Bac – Centres étrangers 2 – 6 juin 2024

Centres étrangers – 6 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On effectue $3$ tirages avec remise dans un ensemble à $8$ éléments. Il s’agit donc de déterminer le nombre de $3$-listes possibles constitués d’éléments de cet ensemble.
    Il existe ainsi $8^3=512$ tirages possibles.
    $\quad$
  2. a. Il s’agit de compter le nombre d’arrangements possibles de $3$ éléments dans un ensemble à $8$ éléments.
    Il y a donc $8\times 7\times 6=336$ tirages sans répétition de numéro.
    $\quad$
    b. Il y a donc $512-336=176$ tirages contenant au moins une répétition de numéro.
    $\quad$
  3. Nous sommes dans une situation d’équiprobabilité. Donc, pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $8$, tous les deux inclus, $P\left(X_1=k\right)=\dfrac{1}{8}$.
    Remarque : On dit que $X_1$ suit la loi uniforme sur l’ensemble des entiers de $1$ à $8$.
    $\quad$
  4. L’espérance de $X_1$ est donc :
    $\begin{align*}E\left(X_1\right)&=\dfrac{1}{8}\times 1+\dfrac{1}{8}\times 2+\ldots+\dfrac{1}{8}\times 8 \\
    &=\dfrac{1}{8}\left(1+2+\ldots+8\right) \\
    &=\dfrac{1}{8}\times \dfrac{8\times 9}{2} \\
    &=\dfrac{9}{2}\end{align*}$
    $\quad$
  5. $X_1$, $X_2$ et $X_3$ suivent la même loi. Elles ont donc la même probabilité.
    D’après la linéarité de l’espérance :
    $\begin{align*} E(S)&=E\left(X_1+X_2+X_3\right) \\
    &=E\left(X_1\right)+E\left(X_2\right)+E\left(X_3\right) \\
    &=3E\left(X_1\right) \\
    &=\dfrac{27}{2}\end{align*}$
    $\quad$
  6. L’unique façon pour que $S=24$ est d’obtenir le numéro $8$ au trois tirages.
    Par conséquent $P(S=24)=\dfrac{1}{512}$.
    $\quad$
  7. a. Si le joueur obtient au plus trois $7$ alors la somme des numéros vaut  au plus $3\times 7=21$. De même s’il obtient au plus deux $8$ et un $5$ la somme des numéros vaut $8+8+5=21$.
    Les seuls tirages permettant d’avoir une somme supérieure ou égale à $22$ sont donc :
    $7-7-8$ ; $7-8-7$ ; $8-7-7$ ; $7-8-8$ ; $8-7-8$ ; $8-8-7$ ; $8-8-8$ ; $8-8-6$ ; $8-6-8$ et $6-8-8$.
    Il existe donc exactement $10$ tirages permettant de gagner un lot.
    $\quad$
    b. La probabilité de gagner un lot vaut donc $\dfrac{10}{512}=\dfrac{5}{256}$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $\lim\limits_{x\to 1^-} \e^x=\e>0$ et $\lim\limits_{x\to 1^-} x-1=0^-$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to 1^-} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
    b. La droite d’équation $x=1$ est donc une asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x-1=-\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  3. a. Par hypothèse, $f$ est dérivable sur $]-\infty;1[$.
    Pour tout réel $x<1$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x(x-1)-\e^x}{(x-1)^2} \\
    &=\dfrac{\e^x(x-1-1)}{(x-1)^2} \\
    &=\dfrac{\e^x(x-2)}{(x-1)^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x\pp 1$ on a :
    $\bullet~x-2<0$
    $\bullet~\e^x>0$
    $\bullet~(x-1)^2>0$
    Ainsi, $f'(x)<0$ pour tout réel $x<1$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  4. a. Pour tout réel $x<1$ on a $\e^x>0$ et $(x-1)^3<0$.
    On étudie le signe du polynôme du second degré $x^2-4x+5$.
    Son discriminant est $\Delta=(-4)^2-4\times 5\times 1=-4<0$.
    Le signe de ce polynôme ne dépend donc que de celui de son terme principal. Ainsi, $x^2-4x+5>0$ sur $]-\infty;1[$.
    Donc $f\dsec(x)<0$ sur $]-\infty;1[$.
    La fonction $f$ est par conséquent concave sur $]-\infty;1[$.
    $\quad$
    b. On a $f(0)=-1$ et $f'(0)=-2$.
    Une équation de $T$ est donc $y=-2x-1$.
    $\quad$
    c. $f$ est concave sur $]-\infty;1[$. Sa courbe représentative est donc au-dessous de ses tangentes sur cet intervalle.
    Ainsi :
    $\begin{align*} f(x)\pp -2x-1 &\ssi \dfrac{\e^x}{x-1} \pp -2x-1 \\
    &\ssi \e^x\pg (-2x-1)(x-1) \qquad \text{car } x-1<0\end{align*}$
    $\quad$
  5. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]-\infty;1[$.
    De plus $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$ et De plus $\lim\limits_{x\to 1^-} f(x)=-\infty$.
    Or $-2\in ]-\infty;0[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=-2$ admet une unique solution sur l’intervalle $]-\infty;1[$.
    $\quad$
    b. On a $f(0,31) \approx -1,976>-2$ et $f(0,32) \approx -2,025<-2$.
    Ainsi $f(0,31)>f(\alpha)>f(0,32)$
    Par conséquent $0,31<\alpha<0,32$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $I$ a pour coordonnées $(0,5;0;0)$ et $J$ a pour coordonnées $(1;1;0,5)$.
    $\quad$
  2. $H$ a pour coordonnées $(0;1;1)$, $F$ a pour coordonnées $(1;0;1)$ et $E$ a pour coordonnées $(0;0;1)$.
    Ainsi $\vect{EJ}\begin{pmatrix}1\\1\\-0,5\end{pmatrix}$, $\vect{FH}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{FI}\begin{pmatrix}-0,5\\0\\-1\end{pmatrix}$.
    $\vect{FH}$ et $\vect{FI}$ n’ont pas la même composante nulle. Ils ne sont donc pas colinéaires.
    D’une part : $\vect{EJ}.\vect{FH}=-1+1+0=0$
    D’autre part : $\vect{EJ}.\vect{FI}=-0,5+0+0,5=0$
    $\vect{EJ}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(FHI)$. Il est normal à ce plan.
    $\quad$
  3. Une équation cartésienne du plan $(FHI)$ est donc $x+y-0,5z+d=0$.
    Or $F(1;0;1)$ appartient à ce plan. Donc $1+0-0,5+d=0 \ssi d=-0,5$.
    Une équation cartésienne du plan $(FHI)$ est par conséquent $x+y-0,5z-0,5=0$.
    En multipliant cette équation par $-2$ on obtient alors $-2x-2z+z+1=0$.
    $\quad$
  4. Une représentation paramétrique de la droite $(EJ)$ est : $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$.
    $\quad$
  5. a. Les coordonnées du point $K$ sont donc les solutions du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\-2x-2y+z+1=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\ -2t-2t+1-0,5t+1=0 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\-4,5t=-2  \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\t=\dfrac{4}{9}  \end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{4}{9}\\[3mm] y=\dfrac{4}{9}\\[3mm] z=\dfrac{7}{9}\\t=\dfrac{4}{9}  \end{cases}\end{align*}$
    Donc $K$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{7}{9}\right)$.
    $\quad$
    b. Le triangle $EFI$ est isocèle en $I$.
    Son aire est
    $\begin{align*}\mathscr{A}&=\dfrac{EF\times IL}{2} \\
    &=\dfrac{EF\times AE}{2} \\
    &=\dfrac{1\times 1}{2} \\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$.
    On appelle $M$ me milieu de $[FB]$. $M$ est également le projeté orthogonal du point $J$ sur le plan $(EFB)$.
    Le volume de la pyramide $EFHI$ est donc :
    $\begin{align*}V&=\dfrac{\mathscr{A}\times JM}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times 1}{3} \\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    Le volume de la pyramide $EFHI$ est $\dfrac{1}{6}$ cm$^3$.
    $\quad$
    c. On a $\vect{EK}\begin{pmatrix}\dfrac{4}{9}\\[3mm] \dfrac{4}{9}\\[3mm]-\dfrac{2}{9}\end{pmatrix}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} EK&=\sqrt{\left(\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2} \\[3mm]
    &=\sqrt{\dfrac{16}{81}+\dfrac{16}{81}+\dfrac{4}{81}  }\\[3mm]
    &=\sqrt{\dfrac{36}{81}} \\[3mm]
    &=\dfrac{6}{9} \\[3mm]
    &=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    Par conséquent, en appelant  $\mathscr{B}$ l’aire du triangle $FHI$ on a :
    $\begin{align*} V=\dfrac{1}{6}&\ssi \dfrac{\mathscr{B}\times EK}{3}=\dfrac{1}{6} \\[3mm]
    &\ssi \mathscr{B}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2} \\[3mm]
    &\ssi \mathscr{B}=\dfrac{3}{4}\end{align*}$
    L’aire du triangle $FHI$ est $\dfrac{3}{4}$ cm$^2$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Par hypothèse, $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} \\
    &>0\end{align*}$
    $f$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f(x)-x&=\sqrt{x+1}-x\\
    &=\left(\sqrt{x+1}-x\right)\times \dfrac{\sqrt{x+1}+x}{\sqrt{x+1}+x} \\
    &=\dfrac{x+1-x^2}{\sqrt{x+1}+x} \\
    &=\dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x} \end{align*}$
    $\quad$
  3. D’après la question précédente, sur $[0;+\infty[$ :
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi f(x)-x=0 \\
    &\ssi \dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x} =0 \\
    &\ssi -x^2+x+1=0 \qquad \text{car } \sqrt{x+1}+x>0\end{align*}$
    Le discriminant de cette équation du second degré est $\Delta=1^2-4\times 1\times (-1)=5>0$.
    Elle possède donc deux solutions $x_1=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{-2}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}>0$ et $x_2=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{-2}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}<0$.
    L’équation $f(x)=x$ admet donc une unique solution sur $[0;+\infty[$ qui est $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
    Remarque : Il s’agit du nombre d’or !
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout entier naturel $n$ on note $P(n):~1\pp u_{n+1}\pp u_n$.
    Initialisation : $u_1=\sqrt{6}$. Or $1<\sqrt{6}<5$.
    Donc $1\pp u_1\pp u_0$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $1\pp u_{n+1}\pp u_n$.
    La fonction $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$.
    Par conséquent $f(1)\pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right)$
    Soit $\sqrt{2}\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$. Or $1\pp \sqrt{2}$.
    Donc $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$ et $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
  2. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone; elle converge.
    $\quad$
  3. $\left(u_n\right)$ converge et pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ avec $f$ continue (car dérivable) sur $[0;+\infty[$.
    De plus, pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg 1>0$.
    Par conséquent la limite $L$ de cette suite est solution de l’équation $f(x)=x$ dont l’unique solution sur $[0;+\infty[$ est $\ell$.
    $\left(u_n\right)$ converge donc vers $\ell$.
    $\quad$
  4. a. D’après la calculatrice $\text{seuil(2)}$ renvoie $5$.
    $\quad$
    b. Cela signifie que $u_9$ est une approximation de $\ell$ à au moins $10^{-4}$ près.
    $\quad$

Énoncé

 

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     (5 points)

Un sac opaque contient huit jetons numérotés de $1$ à $8$, indiscernables au toucher.
À trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans le sac.
Dans ce contexte, on appelle « tirage » la liste ordonnée des trois numéros obtenus.
Par exemple, si le joueur pioche le jeton numéro $4$, puis le jeton numéro $5$, puis le jeton numéro $1$, alors le tirage correspondant est $(4 ; 5 ; 1)$.

  1. Déterminer le nombre de tirages possibles.
    $\quad$
  2. a. Déterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.
    $\quad$
    b. En déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.$\quad$

On note $X_1$ la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché, $X_2$ celle égale au numéro du deuxième jeton pioché et $X_3$ celle égale au numéro du troisième jeton pioché.
Puisqu’il s’agit d’un tirage avec remise, les variables aléatoires $X_1$, $X_2$ et $X_3$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.

  1. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_1$.
    $\quad$
  2. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $X_1$.
    $\quad$

On note $S=X_1+X_2+X_3$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.

  1. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $S$.
    $\quad$
  2. Déterminer $P(S=24)$.
    $\quad$
  3. Si un joueur obtient une somme supérieure ou égale à $22$, alors il gagne un lot.
    a. Justifier qu’il existe exactement $10$ tirages permettant de gagner un lot.
    $\quad$
    b. En déduire la probabilité de gagner un lot.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (6 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]-\infty;1[$ par $f(x)=\dfrac{\e^x}{x-1}$.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-\infty;1[$.
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

  1. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $1$.
    $\quad$
    b. En déduire une interprétation graphique.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]-\infty; 1[$ , on a $f'(x)=\dfrac{(x-2)\e^x}{(x-1)^2}$.
    $\quad$
    b. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]-\infty; 1[$ .
    $\quad$
  4. On admet que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]-\infty;1[$ , on a $f\dsec(x)=\dfrac{\left(x^2-4x+5\right)\e^x}{(x-1)^2}$.
    a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $]-\infty; 1[$.
    $\quad$
    b. Déterminer l’équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $\infty;1[$ , on a : $\e^x\pg (-2x-1)(x-1)$.
    $\quad$
  5. a. Justifier que l’équation $f(x)=-2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]-\infty; 1[$.
    $\quad$
    b. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (5 points)

Le cube $ABCDEFGH$ a pour arête $1$ cm.
Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ et le point $J$ est le milieu du segment $[CG]$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

  1. Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
    $\quad$
  2. Montrer que le vecteur $\vect{EJ}$ est normal au plan $(FHI)$.
    $\quad$
  3. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(FHI)$ est $-2x-2y+z+1=0$.
    $\quad$
  4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EJ)$.
    $\quad$
  5. a. On note $K$ le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(FHI)$.
    Calculer ses coordonnées.
    $\quad$
    b. Montrer que le volume de la pyramide $EFHI$ est $\dfrac{1}{6}$ cm$^3$.
    On pourra utiliser le point $L$, milieu du segment $[EF]$. On admet que ce point est le projeté orthogonal du point $I$ sur le plan $(EFH)$.
    $\quad$
    c. Déduire des deux questions précédentes l’aire du triangle $FHI$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (4 points)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+1}$.
On admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle.

  1. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  2. Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0 ; +\infty[$ :
    $$f(x)-x=\dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}$$
    $\quad$
  3. En déduire que sur l’intervalle $[0; +\infty[$ l’équation $f(x)=x$ admet pour unique solution : $$\ell =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$
    $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.
On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie pour tout entier naturel $n$.

  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
  2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    $\quad$
  3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
    $\quad$
  4. On considère le script Python ci-dessous :

    On rappelle que la commande $\text{abs(x)}$ renvoie la valeur absolue de $\text{x}$.

    a. Donner la valeur renvoyée par $\text{seuil(2)}$.
    $\quad$
    b. La valeur renvoyée par $\text{seuil(4)}$ est $9$.
    Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

 

 

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 1 – 13 mars 2023

Centre étrangers – 13 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Pour tout $n\in \N$ on a:
    $\begin{align*} u_n&=\dfrac{1+2^n}{3+5^n} \\
    &=\dfrac{2^n\left(\dfrac{1}{2^n}+1\right)}{5^n\left(\dfrac{3}{5^n}+1\right)} \\
    &=\left(\dfrac{2}{5}\right)^n \times \dfrac{\dfrac{1}{2^n}+1}{\dfrac{3}{5^n}+1}\end{align*}$
    $-1<\dfrac{2}{5}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{2}{5}\right)^n=0$.
    De plus $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{3}{5^n}=0$
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\ln(x)+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2x\ln(x)+x \\
    &=x\left(2\ln(x)+1\right)\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. $h(x)\pp 0$ sur $]-\infty;1]$. Par conséquent, $H$ est décroissante sur $]-\infty;1]$ et donc sur $]-\infty;0]$.
    Or $H(0)=0$.
    Par conséquent, pour tout $x\pp 0$, $H(x)\pg H(0)$ soit $H(x)\pg 0$.
    Réponse a
    $\quad$
  4. Il s’agit d’un algorithme de dichotomie qui est mis en place.
    Dans la boucle while, il faut que l’écart soit supérieur à $0,001$ pour continuer cette boucle. On exclut donc la proposition c.
    La fonction est croissante sur $[a;b]$. Par conséquent si $f(m)<0$ alors $a$ prend la valeur de $m$. On exclut la proposition a.
    Il faut recalculer la variable $m$ à chaque tour de boucle : on exclut la proposition b.
    Réponse d
    $\quad$
  5. On choisit $2$ boules vertes parmi les $3$ boules vertes de l’urne. La probabilité de tirer une boule bleue est égale à $\dfrac{7}{10}$ et celle de tirer une boule verte est égale à $\dfrac{3}{10}$.
    On répète $3$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{7}{10}$.
    La variable aléatoire égale au nombre de boules vertes tirées suit la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac{7}{10}$.
    La probabilité de tirer exactement deux boules vertes est égale à $\dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$.
    Réponse d
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. La trottinette est en bon état lors de sa mise en service.
    Ainsi
    $\begin{align*} p_1&=p\left(B_1\right) \\
    &=p\left(B_0\right)p_{B_0}\left(B_1\right)\\
    &=1\times 0,9\\
    &=0,9\end{align*}$
    $\quad$
    $\left(B_1,\conj{B_1}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales.
    $\begin{align*} p_2&=p\left(B_1\cap B_2\right)+p\left(\conj{B_1}\cap B_2\right) \\
    &=p\left(B_1\right)p_{B_1}\left(B_2\right)+p\left(\conj{B_1}\right)p_{\conj{B_1}}\left(B_1\right) \\
    &=0,9\times 0,9+0,1\times 0,4 \\
    &=0,81+0,04\\
    &=0,85\end{align*}$
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  3. $\left(B_n,\conj{B_n}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales.
    $\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(B_n\cap B_{n+1}\right)+p\left(\conj{B_n}\cap B_{n+1}\right) \\
    &=p\left(B_n\right)p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)+p\left(\conj{B_n}\right)p_{\conj{B_n}}\left(B_{n+1}\right) \\
    &=0,9\times p_n+0,4\left(1-p_n\right) \\
    &=0,9p_n+0,4-0,4p_n\\
    &=0,5p_n+0,4\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout $n$ on pose $R(n):~p_n\pg 0,8$.
    Initialisation : $p_0=1\pg 0,8$ donc $R(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $R(n)$ vraie.
    $\begin{align*} p_n\pg 0,8& \ssi 0,5p_n\pg 0,4 \\
    &\ssi 0,5p_n +0,4\pg 0,8 \\
    &\ssi p_{n+1} \pg 0,8\end{align*}$
    Donc $R(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété $R$ est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $p_n \pg 0,8$.
    $\quad$
    b. L’entreprise peut annoncer qu’au moins $80\%$ du parc de trottinette est bon état à tout moment.
    $\quad$
  5. a. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-0,8 \\
    &=0,5p_n+0,4-0,8 \\
    &=0,5p_n-0,4 \\
    &=0,5\left(p_n-0,8\right) \\
    &=0,5u_n\end{align*}$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_0=p_0-0,8=0,2$.
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $u_n=0,2\times 0,5^n$.
    Ainsi $p_n=0,8+u_n=0,8+0,2\times 0,5^n$.
    $\quad$
    c. $0<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,8$.
    $\quad$

Partie B

  1. On répète $15$ fois de manière indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,8$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,8$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X=15)&=0,8^{15} \\
    &\approx 0,035\end{align*}$
    La probabilité que les $15$ trottinettes soient en bon état est égale à $0,8^{15} \approx 0,035$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(X\pg 10)&=1-p(X\pp 9) \\
    &\approx 0,939\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins $10$ trottinettes soient en bon état dans un lot de $15$ est environ égale à $0,939$.
    $\quad$
  4. Cela signifie qu’en moyenne, dans un lot de $15$ trottinettes, $12$ sont en bon état.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. $\vect{BF}=\dfrac{1}{2}\vect{AE}$ et $\vec{k}=\dfrac{1}{8}\vect{AE}$.
    Donc $E$ a pour coordonnées $(0,0,8)$, $F$ a pour coordonnées $(4,0,4)$
    Ainsi $I$, milieu de $[EF]$ a pour coordonnées $(2,0,6)$.
    $J$ est le milieu de $[AE]$ donc $J$ a pour coordonnées $(0,0,4)$.
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{IJ}\begin{pmatrix} -2\\0\\-2\end{pmatrix}$.
    $G$ a pour coordonnées $(4,4,4)$ donc $\vect{IG}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2\\4\\-2\end{pmatrix}$.
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même coordonnée nulle.
    D’une part $\vec{n}.\vect{IJ}=2+0-2=0$
    D’autre part $\vec{n}.\vect{IG}=-2+4-2=0$
    $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IGJ)$.
    $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(IGJ)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(IGJ)$ est alors de la forme $-x+y+z+d=0$.
    $I(2,0,6)$ appartient à ce plan. Donc $-2+0+6+d=0 \ssi d=-4$.
    Une équation cartésienne du plan $(IGJ)$ est donc $-x+y+z-4=0$.
    $\quad$
  3. $H$ a pour coordonnées $(0,4,8)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $d$ est $\begin{cases} x=-t\\y=4+t\\z=8+t\end{cases}, \quad \forall t\in \R$.
    $\quad$
  4. Montrons que le point $L’\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{16}{3}\right)$ appartient à la droite et au plan.
    $-\dfrac{8}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{16}{3}-4= \dfrac{12}{3}-4  =0$. $L’$ appartient au plan $(IGJ)$.
    Prenons $t=-\dfrac{8}{3}$ dans la représentation paramétrique de $d$.
    On obtient alors $x=\dfrac{8}{3}$, $y=4-\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}$ et $z=8-\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}$.
    $L’$ appartient alors également à $d$.
    Ainsi $L’$ appartient à la fois à $d$ et au plan $(IGJ)$. La droite $d$ est normale au plan $(IGJ)$; elle n’est donc pas incluse dedans.
    Par conséquent les coordonnées du point $L$ sont bien $\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{16}{3}\right)$.
    $\quad$
  5. La distance cherchée est $HL$.
    $\vect{HL}\begin{pmatrix} \dfrac{8}{3}\\[2mm]-\dfrac{8}{3}\\[2mm]-\dfrac{8}{3}\end{pmatrix}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} HL&=\sqrt{\left(\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{8}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{64}{3}} \\
    &=\dfrac{8}{\sqrt{3}}\end{align*}$
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*} \vect{IG}.\vect{IJ}&=-4+0+4 \\
    &=0\end{align*}$
    Les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{IG}$ sont orthogonaux et le triangle $IGJ$ est rectangle en $I$.
    $\quad$
  7. On a :
    $\begin{align*} IJ&=\sqrt{(-2)^2+0^2+(-2)^2} \\
    &=\sqrt{8}\end{align*}$
    $\begin{align*} IG&=\sqrt{2^2+4^2+(-2)^2} \\
    &=\sqrt{24}\end{align*}$Le volume du tétraèdre $IGJH$ est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{IGJ}\times HL \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{IJ\times IG}{2}\times HL \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{8}\times \sqrt{24}}{2}\times \dfrac{8}{\sqrt{3}} \\
    &=\dfrac{32}{3}\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    Pour tout $t\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=-(-t+1)\e^{-0,5t^2+t+2} \\
    &=(t-1)\e^{-0,5t^2+t+2}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent $f'(t)$ est du signe de $t-1$.
    Or $t-1<0 \ssi t<1$ et $t-1=0 \ssi t=1$.
    Ainsi la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;1[$.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$ d’après la question précédente.
    $\lim\limits_{t\to +\infty} (-0,5t^2t+2) = \lim\limits_{t\to +\infty} -0,5t^2=-\infty$ (limite des termes de plus haut degré).
    Or $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{t\to +\infty} \e^{-0,5t^2+t+2}=0$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=\e^3$.
    Or $\e^3 \approx 20,086$.
    Ainsi, après $1$ heure, la population de bactéries va croître jusqu’à environ $20~086<21~000$ entités.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[0;1]$.
    $f(0)=\e^3-\e^2\approx 12,7>10$
    $f(1)\approx 7,9<10$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=10$ admet une unique solution sur $[0;1]$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
    $f(1)\approx 7,9<10$
    $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=\e^3>10$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=10$ admet une unique solution sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
    Finalement l’équation $f(t)=10$ admet exactement deux solutions sur $[0;+\infty[$.
    La population de bactéries aura un effectif de $10~000$ à deux reprises au cours du temps.
    Affirmation 3 vraie.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1  (QCM)     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie. Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

  1. Question 1 :
    On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par $u_n=\dfrac{1+2^n}{3+5^n}$.
    Cette suite :
    a. diverge vers $+\infty$
    b. converge vers $\dfrac{2}{5}$
    c. converge vers $0$
    d. converge vers $\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
  2. Question 2 :
    Soit $f$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x)= x^2\ln(x)$. L’expression de la fonction dérivée de $f$ est :
    a. $f'(x)=2x\ln(x)$
    b. $f'(x)=x\left(2\ln(x)+1\right)$
    c. $f'(x)=2$
    d. $f'(x)=x$
    $\quad$
  3. Question 3 :
    On considère une fonction ℎ définie et continue sur $\R$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous :
    $\quad$

    $\quad$
    On note $H$ la primitive de $h$ définie sur $\R$ qui s’annule en $0$.
    Elle vérifie la propriété :
    a. $H$ positive sur $]-\infty ; 0]$.
    b. $H$ négative sur $]-\infty ; 1]$.
    c. $H$ croissante sur $]-\infty ; 1]$.
    d. $H$ croissante sur $\R$.
    $\quad$
  4. Question 4 :
    Soit deux réels $a$ et $b$ avec $a < b$.
    On considère une fonction $f$ définie, continue, strictement croissante sur l’intervalle $[a ; b]$ et qui s’annule en un réel $\alpha$.
    Parmi les propositions suivantes, la fonction en langage Python qui permet de donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,001$ est :
    $$\begin{array}{lll}
    \begin{array}{l}
    \textbf{a.}\\
    \textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
    \hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) >= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
    \hspace{1,6cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
    \hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
    \end{array}
    &\phantom{1234}&
    \begin{array}{l}
    \textbf{c.}\\
    \textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
    \hspace{0,8cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
    \hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) <= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
    \hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
    \end{array} \\
    \begin{array}{l}
    \textbf{b.}\\
    \textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
    \hspace{0,8cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
    \hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) >= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
    \hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
    \end{array}
    &\phantom{1234}&
    \begin{array}{l}
    \textbf{d.}\\
    \textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
    \hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) >= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
    \hspace{1,6cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
    \hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
    \end{array}\end{array}$$
    $\quad$
  5. Question 5 :
    Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher dont $7$ sont bleues et les autres vertes. On effectue trois tirages successifs avec remise. La probabilité d’obtenir exactement deux boules vertes est :
    a. $\left(\dfrac{7}{10}\right)^2\times \dfrac{3}{10}$
    b. $\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$
    c. $\dbinom{10}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$
    d. $\dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2       6 points

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Dans une grande ville française, des trottinettes électriques sont mises à disposition des usagers. Une entreprise, chargée de l’entretien du parc de trottinettes, contrôle leur état chaque lundi.

$\quad$

Partie A

On estime que :

  • lorsqu’une trottinette est en bon état un lundi, la probabilité qu’elle soit encore en bon état le lundi suivant est $0,9$ ;
  • lorsqu’une trottinette est en mauvais état un lundi, la probabilité qu’elle soit en bon état le lundi suivant est $0,4$.

On s’intéresse à l’état d’une trottinette lors des phases de contrôle.
Soit $n$ un entier naturel. On note $B_n$ l’événement « la trottinette est en bon état $n$ semaines après sa mise en service » et $p_n$ la probabilité de $B_n$.
Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon état. On a donc $p_0=1$.

  1. Donner $p_1$ et montrer que $p_2 = 0,85$. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :
    $\quad$

    $\quad$
  3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,4$.
    $\quad$
  4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $p_n\pg 0,8$.
    $\quad$
    b. À partir de ce résultat, quelle communication l’entreprise peut-elle envisager pour valoriser la fiabilité du parc ?
    $\quad$
  5. a. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=p_n-0,8$.
    Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
    $\quad$
    b. En déduire l’expression de $u_n$ puis de $p_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
    $\quad$

Partie B
Dans cette partie, on modélise la situation de la façon suivante :

  • l’état d’une trottinette est indépendant de celui des autres ;
  • la probabilité qu’une trottinette soit en bon état est égale à $0,8$.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à un lot de $15$ trottinettes, associe le nombre de trottinettes en bon état. Le nombre de trottinettes du parc étant très important, le prélèvement de $15$ trottinettes peut être assimilé à un tirage avec remise.

  1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que les $15$ trottinettes soient en bon état.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité qu’au moins $10$ trottinettes soient en bon état dans un lot de $15$.
    $\quad$
  4. On admet que $E(X) = 12$. Interpréter le résultat.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3       6 points

On considère le prisme droit $ABFEDCGH$, de base $ABFE$, trapèze rectangle en $A$.
On associe à ce prisme le repère orthonormé $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ tel que :
$\vec{i}=\dfrac{1}{4}\vect{AB}$ ; $\vec{j}=\dfrac{1}{4}\vect{AD}$ ; $\vec{k}=\dfrac{1}{8}\vect{AE}$.
De plus on a $\vect{BF}=\dfrac{1}{2}\vect{AE}$.
On note $I$ le milieu du segment $[EF]$.
On note $J$ le milieu du segment $[AE]$.

 

  1. Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
    $\quad$
  2. Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$.
    a. Montrer que le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $(IGJ)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(IGJ)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, perpendiculaire au plan $(IGJ)$ et passant par $H$.
    $\quad$
  4. On note $L$ le projeté orthogonal du point $H$ sur le plan $(IGJ)$.
    Montrer que les coordonnées de $L$ sont $\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{16}{3}\right)$.
    $\quad$
  5. Calculer la distance du point $H$ au plan $(IGJ)$.
    $\quad$
  6. Montrer que le triangle $IGJ$ est rectangle en $I$.
    $\quad$
  7. En déduire le volume du tétraèdre $IGJH$.
    On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule :
    $$V=\dfrac{1}{3}\times (\textit{aire de la base}) \times \textit{hauteur}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4       3 points

Un biologiste a modélisé l’évolution d’une population de bactéries (en milliers d’entités) par la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par $f(t) = \e^3-\e^{-0,5t^2+t+2}$ où $t$ désigne le temps en heures depuis le début de l’expérience.

À partir de cette modélisation, il propose les trois affirmations ci-dessous. Pour chacune d’elles, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

  • Affirmation 1 : « La population augmente en permanence ».
    $\quad$
  • Affirmation 2 : « À très long terme, la population dépassera $21~000$ bactéries ».
    $\quad$
  • Affirmation 3 : « La population de bactéries aura un effectif de $10~000 $ à deux reprises au cours du temps ».
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 2 – mars 2021

Asie – mars 2021

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1 (5 points)

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*}
    f'(x)&=(2x-2)\e^x+\left(x^2-2x-1\right)\e^x \\
    &=\left(2x-2+x^2-2x-1\right)\e^x \\
    &=\left(x^2-3\right)\e^x\end{align*}$
    L’affirmation A est donc fausse.
    $f'(2)>0$ et $f(0)<0$ : l’affirmation B est donc fausse
    Réponse C
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$
    La droite d’équation $y=0$ est donc asymptote à la courbe représentant la fonction $f$.
    $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\dfrac{3}{5}$
    La droite d’équation $y=\dfrac{3}{5}$ est donc asymptote à la courbe représentant la fonction $f$.
    Réponse C
    $\quad$
  3. La fonction $f\dsec$ s’annule en changeant de signe à trois reprise.
    La courbe représentant la fonction $f$ possède donc trois points d’inflexion.
    Réponse B
    $\quad$
  4. $\left(u_n\right)$ est une suite définie de manière explicite par un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
    La fonction du second degré associée possède un minimum, d’abscisse $\dfrac{17}{2}$.
    $\left(u_n\right)$ est donc minorée.
    Réponse A
    $\quad$
  5. Cette fonction renvoie le plus entier naturel $n$ tel que $u_n\pg 45$.
    Réponse ARemarque :dans les faits cette fonction ne renvoie aucun résultat car la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $20$. Il est donc impossible que $u_n\pg 45$ !
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2 (5 points)

  1. On a $A(0;0;0)$, $C(1;1;0)$ et $D(0;1;0)$
    Par conséquent $K\left(\dfrac{1}{2};1;0\right)$
    Donc $\vect{AK}\left(\dfrac{1}{2};1;0\right)$ et $\vect{AL}\left(0;1;\dfrac{3}{2}\right)$.
    $\quad$
  2. a. On a $\vec{n}.\vect{AK}=3-3+0=0$ et $\vec{n}.\vect{AL}=0-3+3=0$.
    $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(AKL)$.
    C’est par conséquent un vecteur normal au plan $(AKL)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(AKL)$ est donc de la forme $6x-3y+2z+d=0$.
    Le point $A(0;0;0)$ appartient à ce plan donc $d=0$.
    Une équation cartésienne du plan $(AKL)$ est alors $6x-3y+2z=0$.
    $\quad$
    c. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
    Ainsi une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est $$\begin{cases} x=6t\\y=1-3t\\z=2t\end{cases} \quad,t\in \R$$
    $\quad$
    d. En prenant $t=\dfrac{3}{49}$, on constate que le point de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{40}{49};\dfrac{6}{49}\right)$ appartient à la droite $\Delta$.
    De plus
    $\begin{align*} 6\times \dfrac{18}{49}-3\dfrac{40}{49}+2\dfrac{6}{49}&=\dfrac{108}{49}-\dfrac{120}{49}+\dfrac{12}{49} \\
    &=0\end{align*}$
    Le point de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{40}{49};\dfrac{6}{49}\right)$ appartient donc également au plan $(AKL)$.
    Par conséquent $N$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{40}{49};\dfrac{6}{49}\right)$.
    $\quad$
  3. a. L’aire de la base $ADK$ est
    $\begin{align*} \mathcal{A}&=\dfrac{AD\times DK}{2} \\
    &=\dfrac{1\times \dfrac{1}{2}}{2} \\
    &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    Ainsi
    $\begin{align*} \mathcal{V}&=\dfrac{\mathcal{A}\times DL}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{2}}{3} \\
    &=\dfrac{1}{8}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La distance du point $D$ au plan $(AKL)$ est
    $\begin{align*} DN&=\sqrt{\left(\dfrac{18}{49}\right)^2+\left(\dfrac{40}{49}-1\right)^2+\left(\dfrac{6}{49}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{9}{49}} \\
    &=\dfrac{3}{7}\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a
    $\begin{align*} \mathcal{V}=\dfrac{1}{8}&\ssi \dfrac{\mathcal{A}_{AKL}\times DN}{3}=\dfrac{1}{8} \\
    &\ssi \dfrac{3}{7}\mathcal{A}_{AKL}=\dfrac{3}{8} \\
    &\ssi \mathcal{A}_{AKL}=\dfrac{7}{8}\end{align*}$
    L’aire du triangle $AKL$ est donc $\dfrac{7}{8}$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3 (5 points)

  1. Il y a $\dbinom{9}{3}=84$ façons différentes de positionner les trois cœurs.
    $\quad$
  2. Il y a $3$ façons de placer les cœurs sur une ligne pour gagner.
    Il y a $3$ façons de placer les cœurs sur une colonne pour gagner.
    Il y a $2$ façons de placer les cœurs sur une diagonale pour gagner.
    La probabilité qu’un ticket soit gagnant est donc $\dfrac{3+3+2}{84}=\dfrac{2}{21}$.
    $\quad$
  3. On appelle $G$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joeur.
    $G$ ne prend donc que $2$ valeurs $4$ et $-1$.
    $p(G=4)=\dfrac{2}{21}$ et $p(G=-1)=\dfrac{19}{21}$.
    L’espérance de $G$ est :
    $\begin{align*} E(G)&=4\times \dfrac{2}{21}+(-1)\times \dfrac{19}{21} \\
    &=-\dfrac{11}{21}\\
    &<0\end{align*}$
    Le jeu est donc défavorable au joueur.
    $\quad$
  4. a. On effectue $20$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : le joueur gagne ou le joueur perd.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=\dfrac{2}{21}$.
    $\quad$
    b. $p(X=5)=\dbinom{20}{5}\left(\dfrac{2}{21}\right)^5\left(\dfrac{19}{21}\right)^{15} \approx 0,027$.
    $\quad$
    c. On a
    $\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
    &=1-\left(\dfrac{19}{21}\right)^{20} \\
    & \approx 0,865\end{align*}$
    La probabilité qu’il y ait au moins un gagnant est environ égale à $0,865$.
    $\quad$

 

 

Ex A

Exercice A (5 points)

Partie I : modèle discret

  1. On a
    $\begin{align*} u_1&=u_0+0,05\left(20-u_0\right) \\
    &=1+0,05\times 19\\
    &=1,95\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a
    $\begin{align*} u_{n+1}&=u_n+0,05\left(20-u_n\right) \\
    &=u_n+1-0,05u_n \\
    &=0,95u_n+1\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=20-u_n$ soit $u_n=20-v_n$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=20-u_{n+1} \\
    &=20-0,95u_n-1 \\
    &=19-0,95u_n \\
    &=19-0,95\left(20-v_n\right) \\
    &=19-19+0,95v_n\\
    &=0,95v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=20-1=19$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=19\times 0,95^n$.
    Par conséquent $u_n=20-19\times 0,95^n$.
    $\quad$
  3. $-1<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,95^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=20$.
    $\quad$

Partie II : modèle continu

  1. La fonction $L$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
    Pour tout $t\pg 0$ on a d’une part :
    $\begin{align*} L'(t)&=-19\times (-0,05)\e^{-0,05t}\\
    &=0,95\e^{-0,05t}\end{align*}$
    D’autre part :
    $\begin{align*} 0,05\left(20-L(t)\right)&=0,05\left(20-20+19\e^{-0,05t}\right) \\
    &=0,05 \times 19\e^{-0,05t} \\
    &=0,95\e^{-0,05t}\end{align*}$
    Ainsi $L$ est solution de $(E)$.
    De plus $L(0)=20-19=1$.
    $\quad$
  2. a. On a $L'(0)=0,95$ et $L'(5)=0,95\e^{-0,25} \approx 0,74$.
    Ainsi $L'(0)>L'(5)$
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{t\to +\infty} -0,05t=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$
    Donc $\lim\limits_{t\to +\infty} L'(t)=0$.
    Ce résultat est cohérent avec la description du modèle de croissance exposé au début de l’exercice : le bambou croît de moins en moins rapidement et atteint finalement une taille de $20$ mètres. Au début de l’observation il mesure bien $1$ mètre.
    $\quad$

Ex B

Exercice B (5 points)

Partie I

  1. On a pu saisir la formule $=B2-\ln(B2-1)$.
    $\quad$
  2. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit décroissante et converge vers $2$.
    $\quad$

Partie II

  1. $\lim\limits_{x\to 1} x-1=0$ et $\lim\limits_{X\to 0} \ln(X)=-\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to 1} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  2. a. $f$ est dérivable sur $]1;+\infty[$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
    Pour tout $x>1$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{1}{x-1} \\
    &=\dfrac{x-1-1}{x-1} \\
    &=\dfrac{x-2}{x-1}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x-2$.
    Or $x-2=0 \ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :
    $\quad$$\quad$
    c. D’après la question précédente, la fonction $f$ admet $2$ pour minimum atteint pour $x=2$.
    Ainsi, pour tout réel $x\pg 2, ~f(x)\pg 2$.
    $\quad$

Partie III

  1. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=10\pg 2$. La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n\in \N$.
    Donc $u_n\pg 2$.
    D’après la question précédente $u_{n+1}=f\left(u_n\right) \pg 2$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg 2$.
    $\quad$
  2. Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&= u_n-\ln\left(u_n-1\right)-u_n \\
    &=-\ln\left(u_n-1\right)\end{align*}$
    Or $u_n\pg 2$ donc $u_n-1\pg 1$ et $\ln\left(u_n-1\right)\pg 0$.
    Donc $u_{n+1}-u_n \pp 0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $2$. Elle converge donc.
    $\quad$
  4. $\ell$ est donc solution de l’équation $f(x)=x$.
    Or
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi x-\ln(x-1)=x\\
    &\ssi -\ln(x-1)=0\\
    &\ssi x-1=1 \\
    &\ssi x=2\end{align*}$
    Par conséquent $\ell=2$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)

Pour chaque question, trois affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.
Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de chaque question et la lettre de la réponse choisie pour celle-ci.
AUCUNE JUSTIFICATION n’est demandée. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x) = \left(x^2-2x-1\right)\e^x$$
    A. La fonction dérivée de $f$ est la fonction définie par $f'(x) = (2x-2)\e^x$.
    B. La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $]-\infty;2]$.
    C. $\ds\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0$.
    $\quad$
  2. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{3}{5 + \e^x}$.
    Sa courbe représentative dans un repère admet :
    A. une seule asymptote horizontale;
    B. une asymptote horizontale et une asymptote verticale;
    C. deux asymptotes horizontales.
    $\quad$
  3. On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f”}$ représentant la fonction dérivée seconde $f”$ d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l’intervalle $[-3,5;6]$.
    $\quad$A.

    La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[-3;3]$.
    B. La fonction $f$ admet trois points d’inflexion.
    C. La fonction dérivée $f’$ de $f$ est décroissante sur l’intervalle $[0;2]$.
    $\quad$

  4. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2-17n+20$.
    A. La suite $\left(u_n\right)$ est minorée.
    B. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    C. L’un des termes de la suite $\left(u_n\right)$ est égal à $2~021$.
    $\quad$
  5. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,75u_n +5$.
    On considère la fonction « seuil » suivante écrite en Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil() }:\\
    \quad \text{u} = 2\\
    \quad \text{n} = 0\\
    \quad \text{while u} < 45 :\\
    \qquad \text{u} = 0.75*u + 5\\
    \qquad \text{n} = \text{n} + 1\\
    \quad \text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Cette fonction renvoie :
    A. la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n \pg 45$ ;
    B. la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n < 45$ ;
    C. la plus grande valeur de $n$ telle que $u_n \pg 45$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

On considère un pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB = AD = 1$ et $AE = 2$, représenté ci- dessous.
Le point $I$ est le milieu du segment $[AE]$. Le point $K$ est le milieu du segment $[DC]$.
Le point $L$ est défini par: $\vect{DL} = \dfrac{3}{2}\vect{AI}$. $N$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(AKL)$.

 

 

On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AI}\right)$.
On admet que le point $L$ a pour coordonnées $\left(0;1;\dfrac{3}{2}\right)$.

  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{AK}$ et $\vect{AL}$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(6;-3;2)$ est un vecteur normal au plan $(AKL)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(AKL)$.
    $\quad$
    c. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(AKL)$.
    $\quad$
    d. En déduire que le point $N$ de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{40}{49};\dfrac{6}{49}\right)$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(AKL)$.
    $\quad$

On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}$$

  1. a. Calculer le volume du tétraèdre $ADKL$ en utilisant le triangle $ADK$ comme base.
    $\quad$
    b. Calculer la distance du point $D$ au plan $(AKL)$.
    $\quad$
    c. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $AKL$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Une société de jeu en ligne propose une nouvelle application pour smartphone nommée « Tickets coeurs! ».
Chaque participant génère sur son smartphone un ticket comportant une grille de taille $3 \times 3$ sur laquelle sont placés trois cœurs répartis au hasard, comme par exemple ci-dessous.

 

 

Le ticket est gagnant si les trois cœurs sont positionnés côte à côte sur une même ligne, sur une même colonne ou sur une même diagonale.

  1. Justifier qu’il y a exactement $84$ façons différentes de positionner les trois cœurs sur une grille.
    $\quad$
  2. Montrer que la probabilité qu’un ticket soit gagnant est égale à $\dfrac{2}{21}$.
    $\quad$
  3. Lorsqu’un joueur génère un ticket, la société prélève $1$ € sur son compte en banque. Si le ticket est gagnant, la société verse alors au joueur $5$ €. Le jeu est-il favorable au joueur?
    $\quad$
  4. Un joueur décide de générer $20$ tickets sur cette application. On suppose que les générations des tickets sont indépendantes entre elles.
    a. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de tickets gagnants parmi les $20$ tickets générés.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, de l’évènement $(X = 5)$.
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, de l’évènement $(X \pg 1)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B

Exercice A

Principaux domaines abordés :

  • Suites
  • Équations différentielles

Dans cet exercice, on s’intéresse à la croissance du bambou Moso de taille maximale $20$ mètres.
Le modèle de croissance de Ludwig von Bertalanffy suppose que la vitesse de croissance pour un tel bambou est proportionnelle à l’écart entre sa taille et la taille maximale.

Partie I : modèle discret

Dans cette partie, on observe un bambou de taille initiale $1$ mètre.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la taille, en mètre, du bambou $n$ jours après le début de l’observation. On a ainsi $u_0 = 1$.
Le modèle de von Bertalanffy pour la croissance du bambou entre deux jours consécutifs se traduit par l’égalité : $$u_{n+1} = u_n + 0,05\left(20-u_n\right)~~ \text{pour tout entier naturel } n$$

  1. Vérifier que $u_1 = 1,95$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,95u_n + 1$.
    $\quad$
    b. On pose pour tout entier naturel $n$, $v_n = 20-u_n$.
    Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le terme initial $v_0$ et la raison.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 20-19 \times 0,95^n$.
    $\quad$
  3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Partie II : modèle continu

Dans cette partie, on souhaite modéliser la taille du même bambou Moso par une fonction donnant sa taille, en mètre, en fonction du temps $t$ exprimé en jour.
D’après le modèle de von Bertalanffy, cette fonction est solution de l’équation différentielle $$(E) \qquad y’ = 0,05(20-y)$$ où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0;+\infty[$ et $y’$ désigne sa fonction dérivée.
Soit la fonction $L$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $$L(t) = 20-19\e^{-0,05t}$$

  1. Vérifier que la fonction $L$ est une solution de $(E)$ et qu’on a également $L(0) = 1$.
    $\quad$
  2. On prend cette fonction $L$ comme modèle et on admet que, si on note $L’$ sa fonction dérivée, $L'(t)$ représente la vitesse de croissance du bambou à l’instant $t$.
    a. Comparer $L'(0)$ et $L'(5)$.
    $\quad$
    b. Calculer la limite de la fonction dérivée $L’$ en $+\infty$.
    Ce résultat est-il en cohérence avec la description du modèle de croissance exposé au début de l’exercice ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés :

  • Suites, étude de fonction
  • Fonction logarithme

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]1; +\infty[$ par $$f(x) = x-\ln (x-1)$$
On considère la suite $\left(u_n\right)$ de terme initial $u_0 = 10$ et telle que $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$.

Partie I :

La feuille de calcul ci-dessous a permis d’obtenir des valeurs approchées des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
&\phantom{12345}A\phantom{12345} &B\\
\hline
1 &n&u_n\\
\hline
2 &0&10\\
\hline
3& 1&7,802~775~42\\
\hline
4& 2&5,885~444~74\\
\hline
5& 3&4,299~184~42\\
\hline
6& 4&3,105~509~13\\
\hline
7& 5&2,360~951~82\\
\hline
8& 6&2,052~767~5\\
\hline
9& 7&2,001~345~09\\
\hline
10& 8&2,000~000~9\\
\hline
\end{array}$$

  1. Quelle formule a été saisie dans la cellule B3 pour permettre le calcul des valeurs approchées de $\left(u_n\right)$ par recopie vers le bas ?
    $\quad$
  2. À l’aide de ces valeurs, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Partie II :

On rappelle que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]1; +\infty[$ par $$f(x) = x-\ln (x-1)$$

  1. Calculer $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$. On admettra que $\lim\limits_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$.
    $\quad$
  2. a. Soit $f’$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que pour tout $x \in ]1; +\infty[$, $f'(x) = \dfrac{x-2}{x-1}$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau des variations de $f$ sur l’intervalle $]1;+\infty[$, complété par les limites.
    $\quad$
    c. Justifier que pour tout $x\pg 2$, $f(x) \pg 2$.
    $\quad$

Partie III :

  1. En utilisant les résultats de la partie II, démontrer par récurrence que $u_n \pg 2$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  2. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
    $\quad$
  4. On admet que $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$. Donner la valeur de $\ell$.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 2 – mars 2021

Centres étrangers – mars 2021

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Question 1 : La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x\pg 0$, $g'(x)= 2x+2+\dfrac{3}{x^2}$.
Une équation de cette tangente est de la forme $y=g'(1)(x-1)+g(1)$.
Or $g(1)=0$ et $g'(1)=7$.
Une équation de cette tangente est donc $y=7(x-1)$.
Réponse a
$\quad$

Question 2 : Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=\dfrac{3}{1+\dfrac{2}{n}}$
Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{2}{n}=0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=3$.
Remarque : On pouvait également utiliser la limite des termes de plus haut degré.
Réponse b
$\quad$

Question 3 : On appelle $X$ la variable comptant le nombre de boules noires tirées. On effectue $10$ tirages aléatoires, indépendants et identiques. À chaque tirage il n’y a que deux issues $N$ « La boule tirée est noire » et $\conj{N}$. De plus $p(N)=0,6$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,6$.
Ainsi $P(X=4) = \dbinom{10}{4} 0,6^4 \times 0,4^6 \approx 0,111~5$
Réponse c
$\quad$

Question 4 : Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\e^{x}\left(3-\dfrac{x}{\e^x}\right)$.
Or, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{e^x}=0$
De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
Réponse b
$\quad$

Question 5 : Il y a $36^8$ combinaisons possibles.
Il faut donc au maximum $\dfrac{36^8}{10^8} \approx 28~211$ secondes pour découvrir le code.
Cela correspond à environ $8$ heures.
Réponse b
$\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A – Modélisation à l’aide d’une suite

  1. a. Si $2\%$ des panneaux se sont détériorés cela signifie que $98\%$ sont en état de fonctionner. Pour tout entier naturel $n$, cela correspond donc à $0,98u_n$ panneaux.
    Chaque année $250$ nouveaux panneaux sont installés.
    Par conséquent $u_{n+1}=0,98u_n+250$.
    En 2020, la société possédait $10~560$ panneaux. Donc $u_0=10~560$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice, c’est-à-partir du rang $68$ que $u_n> 12~000$.
    Il faut $68$ ans pour que le nombre de panneaux solaires soit strictement supérieur à $12~000$.
    $\quad$
    c.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{u = 10560} \\
    \text{n = 0} \\
    \textbf{while }\text{u  <= 12000 :} \\
    \quad \text{u =  0.98 * u + 250}\\
    \quad \text{n = n + 1}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Initialisation : On a $u_0 = 10~560 < 12~500$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n \in \N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    $\begin{align*} u_{n+1} &= 0,98u_n +250 \\
    &< 0,98 \times 12~500+250 \\
    &< 12~250+250\\
    &< 12~500\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n < 12~500$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=0,98u_n+250-u_n \\
    &=-0,02u_n+250 \\
    &=0,02\left(-u_n+12~500\right)\end{align*}$
    Or, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n< 12~500$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n> 0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.
    $\quad$
  4. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $12~500$. Elle converge donc.
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$,
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-12~500 \\
    &=0,98u_n+250-12~500 \\
    &=0,98u_n-12~250 \\
    &=0,98\left(u_n-12~500\right)\\
    &=0,98v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,98$ et de premier terme $v_0=u_0-12~500=-1~940$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=-1~940\times 0,98^n$.
    $\quad$
    c. Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=v_n+12~500=12~500-1~940\times 0,98^n$.
    $\quad$
    d. $-1<0,98<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} -1~940\times 0,98^n=0$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=12~500$.
    Sur le long terme, la centra solaire Big Sun possèdera $12~500$ panneaux solaires.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x\pg 0$
    $\begin{align*} f'(x)&=-500\times (-0,02)\e^{-0,02x+1,4} \\
    &=10\e^{-0,02x+1,4}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc $f'(x)>0$.
    La fonction $f$ est par conséquent strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to +\infty} -0,02x+1,4=-\infty$ or $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-0,02x+1,4}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=12~500$.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} f(x)>12~000 &\ssi 12~500-500\e^{-0,02x+1,4} > 12~000 \\
    &\ssi -500\e^{-0,02x+1,4} > -500 \\
    &\ssi \e^{-0,02x+1,4} < 1 \\
    &\ssi -0,02x+1,4< 0\\
    &\ssi -0,02x<-1,4 \\
    &\ssi x> 70\end{align*}$
    C’est donc au bout de $70$ ans, selon ce modèle, que le nombre de panneaux solaires dépassera $12~000$.
    $\quad$

 

 

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a $F(1;0;1)$, $I(0;0,5;0,5)$ et $J\left(1;1;\dfrac{2}{3}\right)$
    $\quad$
  2. Ainsi $\vect{FJ}\begin{pmatrix} 0\\1\\-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
    Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est par conséquent $$\begin{cases} x=0\\y=0,5+t\\z=0,5-\dfrac{1}{3}t\end{cases} \quad, t\in \R$$
    $\quad$
  3. a. Le point de coordonnées $\left(0;0;\dfrac{2}{3}\right)$ appartient bien à la droite $(AE)$.
    En prenant $t=-0,5$, dans la représentation paramétrique de $(d)$, on trouve $\begin{cases} x=0\\y=0\\z=\dfrac{2}{3}\end{cases}$.
    Le point de coordonnées $\left(0;0;\dfrac{2}{3}\right)$ appartient aux droites $(d)$ et $(AE)$. C’est donc le point $K$.
    $\quad$
    b. Le point $L$ appartient à la droite $(DH)$. Ses coordonnées sont donc de la forme $(0;1;\gamma)$.
    En prenant $t=0,5$, dans la représentation paramétrique de $(d)$, on trouve $\begin{cases} x=0\\y=1\\z=\dfrac{1}{3}\end{cases}$.
    Ainsi, le point $L$ a pour coordonnées $\left(0;1;\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. a. On a $\vect{LK}\begin{pmatrix} 0\\1\\-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.
    Par conséquent $\vect{LK}=\vect{FJ}$ et $FJLK$ est un paralélogramme.
    $\quad$
    b. $FJ=\sqrt{1+\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{10}{9}}$
    $\vect{FK}\begin{pmatrix} -1\\0\\-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$ donc $FK=\sqrt{1+\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{10}{9}}$
    Le parallélogramme $FJLK$ possède deux côtés consécutifs de même longueur. C’est donc un losange.
    $\quad$
    c. $\vect{FJ}.\vect{FK}=0+0+\dfrac{1}{9}\neq 0$
    Ces deux vecteurs ne sont pas orthogonaux. Par conséquent $FJLK$ n’est pas un carré.
    $\quad$

Partie B : Cas général

  1. On a $\vect{CG}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$
    Donc
    $\begin{align*} \vect{CJ}=a\vect{CG}&\ssi \begin{cases} x_J-1=0\\y_J=1=0\\z_J-0=a\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x_j=1\\y_J=1\\z_J=a\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Ainsi $\vect{FJ}\begin{pmatrix} 0\\1\\a-1\end{pmatrix}$ et $\vect{KL}\begin{pmatrix} 0\\1\\a-1\end{pmatrix}$
    Donc $\vect{FJ}=\vect{KL}$ et $FJKL$ est un parallélogramme.
    $\quad$
  3. D’après la question A.4.b. si $a=\dfrac{2}{3}$ alors $FJKL$ est un losange.
    $\quad$
  4. On a $\vect{FK}\begin{pmatrix} -1\\0\\-\dfrac{a}{2}\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} \vect{FK}.\vect{FJ}=0&\ssi 0+0-\dfrac{a}{2}(a-1)=0 \\
    &\ssi a=0\text{ ou } a=1\end{align*}$
    Ainsi, les deux seules valeurs de $a$ pour lesquelles $\vect{FK}$ et $\vect{FJ}$ soient orthogonaux sont $0$ et $1$.
    Or si $a=0$ alors $FJ=FC=\sqrt{2}$ (d’après le théorème de Pythagore) et $FK=FE=1$. $FJLK$ n’est pas un losange et donc pas un carré.
    Si $a=1$ alors $FJ=FG=1$ et $FK=FA=\sqrt{2}$ et ce n’est toujours pas un carré.
    Il n’existe donc pas de valeurs de $a$ telles que le quadrilatère $FJLK$ soit un carré.
    $\quad$

 

 

Ex A

Exercice A

Partie A

  1. Si le test du mélange est négatif alors on n’a fait qu’un seul test et $X_n$ prend la valeur $1$.
    Si le test est positif alors on teste tous les individus. On a donc fait $1+n$ tests au total et $X$ prend la valeur $n+1$.
    $\quad$
  2. Si l’événement $\left[X_n=1\right]$  est réalisé alors aucun individu n’est positif. La probabilité qu’un individu ne soit pas malade est égale à $0,95$.
    Par conséquent, la probabilité que tous les individus ne soient pas malade est $0,95^n$.
    Donc $P\left(X_n=n+1\right)=1-0,95^n$.
    On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    x_i&1&n+1\\
    \hline
    P\left(X_n=x_i\right)&0,95^n&1-0,95^n\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. L’espérance de $X_n$ indique le nombre moyen qu’on va réaliser.
    $\begin{align*}
    E\left(X_n\right)&=1\times 0,95^n+(n+1)\times \left(1-0,95^n\right)\\
    &=0,95^n +n+1 -(n+1)\times 0,95^n \\
    &=n+1-n\times 0,95^n\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[20;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\pg 20$, $f'(x)=\dfrac{1}{x}+\ln(0,95)$
    $\begin{align*} f(x)<0 &\ssi \dfrac{1}{x} < -\ln(0,95)\\
    &\ssi x>-\dfrac{1}{\ln(0,95)}\end{align*}$
    Or $-\dfrac{1}{\ln(0,95)} \approx 19,5<20$
    Donc $f'(x)<0$ sur $[20;+\infty[$.
    $f$ est strictement décroissante sur $[20;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x\left(\dfrac{\ln(x)}{x}+\ln(0,95)\right)$
    Or, par croissance comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}+\ln(0,95)=\ln(0,95)<0$
    Ainsi, $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est strictement décroissante et continue (car dérivable) sur $[20;+\infty[$.
    De plus $f(20) \approx 1,97>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[20;+\infty[$.
    D’après la calculatrice, $87<\alpha \approx< 87,1$.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[20;+\infty[$ et s’annule en $\alpha$.
    Par conséquent :
    $\bullet f(x)>0$ sur $[20;\alpha[$;
    $\bullet f(\alpha)=0$;
    $\bullet f(x)<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    $\quad$

Partie C

$\begin{align*} E\left(X_n\right)<n &\ssi n+1-n\times 0,95^n < n\\
&\ssi -n\times 0,95^n <-1 \\
&\ssi 0,95^n > \dfrac{1}{n} \\
&\ssi n\ln(0,95) > \ln\left(\dfrac{1}{n}\right) \\
&\ssi n\ln(0,95)> -\ln(n) \\
&\ssi n\ln(0,95)+\ln(n)>0\\
&\ssi f(n)>0\end{align*}$

D’après la partie B, cela signifie que $n<\alpha$.
La première méthode diminue le nombre d’analysés pour des échantillons comportant au maximum $87$ personnes.
$\quad$

 

 

 

Ex B

Exercice B

Partie A : : Détermination d’une fonction $\boldsymbol{f}$ et résolution d’une équation différentielle

  1. Graphiquement $f(0)=3$ et $f'(0)=-2$.
    $\quad$
  2. On a $f(0)=1+b$.
    Donc $1+b=3 \ssi b=2$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\e^x+a-b\e^{-x}$.
    Soit $f'(x)=\e^x+a-2\e^{-x}$
    $\quad$
    b. Par conséquent $f'(0)=1+a-2=a-1$.
    $\quad$
    c. $f'(0)=-2 \ssi a-1=-2 \ssi a=-1$.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, $f(x)=\e^x-x+2\e{-x}$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonction dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*}
    g'(x)+g(x)&=\left(e^x-1-2\e^{-x}\right)+\left(\e^x-x+2\e^{-x}\right)\\
    &=2e^x-1-x\end{align*}$
    La fonction $g$ est donc solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    b. $y’+y=0 \ssi y’=-y$
    Les solutions de cette équation sont les fonctions $h$ définies sur $\R$ par $h(x)=K\e^{-x}$ où $K\in \R$.
    $\quad$
    c. Soit $j$ une solution de l’équation $(E)$.
    Ainsi $j-g$ est solution de l’équation différentielle homogène $y’-y=0$.
    Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $j(x)-g(x)=K\e^{-x}$.
    Soit $j(x)=\e^x-x+(2+K)\e^{-x}$
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont les fonctions $j$ définies sur $\R$ par $j(x)=\e^x-x+(2+K)\e^{-x}$ où $K\in \R$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la fonction $\boldsymbol{g}$ sur $\boldsymbol{[1;+\infty[}$

  1. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} \left(\e^x-2\right)\left(\e^x+1\right) &=\e^{2x}+\e^x-2\e^x-2 \\
    &=\e^{2x}-\e^x-2\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*}
    g'(x)&=\e^x-2\e^{-x} \\
    &=\e^{-x}\left(\e^{2x}-2\e^x-2\right) \\
    &=\e^{-x}\left(\e^x-2\right)\left(\e^x+1\right)\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a $\e^x>0$ donc $e^x+1>0$.
    Par conséquent $g'(x)>0$ sur $[1;+\infty[$.
    La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.

Barème : une bonne réponse rapporte un point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point.

Question 1 :

On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=x^2+2x-\dfrac{3}{x}$.
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $y=7(x-1)$
b. $y=x-1$
c. $y=7x+7$
d. $y=x+1$
$\quad$

Question 2 :

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par $v_n=\dfrac{3n}{n+2}$. On cherche à déterminer la limite de $v_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

a. $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=1$
b. $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=3$
c. $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=\dfrac{3}{2}$
d. On ne peut pas la déterminer
$\quad$

Question 3 :

Dans une urne il y a $6$ boules noires et $4$ boules rouges. On effectue successivement $10$ tirages aléatoires avec remise. Quelle est la probabilité (à $10^{-4}$ près) d’avoir $4$ boules noires et $6$ boules rouges ?

a. $0,166~2$
b. $0,4$
c. $0,111~5$
d. $0,888~6$
$\quad$

Question 4 :

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3\e^x-x$.

a. $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=3$
b. $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
c. $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
d. On ne peut pas déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
$\quad$

Question 5 :

Un code inconnu est constitué de $8$ signes. Chaque signe peut être une lettre ou un chiffre. Il y a donc $36$ signes utilisables pour chacune des positions.
Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde.
En combien de temps au maximum le logiciel peut-il découvrir le code ?

a. environ $0,3$ seconde
b. environ $8$ heures
c. environ $3$ heures
d. environ $470$ heures
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Au 1$\ier$ janvier 2020, la centrale solaire de Big Sun possédait $10~560$ panneaux solaires. On observe, chaque année, que $2 \%$ des panneaux se sont détériorés et nécessitent d’être retirés tandis que $250$ nouveaux panneaux solaires sont installés.

Partie A – Modélisation à l’aide d’une suite

On modélise l’évolution du nombre de panneaux solaires par la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 10~560$ et, pour tout entier naturel $n$, $u{n+1}= 0,98u_n + 250$, où $u_n$ est le nombre de panneaux solaires au 1er janvier de l’année 2020 $+ n$.

  1. a. Expliquer en quoi cette modélisation correspond à la situation étudiée.
    $\quad$
    b. On souhaite savoir au bout de combien d’années le nombre de panneaux solaires sera strictement supérieur à $12~000$. À l’aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
    $\quad$
    c. Recopier et compléter le programme en Python ci-dessous de sorte que la valeur cherchée à la question précédente soit stockée dans la variable $\text{n}$ à l’issue de l’exécution de ce dernier.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{u = 10560} \\
    \text{n = 0} \\
    \textbf{while } \text{……….} \\
    \quad \text{u = ……….}\\
    \quad \text{n = ……….}\\
    \hline
    \end{array}$$
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n < 12~500$.
    $\quad$
  3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  4. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge. Il n’est pas demandé, ici, de calculer sa limite.
    $\quad$
  5. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=u_n-12~500$, pour tout entier naturel $n$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,98$ dont in précisera le premier terme.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    d. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte du modèle.
    $\quad$

Partie B – Modélisation à l’aide d’une fonction

Une modélisation plus précise a permis d’estimer le nombre de panneaux solaires de la centrale à l’aide de la fonction $f$ définie pour tout $x \in [0 ; +\infty[$ par $f(x) = 12~500-500\e^{-0,02x+1,4}$, où $x$ représente le nombre d’années écoulées depuis le 1$\ier$ janvier 2020.

  1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  3. En utilisant ce modèle, déterminer au bout de combien d’années le nombre de panneaux solaires dépassera $12~000$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le centre de la face $ADHE$ et $J$ est un point du segment $[CG]$. Il existe donc $a \in [0 ; 1] $tel que $\vect{CJ}=a\vect{CG}$.

On note $(d)$ la droite passant par $I$ et parallèle à $(FJ)$.

On note $K$ et $L$ les points d’intersection de la droite $(d)$ et des droites $(AE)$ et $(DH)$.

On se place dans le repère $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.

Partie A : Dans cette partie $a=\dfrac{2}{3}$

 

 

  1. Donner les coordonnées des points $F$, $I$ et $J$.
    $\quad$
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que le point de coordonnées $\left(0;0;\dfrac{2}{3}\right)$ est le point $K$.
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées du point $L$, intersection des droites $(d)$ et $(DH)$.
    $\quad$
  4. a. Démontrer que le quadrilatère $FJLK$ est un parallélogramme.
    $\quad$
    b. Démontrer que le quadrilatère $FJLK$ est un losange.
    $\quad$
    c. Le quadrilatère $FJLK$ est-il un carré?
    $\quad$

Partie B : Cas général

On admet que les coordonnées des points $K$ et $L$ sont : $K\left(0; 0; 1-\dfrac{a}{2}\right)$ et $L\left(0; 1; \dfrac{a}{2}\right)$.
On rappelle que $a \in [0 ; 1]$.

  1. Déterminer les coordonnées de $J$ en fonction de $a$.
    $\quad$
  2. Montrer que le quadrilatère $FJLK$ est un parallélogramme.
    $\quad$
  3. Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère $FJLK$ soit un losange ? Justifier.
    $\quad$
  4. Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère $FJLK$ soit un carré ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat     5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Exercice A

Fonction $\boldsymbol{\ln}$

Partie A

Dans un pays, une maladie touche la population avec une probabilité de $0,05$. On possède un test de dépistage de cette maladie.
On considère un échantillon de $n$ personnes $(n \pg 20)$ prises au hasard dans la population assimilé à un tirage avec remise.

On teste l’échantillon suivant cette méthode : on mélange le sang de ces $n$ individus, on teste le mélange. Si le test est positif, on effectue une analyse individuelle de chaque personne.
Soit $X_n$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’analyses effectuées.

  1.  Montrer $X_n$ prend les valeurs $1$ et $(n + 1)$.
    $\quad$
  2. Prouver que $P\left(X_n = 1\right) = 0,95^n$.
    Établir la loi de $X_n$ en recopiant sur la copie et en complétant le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    x_i&1&n+1\\
    \hline
    P\left(X_n=x_i\right)&\phantom{123456}&\phantom{123456}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3.  Que représente l’espérance de $X_n$ dans le cadre de l’expérience ?
    Montrer que $E\left(X_ n\right) = n + 1-n \times 0,95^n$.
    $\quad$

Partie B

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $[20;+\infty[$ par $f(x)=\ln(x)+x\ln(0,95)$.
    Montrer que $f$ est décroissante sur $[20;+\infty[$.
    $\quad$
  2. On rappelle que $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$. Montrer que $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  3. Montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[20;+\infty[$.
    Donner un encadrement à $0,1$ près de cette solution.
    $\quad$
  4. En déduire le signe de $f$ sur $[20;+\infty[$.
    $\quad$

Partie C

On cherche à comparer deux types de dépistages. La première méthode est décrite dans la partie A, la seconde, plus classique, consiste à tester tous les individus.
La première méthode permet de diminuer le nombre d’analyses dès que $E\left(X_n\right) < n$.

En utilisant la partie B, montrer que la première méthode diminue le nombre d’analyses pour des échantillons comportant $87$ personnes maximum.
$\quad$

$\quad$

Exercice B

Équation différentielle

Partie A : Détermination d’une fonction $\boldsymbol{f}$ et résolution d’une équation différentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=\e^x+ax+b\e^{-x}$$
où $a$ et $b$ sont des nombres réels que l’on propose de déterminer dans cette partie.

Dans le plan muni d’un repère d’origine $O$, on a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$, représentant la fonction $f$, et la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.

  1.  Par lecture graphique, donner les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
    $\quad$
  2. En utilisant l’expression de la fonction $f$, exprimer $f(0)$ en fonction de $b$ et en déduire la valeur de $b$.
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. Donner, pour tout réel $x$, l’expression de $f'(x)$.
    $\quad$
    b. Exprimer $f'(0)$ en fonction de $a$.
    $\quad$
    c. En utilisant les questions précédentes, déterminera, puis en déduire l’expression de $f(x)$.
    $\quad$
  4. On considère l’équation différentielle : $$(E) : y’ + y = 2\e^x-x-1$$
    a. Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $$g(x) = \e^x-x+2\e^{-x}$$
    est solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    b. Résoudre l’équation différentielle $y’ + y = 0$.
    $\quad$
    c. En déduire toutes les solutions de l’équation $(E)$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la fonction $\boldsymbol{g}$ sur $\boldsymbol{[1 ; +oo[}$

  1. Vérifier que pour tout réel $x$, on a $$\e^{2x}-\e^x-2=\left(\e^x-2\right)\left(\e^x+1\right)$$
    $\quad$
  2. En déduire une epression factorisée de $g'(x)$, pour tout réel $x$.
    $\quad$
  3. On admettra que, pour tout $x\in [1;+\infty[$, $\e^x-2>0$.
    Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $[1 ; +\infty[$.
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 1 – mars 2021

Centres étrangers – mars 2021

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^{-2x}+x\times \left(-2\e^{-2x}\right)\\
    &=(1-2x)\e^{-2x}\end{align*}$
    La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=-2\e^{-2x}+(1-2x)\times \left(-2\e^{-2x}\right)\\
    &=\left(-2-2(1-2x)\right)\e^{-2x} \\
    &=(-4+4x)\e^{-2x} \\
    &=4(x-1)\e^{-2x}\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. Le nombre de combinaisons possibles est :
    $\begin{align*} N&=\dbinom{12}{3} \\
    &=220\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. $f'(x)>0$ sur $[2;5]$.
    Réponse b
    $\quad$
  4. On appelle $A$ l’événement « La puce possède le défaut A » et $B$ l’événement « La puce possède le défaut B ».
    Ainsi $p(A)=0,028$, $p(B)=0,022$ et $p\left(\conj{A\cup B}\right)=0,954$.
    Par conséquent $p(A\cup B)=1-0,954=0,046$.
    Or
    $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)+p(B)-p(A\cap B) \\
    &=0,028+0,022-0,046\\
    &=0,004\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;-1]$ donc $f’$ est positive sur cet intervalle.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$$\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} P(R\cap J)&=P(R)\times P_R(J) \\
    &=0,17\times 0,32\\
    &=0,0544\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} &P(J)=P(R)\times P_R(J)+P\left(\conj{R}\cap J\right) \\
    \ssi&0,11=0,0544+P\left(\conj{R}\cap J\right) \\
    \ssi&0,0556=P\left(\conj{R}\cap J\right) \end{align*}$
    La probabilité que la personne interrogée soit un jeune de 18 à 24 ans n’utilisant pas régulièrement les transports en commun est $0,056$ à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  4. Ainsi :
    $\begin{align*} P_{\conj{R}}(J)&=\dfrac{P\left(\conj{R}\cap J\right) }{P\left(\conj{R}\right)} \\
    &\approx \dfrac{0,056}{1-0,17} \\
    &\approx 0,067\end{align*}$
    La proportion de jeunes de 18 à 24 ans parmi les utilisateurs non réguliers des transports en commun est environ égale à $0,067$.
    $\quad$

Partie B

  1. On réalise $50$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues $R$ et $\conj{R}$.
    Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,17$.
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} P(X=5)&=\dbinom{50}{5}\times 0,17^5 \times 0,83^{45} \\
    &\approx 0,069\end{align*}$
    La probabilité d’avoir $5$ personnes utilisant les transports en commun parmi les $50$ interrogées est environ égale à $0,069$.
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice $P(X\pp 13)\approx 0,964>0,95$
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$
  4. L’espérance de $X$ est $E(X)=np=8,5$.
    Il y a donc en moyenne $8,5$ personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les $50$ personnes interrogées.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a
    $\begin{align*} a_1&=0,85\times 200+450 \\
    &=620\end{align*}$
    $\quad$
  2. Soit $n\in \N$.
    Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l’entreprise constatent que $85 \%$ de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer. Cela représente donc $0,85a_n$.
    Chaque mois, $450$ collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.
    Par conséquent $a_{n+1}=0,85a_n+450$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=a_n-3~000 \ssi a_n=v_n+3~000$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-3~000\\
    &=0,85a_n+450-3~000\\
    &=0,85a_n-2~550\\
    &=0,85\left(v_n+3~000\right)-2~550 \\
    &=0,85v_n+2~550-2~550\\
    &=0,85v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $v_0=200-3~000=-2~800$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, $v_n=-2~800\times 0,85^n$.
    $\quad$
    c. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a
    $\begin{align*} a_n&=v_n+3~000 \\
    &=-2~800\times 0,85^n+3~000\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} a_n>2~500 &\ssi -2~800\times 0,85^n+3~000>2~500 \\
    &\ssi -2~800 \times 0,85^n >-500 \\
    &\ssi 0,85^n <\dfrac{5}{28} \\
    &\ssi n\ln(0,85)<\ln\left(\dfrac{5}{28}\right) \\
    &\ssi n > \dfrac{\ln\left(\dfrac{5}{28}\right)}{\ln(0,85)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln\left(\dfrac{5}{28}\right)}{\ln(0,85)} \approx 10,6$
    C’est donc au bout du $11$ème mois que le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à $2~500$, après la mise en place de cette mesure dans l’entreprise.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{5(x+2)-(5x+4)}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{5x+10-5x-4}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{6}{(x+2)^2} \\
    &>0\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=3$
    Ainsi $0\pp u_0 \pp u_1 \pp 4$ et la propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    Donc $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 4$
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    Par conséquent $f(0) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(4)$
    Soit $0\pp 2 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 4$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_n\pp _{n+1} \pp 4$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $4$. Elle converge.
    $\quad$
  3. $-1< \dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$.
    D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} 4-u_n=0$ soit $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=4$.
    Sur le long terme, $4~000$ collaborateurs seront satisfaits par cette mesure.
    $\quad$

Ex A

Exercice A

  1. $\vect{AB}\begin{pmatrix} 1\\0\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}-2\\5\\1\end{pmatrix}$
    Par conséquent $\vect{AB}.\vect{AC}=-2+0+2=0$.
    Ces deux vecteurs sont donc orthogonaux et le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    $\quad$
  2. a. $\vec{n}.\vect{AB}=2+0-2=0$ et $\vec{n}.\vect{AC}=-4+5-1=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. Il est par conséquent normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $2x+y-z+d=0$.
    Le point $A$ appartient au plan $(ABC)$
    Par conséquent $4-1+d=0 \ssi d=-3$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $2x+y-z-3=0$.
    $\quad$
    c. $2\times 0+1-4-3=-6\neq 0$.
    Le point $S$ n’appartient donc pas au plan $(ABC)$.
    Les points $A$, $B$, $C$ et $S$ ne sont, par conséquent, pas coplanaires.
    $\quad$
  3. a. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est donc $\begin{cases} x=2t\\y=1+t\\z=4-t\end{cases} \quad t\in \R$.
    $\quad$
    b. $2\times 2\times 2+2-3-3=0$ : le point de coordonnées $(2;2;3)$ appartient au plan $(ABC)$
    En prenant $t=1$ dans la représentation paramétrique de $(d)$ on retrouve le point de coordonnées $(2;2;3)$. Il appartient ainsi à la droite $(d)$.
    Les coordonnées du point $H$ sont donc $(2;2;3)$.
    $\quad$
  4. Aire de la base :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AB\times AC}{2}\\
    &=\dfrac{\sqrt{1^2+0^2+2^2}\times \sqrt{(-2)^2+5^2+1^2}}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{30}}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{150}}{2}\end{align*}$
    Hauteur :
    $\begin{align*} SH&=\sqrt{2^2+(2-1)^2+(3-4)$2} \\
    &=\sqrt{6}\end{align*}$
    Le volume du tétraèdre est donc
    $\begin{align*} V&=\dfrac{\dfrac{\sqrt{150}}{2}\times \sqrt{6}}{3}\\
    &=5\end{align*}$
    $\quad$
  5. a. $SA\begin{pmatrix}2\\-2\\-4\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} SA&=\sqrt{2^2+(-2)^2+(-4)^2} \\
    &=\sqrt{24}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $SB\begin{pmatrix}3\\-2\\-2\end{pmatrix}$
    D’une part $\vect{SA}.\vect{SB}=6+4+8=18$;
    D’autre part $\vect{SA}.\vect{SB}=SA\times SB\times \cos\widehat{ASB}$Donc $\sqrt{24}\times \sqrt{17} \cos\widehat{ASB}=18$
    D’où $ \cos\widehat{ASB}=\dfrac{18}{\sqrt{408}}$
    Donc $ \widehat{ASB} \approx 27,0$°
    $\quad$

 

Ex B

Exercice B

Partie A

  1. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} g'(x)&=2\times \left(-\dfrac{1}{3}\e^{\frac{-1}{3}x}\right)+\dfrac{2}{3} \\
    &=-\dfrac{2}{3}\e^{\frac{-1}{3}x}+\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $g'(x)=\dfrac{2}{3}\left(1-\e^{\frac{-1}{3}x}\right)$
    Ainsi $g'(x)=0 \ssi 1-\e^{\frac{-1}{3}x}=0 \ssi \dfrac{-1}{3}x=0 \ssi x=0$
    $g'(x)>0 \ssi 1-\e^{\frac{-1}{3}x}>0 \ssi \e^{\frac{-1}{3}x}<1 \ssi -\dfrac{1}{3}x<0\ssi x>0$
    La fonction $g$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. Or $g(0)=2-2=0$.
    Ainsi $g(x)>0$ pour tout réel $x$ non nul et $g(0)=0$.
    $\quad$

Partie B

  1. $3y’+y=0 \ssi y’=-\dfrac{1}{3}y$
    Les solutions de cette équation sont donc les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=K\e^{\frac{-1}{3}x}$ où $K\in \R$.
    $\quad$
  2. On veut que $f(0)=2$ soit $K=2$.
    Par conséquent la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=2\e^{\frac{-1}{3}x}$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=-\dfrac{2}{3}\e^{\frac{-1}{3}x}$.
    Ainsi $f'(0)=-\dfrac{2}{3}$ et $f(0)=2$.
    Une équation de $\left(\Delta_0\right)$ est donc $y=-\dfrac{2}{3}x+2$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f(x)-\left(-\dfrac{2}{3}x+2\right) &=g(x) \\
    &\pg 0\end{align*}$
    La courbe $\mathcal{C}_f$ est donc toujours située au-dessus de la droite $\left(\Delta_0\right)$.
    $\quad$

Partie C

  1. Une équation de $\left(\Delta_a\right)$ est $y=-\dfrac{2}{3}\e^{\frac{-a}{3}}(x-a)+2\e^{\frac{-a}{3}}$
    Soit $y=2\e^{\frac{-a}{3}}\left(-\dfrac{1}{3}(x-a)+1\right)$.
    L’abscisse du point d’intersection de cette droite avec l’axe des abscisses vérifie donc
    $-\dfrac{1}{3}(x-a)+1=0\ssi x-a=3 \ssi x=a+3$.
    La tangente $\left(\Delta_a\right)$ coupe l’axe des abscisses au point $P$ d’abscisse $a+3$.
    $\quad$
  2. La droite $\left(\Delta_{-2}\right)$ coupe donc l’axe des abscisses au point d’abscisse $1$.
    Ainsi la droite $\left(\Delta_{-2}\right)$ passe par le point $B$ et le point de coordonnées $(1;0)$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une
seule des quatre affirmations est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la réponse correspondante. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse
ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^{-2x}$. On note $f\dsec$ la dérivée seconde de la fonction $f$.
    Quel que soit le réel $x$, $f\dsec(x)$ est égal à :
    a. $(1-2x)\e^{-2x}$
    b. $4(x-1)\e^{-2x}$
    c. $4\e^{-2x}$
    d. $(x+2)\e^{-2x}$
    $\quad$
  2. Un élève de première générale choisit trois spécialités parmi les douze proposées.
    Le nombre de combinaisons possibles est :
    a. $1~728$
    b. $1~320$
    c. $220$
    d. $33$
    $\quad$
  3. On donne ci-dessous la représentation graphique de $f’$ fonction dérivée d’une fonction $f$ définie sur $[0 ; 7]$.
    $\quad$
    Le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle $[0;7]$ est :
    $\quad$
  4. Une entreprise fabrique des cartes à puces. Chaque puce peut présenter deux défauts notés A et B.
    Une étude statistique montre que $2,8 \%$ des puces ont le défaut A, $2,2 \%$ des puces ont le défaut B et, heureusement, $95,4 \%$ des puces n’ont aucun des deux défauts.
    La probabilité qu’une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est :
    a. $0,05$
    b. $0,004$
    c. $0,046$
    d. On ne peut pas le savoir
    $\quad$
  5. On se donne une fonction $f$, supposée dérivable sur $\R$, et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    On donne ci-dessous le tableau de variation de $f$ :
    $\quad$
    $\quad$
    D’après ce tableau de variation :
    a. $f’$ est positive sur $\R$
    b. $f’$ est positive sur $]-\infty;-1[$
    c. $f’$ est négative sur $\R$
    d. $f’$ est positive sur $[-1;+\infty[$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Dans tout cet exercice, les probabilités seront arrondies, si nécessaire, à $10^{-3}$.

D’après une étude, les utilisateurs réguliers de transports en commun représentent $17 \%$ de la population française. Parmi ces utilisateurs réguliers, $32 \%$ sont des jeunes âgés de 18 à 24 ans.

(Source : TNS-Sofres)

Partie A

On interroge une personne au hasard et on note :

  • $R$ l’événement : « La personne interrogée utilise régulièrement les transports en commun ».
  • $J$ l’événement : « La personne interrogée est âgée de 18 à 24 ans ».
  1. Représentez la situation à l’aide de cet arbre pondéré, que vous recopierez sur votre copie, en y reportant les données de l’énoncé.
    $\quad$
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité $P(R\cap J)$.
    $\quad$
  3. D’après cette même étude, les jeunes de 18 à 24 ans représentent $11 \%$ de la
    population française.
    Montrer que la probabilité que la personne interrogée soit un jeune de 18 à 24 ans n’utilisant pas régulièrement les transports en commun est $0,056$ à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  4. En déduire la proportion de jeunes de 18 à 24 ans parmi les utilisateurs non réguliers des transports en commun.
    $\quad$

Partie B :

Lors d’un recensement sur la population française, un recenseur interroge au hasard $50$ personnes en une journée sur leur pratique des transports en commun.
La population française est suffisamment importante pour assimiler ce recensement à un tirage avec remise.

Soit $X$ la variable aléatoire dénombrant les personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les $50$ personnes interrogées.

  1. Déterminer, en justifiant, la loi de $X$ et préciser ses paramètres.
    $\quad$
  2. Calculer $P(X=5)$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  3. Le recenseur indique qu’il y a plus de $95 \%$ de chance pour que, parmi les $50$ personnes interrogées, moins de $13$ d’entre elles utilisent régulièrement les transports en commun.
    Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier votre réponse.
    $\quad$
  4. Quel est le nombre moyen de personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les $50$ personnes interrogées ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

En mai 2020, une entreprise fait le choix de développer le télétravail afin de s’inscrire dans une démarche écoresponsable.
Elle propose alors à ses $5~000$ collaborateurs en France de choisir entre le télétravail et le travail au sein des locaux de l’entreprise.
En mai 2020, seuls $200$ d’entre eux ont choisi le télétravail.
Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l’entreprise constatent que $85 \%$ de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer, et que, chaque mois, $450$ collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.

On modélise le nombre de collaborateurs de cette entreprise en télétravail par la suite $\left(a_n\right)$.

Le terme $a_n$ désigne ainsi une estimation du nombre de collaborateurs en télétravail le $n$-ième mois après le mois de mai 2020. Ainsi $a_0=200$.

Partie A :

  1. Calculer $a_1$.
    $\quad$
  2. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $$a_{n+1}=0,85a_n+450$$
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$v_n=a_n-3~000$$
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $$a_n=-2~800\times 0,85^n+3~000$$
    $\quad$
  4. Déterminer le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à $2~500$, après la mise en place de cette mesure dans l’entreprise.
    $\quad$

Partie B :

Afin d’évaluer l’impact de cette mesure sur son personnel, les dirigeants de l’entreprise sont parvenus à modéliser le nombre de collaborateurs satisfaits par ce dispositif à l’aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=\dfrac{5u_n+4}{u_n+2}$$
où $u_n$ désigne le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits par cette nouvelle mesure au bout de $n$ mois après le mois de mai 2020.

  1. Démontrer que la fonction $f$ définie pour tout $x\in [0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{5x+4}{x+2}$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $$0\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 4$$
    $\quad$
    b. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  3. On admet que pour tout entier naturel $$0\pp 4-u_n\pp 3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$
    En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et l’interpréter dans le contexte de la modélisation.
    $\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat     5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Exercice A

Géométrie dans l’espace

Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points suivants : $$A(2;-1;0) ; B(3;-1;2) ; C(0;4;1) \text{ et } S(0;1;4)$$

  1. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$
    $\quad$
  2. a. Montrer que le vecteur$\vec{n}\begin{pmatrix} 2\\1\\-1\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $S$ ne sont pas coplanaires.
    $\quad$
  3. Soit $(d)$ la droite orthogonale au plan $(ABC)$ passant par $S$. Elle coupe le plan
    $(ABC)$ en $H$.
    a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$.
    $\quad$
    b. Montrer que les coordonnées du point $H$ sont $H(2;2;3)$.
    $\quad$
  4. On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est $V =  \dfrac{\text{Aire de la base $\times$ hauteur}}{3}$.
    Calculer le volume du tétraèdre $SABC$.
    $\quad$
  5. a. Calculer la longueur $SA$.
    $\quad$
    b. On indique que $SB=\sqrt{17}$.
    En déduire une mesure de l’angle $\widehat{ASB}$ approchée au dixième de degré.
    $\quad$

$\quad$

Exercice B

Équations différentielles

Partie A :

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $$g(x)=2\e^{\frac{-1}{3}x}+\dfrac{2}{3}x-2$$

  1. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g’$ sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel $x$ :$$g'(x)=\dfrac{-2}{3}\e^{\frac{-1}{3}x}+\dfrac{2}{3}$$
    $\quad$
  2. En déduire le sens de variations de la fonction $g$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Déterminer le signe de $g(x)$, pour tout $x$ réel.
    $\quad$

Partie B

  1. On considère l’équation différentielle $$(E): \quad 3y’+y=0$$
    Résoudre l’équation différentielle $(E)$.
    $\quad$
  2. Déterminer la solution particulière dont la courbe représentative, dans un repère du plan, passe par le point $M(0;2)$.
    $\quad$
  3. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $$f(x)=2\e^{-\dfrac{1}{3}x}$$
    et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
    a. Montrer que la tangente $\left(\Delta_0\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $M(0;2)$ admet une équation de la forme : $$y=-\dfrac{2}{3}x+2$$
    $\quad$
    b. Étudier, sur $\R$, la position de cette courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la tangente $\left(\Delta_0\right)$.
    $\quad$

Partie C :

  1. Soit $A$ le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a$, $a$ réel quelconque.
    Montrer que la tangente $\left(\Delta_a\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $a$ coupe l’axe des abscisses en un point $P$ d’abscisse $a+3$.
    $\quad$
  2. Expliquer la construction de la tangente $\left(\Delta_{-2}\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ d’abscisse $-2$.
    $\quad$

$\quad$