E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une chaîne de montage est constituée d’un tapis roulant et d’un plateau mobile verticalement sur lequel est placée une masse $m$.
On modélise la hauteur du plateau (en centimètres), à l’instant $t$ (en secondes) par la fonction $f$ définie sur $[0; 25]$ par : $f(t)=165-0,15t^2$.

Calculer la hauteur du plateau au départ, c’est-à-dire à l’instant $t=0$ seconde.
$\quad$
a. Quelle est la nature de la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé?
$\quad$
b. Déterminer la hauteur maximale du plateau et le temps auquel cette hauteur maximale est atteinte.
$\quad$
La hauteur du tapis roulant est $95$ cm. Déterminer à quel temps $t$, à $0,1$ seconde près, le plateau est à hauteur du tapis.
$\quad$
Sur le graphique donné en annexe on a placé les points $A$ et $B$ de la courbe représentative de la fonction $f$ d’abscisses respectives $25$ et $20$.
Déterminer la pente de la droite $(AB)$.
$\quad$

Annexe

$\quad$

Correction Exercice

On a $f(0)=165$.
Le plateau est situé à $165$ cm de haut au départ.
$\quad$
a. $f$ est une fonction du second degré. Elle est donc représentée par une parabole.
$\quad$
b. Le coefficient principal de la fonction $f$ est $a=-0,15<0$.
Ainsi $f$ admet un maximum en $t_0=-\dfrac{b}{2a}=0$.
La hauteur maximale du plateau est donc de $165$ cm. Elle est atteinte à l’instant $t=0$ seconde.
$\quad$
On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*} f(t)=95&\ssi 165-0,15t^2=95 \\
&\ssi -0,15t^2=-70 \\
&\ssi t^2=\dfrac{70}{0,15}\end{align*}$
Puisque $t\in [0;25]$ alors la solution de l’équation est $\sqrt{\dfrac{70}{0,15}} \approx 21,6$.
Le plateau est à la hauteur du tapis environ à l’instant $t=21,6$ seconde.
$\quad$
Graphiquement le point A a pour coordonnées $(25;71)$ et $B$ a pour coordonnées $(20;105)$.
Ainsi la pente de la droite $(AB)$ est $\dfrac{105-71}{20-25}=-6,8$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un architecte a conçu un bassin aquatique comportant trois marches.
Le contour du bassin, représenté ci-contre dans une « vue du dessus », est constitué d’un demi-cercle de diamètre $[TO]$, de deux segments $[OV]$ et $[VW]$ et d’une courbe $\mathcal{C}$, reliant $T$ à $W$.
Les parties grisées figurent l’emplacement des trois marches.

La situation est représentée en annexe dans le repère orthonormal $(O,I ,J)$, dans lequel :

$V$, $W$ et $T$ sont les points de coordonnées respectives $(6,0)$, $(6,4)$ et $(0,8)$
$\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[0 ; 6]$ par $$f(x)=\dfrac{1}{27}x^3-\dfrac{1}{3}x^2+8$$

On note $f’$ la dérivée de $f$. Montrer que pour tout réel $x$ de $[0;6]$, $f'(x) =\dfrac{1}{9}x(x-6)$.
$\quad$
En déduire les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 6]$.
$\quad$
Déterminer les coefficients directeurs des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d’abscisse $0$ et $6$. Que pouvez-vous en déduire graphiquement ?
$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $3$.
$\quad$
Tracer dans le repère orthonormal $(O,I ,J)$, fourni en annexe (à remettre avec la copie) les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ respectivement au point $T$, au point $W$ et au point d’abscisse $3$ puis tracer l’allure de la courbe $\mathcal{C}$.
$\quad$

Annexe

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout réel $x\in[0;6]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{27}\times 3x^2-\dfrac{1}{3}\times 2x \\
&=\dfrac{1}{9}x^2-\dfrac{2}{3}x\\
&=\dfrac{1}{9}x(x-6)\end{align*}$
$\quad$
Pour tout $x\in[0;6]$ on a donc $x\pg 0$ et $x-6\pp 0$. Ainsi $f'(x)\pp 0$.
La fonction $f$ est donc décroissante sur l’intervalle $[0;6]$.
$\quad$
$f'(0)=0$ et $f'(6)=0$.
Ainsi les coefficients directeurs des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d’abscisse $0$ et $6$ sont tous les deux nuls.
Ces tangentes sont par conséquent parallèles à l’axe des abscisses.
$\quad$
On a $f'(3)=-1$ et $f(3)=6$.
Ainsi une équation de $\mathscr{D}$ est $y=-1(x-3)+6$ soit $y=-x+9$.
$\quad$
On obtient le graphique suivant :$\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Une baisse de $10\%$ suivie d’une baisse de $20\%$ correspond à une baisse globale de $\ldots$
$\quad$

Correction Question 2

Le coefficient multiplicateur associé à cette évolution est :
$\begin{align*} m&=\left(1-\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)\\
&=0,9\times 0,8\\
&=0,72\\
&=1-0,28\end{align*}$
Il s’agit donc d’une baisse globale de $28\%$.
$\quad$

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$\quad$
La forme décimale de $\frac{7}{4}\times 10^{-3}$ est
$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} \dfrac{7}{4}\times 10^{-3}&=1,75\times 10^{-3} \\
&=0,001~75\\
\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$
La fraction irréductible égale à $1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2$ est :
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} 1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2&=1-\dfrac{4}{9} \\
&=\dfrac{5}{9}\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Une série statistique est résumée à l’aide du diagramme en boîtes ci-dessous, utilisez-le pour répondre aux questions 4 et 5.

L’écart interquartile de cette série vaut
$\quad$

Correction Question 4

D’après le graphique, l’écart interquartile vaut $55-30=25$.
$\quad$

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$\quad$
Le pourcentage des valeurs de cette série comprises entre $30$ et $60$ est de :
$\quad$

Correction Question 5

D’après le graphique, le premier quartile est $Q_1=30$ et le maximum vaut $60$.
Ainsi $75\%$ des valeurs de cette série sont comprises entre $30$ et $60$.
$\quad$

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$\quad$

$\quad$
Résoudre l’équation $3x-10=x+2$.
$\quad$

Correction Question 6

$\begin{align*} 3x-10=x+2 &\ssi 3x-x=2+10\\
&\ssi 2x=12\\
&\ssi x=6\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$
Développer l’expression $(3x-2)^2$.
$\quad$

Correction Question 7

$\begin{align*} (3x-2)^2&=(3x)^2-2\times 3x\times 2+2^2 \\
&=9x^2-12x+4\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$
Factoriser l’expression $x^3+5x$.
$\quad$

Correction Question 8

$x^3+5x=x\left(x^2+5\right)$
$\quad$

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$\quad$
Tracer la droite d’équation $y=-2x+3$ dans le repère ci-dessous

$\quad$

Correction Question 9

Si $x=0$ alors $y=-2\times 0+3=3$. Le point $A$ de coordonnées $(0;3)$ appartient donc à la droite $\Delta$.
Si $x=2,5$ alors $y=-2\times 2,5+3=-2$. Le point $B$ de coordonnées $(2,5;-2)$ appartient à la droite $\Delta$.
$\quad$

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$\quad$
Dans un repère, on donne $A (5 ; 8)$ et $B (1 ; 0)$, le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
$\quad$

Correction Question 10

$A$ et $B$ ont des abscisses différentes.
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc :
$\begin{align*} m&=\dfrac{8-0}{5-1} \\
&=\dfrac{8}{4}\\
&=2\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Exprimer en kilogrammes $\dfrac{5}{6}$ de $360$ kg.
$\quad$

Correction Question 1

$\dfrac{5}{6}\times 360=5\times 60=300$
$\quad$

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$\quad$
Développer $(2x+3)^2$.
$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} (2x+3)^2&=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2\\
&=4x^2+12x+9\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$
Remarque : Dans l’énoncé original il n’y avait pas le $^2$.
$\quad$
Donner un antécédent de $0$ par $f:x\mapsto (x+3)(x-1)$.
$\quad$

Correction Question 3

On veut donc résoudre l’équation $(x+3)(x-1)=0$.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
Ainsi $(x+3)(x-1)=0 \ssi x+3=0$ ou $x-1=0$.
$\ssi x=-3$ ou $x=1$
Les antécédents de $0$ par la fonction $f$ sont donc $-3$ et $1$.
$\quad$

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$\quad$
Résoudre l’inéquation : $3-2x\pg 0$
$\quad$

Correction Exercice 4

$3-2x\pg 0\ssi -2x\pg -3 \ssi x\pp \dfrac{3}{2}$
L’ensemble solution est donc $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]$.
$\quad$

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$\quad$
Soit $f(x)=ax^2$ où $a$ est un nombre réel.
Donner la valeur de $a$ sachant que $f(-2)=10$.
$\quad$

Correction Question 5

$f(-2)=4a$
Ainsi $f(-2)=10 \ssi 4a=10 \ssi a=\dfrac{5}{2}$.
$\quad$

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$\quad$

$\quad$
Dans une classe de première, $42 \%$ des élèves sont des garçons et parmi eux, $4 \%$ sont internes.
Donner le pourcentage de garçons internes.
$\quad$

Correction Question 6

$\dfrac{42}{100}\times \dfrac{4}{100}=\dfrac{168}{10~000}=1,68\%$
Le pourcentage de garçons internes est donc égale à $1,68\%$.
$\quad$

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$\quad$

La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-6 ; 9]$. Cette fonction est celle qui est considérée dans les questions 7 à 10.
La droite passant par les points $A(0 ; -2)$ et $B(5 ; 0)$ est la représentation graphique d’une fonction affine $g$ définie sur $\R$.
Remarque : l’ordonnée du point $B$ a été modifiée pour correspondre à ce qui est donné sur le graphique.

$f(-5)$ est égal à :
$\quad$

Correction Question 7

D’après le graphique $f(-5)=1$.
$\quad$

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$\quad$
Le nombre de solutions de l’équation $f(x)=-2$ est :
$\quad$

Correction Question 8

La droite d’équation $y=-2$ coupe la courbe représentant la fonction $f$ en trois points.
L’équation $f(x)=-2$ possède donc $3$ solutions.
$\quad$

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$\quad$
L’intervalle des valeurs de $f(x)$ est :
$\quad$

Correction Question 9

D’après le graphique, $f(x)\in[-6;1]$.
$\quad$

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$\quad$
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
$\quad$

Correction Question 10

$A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc :
$\begin{align*} m&=\dfrac{0-(-2)}{5-0} \\
&=\dfrac{2}{5}\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

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