E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

L’annexe est à rendre avec la copie

Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : $f(x)=0,1+0,9x^2-x^3$.

  1. Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x)=x(1,8-3x)$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $f(1)$ et $f'(1)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $1$.
    $\quad$
  3. La représentation graphique de la fonction $f$ est donnée en annexe.
    a. Donner les variations de la fonction $f$ par lecture graphique.
    $\quad$
    b. En utilisant les résultats de la question 2., construire sur ce graphique la tangente à la courbe de la fonction $f$ au point d’abscisse $1$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=0,9\times 2x-3x^2 \\
    &=1,8x-3x^2\\
    &=x(1,8-3x)\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a $f(1)=0,1+0,9-1=0$
    $f'(1)=1\times (1,8-3)=-1,2$
    $\quad$
    b. Une équation de la tangente à la courbe représentant la fonction $f$ au point d’abscisse $1$ est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
    C’est-à-dire $y=-1,2(x-1)$ ou $y=-1,2x+1,2$.
    $\quad$
  3. a. Graphiquement, il semblerait que la fonction $f$ soit :
    – strictement décroissante sur $]-\infty;0]$;
    – strictement croissante sur $[0;0;6]$
    – strictement décroissante sur $[0,6;+\infty[$.
    $\quad$
    b. Une équation de cette tangente est $y=-1,2x+1,2$
    Si $x=0$ alors $y=1,2$
    Si $x=1$ alors $y=0$
    Cette droite passe donc par les points de coordonnées $(0;1,2)$ et $(1;0)$.

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$\quad$

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E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un artisan produit des vases en terre cuite. Sa capacité de production est limitée à $60$ vases.
Le coût de production, en euros, dépend du nombre de vases produits.
Ce coût de production peut être modélisé par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0 ; 60]$ par $$C(x)=x^2-10x+500$$

Un vase est vendu $50$ €. Les recettes, qui dépendent du nombre de vases produits et vendus, sont modélisées par une fonction $R$ définie sur l’intervalle $[0 ; 60]$.

  1. Calculer le coût et la recette réalisés lorsque l’artisan produit et vend $50$ vases.
    $\quad$
  2. Exprimer $R(𝑥)$ en fonction de $x$.
    $\quad$
  3. Le résultat, en euro, réalisé par l’artisan est modélisé par la fonction $B$ définie sur l’intervalle $[0 ; 60]$ par $B(x) = R(x)-C(x)$.
    a. Vérifier que $B(𝑥) = -(𝑥-10)(x-50)$.
    $\quad$
    b. Déterminer le nombre de vases à produire et à vendre pour que l’artisan réalise des bénéfices (c’est-à-dire pour que le résultat $B(x)$ soit positif).
    $\quad$
  4. On note $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$.
    a. Déterminer $B'(x)$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$ et en déduire le nombre de vases à vendre pour réaliser un bénéfice maximum.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} C(50)&=50^2-10\times 50+500 \\
    &=2~500\end{align*}$
    et $R(50)=50\times 50=2~500$.
    Le coût de fabrication de $50$ vases est de $2~500$ € et la recette réalisée est également de $2~500$ €.
    $\quad$
  2. Pour tout $x\in [0;60]$ on a $R(x)=50x$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout $x\in [0;60]$ on a d’une part :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x) \\
    &=50x-x^2+10x-500 \\
    &=-x^2+60x-500\end{align*}$
    D’autre part :
    $\begin{align*} -(x-10)(x-50)&=-\left(x^2-50x-10x+500\right)\\
    &=-\left(x^2-60x+500\right)\\
    &=-x^2+60x-500\end{align*}$
    Par conséquent $B(x)=-(x-10)(x-50)$.
    $\quad$
    b. $B(x)$ est un polynôme du second degré dont les racines sont $10$ et $50$ et le coefficient principal $a=-1$.
    Par conséquent $B(x)\pg 0$ sur l’intervalle $[10;50]$.
    Il faut donc produire entre $10$ et $50$ vases pour réaliser des bénéfices.
    $\quad$
  4. a. Pour tout $x\in [0;50]$ on a $B(x)=-x^2+60x-500$
    Donc : $B'(x)=-2x+60$.
    $\quad$
    b. $B'(x)=0 \ssi -2x+60=0 \ssi -2x=-60 \ssi x=30$
    $B'(x)>0 \ssi -2x+60>0\ssi -2x>-60 \ssi x<30$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    On en déduit donc qu’il faut vendre $30$ vases pour réaliser un bénéfice maximum.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un architecte a conçu un bassin aquatique comportant trois marches.
Le contour du bassin, représenté ci-contre dans une « vue du dessus », est constitué d’un demi-cercle de diamètre $[TO]$, de deux segments $[OV]$ et $[VW]$ et d’une courbe $\mathcal{C}$, reliant $T$ à $W$.
Les parties grisées figurent l’emplacement des trois marches.

La situation est représentée en annexe dans le repère orthonormal $(O,I ,J)$, dans lequel :

  • $V$, $W$ et $T$ sont les points de coordonnées respectives $(6,0)$, $(6,4)$ et $(0,8)$
  • $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[0 ; 6]$ par $$f(x)=\dfrac{1}{27}x^3-\dfrac{1}{3}x^2+8$$
  1. On note $f’$ la dérivée de $f$. Montrer que pour tout réel $x$ de $[0;6]$, $f'(x) =\dfrac{1}{9}x(x-6)$.
    $\quad$
  2. En déduire les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 6]$.
    $\quad$
  3. Déterminer les coefficients directeurs des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d’abscisse $0$ et $6$. Que pouvez-vous en déduire graphiquement ?
    $\quad$
  4. Déterminer l’équation réduite de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $3$.
    $\quad$
  5. Tracer dans le repère orthonormal $(O,I ,J)$, fourni en annexe (à remettre avec la copie) les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ respectivement au point $T$, au point $W$ et au point d’abscisse $3$ puis tracer l’allure de la courbe $\mathcal{C}$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout réel $x\in[0;6]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{27}\times 3x^2-\dfrac{1}{3}\times 2x \\
    &=\dfrac{1}{9}x^2-\dfrac{2}{3}x\\
    &=\dfrac{1}{9}x(x-6)\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout $x\in[0;6]$ on a donc $x\pg 0$ et $x-6\pp 0$. Ainsi $f'(x)\pp 0$.
    La fonction $f$ est donc décroissante sur l’intervalle $[0;6]$.
    $\quad$
  3. $f'(0)=0$ et $f'(6)=0$.
    Ainsi les coefficients directeurs des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d’abscisse $0$ et $6$ sont tous les deux nuls.
    Ces tangentes sont par conséquent parallèles à l’axe des abscisses.
    $\quad$
  4. On a $f'(3)=-1$ et $f(3)=6$.
    Ainsi une équation de $\mathscr{D}$ est $y=-1(x-3)+6$ soit $y=-x+9$.
    $\quad$
  5. On obtient le graphique suivant :$\quad$

 

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

On veut construire une cuve métallique sans couvercle, à partir d’une plaque carrée de $3$ mètres de côté À chaque coin de la plaque métallique, on découpe un carré de côté $x$ mètres, où $x$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $[0 ; 1,5]$. En pliant et en soudant, on obtient une cuve sans couvercle de volume $V(x)$ exprimé en m$^3$.

  1. a. Montrer que l’aire du carré $ABCD$ représenté sur la figure ci-dessus peut s’écrire sous la forme $(3-2x)^2$.
    $\quad$
    b. Montrer que le volume $V(x)$ de la cuve, exprimé en m$^3$, peut s’écrire sous la forme $V(x)=4x^3-12x^2+9x$.
    $\quad$
  2. On note $V’$ la fonction dérivée de $V$.
    a. Calculer $V'(x)$ puis vérifier que $V'(0,5) = 0$ et $V'(1,5)= 0$.
    $\quad$
    b. En déduire les variations de $V$ sur l’intervalle $[0 ; 1,5]$.
    $\quad$
    c. Pour quelle valeur de $x$ le volume de la cuve est-il maximal ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $AB=(3-x-x)=(3-2x)$.
    Par conséquent l’aire du carré $ABCD$ est égale à $(3-2x)^2$.
    $\quad$
    b. Le volume de la cuve est :
    $\begin{align*} V(x)=x\times (3-2x)^2 \\
    &=x\left(9-2\times 3\times 2x+(2x)^2\right)\\
    &=x\left(9-12x+4x^2\right)\\
    &=4x^3-12x^2+9x\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} V'(x)&=4\times 3x^2-12\times 2x+9 \\
    &=12x^2-24x+9\end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} V'(0,5)&=12\times 0,5^2-24\times 0,5+9\\
    &=3-12+9\\
    &=0\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} V'(1,5)&=12\times 1,5^2-24\times 1,5+9\\
    &=27-36+9\\
    &=0\end{align*}$
    $\quad$
    b. $V'(x)$ est un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=12>0$ et dont les racines sont $0,5$ et $1,5$.
    Ainsi $V'(x)<0$ sur $]0,5;1,5[$ et $V'(x)>0$ sur $[0;0,5[$
    La fonction $V$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;0,5]$ et décroissante sur l’intervalle $[0,5;1,5]$.
    Elle atteint ainsi son maximum en $0,5$.
    Le volume de la cuve est donc maximal quand $x=0,5$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Le but de cet exercice est d’étudier et de tracer la fonction $f$ définie, pour tout $x$ de l’intervalle $[-1 ; 10]$, par $f(x) = -0,1x^2+1,05x+1,15$.

  1. Compléter le tableau de valeurs fourni en annexe.
    $\quad$
  2. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$. Pour tout $x$ de l’intervalle $[-1 ; 10]$, justifier que l’expression de $f'(x)$ est donnée par : $f'(x)=-0,2x+1,05$.
    $\quad$
  3. Etudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[-1 ; 10]$.
    En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[-1 ; 10]$.
    $\quad$
  4. Déterminer la valeur de $f'(-1)$ puis en déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $-1$.
    $\quad$
  5. Dans le repère fourni en annexe, tracer $T$ puis la courbe représentative de la fonction $f$ en utilisant les résultats des questions précédentes.
    $\quad$

Annexes

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-1&0&1&2&3&4&6&8&10\\
\hline
f(x)&0&&2,1&2,85&&3,75&&&1,65\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&-1&0&1&2&3&4&6&8&10\\
    \hline
    f(x)&0&1,15&2,1&2,85&3,4&3,75&3,85&3,15&1,65\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Pour tout $x$ de l’intervalle $[-1;10]$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=-0,1\times 2x+1,05 \\
    &=-0,2x+1,05\end{align*}$
    $\quad$
  3. $f'(x)=0 \ssi -0,2x+1,05=0 \ssi -0,2x=-1,05 \ssi x=5,25$
    $f'(x)>0 \ssi -0,2x+1,05>0 \ssi -0,2x>-1,05 \ssi x<5,25$
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  4. On a $f'(-1)=1,25$
    Une équation de la tangente $T$ est donc $y=1,25\left(x-(-1)\right)+0$ soit $y=1,25(x+1)$.
    $\quad$
  5. On obtient donc le graphique suivant :

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

On a observé sur $5$ ans que la note sur $20$, notée $f(x)$, d’un service au bout de $x$ année(s) est donnée par $f(x)=x^3-6x^2+9x$.
Par exemple, puisque $f(4,5)=4,5^3-6\times 4,5^2+9\times 4,5=10,125$, le service obtient au bout de $4$ ans et demi la notre de $10,125$ sur $20$.

  1. a. Quelle note le service obtient-il au bout d’une année ?
    $\quad$
    b. Justifier que le service donne pleine satisfaction au bout des $5$ années.
    $\quad$
  2. a. Calculer $f'(x)$ sous forme développée.
    $\quad$
    b. Montrer que $f'(x)=3(x-1)(x-3)$.
    $\quad$
    c. Dresser, sans justifier, le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle $[0;5]$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $f(1)=1-6+9=4$.
    Le service obtient au bout d’une année la note de $4$ sur $20$.
    $\quad$
    b. $f(5)=5^3-6\times 5^2+9\times 5=20$.
    Le service donne pleine satisfaction au bout des $5$ années.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ positif on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2-6\times 2x+9x\\
    &=3x^2-12x+9x\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ positif on a :
    $\begin{align*} 3(x-1)(x-3)&=3\left(x^2-3x-x+3\right)\\
    &=3\left(x^2-4x+3\right)\\
    &=3x^2-12x+9\\
    &=f'(x)\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x-3=0 \ssi x=3$ et $x-3>0 \ssi x>3$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Une entreprise reconditionne des téléphones portables. Cette entreprise reconditionne entre $1~000$ et $6~000$ téléphones portables par mois. On note $x$ le nombre de téléphones sur un mois. Le bénéfice $B$ en euro réalisé par la vente de $x$ téléphones reconditionnés est donné par la fonction $B$ représentée ci-après.

On admet que $B(x) = -0,003x^2+30x-48~000$.

  1. . La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1~000 ; 6~000]$.

    a. Pourquoi peut-on dire que cette courbe est portée par une parabole ? Justifier.
    $\quad$
    b. Déterminer graphiquement une valeur approchée du bénéfice maximal.
    $\quad$
  2. a. On désigne par $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de variation de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1~000 ; 6~000]$.
    $\quad$
    c. Recopier sur votre copie la fonction donnée ci-dessous et compléter la ligne $10$ de cette fonction afin qu’elle retourne la valeur exprimée en euros du bénéfice maximal.
    $\quad$

$$\begin{array}{|c|l|}
\hline
1 &\text{def beneficemax():}\\
\hline
2 &\hspace{1cm}\text{x=1 000}\\
\hline
4 &\hspace{1cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
\hline
5 &\hspace{1cm}\text{M = B}\\
\hline
6 &\hspace{1cm}\text{for x in range(1001, 6001):}\\
\hline
8 &\hspace{2cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
\hline
9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
\hline
10 &\hspace{3cm}\text{M=$\ldots$}\\
\hline
12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La fonction $B$ est une fonction du second degré. Sa courbe représentative est donc portée par une parabole.
    $\quad$
    b. Graphiquement, le bénéfice maximal est environ égal à $27~000$€.
    $\quad$
  2. a. On a
    $\begin{align*} B'(x)&=-0,003\times 2x+30 \\
    &=-0,006x+30\end{align*}$
    $\quad$
    b. $-0,006x+30=0 \ssi -0,006x=-30 \ssi x=5~000$
    $-0,006x+30>0  \ssi -0,006x>-30 \ssi x<5~000$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    c. On obtient le code programme suivant :
    $$\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1 &\text{def beneficemax():}\\
    \hline
    2 &\hspace{1cm}\text{x=1 000}\\
    \hline
    4 &\hspace{1cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
    \hline
    5 &\hspace{1cm}\text{M = B}\\
    \hline
    6 &\hspace{1cm}\text{for x in range(1001, 6001):}\\
    \hline
    8 &\hspace{2cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
    \hline
    9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
    \hline
    10 &\hspace{3cm}\text{M=B}\\
    \hline
    12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Le chiffre d’affaire en milliers d’euros d’une entreprise en fonction du temps est modélisé par la fonction $f(x) = 3x\left(48x-5x^2\right)$ où $x$ exprimé en années est le temps écoulé depuis le 1$\ier$ janvier 2020.

  1. a. Développer $f(x)$.
    $\quad$
    b. En déduire $f'(x)$.
    $\quad$
    c. On admet que $f'(x)=-3x(15x-96)$. Dresser le tableau de variation de $f$.
    $\quad$.
    d. En déduire le maximum de $f$ sur $[0;10]$.
    $\quad$
  2. Compléter la ligne $10$ du programme écrit en Python ci-dessous afin qu’en fin d’exécution la variable $\text{M}$ contienne une valeur approchée du chiffre d’affaire maximal exprimé en milliers d’euros.
    $$\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1 &\text{def chiffresaffairesmax( ):} \\
    \hline
    2 &\hspace{1cm} \text{x=0}\\
    \hline
    4 &\hspace{1cm}\text{B = 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    5 &\hspace{1cm}\text{M=B}\\
    \hline
    6 &\hspace{1cm}\text{for k in range(100):}\\
    \hline
    7 &\hspace{2cm}\text{x=x+0.1}\\
    \hline
    8 &\hspace{2cm}\text{B= 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
    \hline
    10 &\hspace{3cm}\text{M=$\ldots$}\\
    \hline
    12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
    \hline
    \end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a :
    $\begin{align*} f(x)&=3x\left(48x-5x^2\right) \\
    &=144x^2-15x^3\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} f'(x)&=144\times 2x-15\times 3x^2 \\
    &=288x-45x^2\end{align*}$
    $\quad$
    c. $-3x=0 \ssi x=0$ et $-3x>0 \ssi x<0$
    $15x-96=0 \ssi 15x=96 \ssi x= 6,4$ et $15x-96>0 \ssi 15x>96 \ssi x>6,4$
    On obtient alors le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    d. D’après le tableau de variations précédent le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;10]$ est $1~966,08$.
    $\quad$
  2. On peut écrire
    $$\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1 &\text{def chiffresaffairesmax( ):} \\
    \hline
    2 &\hspace{1cm} \text{x=0}\\
    \hline
    4 &\hspace{1cm}\text{B = 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    5 &\hspace{1cm}\text{M=B}\\
    \hline
    6 &\hspace{1cm}\text{for k in range(100):}\\
    \hline
    7 &\hspace{2cm}\text{x=x+0.1}\\
    \hline
    8 &\hspace{2cm}\text{B= 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
    \hline
    10 &\hspace{3cm}\text{M=B}\\
    \hline
    12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
    \hline
    \end{array}$$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise fabrique et vend des boîtes de petits fours. La production mensuelle varie de $20$ à $150$ centaines de boîtes.
Le chiffre d’affaires en euro, obtenu pour la vente de $x$ centaines de boîtes de petits fours est donnée par la fonction $R$ définie sur l’intervalle $[20; 150]$ par $$R(x)=450x$$
Le coût total de production de $x$ centaines de boîtes de petits fours est donné en euros par la fonction $C$ définie par $$C(x) = 6x^2-246x+5~184$$
On admet dans l’étude qui suit que chaque mois toute la production est vendue.

  1. On a représenté dans le repère orthogonal ci-dessous deux courbes $C_1$ et $C_2$.
    L’une est la représentation graphique de $R$ et l’autre celle de $C$ mais on ne sait pas dans quel ordre.a.Préciser la courbe représentant la fonction $R$ et la courbe représentant la fonction $C$.
    $\quad$
    b. Déterminer avec la précision permise par le graphique dans quel intervalle doit se situer le nombre de centaines de boîtes vendues pour que l’entreprise réalise un bénéfice.
    $\quad$
  2. Le résultat de l’entreprise en euro, c’est-à-dire le bénéfice ou le déficit de l’entreprise selon que le résultat est positif ou négatif, est donné par la fonction $D$ définie sur l’intervalle $[20; 150]$ par : $$D(x)=-6x^2+696x-5~184$$
    On note $D’$ la fonction dérivée de la fonction $D$.
    a. Calculer $D'(x)$.
    $\quad$
    b. Déterminer le signe de $D'(x)$ sur l’intervalle $[20; 150]$.
    $\quad$
    c. En déduire le tableau de variation de la fonction $D$ et le nombre de boîtes que l’entreprise doit produire et vendre pour obtenir un bénéfice maximal.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Le fonction $R$ est une fonction linéaire. Elle est donc représentée par une droite.
    Ainsi la courbe $C_2$ représente la fonction $R$ et la courbe $C_1$ la fonction $C$.
    $\quad$
    b. L’entreprise réalise un bénéfice si $R(x)\pg C(x)$.
    Graphiquement, il faut donc que l’entreprise vendent entre $2~000$ et $10~700$ (environ) boîtes.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x\in [20;150]$ on a $D'(x)=-12x+696$.
    $\quad$
    b. $-12x+696=0 \ssi -12x=-696 \ssi x=58$
    $-12x+696>0\ssi -12x>-696 \ssi x<58$
    Ainsi :
    – $D'(x)>0$ sur $[20;58[$
    – $D'(58)=0$
    – $D'(x)<0$ sur $]58;150[$
    $\quad$
    c. On obtient donc le tableau de variations suivant :

    Le bénéfice est donc maximal quand l’entreprise produit $5~800$ boîtes.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise produit et vend des courgettes. Elle a la capacité de produire entre $0$ et $16$ tonnes.
On note $C(x)$ le coût de production, exprimé en euros, de $x$ tonnes de courgettes.
La fonction $C$ est donc définie sur $[0 ; 16]$ et elle est donnée par : $$C(x)=x^3-15x^2+78x-650$$

Chaque tonne de courgettes est vendue $150$ euros.

On rappelle que le bénéfice correspond à la différence entre la recette et le coût de production.

  1. Vérifier que le bénéfice $B(x)$ s’exprime par : $B(x)=-x^3+15x^2+72x+650$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $B$ est dérivable sur $[0; 16]$ et on note $B’$ sa dérivée.
    Déterminer $B'(x)$.
    $\quad$
  3. Montrer que $B'(x)=-3(x+2)(x-12)$ pour $x$ appartenant à $[0 ; 16]$.
    $\quad$
  4. À l’aide d’un tableau de signes, étudier le signe de $B'(x)$ sur l’intervalle $[0 ; 16]$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $B$ sur $[0 ; 16]$.
    $\quad$
  5. Quelle quantité de courgettes l’entreprise doit-elle produire et vendre pour avoir un bénéfice maximal ? Quel est alors ce bénéfice ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout $x\in[0;16]$ on a :
    $\begin{align*} B(x)&=150x-C(x)\\
    &=150x-x^3+15x^2-78x+650\\
    &=-x^3+15x^2+72x+650\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout $x\in[0;16]$ on a :
    $\begin{align*} B'(x)&=-3x^2+15\times 2x+72\\
    &=-3x^2+30x+72\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout $x\in[0;16]$
    $\begin{align*} -3(x+2)(x-12)&=-3\left(x^2-12x+2x-24\right)\\
    &=-3\left(x^2-10x-24\right)\\
    &=-3x^2+30x+72\\
    &=B'(x)\end{align*}$
    $\quad$
  4. $x+2>0$ sur $[0;16]$
    $x-12=0\ssi x=12$ et $x-12>0\ssi x>12$.
    On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

    $\quad$
  5. D’après le tableau précédent, l’entreprise soit produire et vendre $12$ tonnes de courgettes pour réaliser un bénéfice maximal qui est $1~946$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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