solution-E3C2 – Spécialité maths – Vrai Faux – 2020

Vrai / Faux

E3C2 – 1ère

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse devra être justifiée.
Toute démarche de justification même non aboutie sera prise en compte.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on donne les points :
$$A(2 ; -2) , \quad B(4 ; 0) ,\quad C(0 ; −5) ,\quad D(-7 ; 1)$$
Affirmation 1 : Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
$\quad$
Affirmation 2 : Une équation de la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ est : $$y = x- 5$$
$\quad$
Affirmation 3 : Une équation du cercle de centre $A$ passant par $B$ est : $$(x-2)^2+(y+2)^2=8$$
$\quad$
Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in]0;+\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{\e^x}{x}$$ On note $f’$ sa fonction dérivée.
Affirmation 4 : $f'(1)=0$
$\quad$
On donne $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$
Affirmation 5 : $\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)<0$
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Affirmation 1 fausse

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{CD}\begin{pmatrix}-7\\6\end{pmatrix}$
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{CD}&=2\times (-7)+2\times 6\\
&=-2\\
&\neq 0\end{align*}$
Les vecteurs ne sont pas orthogonaux. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas perpendiculaires.

$\quad$

Affirmation 2 fausse

On appelle $d$ la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$
$\vect{AB}$ est un vecteur normal à droite $d$.
Une équation cartésienne de $d$ est donc de la forme $2x+2y+c=0$.
$C(0;-5)$ appartient à $d$ donc $0-10+c=0 \ssi c=10$.
Une équation cartésienne de $d$ est donc $2x+2y+10=0$ ou encore $x+y+5=0$
Par conséquent $y=-5-x$

$\quad$

Affirmation 3 vraie

$AB$ est un rayon de ce cercle. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$.
$\begin{align*} AB^2&=2^2+2^2\\
&=8\end{align*}$
Une équation du cercle de centre $A$ passant par $B$ est donc :
$(x-2)^2+\left(y-(-2)\right)^2=8$ soit $(x-2)^2+(y+2)^2=8$.

$\quad$

Affirmation 4 vraie

$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]0;+\infty[$.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x\times x-\e^x\times 1}{x^2} \\
&=\dfrac{(x-1)\e^x}{x^2}\end{align*}$
Par conséquent $f'(1)=0$

$\quad$

Affirmation 5 fausse

$\dfrac{2\pi}{5}\in ]0;\pi[$ donc $\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)>0$

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Soit $\Oij$ un repère orthonormé.
On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $A(2 ; 5)$ et de rayon $5$.

Montrer qu’une équation du cercle $\mathcal{C}$ est : $x^2+y^2-4x-10y=-4$.
$\quad$
Vérifier que le point $B(5; 9)$ appartient à ce cercle.
$\quad$
Que peut-on dire de la tangente au cercle au point $B$ et de la droite $(AB)$ ?
$\quad$
Déterminer une équation de la tangente au cercle au point $B$.
$\quad$
Calculer les coordonnées des points d’intersection du cercle $\mathcal{C}$ avec l’axe des ordonnées.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Une équation du cercle $\mathcal{C}$ est :
$\begin{align*} &(x-2)^2+(y-5)^2=5^2 \\
\ssi~&x^2-4x+4+y^2-10x+25=25\\
\ssi~&x^2-4x+y^2-10x=-4\end{align*}$
$\quad$
Si $x=5$ et $y=9$ alors
$\begin{align*} x^2-4x+y^2-10x=25-20+81-90 \\
&=-4\end{align*}$
Donc $B$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
$\quad$
$[AB]$ est un rayon du cercle $\mathcal{C}$.
Par conséquent la tangente au cercle au point $B$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$.
$\quad$
Le vecteur $\vect{AB}$ est donc normal à la tangente $(d)$ au cercle au point $B$.
$\vect{AB}\begin{pmatrix} 3\\4\end{pmatrix}$.
Une équation de $(d)$ est alors d la forme $3x+4y+c=0$
Le point $B(5;9)$ appartient à cette droite.
Par conséquent $15+36+c=0 \ssi c=-51$.
Une équation de $(d)$ est $3x+4y-51=0$.
$\quad$
Les points d’intersection du cercle $\mathcal{C}$ avec l’axe des ordonnées ont une abscisse nulle.
Ainsi leur ordonnées sont solution de l’équation $y^2-10y+4=0$.
Le discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=(-10)^2-4\times 1\times 4 \\
&=84\\
&>0\end{align*}$
Les racines sont donc :
$\begin{align*} y_1&=\dfrac{10-\sqrt{84}}{2}\\
&=5-\sqrt{21}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} y_1&=\dfrac{10+\sqrt{84}}{2}\\
&=5+\sqrt{21}\end{align*}$
Ainsi les points d’intersection du cercle $\mathcal{C}$ avec l’axe des ordonnées ont pour coordonnées $\left(0;5-\sqrt{21}\right)$ et $\left(0;5+\sqrt{21}\right)$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point

Question 1

La courbe ci-contre $C_f$ est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction $f$. Les droites $d$ et $d’$ sont respectivement les tangentes à la courbe $C_f$ aux points d’abscisses $1$ et $2$.
Les équations réduites de $d$ et $d’$ sont respectivement :
$d : y = 2x-2$ et $d’ : y = -x+ 2$.

Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $f'(1)=0$
b. $f'(2)=2$
c. $f'(2)=-1$
d. $f'(1)=-2$

$\quad$

Correction Question 1

$f'(1)$ est le coefficient directeur de la droite $d$ et $f'(2)$ est le coefficient directeur de la droite $d’$.
Ainsi $f(1)=2$ et $f'(2)=-1$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $x\in \left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]$ tel que $\sin x=\dfrac{1}{2}$.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
b. $x=\dfrac{\pi}{6}$
c. $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
d. $x=-\dfrac{7\pi}{6}$

$\quad$

Correction Question 2

$x\in \left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]$ ce qui exclut les propositions b. et d.
Cela implique également que $\cos x<0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $(O, I, J)$ un repère orthonormé du plan.
Soit $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(3 ; 4)$ et $(4 ; 0)$.

Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $\vect{OA}.\vect{OB}=20$
b. $\sin\left(\widehat{AOB}\right)=\dfrac{\sqrt{17}}{5}$
c. $\cos\left(\widehat{AOB}\right)=\dfrac{4}{5}$
d. $\sin\left(\widehat{AOB}\right)=\dfrac{4}{5}$

$\quad$

Correction Question 3

$\widehat{AOB}=\widehat{AOH}$

Dans le triangle $AOH$, rectangle en $H$ on a :
$\begin{align*} \sin \widehat{AOB}&=\dfrac{AH}{OA}\\
&=\dfrac{4}{5}\end{align*}$

Réponse D

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Soit $(O, I, J)$ un repère orthonormé du plan.
Soit $d$ une droite dont une équation cartésienne est : $3x + 2y-10 = 0$.
Une équation cartésienne de la droite $d’$ perpendiculaire à la droite $d$ et passant par le point $A$ de coordonnées $(1 ; 2)$ est :

a. $3x+2y-7=0$
b. $2x+3y-8=0$
c. $2x-3y+4=0$
d. $3x-2y+1=0$

$\quad$

Correction Question 4

Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$.
C’est donc un vecteur normal à la droite $d’$. Une équation cartésienne de la droite $d’$ est alors $-2x+3y+c=0$.
Le point $A(1;2)$ appartient à la droite $d’$.
Par conséquent $-2+6+c=0 \ssi c=-4$.
Une équation cartésienne de la droite $d’$ est alors $-2x+3y-4=0$ ou encore $2x-3y+4=0$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $(O, I, J)$ un repère orthonormé du plan.
Soit $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(1 ; 2)$ et $(5 ;-2)$.
Une équation cartésienne du cercle $C$ de diamètre $[AB]$ est :

a. $x^2+y^2-8x-2y+7=0$
b. $(x-1)^2+(y-2)^2=32$
c. $x^2+y^2-4x+2y-5=0$
d. $x^2+y^2-6x+1=0$

$\quad$

Correction Question 5

Le diamètre du cercle $C$ est :
$\begin{align*} AB&=\sqrt{(5-1)^2+(-2-2)^2}\\
&=\sqrt{16+16}\\
&=\sqrt{32}\end{align*}$

Le rayon du cercle $C$ est :
$\begin{align*} R&=\dfrac{AB}{2} \\
&=\sqrt{8}\end{align*}$

Le centre du cercle $C$ est le milieu $M$ du segment $[AB]$.
$M$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1+5}{2};\dfrac{2+(-2)}{2}\right)$ soit $(3;0)$.

Une équation cartésienne du cercle $C$ est par conséquent :
$\begin{align*} &(x-3)^2+(y-0)^2=8 \\
\ssi~& x^2-6x+9+y^2-8=0\\
\ssi~&x^2-6x+y^2+1=0\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

$\Oij$ est un repère orthonormé du plan.
On considère les points $A,B$ et $C$ de coordonnées respectives $(-2 ; 0)$, $(6 ; 0)$ et $(0 ; 6)$.
Les points $A’$, $B’$ et $C’$ milieux respectifs des segments $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$.
Le cercle $\Gamma$ passant par les points $A’$, $B’$ et $C’$ a pour centre le point $I$ de coordonnées $(1 ; 2)$.

a. Calculer le rayon de ce cercle.
$\quad$
b. En déduire qu’une équation du cercle $\Gamma$ est $(x-1)^2+(y-2)^2=5$
$\quad$
Propriété des hauteurs du triangle $ABC$
a. On admet que $O$ est le pied de la hauteur issue de $C$. Montrer que le point $O$ est sur le cercle $\Gamma$.
$\quad$
b. Soit $H_A$ le pied de la hauteur issue de $A$. Montrer que $H_A$ a pour coordonnées $(2 ; 4)$.
$\quad$
c. Justifier que la point $H_A$ est sur le cercle $\Gamma$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. Le point $A’$, milieu de $[BC]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{6+0}{2};\dfrac{0+6}{2}\right)$ soit $(3;3)$.
Ainsi le rayon du cercle de centre $I$ et passant par $A’$ est :
$\begin{align*} R&=\sqrt{(3-1)^2+(3-2)^2}\\
&=\sqrt{2^2+1^2}\\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
$\quad$
b. Une équation du cercle $\Gamma$ est donc $(x-1)^2+(y-2)^2=\sqrt{5}^2$ soit $(x-1)^2+(y-2)^2=5$.
$\quad$
a. On a :
$(0-1)^2+(0-2)^2=1+4=5$
Donc $O(0;0)$ appartient à $\Gamma$.
$\quad$
b. Montrons tout d’abord que le point $H$ de coordonnées $(2;4)$ appartient à la droite $(BC)$.
On a $\vect{BC}\begin{pmatrix} -6\\6\end{pmatrix}$ et $\vect{BH}\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}$.
Ainsi $\vect{BH}=\dfrac{2}{3}\vect{BC}$.
Ces deux vecteurs sont colinéaires et donc le point $H$ appartient à la droite $(BC)$.
$\quad$
$\vect{AH}\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}$
$\begin{align*}\vect{AH}.\vect{BC}&=-6\times 4+6\times 4\\
&=0\end{align*}$
Ainsi $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
Par conséquent $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$.
Donc $H_A$ a bien pour coordonnées $(2;4)$.
$\quad$
c. On a $(2-1)^2+(4-2)^2=1+4=5$
Donc $H_A$ est sur le cercle $\Gamma$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le centre commercial « L’autre faubourg » de Cholet a été conçu en forme circulaire de $110$ m de rayon permettant une visibilité à $360$° et une accessibilité optimale, notamment aux personnes à mobilité réduite.

Le parking, situé à l’intérieur du disque, dessert l’ensemble des $32$ magasins.

On munit le plan d’un repère orthonormé de centre $O$.

L’unité est le mètre.

Les entrées des magasins du centre commercial sont situées sur le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $110$.

Une allée centrale couverte a été construite afin de permettre aux automobilistes de rejoindre les magasins en cas d’intempéries. Elle est modélisée par la droite $(AD)$ avec $A(-30; 15)$ et $D(80; -40)$.
a. Déterminer une équation du cercle $\mathcal{C}$.
$\quad$
b. Démontrer que le point $O$ appartient à la droite $(AD)$.
$\quad$
Camille qui vient de garer sa voiture en $G(-10; -10)$ sous une pluie battante, souhaite se mettre à l’abri sous cette allée centrale, le plus rapidement possible.
a. Calculer le produit scalaire $\vect{AG}.\vect{AO}$
$\quad$
b. Le point de la droite $(AD)$ le plus proche de $G$ est-il $O$ ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. Une équation du cercle $\mathcal{C}$ est $(x-0)^2+(y-0)^2=110^2$ soit $x^2+y^2=12~100$.
$\quad$
b. $\vect{AO}\begin{pmatrix}30\\-15\end{pmatrix}$ et $\vect{AD}\begin{pmatrix}110\\-55\end{pmatrix}$
$\begin{align*}\text{det}\left(\vect{AO},\vect{AD}\right)&=30\times (-55)-(-15)\times 110 \\
&=-1~650+1~650\\
&=0\end{align*}$
Ces deux vecteurs sont donc colinéaires.
Le point $O$ appartient bien à la droite $(AD)$.
$\quad$
a. $\vect{AG}\begin{pmatrix}20\\-25\end{pmatrix}$
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AG}.\vect{AO}&=20\times 30+(-15)\times (-25)\\
&=600+375\\
&=975\end{align*}$
$\quad$
b. $\vect{OG}\begin{pmatrix} -10\\-10\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} \vect{AO}.\vect{OG}&=30\times (-10)+(-15)\times (-10)\\
&=-300+150\\
&=-150\\
&\neq 0\end{align*}$
Le point $O$ n’est donc pas le projeté orthogonal du point $G$ sur la droite $(AD)$.
Par conséquent $O$ n’est pas le point de la droite $(AD)$ le plus proche de $G$.
$\quad$
Autre solution : Si $O$ est le point le plus proche de $G$ alors $O$ est le projeté orthogonal de $G$ sur la droite $(AD)$.
On a alors $\vect{AO}.\vect{OG}=\vect{AO}.\vect{AO} = AO^2$
Or $AO^2=(-30)^2+15^2=1~125$
OR $1~125\neq 975$
Le point $O$ n’est donc pas le projeté orthogonal du point $G$ sur la droite $(AD)$.
Par conséquent $O$ n’est pas le point de la droite $(AD)$ le plus proche de $G$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(-2 ; 1)$, $B(1 ; 2)$ et $E(0 ; -5)$. On appelle $\boldsymbol{C}$ le cercle de centre $A$ passant par $B$.

Justifier qu’une équation du cercle $\boldsymbol{C}$ est $(x+2)^2+(y-1)^2=10$.
$\quad$
Calculer $\vect{AB}.\vect{AE}$.
$\quad$
Que peut-on en déduire pour les droites $(AB)$ et $(AE)$ ?
$\quad$
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AE)$.
$\quad$
Calculer les coordonnées des points d’intersection de $(AE)$ et du cercle $\boldsymbol{C}$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} AB&=\sqrt{\left(1-(-2)\right)^2+(2-1)^2}\\
&=\sqrt{3^2+1^2}\\
&=\sqrt{10}\end{align*}$
Ainsi une équation du cercle $\boldsymbol{C}$ est $\left(x-(-2)\right)^2+(y-1)^2=\sqrt{10}^2$ soit $(x+2)^2+(y-1)^2=10$.
$\quad$
On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AE}\begin{pmatrix}2\\-6\end{pmatrix}$.
Donc :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AE}&=3\times 2+1\times (-6)\\
&=0\end{align*}$
$\quad$
Les droites $(AB)$ et $(AE)$ sont donc perpendiculaires.
$\quad$
Le vecteur $\vect{AB}$ est donc normal à la droite $(AE)$.
Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc de la forme $3x+y+c=0$.
Le point $E(0;-5)$ appartient à cette droite.
Par conséquent $0-5+c=0\ssi c=5$.
Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc $3x+y+5=0$.
$\quad$
Les coordonnées des points d’intersection sont solution du système :
$\begin{align*} \begin{cases}3x+y+5=0\\(x+2)^2+(y-1)^2=10\end{cases}&\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\(x+2)^2+(-5-3x-1)^2=10\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\x^2+4x+4+(-6-3x)^2=10\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\x^2+4x+4+36+36x+9x^2-10=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\10x^2+40x+30=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\x^2+4x+3=0\end{cases}\end{align*}$
Le discriminant de l’équation du second degré $x^2+4x+3=0$ est :
$\begin{align*} \Delta&=4^2-4\times 1\times 3\\
&=4\\
&>0\end{align*}$
Les solutions de cette équation sont donc :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2}\\
&=-3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2}\\
&=-1\end{align*}$
Si $x=-3$ alors $y=-5-3x=4$
Si $x=-1$ alors $y=-5-3x=-2$
Ainsi, les points d’intersection de $(AE)$ et du cercle $\boldsymbol{C}$ sont les points de coordonnées $(-3;4)$ et $(-1;-2)$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Si $\sin x=\dfrac{1}{3}$ alors

a. $\sin(x+\pi)=-\dfrac{1}{3}$
b. $\sin(x-\pi)=\dfrac{1}{3}$
c. $\cos(x)=\dfrac{2}{3}$
d. $\sin(x+15\pi)=\dfrac{1}{3}$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a $\sin(x+\pi)=-\sin(x)$
Donc $\sin(x+\pi)=-\dfrac{1}{3}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Parmi les paraboles ci-dessous laquelle représente une fonction qui n’admet aucune racine ?

$\quad$

Correction Question 2

Seule la courbe d. ne touche ou ne traverse l’axe des abscisses.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par $f(x)=2x-\dfrac{1}{x}$.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $1$
b. $3$
c. $-1$
d. $0$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$, on a $f'(x)=2+\dfrac{1}{x^2}$.
Par conséquent $f'(1)=3$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2-2x+y^2+6y+2=0$ est :

a. une parabole
b. le cercle de centre $\Omega$ de coordonnées $(-1; 3)$ et de
rayon $8$.
c. le cercle de centre $\Omega$ de coordonnées $(1; -3)$ et
de rayon $2\sqrt{2}$.
d. une droite

$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} &x^2-2x+y^2+6y+2=0 \\
\ssi~& x^2-2x+1-1+y^2+6y+9-9+2=0\\
\ssi~& (x-1)^2+(y+3)^2=8\\
\ssi~& (x-1)^2+\left(y-(-3)\right)^2=\left(2\sqrt{2}\right)^2\end{align*}$

Il s’agit du cercle de centre $\Omega$ de coordonnées $(1; -3)$ et
de rayon $2\sqrt{2}$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ donnant le gain en euros, d’un joueur, à un jeu, est donnée par le tableau suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x_i&-10&6&10\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&~~\dfrac{1}{4}~~&~~\dfrac{3}{8}~~&~~\dfrac{3}{8}~~\\
\hline
\end{array}$$
Sur un grand nombre de parties, le gain moyen que peut espérer le joueur est :

a. $3,5$ euros
b. $4$ euros
c. $2$ euros
d. $6$ euros

$\quad$

Correction Question 5

L’espérance mathématiques de la variable aléatoire $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=-10\times \dfrac{1}{4}+6\times \dfrac{3}{8}+10\times \dfrac{3}{8}\\
&=3,5\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Question 1

L’équation $2x^2-8x+6=0$ admet deux solutions. Leur somme $S$ et leur produit $P$ sont :

a. $S=-8$ et $P=6$
b. $S=-4$ et $P=3$
c. $S=4$ et $P=3$
d. $S=3$ et $P=-4$

$\quad$

Correction Question 1

$2x^2-8x+6=0 \ssi x^2-4x+3=0$
Donc $P=3$ et $S=4$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

$\alpha$ est un nombre réel tel que $\sin(\alpha)=0,5$. On a alors :

a. $\sin(\pi-\alpha)=0,5$
b. $\sin(\pi-\alpha)=-0,5$
c. $\sin(\pi-\alpha)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
d. $\sin(\pi-\alpha)=\dfrac{\pi}{6}$

$\quad$

Correction Question 2

Pour tout réel $x$ on a $\sin(\pi-x)=\sin(x)$
Donc $\sin(\pi-\alpha)=0,5$.

Réponse a

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé du plan, on considère le cercle d’équation : $$(x-3)^2+(y+0,5)^2=\dfrac{25}{4}$$
On peut affirmer que :

a. ce cercle a un rayon de $6,25$.
b. ce cercle passe par le point $R(5 ; -2)$.
c. le centre de ce cercle a pour coordonnées $(-3 ; 0,5)$
d. aucune des réponses a., b. ou c. n’est correcte.

$\quad$

Correction Question 3

Le rayon du cercle est $R=\sqrt{\dfrac{25}{4}}=2,5$.
$(5-3)^2+(-2+0,5)^2=6,25$ donc $(5-3)^2+(-2+0,5)^2=\dfrac{25}{4}$

Réponse B

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé du plan, une équation cartésienne de la droite passant par le point $A(2 ; -4)$ et de vecteur normal $\vec{n}(5 ; 6)$ est :

a. $6x-5y-32=0$
b. $6x+5y+8=0$
c. $5x+6y+14=0$
d. $5x+6y-14=0$

$\quad$

Correction Question 4

Une équation de cette droite est de la forme $5x+6y+c=0$.
$A(2;-4)$ appartient à cette droite.
Donc $10-24+c=0\ssi c=14$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(2x+3)\e^x$.
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$. On a alors :

a. $f'(x)=2\e^x$
b. $f'(x)=(2x+3)\e^x$
c. $f'(x)=(2x+1)\e^x$
d. $f'(x)=(2x+5)\e^x$

$\quad$

Correction Question 5

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2\e^x+(2x+3)\e^x \\
&=(2+2x+3)\e^x\\
&=(2x+5)\e^x\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée, mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Question 1

Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $A(2 ;-1)$ et de rayon $4$ a comme équation :

a. $(x+2)^2+(y-1)^2=16$
b. $(x-2)^2+(y+1)^2=4$
c. $(x-2)^2+(y+1)^2=16$
d. $(x+2)^2+(y-1)^2=4$

$\quad$

Correction Question 1

Une équation cartésienne du cercle est :
$(x-2)^2+\left(y-(-1)\right)^2=4^2$ soit $(x-2)^2+(y+1)^2=16$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit la droite $(d)$ d’équation cartésienne $2x-y+1=0$.
Sachant que la droite $\left(d_1\right)$ est perpendiculaire à la droite $(d)$, une équation de $\left(d_1\right)$ peut être :

a. $x-2y+2=0$
b. $x+2y-1=0$
c. $-2x+y-1=0$
d. $x-y+2=0$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$.
La droite $\left(d_1\right)$ est perpendiculaire à la droite $(d)$ donc $\vec{u}$ est normal à la droite $(d)$.
Ainsi une équation cartésienne de $\left(d_1\right)$ est de la forme $x+2y+c=0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

L’expression de $\sin(\pi-x)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ est égale à :

a. $-2\sin(x)$
b. $0$
c. $2\sin(x)$
d. $\cos(x)-\sin(x)$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \sin(\pi-x)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)&=\sin(x)-\sin(x)\\
&=0\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 4

On considère la fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-3x^2+x-5$.
Le tableau de variations de cette fonction est :

$\quad$

Correction Question 4

Le coefficient principal de cette fonction du second degré est $a=-3<0$. Cette fonction est donc d’abord croissante puis décroissante.
L’abscisse de son sommet est :
$\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a}\\
&=-\dfrac{1}{-6}\\
&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

À un jeu, la variable aléatoire donnant le gain algébrique $G$ suit la loi de probabilité suivante (en euros) :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeur de $\boldsymbol{G}$}&-25&-3&x&100\\
\hline
\text{Probabilité}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{6}&0,3&0,2\\
\hline
\end{array}$$
Sachant que l’espérance de $G$ est égale à $\dfrac{38}{3}$, la valeur de $x$ est :

a. $0$
b. $5$
c. $20$
d. $25$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} &E(G)=\dfrac{38}{3}\\
\ssi~&-25\times \dfrac{1}{3}-3\times \dfrac{1}{6}+0,3x+100\times 0,2=\dfrac{38}{3} \\
\ssi~&-\dfrac{25}{3}-\dfrac{1}{2}+0,3x+20=\dfrac{38}{3} \\
\ssi~& 0,3x=1,5\\
\ssi~& x=5\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des affirmations proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la droite $d$ dont une équation cartésienne dans un repère orthonormé est $2x-3y+4=0$.

a. Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-6\\4\end{pmatrix}$
b. Un vecteur normal de $d$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}-12\\18\end{pmatrix}$
c. Le point $C(-5;2)$ appartient à la droite $d$.
d. La droite $d$ coupe la droite d’équation $-x+3y-2=0$ au point $F(1;2)$.

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$. Ainsi $-2\vec{v}\begin{pmatrix}-6\\-4\end{pmatrix}$ est également un vecteur directeur de $d$. On exclut donc la réponde a.

Un vecteur normal de $d$ est $\vec{m}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$.
Ainsi $-6\vec{m}=\vec{n}$ est également un vecteur normal de $d$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé le cercle $\mathcal{C}$ a pour équation $x^2-2x+y^2+y=3$ et la droite $D$ pour équation $y = 1$.

a. $\mathcal{C}$ et $D$ n’ont aucun point d’intersection.
b. $\mathcal{C}$ et $D$ ont un seul point d’intersection.
c. $\mathcal{C}$ et $D$ ont deux points d’intersection.
d. On ne peut pas savoir combien $\mathcal{C}$ et $D$ ont de points d’intersection.

$\quad$

Correction Question 2

On veut résoudre le système suivant :
$\begin{align*} \begin{cases} x^2-2x+y^2+y=3\\y=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} x^2-2x+1+1=3\\y=1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x^2-2x-1=0\\y=1\end{cases} \end{align*}$
Le discriminant de $x^2-2x-1=0$ est :
$\begin{align*} \Delta&=(-2)^2-4\times 1\times (-1) \\
&=8\\
&>0\end{align*}$
L’équation possède donc deux solutions réelles et le système précédent également

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

La fonction $f$ est la fonction définie sur l’ensemble des réels par $f(x)=\cos(2x)$.

a. $f$ est paire.
b. $f$ est impaire.
c. $f$ n’est ni paire ni impaire.
d. $f$ a pour période $\dfrac{\pi}{2}$.

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(-x)&=\cos(-2x)\\
&=\cos(2x)\\
&=f(x)\end{align*}$
La fonction $f$ est donc paire.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)$.
On définit en langage Python une fonction « Suite » pour calculer $u_n$ connaissant $n$.

$\begin{array}{|l|l|l|l|}
\hline
\textbf{a.}& \begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{0}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*(u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u)}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\end{array}
&
\textbf{b.}&\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*(u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u)}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\end{array}\\\hline
\textbf{c.}&\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\end{array}&
\textbf{d.}&\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*(u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u)}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\end{array}\\\hline\end{array}$

$\quad$

Correction Question 4

Le premier terme est $u_0=1$ : on exclut la réponse a.
La fonction doit renvoyer la valeur de $u_n$ : on exclut la réponse b.
Il manque les parenthèses pour le calcul de $\text{u}$ dans la réponse c.

Réponse d

$\quad$

Remarque : Dès le premier tour de boucle, le programme a provoque une erreur puisqu’on tente de diviser par $0$ !

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

L’équation $\e^x=1$:

a. n’a pas de solution.
b. a pour solution le nombre $1$.
c. a pour solution le nombre $0$.
d. a pour solution le nombre $\e$.

$\quad$

Correction Question 5

On a $e^0=1$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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