Bac – Spécialité mathématiques – Europe – sujet 1 – 21 mars 2023

Centres étrangers (Europe) – 21 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. $\lim\limits_{x\to 0^+} x^2=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln\left(x^2\right)=-\infty$
    De plus $\lim\limits_{x\to 0^+} x-2=-2$ par conséquent $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$
    $\quad$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(x^2\right)=+\infty$
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} x-2=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{2x}{x^2}+1 \\
    &=\dfrac{2}{x}+1 \end{align*}$
    Pour tout réel $x>0$ on a $\dfrac{2}{x}>0$ et donc $g'(x)>0$.
    La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty [$.
    D’après le théorème de la bijection (ou le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $\alpha \approx 1,370~2$. Par conséquent $1,37<\alpha<1,38$.
    $\quad$
  4. La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et s’annule en $\alpha$.
    On en déduit le tableau de signes suivant :
    $\quad$

    $\quad$

Partie B

  1. a. $\lim\limits_{x\to 0^+} x-2=-2$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{x-2}{x}=-\infty$.
    Or $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$. Par conséquent $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
    b. La courbe $\mathscr{C}_f$ possède donc une asymptote verticale d’équation $x=0$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=\left(1-\dfrac{2}{x}\right)\ln(x)$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} 1-\dfrac{2}{x}=1$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x>0$ on a, en utilisant l’expression de $f(x)$ obtenue à la question précédente :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2}{x^2}\ln(x)+\left(1-\dfrac{2}{x}\right)\times \dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{2\ln(x)+\left(1-\dfrac{2}{x}\right)x}{x^2} \\
    &=\dfrac{\ln\left(x^2\right)+x-2}{x^2} \\
    &=\dfrac{g(x)}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
  4. D’après la question A.4. $f'(x)>0 \ssi x>\alpha$ et $f'(\alpha)=0$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]0;\alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha;+\infty[$.
    $\quad$

Partie C

Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f(x)-\ln(x)&=\dfrac{(x-2)}{x}\ln(x)-\ln(x) \\
&=\dfrac{(x-2)\ln(x)-x\ln(x)}{x} \\
&=\dfrac{x\ln(x)-2\ln(x)-x\ln(x)}{x} \\
&=\dfrac{-2\ln(x)}{x}\end{align*}$
Or $\ln(x)>0 \ssi x>1$.

La courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de la courbe représentative de la fonction $\ln$ sur $]0;1]$ et en dessous sur $[1;+\infty[$.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  2. $\left(T_2,V_2\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p_3&=p\left(T_3\right) \\
    &=p\left(T_2\cap T_3\right)+p\left(V_2\cap T_3\right) \\
    &=p\left(T_2\right)p_{T_2}\left(T_3\right)+p\left(V_2\right)p_{V_2}\left(T_3\right) \\
    &=0,8\times 0,8+0,2\times 0,6 \\
    &=0,76\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_{V_3}\left(T_2\right)&=\dfrac{p\left(V_3\cap T_2\right)}{p\left(V_3\right) } \\
    &=\dfrac{p\left(T_2\right)p_{T_2}\left(V_3\right)}{1-p\left(T_3\right)} \\
    &=\dfrac{0,8\times 0,2}{0,24} \\
    &=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  4. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  5. Pour tout $n\in \N$, $\left(T_n,V_n\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(T_{n+1}\right) \\
    &=p\left(T_n\cap T_{n+1}\right)+p\left(V_n\cap T_{n+1}\right) \\
    &=p\left(T_n\right)p_{T_n}\left(T_{n+1}\right)+p\left(V_n\right)p_{V_n}\left(T_{n+1}\right) \\
    &=0,8\times p_n+0,6\times \left(1-p_n\right) \\
    &=0,8p_n+0,6-0,6p_n \\
    &=0,2p_n+0,6\end{align*}$
    $\quad$
  6. Pour tout $n\in \N^*$, on pose $R(n):~p_n=0,75+0,25\times 0,2^{n-1}$
    Initialisation : $p_1=1$ et $0,7+0,25\times 0,2^0=0,75+0,25=1$.
    Donc $R(1)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N^*$. On suppose que $R(n)$ est vraie.
    $\begin{align*} p_{n+1}&=0,2p_n+0,6 \\
    &=0,2\left(0,75+0,25\times 0,2^{n-1}\right) +0,6 \\
    &=0,15+0,25\times 0,2^n+0,6 \\
    &=0,75+0,25\times 0,2p^n\end{align*}$
    Donc $R(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout $n\in \N^*$, on a $p_n=0,75+0,25\times 0,2^{n-1}$.
    $\quad$
  7. $-1<0,2<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,2^{n-1}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,75$.
    Sur le long terme, la probabilité que M Durand utilise les transports en commun est égale à $0,75$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=(x-1)\e^x$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=\e^x+(x-1)\e^x \\
    &=(1+x-1)\e^x \\
    &=x\e^x \\
    &=f(x)\end{align*}$
    $F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$
    $2x+4=0\ssi 2x=-4\ssi x=-2$ et $2x+4>0\ssi 2x>-4\ssi x>-2$.
    (À cette étape-là on peut faire un tableau de signes au brouillon)
    Par conséquent $\dfrac{x-1}{2x+4}>0 \ssi x\in ]-\infty;-2[\cup ]1;+\infty[$.
    La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} h'(x)&=\e^x+(x+1)\e^x \\
    &= (1+x+1)\e^x \\
    &=(x+2)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
    La fonction $h’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} h\dsec(x)&=\e^x+(x+2)\e^x \\
    &= (1+x+2)\e^x \\
    &=(x+3)\e^x\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$
    $h\dsec(x)=0\ssi x+3=0 \ssi x=-3$ et $h\dsec(x)>0\ssi x+3>0 \ssi x>-3$
    La fonction $h$ est donc concave sur $] -\infty;-3]$ et convexe sur $[-3;+\infty[$.
    Réponse d
    $\quad$
  4. Pour tout $n$ on a donc $u_n\pg 3$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n =\ell$.
    Par conséquent $\ell \pg 3$.
    Réponse b
    $\quad$
  5. On constate à l’aide de la calculatrice que la suite $\left(w_n\right)$ semble converger vers $0$.
    Réponse d
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. $\vect{AB}\begin{pmatrix} 4\\1\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\5\\-6\end{pmatrix}$.
    $\dfrac{4}{2}=2$ et $\dfrac{1}{5}=0,2$.
    Par conséquent $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
    $\quad$
  2. a. $\vec{n}.\vect{AB}=52+16+36=0$ et $\vec{n}.\vect{AC}=26-80+54=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$.
    $\vec{n}$ est par conséquent normal au plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $13x-16y-9z+d=0$.
    $A(-1;-3;2)$ appartient à ce plan.
    Par conséquent $-13+48-18+d=0\ssi d=-17$.
    Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est donc $13x-16y-9z-17=0$.
    $\quad$
  3. Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est $$\begin{cases} x=15+13t\\y=-16-16t\\z=-8-9t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
    $\quad$
  4. On considère le point $E’$ de coordonnées $(2;0;1)$.
    Si on prend $t=-1$ dans la représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ on obtient $x=2$, $y=0$ et $z=1$. Donc $E’$ appartient à $\mathscr{D}$.
    $13\times 2+0-9\times 1-17=26-26=0$ : $E’$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
    $13\times 15-16\times (-16)-9\times (-8)-17=506\neq 0$ : le point $F$ n’appartient pas au plan $\mathscr{P}$.
    La droite $\mathscr{D}$ n’est, par conséquent, pas incluse dans le plan $\mathscr{P}$.
    Ainsi les coordonnées du point $E$ sont bien $(2;0;1)$.
    $\quad$
  5. On a $\vect{EF}\begin{pmatrix}-13\\16\\9\end{pmatrix}$La distance du point $E$ au plan $\mathscr{P}$ est :
    $\begin{align*} EF&=\sqrt{(-13)^2+16^2+9^2}\\
    &=\sqrt{169+256+81} \\
    &=\sqrt{506}\end{align*}$
    $\quad$
  6. On veut déterminer les points $M(15+13t,-16-16t,-8-9t)$ de $\mathscr{D}$ tels que $EM=\dfrac{EF}{2}$
    $\vect{EM}\begin{pmatrix} 13+13t\\-16-16t\\-9-9t\end{pmatrix}$. Ainsi $\vect{EM}\begin{pmatrix}13(1+t)\\-16(1+t)\\-9(1+t)\end{pmatrix}$
    On en déduit donc que :
    $\begin{align*} EM&=\sqrt{169(1+t)^2+256(1+t)^2+81(1+t)^2} \\
    &=\sqrt{506(1+t)^2}\end{align*}$
    $\begin{align*} EM=\dfrac{EF}{2}&\ssi \sqrt{506(1+t)^2}=\dfrac{\sqrt{506}}{2} \\
    &\ssi 506(1+t)^2=\dfrac{506}{4} \\
    &\ssi (1+t)^2=\dfrac{1}{4} \\
    &\ssi 1+t=\dfrac{1}{2} \text{ ou } 1+t=-\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi t=-\dfrac{1}{2} \text{ ou } t=-\dfrac{3}{2}\end{align*}$
    Les coordonnées des points de la droite $\mathscr{D}$ dont la distance au plan $\mathscr{P}$ est égale à la moitié de la distance du point $F$ au plan $\mathscr{P}$ sont donc $\left(\dfrac{17}{2};-8;-\dfrac{7}{2}\right)$ et $\left(-\dfrac{9}{2};8;\dfrac{11}{2}\right)$.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également déterminer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[EF]$ puis celle du symétrique de $M$ par rapport à $E$.
    $\quad$

 

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     5 points

Partie A

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par

$$g(x) = \ln\left(x^2\right)+x−2$$

  1. Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
    Étudier les variations de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer qu’il existe un unique réel strictement positif $\alpha$ tel que $g(\alpha) = 0$.
    $\quad$
    b. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
    $\quad$
  4. En déduire le tableau de signe de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
    $\quad$

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par :

$$f(x) =\dfrac{(x−2)}{x}\ln(x)$$

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

  1. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
    $\quad$
    b. Interpréter graphiquement le résultat.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
    Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a $f'(x) =\dfrac{g(x)}{x^2}$.
    $\quad$
  4. En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
    $\quad$

Partie C

Étudier la position relative de la courbe $C_f$ et de la courbe représentative de la fonction $\ln$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Dans un souci de préservation de l’environnement, Monsieur Durand décide de se rendre chaque matin au travail en utilisant son vélo ou les transports en commun.
S’il choisit de prendre les transports en commun un matin, il reprend les transports en commun le lendemain avec une probabilité égale à $0,8$.
S’il utilise son vélo un matin, il reprend son vélo le lendemain avec une probabilité égale à $0,4$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note :

  • $T_n$ l’événement « Monsieur Durand utilise les transports en commun le $n$-ième jour » ;
  • $V_n$ l’événement « Monsieur Durand utilise son vélo le $n$-ième jour » ;
  • On note $p_n$ la probabilité de l’événement $T_n$.

Le premier matin, il décide d’utiliser les transports en commun. Ainsi, la probabilité de l’événement $T_1$ est $p_1 = 1$.

  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les $2\ieme$ et $3\ieme$ jours.
    $\quad$$\quad$
  2. Calculer $p_3$.
    $\quad$
  3. Le $3\ieme$ jour, M. Durand utilise son vélo.
    Calculer la probabilité qu’il ait pris les transports en commun la veille.
    $\quad$
  4. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les $n$-ième et $(n+1)$-ième jours.
    $\quad$
    $\quad$
  5. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = 0,2p_n + 0,6$.
    $\quad$
  6. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $p_n = 0,75 + 0,25 × 0,2^{n-1}$.
    $\quad$
  7. Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Les cinq questions sont indépendantes.

Dans tout l’exercice, $\R$ désigne l’ensemble des nombres réels.

  1. Une primitive de la fonction $f$, définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^x$, est la fonction $F$, définie sur $\R$ par :
    a. $F(x)=\dfrac{x^2}{2}\e^x$
    b. $F(x)=(x-1)\e^x$
    c. $F(x)=(x+1)\e^x$
    d. $F(x)=x^2\e^{x^2}$
    $\quad$
  2. On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{2x+4}\right)$.
    La fonction $g$ est définie sur :
    a. $\R$
    b. $]-2;+\infty[$
    c. $]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[$
    d. $]-2;1[$
    $\quad$
  3. La fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=(x+1)\e^x$ est :
    a. concave sur $\R$
    b. convexe sur $\R$
    c. convexe sur $]-\infty;-3]$ et concave sur $[-3;+\infty[$
    d. concave sur $]-\infty;-3]$ et convexe sur $[-3;+\infty[$
    $\quad$
  4. Une suite $\left(u_n\right)$ est minorée par $3$ et converge vers un réel $\ell$.
    On peut affirmer que :
    a. $\ell=3$
    b. $\ell\pg 3$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    d. La suite $\left(u_n\right)$ est constante à partir d’un certain rang.
    $\quad$
  5. La suite $\left(w_n\right)$ définie par $w_1=2$ et pour tout entier naturel $n$ strictement positif, $w_{n+1}=\dfrac{1}{n}w_n$.
    a. La suite $\left(w_n\right)$ est géométrique.
    b. La suite $\left(w_n\right)$ n’admet pas de limite.
    c. $w_5=\dfrac{1}{15}$
    d. La suite $\left(w_n\right)$ converge vers $0$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les
points $A(-1; -3; 2)$, $B(3;-2; 6)$ et $C(1; 2;-4)$.

  1. Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan que l’on notera $\mathcal{P}$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}$ est normal au plan $\mathcal{P}$.
    $\quad$
    b. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $13x-16y-9z-17 = 0$.

On note $\mathcal{D}$ la droite passant par le point $F(15;-16;-8)$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.

  1. Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.
    $\quad$
  2. On appelle $E$ le point d’intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $\mathcal{P}$.
    Démontrer que le point $E$ a pour coordonnées $(2; 0; 1)$.
    $\quad$
  3. Déterminer la valeur exacte de la distance du point $F$ au plan $\mathcal{P}$.
    $\quad$
  4. Déterminer les coordonnées du ou des point(s) de la droite $\mathcal{D}$ dont la distance au plan $\mathcal{P}$ est égale à la moitié de la distance du point $F$ au plan $\mathcal{P}$.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 2 – 21 mars 2023

Métropole – 21 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :
    $\begin{align*} p(A\cap G)&=p(A)\times p_A(G) \\
    &=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{10} \\
    &=\dfrac{7}{25}\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  2. $(A,B)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} &p(G)=p(A\cap G)+p(B\cap G) \\
    &\ssi \dfrac{12}{25}=\dfrac{7}{25}+p(B)p_B(G) \\
    &\ssi \dfrac{5}{25}=\dfrac{3}{5}p_B(G) \\
    &\ssi p_B(G)=\dfrac{~~\dfrac{1}{5}~~}{\dfrac{3}{5}} \\
    &\ssi p_B(G)=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  3. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
    On répète $10$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{12}{25}$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{12}{25}$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} p(X=6)&=\dbinom{10}{6}\left(\dfrac{12}{25}\right)^6\times \left(\dfrac{13}{25}\right)^4 \\
    &\approx 0,188\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  4. D’après l’énoncé $p(X\pp n) \approx 0,207$.
    En faisant des essais à la calculatrice avec les différentes valeurs proposées on trouve $n=3$.
    Réponse B
    $\quad$
  5. La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :
    $\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
    &=1-\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10} \end{align*}$
    Réponse D
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude d’un premier modèle en laboratoire

  1. Chaque mois le nombre d’insecte augmente de $60\%$.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $u_{n+1}=1,6u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,6$ et de premier terme $u_0=0,1$.
    Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $u_n=0,1\times 1,6^n$.
    $\quad$
  2. $1,6>1$ et $0,1>0$. Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
  3. On veut résoudre :
    $\begin{align*} u_n>0,4&\ssi 0,1\times 1,6^n >0,4 \\
    &\ssi 1,6^n >4 \\
    &\ssi n\ln(1,6)>\ln(4) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(4)}{\ln(1,6)} \qquad \text{car }\ln(1,6)>0\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(4)}{\ln(1,6)} \approx 2,95$
    Le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n>0,4$ est donc $3$.
    $\quad$
  4. D’après la question précédente, au bout de $3$ mois la population d’insecte a dépassé $400~000$.
    L’équilibre du milieu naturel ne sera donc pas préservé.
    $\quad$

Partie B : Étude d’un second modèle

  1. On a
    $\begin{align*} v_1&=1,6v_0-1,6v_0^2 \\
    &=0,144\end{align*}$
    Il y a donc $144~000$ insectes au bout d’un mois.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi 1,6x-1,6x^2=x \\
    &\ssi 0,6x-1,6x^2=0 \\
    &\ssi x(0,6-1,6x)=0\\
    &\ssi x=0 \text{ ou } 0,6-1,6x=0 \\
    &\ssi x=0 \text{ ou } x=0,375\end{align*}$
    $0$ et $0,375$ appartiennent bien à l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    Les solutions de l’équation $f(x)=x$ sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ sont donc $0$ et $0,375$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $-1,6$.
    Son maximum est atteint en $\dfrac{-1,6}{2\times (-1,6)}=\dfrac{1}{2}$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~0\pp v_n\pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
    Initialisation : $v_0=0,1$ et $v_1=0,144$ donc $0\pp u_0\pp u_1\pp \dfrac{1}{2}$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $0\pp v_n \pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$
    La fonction $f$ est croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    Donc $f(0) \pp f\left(v_n\right) \pp f\left(v_{n+1}\right) \pp f\left(\dfrac{1}{2}\right)$
    Soit $0\pp v_{n+1} \pp v_{n+2} \pp 0,4$
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout $n\in \N$ on a $0\pp v_n\pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(v_n\right)$ est croissante et majorée ; elle converge donc vers un réel $\ell$.
    $\quad$
    c. $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
    Par conséquent $\ell=0$ ou $\ell=0,375$ d’après la question 2.a.
    La suite $\left(v_n\right)$ est croissante et $v_0=0,1$. Donc $\ell\pg 0,1$.
    Ainsi $\ell=0,375$.
    Il y aura donc, au plus, $375~000$ insectes.
    Pour préserver l’équilibre du milieu naturel le nombre d’insectes ne doit pas dépasser $400~000$.
    L’équilibre du milieu naturel serait donc préservé.
    $\quad$
  4. a. La fonction $\texttt{seuil}$ renvoie le plus petit rang $n$ à partir duquel $v_n\pg 0,4$.
    D’après la question précédente, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et majorée par $\ell$. Or $\ell<0,4$.
    Si on saisit $\texttt{seuil(0.4)}$ la boucle $\texttt{while}$ ne s’arrête jamais.
    $\quad$
    b. On a $v_5\approx 0,338$ et $b_6\approx 0,358$.
    Par conséquent $\texttt{seuil(0.35)}$ renvoie $6$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_1$ est $\vec{n_1}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. $\vec{n_1}.\vec{n_2}=2-1-1=0$.
    Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_1$ est orthogonal à un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_2$.
    Les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
  2. a. Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_2$ est de la forme $x-y+z+d=0$.
    Le point $B$ appartient à ce plan. Par conséquent $1-1+2+d=0\ssi d=-2$.
    Une équation cartésienne de $\mathcal{P}_2$ est donc $x-y+z-2=0$.
    $\quad$
    b. Montrons que la droite est incluse dans chacun des deux plans.
    Soit $t\in \R$.
    $2\times 0+(-2+t)-t+2=-2+t-t+2=0$ : $\Delta$ est incluse dans $\mathcal{P}_1$.
    $0-(-2+t)+t-2=2-t+t-2=0$ : $\Delta$ est incluse dans $\mathcal{P}_2$.
    Ainsi $\Delta$ est incluse dans deux plans perpendiculaires.
    La droite $\Delta$ est l’intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
    $\quad$
  3. a. Soit $t\in \R$.
    $\vect{AM_t}\begin{pmatrix} -1\\-2+t-1\\t-1\end{pmatrix}$ soit $\vect{AM_t}\begin{pmatrix} -1\\-3+t\\t-1\end{pmatrix}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} AM_t&=\sqrt{(-1)^2+(-3+t)^2+(t-1)^2} \\
    &=\sqrt{1+9-6t+t^2+t^2-2t+1} \\
    &=\sqrt{2t^2-8t+11}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La distance $AM_t$ est minimale si, et seulement si, $2t^2-8t+11$ est minimale (car la fonction racine carrée est strictement croissante sur $\R_+$).
    On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t)=2t^2-8t+11$.
    Il s’agit d’une fonction polynôme du second degré dont le coefficient principal est $2>0$.
    Elle admet donc un minimum en $\dfrac{-(-8)}{2\times 2}=2$.
    Or $f(2)=3$
    $H$ est le point de $\Delta$ tel que $AM_t$ est minimale.
    Ainsi $AH=\sqrt{3}$.
    $\quad$
  4. a. Une représentation paramétrique de $\mathcal{D}_1$ est $$\begin{cases} x=1+2k\\y=1+k\\z=1-k\end{cases} \qquad \forall k\in \R$$
    $\quad$
    b. On note $H’$ le point de coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
    En prenant $k=-\dfrac{2}{3}$ dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}_1$ on retrouve les coordonnées du point $H’$. Donc $H’$ appartient à $\mathcal{D}_1$.
    De plus $-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{3}+2=-\dfrac{6}{3}+2=0$. Le point $H’$ appartient également à $\mathcal{P}_1$.
    Ainsi $H_1$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
    $\quad$
  5. Montrons dans un premier temps que $AH_1HH_2$ est un parallélogramme.
    $\vect{AH_1}\begin{pmatrix} -\dfrac{4}{3}\\[2mm]-\dfrac{2}{3}\\[2mm] \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$ et $\vect{H_2H}\begin{pmatrix} -\dfrac{4}{3}\\[2mm]-\dfrac{2}{3}\\[2mm] \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$.
    Ainsi $\vect{AH_1}=\vect{H_2H}$ et $AH_1HH_2$ est un parallélogramme.
    Par construction $\vect{AH_1}$ est orthogonal à $\mathcal{P}_1$. Donc $\vect{AH_1}$ est orthogonal à $\vect{H_1H}$ car les points $H_1$ et $H$ appartiennent au plan $\mathcal{P}_1$.
    $AH_1HH_2$ est donc un rectangle.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a.$\lim\limits_{x\to -\infty} -x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-x}=+\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} 1 +\e^{-x}=+\infty$.
    Or $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
    b.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} 1 +\e^{-x}=1$.
    Or $\lim\limits_{X\to 1} \ln(X)=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
    La droite d’équation $y=0$ est donc une asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
    $\quad$
    c. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}} \\
    &=\dfrac{\e^x}{\e^x}\times \dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}} \\
    &=\dfrac{-1}{\e^x+1}\end{align*}$
    $\quad$
    d. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$, par conséquent, pour tout $x\in \R$ on a $f'(x)<0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. a. Une équation de $T_0$ est de la forme $y=f'(0)x+f(0)$
    Or $f'(0)=-\dfrac{1}{2}$ et $f(0)=\ln(2)$
    Une équation de $T_0$ est donc $y=-\dfrac{1}{2}x+\ln(2)$.
    $\quad$
    b. La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ on a $f\dsec(x)=\dfrac{\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f\dsec(x)>0$.
    La fonction $f$ est convexe sur $\R$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est convexe sur $\R$. La courbe représentative de la fonction $f$ est donc au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier au-dessus de $T_0$.
    Ainsi, pour tout réel $x$, on a $f(x)\pg -\dfrac{1}{2}x+\ln(2)$.
    $\quad$
  3. a. Soit $x\in \R$
    $\begin{align*} f(x)-f(-x)&=\ln\left(1+\e^{-x}\right)-\ln\left(1+\e^{x}\right) \\
    &=\ln\left(\dfrac{1+\e^{-x}}{1+\e^x}\right) \\
    &=\ln\left(\e^{-x}\times \dfrac{\e^x+1}{1+\e^x}\right) \\
    &=\ln\left(\e^{-x}\right) \\
    &=-x\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le coefficient directeur de la droite $\left(M_aN_a\right)$ est
    $\begin{align*} m&=\dfrac{f(a)-f(-a)}{a-(-a)} \\
    &=\dfrac{-a}{2a} \\
    &=-\dfrac{1}{2} \\
    &=f'(0)\end{align*}$
    Par conséquent les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ sont parallèles.
    $\quad$

Énoncé

Le candidat doit traiter les quatre exercices proposés.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.

Un jeu vidéo possède une vaste communauté de joueurs en ligne. Avant de débuter une partie, le joueur doit choisir entre deux « mondes » : soit le monde A, soit le monde B.
On choisit au hasard un individu dans la communauté des joueurs.
Lorsqu’il joue une partie, on admet que :

  • la probabilité que le joueur choisisse le monde A est égale à $\dfrac{2}{5}$ ;
  • si le joueur choisit le monde A, la probabilité qu’il gagne la partie est de $\dfrac{7}{10}$ ;
  • la probabilité que le joueur gagne la partie est de $\dfrac{12}{25}$.

On considère les évènements suivants :

  • $A$ : « Le joueur choisit le monde $\mathrm{A}$ » ;
  • $B$ : « Le joueur choisit le monde B » ;
  • $G$ : « Le joueur gagne la partie ».
  1. La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :
    a. $\dfrac{7}{10}$
    b. $\dfrac{3}{25}$
    c. $\dfrac{7}{25}$
    d. $\dfrac{24}{125}$
    $\quad$
  2. La probabilité $P_B(G)$ de l’événement $G$ sachant que $B$ est réalisé est égale à :
    a. $\dfrac{1}{5}$
    b. $\dfrac{1}{3}$
    c. $\dfrac{7}{15}$
    d. $\dfrac{5}{12}$
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, un joueur effectue $10$ parties successives. On assimile cette situation à un tirage aléatoire avec remise. On rappelle que la probabilité de gagner une partie est de $\dfrac{12}{25}$.

  1. La probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne exactement $6$ parties est égale à:
    a. $0,859$
    b. $0,671$
    c. $0,188$
    d. $0,187$
    $\quad$
  2. On considère un entier naturel $n$ pour lequel la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne au plus $n$ parties est de $0,207$. Alors :
    a. $n=2$
    b. $n=3$
    c. $n=4$
    d. $n=5$
    $\quad$
  3. La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :
    a. $1-\left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$
    b. $\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$
    c. $\left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$
    d. $1-\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Des biologistes étudient l’évolution d’une population d’insectes dans un jardin botanique. Au début de l’étude la population est de $100~000$ insectes.
Pour préserver l’équilibre du milieu naturel le nombre d’insectes ne doit pas dépasser $400~000$ .

Partie A : Étude d’un premier modèle en laboratoire

L’observation de l’évolution de ces populations d’insectes en laboratoire, en l’absence de tout prédateur, montre que le nombre d’insectes augmente de $60 \%$ chaque mois.
En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l’évolution de la population d’insectes à l’aide d’une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ modélise le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois. On a donc $u_0=0,1$.

  1. Justifier que pour tout entier naturel $n$: $u_n=0,1 \times 1,6^n$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n>0,4$.
    $\quad$
  4. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Partie B : Étude d’un second modèle

En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation.
Ils modélisent le nombre d’insectes à l’aide de la suite $\left(v_n\right)$, définie par : $v_0=0,1$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=1,6 v_n-1,6 v_n^2$, où, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ est le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois.

  1. Déterminer le nombre d’insectes au bout d’un mois.
    $\quad$
  2. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right]$ par $f(x)=1,6 x-1,6 x^2$.
    a. Résoudre l’équation $f(x)=x$.
    $\quad$
    b. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right]$.
    $\quad$
  3. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, 0 \pp v_n \pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    On note $\ell$ la valeur de sa limite. On admet que $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
    $\quad$
    c. Déterminer la valeur de $\ell$. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel sera-t-il préservé ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  4. On donne ci-dessous la fonction $\text{seuil}$, écrite en langage Python.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil(a) :} \\
    \quad \text{v = 0.1} \\
    \quad \text{n = 0} \\
    \qquad \text{while v < a :} \\
    \qquad \text{v = 1.6 * v – 1.6 * v * v} \\
    \qquad \text{n = n + 1} \\
    \quad \text{return n} \\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Qu’observe-t-on si on saisit $\text{seuil(0.4)}$ ?
    $\quad$
    b. Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de $\text{seuil(0.35)}$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère :

  • le plan $\mathcal{P}_1$ dont une équation cartésienne est $2 x+y-z+2=0$,
  • le plan $\mathcal{P}_2$ passant par le point $B(1 ; 1 ; 2)$ et dont un vecteur normal est $\vect{n_2}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$.
  1. a. Donner les coordonnées d’un vecteur $\vect{n_1}$ normal au plan $\mathcal{P}_1$.
    $\quad$
    b. On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l’un des plans est orthogonal à un vecteur normal à l’autre plan.
    Montrer que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
  2. a. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_2$.
    $\quad$
    b. On note $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases}x=0 \\ y=-2+t,\quad t \in \mathbb{R} \text {. } \\ z=t\end{cases}$ Montrer que la droite $\Delta$ est l’intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
    $\quad$

On considère le point $A(1 ; 1 ; 1)$ et on admet que le point $A$ n’appartient ni à $\mathcal{P}_1$ ni à $\mathcal{P}_2$.
On note $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $\Delta$.

  1. On rappelle que, d’après la question 2.b, la droite $\Delta$ est l’ensemble des points $M_t$ de coordonnées $(0 ;-2+t ; t)$, où $t$ désigne un nombre réel quelconque.
    a. Montrer que, pour tout réel $t, A M_t=\sqrt{2 t^2-8 t+11}$.
    $\quad$
    b. En déduire que $AH=\sqrt{3}$.
    $\quad$
  2. On note $\mathcal{D}_1$ la droite orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$ passant par le point $A$ et $H_1$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}_1$.
    a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}_1$.
    $\quad$
    b. En déduire que le point $H_1$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
    $\quad$
  3. Soit $H_2$ le projeté orthogonal de $A$ sur le plan $\mathcal{P}_2$.
    On admet que $H_2$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)$. et que $H$ a pour coordonnées $(0;0;2)$.
    Sur le schéma ci-dessous, les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont représentés, ainsi que les points $A$, $H_1$, $H_2$, $H$.
    Montrer que $AH_1HH_2$ est un rectangle.
    $\quad$

    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(1 + \e^{-x}\right)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\Oij$.
La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous.

  1. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.
    $\quad$
    c. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    Calculer $f'(x)$ puis montrer que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=\dfrac{-1}{1+\e^x}$.
    $\quad$
    d. Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. On note $T_0$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d’abscisse $0$.
    a. Déterminer une équation de la tangente $T_0$.
    $\quad$
    b. Montrer que la fonction $f$ est convexe sur $\R$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x)\pg -\dfrac{1}{2}x+\ln(2)$.
    $\quad$
  3. Pour tout nombre réel $a$ différent de $0$, on note $M_a$ et $N_a$ les points de la courbe $\mathcal{C}$ d’abscisses respectives $-a$ et $a$. On a donc : $M_a\left(-a;f(-a)\right)$ et $N_a\left(a;f(a)\right)$.
    a. Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x)-f(-x)=-x$.
    $\quad$
    b. En déduire que les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ sont parallèles.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 2 – 14 mars 2023

Polynésie – 14 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  2. Pour tout $n\in \N$, $\left(R_n,\conj{R_n}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(R_{n+1}\right)\\
    &=p\left(R_n\cap R_{n+1}\right)+p\left(\conj{R_n}\cap R_{n+1}\right) \\
    &=p\left(R_n\right)p_{R_n}\left(R_{n+1}\right)+p\left(\conj{R_n}\right)p_{\conj{R_n}}\left(R_{n+1}\right) \\
    &=0,9p_n+0,3\left(1-p_n\right) \\
    &=0,9p_n+0,3-0,3p_n \\
    &=0,6p_n+0,3\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Soit $n\in \N$. $u_n=p_n-0,75 \ssi p_n=u_n+0,75$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-0,75 \\
    &=0,6p_n+0,3-0,75 \\
    &=0,6p_n-0,45 \\
    &=0,6\left(u_n+0,75\right)-0,45 \\
    &=0,6u_n+0,45-0,45 \\
    &=0,6u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,6$ et de premier terme $u_0=p_0-0,75=-0,15$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout $n\in \N$, $u_n=-0,15\times 0,6^n$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} p_n&=u_n+0,75 \\
    &=0,75-0,15\times 0,6^n\end{align*}$
    $\quad$
    c. $-1<0,6<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,6^n=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,75$.
    La suite $\left(p_n\right)$ converge vers $0,75$.
    $\quad$
    d. Sur le long terme, l’athlète franchira la haie trois fois sur quatre.
    $\quad$

Partie B

  1. On répète $10$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,75$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,75$.
    $\quad$
  2. $P(X=10)=0,75^{10} \approx 0,056$
    La probabilité que l’athlète franchisse les $10$ haies est environ égale à $0,056$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P(X\pg 9)&=P(X=9)+P(X=10) \\
    &=\dbinom{10}{9}0,75^9\times 0,25+0,75^{10} \\
    &\approx 0,244\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Un vecteur normal de $\mathcal{P}_1$ est $\vect{n_1}\begin{pmatrix}5\\2\\4\end{pmatrix}$.
    Un vecteur normal de $\mathcal{P}_2$ est $\vect{n_2}\begin{pmatrix}10\\14\\3\end{pmatrix}$.
    $\dfrac{10}{5}=2$ et $\dfrac{14}{2}=7$.
    Les vecteurs $\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$ ne sont pas colinéaires.
    Par conséquent $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
  2. Montrons que la droite est incluse dans chacun des deux plans.
    Soit $t\in \R$
    $\begin{align*} &5(1+2t)+2(-t)+4(3-2t) \\
    &=5+10t-2t+12-8t\\
    &=17\end{align*}$
    La droite $\mathcal{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}_1$
    $\begin{align*}&10(1+2t)+14(-t)+3(3-2t) \\
    &=10+20t-14t+9-6t\\
    &=19\end{align*}$
    La droite $\mathcal{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}_2$
    Les deux plans ne sont pas parallèles et contiennent tous les deux la droite $\mathcal{D}$.
    $\mathcal{D}$ est donc la droite d’intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
    $\quad$
  3. a. $5\times 1+2\times (-1)+4\times (-1)=-1\neq 17$  : $A$ n’apparient pas à $\mathcal{P}_1$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} A\in \mathcal{D} &\ssi \begin{cases} 1+2t=1\\-t=-1\\3-2t=-1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 2t=0\\t=1\\-2t=-4\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} t=0\\t=1\\t=2\end{cases} \end{align*}$
    $t$ ne peut pas prendre plusieurs valeurs en même temps.
    Donc $A$ n’appartient pas à $\mathcal{D}$.
    $\quad$
  4. a. On a $\vect{AM}\begin{pmatrix} 2t\\-t+1\\4-2t\end{pmatrix}$
    Par conséquent, pour tout $t\in \R$ on a :
    $\begin{align*} f(t)&=AM^2& \\
    &=(2t)^2+(-t+1)^2+(4-2t)^2 \\
    &=4t^2+t^2-2t+1+16-16t+4t^2 \\
    &=9t^2-18t+17\end{align*}$
    $\quad$
    b. $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $9$. Elle atteint son minimum en $\dfrac{-(-18)}{2\times 9}=1$.
    Les coordonnées du point $M$ quand $t=1$ sont $(3;-1;1)$.
    $\quad$
  5. On a $\vect{AH}\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}$
    Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$.
    Par conséquent $\vec{u}.\vect{AH}=4+0-4=0$.
    Les deux vecteurs sont orthogonaux. Les droites $(AH)$ et $\mathcal{D}$ sont orthogonale.
    Si on prend $t=1$ dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ on obtient les coordonnées du point $H$.
    Ainsi $H$ appartient à la fois à $\mathcal{D}$ et à $(AH)$.
    Les droites $\mathcal{D}$ et $(AH)$ sont perpendiculaires en $H$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. La fonction représentée par la courbe $C_1$ semble être strictement positive sur $]-\infty;4[$ et strictement négative sur $]4;+\infty[$.
    La fonction représentée par la courbe $C_3$ semble être strictement croissante sur $]-\infty;4[$ et strictement décroissante sur $]4;+\infty[$. La fonction précédente semble être sa dérivée.
    La fonction représentée par la courbe $C_3$ semble être strictement positive et la fonction représentée par la courbe $C_2$ semble être strictement croissante.
    Par conséquent $f$ est représentée par $C_2$, $f’$ est représentée par $C_3$ et $f\dsec$ est représentée par $C_1$.
    $\quad$
  2. D’après la question précédente, le coefficient directeur de la courbe $C_2$ au point d’abscisse $4$ est $f'(4)$ et correspond donc à l’ordonnée du point de $C_3$ d’abscisse $4$.
    Ainsi le coefficient directeur de la courbe $C_2$ au point d’abscisse $4$ est $f'(4)=3$.
    $\quad$
  3. Les points d’inflexion de courbe $C_1$ semble avoir comme abscisse $3$, $4$ et $5$.
    $\quad$

Partie B

  1. $\lim\limits_{x\to +\infty} -kx=-\infty$ car $k>0$.
    Or $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-kx}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=4$.
    $\quad$
    $\lim\limits_{x\to -\infty} -kx=+\infty$ car $k>0$.
    Or $\lim\limits_{X\to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-kx}=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=\dfrac{-4\times (-k)\e^{-kx}}{\left(1+\e^{-kx}\right)^2}$.
    Par conséquent $g'(0)=\dfrac{4k}{4}=4$.
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $R$.
    D’après le logiciel de calcul formel, le signe de $g\dsec(x)$ ne dépend donc que de $-\left(\e^{kx}-1\right)$
    Or $\e^{kx}-1=0 \ssi \e^{kx}=1 \ssi kx=0 \ssi x=0$
    Et $\e^{kx}-1>0 \ssi \e^{kx}>1 \ssi kx>0 \ssi x>0$
    La fonction $g\dsec$ s’annule en changeant de signe en $0$.
    La courbe représentative de $g$ admet donc un point d’inflexion au point d’abscisse $0$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Pour tout $n\in \N$ on a $-1\pp (-1)^n \pp 1$.
    Par conséquent $-\dfrac{1}{n+1} \pp u_n \pp \dfrac{1}{n+1}$.
    Or, pour tout $n\in \N$, $\dfrac{1}{n+1}\pp 1$.
    Par conséquent $-1\pp u_n \pp 1$.
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. La suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=(-1)^n$ est bornée (d’après la question précédente) et pourtant ne converge pas puisque les termes prennent comme valeur $-1$ et $1$ de façon alternée.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  3. Considérons la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=-\dfrac{1}{n+1}$.
    Pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{-1}{n+2}+\dfrac{1}{n+1} \\
    &=\dfrac{-n-1+n+2}{(n+1)(n+2)} \\
    &=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \\
    &>0\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n+1}=0$.
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
    Remarque : On pouvait prendre également comme contre-exemple n’importe quelle suite constante puisque l’énoncé ne spécifie pas que la suite doit être strictement croissante.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout $x\in \R$ :
    $ f'(x)=\dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}$
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{2\left(x^2+2x+2\right)-(2x+2)^2}{\left(x^2+2x+2\right)^2} \\
    &=\dfrac{2x^2+4x+4-4x^2-8x-4}{\left(x^2+2x+2\right)^2}\\
    &=\dfrac{-2x^2-4x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}\end{align*}$
    $-2x^2-4x=-2x(x+2)$
    $-2x>0\ssi x<0$ et $x+2>0\ssi x>-2$.
    Ainsi $f\dsec(-2,5)<0$ : la fonction $f$ n’est pas convexe sur $[-3;1]$.
    Affirmation 4 fausse
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également faire un tableau de signes pour déterminer le signe de $f\dsec(x)$.
    $\quad$
  5. La fonction $\texttt{mystere}$ renvoie le maximum de la liste $\texttt{L}$.
    $7$ est bien le maximum de la liste passée en argument.
    Affirmation 5 vraie
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1       5 points

Thèmes : probabilités, suites

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d’entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente, que :

  • si l’athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans $90 \%$ des cas le jour suivant ;
  • si l’athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans $70 \%$ des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.

On note pour tout entier naturel $n$ :

  • $R_n$ l’événement : « L’athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$-ième séance »,
  • $p_n$ la probabilité de l’événement $R_n$. On considère que $p_0= 0,6$.
  1. Soit $n$ un entier naturel, recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.
    $\quad$

    $\quad$
  2. Justifier en vous aidant de l’arbre que, pour tout entier naturel $n$, on a :
    $$p_{n+1}=0,6p_n+0,3$$
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=p_n-0,75$.
    a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $p_n=0,75-0,15\times 0,6^n$.
    $\quad$
    c. En déduire que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
    $\quad$
    d. Interpréter la valeur de $\ell$ dans le cadre de l’exercice.
    $\quad$

Partie B

Après de nombreuses séances d’entraînement, l’entraineur estime maintenant que l’athlète franchit chaque haie avec une probabilité de $0,75$ et ce indépendamment d’avoir franchi ou non les haies précédentes.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l’athlète à l’issue d’un $400$ mètres haies qui comporte $10$ haies.

  1. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
    $\quad$
  2. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que l’athlète franchisse les $10$ haies.
    $\quad$
  3. Calculer $P(X\pg 9)$, à $10^{-3}$ près.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2       5 points

Thème : Géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère :

  • le point $A(1 ; -1 ; -1)$ ;
  • le plan $\mathcal{P}_1$ d’équation : $5x + 2y + 4z = 17$ ;
  • le plan $\mathcal{P}_2$ d’équation : $10x + 14y + 3z = 19$ ;
  • la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique : $$\begin{cases} x=1+2t\\y=-t\\z=3-2t\end{cases} \qquad \text{où $t$ décrit $\R$}$$
  1. Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
  2. Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite d’intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
    $\quad$
  3. a. Vérifier que $A$ n’appartient pas à $\mathcal{P}_1$.
    $\quad$
    b. Justifier que $A$ n’appartient pas à $\mathcal{D}$.
    $\quad$
  4. Pour tout réel $t$, on note $M$ le point de $\mathcal{D}$ de coordonnées $(1 + 2t ; -t ; 3-2t)$.
    On considère alors $f$ la fonction qui à tout réel $t$ associe $AM^2$, soit $f(t) = AM^2$.
    a. Démontrer que pour tout réel $t$, on a : $f(t)=9t^2-18t+17$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la distance $AM$ est minimale lorsque $M$ a pour
    coordonnées $(3 ; -1 ; 1)$.
    $\quad$
  5. On note $H$ le point de coordonnées $(3 ; -1 ; 1)$. Démontrer que la droite $(AH)$ est perpendiculaire à $\mathcal{D}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3       5 points

Thème : étude de fonctions

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A.

Le plan est ramené à un repère orthogonal. On a représenté ci-dessous la courbe d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$, ainsi que celle de sa dérivée $f’$ et de sa dérivée seconde $f\dsec$.

  1. Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.
    $\quad$
  2. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_2$ au point d’abscisse $4$.
    $\quad$
  3. Donner, avec la précision permise par le graphique, l’abscisse de chaque point d’inflexion de la courbe $C_1$.
    $\quad$

Partie B.

Soit un réel $k$ strictement positif. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$g(x)=\dfrac{4}{1+\e^{-kx}}$$.

  1. Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .
    $\quad$
  2. Prouver que $g'(0)=k$.
    $\quad$
  3. En admettant le résultat ci-dessous obtenu avec un logiciel de calcul formel, prouver que la courbe de $g$ admet un point d’inflexion au point d’abscisse $0$.
    $\quad$

    $\quad$

$\quad$

Exercice 4       5 points

Thème : suites, fonction logarithme, algorithmique

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

  1. Affirmation : La suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}$ est bornée.
    $\quad$
  2. Affirmation : Toute suite bornée est convergente.
    $\quad$
  3. Affirmation : Toute suite croissante tend vers $+\infty$.
    $\quad$
  4. Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\ln\left(x^2+2x+2\right)$.
    Affirmation : La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[−3 ; 1]$.
    $\quad$
  5. On considère la fonction $\texttt{mystere}$ définie ci-dessous qui prend une liste $\texttt{L}$ de nombres en paramètre. On rappelle que $\texttt{len(L)}$ renvoie la longueur, c’est-à-dire le nombre d’éléments de la liste $\texttt{L}$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \texttt{def mystere(L) :}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{M = L[0]}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{#On initialise M avec le premier élément de la liste L}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{for i in range(len(L)) :}\\
    \hspace{1.6cm}\texttt{if L[i] > M :}\\
    \hspace{1.6cm}\texttt{M = L[i]}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{return M}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Affirmation : L’exécution de $\texttt{mystere([2,3,7,0,6,3,2,0,5]) }$ renvoie $\texttt{7}$.
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 1 – 13 mars 2023

Polynésie – 13 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On veut calculer:
    $\begin{align*} p(J\cap T)&=p(J)p_J(T) \\
    &=0,21\times (1-0,68)\\
    &=0,067~2\end{align*}$
    La probabilité que la personne interrogée ait moins de 35 ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels est égale à $0,067~2$.
    $\quad$
  2. $\left(J,\conj{J}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} p(T)&=p(J\cap T)+p\left(\conj{J}\cap T\right) \\
    &=0,067~2+p\left(\conj{J}\right)p_{\conj{J}}(T) \\
    &=0,067~2+(1-0,21)\times 0,2 \\
    &=0,225~2\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_T(J)&=\dfrac{p(T\cap J)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,067~2}{0,225~2} \\
    &\approx 0,298\end{align*}$
    La probabilité que l’habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels ait moins de $35$ ans est environ égale à $0,30$.
    $\quad$

Partie B

  1. On répète de façon indépendante $120$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,3$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=120$ et $p=0,3$.
    $\quad$
  2. On veut calculer $p(X\pg 50)= 1- p(X\pp 49) \approx 0,004$.
    La probabilité qu’au moins $50$ utilisateurs de vélo parmi les $120$ aient moins de 35 ans est environ égale à $0,004$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $\vec{v}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires car aucune des composantes de $\vec{u}$ n’est nulle alors que la troisième de $\vec{v}$ l’est.
    Par conséquent $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
    c. Une représentation paramétrique de la droite $d_1$ est $\begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\end{cases} \quad \forall t\in \R$.
    Résolvons le système :
    $\begin{align*} &\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\\x=2k-3\\y=k\\z=5\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\\2+t=2k-3\\3-t=k\\t=5\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\\t=5\\7=2k-3\\k=-2\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\\t=5\\k=5\\k=-2\end{cases} \end{align*}$
    Les deux dernières lignes du système ne sont pas compatibles.
    Les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont donc pas sécantes.
    $\quad$
    d. Les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont ni sécantes, ni parallèles. Elles sont par conséquent non coplanaires.
    $\quad$
  2. a. D’une part $\vec{w}.\vec{u}=-1-2+3=0$
    D’autre part $\vec{w}.\vec{v}=-2+2+0=0$
    Le vecteur $\vec{w}$ est donc orthogonal aux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
    $\quad$
    b. Soit $M'(3;3;5)$.
    $5\times 3+4\times 3-5-22=15+12-5-22=0$. $M’$ appartient au plan $P$.
    Prenons $k=3$ dans la représentation paramétrique de $d_2$.
    On obtient $x=6-3=3$, $y=3$ et $z=5$. $M’$ appartient à $d_2$.
    Les droite $d_1$ et $d_2$ ne sont pas coplanaires. Par conséquent la droite $d_2$ n’est pas incluse dans le plan $P$.
    Ainsi l’intersection de la droite $d_2$ et du plan $P$ est le point $M(3;3;5)$.
    $\quad$
  3. a. Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{w}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}$.
    D’après la question 2.a., les droites $\Delta$ et $d_1$ sont orthogonales.
    Montrons qu’elles sont sécantes.
    $\begin{align*} \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\x=2+t\\y=3-t\\z=t\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\-r+3=2+t\\2r+3=3-t\\3r+5=t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\t=3r+5\\-r+3=2+3r+5\\2r+3=3-3r-5\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\t=3r+5\\-4r=4\\5r=-5\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\r=-1\\t=2\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} r=-1\\t=2\\x=4\\y=1\\z=2\end{cases}\end{align*}$.
    Les droites $\Delta$ et $d_1$ sont perpendiculaires en $L(4;1;2)$.
    $\quad$
    b. La droite $\Delta$ est orthogonale à la droite $d_2$ d’après la question 2.a.
    Prenons $k=3$ dans la représentation paramétrique de $d_2$.
    On obtient $x=3$, $y=3$ et $z=5$. Le point de coordonnées $(3;3;5)$ appartient donc à la fois à la droite $d_2$ et, par construction, à la droite $\Delta$.
    Ainsi $\Delta$ et $d_2$ sont perpendiculaires au point de coordonnées $(3;3;5)$.
    $\quad$
    La droite $\Delta$ est donc perpendiculaires au deux droites $d_1$ et $d_2$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. La fonction $f$ est dérivable deux fois sur $\R$ en tant que somme de fonctions deux fois dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $f'(x)=\e^x-1$ et $f\dsec(x)=\e^x>0$.
    La fonction $f$ est convexe sur $\R$.
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\left(2\e^x-6\right)\left(\e^x+2\right)=0 \ssi 2\e^x-6=0$ ou $\e^x+2=0$.
    $2\e^x-6=0 \ssi 2\e^x=6\ssi \e^x=3\ssi x=\ln(3)$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc $\e^x+2>2>0$.
    Ainsi l’équation $\left(2\e^x-6\right)\left(\e^x+2\right)=0$ possède une unique solution dans $\R$ qui est $\ln(3)$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Pour tout $x>0$ on a
    $\begin{align*} \dfrac{\e^{2x}-1}{\e^x-x}&=\dfrac{\e^{2x}\left(1-\e^{-2x}\right)}{\e^x\left(1-x\e^{-x}\right)} \\
    &=\e^x\times \dfrac{1-\e^{-2x}}{1-x\e^{-x}}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-2x}=0$, $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ et par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} x\e^{-x}=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{2x}-1}{\e^x-x}=+\infty$.
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=2\e^{3x}+3(2x+1)\e^{3x} \\
    &=(2+6x+3)\e^{3x} \\
    &=(6x+5)\e^{3x} \\
    &=f(x)\end{align*}$
    $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
    $F(0)=1+4=5$.
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
  5. La fonction $\texttt{mystere}$ renvoie la moyenne des valeurs contenues dans la liste.
    La moyenne ici est égale à :
    $\dfrac{1+9+9+5+0+3+6+12+0+5}{10}=5$.
    Affirmation 5 fausse
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Pour tout $n\in \N$ on note $P(n):~u_n=2\times 0,9^n-3$.
    Initialisation : $u_0=-1$ et $2\times 0,9^0-3=-1$.
    Donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=0,9u_n-0,3\\
    &=0,9\left(2\times 0,9^n-3\right)-0,3 \\
    &=2\times 0,9^{n+1}-2,7-0,3\\
    &=2\times 0,9^{n+1}-0,3\end{align*}$
    $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $u_n=2\times 0,9^n-3$.
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a $u_n=-3+2\times 0,9^n>-3$ (on ajoute un nombre positif à $-3$).
    $\begin{align*}u_n+1&=2\times 0,9^n-2 \\
    &=2\left(0,9^n-1\right) \\
    &<0\end{align*}$
    Donc $-3<u_n\pp -1$.
    $\quad$
    c. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=2\times 0,9^{n+1}-3-2\times 0,9^n+3\\
    &=2\times 0,9^n(0,9-1) \\
    &<0\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
    $\quad$
    d. $0<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,9^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-3$.
    La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $-3$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $g$ est dérivable sur $]-3;-1]$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
    Pour tout $x\in ]-3;-1]$
    $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{0,5}{0,5x+1,5}-1 \\
    &=\dfrac{0,5-0,5x-1,5}{0,5x+1,5} \\
    &=\dfrac{-0,5x-1}{0,5x+1,5} \\
    &=-\dfrac{0,5x+1}{0,5x+1,5}\end{align*}$
    Sur $]-3;-1]$ on a $0,5x+1,5>0$.
    $0,5x+1=0 \ssi 0,5x=-1 \ssi x=-2$
    $-(0,5x+1)>0 \ssi 0,5x+1<0 \ssi x<-2$
    La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]-3;-2]$ et strictement décroissante sur $[-2;-1]$.
    $g(-1)=0-(-1)=1$.
    $\lim\limits_{x\to -3^+} 0,5x+1,5=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x\to -3^+} \ln(0,5x+1,5)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -3^+} g(x)=-\infty$.
    $\quad$
    b. $g(-2)=\ln(0,5)+2 \approx 1,3$.
    La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]-3;-2]$.
    $g(-2)>0$ et $\lim\limits_{x\to -3^+} g(x)=-\infty$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-3;-2]$.
    Pour tout $x\in ]-2;-1]$ on a $g(x)\pg -1$ car la fonction $g$ est décroissante sur cette intervalle et $g(-1)=1$.
    L’équation $g(x)=0$ n’admet donc pas de solution sur cet intervalle.
    Finalement l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-3;-1]$.
    D’après la calculatrice $\alpha\approx -2,8887$. Par conséquent $-2,889<\alpha <-2,888$.
    $\quad$
  3. a. Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\ln\left(0,5u_{n+1}+1,5\right) -\ln\left(0,5u_{n}+1,5\right)\\
    &=\ln\left(0,9^{n+1}-1,5+1,5\right)-\ln\left(0,9^{n}-1,5+1,5\right) \\
    &=\ln\left(0,9^{n+1}\right)-\ln\left(0,9^{n}\right)\\
    &=(n+1)\ln(0,9)-n\ln(0,9)\\
    &=\ln(0,9)\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $\ln(0,9)$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} u_n=v_n&\ssi u_n=\ln\left(0,5u_n+1,5\right) \\
    &\ssi \ln\left(0,5u_n+1,5\right) -u_n=0 \\
    &\ssi g\left(u_n\right)=0\end{align*}$
    $\quad$
    c. $v$ est une suite arithmétique de premier terme $0$ et de raison $\ln(0,9)$.
    Donc pour tout $n\in \N$, $v_n=n\ln(0,9)$.
    $u_n=v_n\ssi g\left(u_n\right)=0\ssi g\left(v_n\right)=0 \ssi v_n=\alpha$.
    Par conséquent $n\ln(0,9)=\alpha \ssi n=\dfrac{\alpha}{\ln(0,9)}$
    Or $-2,889<\alpha <-2,888$ donc $\dfrac{-2,889}{\ln(0,9)}<n<\dfrac{-2,888}{\ln(0,9)}$
    Mais $\dfrac{-2,889}{\ln(0,9)} \approx 27,42$ et $\dfrac{-2,888}{\ln(0,9)} \approx 27,41$.
    Il n’existe aucun entier naturel entre ces deux nombres.
    Il n’existe donc aucun rang $k\in \N$ pour lequel $u_k=\alpha$.
    $\quad$
    d. Or $u_n=\alpha\ssi g\left(u_n\right)=0\ssi u_n=v_n$.
    Il n’existe donc aucun rang $k\in \N$ pour lequel $v_k=u_k$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1      4 points

Thème : probabilités

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Les utilisateurs de vélo d’une ville sont classés en deux catégories disjointes :

  • ceux qui utilisent le vélo dans leurs déplacements professionnels ;
  • ceux qui utilisent le vélo uniquement pour leurs loisirs.

Un sondage donne les résultats suivants :

  • $21 \%$ des utilisateurs ont moins de 35 ans. Parmi eux, $68 \%$ utilisent leur vélo uniquement pour leurs loisirs alors que les autres l’utilisent dans leurs déplacements professionnels ;
  • parmi les 35 ans ou plus, seuls $20 \%$ utilisent leur vélo dans leurs déplacements professionnels, les autres l’utilisent uniquement pour leurs loisirs.

On interroge au hasard un utilisateur de vélo de cette ville.
Dans tout l’exercice on considère les événements suivants :

  • $J$ : « la personne interrogée a moins de 35 ans » ;
  • $T$ : « la personne interrogée utilise le vélo dans ses déplacements professionnels » ;
  • $\conj{J}$ et $\conj{T}$ sont les événements contraires de $J$ et $T$.

Partie A

  1. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait moins de 35 ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
    $\quad$
  2.  Calculer la valeur exacte de la probabilité de $T$.
    $\quad$
  3. On considère à présent un habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels. Démontrer que la probabilité qu’il ait moins de 35 ans est $0,30$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on s’intéresse uniquement aux personnes utilisant leur vélo dans leurs déplacements professionnels. On admet que $30 \%$ d’entre elles ont moins de 35 ans.

On sélectionne au hasard parmi elles un échantillon de 120 personnes auxquelles on va soumettre un questionnaire supplémentaire. On assimile la sélection de cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.

On demande à chaque individu de cet échantillon son âge.

$X$ représente le nombre de personnes de l’échantillon ayant moins de 35 ans.

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

  1. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’au moins $50$ utilisateurs de vélo parmi les $120$ aient moins de 35 ans.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2      5 points

Thème : géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère :

  • $d_1$ la droite passant par le point $H(2; 3; 0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\-1\\1\end{pmatrix}$;
  • $d_2$ la droite de représentation paramétrique :$$\begin{cases} x=2k-3\\y=k\\z=5\end{cases} \qquad \text{où $k$ décrit $\R$}$$

Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d’une droite $\Delta$ qui soit perpendiculaire aux droites $d_1$ et $d_2$.

  1. a. Déterminer un vecteur directeur $\vec{v}$ de la droite $d_2$.
    $\quad$
    b. Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
    c. Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas sécantes.
    $\quad$
    d. Quelle est la position relative des droites $d_1$ et $d_2$ ?
    $\quad$
  2. a. Vérifier que le vecteur $\vec{w}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$.
    $\quad$
    b. On considère le plan $P$ passant par le point $H$ et dirigé par les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$.
    On admet qu’une équation cartésienne de ce plan est :
    $$5x+4y-z-22 = 0.$$
    Démontrer que l’intersection du plan $P$ et de la droite $d_2$ est le point $M(3; 3; 5)$.
    $\quad$
  3. Soit $\Delta$ la droite de vecteur directeur $\vec{w}$ passant par le point $M$. Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc donnée par :
    $$\begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\end{cases} \qquad \text{où $r$ décrit $\R$}$$
    a. Justifier que les droites $\Delta$ et $d_1$ sont perpendiculaires en un point $L$ dont on déterminera les coordonnées.
    $\quad$
    b. Expliquer pourquoi la droite $\Delta$ est solution du problème posé.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3      5 points

Thème : fonction exponentielle, algorithmique

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

  1. Affirmation : La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^x-x$ est convexe.
    $\quad$
  2. Affirmation : L’équation $\left(2e^x-6\right)\left(\e^x + 2\right) = 0$ admet $\ln(3)$ comme unique solution dans $\R$.
    $\quad$
  3. Affirmation : $$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{2x}-1}{\e^x-x}=0$$
    $\quad$
  4. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(6x+5)\e^{3x}$ et $F$ la fonction définie sur $\R$ par : $F(x) = (2x + 1)\e^{3x}+4$.
    Affirmation : $F$ est la primitive de $f$ sur $\R$ qui prend la valeur $5$ quand $x = 0$.
    $\quad$
  5. On considère la fonction $\texttt{mystere}$ définie ci-dessous qui prend une liste $\texttt{L}$ de nombres en paramètre.
    On rappelle que $\texttt{len(L)}$ représente la longueur de la liste $\texttt{L}$.
    $$\begin{array}{|lll|}
    \hline
    \\
    \phantom{1234}&\texttt{def mystere(L) :}&\phantom{1234} \\
    &\hspace{0.8cm} \texttt{S = 0}& \\
    &\hspace{0.8cm} \texttt{for i in range(len(L)) :}&\\
    &\hspace{1.6cm} \texttt{S = S + L[i]}&\\
    &\hspace{0.8cm} \texttt{return S / len(L)}&\\
    \\
    \hline
    \end{array}$$
    Affirmation : L’exécution de $\texttt{mystere([1,9,9,5,0,3,6,12,0,5]) }$ renvoie $\texttt{50}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4      6 points

Thème : suites, fonctions

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=-1$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=0,9u_n-0,3$$

  1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \N, u_n = 2 \times 0,9^n-3$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout $n\in \N$, $-3 < u_n \pp -1$.
    $\quad$
    c. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
    $\quad$
    d. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et préciser sa limite.
    $\quad$
  2. On se propose d’étudier la fonction $g$ définie sur $]-3 ; -1]$ par :
    $$g(x) = \ln(0,5x + 1,5)-x$$.
    a. Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction $g$ (limites, variations, image de $-1$).
    $\quad$

    $\quad$
    b. En déduire que l’équation $g(x) = 0$ a exactement une solution que l’on
    notera $\alpha$ et dont on donnera un encadrement d’amplitude $10^-3$.
    $\quad$
  3. Dans la suite de l’exercice, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $n\in\N$, par : $$v_n = \ln\left(0,5u_n + 1,5\right).$$
    a. En utilisant la formule donnée à la question 1. a., démontrer que $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $\ln(0,9)$.
    $\quad$
    b. Soit $n$ un entier naturel.
    Démontrer que $u_n=v_n$ si, et seulement si $g\left(u_n\right)=0$.
    $\quad$
    c. Démontrer qu’il n’existe aucun rang $k\in \N$ pour lequel $u_k = \alpha$.
    $\quad$
    d. En déduire qu’il n’existe aucun rang $k\in \N$ pour lequel $v_k = u_k$.
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 2 – 14 mars 2023

Centre étrangers – 14 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=(x-1)\e^x$.
    Elle est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=1\times \e^x+(x-1)\e^x \\
    &=(1+x-1)\e^x \\
    &=x\e^x \\
    &=f(x)\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  2. $f$ est convexe sur $[5;+\infty[$ donc $f\dsec(x)\pg 0$ sur cet intervalle.
    Il semblerait que $f(x)\pg 0$ sur cet intervalle également.
    Réponse D
    $\quad$
  3. $g(0)=2\ssi \dfrac{a}{b+1}=2$
    $\lim\limits_{t\to +\infty} \e^{-t}=0$ donc $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=\dfrac{a}{b}$. Par conséquent $\dfrac{a}{b}=3$.
    On résout donc le système :
    $\begin{align*}\begin{cases} \dfrac{a}{b+1}=2\\[2mm] \dfrac{a}{b}=3 \end{cases} &\ssi \begin{cases} a=2b+2\\a=3b\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=3b\\3b=2b+2\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=2\\a=6\end{cases}\end{align*}$
    Réponse D
    $\quad$
  4. On appelle $A$ l’événement “choisir l’urne A”, $B$ l’événement “choisir l’urne B” et $V$ l’événement “obtenir une boule verte”
    $(A,B)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} p(V)&=p(A\cap V)+p(B\cap V) \\
    &=p(A)p_A(V)+p(B)p_B(V) \\
    &=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{4} \\
    &=\dfrac{5}{8}\end{align*}$
    On veut calculer :
    $\begin{align*} p_V(B)&=\dfrac{p(V\cap B)}{p(V)} \\
    &=\dfrac{p(B)p_B(V)}{p(V)} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{8}} \\
    &=\dfrac{3}{5}\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  5. Dans le script A, on calcule tous les termes de la somme mais on ne les ajoute pas.
    Dans le script C, la boucle while s’arrête si la somme est supérieure à $100$ ce qui ne correspond pas à ce qu’on veut calculer.
    Dans le script D, la boucle while est infinie puisque $k$ ne change pas de valeur.
    Réponse B
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

  1. $\lim\limits_{x\to -1,5^+} 2x+3=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -1,5^+} f(x)=-\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to -1,5^+} f(x)-x=-\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x\to -1,5^+} g(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ est dérivable sur $]-1,5;+\infty[$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
    Pour tout $x>-1,5$
    $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{2}{2x+3}-1 \\
    &=\dfrac{2-2x-3}{2x+3} \\
    &=\dfrac{-2x-1}{2x+3}\\
    &=-\dfrac{2x+1}{2x+3}\end{align*}$.
    Sur $]-1,5;+\infty[$ on a $2x+3>0$.
    $g'(x)$ est donc du signe de $-(2x+1)$.
    Or $2x+1=0 \ssi 2x=-1 \ssi x=-\dfrac{1}{2}$ et $2x+1>0\ssi 2x>-1\ssi x>-\dfrac{1}{2}$.
    La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]-1,5;-0,5]$ et strictement décroissante sur $[-0,5;+\infty[$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]-0,5;+\infty[$.
    $g(-0,5)=\ln(2)-0,5\approx 0,19>0$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-0,5;+\infty[$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $\alpha \approx 0,256$ donc $0,25\pp \alpha \pp 0,26$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

  1. $g(\alpha)=0 \ssi f(\alpha)-\alpha=0\ssi f(\alpha)=\alpha$.
    $f(-1)=-1$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1,5;+\infty[$.
    Or $[-1;\alpha] \subset ]-1,5;+\infty[$.
    Donc, pour tout $x\in [-1;\alpha]$, $f(x)\in \left[f(-1);f(\alpha)\right]$ soit $f(x)\in [-1;\alpha]$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~-1 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    Initialisation : $u_0=0$, $u_1=f(0)=\ln(3)-1\approx 0,1$.
    Par conséquent $0 \pp u_0 \pp u_1 \pp \alpha$ puisque $\alpha \approx 0,256$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $-1\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1,5;+\infty[$.
    Donc $f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right)$ soit $u_{n+1} \pp u_{n+2}$.
    De plus d’après la question B.1, pour tout $x\in [-1;\alpha]$, $f(x)\in [-1;\alpha]$.
    Par conséquent, pour tout $u_{n+1}$ et $u_{n+2}$ appartiennent à $[-1;\alpha]$.
    Ainsi $-1 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$ et $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $-1\pp u_n\pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\alpha$. Elle converge donc.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. On a $H(0;2;2)$, $M(3,0,1)$ et $N(3,1,1)$.
    $\quad$
    b. $\vect{HM}\begin{pmatrix} 3\\-2\\-1\end{pmatrix}$
    Une représentation paramétrique de la droite $(HM)$ est donc $\begin{cases} x=3t\\y=2-2t\\z=2-t\end{cases} \quad \forall t\in \R$.
    $\quad$
  2. Les abscisses des points $B$, $C$ et $F$ sont toutes égales à $2$.
    Une équation du plan $(BCF)$ est donc $x=2$.
    On appelle $P’$ le point de coordonnées $\left(2;\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)$.
    L’abscisse de $P’$ est $2$ donc $P’$ appartient donc à $(BCF)$.
    Prenons $t=\dfrac{2}{3}$ dans la représentation paramétrique de $(HM)$.
    On obtient $x=2$, $y=2-\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}$ et $z=2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$. Donc $P’$ appartient à $(HM)$.
    La droite $(HM)$ n’est pas incluse dans le plan $(BCF)$ puisque $H$ n’appartient pas à $(BCF)$.
    Ainsi le point d’intersection de $(HM)$ et de $(BCF)$ est $P’$ de coordonnées $\left(2;\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)$.
    $\quad$
  3. a. $\vect{PM}\begin{pmatrix}1\\-\dfrac{2}{3}\\[2mm]-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$ et $\vect{PN}\begin{pmatrix}1\\\dfrac{1}{3}\\[2mm]-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} \vect{PM}.\vect{PN}&=1-\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{9} \\
    &=\dfrac{8}{9}\end{align*}$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} PM&=\sqrt{1^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{1+\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{14}{9}}\\
    &=\dfrac{\sqrt{14}}{3}\end{align*}$
    $\quad$
    c. D’une part $ \vect{PM}.\vect{PN}=\dfrac{8}{9}$
    D’autre part $ \vect{PM}.\vect{PN}=PM\times PN\times \cos\left(\widehat{MPN}\right)$.
    Par conséquent
    $\cos\left(\widehat{MPN}\right)=\dfrac{\dfrac{8}{9}}{PM\times PN}$
    soit $\cos\left(\widehat{MPN}\right)=\dfrac{\dfrac{8}{9}}{\dfrac{\sqrt{14}}{3}\times \dfrac{\sqrt{11}}{3}}$
    Ainsi $\widehat{MPN} \approx 49,86$°$<55$°.
    Le toît pourra être construit.
    $\quad$
  4. $E(0;0;2)$ donc $\vect{EN}\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$.
    Méthode 1 : 
    Une représentation paramétrique de la droite $(EN)$ est $\begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\end{cases} \forall k\in \R$.
    Résolvons le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\\x=3t\\y=2-2t\\z=2-t\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\\k=t\\2-2t=k\\2-t=2-k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\\k=t\\2-2t=t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\\k=t\\3t=2\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=k=\dfrac{2}{3}\\x=2\\y=\dfrac{2}{3}\\z=\dfrac{4}{3}\end{cases}\end{align*}$.
    Les droites $(HM)$ et $(EN)$ sont donc sécantes en $P$.
    $\quad$
    Méthode 2 :
    $E$ et $M$ ont la même ordonnée ce qui n’est pas le cas de $M$ et $H$. Ainsi $E$, $H$ et $M$ ne sont pas alignés.
    Les droites $(HM)$ et $(EN)$ sont donc soit sécantes soit non coplanaires.
    $\vect{EN}\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{PN}\begin{pmatrix}1\\\dfrac{1}{3}\\[2mm]-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.
    Donc $\vect{EN}=-3\vect{PN}$.
    Ces deux vecteurs sont colinéaires. Par conséquent $E$, $P$ et $N$ sont alignés.
    Par construction, $P$ appartient à $(HM)$.
    Ainsi $(HM)$ et $(EN)$ sont sécantes en $P$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de candidats se qualifiant lors de la première phase.
On répète de manière indépendante $4$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,6$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n=4$ et $p=0,6$.
$\begin{align*}
P(X\pg 2)&=1-P(X\pp 1) \\
&=1-P(X=0)-P(X=1) \\
&=1-0,4^4-\dbinom{4}{1}0,6^1\times 0,4^3\\
&\approx 0,821\end{align*}$.
Par conséquent $P(X\pg 2) \pg 0,8$ : la première condition est vérifiée.

La durée moyenne est égale à
$\begin{align*} d_m&=5P(X=2)+9P(X=3)+11P(X=4)
&\approx 6,3\\
&>6\end{align*}$
La condition 2 n’est pas vérifiée.

Le jeu ne pourra pas être retenu.

$\quad$

Énoncé

Exercice 1 (QCM)       5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie. Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

  1. Question1:
    Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^x$. Une primitive $F$ sur $\R$ de la fonction $f$ est définie par :
    A. $F(x)=\dfrac{x^2}{2}\e^x$
    B. $F(x)=(x-1)\e^x$
    C. $F(x)=(x+1)\e^x$
    D. $F(x)=\dfrac{1}{2}x\e^{x^2}$
    $\quad$
  2. La courbe $C$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]0; +\infty[$.
    On sait que :
    $\bullet$ le maximum de la fonction $f$ est atteint au point d’abscisse $3$ ;
    $\bullet$ le point $P$ d’abscisse $5$ est l’unique point d’inflexion de la courbe $C$.
    $\quad$

    $\quad$
    A. pour tout $x\in ]0;5[$, $f(x)$ et $f'(x)$ sont de même signe ;
    B. pour tout $x\in ]5;+\infty[$, $f(x)$ et $f'(x)$ sont de même signe ;
    C. pour tout $x\in ]0;5[$, $f'(x)$ et $f\dsec(x)$ sont de même signe ;
    D. pour tout $x\in ]5;+\infty[$, $f(x)$ et $f\dsec(x)$ sont de même signe .
    $\quad$
  3. Question 3 :
    On considère la fonction $g$ définie sur $[0; +\infty[$ par $g(t)=\dfrac{a}{b+\e^{-t}}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
    On sait que $g(0) = 2$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=3$. Les valeurs de $a$ et $b$ sont :
    A. $a=2$ et $b=3$
    B. $a=4$ et $b=\dfrac{1}{3}$
    C. $a=4$ et $b=1$
    D. $a=6$ et $b=2$
    $\quad$
  4. Question 4 :
    Alice dispose de deux urnes A et B contenant chacune quatre boules indiscernables au toucher. L’urne A contient deux boules vertes et deux boules rouges. L’urne B contient trois boules vertes et une boule rouge.
    Alice choisit au hasard une urne puis une boule dans cette urne. Elle obtient une boule verte. La probabilité qu’elle ait choisi l’urne B est :
    A. $\dfrac{3}{8}$
    B. $\dfrac{1}{2}$
    C. $\dfrac{3}{5}$
    D. $\dfrac{5}{8}$
    $\quad$
  5. Question 5 :
    On pose $S = 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{100}$.
    Parmi les scripts Python ci-dessous, celui qui permet de calculer la somme $S$ est :
    $$\begin{array}{lll}
    \begin{array}{l}
    \textbf{a.}\\
    \texttt{def somme_a() :}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{S = 0}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{for k in range(100) :}\\
    \hspace{1.6cm}\texttt{S=1/(k+1)}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{return S}\end{array}
    &\phantom{1234}
    &\begin{array}{l}
    \textbf{b.}\\
    \texttt{def somme_b() :}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{S = 0}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{for k in range(100) :}\\
    \hspace{1.6cm}\texttt{S = S + 1/(k + 1)}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{return S}\end{array} \\\\
    \begin{array}{l}
    \textbf{c.}\\
    \texttt{def somme_c() :}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{k = 0}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{while S < 100}\\
    \hspace{1.6cm}\texttt{S=S + 1/(k+1)}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{return S}\end{array}
    &\phantom{1234}
    &\begin{array}{l}
    \textbf{d.}\\
    \texttt{def somme_d() :}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{k = 0}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{while k < 100}\\
    \hspace{1.6cm}\texttt{S = S + 1/(k + 1)}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{return S}\end{array} \\
    \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2       6 points

On considère la fonction $f$ définie sur $]-1,5;+\infty[$ par $f(x)=\ln(2x+3)-1$.

Le but de cet exercice est d’étudier la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $$u_0=0 \text{ et } u_{n+1}=f\left(u_n\right) \text{ pour tout entier naturel $n$.}$$

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

On considère la fonction $g$ définie sur $]-1,5;+\infty[$ par $g(x)=f(x)-x$.

  1. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $-1,5$.
    $\quad$

On admet que la limite de la fonction $g$ en $+\infty$ est $-\infty$.

  1. Étudier les variations de la fonction $g$ sur $]-1,5 ; +∞[$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, dans l’intervalle $]-0,5 ; +\infty[$, l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$.
    $\quad$
    b. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

On admet que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1,5 ; +\infty[$.

  1. Soit $x$ un nombre réel. Montrer que si $x\in [-1; \alpha]$ alors $f(x)\in [-1;\alpha]$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
    $$-1\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$$
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3       6 points

La figure ci-dessous correspond à la maquette d’un projet architectural.
Il s’agit d’une maison de forme cubique $(ABCDEFGH)$ accolée à un garage de forme cubique $(BIJKLMNO)$ où $L$ est le milieu du segment $[BF]$ et $K$ est le milieu du segment $[BC]$.
Le garage est surmonté d’un toit de forme pyramidale $(LMNOP)$ de base carrée $LMNO$ et de sommet $P$ positionné sur la façade de la maison.

On munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ avec $\vec{i}=\dfrac{1}{2}\vect{AB}$, $\vec{j}=\dfrac{1}{2}\vect{AD}$ et $\vec{k}=\dfrac{1}{2}\vect{AE}$.

  1. a. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points $H$, $M$ et $N$.
    $\quad$
    b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(HM)$.
    $\quad$
  2. L’architecte place le point $P$ à l’intersection de la droite $(HM)$ et du plan $(BCF)$.
    Montrer que les coordonnées de $P$ sont $\left(2;\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)$.
    $\quad$
  3. a. Calculer le produit scalaire $\vect{PM}.\vect{PN}$.
    $\quad$
    b. Calculer la distance $PM$.
    $\quad$
    On admet que la distance $PN$ est égale à $\dfrac{\sqrt{11}}{3}$
    $\quad$
    c. Pour satisfaire à des contraintes techniques, le toit ne peut être construit que si l’angle $\widehat{MPN}$ ne dépasse pas $55$°. Le toit pourra-t-il être construit ?
    $\quad$
  4. Justifier que les droites $(HM)$ et $(EN)$ sont sécantes. Quel est leur point d’intersection ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4       3 points

Une société de production s’interroge sur l’opportunité de programmer un jeu télévisé. Ce jeu réunit quatre candidats et se déroule en deux phases.

La première phase est une phase de qualification. Cette phase ne dépend que du hasard.
Pour chaque candidat, la probabilité de se qualifier est $0,6$ .

La deuxième phase est une compétition entre les candidats qualifiés. Elle n’a lieu que si deux candidats au moins sont qualifiés. Sa durée dépend du nombre de candidats qualifiés comme l’indique le tableau ci-dessous (lorsqu’il n’y a pas de deuxième phase, on considère que sa durée est nulle).

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{l}\text{Nombre de}\\
\text{candidats qualifiés}\\
\text{pour la deuxième}\\
\text{phase}\end{array}&\phantom{123}0\phantom{123}&\phantom{123}1\phantom{123}&\phantom{123}2\phantom{123}&\phantom{123}3\phantom{123}&\phantom{123}4\phantom{123}\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Durée de la}\\
\text{deuxième phase en}\\
\text{minutes}\end{array}&0&0&5&9&11\\
\hline
\end{array}$$

Pour que la société décide de retenir ce jeu, il faut que les deux conditions suivantes soient vérifiées :

Condition n°1 : La deuxième phase doit avoir lieu dans au moins $80\%$ des cas.

Condition n°2 : La durée moyenne de la deuxième phase ne doit pas excéder $6$ minutes.

$\quad$

Le jeu peut-il être retenu ?

$\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Nouvelle Calédonie- sujet 1 – 26 octobre 2022

Nouvelle Calédonie – 26 octobre 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a.$\lim\limits_{x\to 0} x^2-6x=0$ et $\lim\limits_{x\to 0} \ln(x)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=-\infty$.
    La droite d’équation $x=0$ est donc asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x^2\left(1-\dfrac{6}{x}+\dfrac{4\ln(x)}{x^2}\right)$.
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$.
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x>0$ on a:
    $\begin{align*} f'(x)&=2x-6+\dfrac{4}{x} \\
    &=\dfrac{2x^2-6x+4}{x} \\
    &=\dfrac{2\left(x^2-3x+2\right)}{x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui-ci de $x^2-3x+2$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=1>0$.
    Les racines de ce polynômes sont :
    $x_1=\dfrac{3+\sqrt{1}}{2}=2$ et $x_2=\dfrac{3-\sqrt{1}}{2}=1$.
    Le coefficient principal du polynôme est $a=1>0$.
    Ainsi :
    $\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]0;1[$;
    $\bullet$ $f'(1)=0$;
    $\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]1;2[$;
    $\bullet$ $f'(2)=0$;
    $\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]2;+\infty[$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    $f(2)=-8+4\ln(2)$
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[4;5]$.
    De plus $f(4)\approx -2,45<0$ et $f(5)\approx 1,44>0$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[4;5]$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout $x>0$
    $\begin{align*} f\dsec(x)>0 &\ssi 2x^2-4>0 \\
    &\ssi x^2>2 \\
    &\ssi x>\sqrt{2}\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc concave sur $\left]0;\sqrt{2}\right]$ et convexe sur $\left[\sqrt{2};+\infty\right[$.
    De plus $f\dsec\left(\sqrt{2}\right)=0$ et $f\left(\sqrt{2}\right)=2-6\sqrt{2}+2\ln(2)$.
    Ainsi, $\mathscr{C}_f$ admet un unique point d’inflexion de coordonnées $\left(\sqrt{2};2-6\sqrt{2}+2\ln(2)\right)$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est concave sur $\left]0;\sqrt{2}\right]$. La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc au-dessus de ses cordes sur cet intervalle.
    La fonction $f$ est convexe sur $\left[\sqrt{2};+\infty\right[$. La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc au-dessous de ses cordes sur cet intervalle.
    Ainsi :
    – $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $[AM]$ sur $\left]0;\sqrt{2}\right[$.
    – $\mathscr{C}_f$ est au-dessous de $[AM]$ sur $\left]\sqrt{2};+\infty[\right[$.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $u_1=-\e^{-1}\approx -0,368$ et $u_2=-\e^{-3-\e^{-1}}\approx -0,034$.
    $\quad$
    b. $\texttt{fonc(2)}$ renvoie la valeur de $u_2$ c’est-à-dire environ $0,034$.
    $\quad$
  2. a. Par hypothèse $f$ est dérivable sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2\e^x+x^3\e^x \\
    &=x^2\e^x(3+x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+3$.
    Or $x+3=0 \ssi x=-3$ et $x+3>0 \ssi x>-3$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;-3]$ et strictement croissante sur $[-3;+\infty[$.
    De plus, par croissances comparées $\lim\limits_{x\to -\infty} x^3\e^{-x}=0$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} x^3=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\begin{align*} f(-3)&=(-3)^3\e^{-3} \\
    &=-27\e^{-3}\end{align*}$
    On a ainsi justifié chacun des éléments du tableau de variations.
    $\quad$
    c. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~-1\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 0$.
    Initialisation : $u_0=-1$ et $u_1\approx -0,368$.
    On a donc bien $-1\pp u_0\pp u_1 \pp 0$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $-1\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 0$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[-1;0]$.
    Par conséquent $f(-1) \pp f\left(u_n\right)\pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(0)$
    Or $f(-1) \approx -0,368$ et $f(0)=0$.
    Ainsi $-1\pp u_{n+1} \pp u_{n+2}\pp 0$.
    $P(n+1)$ est donc vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$ on a $-1\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 0$.
    $\quad$
    d. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $0$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
    $\quad$
    e. On a $f(x)=x\ssi x^3\e^x=x \ssi x\left(x^2\e^x-1\right)=0 \ssi x=0$ ou $x^2\e^x-1=0$.
    Or l’équation $x^2\e^x-1=0$ possède une unique solution supérieure à $\dfrac{1}{2}$ et on sait que $-1\pp \ell \pp 0$.
    Ainsi $\ell=0$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Le point $G$ a pour coordonnées $(3;2;1)$.
    $\quad$
  2. Une équation cartésienne du plan $(EHI)$ est donc de la forme $2x-3z+d=0$.
    Le point $E(0;0;1)$ appartient à ce plan donc $0-3+d=0\ssi d=3$.
    Une équation cartésienne du plan $(EHI)$ est par conséquent $2x-3z+3=0$.
    $\quad$
  3. Le triangle $EIF$ est isocèle en $I$ et $\vect{EF}=\vect{AB}$. Par conséquent l’abscisse de $I$ est $\dfrac{AB}{2}=1,5$.
    Sa côte, $z_I$ vérifie $2\times 1,5-3z_I+3=0 \ssi 3z_I=6 \ssi z_I=2$.
    De plus $I$ appartient au plan $(ABE)$ dont une équation cartésienne est $y=0$.
    Ainsi $I$ a pour coordonnées $(1,5;0;2)$.
    $\quad$
  4. On a $\vect{IE}(-1,5;0;-1)$ et $\vect{IF}(1,5;0;-1)$
    Par conséquent
    $\begin{align*} IE&=\sqrt{(-1,5)^2+(-1)^2} \\
    &=\sqrt{3,25}\end{align*}$
    et $IF=IE=\sqrt{3,25}$.
    D’une part $\vect{IE}.\vect{IF}=-1,5\times 1,5+(-1)\times (-1)=-1,25$
    D’autre part $\vect{IE}.\vect{IF}=IE\times IF\times \cos\widehat{EIF}$
    Ainsi $3,25 \cos\widehat{EIF}=-1,25 \ssi \cos\widehat{EIF}=-\dfrac{5}{13}$
    Donc $\widehat{EIF}\approx 113$°.
    $\quad$
  5. a. La droite $\Delta$ est dirigée par $\vec{u}$ et passe par $R$.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $$\begin{cases} x=6-3t\\y=-3+4t\\z=-1+t\end{cases}$$
    $\quad$
    b. Le point $K$ appartient au plan $(BFG)$ par conséquent son abscisse est $x_K=3$.
    Le point $K$ appartient à la droite $\Delta$ donc $6-3t=3 \ssi t=1$.
    Ainsi $K$ a pour coordonnées $(3;1;0)$.
    $\quad$
    c. On a $C(3;2;0)$ et $B(3;0;0)$. Donc $K$ est le milieu de $[BC]$ et appartient donc bien à l’arête $[BC]$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On veut calculer
    $\begin{align*} p\left(E_0\cap R_0\right)&=p\left(E_0\right)\times p_{E_0}\left(R_0\right) \\
    &=0,4\times (1-0,01) \\
    &=0,4\times 0,99 \\
    &=0,396\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  2. $\left(E_0,E_1\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} p\left(R_0\right)&=p\left(E_0\cap R_0\right)+p\left(E_1\cap R_0\right) \\
    &=0,396+p\left(E_1\right)\times p_{E_1}\left(R_0\right) \\
    &=0,396+0,6\times 0,02 \\
    &=0,408\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} p_{R_1}\left(E_0\right)&=\dfrac{p\left(R_1\cap E_0\right)}{p\left(R_1\right)} \\
    &=\dfrac{p\left(E_0\right)\times p_{E_0}\left(R_1\right)}{1-p\left(R_0\right)}\\
    &=\dfrac{0,4\times 0,01}{1-0,408} \\
    &\approx 0,006~757\end{align*}$
    Réponse C$\quad$
  4. La probabilité qu’il y ait une erreur de transmission est :
    $\begin{align*} p\left(\left(E_0\cap R_1\right)\cup\left(E_1\cap R_0\right)\right)&=p\left(E_0\cap R_1\right)+p\left(E_1\cap R_0\right) \\
    &=p\left(E_0\right)p_{E_0}\left(R_1\right)+p\left(E_1\right)p_{E_1}\left(R_0\right) \\
    &=0,4\times 0,01+0,6\times 0,02 \\
    &=0,016\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  5. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre d’octets transmis sans erreur.
    On effectue indépendamment $10$ expérience de Bernoulli de paramètres $0,88$.
    $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,88$.
    Ainsi
    $\begin{align*} p(X=7)&=\dbinom{10}{7}0,88^7\times 0,12^3 \\
    &\approx 0,085\end{align*}$
    Réponse D
    $\quad$
  6. On reprend la variable aléatoire $X$ définie à la question précédente.
    On veut calculer
    $\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
    &=1-0,12^{10} \end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  7. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre d’octets transmis sans erreur.
    On effectue indépendamment $N$ expérience de Bernoulli de paramètres $0,88$.
    $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $N$ et $p=0,88$.
    On veut déterminer la plus grande valeur de $N$ telle que
    $\begin{align*} P(X=N)\pg 0,1 &\ssi 0,88^N\pg 0,1 \\
    &\ssi N\ln(0,88) \pg \ln(0,1) \\
    &\ssi N\pp \dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,88)} \quad \text{car } \ln(0,88)<0 \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,88)}\approx 18,01$.
    Par conséquent $N_0=18$.
    Réponse B
    $\quad$

 

 

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1     7 points

Principaux domaines abordés : fonctions, fonction logarithme; convexité.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $$f(x)=x^2-6x+4\ln(x)$$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
On note $f’$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.
On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

  1. a. Déterminer $\lim\limits_{x\to 0} f (x)$.
    Interpréter graphiquement ce résultat.
    $\quad$
    b. Déterminer $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$.
    $\quad$
  2. a. Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    En déduire le tableau de variations de $f$.
    $\quad$
  3. Montrer que l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution dans l’intervalle $[4; 5]$.
    $\quad$
  4. On admet que, pour tout $x$ de $]0 ; +\infty[$, on a : $$f\dsec(x)=\dfrac{2x^2-4}{x^2}$$
    a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
    On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d’inflexion de $\mathscr{C}_f$.
    $\quad$
    b. On note $A$ le point de coordonnées $\left(\sqrt{2};f\left(\sqrt{2}\right)\right)$.
    Soit $t$ un réel strictement positif tel que $t\neq \sqrt{2}$. Soit $M$ le point de coordonnées $\left(t ; f (t)\right)$.
    En utilisant la question 4. a, indiquer, selon la valeur de $t$, les positions relatives du segment $[AM]$ et de la courbe $\mathscr{C}_f$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Principaux domaines abordés : suites; fonctions, fonction exponentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x) = x^3\e^x$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$
sa fonction dérivée.

  1. On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = -1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
    a. Calculer $u_1$ puis $u_2$.
    On donnera les valeurs exactes, puis les valeurs approchées à $10^{-3}$.
    $\quad$
    b. On considère la fonction $\texttt{fonc}$, écrite en langage Python ci-dessous.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def fonc(n) :}\\
    \quad \text{u =- 1}\\
    \quad \text{for i in range(n) :}\\
    \qquad \text{u=u**3*exp(u)}\\
    \quad \text{return u}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On rappelle qu’en langage Python, « $\texttt{i in range (n)}$ » signifie que $\texttt{i}$ varie de $\texttt{0}$ à $\texttt{n-1}$.
    $\quad$
    Déterminer, sans justifier, la valeur renvoyée par $\texttt{fonc(2)}$ arrondie à $10^{-3}$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout $x$ réel, on a $f'(x) = x^2\e^x(x+3)$.
    $\quad$
    b. Justifier que le tableau de variations de $f$ sur $\R$ est celui représenté ci-dessous :
    $\quad$

    $\quad$
    c. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a : $$-1 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp 0$$
    $\quad$
    d. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    e. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    On rappelle que $\ell$ est solution de l’équation $f(x) = x$.
    Déterminer $\ell$. $\Big($Pour cela, on admettra que l’équation $x^2\e^x-1 = 0$ possède une
    seule solution dans $\R$ et que celle-ci est strictement supérieure à $\dfrac{1}{2}\Big)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Principaux domaines abordés : géométrie dans l’espace.

Une maison est constituée d’un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ surmonté d’un prisme $EFIHGJ$ dont une base est le triangle $EIF$ isocèle en $I$.
Cette maison est représentée ci-dessous.

On a $AB = 3$, $AD = 2$, $AE = 1$.
On définit les vecteurs $\vec{i}=\dfrac{1}{3}\vect{AB}$, $\vec{j}=\dfrac{1}{2}\vect{AD}$, $\vec{k}=\vect{AE}$.
On munit ainsi l’espace du repère orthonormé $\left(A;~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$.

  1. Donner les coordonnées du point $G$.
    $\quad$
  2. Le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(2 ; 0 ; -3)$ est vecteur normal au plan $(EHI)$.
    Déterminer une équation cartésienne du plan $(EHI)$.
    $\quad$
  3. Déterminer les coordonnées du point $I$.
    $\quad$
  4. Déterminer une mesure au degré près de l’angle $\widehat{EIF}$.
    $\quad$
  5. Afin de raccorder la maison au réseau électrique, on souhaite creuser une tranchée rectiligne depuis un relais électrique situé en contrebas de la maison.
    Le relais est représenté par le point $R$ de coordonnées $(6 ; -3 ; -1)$.
    La tranchée est assimilée à un segment d’une droite $\Delta$ passant par $R$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(-3 ; 4 ; 1)$. On souhaite vérifier que la tranchée atteindra la maison au niveau de l’arête $[BC]$.
    a. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. On admet qu’une équation du plan $(BFG)$ est $x = 3$.
    Soit $K$ le point d’intersection de la droite $\Delta$ avec le plan $(BFG)$.
    Déterminer les coordonnées du point $K$.
    $\quad$
    c. Le point $K$ appartient-il bien à l’arête $[BC]$ ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Principaux domaines abordés : probabilités.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

On considère un système de communication binaire transmettant des $0$ et des $1$.
Chaque $0$ ou $1$ est appelé bit.
En raison d’interférences, il peut y avoir des erreurs de transmission :
un $0$ peut être reçu comme un $1$ et, de même, un $1$ peut être reçu comme un $0$.
Pour un bit choisi au hasard dans le message, on note les évènements :

  • $E_0$ : « le bit envoyé est un $0$ »;
  • $E_1$ : « le bit envoyé est un $1$ »;
  • $R_0$ : « le bit reçu est un $0$ »;
  • $R_1$ : « le bit reçu est un $1$ ».

On sait que : $p\left(E_0\right) = 0,4$; $p_{E_0}\left(R_1\right)=0,01$; $p_{E_1}\left(R_0\right)=0,02$.
On rappelle que la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est notée $p_B(A)$.
On peut ainsi représenter la situation par l’arbre de probabilités ci-dessus.

  1. La probabilité que le bit envoyé soit un $0$ et que le bit reçu soit un $0$ est égale à :
    a. $0,99$
    b. $0,396$
    c. $0,01$
    d. $0,4$
    $\quad$
  2. La probabilité $p\left(R_0\right)$ est égale à :
    a. $0,99$
    b. $0,02$
    c. $0,408$
    d. $0,931$
    $\quad$
  3. Une valeur, approchée au millième, de la probabilité $p_{R_1}
    \left(E_0\right)$ est égale
    a. $0,004$
    b. $0,001$
    c. $0,007$
    d. $0,010$
    $\quad$
  4. La probabilité de l’évènement « il y a une erreur de transmission » est égale à :
    a. $0,03$
    b. $0,016$
    c. $0,16$
    d. $0,015$
    $\quad$

Un message de longueur huit bits est appelé un octet.
On admet que la probabilité qu’un octet soit transmis sans erreur est égale à $0,88$.

  1. On transmet successivement $10$ octets de façon indépendante.
    La probabilité, à $10^{-3}$ près, qu’exactement $7$ octets soient transmis sans erreur est égale à :
    a. $0,915$
    b. $0,109$
    c. $0,976$
    d. $0,085$
    $\quad$
  2. On transmet successivement $10$ octets de façon indépendante.
    La probabilité qu’au moins $1$ octet soit transmis sans erreur est égale à :
    a. $1-0,12^{10}$
    b. $0,12^{10}$
    c. $0,88^{10}$
    d. $1-0,88^{10}$
    $\quad$
  3. Soit $N$ un entier naturel. On transmet successivement $N$ octets de façon indépendante.
    Soit $N_0$ la plus grande valeur de $N$ pour laquelle la probabilité que les $N$ octets soient tous transmis sans erreur est supérieure ou égale à $0,1$.
    On peut affirmer que :
    a. $N_0 = 17$
    b. $N_0 = 18$
    c. $N_0 = 19$
    d. $N_0 = 20$
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Sud – sujet 1 – 26 septembre 2022

Amérique du Sud – 26 septembre 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(D\cap A)&=P(D)\times P_D(A) \\
    &=0,01\times 0,97 \\
    &=0,009~7\end{align*}$
    La probabilité qu’un danger se présente et que l’alarme s’active est égale à $0,009~7$.
    $\quad$
    b. La probabilité qu’un danger se présente sachant que l’alarme d’active est :
    $\begin{align*} P_A(D)&=\dfrac{P(A\cap D)}{P(A)} \\
    &=\dfrac{0,009~7}{0,014~65} \\
    &\approx 0,662\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\left(D,\conj{D}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(A)=P(A\cap D)+P\left(A\cap \conj{D}\right) &\ssi 0,014~65=0,009~7+P\left(\conj{D}\right)\times P_{\conj{D}}(A) \\
    &\ssi 0,99\times P_{\conj{D}}(A)=0,004~95 \\
    &\ssi P_{\conj{D}}(A)=\dfrac{0,004~95}{0,99} \\
    &\ssi P_{\conj{D}}(A)=0,005\end{align*}$
    $\quad$
  4. La probabilité que l’alarme ne fonctionne pas normalement est :
    $\begin{align*} p&=P\left(\left(\conj{A}\cap D\right)\cup\left(A\cap \conj{D}\right)\right) \\
    &=P(\left(\conj{A}\cap D\right)+P\left(A\cap \conj{D}\right) \qquad \text{(incompatibilité)} \\
    &=P(D)\times P_D\left(\conj{A}\right)+P\left(\conj{D}\right))\times P_{\conj{D}}(A) \\
    &=0,01\times 0,03+0,99\times 0,005 \\
    &=0,005~25 \\
    &<0,01\end{align*}$

Partie B

  1. On répète $5$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,005~25$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,005~25$.
    $\quad$
  2. La probabilité qu’un seul système d’alarme ne fonctionne pas normalement est :
    $\begin{align*} P(X=1)&=\dbinom{5}{1}\times 0,005~25\times (1-0,005~25)^4 \\
    &\approx 0,025~7\end{align*}$
    $\quad$
  3. La probabilité que, dans le lot prélevé, au moins un système d’alarme ne fonctionne pas normalement est :
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-(1-0,005~2)^5 \\
    &\approx 0,026~0\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

On répète $n$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,005~25$. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de systèmes d’alarme ne fonctionnant pas normalement parmi les $n$ systèmes d’alarme prélevés.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n$ et $p=0,005~25$.

$\begin{align*} P(Y\pg 1)\pg 0,07&\ssi 1-P(Y=0)\pg 0,07 \\
&\ssi P(Y=0)\pp 0,93 \\
&\ssi (1-0,005~25)^n \pp 0,93 \\
&\ssi n\ln(0,994~75) \pp \ln(0,93) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,93)}{\ln(0,994~75)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,93)}{\ln(0,994~75)}\approx 13,79$

Il faut donc prélever au moins $14$ systèmes d’alarme pour que la probabilité d’avoir au moins un système d’alarme qui ne fonctionne pas normalement soit supérieur à $0,07$.

$\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. 
    $\begin{align*} u_1&=\dfrac{1}{5}\times 4^2 \\
    &=\dfrac{16}{5} \end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*} u_2&=\dfrac{1}{5}\times \left(\dfrac{16}{5}\right)^2 \\
    &=\dfrac{256}{125} \end{align*}$
    $\quad$
    b. On peut écrire :
    $\begin{array}{l}
    \text{def suite_u(p) :}\\
    \quad \text{u = 4} \\
    \quad \text{for i in range(1,p+1) :} \\
    \qquad \text{u = u**2 / 5} \\
    \quad \text{return u}\end{array}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~~ 0<u_n\pp 4$.
    Initialisation : $u_0=4$ donc $P(0)$ est vraie
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $\begin{align*} 0<u_n\pp 4 &\Rightarrow 0<u_n^2\pp 16 \\
    &\Rightarrow 0<\dfrac{1}{5} u_n^2 \pp \dfrac{16}{5} \\
    &\Rightarrow0<u_{n+1}\pp 4\end{align*}$
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $0<u_n\pp 4$.
    $\quad$
    b. Soit $n \in \N$
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{1}{5}u_n^2-u_n \\
    &=\dfrac{u_n}{5}\left(u_n-5\right)\end{align*}$
    Or $u_n>0$ et $u_n-5<0$ car $u_n\pp 4$
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n <0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$.
    Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  3. a. On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{5}x^2$. Elle est continue sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    La suite $\left(u_n\right)$ est convergente et, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
    Ainsi $\ell =\dfrac{1}{5}\ell^2$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} \ell =\dfrac{1}{5}\ell^2 &\ssi 5\ell-\ell^2=0 \\
    &\ssi \ell(5-\ell)=0 \\
    &\ssi \ell=0 \text{ ou } \ell =5 \end{align*}$
    Pour tout $n\in \N$ on a $0<u_n\pp 4$.
    Par conséquent $\ell$ ne peut pas être égale à $5$.
    Ainsi $\ell=0$.
    $\quad$
  4. a. Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=\ln\left(u_{n+1}\right) \\
    &=\ln\left(\dfrac{1}{5}u_n^2\right) \\
    &=\ln\left(u_n^2\right)-\ln(5) \\
    &=2\ln\left(u_n\right)-\ln(5) \\
    &=2v_n-\ln(5)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} w_{n+1}&=v_{n+1}-\ln(5) \\
    &=2v_n-\ln(5)-\ln(5) \\
    &=2\left(v_n-\ln(5)\right) \\
    &=2w_n\end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $2$ et de premier terme
    $\begin{align*} w_0&=v_0-\ln(5)\\
    &=ln(4)-\ln(5) \\
    &=\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\end{align*}$
    $\quad$
    c. Ainsi, pour tout $n\in \N$, $w_n= \ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n$.
    Donc
    $\begin{align*} v_n&=w_n+\ln(5) \\
    &=\ln(5)+\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n \end{align*}$
    $\quad$
  5. $\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)<0$ et $1<2$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n=-\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=-\infty$
    Or $v_n=\ln\left(u_n\right)$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0^+$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a
    $\begin{align*} g(\e)&=1+\e^2\left(1-2\ln(\e)\right) \\
    &=1+\e^2(1-2) \\
    &=1-\e^2 \\
    &\approx -6,39\end{align*}$
    Donc $g(\e)<0$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to +\infty} 1-2\ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$.
    $\quad$
  3. a. Par hypothèse la fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
    Ainsi, pour tout $x>0$
    $\begin{align*} g'(x)&=2x\left(1-2\ln(x)\right)+x^2\times \dfrac{-2}{x} \\
    &=2x-4x\ln(x)-2x \\
    &=-4x\ln(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout $x>0$ on a $-4x<0$.
    $\ln(x)=0 \ssi x=1$ et $\ln(x)>0 \ssi x>1$.
    Ainsi $g'(x)=0 \ssi x=1$ et $g'(x)<0 \ssi 0<x<1$
    La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
    c. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
    $g(1)=2>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    $\quad$
    d. D’après la calculatrice $g(1,89) \approx 0,02>0$ et $g(1,90) \approx -0,02<0$.
    Donc $1,89 <\alpha<1,90$.
    $\quad$
  4. La fonction $g$ est strictement décroissante sur $[1;+\infty[$ et $g(\alpha)=0$.
    Ainsi:
    – pour tout $x\in [1;\alpha[$ on a $g(x)>0$;
    – $g(\alpha)=0$;
    – pour tout $x\in ]\alpha;+\infty[$ on a $g(x)<0$.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout $x\in [1;\alpha]$ on a $\ln(x)\pg 0$ donc $g\dsec(x)\pp 0$.
    La fonction $g$ est concave sur l’intervalle $[1;\alpha]$.
    $\quad$
  2. a. $g(1)=2$ et $g(\alpha)=0$.
    L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
    Or le coefficient directeur de cette droite est
    $\begin{align*} a&=\dfrac{0-2}{\alpha-1} \\
    &=\dfrac{-2}{\alpha-1}\end{align*}$
    $\begin{align*} g(\alpha)=0&\ssi 0=\dfrac{-2}{\alpha-1}\times \alpha+b \\
    &\ssi b=\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}\end{align*}$
    Ainsi l’équation réduite de la droite $(AB)$ est $y=\dfrac{-2}{\alpha-1}x+\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}$.
    $\quad$
    b. La fonction $g$ est concave sur $[1;\alpha]$. Ainsi la courbe $\mathscr{C}$ est au-dessus de toutes ses cordes sur cet intervalle, en particulier de la droite $(AB)$.
    Ainsi, pour tout $x\in [1;\alpha]$ on a $g(x)\pg \dfrac{-2}{\alpha-1}x+\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. On a donc $H(0;3;2)$ et $G(5;3;2)$.
    $\quad$
    b. Ainsi $\vect{HG}\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}$
    Par conséquent, une représentation paramétrique de la droite $(GH)$ est $\begin{cases} x=5t\\y=3\\z=2\end{cases}$.
    $\quad$
  2. a. $M$ a donc pour coordonnées $(x;3;2)$ avec $x\in [0;5]$.
    Par conséquent $\vect{HM}\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}$
    $\vect{HM}=k\vect{HG}\ssi  x=5k$.
    Donc $M$ a pour coordonnées $(5k;3;2)$.
    $\quad$
    b. $\vect{AM}\begin{pmatrix} 5k\\3\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{CM}\begin{pmatrix} 5k-5\\0\\2\end{pmatrix}$
    Donc
    $\begin{align*} \vect{AM}.\vect{CM}&=5k(5k-5)+0+4\\
    &=25k^2-25k+4\end{align*}$
    $\quad$
    c. Le triangle $AMC$ est rectangle en $M$
    si, et seulement si, $\vect{AM}.\vect{CM}=0$
    si, et seulement si, $25k^2-25k+4=0$
    Le discriminant de cette équation du second degré est $\delta=(-25)^2-4\times 4\times 25=225>0$
    Les solutions de cette équation sont donc $k_1=\dfrac{25-\sqrt{225}}{50}=\dfrac{1}{5}$ et $k_2=\dfrac{25+\sqrt{225}}{50}=\dfrac{4}{5}$
    Ainsi, le triangle $AMC$ est rectangle en $M$ est rectangle si, et seulement si, $k=\dfrac{1}{5}$ ou $k=\dfrac{4}{5}$.
    $\quad$
  3. a. On a $A(0;0;0)$, $C(5;3;0)$ et $D(0;3;0)$
    Une équation cartésienne du plan $(ACD)$ est donc $z=0$.
    $\quad$
    b. D’après la question précédente, un vecteur normal au plan $(ACD)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$.
    On a $\vect{MK}\begin{pmatrix} 0\\0\\-2\end{pmatrix}$
    Ainsi $\vec{n}$ et $\vect{MK}$ sont colinéaires et $\vect{MK}$ un vecteur normal au plan $(ACD)$.
    De plus, la côte du point $K$ est $0$ donc $K$ appartient au plan $(ACD)$.
    Par conséquent, $K$ est le projeté orthogonal du point $M$ sur le plan $(ACD)$.
    $\quad$
    c. $AD=3$, $DC=5$. Donc l’aire du triangle $ACD$ est $\mathscr{A}=\dfrac{15}{2}$.
    De plus $MK=2$.
    Le volume, en unités de volume, du tétraèdre $MACD$ est donc :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times MK\times \mathscr{A} \\
    &=\dfrac{1}{3}\times 2\times \dfrac{15}{2} \\
    &=5\end{align*}$
    $\quad$
  4. Le point $M$ de coordonnées $(1;3;2)$ correspond au point obtenu à l’aide $k=\dfrac{1}{5}$ à la question 2.a.
    Par conséquent, le triangle $AMC$ est rectangle en $M$.
    $\begin{align*} AM^2&=1+9+4 \\
    &=14\end{align*}$
    Donc $AM=\sqrt{14}$
    $\begin{align*} MC^2&=(-4)^2+0+2 \\
    &=20\end{align*}$
    Donc $MC=\sqrt{20}$
    L’aire du triangle $AMC$ rectangle en $M$ est donc
    $\begin{align*} \mathscr{A}’&=\dfrac{AM\times MC}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{14\times 20}}{2} \\
    &=\sqrt{70}\end{align*}$
    Le volume du tétraèdre $AMCD$ est
    $\begin{align*} V=5&\ssi \dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}’\times DP =5\\
    &\ssi \dfrac{1}{3}\times \sqrt{70}\times DP=5 \\
    &\ssi DP=\dfrac{15}{\sqrt{70}} \end{align*}$
    Par conséquent $DP\approx 1,8$.
    $\quad$

 

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1     7 points
Thème : Probabilités

PARTIE A

Le système d’alarme d’une entreprise fonctionne de telle sorte que, si un danger se présente, l’alarme s’active avec une probabilité de $0,97$.
La probabilité qu’un danger se présente est de $0,01$ et la probabilité que l’alarme s’active est de $0,014~65$.
On note $A$ l’évènement « l’alarme s’active » et $D$ l’événement « un danger se présente ».
On note $\conj{M}$ l’évènement contraire d’un évènement $M$ et $P(M)$ la probabilité de l’évènement $M$.

  1. Représenter la situation par un arbre pondéré qui sera complété au fur et à mesure de l’exercice.
    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité qu’un danger se présente et que l’alarme s’active.
    $\quad$
    b. En déduire la probabilité qu’un danger se présente sachant que l’alarme s’active.
    Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que l’alarme s’active sachant qu’aucun danger ne s’est présenté est $0,005$.
    $\quad$
  4. On considère qu’une alarme ne fonctionne pas normalement lorsqu’un danger se présente et qu’elle ne s’active pas ou bien lorsqu’aucun danger ne se présente et qu’elle s’active.
    Montrer que la probabilité que l’alarme ne fonctionne pas normalement est inférieure à $0,01$.
    $\quad$

PARTIE B

Une usine fabrique en grande quantité des systèmes d’alarme. On prélève successivement et au hasard $5$ systèmes d’alarme dans la production de l’usine. Ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.
On note $S$ l’évènement « l’alarme ne fonctionne pas normalement » et on admet que $P(S) = 0,005~25$.
On considère $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de systèmes d’alarme ne fonctionnant pas normalement parmi les $5$ systèmes d’alarme prélevés.
Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$.

  1. Donner la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et préciser ses paramètres.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que, dans le lot prélevé, un seul système d’alarme ne fonctionne pas normalement.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que, dans le lot prélevé, au moins un système d’alarme ne fonctionne pas normalement.
    $\quad$

PARTIE C

Soit $n$ un entier naturel non nul. On prélève successivement et au hasard $n$ systèmes d’alarme.
Ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.
Déterminer le plus petit entier $n$ tel que la probabilité d’avoir, dans le lot prélevé, au moins un système d’alarme qui ne fonctionne pas normalement soit supérieure à $0,07$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points
Thème : Suites

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 4$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} =\dfrac{1}{5}u_n^2$.

  1. a. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
    b. Recopier et compléter la fonction ci-dessous écrite en langage Python. Cette fonction est nommée suite_u et prend pour paramètre l’entier naturel $p$.
    Elle renvoie la valeur du terme de rang $p$ de la suite $\left(u_n\right)$.
    $$\begin{array}{l}
    \text{def suite_u(p) :}\\
    \quad \text{u= …}\\
    \quad \text{for i in range(1,…) :}\\
    \qquad \text{u =…}\\
    \quad \text{return u}\end{array}$$
    $\quad$
  2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n \pp 4$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    c. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  3. a. Justifier que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ vérifie l’égalité $\ell=\dfrac{1}{5}\ell^2$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de $\ell$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = \ln\left(u_n\right)$ et $w_n = v_n-\ln(5)$.
    a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 2v_n-\ln(5)$.
    $\quad$
    b. Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $2$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$, donner l’expression de $w_n$ en fonction de $n$ et montrer que $v_n = \ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n+\ln(5)$
    $\quad$
  5. Calculer $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n$ et retrouver $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n$.
    $\quad$

$\quad$

 

 

Exercice 3     7 points
Thème : Fonctions, fonction logarithme

Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $$g(x)=1+x^2\left[1-2\ln(x)\right]$$

La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.
On appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan.

PARTIE A

  1. Justifier que $g(\e)$ est strictement négatif.
    $\quad$
  2. Justifier que $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $]0 ; +\infty[$, $g'(x)=-4x\ln(x)$.
    $\quad$
    b. Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    c. Montrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$.
    $\quad$
    d. Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
    $\quad$
  4. Déduire de ce qui précède le signe de la fonction $g$ sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$.
    $\quad$

PARTIE B

  1. On admet que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[1 ; \alpha]$, $g\dsec(x)= -4\left[\ln(x)+1\right]$.
    Justifier que la fonction $g$ est concave sur l’intervalle $[1 ; \alpha]$.
    $\quad$
  2. Sur la figure ci-dessous, $A$ et $B$ sont les points de la courbe $\mathscr{C}$ d’abscisses respectives $1$ et $\alpha$.
    $\quad$

    $\quad$
    a. Déterminer l’équation réduite de la droite $(AB)$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1 ; \alpha]$, $g(x)\pg \dfrac{-2}{\alpha-1}x+\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points
Thème : Géométrie dans l’espace

Dans la figure ci-dessous, $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle tel que
$AB = 5$, $AD = 3$ et $AE = 2$.
L’espace est muni d’un repère orthonormé d’origine $A$ dans lequel les points $B$, $D$ et $E$ ont respectivement pour coordonnées $(5; 0; 0)$, $(0; 3; 0)$ et $(0; 0; 2)$.

  1. a. Donner, dans le repère considéré, les coordonnées des points $H$ et $G$.
    $\quad$
    b. Donner une représentation paramétrique de la droite $(GH)$.
    $\quad$
  2. Soit $M$ un point du segment $[GH]$ tel que $\vect{HM}=k\vect{HG}$ avec $k$ un nombre réel de l’intervalle $[0; 1]$.
    a. Justifier que les coordonnées de $M$ sont $(5k ; 3 ; 2)$.
    $\quad$
    b. En déduire que $\vect{AM}.\vect{CM}=25k^2-25k+4$
    $\quad$
    c. Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles $AMC$ est un triangle rectangle en $M$.
    $\quad$

Dans toute la suite de l’exercice, on considère que le point $M$ a pour coordonnées $(1; 3; 2)$.
On admet que le triangle $AMC$ est rectangle en $M$ .
On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule  $\dfrac{1}{3}\times$ Aire de la base $\times h$ où $h$ est la hauteur relative à la base.

  1. On considère le point $K$ de coordonnées $(1; 3; 0)$.
    a. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ACD)$.
    $\quad$
    b. Justifier que le point $K$ est le projeté orthogonal du point $M$ sur le plan $(ACD)$.
    $\quad$
    c. En déduire le volume du tétraèdre $MACD$.
    $\quad$
  2. On note $P$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(AMC)$.
    Calculer la distance $DP$ en donner une valeur arrondie à $10^{-1}$.
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Sud – sujet 2 – 27 septembre 2022

Amérique du Sud – 27 septembre 2022

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$

  2. On veut calculer
    $\begin{align*}P\left(C_3\cap D\right)&=P\left(C_3\right)\times P_{C_3}(D) \\
    &=0,2\times 0,04 \\
    &=0,008\end{align*}$
    La probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n° 3 et soit défectueux est égale à $0,008$.
    $\quad$
  3. $\left(C_1,C_2,C_3\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} P(D)&=P\left(C_1\cap D\right)+P\left(C_2\cap D\right)+P\left(C_3\cap D\right) \\
    &=P\left(C_1\right)\times P_{C_1}(D) +P\left(C_2\right)\times P_{C_2}(D) +0,008 \\
    &=0,5\times 0,01+0,3\times 0,005+0,008 \\
    &=0,014~5\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} P_D\left(C_3\right)&=\dfrac{P\left(C_3\cap D\right)}{P(D)} \\
    &=\dfrac{0,008}{0,014~5} \\
    &\approx 0,551~7\end{align*}$
    La probabilité qu’un composant défectueux provienne de la chaîne n° 3 est environ égale à $0,551~7$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X=3)&=\dbinom{20}{3}0,014~5^3\times (1-0,014~5)^{17} \\
    &\approx 0,002~7\end{align*}$
    La probabilité pour qu’un lot possède exactement trois composants défectueux est environ égale à $0,002~7$.
    $\quad$
    b. On a
    $\begin{align*} P(X=0)&=(1-0,014~5)^{20}\\
    &\approx 0,746~7\end{align*}$
    La probabilité pour qu’un lot ne possède aucun composant défectueux est environ égale $0,746~7$.
    $\quad$
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &\approx 0,253~3\end{align*}$
    La probabilité qu’un lot possède au moins un composant défectueux est environ égale $0,253~3$.
    $\quad$
  2. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,014~5$.
    $\begin{align*} P(X=0)\pg 0,85&\ssi (1-0,014~5)^n\pg 0,85 \\
    &\ssi 0,985~5^n\pg 0,85 \\
    &\ssi n\ln(0,985~5)\pg \ln(0,85) \\
    &\ssi n\pp \dfrac{\ln(0,85)}{\ln(0,985~5)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,85)}{\ln(0,985~5)} \approx 11,13$.
    La proposition de former des lots de $11$ composants au maximum est donc exact.
    $\quad$

Partie C

$0,5\times 15+0,3\times 12+0,2\times 9=12,9$
Le coût moyen de fabrication d’un composant pour cette entreprise est égale à $12,90$ euros.

$\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

PARTIE A : Étude d’une fonction auxiliaire $\boldsymbol{g}$

  1. $g(1)=0$ et $g(\e)=2(\e-1)-\e$ soit $g(\e)=\e-2$.
    $\quad$
  2. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0^-} x\ln(x)=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to 0^-} g(x)=-2$.
    $\quad$
  3. La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} g'(x)&=2-\left(\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}\right) \\
    &=2-\ln(x)-1 \\
    &=1-\ln(x)\end{align*}$
    $g'(x)>0 \ssi 1-\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$
    $g'(x)=0\ssi 1-\ln(x)=0 \ssi x=\e$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  4. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;\e]$.
    $\lim\limits_{x\to 0^-}  g(x)=-2<0$ et $g(\e)=\e-2>0$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;\e]$.
    Or $g(1)=0$. L’unique solution de l’équation appartenant à $]0;\e]$ est donc $1$.
    $\quad$
    La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[\e;+\infty$.
    $g(\e)=\e-2>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=-\infty$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[\e;+\infty[$.
    $\quad$
    Finalement l’équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions $1$ et $\alpha$ où $\alpha\in[\e;+\infty[$.
    D’après la calculatrice, $4,92<\alpha<4,93$.
    $\quad$.
  5. D’après le tableau de variations et la question précédente on obtient le tableau de signes suivant :
    $\quad$$\quad$

PARTIE B : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

  1. Pour tout $x>0$ on a $f(x)=x\left(3-\ln(x)-2\dfrac{\ln(x)}{x}\right)$.
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty}3-\ln(x)-2\dfrac{\ln(x)}{x}=-\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*}f'(x)&=3-\left(\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}\right)-2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=3-\ln(x)-1-\dfrac{2}{x} \\
    &=2-\ln(x)-\dfrac{2}{x} \\
    &=2\times \dfrac{x-1}{x}-\ln(x) \\
    &=\dfrac{2(x-1)-x\ln(x)}{x} \\
    &=\dfrac{g(x)}{x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  3. $f\dsec(x)>0 \ssi 2-x>0 \ssi x<2$
    $f\dsec(x)=0 \ssi 2-x=0 \ssi x=2$
    La fonction $f$ est donc convexe sur $]0;2]$ et concave sur $[2;+\infty[$.
    $f(2)=6-4\ln(2)$
    $\mathscr{C}_f$ admet donc un unique point d’inflexion de coordonnées $\left(2;6-4\ln(2)\right)$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Chaque année la population diminue de $10\%$. Il reste donc $90\%$ de cette population soit $0,9u_n$.
    On réintroduit $100$ individus dans cette réserve à la fin de chaque année.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$, $u_{n+1}=0,9u_n+100$.
    $\quad$
  2. $u_1=1~900$ et $u_2=1~810$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n\in \N$ on pose $P(n):~1~000<u_{n+1}\pp u_n$.
    Initialisation : $u_0=2~000$ et $u_1=1~900$. Donc $1~000<u_1\pp u_0$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $\begin{align*}1~000 <u_{n+1} \pp u_n &\ssi 900 <0,9u_{n+1} \pp 0,9u_n \\
    &\ssi 1~000 <0,9u_{n+1}+100\pp 0,9u_n+100 \\
    &\ssi 1~000< u_{n+2}\pp u_{n+1}\end{align*}$
    La propriété $P(n+1)$ est donc vraie.
    $\quad$
    D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $1~000<u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
  4. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1~000$. Par conséquent $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  5. a. Pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~000 \\
    &=0,9u_n+100-1~000 \\
    &=0,9u_n-900 \\
    &=0,9\left(u_n-1~000\right) \\
    &=0,9v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$.
    $\quad$
    b. $v_0=1~000$. Par conséquent, pour tout $n\in \N$, $v_n=1~000\times 0,9^n$.
    Or $v_n=u_n-1~000 \ssi u_n=v_n+1~000$.
    Donc
    $\begin{align*} u_n&=v_n+1~000 \\
    &=1~000\times 0,9^n+1~000 \\
    &=1~000\left(0,9^n+1\right)\end{align*}$
    $\quad$
    c. $-1<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,9^n=0$
    Ainsi, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1~000$.
    Sur le long terme, la population de cette espèce sera de $1~000$ individus dans cette réserve.
    $\quad$
  6. a.
    $\begin{align*} u_n\pp 1~020&\ssi 1~000\left(1+0,9^n\right)\pp 1~020 \\
    &\ssi 1+0,9^n \pp 1,02 \\
    &\ssi 0,9^n \pp 0,02 \\
    &\ssi n\ln(0,9)\pp \ln(0,02) \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,9)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,9)}\approx 37,13$.
    Le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\pp 1~020$ est donc $38$.
    $\quad$
    b. On peut écrire
    $\begin{array}{|cl|}
    \hline
    1&\text{def population(S) :}\\
    2& \text{  n=0}\\
    3&\text{  u=2000}\\
    4&\\
    5&\text{  while u > 1020 :}\\
    6&\text{    u = 0.9 * u + 100}\\
    7&\text{    n = n + 1}\\
    8&\text{  return n}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-4\\-2\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\-4\\-6\end{pmatrix}$
    $\dfrac{6}{2}\neq \dfrac{-2}{-6}$.
    Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires. Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont donc pas alignés.
    $\quad$
    b. D’une part $\vect{AB}.\vec{n}=6-8+2=0$
    D’autre part $\vect{AC}.\vec{n}=2-8+6=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    Par conséquent $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $x+2y-z+d=0$.
    $A(0;8;6)$ appartient au plan $(ABC)$. Ainsi $0+16-6+d=0 \ssi d=-10$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $x+2y-z-10=0$.
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{DE}\begin{pmatrix}6\\6\\-6\end{pmatrix}$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(DE)$ est donc $\begin{cases} x=6t\\y=6t\\z=6-6t\end{cases} \quad t\in \R$.
    $\quad$
    b. $I$ a pour coordonnées $(4;4;2)$.
    En prenant $t=\dfrac{4}{6}$ dans la représentation paramétrique précédente on obtient le point de coordonnées $(4;4;2)$.
    Le point $I$ appartient bien à la droite $(DE)$.
    $\quad$
  3. a. $\vect{BC}\begin{pmatrix} -4\\0\\-4\end{pmatrix}$
    Par conséquent $\vect{AC}.\vect{BC}\neq 0$, $\vect{AB}.\vect{BC}\neq 0$ et $\vect{AC}.\vect{AB}\neq 0$.
    $\begin{align*} AC^2&=2^2+(-4)^2+(-6)^2 \\
    &=4+16+36 \\
    &=56\end{align*}$
    $\begin{align*} AB^2&=6^2+(-4)^2+(-2)^2 \\
    &=36+16+4 \\
    &=56\end{align*}$
    $\begin{align*} BC^2&=(-4)^2+0^2+(-4)^2 \\
    &=32\end{align*}$.
    Le triangle $ABC$ est donc isocèle en $A$.
    $\quad$
    b. $\vect{AI}\begin{pmatrix} 4\\-4\\-4\end{pmatrix}$.
    Donc
    $\begin{align*} AI^2&=4^2+(-4)^2+(-4)^2 \\
    &=16+16+16 \\
    &=48\end{align*}$
    L’aire du triangle $ABC$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{\sqrt{48}\times \sqrt{32}}{2} \\
    &=8\sqrt{6} \text{u.a.}\end{align*}$
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=12+16+12 \\
    &=40\end{align*}$
    $\quad$
    d.
    $\begin{align*}
    \vect{AB}.\vect{AC}=40&\ssi AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}=40 \\
    &\ssi 56\cos \widehat{BAC}=40 \\
    &\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{5}{7}\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{BAC}\approx 44,4$°.
    $\quad$
  4. $\vect{OH}\begin{pmatrix} \dfrac{5}{3}\\\dfrac{10}{3}\\-\dfrac{5}{3}\end{pmatrix}$.
    Par conséquent $\vect{OH}=\dfrac{5}{3}\vec{n}$.
    $\vect{OH}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
    $\begin{align*} \dfrac{5}{3}+2\times \dfrac{10}{3}+\dfrac{5}{3}-10&=\dfrac{30}{3}-10 \\
    &=0\end{align*}$
    Le point $H$ appartient donc au plan $(ABC)$.
    Ainsi $H$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(ABC)$.
    La distance du point $O$ au plan $(ABC)$ est
    $\begin{align*} OH&=\sqrt{\left(\dfrac{5}{3}\right)^2+\left(\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(\dfrac{5}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{150}{9}}\\
    &=\dfrac{5\sqrt{6}}{3}\end{align*}$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1     7 points
Thème : Probabilités

Une entreprise fabrique des composants pour l’industrie automobile. Ces composants sont conçus sur trois chaînes de montage numérotées de 1 à 3.

  • • La moitié des composants est conçue sur la chaîne n°1;
  • $30 \%$ des composants sont conçus sur la chaîne n°2;
  • les composants restant sont conçus sur la chaîne n°3.

À l’issue du processus de fabrication, il apparaît que $1 \%$ des pièces issues de la chaîne n°1 présentent un défaut, de même que $0,5 \%$ des pièces issues de la chaîne n°2 et $4 \%$ des pièces issues de la chaîne n°3.

On prélève au hasard un de ces composants. On note :

  • $C_1$ l’évènement « le composant provient de la chaîne n°1 »;
  • $C_2$ l’évènement « le composant provient de la chaîne n°2 »;
  • $C_3$ l’évènement « le composant provient de la chaîne n° 3 »;
  • $D$ l’évènement « le composant est défectueux » et $\conj{D}$ son évènement contraire.

Dans tout l’exercice, les calculs de probabilité seront donnés en valeur décimale exacte ou arrondie à $10^{-4}$ si nécessaire.

PARTIE A

  1. Représenter cette situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n°3 et soit défectueux.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité de l’évènement $D$ est $P(D) = 0,014~5$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité qu’un composant défectueux provienne de la chaîne n°3.

PARTIE B

L’entreprise décide de conditionner les composants produits en constituant des lots de $n$ unités. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de $n$ unités, associe le nombre de composants défectueux de ce lot.
Compte tenu des modes de production et de conditionnement de l’entreprise, on peut considérer que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,014~5$.

  1. Dans cette question, les lots possèdent $20$ unités. On pose $n = 20$.
    a. Calculer la probabilité pour qu’un lot possède exactement trois composants défectueux.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité pour qu’un lot ne possède aucun composant défectueux.
    En déduire la probabilité qu’un lot possède au moins un composant défectueux.
    $\quad$
  2. Le directeur de l’entreprise souhaite que la probabilité de n’avoir aucun composant défectueux dans un lot de $n$ composants soit supérieure à $0,85$.
    Il propose de former des lots de $11$ composants au maximum. A-t-il raison ? Justifier la réponse.
    $\quad$

PARTIE C

Les coûts de fabrication des composants de cette entreprise sont de $15$ euros s’ils proviennent de la chaîne de montage n°1, $12$ euros s’ils proviennent de la chaîne de montage n°2 et $9$ euros s’ils proviennent de la chaîne de montage n°3.
Calculer le coût moyen de fabrication d’un composant pour cette entreprise.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points
Thème : Fonctions, fonction logarithme

Le but de cet exercice est d’étudier la fonction $f$, définie sur $]0;+\infty[$, par : $$f(x)=3x-x\ln(x)-2\ln(x)$$

PARTIE A : Étude d’une fonction auxiliaire $\boldsymbol{g}$

Soit $g$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $$g(x) = 2(x-1)-x \ln(x)$$
On note $g’$ la fonction dérivée de $g$. On admet que $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$

  1. Calculer $g(1)$ et $g(\e)$.
    $\quad$
  2. Déterminer $\lim\limits_{x\to 0} g(x)$ en justifiant votre démarche.
    $\quad$
  3. Montrer que, pour tout $x > 0$, $g'(x) = 1-\ln(x)$.
    En déduire le tableau des variations de $g$ sur $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  4. Montrer que l’équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions distinctes sur $]0 ; +\infty[$ : $1$ et $\alpha$ avec $\alpha$ appartenant à l’intervalle $[\e ; +\infty[$.
    On donnera un encadrement de $\alpha$ à $0,01$ près.
    $\quad$
  5. En déduire le tableau de signes de $g$ sur $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$

PARTIE B : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

On considère dans cette partie la fonction $f$ , définie sur $]0 ; +\infty[$,par
$$f(x) = 3x-x \ln(x)-2\ln(x)$$
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
La représentation graphique $\mathscr{C}_f$ de cette fonction $f$ est donnée dans le repère $\Oij$ ci-dessous. On admet que : $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=+\infty$.

  1. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ en justifiant votre démarche.
    $\quad$
  2. a. Justifier que pour tout $x > 0$, $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x}$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau des variations de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  3. On admet que, pour tout $x > 0$, la dérivée seconde de $f$ , notée $f\dsec$, est définie par $f\dsec(x)=\dfrac{2-x}{x^2}$.
    Étudier la convexité de $f$ et préciser les coordonnées du point d’inflexion de $\mathscr{C}_f$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points
Thème : Suites

La population d’une espèce en voie de disparition est surveillée de près dans une réserve naturelle.
Les conditions climatiques ainsi que le braconnage font que cette population diminue de $10 \%$ chaque année.
Afin de compenser ces pertes, on réintroduit dans la réserve 100 individus à la fin de chaque année.
On souhaite étudier l’évolution de l’effectif de cette population au cours du temps. Pour cela, on modélise l’effectif de la population de l’espèce par la suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente l’effectif de la population au début de l’année 2020$+n$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.
Au début de l’année 2020, la population étudiée compte $2~000$ individus, ainsi $u_0 = 2~000$.

  1. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ vérifie la relation de récurrence :
    $u_{n+1} = 0,9u_n +100$.
    $\quad$
  2. Calculer $u_1$ puis $u_2$.
    $\quad$
  3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $1~000 < u_{n+1}\pp u_n$.
    $\quad$
  4. La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  5. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n −1~000$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,9$.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 1~000(1+0,9^n
    )$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    En donner une interprétation dans le contexte de cet exercice.
    $\quad$
  6. On souhaite déterminer le nombre d’années nécessaires pour que l’effectif de la population passe en dessous d’un certain seuil $S$ (avec $S > 1~000$).
    a. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n \pp 1~020$.
    Justifier la réponse par un calcul.
    $\quad$
    b. Dans le programme Python ci-dessous, la variable $n$ désigne le nombre d’années écoulées depuis 2020, la variable $u$ désigne l’effectif de la population.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\text{def population(S) :}\\
    2&\quad \text{n=0}\\
    3&\quad \text{u=2000}\\
    4&\\5&\quad \text{while …… :}\\
    6& \qquad \text{u= …}\\
    7& \qquad \text{n = …}\\
    8& \quad \text{return …}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Recopier et compléter ce programme afin qu’il retourne le nombre d’années nécessaires pour que l’effectif de la population passe en dessous du seuil $S$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points
Thème : Géométrie dans l’espace

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points $$
A(0 ; 8 ; 6), B(6 ; 4 ; 4) \text{ et } C(2 ; 4 ; 0)$$

  1. a. Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
    b. Montrer que le vecteur $\vec{n}(1 ; 2 ; -1)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    $\quad$
  2. Soient $D$ et $E$ les points de coordonnées respectives $(0; 0; 6)$ et $(6; 6; 0)$.
    a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(DE)$.
    $\quad$
    b. Montrer que le milieu $I$ du segment $[BC]$ appartient à la droite $(DE)$.
    $\quad$
  3. On considère le triangle $ABC$.
    a. Déterminer la nature du triangle $ABC$.
    $\quad$
    b. Calculer l’aire du triangle $ABC$ en unité d’aire.
    $\quad$
    c. Calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$.
    $\quad$
    d. En déduire une mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ arrondie à $0,1$ degré.
    $\quad$
  4. On considère le point $H$ de coordonnées $\left(\dfrac{5}{3};\dfrac{10}{3};-\dfrac{5}{3}\right)$.
    Montrer que $H$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(ABC)$.
    En déduire la distance du point $O$ au plan $(ABC)$.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole, Antilles, Guyane – sujet 2 – 9 septembre 2022

Métropole Antilles/Guyane – 9 septembre 2022

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$$\quad$
  2. a. $\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(E)&=p(R)\times p_R(E)+p\left(\conj{R}\right)\times p_{\conj{R}}(E) \\
    &=0,4\alpha+0,7(1-\alpha) \\
    &=0,7-0,3\alpha\end{align*}$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} p(E)=0,58&\ssi 0,7-0,3\alpha=0,58 \\
    &\ssi -0,12=-0,3\alpha\\
    &\ssi  \alpha=0,4\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*}
    p_E\left(\conj{R}\right)&=\dfrac{p\left(E\cap \conj{R}\right)}{p(E)} \\
    &=\dfrac{p\left(\conj{R}\right)\times P_{\conj{R}}(E)}{p(E)} \\
    &=\dfrac{0,7(1-\alpha)}{0,58} \\
    &=\dfrac{0,7\times 0,6}{0,58} \\
    &=\dfrac{21}{29}\\
    &\approx 0,72
    \end{align*}$
    La probabilité que le client ayant loué un vélo électrique ait loué un vélo tout terrain est environ égale à $0,72$.
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*} p\left(\conj{R}\cap E\right)&=p\left(\conj{R}\right)\times p_{\conj{R}}(E) \\
    &=0,7(1-\alpha)\\
    &=0,7\times 0,6\\
    &=0,42\end{align*}$
    La probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique est égale à $0,42$.
    $\quad$
  5. a. $X(\Omega)=\acco{25,~35,~40,~50}$
    $\begin{align*} p(X=25)&=p\left(R\cap \conj{E}\right) \\
    &= 0,4\times 0,4\\
    &=0,24\end{align*}$
    $\begin{align*} p(X=35)&=p\left(\conj{R}\cap \conj{E}\right) \\
    &= 0,6\times 0,3\\
    &=0,18\end{align*}$
    $\begin{align*} p(X=40)&=p\left(R\cap \conj{E}\right) \\
    &= 0,4\times 0,4\\
    &=0,16\end{align*}$
    $\begin{align*} p(X=50)&=p\left(\conj{R}\cap E\right) \\
    &= 0,6\times 0,7\\
    &=0,42\end{align*}$
    On obtient ainsi le tableau de loi de probabilité de $X$ suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&25&35&40&50\\
    \hline
    p(X=x)&0,24&0,18&0,16&0,42\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. L’espérance mathématique de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=25\times 0,24+35\times 0,18+40\times 0,16+50\times 0,42 \\
    &=39,7\end{align*}$
    En moyenne, une location de vélo coûte $39,70$ euros.
    $\quad$
  6. a. On répète $30$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,58$.
    $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,58$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} p(X=20)&=\dbinom{30}{20} 0,58^{20}\times 0,42^{10} \\
    &\approx 0,095\end{align*}$
    La probabilité qu’un échantillon contienne exactement $20$ clients qui
    louent un vélo électrique est environ égale à $0,095$.
    $\quad$
    c. On veut calculer $P(X\pg 15) \approx 0,858$.
    La probabilité qu’un échantillon contienne au moins $15$ clients qui louent un vélo électrique est environ égale à $0,858$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} b_{n+1}&=a_{n+1}-2 \\
    &=0,5a_n+1-2 \\
    &=0,5a_n-1 \\
    &=0,5\left(a_n-2\right) \\
    &=0,5b_n\end{align*}$
    La suite $\left(b_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. On a donc $u_1=5$, $v_1=3$, $u_2=14$ et $v_2=8$.
    Donc $\dfrac{u_2}{v_2}=1,75$
    Réponse c
    $\quad$
  3. La boucle du programme calcule tous les termes $u_n$ et $v_n$ pour $n$ allant de $1$ à $10$.
    Le programme renvoie donc $u_{10}$ et $v_{10}$.
    Réponse d
    $\quad$
  4. La fonction $f’$ semble croissante sur l’intervalle $[-4;0]$.
    Par conséquent la fonction $f$ semble convexe sur cet intervalle.
    Réponse b
    $\quad$
  5. Le coefficient directeur de la droite $(BC)$ est
    $\begin{align*} f\dsec(1)&=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B} \\
    &=5\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  6. On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\left(x^2-2x+3\right)\e^x-2$.
    La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} F'(x)&=(2x-2)\e^x+\left(x^2-2x+3\right)\e^x \\
    &=\left(2x-2+x^2-2x+3\right)\e^x \\
    &=\left(x^2+1\right)\e^x\end{align*}$
    Ainsi $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
    De plus $F(0)=3-2=1$.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=0$ donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x\left(1-\ln(x)\right)$.
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} 1-\ln(x)=-\infty$ ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=1-\ln(x)-x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=1-\ln(x)+1\\
    &=-\ln(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $f'(x)=0\ssi -\ln(x)=0 \ssi x=1$
    $f'(x)>0 \ssi -\ln(x)>0 \ssi x\in ]0;1[$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  4. $f(x)=x\ssi x-x\ln(x)=x \ssi -x\ln(x)=0 \ssi x=1$ (la valeur $0$ n’est pas solution puisque $f$ n’est pas définie en $0$).
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~0,5\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 1$.
    Initialisation : $u_0=0,5$ et $u_1\approx 0,85$.
    Par conséquent $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $0,5\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 1$.
    La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0,5;1]$.
    Par conséquent $f(0,5) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp p(1)$ c’est-à-dire $u_1\pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 1$.
    Or $u_1\approx 0,85$.
    La propriété $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, $0,5\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 1$.
    $\quad$
  2. a. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $1$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est continue sur $]0;+\infty[$ et, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
    D’après la question A.4. l’unique solution de cette équation est $1$.
    Ainsi $\ell=1$.
    $\quad$

Partie C

  1. La fonction $f_k$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f_k'(x)&=k-\ln(x)-x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=-\ln(x)+k-1\end{align*}$
    $f_k'(x)>0 \ssi -\ln(x)+k-1>0 \ssi \ln(x)<k-1 \ssi x<\e^{k-1}$
    La fonction $f_k$ est donc strictement croissante sur $\left]0;\e^{k-1}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[\e^{k-1};+\infty\right[$.
    La fonction $f_k$ admet par conséquent un maximum en $x_k=\e^{k-1}$.
    $\quad$
  2. Soit $k\in \R$.
    $\begin{align*} y_k=f_k\left(x_k\right)\\
    &=k\e^{k-1}-\e^{k-1}\ln\left(\e^{k-1}\right) \\
    &=k\e^{k-1}-(k-1)\e^{k-1} \\
    &=\e^{k-1}\left(k-(k-1)\right) \\
    &=\e^{k-1}\\
    &=x_k\end{align*}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Les coordonnées du vecteur $\vec{u}’$ sont $\begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{u}’$ ne sont pas colinéaires (ils n’ont pas les mêmes coordonnées nulles). Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ ne sont donc pas parallèles.
    $\quad$
    c. Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est $\begin{cases} x=2+k\\y=4+2k\\z=0\end{cases}$.
    $\quad$
  2. $\vec{v}.\vec{u}=2-2+0=0$ et $\vec{v}.\vec{u}’=0-1+1=0$.
    $\vec{v}$ est donc orthogonal aux deux vecteurs, non colinéaires, $\vec{u}$ et $\vec{u}’$.
    $\vec{v}$ est donc un vecteur directeur de la droite perpendiculaire à la fois à $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$.
    Ainsi $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
    $\quad$
  3. a. $\vec{n}.\vec{u}=2-2+0=0$ et $\vec{n}.\vec{v}= 4+1-5=0$.
    Ainsi $\vec{n}$ orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $2x-y-5z+d=0$.
    Le point $A(2;4;0)$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
    Par conséquent $4-4-0+d=0 \ssi d=0$.
    Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc $2x-y-5z=0$.
    $\quad$
    c. $M’$ est un point de $Delta$. Il appartient donc également au plan $\mathscr{P}$ qui contient cette droite.
    $M’$ est un point de $\mathscr{D}’$.
    $M’$ est donc le point d’intersection de la droite $\mathscr{D}’$ avec le plan $\mathscr{P}$.
    $2\times 3-1-5=0$ : le point de coordonnées $(3;1;1)$ appartient donc au plan $\mathscr{P}$.
    En prenant $t=-2$ dans la représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}’$ on obtient le point de coordonnées $(3;1;1)$.
    Ainsi ce point est le point d’intersection de la droite $\mathscr{D}’$ et $\mathscr{P}$.
    Ainsi $M’$ a pour coordonnées $(3;1;1)$.
    $\quad$
  4. a. $\vec{v}$ est un vecteur directeur de $\Delta$ et $M’$ appartient à cette droite.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $\begin{cases} x= 3+2k’\\y=1-k’\\z=1+k’\end{cases} \qquad k’\in \R$.
    $\quad$
    b. En prenant $k’=-1$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ on obtient le point de coordonnées $(-1;2;0)$.
    En prenant $k=-1$ dans la représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ on obtient le point de coordonnées $(-1;2;0)$.
    $M$ est le point d’intersection de ces deux droites. Donc $M$ a pour coordonnées $(1;2;0)$.
    $\quad$
    c. Les coordonnées de $\vect{MM’}$ sont $\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} MM’&=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}\\
    &=\sqrt{4+1+1} \\
    &=\sqrt{6}\end{align*}$.
    $\quad$
  5. a. Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{r}\begin{pmatrix} 5\\5\\1\end{pmatrix}$.
    $\vec{n}.\vec{r}=10-5-5=0$. Par conséquent $\vec{n}$ est normal à la droite $d$.
    Ainsi $d$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    b. Les droites $\mathscr{D}$ et $\Delta$ sont perpendiculaires en $M$.
    Le point $A$ appartient à la droite $\mathscr{D}$ et le point $M’$ appartient à la droite $\Delta$.
    Le triangle $AMM’$ est rectangle en $M$.
    Les coordonnées de $\vect{AM}$ sont $\begin{pmatrix} -1\\-2\\0\end{pmatrix}$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} AM&=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+0^2} \\
    &=\sqrt{5}\end{align*}$
    Ainsi l’aire du triangle $AMM’$ est
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AM\times MM’}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{30}}{2}\end{align*}$.
    Le volume du tétraèdre $ANMM’$ est donc $V=\dfrac{\sqrt{30}}{3}\ell$.
    $\quad$
    c. La droite $d$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$. La distance d’un point de la droite $d$ à ce plan est donc toujours la même. Ainsi $\ell$ ne dépend pas du point $N$ choisi.
    Par conséquent $AN_1MM’$ et $AN_2MM’$ ont le même volume.
    $\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1     7 points
Thème : probabilités

Dans le magasin d’Hugo, les clients peuvent louer deux types de vélos : vélos de route ou bien vélos tout terrain. Chaque type de vélo peut être loué dans sa version électrique ou non.
On choisit un client du magasin au hasard, et on admet que :

  • Si le client loue un vélo de route, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de $0,4$ ;
  • Si le client loue un vélo tout terrain, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de $0,7$ ;
  • La probabilité que le client loue un vélo électrique est de $0,58$.

On appelle $\alpha$ la probabilité que le client loue un vélo de route, avec $0\pp \alpha\pp 1$.

On considère les événements suivants :

  • $R$ : « le client loue un vélo de route » ;
  • $E$ : « le client loue un vélo électrique » ;
  • $\conj{R}$ et $\conj{E}$ , événements contraires de $R$ et $E$.

On modélise cette situation aléatoire à l’aide de l’arbre reproduit ci-dessous :

Si $F$ désigne un événement quelconque, on notera $p(F)$ la probabilité de $F$.

  1. Recopier cet arbre sur la copie et le compléter.
    $\quad$
  2. a. Montrer que $p(E)=0,7-0,3\alpha$.
    $\quad$
    b. En déduire que : $\alpha = 0,4$.
    $\quad$
  3. On sait que le client a loué un vélo électrique. Déterminer la probabilité qu’il ait loué un vélo tout terrain. On donnera le résultat arrondi au centième.
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique ?
    $\quad$
  5. Le prix de la location à la journée d’un vélo de route non électrique est de $25$ euros, celui d’un vélo tout terrain non électrique de $35$ euros. Pour chaque type de vélo, le choix de la version électrique augmente le prix de location à la journée de $15$ euros.
    On appelle $X$ la variable aléatoire modélisant le prix de location d’un vélo à la journée.
    a. Donner la loi de probabilité de $X$. On présentera les résultats sous forme d’un tableau.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance mathématique de $X$ et interpréter ce résultat.
    $\quad$
  6. Lorsqu’on choisit $30$ clients d’Hugo au hasard, on assimile ce choix à un tirage avec remise. On note $Y$ la variable aléatoire associant à un échantillon de $30$ clients choisis au hasard le nombre de clients qui louent un vélo électrique.
    On rappelle que la probabilité de l’événement $E$ est : $p(E) = 0,58$.
    a. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité qu’un échantillon contienne exactement $20$ clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.
    $\quad$
    c. Déterminer la probabilité qu’un échantillon contienne au moins $15$ clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points
Thèmes : suites, fonctions

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ définie par $a_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 0,5a_n+1$ et $b_n=a_n-2$.
    On peut affirmer que :
    a. $\left(a_n\right)$ est arithmétique ;
    b. $\left(b_n\right)$ est géométrique ;
    c. $\left(a_n\right)$ est géométrique ;
    d. $\left(b_n\right)$ est arithmétique.
    $\quad$

Dans les questions 2. et 3., on considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ définies par :$$u_0=2,~v_0=1 \text{ et, pour tout entier naturel }n :\begin{cases} u_{n+1}=u_n+3v_n\\v_{n+1}=u_n+v_n\end{cases}$$

  1. On peut affirmer que :
    a. $\begin{cases} u_2=5\\v_2=3\end{cases}$;
    b. $u_2^2-3v_2^2=-2^2$;
    c. $\dfrac{u_2}{v_2}=1,75$;
    d. $5u_1=3v_1$.
    $\quad$
  2. On considère le programme ci-dessous écrit en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def valeurs() :}\\
    \quad \text{u = 2}\\
    \quad \text{v = 1}\\
    \quad \text{for k in range(1,11) :}\\
    \qquad \text{c = u}\\
    \qquad \text{u = u+3*v}\\
    \qquad \text{v = c+v}\\
    \quad \text{return (u,v)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Ce programme renvoie :
    a. $u_{11}$ et $v_{11}$;
    b. $u_{10}$ et $v_{11}$;
    c. les valeurs de $u_n$ et $v_n$ pour $n$ allant de $1$ à $10$;
    d. $u_{10}$ et $v_{10}$.
    $\quad$

Pour les questions 4. et 5., on considère une fonction $f$ deux fois dérivable sur l’intervalle $[-4 ; 2]$. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ et $f\dsec$ la dérivée seconde de $f$.
On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}’$ de la fonction dérivée $f’$ dans un repère du plan. On donne de plus les points $A(-2; 0)$, $B(1; 0)$ et $C(0; 5)$.

  1. La fonction $f$ est :
    a. concave sur $[-2; 1]$;
    b. convexe sur $[-4; 0]$;
    c. convexe sur $[-2; 1]$;
    d. convexe sur $[0; 2]$.
    $\quad$
  2. On admet que la droite $(BC)$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}’$ au point $B$.
    On a :
    a. $f'(1) < 0$;
    b. $f'(1)= 5$;
    c. $f\dsec(1) > 0$;
    d. $f\dsec(1) = -5$.
    $\quad$
  3. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2+1\right)\e^x$.
    La primitive $F$ de $f$ sur $\R$ telle que $F(0) = 1$ est définie par :
    a. $F(x)=\left(x^2-2x+3\right)\e^x$;
    b. $F(x)=\left(x^2-2x+3\right)\e^x-2$;
    c. $F(x)=\left(\dfrac{1}{3}x^3+x\right)\e^x+1$;
    d. $F(x)=\left(\dfrac{1}{3}x^3+x\right)\e^x$;
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points
Thèmes : fonction logarithme, suites

Les parties B et C sont indépendantes.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = x-x\ln(x)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

Partie A

  1. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. Démontrer que, pour tout réel $x>0$, on a : $f'(x)=-\ln(x)$.
    $\quad$
    b. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$ et dresser son tableau de variation.
    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $f(x) = x$ sur $]0; +\infty[$.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on pourra utiliser avec profit certains résultats de la partie A.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$\begin{cases} u_0=0,5\\\text{pour tout entier naturel }n, u_{n+1}=u_n-u_n\ln\left(u_n\right)\end{cases}$$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

  1. On rappelle que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0,5; 1]$.
    Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0,5\pp u_n\pp u_{n+1}\pp 1$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    b. On note $l$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Déterminer la valeur de $l$.
    $\quad$

Partie C

Pour un nombre réel $k$ quelconque, on considère la fonction $f_k$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $$f_k(x)=kx-x\ln(x)$$

  1. Pour tout nombre réel $k$, montrer que $f_k$ admet un maximum $y_k$ atteint en $x_k=\e^{k-1}$.
    $\quad$
  2. Vérifier que, pour tout nombre réel $k$, on a : $x_k=y_k$.
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 4     7 points
Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère :

  • la droite $\mathscr{D}$ passant par le point $A(2; 4; 0)$ et dont un vecteur directeur est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$;
  • la droite $\mathscr{D}’$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases}x=3\\y=3+t\\z=3+t\end{cases} \quad, t\in \R$.
  1. a. Donner les coordonnées d’un vecteur directeur $\vec{u’}$ de la droite $\mathscr{D}’$.
    $\quad$
    b. Montrer que les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
    c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$.

On admet dans la suite de cet exercice qu’il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire aux droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$. Cette droite $\Delta$ coupe chacune des droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$. On appellera $M$ le point d’intersection de $\Delta$ et $\mathscr{D}$, et $M’$ le point d’intersection de $\Delta$ et $\mathscr{D}’$.

On se propose de déterminer la distance $MM’$ appelée « distance entre les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ ».

  1. Montrer que le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
    $\quad$
  2. On note $\mathscr{P}$ le plan contenant les droites $\mathscr{D}$ et $\Delta$, c’est-à-dire le plan passant par le point $A$ et de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
    a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-5\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation du plan $\mathscr{P}$ est : $2x-y-5z=0$.
    $\quad$
    c. On rappelle que $M’$ est le point d’intersection des droites $\Delta$ et $\mathscr{D}’$. Justifier que $M’$ est également le point d’intersection de $\mathscr{D}’$ et du plan $\mathscr{P}$.
    En déduire que les coordonnées du point $M’$ sont $(3; 1; 1)$.
    $\quad$
  3. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. Justifier que le point $M$ a pour coordonnées $(1; 2; 0)$.
    $\quad$
    c. Calculer la distance $MM’$.
    $\quad$
  4. On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=5t\\y=2+5t\\z=1+t\end{cases} \quad$ avec $t\in \R$.
    a. Montrer que la droite $d$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    b. On note $\ell$ la distance d’un point $N$ de la droite $d$ au plan $\mathscr{P}$. Exprimer le volume du tétraèdre $ANMM’$ en fonction de $\ell$.
    On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : $V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{B}\times h$ où $\mathscr{B}$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
    $\quad$
    c. Justifier que, si $N_1$ et $N_2$ sont deux points quelconques de la droite $d$, les tétraèdres $AN_1MM’$ et $AN_2MM’$ ont le même volume.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole, Antilles, Guyane – sujet 1 – 8 septembre 2022

Métropole Antilles/Guyane – 8 septembre 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Pour tout réel $x$
    $\begin{align*} g(x)&=\dfrac{2\e^x}{\e^x+1} \\
    &=\dfrac{2\e^x}{\e^x\left(1+\e^{-x}\right) }\\
    &=\dfrac{2}{1+\e^{-x}}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=2$.
    La droite d’équation $y=2$ est donc asymptote à la courbe représentative de la fonction $g$ en $+\infty$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. La fonction $f\dsec$ semble positive sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
    Par conséquent $f$ est convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. Pour tout $n\in \N$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-2 \\
    &=\dfrac{1}{2}u_{n+1}+1-2 \\
    &=\dfrac{1}{2}u_{n+1}-1 \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(u_n-2\right)\\
    &=\dfrac{1}{2}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
    Réponse d
    $\quad$
  4. $0<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$. Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+\left(\dfrac{1}{4}\right)^n=1$.
    $\begin{align*}\dfrac{n}{n+1}&=\dfrac{n}{n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}\\
    &=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n}{n+1}=1$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} 2-\dfrac{n}{n+1}=1$.
    D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$.
    Réponse b
    $\quad$
  5. On considère la fonction $F$ définie sur $]0;+\infty[$ par $F(x)=\dfrac{1}{3}x^3\left(\ln(x)-\dfrac{1}{3}\right)$.
    La fonction $F$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x>0$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=\dfrac{1}{3}\times 3x^2\left(\ln(x)-\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{3}x^3\times \dfrac{1}{x}\\
    &=x^2\ln(x)-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x^2 \\
    &=x^2\ln(x)\end{align*}$
    Ainsi $F$ est une primitive de la fonction $f$.
    Réponse a
    $\quad$
  6. Soit $x\in \R$
    $\begin{align*} 2+\dfrac{3\e^{-x}-5}{\e^{-x}+1}&=\dfrac{2\e^{-x}+2+3\e^{-x}-5}{\e^{-x}+1} \\
    &=\dfrac{5\e^{-x}-3}{\e^{-x}+1} \\
    &=\dfrac{\e^{-x}\left(5-3\e^x\right)}{\e^{-x}\left(1+\e^x\right)} \\
    &=\dfrac{5-3\e^x}{1+\e^x}\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a $p\left(\conj{M}\cap \conj{G}\right)=0,06$ et $p\left(\conj{M}\right)=1-0,7$ c’est-à-dire $p\left(\conj{M}\right)=0,3$.
    Or
    $\begin{align*} P_{\conj{M}}\left(\conj{G}\right)&=\dfrac{p\left(\conj{M}\cap \conj{G}\right)}{p\left(\conj{M}\right)} \\
    &=\dfrac{0,06}{0,3} \\
    &=0,2\end{align*}$
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre suivant :
    $\quad$
    $\quad$
    c. On veut calculer
    $\begin{align*} p\left(G\cap \conj{M}\right)&=p\left(\conj{M}\right)\times p_{\conj{M}}(G) \\
    &=0,3\times 0,8\\
    &=0,24\end{align*}$
    La probabilité de l’événement « le client visite la grotte et ne visite pas le musée » est égale à $0,24$.
    $\quad$
    d. $\left(M,\conj{M}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} p(G)&=p(G\cap M)+p\left(\conj{M}\cap G\right) \\
    &=p(M)\times p_M(G)+p\left(\conj{M}\cap G\right) \\
    &=0,7\times 0,6+0,24 \\
    &=0,66\end{align*}$
    $\quad$
  2. On veut calculer
    $\begin{align*} p_G(M)&=\dfrac{p(G\cap M)}{p(G)} \\
    &=\dfrac{0,7\times 0,6}{0,66} \\
    &=\dfrac{7}{11} \\
    &>\dfrac{1}{2}
    \end{align*}$
    L’affirmation est donc exacte.
    $\quad$
  3. a. On a $T(\Omega)=\acco{0,~5,~12,~17}$
    $\begin{align*} p(T=0)&=p\left(\conj{G}\cap \conj{M}\right) \\
    &=0,06\end{align*}$
    $\begin{align*} p(T=5)&=p\left(G\cap \conj{M}\right) \\
    &=0,24\end{align*}$
    $\begin{align*} p(T=12)&=p\left(\conj{G}\cap M\right) \\
    &=0,28\end{align*}$
    $\begin{align*} p(T=17)&=p\left(G\cap M\right) \\
    &=0,42\end{align*}$
    Ainsi
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    t&0&5&12&17\\
    \hline
    p(T=t)&0,06&0,24&0,28&0,42\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. L’espérance mathématique de $T$ est donc
    $\begin{align*} E(T)&=0\times 0,06+5\times 0,24+12\times 0,28+17\times 0,42 \\
    &=11,7\end{align*}$
    $\quad$
    c. Un client dépense donc en moyenne $11,70$ €.
    On appelle $N$ le nombre moyen de clients par journée.
    $11,7N\pg 700 \ssi x\pg \dfrac{700}{11,7}$
    Or $\dfrac{700}{11,7}\approx 59,83$.
    Il faut donc, en moyenne, au moins $60$ clients par journée pour atteindre cet objectif.
    $\quad$
  4. On appelle $p$ le prix de la visite de la grotte. On appelle $T’$ la variable aléatoire qui modélise la somme dépensée par un client de l’hôtel pour ces visites. On obtient alors la loi de probabilité suivante
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    t&0&x&12&12+x\\
    \hline
    p(T’=t)&0,06&0,24&0,28&0,42\\
    \hline
    \end{array}$
    Son espérance est donc
    $\begin{align*} E(T’)&=0,24x+12\times 0,28+0,42(12+x) \\
    &=0,24x+3,36+5,04+0,42x \\
    &=8,4+0,66x\end{align*}$
    $\begin{align*} E(T’)=15&\ssi 8,4+0,66x=15 \\
    &\ssi 0,66x=6,6 \\
    &\ssi x=10\end{align*}$
    Le prix de la visite de la grotte devrait donc être de $10$ euros pour atteindre l’objectif.
    $\quad$
  5. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients ayant visité la grotte. On répète $100$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,66$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,66$.
    D’après la calculatrice :
    $\begin{align*} P(X\pg 75)&=1-P(X\pp 74) \\
    &\approx 0,034\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins les trois quarts des clients de l’hôtel aient visité la grotte est environ égale à $0,034$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Par croissances comparées,$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x\pg 1$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2} \\
    &=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x\pg 1$ on a $x^2\pg 1$
    $1-\ln(x)=0\ssi \ln(x)=1\ssi x=\e$ donc $f'(x)=0 \ssi x=\e$
    $1-\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$ donc $f'(x)>0 \ssi x\in [1;\e]$
    $1-\ln(x)<0 \ssi \ln(x)>1 \ssi x>\e$ donc $f'(x)>0 \ssi x\in [\e;+\infty[$
    $\quad$
    c. On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  3. a. Soit $k$ un réel, $0\pp k \pp \e^{-1}$. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[1;\e]$.
    $f(1)=0\pp k$ et $f(\e)=\e^{-1}\pg k$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=k$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;\e]$.
    $\quad$
    b. Soit $k$ strictement supérieur à $\dfrac{1}{\e}$.
    Pour tout réel $x\pg 1$ on a $fx)\pp \e^{-1}$.
    Par conséquent l’équation $f(x)=k$ n’admet aucune solution sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ comme composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=\dfrac{1}{4}\e^{\frac{x}{4}}>0$ car la fonction exponentielle est strictement positive.
    La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n \pp u_{n+1} \pp \e$.
    Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=\e^{\frac{1}{4}}\approx 1,28$
    Par conséquent $u_0\pp u_1 \pp \e$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $u_n \pp u_{n+1} \pp \e$. La fonction $g$ est strictement croissante sur $[1;\e]$. Par conséquent :
    $g\left(u_{n+1}\right) \pp g\left(u_{n+1}\right) \pp g(\e)$ soit $u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \e^{-1}\pp \e$.
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\pp u_{n+1} \pp \e$.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\e$.
    Par conséquent $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  4. $\e^{\frac{x}{4}}=x \ssi \dfrac{x}{4}=\ln(x) \ssi \dfrac{1}{4}=\dfrac{\ln(x)}{x} \ssi f(x)=\dfrac{1}{4}$
    $\quad$
  5. D’après la calculatrice une solution de l’équation $f(x)=\dfrac{1}{4}$ est environ égale à $1,43$ qui appartient bien à $[1;\e]$.
    Ainsi $\ell \approx 1,43$.

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $\vect{DE}\begin{pmatrix} 12\\-15\\-6\end{pmatrix}$
    Par conséquent $\dfrac{1}{3}\vect{DE}\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\Delta$.
    Ainsi, une représentation paramétrique de $\Delta$ est $\begin{cases} x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\end{cases} \qquad t\in \R$.
    $\quad$
    b. $\Delta$ et $\Delta’$ sont parallèles. Un vecteur directeur de de $\Delta$ est donc également un vecteur directeur de $\Delta’$.
    Une représentation paramétrique de $\Delta’$ est donc $\begin{cases} x=4t\\y=-5t\\z=-2t\end{cases} \qquad t\in \R$.
    $\quad$
    c. $4t=1,36 \ssi t=0,34$
    De plus $-5\times 0,34=-1,7$ et $-2\times 0,34=-0,68 \neq -0,7$.
    Donc $F$ n’appartient pas à la droite $\Delta’$.
    $\quad$
  2. a. $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires (aucune coordonnée nulle pour le vecteur $\vect{AB}$). Les points $A$, $B$ et $C$ définissent donc bien un plan.
    $\quad$
    b. On note $\vec{n}\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}$.
    $\vec{n}.\vect{AB}=8-10+2=0$ et $\vec{n}.\vect{AC}=8+0-8=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    La droite $\Delta$ est par conséquent perpendiculaire au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Une équation du plan $(ABC)$ est donc de la forme $4x-5y-2z+d=0$.
    Le point $A(-1;-1;3)$ appartient au plan $(ABC)$.
    Par conséquent $-4+5-6+d=0 \ssi d=5$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $4x-5y-2z+5=0$.
    $\quad$
  3. a. Prenons $t=2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$.
    Le point de coordonnées $(7;-4;5)$ appartient donc à la droite $\Delta$.
    Donc $G(7;-4;4)$ appartient à la droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. Les coordonnées du point $H$ sont solution du système
    $\begin{align*} \begin{cases} 4x-5y-2z+5=0\\x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\\-4+16t-30+25t-16+4t+5=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\\45t=45\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=1\\x=3\\y=1\\z=6\end{cases} \end{align*}$.
    Le point $H$ a donc pour coordonnées $(3;1;6)$.
    $\quad$
    c. La distance du point $G$ au plan $(ABC)$ est par conséquent $HG$.
    Or $\vect{HG}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -4\\5\\2\end{pmatrix}$
    Ainsi
    $\begin{align*} HG&=\sqrt{(-4)^2+5^2+2^2} \\
    &=\sqrt{16+25+4} \\
    &=\sqrt{45} \\
    &=\sqrt{9\times 5}\\
    &=3\sqrt{5}\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. $\vect{AB}.\vect{AC}=4+0-4=0$.
    Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
    $\quad$
    b. $AB=\sqrt{9}=3$ et $AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
    Le volume du tétraèdre $ABCG$ est donc
    $\begin{align*} V&=\dfrac{\dfrac{AB\times AC}{2}\times HG}{3} \\
    &=\dfrac{3\times \sqrt{5}\times 3\sqrt{5}}{3} \\
    &=15\end{align*}$
    $\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1     7 points
Thèmes : fonctions, suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $g(x)=\dfrac{2\e^x}{\e^x+1}$.
    La courbe représentative de la fonction $g$ admet pour asymptote en $+\infty$ la droite d’équation :
    a. $x=2$;
    b. $y=2$;
    c. $y=0$
    d. $x=-1$.
    $\quad$
  2. On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$.
    On appelle $C$ sa représentation graphique.
    $\quad$
    On désigne par $f\dsec$ la dérivée seconde de $f$.
    $\quad$
    On a représenté sur le graphique ci-dessous la courbe de $f\dsec$, notée $C\dsec$.
    $\quad$

    $\quad$
    a. $C$ admet un unique point d’inflexion;
    b. $f$ est convexe sur l’intervalle $[-1;2]$;
    c. $f$ est convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$;
    d. $f$ est convexe sur $\R$.
    $\quad$
  3. On donne la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0= 0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+1$.
    La suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-2$, est :
    a. arithmétique de raison $-2$;
    b. géométrique de raison $-2$;
    c. arithmétique de raison $1$;
    d. géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  4. On considère une suite $\left(u_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$1+\left(\dfrac{1}{4}\right)^n \pp u_n \pp 2-\dfrac{n}{n+1}$$
    On peut affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ :
    a. converge vers $2$;
    b. converge vers $1$;
    c. diverge vers $+\infty$;
    d. n’a pas de limite.
    $\quad$
  5. Soit $f$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x)=x^2\ln(x)$.
    Une primitive $F$ de $f$ sur $]0; +\infty[$ est définie par :
    a. $F(x) =\dfrac{1}{3}x^3\left(\ln(x)-\dfrac{1}{3}\right)$;
    b. $F(x) = \dfrac{1}{3}x^3\left(\ln(x)-1\right)$;
    c. $F(x) = \dfrac{1}{3}x^2$;
    d. $F(x) = \dfrac{1}{3}x^2\left(\ln(x)-1\right)$.
    $\quad$
  6. Pour tout réel $x$ , l’expression $2+\dfrac{3\e^{-x}-5}{\e^{-x}+1}$ est égale à :
    a. $\dfrac{5-3\e^x}{1+\e^x}$;
    b. $\dfrac{5+3\e^x}{1-\e^x}$;
    c. $\dfrac{5+3\e^x}{1+\e^x}$;
    d. $\dfrac{5-3\e^x}{1-\e^x}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points
Thème : probabilités

Un hôtel situé à proximité d’un site touristique dédié à la préhistoire propose deux visites dans les environs, celle d’un musée et celle d’une grotte.

Une étude a montré que $70\%$ des clients de l’hôtel visitent le musée. De plus, parmi les clients visitant le musée, $60\%$ visitent la grotte.
Cette étude montre aussi que $6\%$ des clients de l’hôtel ne font aucune visite.
On interroge au hasard un client de l’hôtel et on note :

  • $M$ l’événement : « le client visite le musée » ;
  • $G$ l’événement : « le client visite la grotte ».

On note $\conj{M}$ l’événement contraire de $M$, $\conj{G}$ l’événement contraire de $G$, et pour tout événement $E$, on note $p(E)$ la probabilité de $E$.

Ainsi, d’après l’énoncé, on a : $p\left(\conj{M}\cap \conj{G}\right)= 0,06$

  1. a. Vérifier que $p_{\conj{M}}\left(\conj{G}\right) = 0,2$, où $p_{\conj{M}}\left(\conj{G}\right)$ désigne la probabilité que le client interrogé ne visite pas la grotte sachant qu’il ne visite pas le musée.
    $\quad$
    b. L’arbre pondéré ci-dessous modélise la situation. Recopier et
    compléter cet arbre en indiquant sur chaque branche la probabilité
    associée.
    $\quad$
    $\quad$
    c. Quelle est la probabilité de l’événement « le client visite la grotte et ne visite pas le musée » ?
    $\quad$
    d. Montrer que $p(G) = 0,66$.
    $\quad$
  2. Le responsable de l’hôtel affirme que parmi les clients qui visitent la grotte, plus de la moitié visitent également le musée. Cette affirmation est-elle exacte ?
    $\quad$
  3. Les tarifs pour les visites sont les suivants :
    $\bullet$ visite du musée : $12$ euros ;
    $\bullet$ visite de la grotte : $5$ euros.
    On considère la variable aléatoire $T$ qui modélise la somme dépensée par un client de l’hôtel pour ces visites.
    a. Donner la loi de probabilité de $T$. On présentera les résultats sous la forme d’un tableau.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance mathématique de $T$.
    $\quad$
    c. Pour des questions de rentabilité, le responsable de l’hôtel estime que le montant moyen des recettes des visites doit être supérieur à $700$ euros par jour. Déterminer le nombre moyen de clients par journée permettant d’atteindre cet objectif.
    $\quad$
  4. Pour augmenter les recettes, le responsable souhaite que l’espérance de la variable aléatoire modélisant la somme dépensée par un client de l’hôtel pour ces visites passe à $15$ euros, sans modifier le prix de visite du musée qui demeure à $12$ euros. Quel prix faut-il fixer pour la visite de la grotte afin d’atteindre cet objectif ? (On admettra que l’augmentation du
    prix d’entrée de la grotte ne modifie pas la fréquentation des deux sites).
    $\quad$
  5.  On choisit au hasard $100$ clients de l’hôtel, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. Quelle est la probabilité qu’au moins les trois quarts de ces clients aient visité la grotte à l’occasion de leur séjour à l’hôtel ? On donnera une valeur du résultat à $10^{-3}$ près.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points
Thèmes : fonctions logarithme et exponentielle, suites

Les parties A et B sont, dans une large mesure, indépendantes.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

  1. Donner la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. Montrer que, pour tout nombre réel $x\pg 1$, $f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$.
    $\quad$
    b. Justifier le tableau de signes suivant, donnant le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
    $\quad$

    $\quad$
    c. Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Soit $k$ un nombre réel positif ou nul.
    a. Montrer que, si $0\pp k\pp \dfrac{1}{\e}$, l’équation $f(x)=k$ admet une unique solution sur l’intervalle $[1 ;\e]$.
    $\quad$
    b. Si $k>\dfrac{1}{\e}$, l’équation $f(x) = k$ admet-elle des solutions sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$ ?
    Justifier.
    $\quad$

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x)=\e^{\frac{x}{4}}$.
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=\e^{\frac{u_n}{4}} \text{  c’est à dire : } u_{n+1}=g\left(u_n\right)$$

  1. Justifier que la fonction $g$ est croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n\pp u_{n+1} \pp \e$.
    $\quad$
  3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$

On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$, et on admet que $\ell$ est solution de l’équation : $$\e^{\frac{x}{4}}=x$$

  1. En déduire que $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=\dfrac{1}{4}$, où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.
    $\quad$
  2. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points
Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points
$A(-1 ; -1 ; 3)$, $B(1 ; 1 ; 2)$, $C(1 ; -1 ; 7)$.
On considère également la droite ∆ passant par les points $D(-1 ; 6 ; 8)$ et $E(11 ; -9 ; 2)$.

  1. a. Vérifier que la droite $\Delta$ admet pour représentation paramétrique :
    $$\begin{cases}x = -1 + 4t\\y = 6-5t\\z = 8-2t\end{cases} \quad \text{avec }t\in \R$$
    $\quad$
    b. Préciser une représentation paramétrique de la droite $\Delta’$ parallèle à $\Delta$ et passant par l’origine $O$ du repère.
    $\quad$
    c. Le point $F(1,36 ; -1,7 ; -0,7)$ appartient-il à la droite $\Delta’$ ?
    $\quad$
  2. a. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
    $\quad$
    b. Montrer que la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $4x-5y-2z+5=0$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que le point $G(7; -4; 4)$ appartient à la droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. En déduire que la distance du point $G$ au plan $(ABC)$ est égale à $3\sqrt{5}$.
    $\quad$
  4. a. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    $\quad$
    b. Calculer le volume $V$ du tétraèdre $ABCG$.
    On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule $V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{B}\times h$ où $\mathscr{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondant à cette base.
    $\quad$

$\quad$