Exercice 1

Partie A

1. On obtient l’arbre suivant :
   $\quad$
   $\quad$
2. On veut calculer :
   $\begin{align*} P(M\cap T)&=P(M)\times P_M(T) \\
   &=0,7\times 0,97 \\
   &=0,679\end{align*}$
   La probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif est égale à $0,679$.
   $\quad$
3. $\left(M,\conj{M}\right)$ forme un système complet d’événements finis.
   D’après la formule des probabilités totales :
   $\begin{align*} P(T)&=P(M\cap T)+P\left(\conj{M}\cap T\right)
   &=0,679+P\left(\conj{M}\right)\times P_{\conj{M}}(T)\\
   &=0,679+0,3\times 0,05 \\
   &=0,694\end{align*}$
   La probabilité de $T$ est égale à $0,694$.
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_T(M)&=\dfrac{P(T\cap M)}{P(T)} \\
   &=\dfrac{0,679}{0,694} \\
   &\approx 0,978\end{align*}$
   La valeur prédictive positive du test est environ égale à $0,978$.
   $\quad$
5. a. La valeur prédictive négative du test est la probabilité que le coyote ne soit pas malade sachant que son test est négatif.
   On veut calculer :
   $\begin{align*} P_{\conj{T}}\left(\conj{M}\right))&=\dfrac{P\left(\conj{T}\cap \conj{M}\right)}{P\left(\conj{T}\right)} \\
   &=\dfrac{0,3\times 0,95}{1-0,694} \\
   &\approx 0,931 \end{align*}$
   La valeur prédictive négative du test est environ égale à $0,931$.
   $\quad$
   b. La valeur prédictive positive du test est donc supérieure à la valeur prédictive négative du test.
   Il est donc plus probable que le coyote soit malade quand le test est positif qu’il ne soit pas malade quand le test est négatif.
   $\quad$

Partie B

1. a. On répète $5$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli. $X$ compte le nombre de coyote ayant un test positif.
   $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,694$.
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} P(X=1)&=\dbinom{5}{1}\times 0,694^1 \times (1-0,694)^{5-1} \\
   &\approx 0,03\end{align*}$.
   La probabilité que dans cet échantillon de cinq coyote capturés au hasard, un seul ait un test positif est environ égale à $0,03$.
   $\quad$
   c.
   $\begin{align*} P(X\pg 4)&=P(X=4)+P(X=5) \\
   &=\dbinom{5}{4}\times 0,694^4 \times (1-0,694)^{1}+\dbinom{5}{5}\times 0,694^5 \\
   &\approx 0,516\\
   &>0,5\end{align*}$
   L’affirmation est donc vraie.
   $\quad$
2. On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli. La variable aléatoire $Y$ compte le nombre de coyote ayant un test positif.
   $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,694$.
   $\begin{align*} P(Y\pg 1)>0,99&\ssi 1-P(Y=0)>0,99 \\
   &\ssi P(Y=0)<0,01 \\
   &\ssi (1-0,694)^n<0,01 \\
   &\ssi 0,306^n <0,01 \\
   &\ssi n\ln(0,306)<\ln(0,01) \\
   &\ssi n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,306)} \end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,306)} \approx 3,89$
   Il faut donc capturer au moins $4$ coyotes pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux présente un test positif soit supérieur à $0,99$.
   $\quad$

 

Exercice 2

1. La fonction $f’$ semble donc strictement positive sur $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[$ et strictement négative sur $\left]-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
   $f$ présente donc un maximum en $-\dfrac{1}{2}$.
   Réponse B
   $\quad$
2. La fonction $f’$ semble strictement croissante sur $\left]-\infty;-\dfrac{3}{2}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
   Par conséquent $f$ est convexe sur $\left]-\infty;-\dfrac{3}{2}\right]$.
   Réponse A
   $\quad$
3. La fonction $f’$ semble strictement croissante sur $\left]-\infty;-\dfrac{3}{2}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
   Par conséquent $f\dsec(x)>0$ sur $\left]-\infty;-\dfrac{3}{2}\right[$, $f\dsec{x)}<0$ sur $\left[-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$ et $f\dsec(x)\left(-\dfrac{3}{2}\right)=0$.
   Réponse C
   $\quad$
4. Si la suite $\left(v_n\right)$ est croissante alors, pour tout entier naturel $n$, on a :
   $u_0\pp v_0 \pp v_1 \pp \ldots \pp v_n$.
   Ainsi, la suite $\left(v_n\right)$ est minorée par $u_0$.
   Réponse B
   $\quad$
5. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_n\pp u_{n+1}$ : la suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
   Pour tout entier naturel non nul on a $\dfrac{1}{n}\pp 1$.
   Donc, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_n\pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{n}\pp 1$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $1$.
   Par conséquent elle converge.
   Réponse B
   $\quad$
6. Pour tout entier naturel $n$ on a $n<u_n<n+1$ donc $n+1<u_{n+1}<n+2$
   Par conséquent $n<u_n<n+1<u_{n+1}$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
   Réponse B
   $\quad$

 

 

 

Exercice 3

1. $E$ a pour coordonnées $(0;0;1)$.
   $F$ a pour coordonnées $(1;0;1)$.
   $G$ a pour coordonnées $(1;1;1)$.
   $K$ a pour coordonnées $\left(1;\dfrac{1}{2};0\right)$.
   $\quad$
2. $\vect{EG}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ donc
   $\begin{align*} \vect{EG}.\vec{n}&=1\times 2+1\times (-2)+0\times 1\\
   &=0\end{align*}$
   $\vect{EK}\begin{pmatrix}1\\\dfrac{1}{2}\\-1\end{pmatrix}$ donc
   $\begin{align*} \vect{EG}.\vec{n}&=1\times 2+\dfrac{1}{2}\times (-2)+(-1)\times 1\\
   &=0\end{align*}$
   Les vecteurs $\vect{EG}$ et $\vect{EK}$ ne sont pas colinéaires car une coordonnées de $\vect{EG}$ est nulle et ce n’est pas le cas pour $\vect{EK}$.
   Ainsi $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EGK)$.
   $\vec{n}\begin{pmatrix} 2\\-2\\1\end{pmatrix}$  est orthogonal au plan $(EGK)$.
   $\quad$
3. Une équation cartésienne du plan $(EGK)$ est donc de la forme : $2x-2y+z+d=0$
   Or $E(0;0;1)$ appartient à ce plan.
   Donc $0-0+1+d=0 \ssi d=-1$.
   Une équation cartésienne du plan $(EGK)$ est $2x-2y+z-1=0$.
   $\quad$
4. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de cette droite.
   Ainsi une représentation paramétrique de $(d)$ est $\begin{cases} x=1+2t\\y=-2t\\z=1+t\end{cases} \quad ,t\in \R$
   $\quad$
5. $2\times \dfrac{5}{9}-2\times \dfrac{4}{9}+\dfrac{7}{9}-1=\dfrac{9}{9}-1=0$ : le point de coordonnées $\left(\dfrac{5}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{7}{9}\right)$ appartient au plan $(EGK)$.
   Prenons $t=-\dfrac{2}{9}$ dans la représentation paramétrique de $(d)$.
   On obtient $x=\dfrac{5}{9}$, $y=\dfrac{4}{9}$ et $z=\dfrac{7}{9}$.
   Le point de coordonnées $\left(\dfrac{5}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{7}{9}\right)$ appartient à la droite $(d)$.
   Donc $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{5}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{7}{9}\right)$.
   $\quad$
6. $\vect{LF}\begin{pmatrix} \dfrac{4}{9}\\-\dfrac{4}{9}\\\dfrac{2}{9} \end{pmatrix}$
   $\begin{align*} LF&=\sqrt{\left(\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(\dfrac{2}{9}\right)^2} \\
   &=\sqrt{\dfrac{16}{81}+\dfrac{16}{81}+\dfrac{4}{81}}\\
   &=\sqrt{\dfrac{36}{81}}\\
   &=\dfrac{6}{9} \\
   &=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
   $\quad$
7. Le triangle $EFG$ est rectangle en $F$.
   Son aire est donc :
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{EF\times FG}{2}\\
   &=\dfrac{1\times 1}{2}\\
   &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
   $\quad$
   Le volume du tétraèdre $EFGK$ est donc :
   $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times BF\times \mathscr{A}  \qquad (*)\\
   &=\dfrac{1}{3} \times 1 \times \dfrac{1}{2} \\
   &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
   $(*)$ : la hauteur du tétraèdre issue de $K$ a une longueur égale à $BF$.
   $\quad$
8. On appelle $\mathscr{B}$ l’aire du triangle $EGK$.
   On a donc également
   $\begin{align*} \mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times LF\times \mathscr{B} &\ssi \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}\times \mathscr{B}\\
   &\ssi \dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{9}\times \mathscr{B} \\
   &\ssi \mathscr{B}=\dfrac{3}{4}\end{align*}$
   $\quad$
9. En appliquant le théorème des milieux (ou la réciproque du théorème de Thalès suivi du théorème de Thalès) on montre que les longueurs des côtés du triangle $PMN$ sont égales à la moitié des longueurs des côtés du triangle $EGK$.
   Le triangle $PMN$ est donc une réduction du triangle $EGK$ de rapport $\dfrac{1}{2}$.
   Ainsi l’aire du triangle $PMN$ est
   $\begin{align*} \mathscr{B}’&=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\times \mathscr{B} \\
   &=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{4} \\
   &=\dfrac{3}{16}\end{align*}$
   Le volume du tetraèdre $FPMN$ est donc :
   $\begin{align*} \mathscr{V}’&=\dfrac{1}{3}\times LF\times \mathscr{B}’ \\
   &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{16} \\
   &=\dfrac{1}{24}\end{align*}$
   Remarque 1: Le triangle $PMN$ est inclus dans le plan $(EGK)$. La hauteur du tétraèdre $FPMN$ est donc la même que celle du tétraèdre $EFGK$.
   Remarque 2 : La rédaction du théorème des milieux est un peu rapide ici. Il faudrait, en toute rigueur, proposer une démarche plus détaillée mais je ne suis pas certain que ce soit réellement un attendu du sujet.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A : études de deux fonctions

1. a. D’après la limite des termes de plus haut degré $\lim\limits_{x\to +\infty} -x^2+13,7x=\lim\limits_{x\to +\infty} -x^2=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} -f(x)=-\infty$
   $\quad$
   b. $f$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=-0,06<0$.
   Elle atteint donc son maximum en $-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{13,7}{2}=6,85$.
   La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;6,85]$ et strictement décroissante sur $[6,85;+\infty[$.
   $\quad$
   c.
   $\begin{align*} f(x)=0&\ssi 0,06\left(-x^2+13,7x\right)=0 \\
   &\ssi -x^2+13,7x=0 \\
   &\ssi x(-x+13,7)=0 \\
   &\ssi x=0 \text{ ou } -x+13,7=0\\
   &\ssi x=0 \text{ ou } x=13,7\end{align*}$
   Les solutions de l’équation $f(x)=0$ sont donc $0$ et $13,7$.
   $\quad$
2. a. $\lim\limits_{x\to +\infty} 0,2x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{0,2x}=+\infty$
   $\lim\limits_{x\to +\infty} -0,15x+2,2=-\infty$
   Donc par produit $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$.
   $\quad$
   b. Pour tout réel $x\in [0;+\infty[$
   $\begin{align*} g'(x)&=-0,15\e^{0,2x}+(-0,15x+2,2)\times 0,2\e^{0,2x} \\
   &=(-0,15-0,03x+0,44)\e^{0,2x} \\
   &=(-0,03x+0,29)\e^{0,2x}\end{align*}$
   $\quad$
   c. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-0,03x+0,29$.
   $-0,03x+0,29=0 \ssi x=\dfrac{29}{3}$
   $-0,03x+0,29>0 \ssi -0,03x>-0,29 \ssi x<\dfrac{29}{3}$
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   où $\alpha \approx 2,98$.
   $\quad$
   d. La fonction $g$ est strictement croissante sur $\left[0;\dfrac{29}{3}\right]$ et $g(0)=0$.
   L’équation $g(x)=0$ n’admet donc pas de solution non nulle sur cet intervalle.
   $\quad$
   La fonction $f$ est dérivable donc continue et strictement décroissante sur $\left[\dfrac{29}{3};+\infty\right[$.
   De plus $g\left(\dfrac{29}{3}\right)>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $\left[\dfrac{29}{3};+\infty\right[$.
   $\quad$
   L’équation $g(x)=0$ admet donc une unique solution non nulle sur $[0;+\infty[$ dont une valeur approchée est, d’après la calculatrice, $13,72$.
   $\quad$

Partie B : trajectoires d’une balle de golf

1. a. On a $f(6,85)\approx 2,815$
   La hauteur maximale atteinte par la balle est donc environ égale à $28,15$ yards.
   $\quad$
   b. Pour tout réel $x$ strictement positif on a $f'(x)=0,06(-2x+13,7)$
   Donc $f'(0)=0,06\times 13,7=0,822$.
   $\quad$
   c. $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $0$.
   Ainsi $\tan(d)=0,822$. Donc $d\approx 39,4$°.
   L’angle de décollage de la balle est donc environ égal à $39,4$°.
   $\quad$
   d. La courbe $C_f$ est symétrique par rapport à la droite d’équation $y=6,85$. Donc les angles de décollage et d’atterrissage de la balle sont égaux.
   $\quad$
2. a. $g$ atteint son maximum pour $x=\dfrac{29}{3}$ et $\alpha \approx 2,98$.
   La hauteur maximale de balle est donc environ égale à $29,8$ yards.
   $\quad$
   b. On a $g'(0)=0,29$ donc $\tan(d)=0,29$ et $d\approx 16,2$°.
   L’angle de décollage de la balle est donc environ égal à $16,2$°.
   $\quad$
   c. On a $g'(13,7)\approx -1,87$ donc $\tan(a)\approx 1,87$ et $a\approx 62$°
   L’angle d’atterrissage de la balle est donc environ égal à $62$°.
   $\quad$

Partie C

Aucun des deux modèles ne semble estimer correctement les angles de décollage.

Le second modèle semble mieux estimer la hauteur maximale.

Le second modèle semble mieux estimer l’angle d’atterrissage.

Les deux modèle estiment correctement la distance au point de chute.

Le second modèle semble par conséquent le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel.

$\quad$

 

Exercice 1     7 points

Thème : probabilités

Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord.
Dans l’état d’Oklahoma, aux États-Unis, $70 \%$ des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose.

Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que:

• Si le coyote est malade, le test est positif dans $97 \%$ des cas.
• Si le coyote n’est pas malade, le test est négatif dans $95\%$ des cas.

Partie A

Des vétérinaires capturent un coyote d’Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l’ehrlichiose.
On considère les événements suivants :

• $M$ : « le coyote est malade » ;
• $T$ : « le test du coyote est positif ».

On note $\conj{M}$ et $\conj{T}$ respectivement les événements contraires de $M$ et $T$.

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation.
   $\quad$
2. Déterminer la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif.
   $\quad$
3. Démontrer que la probabilité de $T$ est égale à $0,694$.
   $\quad$
4. On appelle « valeur prédictive positive du test » la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif.
   Calculer la valeur prédictive positive du test. On arrondira le résultat au millième.
   $\quad$
5. a. Par analogie avec la question précédente, proposer une définition de la « valeur prédictive négative du test », et calculer cette valeur en arrondissant au millième.
   $\quad$
   b. Comparer les valeurs prédictives positive et négative du test, et interpréter.
   $\quad$

Partie B

On rappelle que la probabilité qu’un coyote capturé au hasard présente un test positif est de $0,694$.

1. Lorsqu’on capture au hasard cinq coyotes, on assimile ce choix à un tirage avec remise.
   On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard associe le nombre de coyotes dans cet échantillon ayant un test positif.
   a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Justifier et préciser ses paramètres.
   $\quad$
   b. Calculer la probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif. On arrondira le résultat au centième.
   $\quad$
   c. Un vétérinaire affirme qu’il y a plus d’une chance sur deux qu’au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif : cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
   $\quad$
2. Pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d’un coyote présentant un test positif. Combien doivent-ils capturer de coyotes pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux présente un test positif soit supérieure à $0,99$ ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Thèmes : fonctions numériques et suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Pour les questions 1 à 3 ci-dessous, on considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$.
La courbe de sa fonction dérivée $f’$ est donnée ci-dessous.
On admet que $f’$ admet un maximum en $-\dfrac{3}{2}$ et que sa courbe coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées $\left(-\dfrac{1}{2};0\right)$.

Question 1 :
a. La fonction $f$ admet un maximum en $-\dfrac{3}{2}$;
b. La fonction $f$ admet un maximum en $-\dfrac{1}{2}$;
c. La fonction $f$ admet un minimum en $-\dfrac{1}{2}$;
d. Au point d’abscisse $-1$, la courbe de la fonction $f$ admet une tangente horizontale.
$\quad$

Question 2 :
a. La fonction $f$ est convexe sur $\left]-\infty;-\dfrac{3}{2}\right[$;
b. La fonction $f$ est convexe sur $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[$;
c. La courbe $C_f$ représentant la fonction $f$ n’admet pas de point d’inflexion;
d. La fonction $f$ est concave sur $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[$.
$\quad$

Question 3 :
La dérivée seconde $f\dsec$ de la fonction $f$ vérifie :
a. $f\dsec(x)\pg 0$ pour $x\in \left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[$;
b. $f\dsec(x)\pg 0$ pour $x\in [-2;-1]$;
c. $f\dsec\left(-\dfrac{3}{2}\right)=0$;
d. $f\dsec(-3)=0$.
$\quad$

Question 4 : On considère trois suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$.
On sait que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \pp v_n \pp w_n$ et de plus : $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} w_n=3$.
On peut alors affirmer que :
a. La suite $\left(v_n\right)$ converge;
b. Si la suite $\left(u_n\right)$ est croissante alors la suite $\left(v_n\right)$ est minorée par $u_0$;
c. $1\pp v_0\pp 3$;
d. La suite $\left(v_n\right)$ diverge.
$\quad$

Question 5 :
On considère une suite $\left(u_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $u_n \pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{n}$.
On peut alors affirmer que :
a. La suite $\left(u_n\right)$ diverge;
b. La suite $\left(u_n\right)$ converge;
c. $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$;
d. $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$;
$\quad$

Question 6 :
On considère $\left(u_n\right)$ une suite réelle telle que pour tout entier naturel $n$, on a $n<u_n<n+1$.
On peut affirmer que :
a. Il existe un entier naturel $N$ tel que $u_N$ est un entier;
b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante;
c. La suite $\left(u_n\right)$ est convergente;
d. La suite $\left(u_n\right)$ n’a pas de limite.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Thème : géométrie dans l’espace

On considère un cube $ABCDEFGH$ et on appelle $K$ le milieu su segment $[BC]$.
On se place dans le repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$ et on considère le tétraèdre $EFGK$.

On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : $$V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{B}\times h$$
où $\mathscr{B}$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

1. Préciser les coordonnées des points $E$, $F$, $G$ et $K$.
   $\quad$
2. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(EGK)$.
   $\quad$
3. Démontrer que le plan $(EGK)$ admet pour équation cartésienne : $2x-2y+z-1=0$.
   $\quad$
4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan $(EGK)$ passant par $F$.
   $\quad$
5. Montrer que le projeté orthogonal $L$ de $F$ sur le plan $(EGK)$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{5}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{7}{9}\right)$.
   $\quad$
6. Justifier que la longueur $LF$ est égale à $\dfrac{2}{3}$.
   $\quad$
7. Calculer l’aire du triangle $EFG$. En déduire que le volume du tétraèdre $EFGK$ est égal à $\dfrac{1}{6}$.
   $\quad$
8. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $EGK$.
   $\quad$
9. On considère les points $P$ milieu du segment $[EG]$, $M$ milieu du segment $[EK]$ et $N$ milieu du segment $[GK]$. Déterminer le volume du tétraèdre $FPMN$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Thèmes : fonctions numériques, fonction exponentielle

Partie A : étude de deux fonctions

On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par : $$f(x)=0,06\left(-x^2+13,7x\right) \text{ et } g(x)=(-0,15x+2,2)\e^{0,2x}-2,2.$$
On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables et on note $f’$ et $g’$ leurs fonctions dérivées respectives.

1. On donne le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   a. Justifier la limite de $f$ en $+\infty$.
   $\quad$
   b. Justifier les variations de la fonction $f$.
   $\quad$
   c. Résoudre l’équation $f(x)=0$.
   $\quad$
2. a. Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
   $\quad$
   b. Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $[0;+\infty[$ on a : $g'(x)=(-0,03x+0,29)\e^{0,2x}$.
   $\quad$
   c. Étudier les variations de la fonction ? et dresser son tableau de variations sur $[0;+\infty[$.
   Préciser une valeur approchée à $10^{-2}$ près du maximum de $g$.
   $\quad$
   d. Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution non nulle et déterminer, à $10^{-2}$ près, une valeur approchée de cette solution.
   $\quad$

Partie B : trajectoires d’une balle de golf

Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club » de golf.
On souhaite exploiter les fonctions $f$ et $g$ étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d’une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat.

On admettra ici que $13,7$ est la valeur qui annule la fonction $f$ et une approximation de la valeur qui annule la fonction $g$.
On donne ci-dessous les représentations graphiques de  $f$ et $g$ sur l’intervalle $[0; 13,7]$.

Pour $x$ représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe, (avec $0\pp x\pp 13,7$), $f(x)$ (ou $g(x)$ selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards ($1$ yard correspond à environ $0,914$ mètre).

On appelle « angle de décollage » de la balle, l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la courbe ($C_f$ ou $C_g$ selon le modèle) en son point d’abscisse $0$. Une mesure de l’angle de décollage de la balle est un nombre réel $d$ tel que $\tan(d)$ est égal au coefficient directeur de cette tangente.
De même, on appelle « angle d’atterrissage » de la balle, l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la courbe ($C_f$ ou $C_g$ selon le modèle) en son point d’abscisse $13,7$. Une mesure de l’angle d’atterrissage de la balle est un nombre réel $a$ tel que $\tan(a)$ est égal à l’opposé du coefficient directeur de cette tangente.
Tous les angles sont mesurés en degré.

1. Première modélisation : on rappelle qu’ici, l’unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $f(x)$ la hauteur correspondante de la balle.
   Selon ce modèle :
   a. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
   $\quad$
   b. Vérifier que $f'(0) = 0,822$.
   $\quad$
   c. Donner une mesure en degré de l’angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
   $\quad$
   d. Quelle propriété graphique de la courbe $C_f$ permet de justifier que les angles de décollage et d’atterrissage de la balle sont égaux ?
   $\quad$
2. Seconde modélisation : on rappelle qu’ici, l’unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $g(x)$ la hauteur correspondante de la balle.
   Selon ce modèle :
   a. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
   On précise que $g'(0) = 0,29$ et $g'(13,7)\approx −1,87$.
   $\quad$
   b. Donner une mesure en degré de l’angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
   $\quad$
   c. Justifier que $62$ est une valeur approchée, arrondie à l’unité près, d’une mesure en degré de l’angle d’atterrissage de la balle.
   $\quad$

Tableau : extrait d’une feuille de calcul donnant une mesure en degré d’un angle quand on connait sa tangente :

$\quad$

Partie C : interrogation des modèles

À partir d’un grand nombre d’observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants :

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Angle de décollage en}&\text{Hauteur maximale en}&\text{Angle d’atterrissage en}&\text{Distance horizontale}\\
\text{degré}&\text{yard}&\text{degré}&\text{en yard au point de}\\
&&&\text{chute}\\
\hline
\boldsymbol{24}&\boldsymbol{32}&\boldsymbol{52}&\boldsymbol{137}\\
\hline
\end{array}$

Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel? La réponse sera justifiée.