E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM) comportant 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre
correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vec{u}(-2;4)$ et $\vec{v}(3;-6)$.
Le produit scalaire $\vec{u}.\vec{v}$ est égal à :

a. $18$
b. $-30$
c. $0$
d. $24$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=-2\times 3+4\times (-6)\\
&=-30\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On considère le triangle $ABC$ tel que $AB=5$, $AC==7$ et $\widehat{BAC}=60$°.
Quelle est la longueur du côté $[BC]$ ?

a. $BC=\sqrt{109}$
b. $BC=\sqrt{74}$
c. $BC=-35\sqrt{3}+74$
d. $BC=\sqrt{39}$

$\quad$

Correction Question 2

On a d’une part :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=35\cos 60\\
&=17,5\end{align*}$
D’autre part
$\begin{align*} &\vect{AB}.\vect{AC}=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)\\
\ssi~& 17,5=\dfrac{1}{2}\left(25+49-BC^2\right)\\
\ssi~& 35=74-BC^2 \\
\ssi~& BC^2=39\end{align*}$
Par conséquent $BC=\sqrt{39}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère le cercle $C$ de centre $A(2; 3)$ et de rayon $R = 4$.
Parmi les équations suivantes, laquelle est une équation du cercle $C$ ?

a. $x^2+4x+y^2+6y+9=0$
b. $x^2+4x+y^2+6y-3=0$
c. $x^2-4x+y^2-6y-3=0$
d. $x^2-4x+y^2-6y+9=0$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation du cercle $C$ est
$\begin{align*} &(x-2)^2+(y-3)^2=4^2\\
\ssi~&x^2-4x+4+y^2-6y+9=16\\
\ssi~&x^2-4x+y^2-6y-3=0\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Le réel $\dfrac{-23\pi}{3}$ a le même point image sur le cercle trigonométrique que le réel :

a. $\dfrac{-\pi}{3}$
b. $\dfrac{\pi}{3}$
c. $\dfrac{-2\pi}{3}$
d. $\dfrac{2\pi}{3}$

$\quad$

Correction Question 4

On calcule les différences entre $\dfrac{-23\pi}{3}$ et les réponses proposées. Les deux réels ont le même point image si cette différence est un multiple de $2\pi$.

$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{-\pi}{3}=\dfrac{-22\pi}{3}$
$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}=-8\pi=-4\times 2\pi \checkmark$
$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{-2\pi}{3}=\dfrac{-21\pi}{3}$
$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{-25\pi}{3}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère l’algorithme suivant écrit en langage Python :
$$\begin{array}{ll}
1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textbf{liste}\text{(N):}\\
2&\hspace{1cm}\text{U=}\textcolor{brown}{1}\\
3&\hspace{1cm}\text{L=[U]}\\
4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{purple}{\text{range}}\text{(}\textcolor{brown}{1}\text{,N):}\\
5&\hspace{2cm}\text{U=}\textcolor{brown}{2}\text{*U+}\textcolor{brown}{3}\\
6&\hspace{2cm}\text{L.append(U)}\\
7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(L)}\end{array}$$
Que contient la variable $\text{L}$ à la fin de l’exécution dans le cas où on choisit $\text{N=4}$?

a. $\text{[1,5,13,29,61]}$
b. $\text{[1,5,13,29]}$
c. $\text{61}$
d. $\text{9}$

$\quad$

Correction Question 5

La fonction Python renvoie une liste de longueur contenant $4$ éléments.

Réponse b

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

$\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ pour :

a. $x=\dfrac{5\pi}{6}$
b. $x=\dfrac{4\pi}{3}$
c. $x=-\dfrac{\pi}{3}$
d. $x=-\dfrac{\pi}{6}$

$\quad$

Correction Question 1

On a $\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans le plan muni d’un repère, on considère la droite $(AB)$ passant par les points $A(-2; 7)$ et $B(4; -5)$. Un vecteur directeur de la
droite $(AB)$ est :

a. $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$
b. $\vec{u}\begin{pmatrix}-12\\6\end{pmatrix}$
c. $\vec{u}\begin{pmatrix}6\\-12\end{pmatrix}$
d. $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-12\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est $\vect{AB}\begin{pmatrix}4-(-2)\\-5-7\end{pmatrix}$ soit $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-12\end{pmatrix}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans le plan muni d’un repère, la droite d’équation $y=-2x + 5$ a pour vecteur directeur :

a. $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$
b. $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$
c. $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$
d. $\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 3

Le coefficient directeur de cette droite est égal à $-2$. Un vecteur directeur de cette droite est donc $\vec{v}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$.
Le vecteur $\vec{u}=-\vec{v}$ est également un vecteur directeur de cette droite.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans le plan muni d’un repère, la représentation graphique d’une parabole $P$ est donnée ci-dessous.

La forme canonique de son équation est :

a. $y=(x+2)^2+5$
b. $y=(x-5)^2+1$
c. $y=(x-1)^2+2$
d. $y=(x-2)^2+1$

$\quad$

Correction Question 4

Le sommet de la parabole a pour coordonnées $(2;1)$.
La forme canonique de son équation est donc $y=(x-2)^2+1$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit le cercle d’équation cartésienne $(x+2)^2+(y-3)^2=9$ dans le
plan muni d’un repère orthonormé :

a. le cercle a pour centre $C(-2;3)$
b. le cercle a pour centre $C(3;-2)$
c. le cercle a pour rayon $R=9^2$
d. le cercle a pour centre $C(2;-3)$

$\quad$

Correction Question 5

une équation cartésienne du cercle est $\left(x-(-2)\right)^2+(y-3)^2=3^2$.
Le centre de ce cercle est donc $C(-2;3)$ et son rayon $3$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Dans un repère orthonormé, on a : $\vect{AB}\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}$ et $\vect{CB}\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}$. Le produit scalaire $\vect{AB}.\vect{CB}$ vaut :

a. $-23$
b. $-17$
c. $19$
d. $23$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{CB}&=-4\times (-1)+3\times 5\\
&=19\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé, on a $\vect{CB}\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}$. Alors la longueur $CB$ est égale à :

a. $24$
b. $\sqrt{24}$
c. $26$
d. $\sqrt{26}$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} CB&=\sqrt{(-1)^2+5^2}\\
&=\sqrt{26}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $3$.

$I$ et $H$ sont les milieux respectifs de $[CB]$ et de $[AB]$.
$D$ est le projeté orthogonal de $I$ sur $(CH)$.

On a :

a. $\vect{HB}.\vect{HC}=0$
b. $\vect{AH}.\vect{DI}=0$
c. $\vect{AH}.\vect{AI}=0$
d. $\vect{BH}.\vect{DI}=0$

$\quad$

Correction Question 3

$ABC$ est un triangle équilatéral. La médiane $(HC)$ est donc également la hauteur issue de $C$.
Par conséquent $\vect{HB}$ et $\vect{HC}$ sont orthogonaux.
Donc $\vect{HB}.\vect{HC}=0$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit un réel $x$ tel que $\cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. On a :

a. $\cos(-x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
b. $\sin(-x)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}$
c. $\sin(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
d. $\cos(-x)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a $\cos(-x)=\cos(x)$
Ainsi $\cos(-x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
On considère l’équation de cercle $x^2-2x+(y+3)^2=3$. Son centre a pour coordonnées :

a. $(-1;-3)$
b. $(1;-3)$
c. $(-2;3)$
d. $(-2;-3)$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} &x^2-2x+(y+3)^2=3 \\
\ssi~&x^2-2x+1-1+\left(y-(-3)\right)^2=3\\
\ssi~&(x-1)^2+\left(y-(-3)\right)^2=4\end{align*}$
Le centre du cercle a pour coordonnées $(1;-3)$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, $\sin(7\pi-x)$ est égal à :

a. $\sin x$
b. $-\sin x$
c. $\cos x$
d. $-\cos x$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \sin(7\pi-x)&=\sin(2\times 3\pi+\pi-x)\\
&=\sin(\pi-x)\\
&=\sin(x)\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans laquelle des quatre situations proposées ci-dessous le produit scalaire $\vect{AB}.\vect{AC}$ es-til égal à $6$ ?

a. $ABC$ est un triangle tel que : $AB= 6$, $AC = 4$ et $BC = 8$.
b. Dans un repère orthonormé du plan : $A(-3;5)$, $B(2; -2)$ et $C(1; 7)$.
c. $ABC$ est un triangle rectangle en $B$ tel que : $AB=3$ et $BC= 2$ .
d. $ABC$ est un triangle tel que : $AB = 6$, $AC=4$ et $\widehat{BAC}=30$°.

$\quad$

Correction Question 2

Si $A(-3;5)$, $B(2; -2)$ et $C(1; 7)$ alors $\vect{AB}\begin{pmatrix}-5\\-7\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}-4\\2\end{pmatrix}$
Ainsi
$\begin{align*}\vect{AB}.\vect{AC}&=-5\times (-4)+(-7)\times 2\\
&=6\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{3x+4}{x^2+1}$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, $f'(x)$ est égal à :

a. $\dfrac{3}{2x}$
b. $\dfrac{9x^2+8x+3}{\left(x^2+1\right)^2}$
c. $\dfrac{-3x^2-8x+3}{\left(x^2+1\right)^2}$
d. $9x^2+8x+3$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{3\left(x^2+1\right)-(3x+4)\times 2x}{\left(x^2+1\right)^2} \\
&=\dfrac{3x^2+3-6x^2-8x}{\left(x^2+1\right)^2}\\
&=\dfrac{-3x^2-8x+3}{\left(x^2+1\right)^2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
L’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2+y^2-10x+6y+30=0$ est :

a. une droite
b. une parabole
c. un cercle
d. ni une droite, ni une parabole, ni un cercle.

$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*}&x^2+y^2-10x+6y+30=0 \\
\ssi~&x^2-2\times 5x+5^2-5^2+y^2+2\times 3y+3^2-3^2+30=0\\
\ssi~&(x-5)^2+(y+3)^2=4\end{align*}$
Il s’agit donc d’un cercle de centre $A(5;-3)$ et de rayon $2$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La somme $1+5+5^2+5^3+\ldots+5^{30}$ est égale à :

a. $\dfrac{1-5^{30}}{4}$
b. $\dfrac{5^{30}-1}{4}$
c. $\dfrac{1-5^{31}}{4}$
d. $\dfrac{5^{31}-1}{4}$

$\quad$

Correction Question 5

On a :
$\begin{align*} S&=1+5+5^2+5^3+\ldots+5^{30} \\
&=\dfrac{1-5^{31}}{1-5} \\
&=\dfrac{5^{31}-1}{4}\end{align*}$

Réponde d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

L’inéquation $-3(x-2)(x + 1) > 0$ admet pour ensemble des solutions :

a. $[-1;2]$
b. $]-\infty;-1[\cup[2;+\infty[$
c. $]-1;2[$
d. $]-\infty;-1[\cup]2;+\infty[$

$\quad$

Correction Question 1

On a $-3(x-2)(x+1)=-3x^2+3x+6$
Les racines de ce polynôme du second degré sont $2$ et $-1$ et le coefficient principal est $a=-3<0$.
Ainsi l’inéquation $-3(x-2)(x + 1) > 0$ admet pour ensemble des solutions est $]-1;2[$.

Réponse c

$\quad$

Remarque : On pouvait également chercher à exclure les propositions fausses :

  • $a<0$ : on exclut donc les réponses b et d
  • l’inéquation est stricte : on exclut la réponse a

il ne reste plus que la réponse c.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Soit $x$ un nombre réel. Le réel $\cos(x+ 3\pi)$ est égal à :

a. $\cos(x)$
b. $-\cos(x)$
c. $\sin(x)$
d. $-\sin(x)$

$\quad$

Correction Question 2

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \cos(x+3\pi) &=\cos(x+2\pi+\pi)\\
&=\cos(x+\pi)\\
&=-\cos(x)\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé, on considère la droite 𝑑 passant par le point $A(1; 2)$ et dont un vecteur normal est le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$. Une équation de la droite $d$ est :

a. $2x+3y-8=0$
b. $x+2y+4=0$
c. $2x-3y-4=0$
d. $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation de la droite $d$ est de la forme $2x-3y+c=0$.
Le point $A(1;2)$ appartient à la drite $d$.
Donc $2-6+c=0\ssi c=4$
Ainsi une équation de la droite $d$ est $2x-3y+4=0$, soit $3y=2x+4$ ou encore $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$.
On note $C$ sa courbe représentative sur $[0; +\infty[$.
Le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $\dfrac{1}{2}\phantom{\dfrac{1}{2_2}}$
b. $\dfrac{3}{4}\phantom{\dfrac{1^1}{2_2}}$
c. $\dfrac{3}{2}\phantom{\dfrac{1^1}{2_2}}$
d. $2$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;+\infty[$.
Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x\times (x+1)-x^2\times 1}{(x+1)^2} \\
&=\dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}\\
&=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}\end{align*}$
Ainsi $f'(1)=\dfrac{3}{4}$
Le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d’abscisse $1$ est $\dfrac{3}{4}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

L’ensemble des points $M(x; y)$ dont les coordonnées vérifient l’équation $x^2-2x+y^2+4y=4$ est :

a. une droite
b. le cercle de centre $A(1;-2)$ et de rayon $3$
c. le cercle de centre $B(-1;2)$ et de rayon $9$
d. l’ensemble vide

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} &x^2-2x+y^2+4y=4 \\
\ssi~& x^2-2x+1-1+y^2+2\times 2y+4-4=4 \\
\ssi~& (x-1)^2+(y+2)^2=9\\
\ssi~& (x-1)^2+\left(y-(-2)\right)^2=3^2\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

Question 1

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $D$ d’équation cartésienne $4x+5y-7=0$.
Un vecteur normal à $D$ a pour coordonnées :

a. $(5 ; 4)$
b. $(-5 ; 4)$
c. $(4 ; 5)$
d. $(4 ; -5)$

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur normal à la droite $D$ d’équation $4x+5y-7=0$ est $\vec{u}(4;5)$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, l’ensemble $E$ des points $M$ de coordonnées $(x;y)$ vérifiant : $x^2-2x+y^2=3$ est un cercle :

a. de centre $A(1 ; 0)$ et de rayon $2$.
b. de centre $A(1 ; 0)$ et de rayon $4$.
c. de centre $A(-1 ; 0)$ et de rayon $2$.
d. de centre $A(-1 ; 0)$ et de rayon $4$.

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} x^2-2x+y^2=3&\ssi x^2-2x+1-1+y^2=3 \\
&\ssi (x-1)^2+(y-0)^2=4 \\
&\ssi (x-1)^2+(y-0)^2=2^2 \end{align*}$
Il s’agit donc du cercle de centre $A(1;0)$ et de rayon $2$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

La somme $15 + 16 + 17 + \ldots + 243$ est égale à :

a. $29~403$
b. $29~412$
c. $29~541$
d. $29~646$

$\quad$

Correction Question 3

On note $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0=15$ et de raison $1$.
On a ainsi $u_n=15+n$ pour tout entier naturel $n$.
$15+n=243 \ssi n=228$
Ainsi :
$\begin{align*} S&=15 + 16 + 17 + \ldots + 243\\
&=15+(15+1)+(15+2)+\ldots+(15+228)\\
&=15\times 229+(1+2+\ldots+228)\\
&=3~435+\dfrac{228\times 229}{2}\\
&=29~541\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ dérivable définie sur $\R$ par $f(x)=(x+1)\e^x$.
La fonction dérivée $f’$ de $f$ est définie sur $\R$ par :

a. $f'(x)=(x+2)\e^x$
b. $f'(x)=(x+1)\e^x$
c. $f'(x)=x\e^x$
d. $f'(x)=\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^x+(x+1)\times \e^x\\
&=(1+x+1)\e^x\\
&=(x+2)\e^x\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

En utilisant l’arbre de probabilité pondéré ci-dessous, on obtient :

a. $P(B)=\dfrac{1}{4}$
b. $P(B)=\dfrac{2}{5}$
c. $P(B)=\dfrac{13}{20}$
d. $P(B)=\dfrac{3}{10}$

$\quad$

Correction Question 5

$A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right) \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{3}{10}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

Question 1

Soit la fonction $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=\left(x^2+x+1\right)(x-1)$.
L’équation $P(x)=0$ :

a. n’a pas de solution sur $\R$
b. a une unique solution sur $\R$
c. a exactement deux solutions sur $\R$
d. a exactement trois solutions sur $\R$

$\quad$

Correction Question 1

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $P(x)=0 \ssi x^2+x+1=0$ ou $x-1=0$

$x-1=0 \ssi x=1$
Le discriminant de $x^2+x+1$ est :
$\begin{align*}
\Delta&=1^2-4\times 1\times 1\\
&=-3\\
&<0\end{align*}$
Ce polynôme ne possède donc pas de racine.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $f$ la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(7x-23)\left(\e^x+1\right)$.
L’équation $f(x)=0$ :

a. admet $x=1$ comme solution
b. admet deux solutions sur $\R$
c. admet $x=\dfrac{23}{7}$ comme solution
d. admet $x=0$ comme solution

$\quad$

Correction Question 2

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.

Donc $f(x)=0 \ssi 7x-23=0$ ou $\e^x+1=0$
$7x-23=0 \ssi 7x=23\ssi x=\dfrac{23}{7}$
La fonction exponentielle est strictement positive donc $\e^x+1>1$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, le cercle de centre $A(-4;2)$ et de rayon $r=\sqrt{2}$ a pour équation :

a. $(x+4)^2+(y-2)^2=\sqrt{2}$
b. $(x-4)^2+(y-2)^2=4$
c. $(x+4)^2+(y-2)^2=2$
d. $(x-4)^2+(y+2)^2=2$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation de ce cercle est $\left(x-(-4)\right)^2+(y-2)^2=\sqrt{2}^2$ soit $(x+4)^2+(y-2)^2=2$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vec{u}(m+1;-1)$ et $\vec{v}(m ; 2)$ où $m$ est un réel.
Une valeur de $m$ pour laquelle les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux est :

a. $m=-\dfrac{2}{3}$
b. $m=-2$
c. $m=2$
d. $m=-1$

$\quad$

Correction Question 4

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
$\ssi \vec{u}.\vec{v}=0$
$\ssi (m+1)m-2=0$
$\ssi m^2+m-2=0$

Le discriminant du polynôme du second degré $x^2+x-2$ est :
$\begin{align*} \Delta&=1^2-4\times 1\times (-2)\\
&=9\\
&>0\end{align*}$

Les racines de ce polynômes sont donc :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{2}\\
&=-2\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{2}\\
&=1\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, une équation cartésienne de la droite $D$ passant par le point $A(-2 ; 5)$ et admettant pour vecteur normal $\vec{v}(-1 ; 3)$ est :

a. $-x+3y+7=0$
b. $x-3y+17=0$
c. $-3x-y-1=0$
d. $-x-3y+13=0$

$\quad$

Correction Question 5

Une équation cartésienne de la droite $D$ est de la forme $-x+3y+c=0$.
Le point $A(-2;5)$ appartient à $D$ donc $2+15+c=0 \ssi c=-17$
Une équation cartésienne de $D$ est donc $-x+3y-17=0$.
En multipliant les deux membres de cette équation par $-1$ on obtient $x-3y+17=0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

L’inéquation $2x^2-9x+4\pg 0$ a pour ensemble de solutions :

a. $S=\left[\dfrac{1}{2};4\right]$
b. $S=\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\cup[4;+\infty[$
c. $S=\emptyset$
d. $S=]-\infty;-4]\cup\left[-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$

$\quad$

Correction Question 1

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=(-9)^2-4\times 2\times 4 \\
&=49\\
&>0\end{align*}$
Le polynôme possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{9-\sqrt{49}}{4}\\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{9+\sqrt{49}}{4}\\
&=4\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=2>0$.
L’inéquation $2x^2-9x+4\pg 0$ a pour ensemble de solutions $S=\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\cup[4;+\infty[$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère la fonction $g$ définie sur l’ensemble des réels $\R$ par $$g(x)=-x^2+4x$$
alors

a. le minimum de la fonction $g$ sur $\R$ est $4$
b. le maximum de la fonction $g$ sur $\R$ est $4$
c. le maximum de la fonction $g$ sur $\R$ est $2$
d. $g$ est décroissante sur l’intervalle $[4 ; +\infty[$

$\quad$

Correction Question 2

Deux réponses sont, a priori, acceptable.

$g$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=-1<0$.
Elle admet donc un maximum dont l’abscisse est $-\dfrac{b}{2a}=2$.
Ce maximum vaut $f(2)=4$

Réponse b

La fonction est donc croissante sur l’intervalle $]- \infty;2]$ et décroissante sur l’intervalle $[2;+\infty[$.
Ainsi, $g$ est également décroissante sur l’intervalle $[4;+\infty[$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. La droite passant par le point $A(0 ; -7)$ et de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$ a pour équation

a. $2x-5y-35=0$
b. $2x-5y+35=0$
c. $-5x-2y+14=0$
d. $5x+2y+14=0$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation de la droite est de la forme $2x-5y+c=0$.
Le point $A(0;-7)$ appartient à la droite. Donc $0-5\times (-7)+c=0\ssi c=-35$.
Une équation de la droite est $2x-5y-35=0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. L’ensemble des points $M$ de coordonnées $(x;y)$ telles que $x^2-4x+y^2+6y=12$ est :

a. le point de coordonnées $(5; 1)$
b. le cercle de centre $A(2; -3)$ et de rayon $\sqrt{12}$
c. le cercle de centre $A(2; -3)$ et de rayon $5$
d. le cercle de centre $B(-2; 3)$ et de rayon $5$

$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} &x^2-4x+y^2+6y=12 \\
\ssi~&x^2-2\times 2x+2^2-2^2+y^2+2\times 3y+3^2-3^2=12 \\
\ssi~&(x-2)^2+(y+3)^2=25 \\
\ssi~& (x-2)^2+\left(y-(-3)\right)^2=5^2\end{align*}$

L’ensemble cherché est donc le cercle de centre $A(2; -3)$ et de rayon $5$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
On considère la droite d d’équation $2x+3y-1=0$.

a. La droite $d$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$, où $A(-2;3)$ et $B(2;9)$
b. Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à la droite $d$.
c. La droite perpendiculaire à $d$ passant par le point $(-1; 2)$ admet pour équation $3x-2y+1=0$.
d. La droite parallèle à $d$ passant par le point $(2 ; 3)$ admet pour équation $2x+3y+13=0$.

$\quad$

Correction Question 5

Un vecteur normal à la droite $d$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
Or $\vect{AB}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$. Donc $\vect{AB}=2\vec{n}$.
La droite $d$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$, où $A(-2;3)$ et $B(2;9)$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

L’arbre pondéré ci-dessous représente une situation où $A$, $B$, $C$ et $D$ sont des évènements d’une expérience aléatoire :

La probabilité de l’événement $D$ est égale à :

a. $0,06$
b. $0,8$
c. $0,5$
d. $0,172$

$\quad$

Correction Question

On a
$\begin{align*} P(C)&=1-(0,12+0,24)\\
&=0,64\end{align*}$
$P_A(D)=0,5$
$\begin{align*} P_B(D)&=1-0,8\\
&=0,2\end{align*}$
$\begin{align*} P_C(D)&=1-0,9\\
&=0,1\end{align*}$
$A$, $B$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(D)&=P(A\cap D)+P(B\cap D)+P(C \cap D)\\
&=0,12\times 0,5+0,24\times 0,2+0,64\times 0,1\\
&=0,172\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 2

L’ensemble des solutions réelles de l’inéquation $-2x^2+5x+3<0$ est :

a. $\left]-3;\dfrac{1}{2}\right[$
b. $]-\infty;-3[\cup\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$
c. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[\cup ]3;+\infty[$
d. $\left]-\dfrac{1}{2};3\right[$

$\quad$

Correction Question 2

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=(-5)^2-4\times (-2)\times 3 \\
&=49\\
&>0\end{align*}$
Le polynôme possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-5-\sqrt{49}}{-4}\\
&=3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-5+\sqrt{49}}{-4}\\
&=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=-2<0$.
Par conséquent l’ensemble solution de l’inéquation $-2x^2+5x+3<0$ est $\left[-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[\cup\left]3;+\infty\right[$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

On considère la droite $\mathcal{D}$ d’équation $2x-8y+1=0$
Les coordonnées d’un vecteur normal à $\mathcal{D}$ sont :

a. $\begin{pmatrix} 1\\-4\end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix} 8\\-2\end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix} -8\\2\end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix} -4\\1\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 3

Un vecteur normal à la droite $\mathcal{D}$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-8\end{pmatrix}$.
Par conséquent le vecteur $\dfrac{1}{2}\vec{n}\begin{pmatrix} 1\\-4\end{pmatrix}$ est également un vecteur normal à la droite $\mathcal{D}$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé, l’équation du cercle de centre $A(-2 ; -4)$ et de rayon $2$ est :

a. $x^2-4x+y^2-8y+16=0$
b. $x^2+4x+y^2+8y+16=0$
c. $x^2-4x+y^2-8y+18=0$
d. $x^2+4x+y^2+8y+18=0$

$\quad$

Correction Question 4

Une équation de cercle est
$\begin{align*} &\left(x-(-2)\right)^2+\left(y-(-4)\right)^2=2^2\\
\ssi~& (x+2)^2+(y+4)^2-4=0 \\
\ssi~& x^2+4x+4+y^2+8y+16-4=0\\
\ssi~& x^2+4x+y^2+8y+16=0\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
$u_0=1$ et pour tout entier naturel non nul $n$, $u_{n+1}=u_n+2n-3$.

a. $u_1=0$
b. $\left(u_n\right)$ est arithmétique
c. $u_3=-2$
d. $\left(u_n\right)$ est décroissante

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} u_1&=u_0+2\times 0-3 \\
&=1-3\\
&=-2\end{align*}$

$\begin{align*} u_2&=u_1+2\times 1-3 \\
&=-2+2-3\\
&=-3\end{align*}$

$\begin{align*} u_3&=u_2+2\times 2-3 \\
&=-3+4-3\\
&=-2\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, $\dfrac{\e^{2x}}{\e^{x+1}}$ est égale à :

a. $\e^{x-1}$
b. $\e^{3x+1}$
c. $\dfrac{2x}{x+1}$
d. $\e$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*}
\dfrac{\e^{2x}}{\e^{x+1}}&=\e^{2x-(x+1)} \\
&=\e^{x-1}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans le plan muni d’un repère, les courbes représentatives des fonctions $x\mapsto 15x^2+10x-1$ et $x\mapsto 19x^2-22x+10$ ont :

a. aucun point d’intersection
b. un seul point d’intersection
c. deux points d’intersection
d. quatre points d’intersection

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} &15x^2+10x-1-\left(19x^2-22x+10\right) \\
&=-4x^2+32x-11\end{align*}$
Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta &= 32^2-4\times (-4)\times (-11) \\
&=848\\
&>0\end{align*}$

Les deux courbes ont donc deux points d’intersection.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Le cercle de centre $A$ de coordonnées $( 3 ; – 1)$ et de rayon $5$ a pour équation cartésienne :

a. $(x+3)^2+(y-1)^2=25$
b. $(x-3)^2+(y+1)^2=5$
c. $(x+3)^2+(y-1)^2=5$
d. $(x-3)^2+(y+1)^2=25$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation du cercle est $(x-3)^2+\left(y-(-1)\right)^2=5^2$ soit $(x-3)^2+(y+1)^2=25$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé, la droite $d$ d’équation cartésienne $3x+2y+4=0$ admet un vecteur normal de coordonnées :

a. $\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 4

Un vecteur normal à la droite d’équation $ax+by+c=0$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
Ici un vecteur normal à la droite d’équation $3x+2y+4=0$ est donc $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Le plus petit entier naturel $n$ tel que la somme $1 + 2 + 3 + 4 +\ldots + n$ soit supérieure à $5~000$ est égal à :

a. $1~000$
b. $500$
c. $200$
d. $100$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
Si $n=100$ alors $\dfrac{n(n+1)}{2}=5~050$

$100$ est le plus petit nombre proposé ici.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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