E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un QCM et comprend cinq questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d’abscisse $0$ est :

a. $y=x+1$
b. $y=\e x$
c. $y=\e^x$
d. $y=x-1$

$\quad$

Correction Question 1

On appelle $f$ la fonction exponentielle.
Une équation de la tangente est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
Or $f'(0)=\e^0=1$ et $f(0)=\e^0=1$.
Ainsi une équation de la tangente est $y=x+1$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

La fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=\e^{-2x+6}$ admet pour dérivée la fonction $f’$ définie sur $\R$ par :

a. $f'(x)=\e^{-2x+6}$
b. $f'(x)=-2\e^{-2x+6}$
c. $f'(x)=-2x\e^{-2x+6}$
d. $f'(x)=(-2x+6)\e^{-2x+6}$

$\quad$

Correction Question 2

$f(x)$ est de la forme $f(x)=\e^{ax+b}$.
Elle est donc dérivable sur $\R$ et $f'(x)$ est de la forme $a\e^{ax+b}$.
Ainsi, pour tout réel $x$ on a $f'(x)-2\e^{-2x+6}$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans le repère orthonormé $\Oij$, le vecteur $\vect{AB}$ représenté ci-dessous est égal à :

a. $-2\vec{i}+6\vec{j}$
b. $-6\vec{i}+2\vec{j}$
c. $2\vec{i}-6\vec{j}$
d. $6\vec{i}-2\vec{j}$

$\quad$

Correction Question 3

On lit, graphiquement, que $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-2\end{pmatrix}$
Par conséquent $\vect{AB}=6\vec{i}-2\vec{j}$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\sin x-\cos x$. Parmi les quatre propositions suivantes, une seule est correcte. Laquelle ?

a. $f$ est une fonction paire.
b. $f$ est une fonction impaire.
c. $f$ n’est ni paire, ni impaire.
d. $f(0)=0$

$\quad$

Correction Question 4

On a $f(0)=-1$

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(-x)&=\sin(-x)-\cos(-x)\\
&=-\sin(x)-\cos(x)\end{align*}$
Par conséquent $f(-x)\neq f(x)$ et $f(-x)\neq -f(-x)$.
La fonction $f$ n’est ni paire, ni impaire.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Dans le plan muni d’un repère, on considère la droite $(d)$ d’équation : $5x-2y+8=0$.
La droite $(d)$ a pour coefficient directeur :

a. $\vec{u}(2;5)$
b. $\dfrac{5}{2}$
c. $\dfrac{2}{5}$
d. $-2$

$\quad$

Correction Question 5

Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}(2;5)$.
Le coefficient directeur de cette droite est donc $\dfrac{5}{2}$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de coordonnées respectives $(-1;0)$ et $(-3;4)$ dans un repère orthonormé du plan. Alors $\norme{\vec{u}-\vec{v}}$ est égale à :

a. $4\sqrt{2}$
b. $\sqrt{32}$
c. $20$
d. $2\sqrt{5}$

$\quad$

Correction Question 1

$\vec{u}-\vec{v}$ a pour coordonnées $(2;-4)$.
Ainsi :
$\begin{align*} \norme{\vec{u}-\vec{v}}&=\sqrt{(-2)^2+4^2} \\
&=\sqrt{20}\\
&=2\sqrt{5}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

Remarque : $\sqrt{32}=\sqrt{16\times 2} =4\sqrt{2}$

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Le tableau de signes de la fonction polynôme définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+2x+5$ est :

$\quad$

Correction Question 2

Le discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times 1\times 5\\
&=-16\\
&<0\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=1>0$.
Par conséquent $f(x)>0$ sur $\R$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Sur l’intervalle $]-\pi;\pi]$, l’équation $\sin(x)=\dfrac{1}{2}$ a pour solution(s)

a. $\dfrac{\pi}{6}$
b. $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$
c. $-\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{6}$
d. $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$

$\quad$

Correction Question 3

$\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ .
De plus $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$ appartiennent bien à l’intervalle $]-\pi;\pi]$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 4

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=15$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=0,8u_n+1$$
On a écrit la fonction $\text{suite()}$ ci-dessous en langage Python.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite():}\\
\hspace{1cm}\text{n=0}\\
\hspace{1cm}\text{u=15}\\
\hspace{1cm}\text{while u>6:}\\
\hspace{2cm}\text{n=n+1}\\
\hspace{2cm}\text{u=0.8*u+1}\\
\hspace{1cm}\text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
L’appel de cette fonction renvoie :

a. Le plus petit entier $n$ tel que $u_n >6$
b. Le plus petit entier $n$ tel que $u_n\pp 6$
c. Le premier terme de la suite tel que $u_n>6$
d. Le premier terme de la suite tel que $u_n\pp 6$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction renvoie la variable $\text{n}$ qui correspond au rang d’un terme de la suite. On exclut donc les réponses c. et d.
La condition d’arrêt de la boucle $\text{while}$ est $\text{u<=6}$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Pour tout réel $x$, $\e^{3x-5}\times \e^{4-3x}$ est égal à :

a. $\dfrac{1}{\e}$
b. $\e^{(3x-5)\times (4-3x)}$
c. $\e$
d. $\e^{-9x^2+27x-20}$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \e^{3x-5}\times \e^{4-3x}&=\e^{3x-5+4-3x}\\
&=\e^{-1}\\
&=\dfrac{1}{\e}
\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

Remarque : $\e^{(3x-5)\times (4-3x)} = \e^{12x-9x^2-20+15x}=\e^{-9x^2+27x-20}$

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n’est attendue.

Une réponse juste rapporte un point, une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlèvent pas de point.

Question 1

Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation : $2x-3y+1=0$.
Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est :

a. $\vec{u}(2;-3)$
b. $\vec{v}(3;2)$
c. $\vec{w}(-3;1)$
a. $\vec{r}\left(1;\dfrac{3}{2}\right)$

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur directeur d’une droite dont une équation est $ax+by+c=0$ a pour coordonnées $(-b;a)$.
Donc, ici, un vecteur directeur est $\vec{v}(3;2)$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation : $2x-3y+1=0$.
Un vecteur normal à la droite $(d)$ est :

a. $\vec{u}(2;-3)$
b. $\vec{v}(3;2)$
c. $\vec{w}(-3;1)$
a. $\vec{r}\left(1;\dfrac{3}{2}\right)$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur normal à une droite dont une équation est $ax+by+c=0$ a pour coordonnées $(a;b)$.

Donc, ici, un vecteur normal est $\vec{u}(2;-3)$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On donne trois points distincts : $A$, $B$ et $C$.
Les points $D$ et $E$ sont tels que $\vect{EB}=\vect{BA}$ et $\vect{ED}=2\times \vect{BC}$. On a :

a. $A$ est le milieu de $[EB]$
b. $B$ est le milieu de $[ED]$
c. $C$ est le milieu de $[AD]$
d. $D$ est le milieu de $[AC]$

$\quad$

Correction Question 3

Il est préférable de faire un schéma pour se rendre compte de ce qu’il faut prouver.
$\begin{align*} \vect{AD}&=\vect{AB}+\vect{BE}+\vect{ED} \\
&=\vect{AB}+\vect{AB}+2\vect{BC} \\
&=2\left(\vect{AB}+\vect{BC}\right) \\
&=2\vect{AC}\end{align*}$
Par conséquent $C$ est le milieu de $[AD]$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Soit $x$ un nombre réel. Dans un repère orthonormé, les vecteurs $\vec{u}(-x+4;7)$ et $\vec{v} (9; 2x- 5)$ sont orthogonaux lorsque $x$ est égal à :

a. $\dfrac{1}{5}$
b. $10$
c. $-\dfrac{1}{5}$
d. $6$

$\quad$

Correction Question 4

$\phantom{\ssi} \vec{u}(-x+4;7)$ et $\vec{v} (9; 2x- 5)$ sont orthogonaux
$\ssi \vec{u}.\vec{v}=0$
$\ssi 9(-x+4)+7(2x-5)=0$
$\ssi -9x+36+14x-35=0$
$\ssi 5x=-1$
$\ssi x=-\dfrac{1}{5}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-1; -2)$, $B(2; 0)$, $C(3; -1)$ et $D(-3; 4)$. Alors $\vect{AC}.\vect{BD}$ est égal à :

a. $-16$
b. $11$
c. $21$
d. $-24$

$\quad$

Correction Question 5

On a $\vect{AC}(4;1)$ et $\vect{BD}(-5;4)$
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AC}.\vect{BD}&= 4\times (-5)+1\times 4 \\
&=-16\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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