Bac – Spécialité mathématiques – Métropole, Antilles, Guyane – sujet 1 – 8 septembre 2022

Métropole Antilles/Guyane – 8 septembre 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Pour tout réel $x$
    $\begin{align*} g(x)&=\dfrac{2\e^x}{\e^x+1} \\
    &=\dfrac{2\e^x}{\e^x\left(1+\e^{-x}\right) }\\
    &=\dfrac{2}{1+\e^{-x}}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=2$.
    La droite d’équation $y=2$ est donc asymptote à la courbe représentative de la fonction $g$ en $+\infty$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. La fonction $f\dsec$ semble positive sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
    Par conséquent $f$ est convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. Pour tout $n\in \N$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-2 \\
    &=\dfrac{1}{2}u_{n+1}+1-2 \\
    &=\dfrac{1}{2}u_{n+1}-1 \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(u_n-2\right)\\
    &=\dfrac{1}{2}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
    Réponse d
    $\quad$
  4. $0<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$. Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+\left(\dfrac{1}{4}\right)^n=1$.
    $\begin{align*}\dfrac{n}{n+1}&=\dfrac{n}{n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}\\
    &=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n}{n+1}=1$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} 2-\dfrac{n}{n+1}=1$.
    D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$.
    Réponse b
    $\quad$
  5. On considère la fonction $F$ définie sur $]0;+\infty[$ par $F(x)=\dfrac{1}{3}x^3\left(\ln(x)-\dfrac{1}{3}\right)$.
    La fonction $F$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x>0$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=\dfrac{1}{3}\times 3x^2\left(\ln(x)-\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{3}x^3\times \dfrac{1}{x}\\
    &=x^2\ln(x)-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x^2 \\
    &=x^2\ln(x)\end{align*}$
    Ainsi $F$ est une primitive de la fonction $f$.
    Réponse a
    $\quad$
  6. Soit $x\in \R$
    $\begin{align*} 2+\dfrac{3\e^{-x}-5}{\e^{-x}+1}&=\dfrac{2\e^{-x}+2+3\e^{-x}-5}{\e^{-x}+1} \\
    &=\dfrac{5\e^{-x}-3}{\e^{-x}+1} \\
    &=\dfrac{\e^{-x}\left(5-3\e^x\right)}{\e^{-x}\left(1+\e^x\right)} \\
    &=\dfrac{5-3\e^x}{1+\e^x}\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a $p\left(\conj{M}\cap \conj{G}\right)=0,06$ et $p\left(\conj{M}\right)=1-0,7$ c’est-à-dire $p\left(\conj{M}\right)=0,3$.
    Or
    $\begin{align*} P_{\conj{M}}\left(\conj{G}\right)&=\dfrac{p\left(\conj{M}\cap \conj{G}\right)}{p\left(\conj{M}\right)} \\
    &=\dfrac{0,06}{0,3} \\
    &=0,2\end{align*}$
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre suivant :
    $\quad$
    $\quad$
    c. On veut calculer
    $\begin{align*} p\left(G\cap \conj{M}\right)&=p\left(\conj{M}\right)\times p_{\conj{M}}(G) \\
    &=0,3\times 0,8\\
    &=0,24\end{align*}$
    La probabilité de l’événement « le client visite la grotte et ne visite pas le musée » est égale à $0,24$.
    $\quad$
    d. $\left(M,\conj{M}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} p(G)&=p(G\cap M)+p\left(\conj{M}\cap G\right) \\
    &=p(M)\times p_M(G)+p\left(\conj{M}\cap G\right) \\
    &=0,7\times 0,6+0,24 \\
    &=0,66\end{align*}$
    $\quad$
  2. On veut calculer
    $\begin{align*} p_G(M)&=\dfrac{p(G\cap M)}{p(G)} \\
    &=\dfrac{0,7\times 0,6}{0,66} \\
    &=\dfrac{7}{11} \\
    &>\dfrac{1}{2}
    \end{align*}$
    L’affirmation est donc exacte.
    $\quad$
  3. a. On a $T(\Omega)=\acco{0,~5,~12,~17}$
    $\begin{align*} p(T=0)&=p\left(\conj{G}\cap \conj{M}\right) \\
    &=0,06\end{align*}$
    $\begin{align*} p(T=5)&=p\left(G\cap \conj{M}\right) \\
    &=0,24\end{align*}$
    $\begin{align*} p(T=12)&=p\left(\conj{G}\cap M\right) \\
    &=0,28\end{align*}$
    $\begin{align*} p(T=17)&=p\left(G\cap M\right) \\
    &=0,42\end{align*}$
    Ainsi
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    t&0&5&12&17\\
    \hline
    p(T=t)&0,06&0,24&0,28&0,42\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. L’espérance mathématique de $T$ est donc
    $\begin{align*} E(T)&=0\times 0,06+5\times 0,24+12\times 0,28+17\times 0,42 \\
    &=11,7\end{align*}$
    $\quad$
    c. Un client dépense donc en moyenne $11,70$ €.
    On appelle $N$ le nombre moyen de clients par journée.
    $11,7N\pg 700 \ssi x\pg \dfrac{700}{11,7}$
    Or $\dfrac{700}{11,7}\approx 59,83$.
    Il faut donc, en moyenne, au moins $60$ clients par journée pour atteindre cet objectif.
    $\quad$
  4. On appelle $p$ le prix de la visite de la grotte. On appelle $T’$ la variable aléatoire qui modélise la somme dépensée par un client de l’hôtel pour ces visites. On obtient alors la loi de probabilité suivante
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    t&0&x&12&12+x\\
    \hline
    p(T’=t)&0,06&0,24&0,28&0,42\\
    \hline
    \end{array}$
    Son espérance est donc
    $\begin{align*} E(T’)&=0,24x+12\times 0,28+0,42(12+x) \\
    &=0,24x+3,36+5,04+0,42x \\
    &=8,4+0,66x\end{align*}$
    $\begin{align*} E(T’)=15&\ssi 8,4+0,66x=15 \\
    &\ssi 0,66x=6,6 \\
    &\ssi x=10\end{align*}$
    Le prix de la visite de la grotte devrait donc être de $10$ euros pour atteindre l’objectif.
    $\quad$
  5. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients ayant visité la grotte. On répète $100$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,66$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,66$.
    D’après la calculatrice :
    $\begin{align*} P(X\pg 75)&=1-P(X\pp 74) \\
    &\approx 0,034\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins les trois quarts des clients de l’hôtel aient visité la grotte est environ égale à $0,034$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Par croissances comparées,$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x\pg 1$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2} \\
    &=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x\pg 1$ on a $x^2\pg 1$
    $1-\ln(x)=0\ssi \ln(x)=1\ssi=\e$ donc $f'(x)=0 \ssi x=\e$
    $1-\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$ donc $f'(x)>0 \ssi x\in [1;\e]$
    $1-\ln(x)<0 \ssi \ln(x)>1 \ssi x>\e$ donc $f'(x)>0 \ssi x\in [\e;+\infty[$
    $\quad$
    c. On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  3. a. Soit $k$ un réel, $0\pp k \pp \e^{-1}$. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[1;\e]$.
    $f(0)=0\pp k$ et $f(\e)=\e^{-1}\pg k$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=k$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;\e]$.
    $\quad$
    b. Soit $k$ strictement supérieur à $\dfrac{1}{\e}$.
    Pour tout réel $x\pg 1$ on a $fx)\pp \e^{-1}$.
    Par conséquent l’équation $f(x)=k$ n’admet aucune solution sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ comme composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=\dfrac{1}{4}\e^{\frac{x}{4}}>0$ car la fonction exponentielle est strictement positive.
    La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n \pp u_{n+1} \pp \e$.
    Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=\e^{\frac{1}{4}}\approx 1,28$
    Par conséquent $u_0\pp u_1 \pp \e$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $u_n \pp u_{n+1} \pp \e$. La fonction $g$ est strictement croissante sur $[1;\e]$. Par conséquent :
    $g\left(u_{n+1}\right) \pp g\left(u_{n+1}\right) \pp g(\e)$ soit $u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \e^{-1}\pp \e$.
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\pp u_{n+1} \pp \e$.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\e$.
    Par conséquent $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  4. $\e^{\frac{x}{4}}=x \ssi \dfrac{x}{4}=\ln(x) \ssi \dfrac{1}{4}=\dfrac{\ln(x)}{x} \ssi f(x)=\dfrac{1}{4}$
    $\quad$
  5. D’après la calculatrice une solution de l’équation $f(x)=\dfrac{1}{4}$ est environ égale à $1,43$ qui appartient bien à $[1;\e]$.
    Ainsi $\ell \approx 1,43$.

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $\vect{DE}\begin{pmatrix} 12\\-15\\-6\end{pmatrix}$
    Par conséquent $\dfrac{1}{3}\vect{DE}\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\Delta$.
    Ainsi, une représentation paramétrique de $\Delta$ est $\begin{cases} x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\end{cases} \qquad t\in \R$.
    $\quad$
    b. $\Delta$ et $\Delta’$ sont parallèles. Un vecteur directeur de de $\Delta$ est donc également un vecteur directeur de $\Delta’$.
    Une représentation paramétrique de $\Delta’$ est donc $\begin{cases} x=4t\\y=-5t\\z=-2t\end{cases} \qquad t\in \R$.
    $\quad$
    c. $4t=1,36 \ssi t=0,34$
    De plus $-5\times 0,34=-1,7$ et $-2\times 0,34=-0,68 \neq -0,7$.
    Donc $F$ n’appartient pas à la droite $\Delta’$.
    $\quad$
  2. a. $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires (aucune coordonnée nulle pour le vecteur $\vect{AB}$). Les points $A$, $B$ et $C$ définissent donc bien un plan.
    $\quad$
    b. On note $\vec{n}\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}$.
    $\vec{n}.\vect{AB}=8-10+2=0$ et $\vec{n}.\vect{AC}=8+0-8=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    La droite $\Delta$ est par conséquent perpendiculaire au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Une équation du plan $(ABC)$ est donc de la forme $4x-5y-2z+d=0$.
    Le point $A(-1;-1;3)$ appartient au plan $(ABC)$.
    Par conséquent $-4+5-6+d=0 \ssi d=5$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $4x-5y-2z+5=0$.
    $\quad$
  3. a. Prenons $t=2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$.
    Le point de coordonnées $(7;-4;5)$ appartient donc à la droite $\Delta$.
    Donc $G(7;-4;4)$ appartient à la droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. Les coordonnées du point $H$ sont solution du système
    $\begin{align*} \begin{cases} 4x-5y-2z+5=0\\x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\\-4+16t-30+25t-16+4t+5=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\\45t=45\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=1\\x=3\\y=1\\z=6\end{cases} \end{align*}$.
    Le point $H$ a donc pour coordonnées $(3;1;6)$.
    $\quad$
    c. La distance du point $G$ au plan $(ABC)$ est par conséquent $HG$.
    Or $\vect{HG}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -4\\5\\2\end{pmatrix}$
    Ainsi
    $\begin{align*} HG&=\sqrt{(-4)^2+5^2+2^2} \\
    &=\sqrt{16+25+4} \\
    &=\sqrt{45} \\
    &=\sqrt{9\times 5}\\
    &=3\sqrt{5}\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. $\vect{AB}.\vect{AC}=4+0-4=0$.
    Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
    $\quad$
    b. $AB=\sqrt{9}=3$ et $AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
    Le volume du tétraèdre $ABCG$ est donc
    $\begin{align*} V&=\dfrac{\dfrac{AB\times AC}{2}\times HG}{3} \\
    &=\dfrac{3\times \sqrt{5}\times 3\sqrt{5}}{3} \\
    &=15\end{align*}$
    $\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1     7 points
Thèmes : fonctions, suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $g(x)=\dfrac{2\e^x}{\e^x+1}$.
    La courbe représentative de la fonction $g$ admet pour asymptote en $+\infty$ la droite d’équation :
    a. $x=2$;
    b. $y=2$;
    c. $y=0$
    d. $x=-1$.
    $\quad$
  2. On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$.
    On appelle $C$ sa représentation graphique.
    $\quad$
    On désigne par $d\dsec$ la dérivée seconde de $f$.
    $\quad$
    On a représenté sur le graphique ci-dessous la courbe de $f\dsec$, notée $C\dsec$.
    $\quad$

    $\quad$
    a. $C$ admet un unique point d’inflexion;
    b. $f$ est convexe sur l’intervalle $[-1;2]$;
    c. $f$ est convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$;
    d. $f$ est convexe sur $\R$.
    $\quad$
  3. On donne la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0= 0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+1$.
    La suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-2$, est :
    a. arithmétique de raison $-2$;
    b. géométrique de raison $-2$;
    c. arithmétique de raison $1$;
    d. géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  4. On considère une suite $\left(u_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$1+\left(\dfrac{1}{4}\right)^n \pp u_n \pp 2-\dfrac{n}{n+1}$$
    On peut affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ :
    a. converge vers $2$;
    b. converge vers $1$;
    c. diverge vers $+\infty$;
    d. n’a pas de limite.
    $\quad$
  5. Soit $f$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x)=x^2\ln(x)$.
    Une primitive $F$ de $f$ sur $]0; +\infty[$ est définie par :
    a. $F(𝑥) =\dfrac{1}{3}x^3\left(\ln(x)-\dfrac{1}{3}\right)$;
    b. $F(x) = \dfrac{1}{3}x^3\left(\ln(x)-1\right)$;
    c. $F(x) = \dfrac{1}{3}x^2$;
    d. $F(x) = \dfrac{1}{3}x^2\left(\ln(x)-1\right)$.
    $\quad$
  6. Pour tout réel $x$ , l’expression $2+\dfrac{3\e^{-x}-5}{\e^{-x}+1}$ est égale à :
    a. $\dfrac{5-3\e^x}{1+\e^x}$;
    b. $\dfrac{5+3\e^x}{1-\e^x}$;
    c. $\dfrac{5+3\e^x}{1+\e^x}$;
    d. $\dfrac{5-3\e^x}{1-\e^x}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points
Thème : probabilités

Un hôtel situé à proximité d’un site touristique dédié à la préhistoire propose deux visites dans les environs, celle d’un musée et celle d’une grotte.

Une étude a montré que $70\%$ des clients de l’hôtel visitent le musée. De plus, parmi les clients visitant le musée, $60\%$ visitent la grotte.
Cette étude montre aussi que $6\%$ des clients de l’hôtel ne font aucune visite.
On interroge au hasard un client de l’hôtel et on note :

  • $M$ l’événement : « le client visite le musée » ;
  • $G$ l’événement : « le client visite la grotte ».

On note $\conj{M}$ l’événement contraire de $M$, 𝐺$\conj{G}$ l’événement contraire de $G$, et pour tout événement $E$, on note $p(E)$ la probabilité de $E$.

Ainsi, d’après l’énoncé, on a : $p\left(\conj{M}\cap \conj{G}\right)= 0,06$

  1. a. Vérifier que $p_{\conj{M}}\left(\conj{G}\right) = 0,2$, où $p_{\conj{M}}\left(\conj{G}\right)$ désigne la probabilité que le client interrogé ne visite pas la grotte sachant qu’il ne visite pas le musée.
    $\quad$
    b. L’arbre pondéré ci-dessous modélise la situation. Recopier et
    compléter cet arbre en indiquant sur chaque branche la probabilité
    associée.
    $\quad$
    $\quad$
    c. Quelle est la probabilité de l’événement « le client visite la grotte et ne visite pas le musée » ?
    $\quad$
    d. Montrer que $p(G) = 0,66$.
    $\quad$
  2. Le responsable de l’hôtel affirme que parmi les clients qui visitent la grotte, plus de la moitié visitent également le musée. Cette affirmation est-elle exacte ?
    $\quad$
  3. Les tarifs pour les visites sont les suivants :
    $\bullet$ visite du musée : $12$ euros ;
    $\bullet$ visite de la grotte : $5$ euros.
    On considère la variable aléatoire $T$ qui modélise la somme dépensée par un client de l’hôtel pour ces visites.
    a. Donner la loi de probabilité de $T$. On présentera les résultats sous la forme d’un tableau.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance mathématique de $T$.
    $\quad$
    c. Pour des questions de rentabilité, le responsable de l’hôtel estime que le montant moyen des recettes des visites doit être supérieur à $700$ euros par jour. Déterminer le nombre moyen de clients par journée permettant d’atteindre cet objectif.
    $\quad$
  4. Pour augmenter les recettes, le responsable souhaite que l’espérance de la variable aléatoire modélisant la somme dépensée par un client de l’hôtel pour ces visites passe à $15$ euros, sans modifier le prix de visite du musée qui demeure à $12$ euros. Quel prix faut-il fixer pour la visite de la grotte afin d’atteindre cet objectif ? (On admettra que l’augmentation du
    prix d’entrée de la grotte ne modifie pas la fréquentation des deux sites).
    $\quad$
  5.  On choisit au hasard $100$ clients de l’hôtel, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. Quelle est la probabilité qu’au moins les trois quarts de ces clients aient visité la grotte à l’occasion de leur séjour à l’hôtel ? On donnera une valeur du résultat à $10^{-3}$ près.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points
Thèmes : fonctions logarithme et exponentielle, suites

Les parties A et B sont, dans une large mesure, indépendantes.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

  1. Donner la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. Montrer que, pour tout nombre réel $x\pg 1$, $f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$.
    $\quad$
    b. Justifier le tableau de signes suivant, donnant le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
    $\quad$

    $\quad$
    c. Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Soit $k$ un nombre réel positif ou nul.
    a. Montrer que, si $0\pp k\pp \dfrac{1}{\e}$, l’équation $f(x)=k$ admet une unique solution sur l’intervalle $[1 ;\e]$.
    $\quad$
    b. Si $k>\dfrac{1}{\e}$, l’équation $𝑓(𝑥) = k$ admet-elle des solutions sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$ ?
    Justifier.
    $\quad$

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x)=\e^{\frac{x}{4}}$.
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=\e^{\frac{u_n}{4}} \text{  c’est à dire : } u_{n+1}=g\left(u_n\right)$$

  1. Justifier que la fonction $g$ est croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n\pp u_{n+1} \pp \e$.
    $\quad$
  3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$

On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$, et on admet que $\ell$ est solution de l’équation : $$\e^{\frac{x}{4}}=x$$

  1. En déduire que $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=\dfrac{1}{4}$, où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.
    $\quad$
  2. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points
Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points
$A(-1 ; -1 ; 3)$, $B(1 ; 1 ; 2)$, $C(1 ; -1 ; 7)$.
On considère également la droite ∆ passant par les points $D(-1 ; 6 ; 8)$ et $E(11 ; -9 ; 2)$.

  1. a. Vérifier que la droite $\Delta$ admet pour représentation paramétrique :
    $$\begin{cases}x = -1 + 4t\\y = 6-5t,z = 8-2t\end{cases} \quad \text{avec }t\in \R$$
    $\quad$
    b. Préciser une représentation paramétrique de la droite $\Delta’$ parallèle à $\Delta$ et passant par l’origine $O$ du repère.
    $\quad$
    c. Le point $F(1,36 ; -1,7 ; -0,7)$ appartient-il à la droite $\Delta’$ ?
    $\quad$
  2. a. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
    $\quad$
    b. Montrer que la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $4x-5y-2z+5=0$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que le point $G(7; -4; 4)$ appartient à la droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. En déduire que la distance du point $G$ au plan $(ABC)$ est égale à $3\sqrt{5}$.
    $\quad$
  4. a. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    $\quad$
    b. Calculer le volume $V$ du tétraèdre $ABCG$.
    On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule $V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{B}\times h$ où $\mathscr{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondant à cette base.
    $\quad$

$\quad$

E3C – Séries technologiques – Fonctions – EC2

E3C – Fonctions

Séries technologiques

La glycémie est la concentration massique exprimée en gramme par litre (g.L$^{-1}$) de sucre dans le sang. Le diabète se caractérise par une hyperglycémie chronique, c’est-à-dire un excès de sucre dans le sang et donc une glycémie trop élevée.

Une glycémie est normale lorsqu’elle est comprise entre $0,7$ g.L$^{-1}$$ et $1,1$ g.L$^{-1}$ à jeun et lorsqu’elle est inférieure à $1,4$ g.L$^{-1}$, une heure et trente minutes après un repas.
Lorsque l’on suspecte un diabète, on pratique un test de tolérance au glucose.
Lorsqu’il est à jeun, le patient ingère $75$ g de glucose au temps $t= 0$ ($t$ est exprimé en heure).

Pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0;3]$, la glycémie du patient, exprimée en g.L$^{-1}$, $t$ heures après l’ingestion, est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0;3]$ par : $$f(t)=0,3t^3-1,8t^2+2,7t+0,8$$

  1. Que fait la glycémie du patient à jeun?
    $\quad$
  2. a. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que pour tout réel $t$ appartenant à $[0;3]$, $$f'(t)=0,9(t-1)(t-3)$$
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0;3]$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;3]$.
    $\quad$
  3. a. Au bout de combien d’heures la glycémie du patient est-elle maximale et que vaut-elle ?
    $\quad$
    b. Peut-on suspecter un diabète chez le patient ? Expliquer.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $f(0)=0,8$.
    La glycémie du patient à jeun vaut $0,8$ g.L$^{-1}$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout $t\in [0;3]$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=0,3\times 3t^2-1,8\times 2t+2,7 \\
    &=0,9t^2-3,6t+2,7\end{align*}$
    Or :
    $\begin{align*} 0,9(t-1)(t-3)&=0,9\left(t^2-3t-t+3\right) \\
    &=0,9\left(t^2-4t+3\right) \\
    &=0,9t^3-3,6t^2+2,7\\
    &=f'(t)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $t-1=0\ssi t=1$ et $t-1>0 \ssi t>1$
    $t-3=0\ssi t=3$ et $t-3>0\ssi t>3$
    On obtient le tableau de signes et de variations suivant :


    $\quad$

  3. a. D’après le tableau de variations de la fonction $f$ la glycémie est maximale au bout d’une heure et vaut $2$ g.L$^{-1}$.
    $\quad$
    b. $f(1,5)=1,8125>1,4$
    On peut donc suspecter un diabète chez le patient.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

L’annexe est à rendre avec la copie

Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : $f(x)=0,1+0,9x^2-x^3$.

  1. Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x)=x(1,8-3x)$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $f(1)$ et $f'(1)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $1$.
    $\quad$
  3. La représentation graphique de la fonction $f$ est donnée en annexe.
    a. Donner les variations de la fonction $f$ par lecture graphique.
    $\quad$
    b. En utilisant les résultats de la question 2., construire sur ce graphique la tangente à la courbe de la fonction $f$ au point d’abscisse $1$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=0,9\times 2x-3x^2 \\
    &=1,8x-3x^2\\
    &=x(1,8-3x)\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a $f(1)=0,1+0,9-1=0$
    $f'(1)=1\times (1,8-3)=-1,2$
    $\quad$
    b. Une équation de la tangente à la courbe représentant la fonction $f$ au point d’abscisse $1$ est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
    C’est-à-dire $y=-1,2(x-1)$ ou $y=-1,2x+1,2$.
    $\quad$
  3. a. Graphiquement, il semblerait que la fonction $f$ soit :
    – strictement décroissante sur $]-\infty;0]$;
    – strictement croissante sur $[0;0;6]$
    – strictement décroissante sur $[0,6;+\infty[$.
    $\quad$
    b. Une équation de cette tangente est $y=-1,2x+1,2$
    Si $x=0$ alors $y=1,2$
    Si $x=1$ alors $y=0$
    Cette droite passe donc par les points de coordonnées $(0;1,2)$ et $(1;0)$.

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un artisan produit des vases en terre cuite. Sa capacité de production est limitée à $60$ vases.
Le coût de production, en euros, dépend du nombre de vases produits.
Ce coût de production peut être modélisé par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0 ; 60]$ par $$C(x)=x^2-10x+500$$

Un vase est vendu $50$ €. Les recettes, qui dépendent du nombre de vases produits et vendus, sont modélisées par une fonction $R$ définie sur l’intervalle $[0 ; 60]$.

  1. Calculer le coût et la recette réalisés lorsque l’artisan produit et vend $50$ vases.
    $\quad$
  2. Exprimer $R(𝑥)$ en fonction de $x$.
    $\quad$
  3. Le résultat, en euro, réalisé par l’artisan est modélisé par la fonction $B$ définie sur l’intervalle $[0 ; 60]$ par $B(x) = R(x)-C(x)$.
    a. Vérifier que $B(𝑥) = -(𝑥-10)(x-50)$.
    $\quad$
    b. Déterminer le nombre de vases à produire et à vendre pour que l’artisan réalise des bénéfices (c’est-à-dire pour que le résultat $B(x)$ soit positif).
    $\quad$
  4. On note $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$.
    a. Déterminer $B'(x)$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$ et en déduire le nombre de vases à vendre pour réaliser un bénéfice maximum.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} C(50)&=50^2-10\times 50+500 \\
    &=2~500\end{align*}$
    et $R(50)=50\times 50=2~500$.
    Le coût de fabrication de $50$ vases est de $2~500$ € et la recette réalisée est également de $2~500$ €.
    $\quad$
  2. Pour tout $x\in [0;60]$ on a $R(x)=50x$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout $x\in [0;60]$ on a d’une part :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x) \\
    &=50x-x^2+10x-500 \\
    &=-x^2+60x-500\end{align*}$
    D’autre part :
    $\begin{align*} -(x-10)(x-50)&=-\left(x^2-50x-10x+500\right)\\
    &=-\left(x^2-60x+500\right)\\
    &=-x^2+60x-500\end{align*}$
    Par conséquent $B(x)=-(x-10)(x-50)$.
    $\quad$
    b. $B(x)$ est un polynôme du second degré dont les racines sont $10$ et $50$ et le coefficient principal $a=-1$.
    Par conséquent $B(x)\pg 0$ sur l’intervalle $[10;50]$.
    Il faut donc produire entre $10$ et $50$ vases pour réaliser des bénéfices.
    $\quad$
  4. a. Pour tout $x\in [0;50]$ on a $B(x)=-x^2+60x-500$
    Donc : $B'(x)=-2x+60$.
    $\quad$
    b. $B'(x)=0 \ssi -2x+60=0 \ssi -2x=-60 \ssi x=30$
    $B'(x)>0 \ssi -2x+60>0\ssi -2x>-60 \ssi x<30$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    On en déduit donc qu’il faut vendre $30$ vases pour réaliser un bénéfice maximum.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un architecte a conçu un bassin aquatique comportant trois marches.
Le contour du bassin, représenté ci-contre dans une « vue du dessus », est constitué d’un demi-cercle de diamètre $[TO]$, de deux segments $[OV]$ et $[VW]$ et d’une courbe $\mathcal{C}$, reliant $T$ à $W$.
Les parties grisées figurent l’emplacement des trois marches.

La situation est représentée en annexe dans le repère orthonormal $(O,I ,J)$, dans lequel :

  • $V$, $W$ et $T$ sont les points de coordonnées respectives $(6,0)$, $(6,4)$ et $(0,8)$
  • $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[0 ; 6]$ par $$f(x)=\dfrac{1}{27}x^3-\dfrac{1}{3}x^2+8$$
  1. On note $f’$ la dérivée de $f$. Montrer que pour tout réel $x$ de $[0;6]$, $f'(x) =\dfrac{1}{9}x(x-6)$.
    $\quad$
  2. En déduire les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 6]$.
    $\quad$
  3. Déterminer les coefficients directeurs des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d’abscisse $0$ et $6$. Que pouvez-vous en déduire graphiquement ?
    $\quad$
  4. Déterminer l’équation réduite de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $3$.
    $\quad$
  5. Tracer dans le repère orthonormal $(O,I ,J)$, fourni en annexe (à remettre avec la copie) les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ respectivement au point $T$, au point $W$ et au point d’abscisse $3$ puis tracer l’allure de la courbe $\mathcal{C}$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout réel $x\in[0;6]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{27}\times 3x^2-\dfrac{1}{3}\times 2x \\
    &=\dfrac{1}{9}x^2-\dfrac{2}{3}x\\
    &=\dfrac{1}{9}x(x-6)\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout $x\in[0;6]$ on a donc $x\pg 0$ et $x-6\pp 0$. Ainsi $f'(x)\pp 0$.
    La fonction $f$ est donc décroissante sur l’intervalle $[0;6]$.
    $\quad$
  3. $f'(0)=0$ et $f'(6)=0$.
    Ainsi les coefficients directeurs des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d’abscisse $0$ et $6$ sont tous les deux nuls.
    Ces tangentes sont par conséquent parallèles à l’axe des abscisses.
    $\quad$
  4. On a $f'(3)=-1$ et $f(3)=6$.
    Ainsi une équation de $\mathscr{D}$ est $y=-1(x-3)+6$ soit $y=-x+9$.
    $\quad$
  5. On obtient le graphique suivant :$\quad$

 

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

On veut construire une cuve métallique sans couvercle, à partir d’une plaque carrée de $3$ mètres de côté À chaque coin de la plaque métallique, on découpe un carré de côté $x$ mètres, où $x$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $[0 ; 1,5]$. En pliant et en soudant, on obtient une cuve sans couvercle de volume $V(x)$ exprimé en m$^3$.

  1. a. Montrer que l’aire du carré $ABCD$ représenté sur la figure ci-dessus peut s’écrire sous la forme $(3-2x)^2$.
    $\quad$
    b. Montrer que le volume $V(x)$ de la cuve, exprimé en m$^3$, peut s’écrire sous la forme $V(x)=4x^3-12x^2+9x$.
    $\quad$
  2. On note $V’$ la fonction dérivée de $V$.
    a. Calculer $V'(x)$ puis vérifier que $V'(0,5) = 0$ et $V'(1,5)= 0$.
    $\quad$
    b. En déduire les variations de $V$ sur l’intervalle $[0 ; 1,5]$.
    $\quad$
    c. Pour quelle valeur de $x$ le volume de la cuve est-il maximal ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $AB=(3-x-x)=(3-2x)$.
    Par conséquent l’aire du carré $ABCD$ est égale à $(3-2x)^2$.
    $\quad$
    b. Le volume de la cuve est :
    $\begin{align*} V(x)=x\times (3-2x)^2 \\
    &=x\left(9-2\times 3\times 2x+(2x)^2\right)\\
    &=x\left(9-12x+4x^2\right)\\
    &=4x^3-12x^2+9x\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} V'(x)&=4\times 3x^2-12\times 2x+9 \\
    &=12x^2-24x+9\end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} V'(0,5)&=12\times 0,5^2-24\times 0,5+9\\
    &=3-12+9\\
    &=0\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} V'(1,5)&=12\times 1,5^2-24\times 1,5+9\\
    &=27-36+9\\
    &=0\end{align*}$
    $\quad$
    b. $V'(x)$ est un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=12>0$ et dont les racines sont $0,5$ et $1,5$.
    Ainsi $V'(x)<0$ sur $]0,5;1,5[$ et $V'(x)>0$ sur $[0;0,5[$
    La fonction $V$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;0,5]$ et décroissante sur l’intervalle $[0,5;1,5]$.
    Elle atteint ainsi son maximum en $0,5$.
    Le volume de la cuve est donc maximal quand $x=0,5$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Le but de cet exercice est d’étudier et de tracer la fonction $f$ définie, pour tout $x$ de l’intervalle $[-1 ; 10]$, par $f(x) = -0,1x^2+1,05x+1,15$.

  1. Compléter le tableau de valeurs fourni en annexe.
    $\quad$
  2. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$. Pour tout $x$ de l’intervalle $[-1 ; 10]$, justifier que l’expression de $f'(x)$ est donnée par : $f'(x)=-0,2x+1,05$.
    $\quad$
  3. Etudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[-1 ; 10]$.
    En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[-1 ; 10]$.
    $\quad$
  4. Déterminer la valeur de $f'(-1)$ puis en déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $-1$.
    $\quad$
  5. Dans le repère fourni en annexe, tracer $T$ puis la courbe représentative de la fonction $f$ en utilisant les résultats des questions précédentes.
    $\quad$

Annexes

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-1&0&1&2&3&4&6&8&10\\
\hline
f(x)&0&&2,1&2,85&&3,75&&&1,65\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&-1&0&1&2&3&4&6&8&10\\
    \hline
    f(x)&0&1,15&2,1&2,85&3,4&3,75&3,85&3,15&1,65\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Pour tout $x$ de l’intervalle $[-1;10]$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=-0,1\times 2x+1,05 \\
    &=-0,2x+1,05\end{align*}$
    $\quad$
  3. $f'(x)=0 \ssi -0,2x+1,05=0 \ssi -0,2x=-1,05 \ssi x=5,25$
    $f'(x)>0 \ssi -0,2x+1,05>0 \ssi -0,2x>-1,05 \ssi x<5,25$
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  4. On a $f'(-1)=1,25$
    Une équation de la tangente $T$ est donc $y=1,25\left(x-(-1)\right)+0$ soit $y=1,25(x+1)$.
    $\quad$
  5. On obtient donc le graphique suivant :

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

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Séries technologiques

On a observé sur $5$ ans que la note sur $20$, notée $f(x)$, d’un service au bout de $x$ année(s) est donnée par $f(x)=x^3-6x^2+9x$.
Par exemple, puisque $f(4,5)=4,5^3-6\times 4,5^2+9\times 4,5=10,125$, le service obtient au bout de $4$ ans et demi la notre de $10,125$ sur $20$.

  1. a. Quelle note le service obtient-il au bout d’une année ?
    $\quad$
    b. Justifier que le service donne pleine satisfaction au bout des $5$ années.
    $\quad$
  2. a. Calculer $f'(x)$ sous forme développée.
    $\quad$
    b. Montrer que $f'(x)=3(x-1)(x-3)$.
    $\quad$
    c. Dresser, sans justifier, le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle $[0;5]$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $f(1)=1-6+9=4$.
    Le service obtient au bout d’une année la note de $4$ sur $20$.
    $\quad$
    b. $f(5)=5^3-6\times 5^2+9\times 5=20$.
    Le service donne pleine satisfaction au bout des $5$ années.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ positif on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2-6\times 2x+9x\\
    &=3x^2-12x+9x\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ positif on a :
    $\begin{align*} 3(x-1)(x-3)&=3\left(x^2-3x-x+3\right)\\
    &=3\left(x^2-4x+3\right)\\
    &=3x^2-12x+9\\
    &=f'(x)\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x-3=0 \ssi x=3$ et $x-3>0 \ssi x>3$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

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Séries technologiques

Une entreprise reconditionne des téléphones portables. Cette entreprise reconditionne entre $1~000$ et $6~000$ téléphones portables par mois. On note $x$ le nombre de téléphones sur un mois. Le bénéfice $B$ en euro réalisé par la vente de $x$ téléphones reconditionnés est donné par la fonction $B$ représentée ci-après.

On admet que $B(x) = -0,003x^2+30x-48~000$.

  1. . La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1~000 ; 6~000]$.

    a. Pourquoi peut-on dire que cette courbe est portée par une parabole ? Justifier.
    $\quad$
    b. Déterminer graphiquement une valeur approchée du bénéfice maximal.
    $\quad$
  2. a. On désigne par $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de variation de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1~000 ; 6~000]$.
    $\quad$
    c. Recopier sur votre copie la fonction donnée ci-dessous et compléter la ligne $10$ de cette fonction afin qu’elle retourne la valeur exprimée en euros du bénéfice maximal.
    $\quad$

$$\begin{array}{|c|l|}
\hline
1 &\text{def beneficemax():}\\
\hline
2 &\hspace{1cm}\text{x=1 000}\\
\hline
4 &\hspace{1cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
\hline
5 &\hspace{1cm}\text{M = B}\\
\hline
6 &\hspace{1cm}\text{for x in range(1001, 6001):}\\
\hline
8 &\hspace{2cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
\hline
9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
\hline
10 &\hspace{3cm}\text{M=$\ldots$}\\
\hline
12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La fonction $B$ est une fonction du second degré. Sa courbe représentative est donc portée par une parabole.
    $\quad$
    b. Graphiquement, le bénéfice maximal est environ égal à $27~000$€.
    $\quad$
  2. a. On a
    $\begin{align*} B'(x)&=-0,003\times 2x+30 \\
    &=-0,006x+30\end{align*}$
    $\quad$
    b. $-0,006x+30=0 \ssi -0,006x=-30 \ssi x=5~000$
    $-0,006x+30>0  \ssi -0,006x>-30 \ssi x<5~000$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    c. On obtient le code programme suivant :
    $$\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1 &\text{def beneficemax():}\\
    \hline
    2 &\hspace{1cm}\text{x=1 000}\\
    \hline
    4 &\hspace{1cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
    \hline
    5 &\hspace{1cm}\text{M = B}\\
    \hline
    6 &\hspace{1cm}\text{for x in range(1001, 6001):}\\
    \hline
    8 &\hspace{2cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
    \hline
    9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
    \hline
    10 &\hspace{3cm}\text{M=B}\\
    \hline
    12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Le chiffre d’affaire en milliers d’euros d’une entreprise en fonction du temps est modélisé par la fonction $f(x) = 3x\left(48x-5x^2\right)$ où $x$ exprimé en années est le temps écoulé depuis le 1$\ier$ janvier 2020.

  1. a. Développer $f(x)$.
    $\quad$
    b. En déduire $f'(x)$.
    $\quad$
    c. On admet que $f'(x)=-3x(15x-96)$. Dresser le tableau de variation de $f$.
    $\quad$.
    d. En déduire le maximum de $f$ sur $[0;10]$.
    $\quad$
  2. Compléter la ligne $10$ du programme écrit en Python ci-dessous afin qu’en fin d’exécution la variable $\text{M}$ contienne une valeur approchée du chiffre d’affaire maximal exprimé en milliers d’euros.
    $$\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1 &\text{def chiffresaffairesmax( ):} \\
    \hline
    2 &\hspace{1cm} \text{x=0}\\
    \hline
    4 &\hspace{1cm}\text{B = 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    5 &\hspace{1cm}\text{M=B}\\
    \hline
    6 &\hspace{1cm}\text{for k in range(100):}\\
    \hline
    7 &\hspace{2cm}\text{x=x+0.1}\\
    \hline
    8 &\hspace{2cm}\text{B= 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
    \hline
    10 &\hspace{3cm}\text{M=$\ldots$}\\
    \hline
    12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
    \hline
    \end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a :
    $\begin{align*} f(x)&=3x\left(48x-5x^2\right) \\
    &=144x^2-15x^3\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} f'(x)&=144\times 2x-15\times 3x^2 \\
    &=288x-45x^2\end{align*}$
    $\quad$
    c. $-3x=0 \ssi x=0$ et $-3x>0 \ssi x<0$
    $15x-96=0 \ssi 15x=96 \ssi x= 6,4$ et $15x-96>0 \ssi 15x>96 \ssi x>6,4$
    On obtient alors le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    d. D’après le tableau de variations précédent le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;10]$ est $1~966,08$.
    $\quad$
  2. On peut écrire
    $$\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1 &\text{def chiffresaffairesmax( ):} \\
    \hline
    2 &\hspace{1cm} \text{x=0}\\
    \hline
    4 &\hspace{1cm}\text{B = 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    5 &\hspace{1cm}\text{M=B}\\
    \hline
    6 &\hspace{1cm}\text{for k in range(100):}\\
    \hline
    7 &\hspace{2cm}\text{x=x+0.1}\\
    \hline
    8 &\hspace{2cm}\text{B= 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
    \hline
    10 &\hspace{3cm}\text{M=B}\\
    \hline
    12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
    \hline
    \end{array}$$

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$\quad$

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