a donc $a_{n+1}=(1-0,15)a_n+0,1b_n$ soit $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $b_{n+1}=0,15a_n+(1-0,1)b_n$ soit $b_{n+1}=0,15a_n+0,9b_n$.
Par conséquent
$\begin{align*} a_1&=0,85\times 1~700+0,1\times 1~300\\
&=1~575\end{align*}$
$\begin{align*} b_1&=0,15\times 1~700+0,9\times 1~300\\
&=1~425\end{align*}$
En 2024, le club A comptera $1~575$ membres et le club B $1~425$.
$\quad$
Durant l’étude aucun sportif ne quitte le groupe.
Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $a_n+b_n=3~000$.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $a_n+b_n=3~000$.
Par conséquent :
$\begin{align*} a_{n+1}&=0,85a_n+0,1\left(3~000-a_n\right) \\
&=0,85a_n+300-0,1a_n \\
&=0,75a_n+300\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
Initialisation : $a_0=1~700$ et $a_1=1~575$. Donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$
donc
$900\pp 0,75a_{n+1}\pp 0,75a_n\pp 1~275$
Par conséquent $1~200 \pp 0,75a_{n+1}+300\pp 0,75a_n+300\pp 1~575$.
Donc $1~200\pp a_{n+2} \pp a_{n+1} \pp 1~575\pp 1~700$.
Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout $n\in \N$, $1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
$\quad$
b. La suite $\left(a_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~200$ ; elle converge donc.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-1~200 \\
&=0,75a_n+300-1~200\\
&=0,75a_n-900 \\
&=0,75\left(a_n-1~200\right) \\
&=0,75v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_0=a_0-1~200$ soit $v_0=500$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $v_n=500\times 0,75^n$.
$\quad$
c. Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} a_n&=v_n+1~200 \\
&=500\times 0,75^n+1~200\end{align*}$
$\quad$
a. $-1<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,75^n=0$. Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=1~200$.
$\quad$
b. Sur le long terme, le club A comptera ainsi $1~200$ membres.
$\quad$
a. On peut écrire
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\texttt{def seuil() :}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{n = 0}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{A = 1700}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{while A >= 1280 :}\\
\hspace{1.6cm} \texttt{n = n + 1}\\
\hspace{1.6cm} \texttt{A = 0.75 * A + 300}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} a_n< 1~280 &\ssi 500\times 0,75^n+1200< 1~280 \\
&\ssi 500\times 0,75^n< 80 \\
&\ssi 0,75^n < 0,16\\
&\ssi n\ln(0,75)<\ln(0,16) \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \qquad \text{(car $\ln(0,75)<0$)}\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \approx 6,4$.
Ainsi l’appel de la fonction $\texttt{seuil}$ renverra $7$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. $\vect{EF}\begin{pmatrix}-4\\4\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{FG}\begin{pmatrix} 4\\0\\-4\end{pmatrix}$
$\quad$
b. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
Ainsi les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. Une représentation paramétrique de la droite $(FG)$ est donc $$\begin{cases} x=-1+4t\\y=2\\z=1-4t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
$\quad$
b. $-1+4t=2\ssi 4t=3\ssi t=\dfrac{3}{4}$
$4t-1=-2 \ssi -1+4t=2\ssi t=\dfrac{3}{4}$
Donc en prenant $t=\dfrac{3}{4}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(FG)$ on retrouve les coordonnées de point $H$.
De plus $\vect{EH}\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}$.
Ainsi $\vect{EH}.\vect{FG}=-4+0+4=0$.
Les droites $(EH)$ et $(FG)$ sont perpendiculaires en $H$.
$H$ est le projeté orthogonal du point $E$ sur la droite $(FG)$.
$\quad$
c. On a :
$\begin{align*} FG&=\sqrt{4^2+0+(-4)^2} \\
&=\sqrt{32} \\
&=4\sqrt{2}\end{align*}$
$\begin{align*} EH&=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2} \\
&=\sqrt{18} \\
&=3\sqrt{2}\end{align*}$
L’aire du triangle $EFG$ est donc égale à :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{EH\times FG}{2} \\
&=\dfrac{4\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2} \\
&=12 \text{ cm}^2\end{align*}$
$\quad$
a. $\vec{n}.\vect{EF}=-8+4+4=0$
$\vec{n}.\vect{FG}=8+0-8=0$
Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EFG)$.
Il est donc normal au plan $(EFG)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est de la forme $2x+y+2z+d=0$.
$E(3;-2;-1)$ appartient à ce plan.
Ainsi $6-2-2+d=0 \ssi d=-2$.
Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est donc $2x+y+2z-2=0$.
$\quad$
c. Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est donc $$\begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\end{cases} \qquad \forall k\in \R$$
$\quad$
d. On résout le système :
$\begin{align*} \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\2x+y+2z-2=0\end{cases}&\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\6+4k+1+k+10+4k-2=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\9k=-15\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}k=-\dfrac{5}{3}\\[2mm]x=-\dfrac{1}{3}\\[2mm]y=-\dfrac{2}{3}\\[2mm]z=\dfrac{5}{3}\end{cases}\end{align*}$
Donc $K$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
$\quad$
a. $\vect{DK}\begin{pmatrix}-\dfrac{10}{3}\\[2mm]-\dfrac{5}{3}\\[2mm]-\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}$
$\begin{align*} DK&=\sqrt{\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{100}{9}+\dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9}} \\
&=\sqrt{25} \\
&=5 \text{ cm}\end{align*}$
$\quad$
b. Le volume du tétraèdre $DEFG$ est :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times DK \\
&=\dfrac{1}{3}\times 12\times 5 \\
&=20\text{ cm}^3\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Pour tout réel $x>1$ on a $f(x)=0,05-\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{x}{x-1}$.
D’après la limite des termes de plus haut degré $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x}=1$.
Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0,05$.
Réponse b
$\quad$
La fonction $h$ est continue sur l’intervalle $[-2;4]$ et donc également sur l’intervalle $[1;3]$.
$h(1)=4>0$ et $h(3)=-1<0$.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $h(x)=0$ admet au moins une solution sur l’intervalle $[1;3]$.
Réponse c
$\quad$
$\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$. Il existe donc un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n\pg N$, on ait $u_n\pg 1$.
Par conséquent, pour tout $n\pg N$ : $0\pp \dfrac{1}{u_n} \pp 1$ et $0\pp \dfrac{v_n}{u_n}\pp v_n$.
$\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$.
D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{v_n}{u_n}=0$.
Réponse b
$\quad$
On considère la variable aléatoire $X$ égale au gain algébrique du joueur.
$P(X=8)=\dfrac{1}{6}$ (s’il obtient $1$)
$P(X=-1)=\dfrac{1}{2}$ (s’il obtient un nombre pair)
$P(X=-4)=\dfrac{1}{3}$ (sinon)
L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=8\times \dfrac{1}{6}-1\times \dfrac{1}{2}-4\times \dfrac{1}{3} \\
&=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$
Réponse d
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} P(X=0)=\dfrac{1}{125}&\ssi (1-p)^3=\dfrac{1}{125} \\
&\ssi 1-p=\dfrac{1}{5} \\
&\ssi p=\dfrac{4}{5}\end{align*}$
Réponse c
$\quad$

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 5 points

Partie A

Le plan est muni d’un repère orthogonal.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f’$ sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$.

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$. Aucune justification n’est demandée.

Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. On utilisera des valeurs approchées si besoin.
$\quad$
Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble être convexe.
$\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^{2}-5 x + 6\right) \e^{x}$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.

a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\quad$
b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
$\quad$
Montrer que, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right) \e^{x}$.
$\quad$
En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.
$\quad$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$. On note $f”$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. On admet que, pour tout réel $x$, on a $f”(x) = (x+1)(x- 2) \e^{x}$.

a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[-1~;~2]$, on a $f(x) \pp x + 6$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On étudie un groupe de $3~000$ sportifs qui pratiquent soit l’athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B.

En 2023, le club A compte $1~700$ membres et le club B en compte $1~300$.

On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$, où $n$ désigne le rang de l’année à partir de 2023.
L’année 2023 correspond au rang $0$. On a alors $a_{0}= 1~700$ et $b_{0} = 1~300$.

Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :

durant l’étude, aucun sportif ne quitte le groupe ;
chaque année, $15\%$ des sportifs du club A quittent le club et adhèrent au club B ;
chaque année, $10\%$ des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club $A$.

Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, déterminer une relation liant $a_{n}$ et $b_{n}$.
$\quad$
Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)$ vérifie la relation suivante pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1}= 0,75 a_{n} + 300$
$\quad$
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $$1~200 \pp a_{n+1} \pp a_{n} \pp 1~700$$
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(a_{n}\right)$ converge.
$\quad$
Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=a_{n}- 1~200$.
a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.
$\quad$
b. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. En déduire que pour tout entier naturel $n, a_{n}= 500 \times 0,75^{n}+ 1~200$.
$\quad$
a. Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
$\quad$
b. Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
a. Recopier et compléter le programme Python ci-dessous afin qu’il renvoie la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à $1~280$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\textbf{def }\text{seuil() :}\\
\quad\text{n = 0}\\
\quad \text{A = 1700}\\
\quad \textbf{while} \text{ … :}\\
\qquad \text{n = n + 1} \phantom{123456789}\\
\qquad \text{A = …}\\
\quad \textbf{return}\text{ …}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Déterminer la valeur renvoyée lorsqu’on appelle la fonction $\text{seuil}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé d’unité $1$ cm, on considère les points $$D(3;1;5) \qquad E(3;-2;-1) \qquad F(-1;2;1) \qquad G(3;2;-3)$$

a. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{EF}$ et $\vect{FG}$.
$\quad$
b. Justifier que les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(FG)$.
$\quad$
b. On appelle $H$ le point de coordonnées $(2;2;-2)$.
Vérifier que $H$ est le projeté orthogonal de $E$ sur la droite $(FG)$ .
$\quad$
c. Montrer que l’aire du triangle $EFG$ est égale à $12$ cm$^{2}$.
$\quad$
a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(EFG)$.
$\quad$
b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(EFG)$.
$\quad$
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $D$ et orthogonale au plan $(EFG)$.
$\quad$
d. On note $K$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(EFG)$.
À l’aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point $K$.
$\quad$
a. Vérifier que la distance $DK$ est égale à $5$ cm.
$\quad$
b. En déduire le volume du tétraèdre $DEFG$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Les cinq questions sont indépendantes.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]1~;+\infty[$ par $f(x)= 0,05-\dfrac{\ln x}{x- 1}$.
La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à :
a. $+\infty$
b. $0,05$
c. $-\infty$
d. $0$
$\quad$
On considère une fonction $h$ continue sur l’intervalle $[-2 ; 4]$ telle que : $$h(-1)=0, \qquad h(1) = 4, \qquad h(3) = -1$$
On peut affirmer que :
a. la fonction $h$ est croissante sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
b. la fonction $h$ est positive sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
c. il existe au moins un nombre réel $a$ dans l’intervalle $[1;3]$ tel que $h(a) = 1$.
d. l’équation $h(x)=1$ admet exactement deux solutions dans l’intervalle $[-2;4]$.
$\quad$
On considère deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs telles que $\lim\limits_{n \to+\infty} u_{n}=+\infty$ et $\left(v_{n}\right)$ converge vers $0$.
On peut affirmer que :
a. la suite $\left(\dfrac{1}{v_{n}}\right)$ converge.
b. la suite $\left(\dfrac{v_{n}}{u_{n}}\right)$ converge.
c. la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
d. $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-u_{n}\right)^{n}=-\infty$
$\quad$
Pour participer à un jeu, un joueur doit payer $4$ €.
Il lance ensuite un dé équilibré à six faces :
$\bullet$ s’il obtient $1$, il remporte $12$ €;
$\bullet$ s’il obtient un nombre pair, il remporte $3$ €;
$\bullet$ sinon, il ne remporte rien.
En moyenne, le joueur :
a. gagne $3,50$ €.
b. perd $3$ €.
c. perd $1,50$ €.
d. perd $0,50$ €.
$\quad$
On considère la variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;~p)$.
On sait que $P(X = 0) = \dfrac{1}{125}$. On peut affirmer que :
a. $p = \dfrac{1}{5}$
b. $P(X = 1) =\dfrac{124}{125}$
c. $p = \dfrac{4}{5}$
d. $P(X= 1) =\dfrac{4}{5}$
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 1 – 27 mars 2023

Amérique du Nord – 27 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(D\cap R)&=P(D)P_D(R)\\
&=0,03\times 0,35 \\
&=0,010~5\end{align*}$
La probabilité que le déchet soit dangereux et recyclable est égale à $0,010~5$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P\left(M\cap \conj{R}\right)&=P(M)P_M\left(\conj{R}\right) \\
&=0,69\times 0,27 \\
&=0,186~3\end{align*}$
La probabilité que le déchet soit minéral non dangereux et non recyclable est égale à $0,186~3$.
$\quad$
$(M,N,D)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(R)&=P(M\cap R)+P(N\cap R)+P(D\cap R) \\
&=P(M)P_M(R)+P(N)P_N(R)+P(D)P_D(R) \\
&=0,69\times 0,73+0,28\times 0,49+0,03\times 0,35 \\
&=0,651~4\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_R(N)&=\dfrac{P(N\cap R)}{P(R)} \\
&=\dfrac{P(N)P_N(R)}{P(R)} \\
&=\dfrac{0,28\times 0,49}{0,651~4} \\
&\approx 0,210~6\end{align*}$
La probabilité que le déchet soit non minéral et non dangereux sachant qu’il est recyclable est environ égale à $0,210~6$.
$\quad$

Partie B

a. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,651~4$.
$\quad$
b. On veut calculer :
$\begin{align*} P(X=14)&=\dbinom{20}{14}0,651~4^{14}\times (1-0,651~4)^6 \\
&\approx 0,172~3\end{align*}$
La probabilité que l’échantillon contienne exactement $14$ déchets recyclables est environ égale à $0,172~3$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc
$\begin{align*}p_n&=(1-0,651~4)^n \\
&=0,348~6^n\end{align*}$
$\quad$
b. On veut déterminer le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que :
$\begin{align*} 1-0,348~6^n\pg 0,999~9 &\ssi -0,348~6^n \pg -0,000~1 \\
&\ssi 0,348~6^n \pp 0,000~1 \\
&\ssi n\ln(0,348~6) \pp\ln(0,000~1) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,000~1)}{\ln(0,348~6)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,000~1)}{\ln(0,348~6)}\approx 8,7$.
L’entier naturel cherché est donc $9$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A – Étude d’une fonction auxiliaire

a. $\lim\limits_{x\to -\infty}2x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to-\infty}\e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to-\infty}\e^{2x}=0$.
De plus $\lim\limits_{x\to -\infty} -2x-3=+\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=+\infty$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a $g(x)=\e^{2x}\left(3-2x\e^{-2x}-3\e^{-2x}\right)$
$\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-2x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} x\e^{-2x}=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} 3-2x\e^{-2x}-3\e^{-2x}=3$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{2x}=+\infty$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=3\times 2\e^{2x}-2 \\
&=6\e^{2x}-2\end{align*}$
$\quad$
b.
$\begin{align*}g'(x)=0&\ssi 6\e^{2x}-2=0\\
&\ssi \e^{2x}=\dfrac{1}{3} \\
&\ssi 2x=\ln\left(\dfrac{1}{3}\right) \\
&\ssi 2x=-\ln(3) \\
&\ssi x=\dfrac{-\ln(3)}{2}\end{align*}$
$\begin{align*}g'(x)>0&\ssi 6\e^{2x}-2>0\\
&\ssi \e^{2x}>\dfrac{1}{3} \\
&\ssi 2x>\ln\left(\dfrac{1}{3}\right) \\
&\ssi 2x>-\ln(3) \\
&\ssi x>\dfrac{-\ln(3)}{2}\end{align*}$
Par conséquent :
$\bullet~g'(x)<0$ sur $\left]-\infty;\dfrac{-\ln(3)}{2}\right[$
$\bullet~g’\left(\dfrac{-\ln(3)}{2}\right)=0$
$\bullet~g'(x)>0$ sur $\left]\dfrac{-\ln(3)}{2};+\infty\right[$
$\quad$
c. On obtient par conséquent le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
où
$\begin{align*} m&=g\left(\dfrac{-\ln(3)}{2}\right) \\
&=\dfrac{3}{3}+\ln(3)-3 \\
&=\ln(3)-2\end{align*}$
$\quad$
a. $g(0)=3-0-3=0$ donc $0$ est solution de l’équation $g(x)=0$.
$\quad$.
b. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $\left]-\infty;-\dfrac{\ln(3)}{2}\right]$.
$g\left(-\dfrac{\ln(3)}{2}\right)=\ln(3)-2<0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=+\infty$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left]-\infty;-\dfrac{\ln(3)}{2}\right]$.
D’après la calculatrice $-1,5<\alpha<-1,4$.
$\quad$
D’après le tableau de variations de la fonction $g$ est la question A.3. on a :
$\bullet ~g(x)>0$ sur $]-\infty;\alpha]$ ;
$\bullet ~g(\alpha)=0$ ;
$\bullet ~g(x)<0$ sur $]\alpha;0[$ ;
$\bullet ~g(0)=0$ ;
$\bullet ~g(x)>0$ sur $]0;+\infty[$.
$\quad$

Partie B – Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=3\e^{3x}-2\e^x-(2x+1)\e^x \\
&=\e^x\left(3\e^{2x}-2-(2x+1)\right) \\
&=\e^x\left(3\e^{2x}-2x-3\right) \\
&=\e^xg(x)\end{align*}$
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive. Ainsi $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe.
Par conséquent :
$\bullet ~f'(x)>0$ sur $]-\infty;\alpha]$ ;
$\bullet ~f'(\alpha)=0$ ;
$\bullet ~f'(x)<0$ sur $]\alpha;0[$ ;
$\bullet ~f'(0)=0$ ;
$\bullet ~f'(x)>0$ sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;\alpha]$ et sur $[0;+\infty[$ et est strictement décroissante sur $[\alpha;0]$.
$\quad$
La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\e^xg(x)$. Par conséquent :
$\begin{align*} f\dsec(x)&=\e^xg(x)+\e^xg'(x) \\
&=\e^x\left(g(x)+g'(x)\right) \quad (*)\\
&=\e^x\left(3\e^{2x}-2x-3+6\e^{2x}-2\right) \\
&=\e^x\left(9\e^{2x}-2x-5\right)\end{align*}$
En traçant la courbe sur la calculatrice, on remarque que cette expression est négative sur un intervalle inclus dans $]-3;0[$.
En particulier $f\dsec(-1) \approx -0,66$.
Ainsi $f$ n’est pas convexe sur $\R$.
$\quad$
Remarque : On pouvait également dire que :
$\bullet$ $g'(x)<0$ sur $\left]-\infty;-\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)\right[$ d’après la question A.2.b
$\bullet$ $g(x)<0$ sur $]\alpha;0[$ d’après la question A.4
Ainsi $g(x)+g'(x)<0$ sur $\left]\alpha;-\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)\right[$.
Donc, d’après $(*)$, $f\dsec(x)<0$ sur $\left]\alpha;-\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)\right[$ et $f$ est concave sur intervalle. Elle n’est donc pas convexe sur $\R$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}$, $\vect{AC}\begin{pmatrix}4\\-2\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix}0\\-6\\6\end{pmatrix}$.
$\vect{AB}.\vect{AC}=16-8-8=0$.
Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
De plus :
$\begin{align*} AB^2&=4^2+4^2+(-2)^2 \\
&=36\end{align*}$
et
$\begin{align*} AC^2&=4^2+(-2)^2+4^2 \\
&=36\end{align*}$
Ainsi $AB=AC$ et le triangle $ABC$ est également isocèle.
Réponse a
$\quad$
On a :
$4\times 3+6+3-21=21-21=0$ : les coordonnées du point $B$ vérifient l’équation $4x+y+z-21=0$.
$4\times 3+0+9-21=21-21=0$ : les coordonnées du point $C$ vérifient l’équation $4x+y+z-21=0$.
$4\times 8-3-8-21=32-32=0$ : les coordonnées du point $D$ vérifient l’équation $4x+y+z-21=0$.
Réponse c
$\quad$
La première réponse ne convient pas car les coordonnées du point $H$ ne vérifient pas l’équation du plan $(ABC)$ fournie.
Un vecteur normal au plan $(ABC)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}$.
$\vect{DH}$ doit être colinéaires à ce vecteur.
$3-2\times 7-2\times 2+15=0$. Le point $H’$ de coordonnées $(3,7,2)$ appartient donc au plan $(ABC)$.
De plus $\vect{DH’}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}-5\\10\\10\end{pmatrix}$.
Donc $\vect{DH’}=-5\vec{n}$.
Réponse b
$\quad$
Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}$
$\vec{u}$ et $\vect{BC}$ ne sont donc pas colinéaires.
Une représentation paramétrique de la droite $(BC)$ est $$\begin{cases} x=3\\y=6-6k\\z=3+6k\end{cases} \qquad \forall k\in \R$$
Déterminons si le système suivant possède une solution
$\begin{align*}
\begin{cases} x=3\\y=6-6k\\z=3+6k\\x=5+t\\y=3-t\\z=-1+3t \end{cases}&\ssi \begin{cases} x=5+t\\y=3-t\\z=-1+3t \\3=5+t\\6-6k=3-t\\3+6k=-1+3t \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=5+t\\y=3-t\\z=-1+3t \\t=-2\\6-6k=3-t\\3+6k=-1+3t \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=5+t\\y=3-t\\z=-1+3t \\t=-2\\-6k=-1\\6k=-10 \end{cases} \end{align*}$
Les deux dernières équations ne sont pas compatibles.
Réponse d
$\quad$
Les vecteurs normaux de ces deux plans ne sont pas colinéaires : les plans ne sont pas parallèles.
$2\times (-1)-2+2\times 5-6=10-10=0$ : le point $A$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
$2\times 3-6+2\times 3-6=12-12=0$ : le point $B$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
La droite $(AB)$ appartient donc aux deux plans.
Les deux plans sont sécants et leur intersection est la droite $(AB)$.
Réponse b.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A – Étude de la suite $\boldsymbol{u_n}$

$\quad$
$\begin{align*} u_1&=\dfrac{1}{2}\left(5+\dfrac{11}{5}\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{36}{5} \\
&=\dfrac{18}{5}\end{align*}$
$\begin{align*} u_2&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{18}{5}+\dfrac{55}{18}\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{599}{90} \\
&=\dfrac{599}{180}\end{align*}$
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{11}{x^2}\right) \\
&=\dfrac{x^2-11}{2x^2}\\
&=\dfrac{\left(x-\sqrt{11}\right)\left(x+\sqrt{11}\right)}{2x^2}\end{align*}$
Pour tout réel $x\pg \sqrt{11}$ on a $x-\sqrt{11}\pg 0$, $x+\sqrt{11}\pg 0$ et $2x^2\pg 0$.
Ainsi, $f'(x)\pg 0$ sur $\left[\sqrt{11};+\infty\right[$.
La fonction $f$ est donc bien croissante sur l’intervalle $\left[\sqrt{11};+\infty\right[$.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n\pg u_{n+1}\pg \sqrt{11}$
Initialisation : $u_0=5$, $u_1=\dfrac{18}{5}=3,6$ et $\sqrt{11}\approx 3,32$.
Par conséquent $u_0\pg u_1\pg \sqrt{11}$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
Ainsi $u_n\pg u_{n+1} \pg \sqrt{11}$.
La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $\left[\sqrt{11};+\infty\right[$.
Par conséquent $f\left(u_n\right)\pg f\left(u_{n+1}\right) \pg f\left(\sqrt{11}\right)$
Soit $u_{n+1}\pg u_{n+2} \pg \sqrt{11}$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $u_n\pg u_{n+1}\pg \sqrt{11}$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $\sqrt{11}$; elle converge donc.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) sur $\left[\sqrt{11};+\infty\right[$.
De plus, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
Ainsi $\alpha$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi x+\dfrac{11}{x}=2x \\
&\ssi \dfrac{11}{x}=x \\
&\ssi x^2=11 \\
&\ssi x=\sqrt{11} \text{ ou } x=-\sqrt{11}\end{align*}$.
Or $\alpha \pg \sqrt{11}$.
Par conséquent $\alpha=\sqrt{11}$.
$\quad$

Partie B – Application géométrique

a. On a $L_0\times \ell_0=11 \ssi 5\ell_0=11 \ssi \ell_0=2,2$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a $L_n\ell_n=11$ donc $\ell_n=\dfrac{11}{L_n}$.
$\quad$
On a $L_0=u_0$. De plus, pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} L_{n+1}&=\dfrac{1}{2}\left(L_n+\ell_n\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\left(L_n+\dfrac{11}{L_n}\right)\end{align*}$
Par conséquent $ \left(L_n\right)$ correspond à la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
D’après la partie A, $L_n\pg \sqrt{11}$.
Par conséquent $\dfrac{1}{L_n} \pp \dfrac{1}{\sqrt{11}} $
Ainsi $\dfrac{11}{L_n}\pp \sqrt{11}$
D’où $\ell_n \pp \sqrt{11}$.
$\quad$
Cela signifie que sur le long terme, le rectangle $R_n$ sera un carré de côté $\sqrt{11}$.
$\quad$
a. On obtient les valeurs approchée de $\ell_3$ et $L_3$.
L’appel $\texttt{heron(3)}$ renvoie donc $\texttt{(3.316606, 3.316643)}$.
$\quad$
b. Cela signifie qu’un encadrement de $\sqrt{11}$ est $3,316~606 \pp \sqrt{11}\pp 3,316~643$.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

Dans un souci d’améliorer sa politique en matière de développement durable, une entreprise a réalisé une enquête statistique sur sa production de déchets.

Dans cette enquête, les déchets sont classés en trois catégories :

$69\%$ des déchets sont minéraux et non dangereux;
$28\%$ des déchets sont non minéraux et non dangereux;
les déchets restants sont des déchets dangereux.

Cette enquête statistique nous apprend également que :

$73\%$ des déchets minéraux et non dangereux sont recyclables ;
$49\%$ des déchets non minéraux et non dangereux sont recyclables ;
$35\%$ des déchets dangereux sont recyclables.

Les parties A et B sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.

Partie A

Dans cette entreprise, on prélève au hasard un déchet. On considère les évènements suivants :

$M$ : « Le déchet prélevé est minéral et non dangereux »;
$N$ : « Le déchet prélevé est non minéral et non dangereux »;
$D$ : « Le déchet prélevé est dangereux »;
$R$ : « Le déchet prélevé est recyclable ».

On note $\conj{R}$ l’évènement contraire de l’évènement $R$.

Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation de l’énoncé.

$\quad$

Justifier que la probabilité que le déchet soit dangereux et recyclable est égale à $0,010~5$.
$\quad$
Déterminer la probabilité $P\left(M \cap \conj{R}\right)$ et interpréter la réponse obtenue dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Démontrer que la probabilité de l’évènement $R$ est $P(R)=0,651~4$.
$\quad$
On suppose que le déchet prélevé est recyclable. Déterminer la probabilité que ce déchet soit non minéral et non dangereux. On donnera la valeur arrondie au dix-millième.
$\quad$

Partie B

On rappelle que la probabilité qu’un déchet prélevé au hasard soit recyclable est égale à $0,651~4$.

Afin de contrôler la qualité de la collecte dans l’entreprise, on prélève un échantillon de $20$ déchets pris au hasard dans la production. On suppose que le stock est suffisamment important pour assimiler le prélèvement de cet échantillon à un tirage avec remise.
On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de déchets recyclables dans cet échantillon.
a. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
$\quad$
b. Donner la probabilité que l’échantillon contienne exactement 14 déchets recyclables. On donnera la valeur arrondie au dix-millième.
$\quad$
Dans cette question, on prélève désormais $n$ déchets, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.
a. Donner l’expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ qu’aucun déchet de cet échantillon ne soit recyclable.
$\quad$
b. Déterminer la valeur de l’entier naturel $n$ à partir de laquelle la probabilité qu’au moins un déchet du prélèvement soit recyclable est supérieure ou égale à $0,999~9$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=\e^{3 x}-(2 x+1) \e^{x}$$

Le but de cet exercice est d’étudier la fonction $f$ sur $\R$.

Partie A – Étude d’une fonction auxiliaire

On définit la fonction $g$ sur $\R$ par : $$g(x)=3 \e^{2x}-2 x – 3$$

a. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $-\infty$.
$\quad$
b. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
$\quad$
a. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\R$, et on note $g’$ sa fonction dérivée.
Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a $g'(x)=6 \e^{2 x}-2$.
$\quad$
b. Étudier le signe de la fonction dérivée $g’$ sur $\R$.
$\quad$
c. En déduire le tableau de variations de la fonction $g$ sur $\R$. Vérifier que la fonction $g$ admet un minimum égal à $\ln (3)-2$.
$\quad$
a. Montrer que $x=0$ est solution de l’équation $g(x) = 0$.
$\quad$
b. Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet une deuxième solution, non nulle, notée $\alpha$, dont on donnera un encadrement d’amplitude $10^{-1}$.
$\quad$
Déduire des questions précédentes le signe de la fonction $g$ sur $\R$.
$\quad$

Partie B – Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$, et on note $f’$ sa fonction dérivée.
Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a $f'(x)=\e^{x} g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la partie A.
$\quad$
En déduire alors le signe de la fonction dérivée $f’$ puis les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
Pourquoi la fonction $f$ n’est-elle pas convexe sur $\R$ ? Expliquer.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Les cinq questions sont indépendantes.

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère les points $A(-1;2;5)$, $B(3;6;3)$, $C(3;0;9)$ et $D(8;-3;-8)$.

On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.

$ABC$ est un triangle :
a. isocèle rectangle en A
b.isocèle rectangle en B
c.isocèle rectangle en C
d.équilatéral
$\quad$
Une équation cartésienne du plan $(BCD)$ est :
a. $2 x+y+z-15=0$
b. $9 x-5 y+3=0$
c. $4 x+y+z-21=0$
d. $11 x+5 z-73=0$
$\quad$
On admet que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $x-2y-2z+15 = 0$.
On appelle $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
On peut affirmer que :
a. $H(-2;17;12)$
b. $H(3;7;2)$
c. $H(3;2;7)$
d. $H(-15;1;-1)$
$\quad$
Soit la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\begin{cases}x=5+t \\ y=3-t \\ z =-1 + 3t\end{cases}$, avec $t$ réel.
Les droites $(BC)$ et $\Delta$ sont :
a. confondues
b. strictement parallèles
c. sécantes
d. non coplanaires
$\quad$
On considère le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne $2x-y+2z-6 = 0$.
On admet que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $x-2 y-2 z+15=0$.
On peut affirmer que :
a. les plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ sont strictement parallèles
b. les plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ sont sécants et leur intersection est la droite $(AB)$
c. les plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ sont sécants et leur intersection est la droite $(AC)$
d. les plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ sont sécants et leur intersection est la droite $(BC)$
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=5$ et pour tout entier naturel $n$, $$ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_{n}+\dfrac{11}{u_{n}}\right)$$

On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est bien définie.

Partie A – Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_{n}\right)}$

Donner $u_{1}$ et $u_{2}$ sous forme de fractions irréductibles.
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty [$ par : $$f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\frac{11}{x}\right)$$
Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $\left[\sqrt{11};+\infty\right[$.
$\quad$
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $: u_{n} \pg u_{n+1} \pg \sqrt{11}$.
$\quad$
En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers une limite réelle. On note $a$ cette limite.
$\quad$
Après avoir déterminé et résolu une équation dont $a$ est solution, préciser la valeur exacte de $a$.
$\quad$

Partie B – Application géométrique

Pour tout entier naturel $n$, on considère un rectangle $R_{n}$ d’aire $11$ dont la largeur est notée $\ell_{n}$ et longueur $L_{n}$.

La suite $\left(L_{n}\right)$ est définie par $L_{0}=5$ et, pour tout entier naturel $n$, $$L_{n+1}=\dfrac{L_{n}+\ell_{n}}{2} $$

a. Expliquer pourquoi $\ell_{0}=2,2$.
$\quad$
b. Établir que pour tout entier naturel $n$, $$\ell_{n}=\dfrac{11}{L_{n}}$$
$\quad$
Vérifier que la suite $\left(L_{n}\right)$ correspond à la suite $\left(u_{n}\right)$ de la partie A.
$\quad$
Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $\ell_{n} \pp \sqrt{11} \pp L_{n}$.
$\quad$
On admet que les suites $\left(L_{n}\right)$ et $\left(\ell_{n}\right)$ convergent toutes les deux vers $\sqrt{11}$. Interpréter géométriquement ce résultat dans le contexte de la partie B.
$\quad$
Voici un script, écrit en langage Python, relatif aux suites étudiées dans cette partie :
$$\begin{array}{|l l|}
\hline
1 & \text{def heron(n):} \\
2 & \quad \text{L = 5} \\
3 & \quad \text{l = 2.2} \\
4 & \quad \text{for i in range(n):} \\
5 & \qquad \text{L = (L + l) / 2} \\
6 & \qquad \text{l = 11 / L} \\
7 & \quad \text{return round(l,6), round(L,6)}\\
\hline
\end{array}$$
On rappelle que la fonction Python $\text{round(x,k)}$ renvoie une version arrondie du nombre $\text{x}$ avec $\text{k}$ décimales.
a. Si l’utilisateur tape $\text{heron(3)}$ dans une console d’exécution Python, qu’obtient-il comme valeurs de sortie pour $\text{l}$ et $\text{L}$ ?
$\quad$
b. Donner une interprétation de ces deux valeurs.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 2 – 24 mars 2023

Asie – 24 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

L’aire du triangle $FBG$ est égale à la moitié de l’aire du carré unité $BCGF$.
$I$ est le milieu de $[EF]$ et $EF=AB$ donc $FI=\dfrac{1}{2}$.
Le volume du tétraèdre $FIGB$ est donc :
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{FBG}\times FI \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}\\
&=\dfrac{1}{12} \text{u.v.}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \vect{AI}&=\vect{AE}+\vect{EI} \\
&=\vect{AE}+\dfrac{1}{2}\vect{EF} \\
&=\vect{AE}+\dfrac{1}{2}\vect{AB}\end{align*}$
Par conséquent $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};0;1\right)$.
$\quad$
$\vect{BI}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\[2mm]0\\1\end{pmatrix}$, $\vect{BG}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{DJ}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$
$\vect{DJ}.\vect{BI}=-1+0+1=0$
$\vect{DJ}.\vect{BG}=0-1+1=0$
Les vecteur $\vect{DJ}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (ils n’ont pas la même composante nulle) du plan $(BIG)$.
Par conséquent $\vect{DJ}$ est un vecteur normal au plan $(BIG)$.
$\quad$
Une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est alors de la forme $2x-y+z+d=0$.
$B(1;0;0)$ appartient au plan $(BIG)$. Donc $2+0+0+d=0 \ssi d=-2$.
Une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est par conséquent $2x-y+z-2=0$.
$\quad$
Une représentation paramétrique de la droite $d$ est $$\begin{cases} x=1+2t\\y=-t\\z=1+t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$.
$\quad$
a. En prenant $t=-\dfrac{1}{6}$ dans la représentation paramétrique de $d$ on obtient $x=\dfrac{2}{3}$, $y=\dfrac{1}{6}$ et $z=\dfrac{5}{6}$.
De plus $2\times \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}-2=\dfrac{4}{3}+\dfrac{2}{3}-2=0$.
Le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right)$ appartient donc à la fois à la droite $d$ et au plan $(BIG)$.
La droite $d$ coupe le plan $(BIG)$ au point $L$.
Ainsi $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right)$.
$\quad$
b. $\vect{FL}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3}\\[2mm]\dfrac{1}{6}\\[2mm]-\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} FL&=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{6}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{6}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{36}}\\
&=\sqrt{\dfrac{1}{6}} \\
&=\dfrac{\sqrt{6}}{6}\end{align*}$
$\quad$
c. On appelle $\mathscr{A}$ l’aire du triangle $IGB$.
On a alors
$\begin{align*} V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times FL\\ &\ssi \dfrac{1}{12}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times \dfrac{\sqrt{6}}{6} \\
&\ssi \mathscr{A}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\end{align*}$
L’aire du triangle $IGB$ est donc égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ u.a.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

$\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$
$\lim\limits_{x\to -\infty} 2x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{2x}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=1$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $g(x)=\e^{2x}\left(1-\e^{-x}+\e^{-2x}\right)$
Or, $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{2x}=+\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-2x}=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
$\quad$
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} g'(x)&=2\e^{2x}-\e^x \\
&=\e^{x}\left(2\e^x-1\right)\end{align*}$.
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
La signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2\e^x-1$.
$2\e^x-1=0 \ssi 2\e^x=1 \ssi \e^x=\dfrac{1}{2} \ssi x=-\ln(2)$
$2\e^x-1>0 \ssi 2\e^x>1 \ssi \e^x>\dfrac{1}{2} \ssi x>-\ln(2)$
On obtient alors le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
La fonction $g$ admet un minimum qui vaut $\dfrac{3}{4}$.
Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $g(x)\pg \dfrac{3}{4}>0$.
La fonction $g$ est strictement positive sur $\R$.
$\quad$
On pourrait écrire $\e^{2x}-\e^x+1>0 \ssi \begin{cases} X^2-X+1>0 \\X=\e^x\end{cases}$.
Le discriminant du polynôme du second degré $X^2-X+1$ est $\Delta=-3<0$.
Le coefficient principal de ce polynôme est $1>0$.
Par conséquent, pour tout réel $X$ on a $X^2-X+1>0$.
Donc $\e^{2x}-\e^x+1>0$ pour tout réel $x$.
$\quad$

Partie B

D’après la question A.5., pour tout tout réel $x$, on a $\e^{2x}-\e^x+1>0$.
La fonction $\ln$ est définie sur $\R_+^*$.
Par conséquent la fonction $f$ est bien définie sur $\R$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x$ on a alors :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\e^{2x}-\e^x}{\e^{2x}-\e^x+1} \\
&=\dfrac{g'(x)}{g(x)}\end{align*}$
$\quad$
Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
Or $f(0)=0$ et $f'(0)=1$.
Une équation de cette tangente est donc $y=x$.
$\quad$
$g'(x)>0 \ssi x>-\ln(2)$ d’après la question A.4
Pour tout réel $x$, on a $g(x)>0$.
Par conséquent $f$ est strictement croissante sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$.
$f\left(-\ln(2)\right)=\ln\left(\dfrac{3}{4}\right)<2$.
Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\ln\left(g(x)\right)$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
Or $2\in \left]\ln\left(\dfrac{3}{4}\right);+\infty\right[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$.
D’après la calculatrice $\alpha\approx 1,12$.
$\quad$

Partie C

D’après la question B.5. l’équation $f(x)=2$ admet bien au moins une solution. La conjecture 1 est vraie.

$-\ln(2)\approx -0,69<-0,5$. La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$. La conjecture 2 est fausse.

Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est $y=x$. La conjecture 3 est fausse.

$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. Le premier jour on dispose de $2$ g de polonium.
Par conséquent :
$\begin{align*} v_0&=2\times 3\times 10^{21} \\
&=6\times 10^{21}\end{align*}$
$\quad$
b. Chaque jour $0,5\%$ des noyaux se sont désintégrés. Il en reste donc $0,995u_n$.
Chaque jour, on ajoute $0,005$ g de polonium.
Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} v_{n+1}&=0,995u_n+0,005\times 3\times 10^{21} \\
&=0,995u_n+1,5\times 10^{19}\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0\pp v_{n+1} \pp v_n$.
Initialisation : $v_0=6\times 10^{21}$ et $v_1=0,995v_0+1,5\times 10^{19}$ soit $v_1=5,985\times 10^{21}$.
On a bien $0\pp v_{1} \pp v_0$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} 0\pp v_{n+1} \pp v_n&\ssi 0\pp 0,995 v_{n+1} \pp 0,995 v_n \\
&\ssi 1,5\times 10^{19}\pp 0,995v_{n+1}+1,5\times 10^{19}\pp 0,995v_n+1,5\times 10^{19}\end{align*}$
Par conséquent $0\pp v_{n+2}\pp v_{n+1}$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $0\pp v_{n+1} \pp v_n$.
$\quad$
b. La suite $\left(v_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle converge donc.
$\quad$
a. Soit $b\in \N$. $u_n=v_n-3\times 10^{21} \ssi v_n=u_n+3\times 10^{21}$
$\begin{align*} u_{n+1}&=v_{n+1}-3\times 10^{21} \\
&=0,995v_n+1,5\times 10^{19}-3\times 10^{21} \\
&=0,995v_n-2,985\times 10^{21}\\
&=0,995\left(u_n+3\times 10^{21}\right)-2,985\times 10^{21} \\
&=0,995u_n+2,985\times 10^{21} -2,985\times 10^{21} \\
&=0,995u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,995$ et de premier terme $u_0=v_0-3\times 10^{21}=3\times 10^{21}$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=3\times 10^{21}\times 0,995^n$.
Par conséquent
$\begin{align*} v_n&=u_n+3\times 10^{21} \\
&=3\times 10^{21}\times 0,995^n+3\times 10^{21}\\
&=3\times 10^{21}\left(0,995^n+1\right)\end{align*}$
$\quad$
c. $-1<0,995<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,995^n=0$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=3\times 10^{21}$.
Cela signifie que sur le long terme il ne restera plus que $3\times 10^{21}$ noyaux atomiques.
$\quad$
On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} u_n\pp 4,5\times 10^{21} &\ssi 3\times 10^{21}\left(0,995^n+1\right)\pp 4,5\times 10^{21} \\
&\ssi 0,995^n+1 \pp 1,5 \\
&\ssi 0,995^n\pp 0,5 \\
&\ssi n\ln(0,995) \pp \ln(0,5) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,995)} \qquad \text{car }\ln(0,995)<0\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,995)}\approx 138,3$.
C’est donc au bout de $139$ jours que le nombre de noyaux de polonium sera inférieur à $4,5\times 10^{21}$.
$\quad$
a. On peut écrire $$\texttt{V = 0.995 * V + 1.5 * 10**19}$$ ou $$\texttt{V = 3 * 10**21 * (0.995**(k + 1))}$$
$\quad$
b. $52\times 7=364$.
Il faut donc saisir $\texttt{noyaux(364)}$ pour que la fonction renvoie les relevés quotidien du nombre de noyaux contenus dans l’échantillon de polonium pendant $52$ semaines d’étude.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $3$ et de premier terme $u_0=7$.
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=7+3n$.
$7+3n=2023\ssi 3n=2016 \ssi n=672$.
Il y a donc $672+1=673$ termes.
Réponse B
$\quad$
La parité des deux termes consécutifs de la liste $\texttt{L}$ est différente.
Le premier et le dernier terme de cette liste sont impairs.
Il y a donc $\dfrac{673-1}{2}=336$ nombres pairs.
La probabilité de tirer un nombre pair est donc égale à $\dfrac{336}{673}$.
Réponse C
$\quad$
La probabilité cherchée est $P(A\cap B)=\dfrac{34}{673}$.
Réponse B
$\quad$
$\left(A,\conj{A}\right)$ est un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right) \\
&=\dfrac{168}{673}+P\left(\conj{A}\right)P_{\conj{A}}(B) \\
&=\dfrac{34}{673}+\dfrac{673-168}{673}\times \dfrac{33}{505} \\
&=\dfrac{67}{673}\end{align*}$
Par conséquent
$\begin{align*} P_B(A)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \\
&=\dfrac{\dfrac{34}{673}}{~\dfrac{67}{673}~} \\
&=\dfrac{34}{67} \end{align*}$
Réponse D
$\quad$
La probabilité qu’un nombre tiré de cette liste ne soit pas un multiple de $4$ est égale à $\dfrac{505}{673}$.
La probabilité qu’aucun des $10$ nombres choisis ne soit un multiple de $4$ est donc égale à $\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}$.
Réponse A
$\quad$
Remarque : On pouvait également également introduire une variable aléatoire $X$ égale à la quantité de nombres multiples de $4$ parmi les $10$ tirages effectués. Il faut alors prouver que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{168}{673}$. On demande donc de calculer $P(X=0)$.
$\quad$

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie.
Les candidates et les candidats sont invités à faire figurer sur leurs copies toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse.

Exercice 1 5 points

On considère deux cubes $ABCDEFGH$ et $BKLCFJMG$ positionnés comme sur la figure suivante:

Le point $I$ est le milieu de $[EF]$.
Dans toute la suite de l’exercice, on se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.
Ainsi, par exemple, les points $F$, $G$ et $J$ ont pour coordonnées $F(1;0;1)$, $G(1;1;1)$ et $J(2;0;1)$.

Montrer que le volume du tétraèdre $FIGB$ est égal à $\dfrac{1}{12}$ d’unité de volume.
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire d’une base} \times \text{hauteur correspondante}$$
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $I$.
$\quad$
Montrer que le vecteur $\vect{DJ}$ un vecteur normal au plan $(BIG)$.
$\quad$
Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est $2x-y+z-2 = 0$.
$\quad$
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, orthogonale à $(BIG)$ et passant par $F$.
$\quad$
a. La droite $d$ coupe le plan $(BIG)$ au point $L$.
Montrer que les coordonnées du point L sont $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right)$.
$\quad$
b. Calculer la longueur $FL$.
$\quad$
c. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $IGB$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(\e^{2x} – \e^x + 1\right).$ On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative représentée ci-dessous.

Un élève formule les conjectures suivantes à partir de cette représentation graphique :

L’équation $f(x) = 2$ semble admettre au moins une solution.
Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ semble être croissante est $[-0,5;+\infty[$.
L’équation de la tangente au point d’abscisse $x = 0$ semble être: $y = 1,5x$.

$\quad$

Le but de cet exercice est de valider ou rejeter les conjectures concernant la fonction $f$.

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

On définit sur $\R$ la fonction $g$ définie par $g(x) = \e^{2x}-\e^x + 1.$

Déterminer $\lim\limits_{x \to – \infty} g(x)$.
$\quad$
Montrer que $\lim\limits_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.
$\quad$
Montrer que $g'(x) = \e^x\left(2\e^x-1\right)$ pour tout $x \in \R$.
$\quad$
Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$.
Dresser le tableau des variations de la fonction $g$ en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s’il y en a, ainsi que les limites de $g$ en $-\infty$ et $+ \infty$.
$\quad$
En déduire le signe de $g$ sur $\R$.
$\quad$
Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat de la question 5 en posant $X = \e^x$.
$\quad$

Partie B

Justifier que la fonction $f$ est bien définie sur $\R$.
$\quad$
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$. Justifier que $f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$ pour tout $x \in \R$.
$\quad$
Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$.
$\quad$
Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[-\ln (2)~;~ +\infty\right[$.
$\quad$
Montrer que l’équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[-\ln (2)~;~ +\infty\right[$ et déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
$\quad$

Partie C

À l’aide des résultats de la partie B, indiquer, pour chaque conjecture de l’élève, si elle est vraie ou fausse. Justifier.

$\quad$

Exercice 3 5 points

Marie Sklodowska-Curie (1867-1934) est une physicienne (mais aussi chimiste et mathématicienne), polonaise naturalisée française.
Deux Prix Nobel lui ont été décernés: un en Physique (partagé avec son mari et Henri Becquerel) en 1903 et un en Chimie en 1911 pour la découverte de deux nouveaux éléments, le polonium (nom donné en hommage à ses origines) et le radium.

On décide d’étudier le rayonnement radioactif du polonium lors de la désintégration des noyaux atomiques au cours du temps.

Au début de l’expérience, on dispose d’un morceau de $2$ g de polonium.
On sait que $1$ g de polonium contient $3 \times 10^{21}$ noyaux atomiques.
On admet que, au bout de 24 heures, $0,5\%$ des noyaux se sont désintégrés et que, pour compenser cette disparition, on ajoute alors $0,005$ g de polonium.

On modélise la situation à l’aide d’une suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ ; on note $v_0$ le nombre de noyaux contenus dans le polonium au début de l’expérience. Pour $n \pg 1$, $v_n$ désigne le nombre de noyaux contenus dans le polonium au bout de $n$ jours écoulés.

a. Vérifier que $v_0 = 6\times 10^{21}$.
$\quad$
b. Expliquer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $v_{n+1} = 0,995v_n + 1,5 \times 10^{19}$.
$\quad$
a. Démontrer, par récurrence sur $n$, que $0 \pp v_{n+1} \pp v_n$.
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est convergente.
$\quad$
On considère la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie, pour tout entier naturel $n$, par: $u_n = v_n-3 \times 10^{21}$.
a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est géométrique de raison $0,995$.
$\quad$
b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $v_n = 3 \times 10^{21}\left(0,995^n + 1\right)$.
$\quad$
c. En déduire la limite de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Déterminer, par le calcul, au bout de combien de jours le nombre de noyaux de polonium sera inférieur à $4,5 \times 10^{21}$. Justifier la réponse.
$\quad$
On souhaite disposer de la liste des termes de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$.
Pour cela, on utilise une fonction appelée noyaux programmée en langage Python et retranscrite partiellement ci-après.
$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
1 &\text{def noyaux (n) :}\\
2 &\qquad \text{V = 6 * 10 ** 21}\\
3&\qquad \text{L = [V]}\\
4&\qquad \text{for k in range (n):}\\
5&\qquad \qquad \text{V = …}\\
6&\qquad \qquad \text{L.append(V)}\\
7&\qquad \text{return L}\\
\hline\end{array}$$
a. À la lecture des questions précédentes, proposer deux solutions différentes pour compléter la ligne 5 de la fonction noyaux afin qu’elle réponde au problème.
$\quad$
b. Pour quelle valeur de l’entier $\text{n}$ la commande $\text{noyaux(n) }$renverra-t-elle les relevés quotidiens du nombre de noyaux contenus dans l’échantillon de polonium pendant $52$ semaines d’étude ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Pour chacune des cinq questions de cet exercice, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

On considère $L$ une liste de nombres constituée de termes consécutifs d’une suite arithmétique de premier terme $7$ et de raison $3$, le dernier nombre de la liste est $2023$ soit : $L=[7,10,\ldots,2023]$.

Question 1 : Le nombre de termes de cette liste est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
2023&673&672&2016\\
\hline
\end{array}$$

Question 2 : On choisit au hasard un nombre dans cette liste.
La probabilité de tirer un nombre pair est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\dfrac{1}{2}&\dfrac{34}{673}&\dfrac{336}{673}&\dfrac{337}{673}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

On rappelle qu’on choisit au hasard un nombre dans cette liste.
On s’intéresse aux événements suivants :

Événements $A$ : « obtenir un multiple de $4$ »
Événement $B$ : « obtenir un nombre dont le chiffre des unités est $6$ »

Pour répondre aux questions suivantes on pourra utiliser l’arbre pondéré ci-dessous et on donne $P(A\cap B)=\dfrac{34}{673}$.

Question 3 : La probabilité d’obtenir un multiple de $4$ ayant $6$ comme chiffre des unités est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\dfrac{168}{673}\times \dfrac{34}{673}&\dfrac{34}{673}&\dfrac{17}{84}&\dfrac{168}{34}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Question 4 : $P_B(A)$ est égale à :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\dfrac{36}{168}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{33}{168}&\dfrac{34}{67}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Question 5 : On choisit , au hasard, successivement, $10$ éléments de cette liste. Un élément peut être choisi plusieurs fois. La probabilité qu’aucun de ces $10$ nombres ne soit un multiple de $4$ est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}&1-\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}&\left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}&1-\left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 1 – 23 mars 2023

Asie – 23 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

a. $u_1=0,9\times 400+60=420$ et $u_2=0,9\times 420+60=438$.
$\quad$
b. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit strictement croissante.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 600$.
Initialisation : $u_0=400$ et $u_1=420$ donc $0\pp u_0\pp u_1\pp 600$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} 0\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 600&\ssi 0\pp 0,9u_n \pp 0,9u_{n+1} \pp 540 \\
&\ssi 60 \pp 0,9u_n+60\pp 0,9u_{n+1}+60 \pp 600 \\
&\ssi 60\pp u_{n+1}\pp u_{n+2}\pp 600\end{align*}$
Par conséquent $0\pp u_{n+1}\pp u_{n+2} \pp 600$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 600$.
$\quad$
a. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $600$; elle converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
b. La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=0,9x+60$ est continue sur $\R$ en tant que fonction affine.
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
$\ell$ est donc solution de l’équation $f(x)=x$.
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi x=0,9x+60 \\
&\ssi 0,1x=60 \\
&\ssi x=600\end{align*}$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=600$.
$\quad$
La fonction $\texttt{mystere}$ renvoie le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n$ est supérieur à la valeur saisie en paramètre.
$\texttt{mystere(500)}$ renvoie donc $7$ car $u_6\approx 493,7<500$ et $u_7\approx 504,3>500$.
$\quad$

Partie B

Si on appelle, pour l’année $2023+n$, $u_n$ le nombre d’arbres plantés dans le verger on a alors, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=(1-0,1)u_n+60$ soit $u_{n+1}=0,9u_n+60$.
On retrouve ainsi la suite définie dans la partie précédente.
On a vu que cette suite est croissante et converge vers $600$.
D’après la question 4., en 2030, l’arboriculteur aura plus de $500$ arbres et sera confronté à un problème de place dans son verger.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

$\vect{MN}\begin{pmatrix} -1\\-\dfrac{1}{2}\\[2mm]\dfrac{1}{4}\end{pmatrix}$ et $\vect{MP}\begin{pmatrix}0\\-1\\-2\end{pmatrix}$
$\quad$
On obtient la figure suivante :
$\quad$

$\quad$
Les vecteurs $\vect{MN}$ et $\vect{MP}$ n’ont pas la même composante nulle. Ils ne sont donc pas colinéaires et les points $M$, $N$ et $P$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. $\vect{MP}.\vect{MN}=0+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$. Les deux vecteurs sont orthogonaux.
Par conséquent, le triangle $MNP$ est rectangle en $M$.
$\quad$
b.
$\begin{align*} MN&=\sqrt{(-1)^2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{4}\right)^2} \\
&=\sqrt{1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}} \\
&=\sqrt{\dfrac{21}{16}} \\
&=\dfrac{\sqrt{21}}{4}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} MP&=\sqrt{(0+(-1)^2+(-2)^2}\\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
Ainsi l’aire du triangle $MNP$ rectangle en $M$ est :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{MN\times MP}{2} \\
&=\dfrac{\dfrac{\sqrt{21}}{4}\times \sqrt{5}}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{105}}{8}\end{align*}$
$\quad$
a. $\vec{n}.\vect{MN}=-5+4+1=0$ et $\vect{MP}.\vec{n}=0+8-8=0$.
Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(MNP)$.
Par conséquent $\vec{n}$ est normal au plan $(MNP)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est donc de la forme $5x-8y+4z+d=0$.
Le point $N\left(0;\dfrac{1}{2};1\right)$ appartient à ce plan.
Ainsi $0-4+4+d=0 \ssi d=0$.
Une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est donc $5x-8y+4z=0$.
$\quad$
Une représentation paramétrique de la droite $d$ est $$\begin{cases} x=1+5t\\y=-8t\\z=1+4t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
$\quad$
On résout le système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=1+5t\\y=-8t\\z=1+4t\\5x-8y+4z=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1+5t\\y=-8t\\z=1+4t\\5+25t+64t+4+16t=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=1+5t\\y=-8t\\z=1+4t\\9+105t=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} t=-\dfrac{9}{105}\\[2mm]x=1+5t\\y=-8t\\z=1+4t\end{cases}
&\ssi \begin{cases} t=-\dfrac{3}{35}\\[2mm]x=\dfrac{4}{7}\\[2mm]y=\dfrac{24}{35}\\[2mm]z=\dfrac{23}{35}\end{cases}\end{align*}$
Donc $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{7};\dfrac{24}{35};\dfrac{23}{35}\right)$.
$\quad$
On a $\vect{FL}\begin{pmatrix} -\dfrac{3}{7}\\[2mm]\dfrac{24}{35}\\[2mm]-\dfrac{12}{35}\end{pmatrix}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} FL&=\sqrt{\left(-\dfrac{3}{7}\right)^2+\left(\dfrac{24}{35}\right)^2+\left(-\dfrac{12}{35}\right)^2 } \\
&=\sqrt{\dfrac{9}{49}+\dfrac{576}{1~225}+\dfrac{144}{1~225}}\\
&=\sqrt{\dfrac{27}{35}}\\
&=\dfrac{3\sqrt{105}}{35}\end{align*}$
$\quad$
Par conséquent :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times FL\\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{105}}{8}\times \dfrac{3\sqrt{105}}{35} \\
&=\dfrac{3}{8}\end{align*}$

Ex 3

Exercice 3

Graphiquement, l’équation $\ln(x)=x$ ne semble pas admettre de solution et l’équation $f(x)=0,2x$ semble admettre deux solutions.
$\quad$
a. Pour tout $x>0$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{x}-1 \\
&=\dfrac{1-x}{x}\end{align*}$
$\quad$
b. $1-x=0\ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi -x>-1 \ssi x<1$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
$\quad$
c. La fonction $f$ admet donc en $1$ un maximum qui vaut $-1$.
Par conséquent, pour tout réel $x>0$, on a $f(x)\pp -1<0$.
Ainsi, pour tout réel $x>0$, on a $\ln(x)<x$.
L’équation $\ln(x)=x$ n’admet, par conséquent, aucune solution.
$\quad$
a.
$\bullet$ Si $g\left(\dfrac{1}{k}\right)<0$ alors, pour tout réel $x>0$ on a $g(x)<0$ et l’équation $g(x)=0$ n’admet aucune solution.
$\quad$
$\bullet$ Si $g\left(\dfrac{1}{k}\right)=0$. La fonction est strictement croissante sur $\left]0;\dfrac{1}{k}\right[$ et strictement décroissante sur $\left]\dfrac{1}{k};+\infty\right[$.
Par conséquent, pour tout réel $x$ strictement positif différent de $\dfrac{1}{k}$, on a $g(x)<g\left(\dfrac{1}{k}\right)$ soit $g(x)<0$.
L’équation $g(x)=0$ admet alors une unique solution $\dfrac{1}{k}$.
$\quad$
$\bullet$ Si $g\left(\dfrac{1}{k}\right)>0$. La fonction $g$ est continue (en tant que somme de fonctions continues) et strictement croissante sur $\left]0;\dfrac{1}{k}\right]$.
$\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$ et $g\left(\dfrac{1}{k}\right)>0$.
D’après le théorème de la bijection, l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $\left]0;\dfrac{1}{k}\right]$.
La fonction $g$ est continue (en tant que somme de fonctions continues) et strictement décroissante sur $\left[\dfrac{1}{k};+\infty\right[$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$ et $g\left(\dfrac{1}{k}\right)>0$.
D’après le théorème de la bijection, l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $\left[\dfrac{1}{k};+\infty\right[$.
Finalement, l’équation $g(x)=0$ admet deux solutions.
$\quad$
b.
$\begin{align*} g\left(\dfrac{1}{k}\right)&=\ln\left(\dfrac{1}{k}\right)-k\times \dfrac{1}{k} \\
&=-\ln(k)-1\end{align*}$
$\quad$
c.
$\begin{align*} g\left(\dfrac{1}{k}\right)>0 &\ssi-\ln(k)-1>0 \\
&\ssi -\ln(k)>1 \\
&\ssi \ln(k)<-1\end{align*}$
$\quad$
d. $\ln(k)<-1 \ssi k<\e^{-1}$.
D’après les questions 3.a. et 3.c. l’équation $\ln(x)=kx$ admet exactement deux solutions si $k\in \left]0; \e^{-1}\right[$.
$\quad$
e. $g\left(\dfrac{1}{k}\right)=0 \ssi -\ln(k)-1=0 \ssi \ln(k)=-1\ssi k=\e^{-1}$.
D’après les question 3.a. et 3.c :
– $\ln(x)=kx$ n’admet aucune solution si $k>\e^{-1}$
– $\ln(x)=kx$ admet une unique solution si $k=e^{-1}$
– $\ln(x)=kx$ admet exactement deux solutions si $k\in \left]0;\e^{-1}\right[$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Il y a $4$ billes bleues et $5$ billes vertes numérotées d’un nombre pair.
Ainsi la probabilité cherchée est $\dfrac{5+4}{15}=\dfrac{9}{15}$
Réponse B
$\quad$
Il y a $10$ billes vertes et, parmi elles, une seule porte le numéro $7$.
La probabilité cherchée est $\dfrac{1}{10}$.
Réponse C
$\quad$
L’événement $[G=5]$ ne se produit que si le joueur tire la bille bleue numérotée $5$ ou si le joueur tire la bille verte numérotée $15$. En effet, son gain algébrique est alors $3\times 5-10=5$ ou $10-15=5$.
$P(G=5)=\dfrac{2}{15}$.
Réponse B
$\quad$
Si le joueur tire une bille rouge alors il ne remporte rien. Son gain algébrique est alors égal à $-10$.
Donc $P_R(G=0)=0$.
Réponse A
$\quad$
Si $G=-4$ cela signifie que le joueur a soit tiré la bille verte numérotée $6$ soit tiré la bille bleue numérotée $2$.
Ainsi $P_{(G=-4)}(V)=\dfrac{1}{2}$
Réponse C
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

Partie A

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définie par $u_0=400$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=0,9u_n+60$.

a. Calculer $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
b. Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$.
$\quad$
Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a l’inégalité $0\pp u_n\pp u_{n+1}\pp 600$.
$\quad$
a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est convergente.
$\quad$
b. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$. Justifier.
$\quad$
On donne une fonction écrite en langage Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\textbf{def } \text{mystere(seuil):}\\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{u = 400}\\
\quad \textbf{while } \text{u <= seuil :}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\qquad \text{u = 0.9 * u + 60}\\
\quad \textbf{return }\text{n}\\
\hline
\end{array}$$
Quelle valeur obtient-on en tapant dans la console de Python : $\text{mystere(500)}$ ?
$\quad$

Partie B

Un arboriculteur possède un verger dans lequel il a la place de cultiver au maximum $500$ arbres. Chaque année il vend $10\%$ des arbres de son verger et puis il replante $60$ nouveaux arbres. Le verger compte $400$ arbres en 2023.

L’arboriculteur pense qu’il pourra continuer à vendre et à planter les arbres au même rythme pendant les années à venir.

Va-t-il être confronté à un problème de place dans son verger? Expliquer votre réponse.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère le cube $ABCDEFGH$ qui est représenté en ANNEXE.

Dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$, on considère les points $M$, $N$ et $P$ de coordonnées : $$M\left(1;1;\dfrac{3}{4}\right)~,~N\left(0;\dfrac{1}{2};1\right)~,~P\left(1;0;-\dfrac{5}{4}\right)$$

Dans cet exercice, on se propose de calculer le volume du tétraèdre $FMNP$.

Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{MN}$ et $\vect{MP}$.
$\quad$
Placer les points $M$, $N$ et $P$ sur la figure donnée en ANNEXE qui sera à rendre avec la copie.
$\quad$
Justifier que les points $M$, $N$ et $P$ ne sont pas alignés.
Dès lors les trois points définissent le plan $(MNP)$.
$\quad$
a. Calculer le produit scalaire $\vect{MN}.\vect{MP}$, puis en déduire la nature du triangle $MNP$.
$\quad$
b. Calculer l’aire du triangle $MNP$.
$\quad$
a. Montrer que le vecteur $\vec{n}(5;-8;4)$ est un vecteur normal au plan $(MNP)$.
$\quad$
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est $5x-8y+4z=0$.
$\quad$
On rappelle que le point $F$ a pour coordonnées $F(1;0;1)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ orthogonale au plan $(MNP)$ et passant par le point $F$.
$\quad$
On note $L$ le projeté orthogonal du point $F$ sur le plan $(MNP)$.
Montrer que les coordonnées du point $L$ sont $L\left(\dfrac{4}{7};\dfrac{24}{35};\dfrac{23}{35}\right)$.
$\quad$
Montrer que $FL=\dfrac{3\sqrt{105}}{35}$ puis calculer le volume du tétraèdre $FMNP$.
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V=\dfrac{1}{3}\times \text{aire d’une base} \times \text{hauteur associée à cette base}$$
$\quad$

ANNEXE

$\quad$

Exercice 3 5 points

Soit $k$ un réel strictement positif. Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de solutions de l’équation $\ln(x)=kx$ de paramètre $k$.

Conjectures graphiques :
On a représenté, ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe d’équation $y=\ln(x)$, la droite d’équation $y=x$ ainsi que la droite d’équation $y=0,2x$ :
$\quad$

$\quad$
À partie du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l’équation $\ln(x)=kx$ pour $k=1$ puis pour $k=0,2$.
$\quad$
Étude du cas $\boldsymbol{k=1}$ :
On considère la fonction $f$, définie et dérivable sur $]0;+\infty[$, par $f(x)=\ln(x)-x$.
On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
a. Calculer $f'(x)$.
$\quad$
b. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ en y faisant figurer la valeur exacte des extrema s’il y en a. Les limites aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
$\quad$
c. En déduire le nombre de solutions de l’équation $\ln(x)=x$.
$\quad$
Étude du cas général :
$k$ est un nombre réel strictement positif. On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=\ln(x)-kx$.
On admet que le tableau des variations de la fonction $g$ est le suivant :
$\quad$

$\quad$
a. Donner, en fonction du signe de $g\left(\dfrac{1}{k}\right)$, le nombre de solutions de l’équation $g(x)=0$.
$\quad$
b. Calculer $g\left(\dfrac{1}{k}\right)$ en fonction du réel $k$.
$\quad$
c. Montrer que $g\left(\dfrac{1}{k}\right)>0$ équivaut à $\ln(k)<-1$.
$\quad$
d. Déterminer l’ensemble des valeurs de $k$ pour lesquelles l’équation $\ln(x)=kx$ possède exactement deux solutions.
$\quad$
e. Donner, selon les valeurs de $k$, le nombre de solutions de l’équation $\ln(x)=kx$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Pour chacune des cinq questions de cet exercice, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte, ni n’enlève de point.

Une urne contient $15$ billes indiscernables au toucher, numérotées de $1$ à $15$.
La bille numérotée $1$ est rouge.
Les billes numérotées $2$ à $5$ sont bleues.
Les autres billes sont vertes.

On choisit une bille au hasard dans l’urne.
On note $R$ (respectivement $B$ et $V$) l’événement : « La bille tirée est rouge » (respectivement bleue et verte).

Question 1 :

Quelle est la probabilité que la bille tirée soir bleue ou numérotée d’un nombre pair ?

Réponse A : $\dfrac{7}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse B : $\dfrac{9}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse C : $\dfrac{11}{10}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse D : Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

$\quad$

Question 2 :

Sachant que la bille tirée est verte, quelle est la probabilité qu’elle soit numérotée $7$ ?

Réponse A : $\dfrac{1}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse B : $\dfrac{7}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse C : $\dfrac{1}{10}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse D : Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

$\quad$

Un jeu est mis en place. Pour pouvoir joueur, le joueur paie la somme de $10$ euros appelée la mise.
Ce jeu consiste à tirer une bille au hasard dans l’urne.

Si la bille tirée est bleue, le joueur remporte, en euro, trois fois le numéro de la bille.
Si la bille tirée est verte, le joueur remporte, en euro, le numéro de la bille.
Si la bille tirée est rouge, le joueur ne remporte rien.

On note $G$ la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du joueur, c’est-à-dire la différence entre ce qu’il remporte et sa mise de départ.
Par exemple, si le joueur tire la bille bleue numérotée $3$, alors son gain algébrique est $-1$ euro.

Question 3 :

Que vaut $P(G=5)$ ?

Réponse A : $\dfrac{1}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse B : $\dfrac{2}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse C : $\dfrac{1}{3}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse D : Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

$\quad$

Question 4 :

Quelle est la valeur de $P_R(G=0)$ ?

Réponse A : $0\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse B : $\dfrac{1}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse C : $1\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse D : Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

$\quad$

Question 5 :

Que vaut $P_{[G=-4)}(V)$ ?

Réponse A : $\dfrac{1}{15} \phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse B : $\dfrac{4}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse C : $\dfrac{1}{2}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse D : Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

$\quad$