E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

On appelle orthocentre d’un triangle le point de concours de ses trois hauteurs.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les points $A(-4; 10)$, $B(8; 16)$ , $C(8; -2)$, $H(2 ;10)$ et $K(5 ;7)$. (Voir figure ci-dessous)

  1. Montrer que $\vect{AB}.\vect{HC}=0$ et $\vect{AC}.\vect{HB}=0$
    $\quad$
  2. Que représente le point $H$ pour le triangle $ABC$ ?
    $\quad$
  3. Montrer que $K$ est le centre du cercle passant par les sommets du triangle $ABC$.
    $\quad$
  4. On admet que $G$, le centre de gravité du triangle $ABC$, est le point qui vérifie $\vect{AG}=\dfrac{2}{3}\vect{AM}$ où $M$ est le milieu du segment $[BC]$. Déterminer les coordonnées de $G$.
    $\quad$
  5. Montrer que les points $G$, $H$ et $K$ sont alignés.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}12\\6\end{pmatrix}$ et $\vect{HC}\begin{pmatrix}6\\-12\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{HC}&=12\times 6+6\times (-12)\\
    &=0\end{align*}$
    $\quad$
    On a $\vect{AC}\begin{pmatrix}12\\-12\end{pmatrix}$ et $\vect{HB}\begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} \vect{AC}.\vect{HB}&=12\times 6+(-12)\times 6\\
    &=0\end{align*}$
    $\quad$
  2. Ainsi $(AB)$ est perpendiculaires à $(HC)$ et $(AC)$ est perpendiculaire à $(HB)$.
    Les droites $(HC)$ et $(HB)$ sont donc respectivement les hauteurs du triangles $(ABC)$ issues des sommets $C$ et $B$.
    Par conséquent $H$ est l’orthocentre du triangle $ABC$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} KA&=\sqrt{(-4-5)^2+(10-7)^2}\\
    &=\sqrt{(-9)^2+3^2}\\
    &=\sqrt{90}\end{align*}$
    $\begin{align*} KB&=\sqrt{8-5)^2+(16-7)^2} \\
    &=\sqrt{3^2+9^2}\\
    &=\sqrt{90}\end{align*}$
    $\begin{align*} KC&=\sqrt{(8-5)^2+(-2-7)^2}\\
    &=\sqrt{3^2+(-9)^2}\\
    &=\sqrt{90}\end{align*}$
    Le point $K$ est donc équidistant des sommets du triangle $ABC$. C’est par conséquent le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
    $\quad$
  4. Les coordonnées du point $M$ sont :
    $\begin{cases}x_M=\dfrac{8+8}{2}\\y_M=\dfrac{16+(-2)}{2}\end{cases}\ssi \begin{cases}x_M=8\\y_M=7\end{cases}$.
    Ainsi $M(8;7)$.
    On a donc $\vect{AM}\begin{pmatrix}12\\-3\end{pmatrix}$
    On a, en notant $G\left(x_G;y_G\right)$ :
    $\begin{align*} \vect{AG}=\dfrac{2}{3}\vect{AM}&\ssi \begin{cases} x_G+4=\dfrac{2}{3}\times 12 \\y_G-10=\dfrac{2}{3}\times (-3)\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x_G+4=8 \\y_G-10=-2\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x_G=4 \\y_G=8\end{cases} \end{align*}$
    $\quad$
  5. On a $\vect{GK}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{GH}\begin{pmatrix} -2\\2\end{pmatrix}$.
    Ainsi $\vect{GH}=-2\vect{GK}$.
    Ces deux vecteurs sont colinéaires. Les points $G$, $H$ et $K$ sont donc alignés.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$.

On considère les points : $A(-1 ; -3)$, $B(1 ; 2)$ et $C(7 ; 1)$.

  1. Le triangle $ABC$ est-il isocèle en $B$ ?
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur arrondie au dixième de degré de l’angle $\widehat{BAC}$.
    $\quad$
  3. On considère le point $H$ de coordonnées$ (2,6 ; -1,2)$.
    Le point $H$ est-il le projeté orthogonal du point B sur la droite $(AC)$ ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} BA&=\sqrt{(-1-1)^2+(-3-2)^2} \\
    &=\sqrt{4+25}\\
    &=\sqrt{29}\end{align*}$
    $\begin{align*} BC&=\sqrt{(7-1)^2+(1-2)^2}\\
    &=\sqrt{36+1}\\
    &=\sqrt{37}\end{align*}$
    Par conséquent $BA\neq BC$ : le triangle $ABC$ n’est pas isocèle en $B$.
    $\quad$
  2. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=2\times8+5\times 4\\
    &=36\end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*}AC&=\sqrt{8^2+4^2}\\
    &=\sqrt{80}\end{align*}$
    On a également :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}\\
    &=\sqrt{29}\times \sqrt{80}\cos \widehat{BAC}\end{align*}$
    Par conséquent $\sqrt{29}\times \sqrt{80}\cos \widehat{BAC}=36$
    Donc $\cos \widehat{BAC}=\dfrac{36}{\sqrt{29}\times \sqrt{80}}$
    Ainsi $\widehat{BAC}\approx 41,6$°
    $\quad$
  3. $\vect{AH}\begin{pmatrix}3,6\\1,8\end{pmatrix}$
    Montrons que les vecteurs $\vect{AC}\begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{AH}\begin{pmatrix}3,6\\1,8\end{pmatrix}$ sont colinéaires.
    $\begin{align*}\det\left(\vect{AC}.\vect{AH}\right)&=8\times 1,8-4\times 3,6\\
    &=14,4-14,4\\
    &=0\end{align*}$
    Les deux vecteurs sont colinéaires. Le point $H$ appartient donc à la droite $(AC)$.
    Montrons maintenant que les vecteurs $\vect{AC}\begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{BH}\begin{pmatrix}1,6\\-3,2\end{pmatrix}$ sont orthogonaux.
    $\begin{align*} \vect{AC}.\vect{BH}&=8\times 1,6+4\times (-3,2)\\
    &=12,8-12,8\\
    &=0\end{align*}$
    Les deux vecteurs sont orthogonaux.
    Par conséquent $H$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(AC)$.
    $\quad$

[collapse]

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

 

 

E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère les points $E(3 ; −4)$ et $F(7 ; 2)$.
La droite $(EF)$ passe par le point :

a. $A(0;8)$
b. $B(5,5;0)$
c. $C(13;11)$
d. $D(-25;45)$

$\quad$

Correction Question 1

On a $\vect{EF}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$
On va déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{EA}$, $\vect{EB}$, $\vect{EC}$ et $\vect{ED}$ et tester leur colinéarité avec le vecteur $\vect{EF}$.

$\vect{EA}\begin{pmatrix}-3\\12\end{pmatrix}$ ,  $\vect{EB}\begin{pmatrix}2,5\\4\end{pmatrix}$ ,  $\vect{EC}\begin{pmatrix}10\\15\end{pmatrix}$ ,  $\vect{ED}\begin{pmatrix}-28\\49\end{pmatrix}$

On constate que $10\times 6-4\times 45=0$. Donc $\vect{EC}$ et $\vect{EF}$ sont colinéaires. Le point $C$ appartient à la droite $(EF)$.

Réponse C

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On considère la droite $D$ qui a pour équation réduite $y=-2x+4$
Parmi les vecteurs suivants, déterminer celui qui est un vecteur normal de la droite $D$ :

a. $\vec{n_1}(2;1)$
b. $\vec{n_2}(-1;2)$
c. $\vec{n_3}(1;-2)$
d. $\vec{n_4}(-2;1)$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $2x+y-4=0$.
Un vecteur normal à cette droite est par conséquent $\vec{n}(2;1)$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3
Soit $ABCD$ un carré de côté $6$ et $I$ le milieu de $[BC]$. Alors le produit scalaire $\vect{AD};\vect{AI}$ vaut :

a. $-18$
b. $18$
c. $36$
d. $9\sqrt{5}$

$\quad$

Correction Question 3

On appelle $J$ le projeté orthogonal du point $I$ sur la droite $(AD)$. $J$ est alors le milieu du segment $[AD]$.
Ainsi $\vect{AD}.\vect{AI}=\vect{AD}.\vect{AJ}$.
Les vecteurs $\vect{AD}$ et $\vect{AJ}$ sont colinéaires et de même sens.
Ainsi
$\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AI}&=\vect{AD}.\vect{AJ} \\
&=AD\times AJ \\
&=6\times 3\\
&=18\end{align*}$

Autre méthode

$\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AI}&=\vect{AD}.\left(\vect{AB}+\vect{BI}\right)\\
&=\vect{AD}.\vect{AB}+\vect{AD}.\vect{BI} \\
&=0+\dfrac{1}{2}\vect{AD}.\vect{BC}\\
&=\dfrac{1}{2}\times 6\times 6 \\
&=18\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, le nombre $\dfrac{14\pi}{3}$ a pour image le point :

a. $E$
b. $F$
c. $G$
d. $H$

$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} \dfrac{14\pi}{3}&=\dfrac{12+2\pi}{3} \\
&=\dfrac{12\pi}{3}+\dfrac{2\pi}{3}\\
&=4\pi+\dfrac{2\pi}{3} \\
&=2\times 2\pi+\dfrac{2\pi}{3}\end{align*}$
Le nombre $\dfrac{14\pi}{3}$ a donc pour image $F$

Autre méthode :

À l’aide de la calculatrice, on obtient :
$\cos \left(\dfrac{14\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$ et $\sin \left(\dfrac{14\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. L’image de $\dfrac{14\pi}{3}$ appartient donc au quadrant supérieur gauche; c’est le point $F$.

Réponse F

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Soit le réel $x$ appartenant à l’intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$ tel que $\sin x=0,8$. Alors :

a. $\cos(x)=0,6$
b. $\cos(x)=-0,6$
c. $\cos(x)=0,2$
d. $\cos(x)=-0,2$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ on a $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$
Ainsi
$\begin{align*} &\cos^2(x)+\sin^2(x)=1 \\
\ssi~&\cos^2(x)+0,8^2=1 \\
\ssi~&\cos^2(x)+0,64=1\\
\ssi~&\cos^2(x)=0,36\\
\ssi~&\cos(x)=0,6 \text{ ou }\cos(x)=-0,6\end{align*}$
On sait que $x$ appartient à l’intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$. Donc $\cos(x)<0$.
Par conséquent $\cos(x)=-0,6$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence