solution-E3C2 – Spécialité maths – Vrai Faux – 2020

Vrai / Faux

E3C2 – 1ère

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse devra être justifiée.
Toute démarche de justification même non aboutie sera prise en compte.

  1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on donne les points :
    $$𝐴(2 ; -2) , \quad B(4 ; 0) ,\quad C(0 ; −5) ,\quad D(-7 ; 1)$$
    Affirmation 1 : Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
    Affirmation 2 : Une équation de la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ est : $$y = x- 5$$
    $\quad$
    Affirmation 3 : Une équation du cercle de centre $A$ passant par $B$ est : $$(x-2)^2+(y+2)^2=8$$
    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in]0;+\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{\e^x}{x}$$ On note $f’$ sa fonction dérivée.
    Affirmation 4 : $f'(1)=0$
    $\quad$
  3. On donne $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$
    Affirmation 5 : $\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)<0$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Affirmation 1 fausse

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{CD}\begin{pmatrix}-7\\6\end{pmatrix}$
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{CD}&=2\times (-7)+2\times 6\\
&=-2\\
&\neq 0\end{align*}$
Les vecteurs ne sont pas orthogonaux. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas perpendiculaires.

$\quad$

Affirmation 2 fausse

On appelle $d$ la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$
$\vect{AB}$ est un vecteur normal à droite $d$.
Une équation cartésienne de $d$ est donc de la forme $2x+2y+c=0$.
$C(0;-5)$ appartient à $d$ donc $0-10+c=0 \ssi c=10$.
Une équation cartésienne de $d$ est donc $2x+2y+10=0$ ou encore $x+y+5=0$
Par conséquent $y=-5-x$

$\quad$

Affirmation 3 vraie

$AB$ est un rayon de ce cercle. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$.
$\begin{align*} AB^2&=2^2+2^2\\
&=8\end{align*}$
Une équation du cercle de centre $A$ passant par $B$ est donc :
$(x-2)^2+\left(y-(-2)\right)^2=8$ soit $(x-2)^2+(y+2)^2=8$.

$\quad$

Affirmation 4 vraie

$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]0;+\infty[$.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x\times x-\e^x\times 1}{x^2} \\
&=\dfrac{(x-1)\e^x}{x^2}\end{align*}$
Par conséquent $f'(1)=0$

$\quad$

Affirmation 5 fausse

$\dfrac{2\pi}{5}\in ]0;\pi[$ donc $\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)>0$

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Soit $\Oij$ un repère orthonormé.
On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $A(2 ; 5)$ et de rayon $5$.

  1. Montrer qu’une équation du cercle $\mathcal{C}$ est : $x^2+y^2-4x-10y=-4$.
    $\quad$
  2. Vérifier que le point $B(5; 9)$ appartient à ce cercle.
    $\quad$
  3. Que peut-on dire de la tangente au cercle au point $B$ et de la droite $(AB)$ ?
    $\quad$
  4. Déterminer une équation de la tangente au cercle au point $B$.
    $\quad$
  5. Calculer les coordonnées des points d’intersection du cercle $\mathcal{C}$ avec l’axe des ordonnées.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Une équation du cercle $\mathcal{C}$ est :
    $\begin{align*} &(x-2)^2+(y-5)^2=5^2 \\
    \ssi~&x^2-4x+4+y^2-10x+25=25\\
    \ssi~&x^2-4x+y^2-10x=-4\end{align*}$
    $\quad$
  2. Si $x=5$ et $y=9$ alors
    $\begin{align*} x^2-4x+y^2-10x=25-20+81-90 \\
    &=-4\end{align*}$
    Donc $B$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
    $\quad$
  3. $[AB]$ est un rayon du cercle $\mathcal{C}$.
    Par conséquent la tangente au cercle au point $B$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$.
    $\quad$
  4. Le vecteur $\vect{AB}$ est donc normal à la tangente $(d)$ au cercle au point $B$.
    $\vect{AB}\begin{pmatrix} 3\\4\end{pmatrix}$.
    Une équation de $(d)$ est alors d la forme $3x+4y+c=0$
    Le point $B(5;9)$ appartient à cette droite.
    Par conséquent $15+36+c=0 \ssi c=-51$.
    Une équation de $(d)$ est $3x+4y-51=0$.
    $\quad$
  5. Les points d’intersection du cercle $\mathcal{C}$ avec l’axe des ordonnées ont une abscisse nulle.
    Ainsi leur ordonnées sont solution de l’équation $y^2-10y+4=0$.
    Le discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=(-10)^2-4\times 1\times 4 \\
    &=84\\
    &>0\end{align*}$
    Les racines sont donc :
    $\begin{align*} y_1&=\dfrac{10-\sqrt{84}}{2}\\
    &=5-\sqrt{21}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} y_1&=\dfrac{10+\sqrt{84}}{2}\\
    &=5+\sqrt{21}\end{align*}$
    Ainsi les points d’intersection du cercle $\mathcal{C}$ avec l’axe des ordonnées ont pour coordonnées $\left(0;5-\sqrt{21}\right)$ et $\left(0;5+\sqrt{21}\right)$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des affirmations proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre  correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $c$ un nombre réel strictement supérieur à $1$. Sur l’ensemble des nombres réels, la fonction polynôme $f$ définie par $f(x)=x^2+2x+c$.

a. change de signe exactement $2$ fois
b. change de signe exactement une fois
c. est toujours positive
d. est toujours négative

$\quad$

Correction Question 1

$c>1$ donc $1-c<0$

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times 1\times c\\
&=4(1-c)\\
&<0\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=1>0$.

Ainsi $f(x)>0$ sur $\R$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Si $x$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $[-\pi ; 0]$ tel que $\cos x =\dfrac{3}{5}$, alors $\sin x$ a pour valeur

a. $\dfrac{4}{5}$
b. $-\dfrac{4}{5}$
c. $-\dfrac{2}{5}$
d. On ne peut pas savoir

$\quad$

Correction Question 2

$x$ appartient à l’intervalle $[-\pi ; 0]$ donc $\sin x\pp 0$.
Pour tout réel $x$ on a $\cos^2 x+\sin^2 x=1$
Donc $\dfrac{9}{25}+\sin^2 x=1 \ssi \sin^2x=\dfrac{16}{25}$
Ainsi $\sin x=\dfrac{4}{5}$  ou $\sin x=-\dfrac{4}{5}$
Puisque $\sin x\pp 0$ on a $\sin x=-\dfrac{4}{5}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Le quadrilatère $ABCD$ est un carré. On a :

a. $\vect{AB}.\vect{AD}=0$
b. $\vect{AB}.\vect{AC}=0$
c. $\vect{AB}.\vect{AB}=0$
d. $\vect{AB}.\vect{DC}=0$

$\quad$

Correction Question 3

$ABCD$ est un carré. Les droites $(AB)$ et $(AD)$ sont donc perpendiculaires.
Par conséquent $\vect{AB}.\vect{AD}=0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

La droite d’équation $2x-y+1=0$coupe l’axe des abscisses au point $A$ de coordonnées :

a.  $A(0 ; 1)$
b. $A\left(\dfrac{1}{2};0\right)$
c.  $A(0 ; -1)$
d. $A\left(-\dfrac{1}{2};0\right)$

$\quad$

Correction Question 4

On veut résoudre l’équation $2x-0+1=0 \ssi x=-\dfrac{1}{2}$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Pour tout réel $x$, $\dfrac{\e^x}{\e^{-x}}$ est égal à

a. $-1$
b. $\e^{-2x}$
c. $\left(\e^x\right)^2$
d. $\e^0$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \dfrac{\e^x}{\e^{-x}}&=\e^{x-(-x)}\\
&=\e^{2x}\\
&=\left(\e^x\right)^2\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point

Question 1

La courbe ci-contre $C_f$ est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction $f$. Les droites $d$ et $d’$ sont respectivement les tangentes à la courbe $C_f$ aux points d’abscisses $1$ et $2$.
Les équations réduites de $d$ et $d’$ sont respectivement :
$d : y = 2x-2$ et $d’ : y = -x+ 2$.

Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $f'(1)=0$
b. $f'(2)=2$
c. $f'(2)=-1$
d. $f'(1)=-2$

$\quad$

Correction Question 1

$f'(1)$ est le coefficient directeur de la droite $d$ et $f'(2)$ est le coefficient directeur de la droite $d’$.
Ainsi $f(1)=2$ et $f'(2)=-1$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $x\in \left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]$ tel que $\sin x=\dfrac{1}{2}$.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
b. $x=\dfrac{\pi}{6}$
c. $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
d. $x=-\dfrac{7\pi}{6}$

$\quad$

Correction Question 2

$x\in \left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]$ ce qui exclut les propositions b. et d.
Cela implique également que $\cos x<0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $(O, I, J)$ un repère orthonormé du plan.
Soit $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(3 ; 4)$ et $(4 ; 0)$.

Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $\vect{OA}.\vect{OB}=20$
b. $\sin\left(\widehat{AOB}\right)=\dfrac{\sqrt{17}}{5}$
c. $\cos\left(\widehat{AOB}\right)=\dfrac{4}{5}$
d. $\sin\left(\widehat{AOB}\right)=\dfrac{4}{5}$

$\quad$

Correction Question 3

$\widehat{AOB}=\widehat{AOH}$

Dans le triangle $AOH$, rectangle en $H$ on a :
$\begin{align*} \sin \widehat{AOB}&=\dfrac{AH}{OA}\\
&=\dfrac{4}{5}\end{align*}$

Réponse D

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $(O, I, J)$ un repère orthonormé du plan.
Soit $d$ une droite dont une équation cartésienne est : $3x + 2y-10 = 0$.
Une équation cartésienne de la droite $d’$ perpendiculaire à la droite $d$ et passant par le point $A$ de coordonnées $(1 ; 2)$ est :

a. $3x+2y-7=0$
b. $2x+3y-8=0$
c. $2x-3y+4=0$
d. $3x-2y+1=0$

$\quad$

Correction Question 4

Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$.
C’est donc un vecteur normal à la droite $d’$. Une équation cartésienne de la droite $d’$ est alors $-2x+3y+c=0$.
Le point $A(1;2)$ appartient à la droite $d’$.
Par conséquent $-2+6+c=0 \ssi c=-4$.
Une équation cartésienne de la droite $d’$ est alors $-2x+3y-4=0$ ou encore $2x-3y+4=0$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $(O, I, J)$ un repère orthonormé du plan.
Soit $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(1 ; 2)$ et $(5 ;-2)$.
Une équation cartésienne du cercle $C$ de diamètre $[AB]$ est :

a. $x^2+y^2-8x-2y+7=0$
b. $(x-1)^2+(y-2)^2=32$
c. $x^2+y^2-4x+2y-5=0$
d. $x^2+y^2-6x+1=0$

$\quad$

Correction Question 5

Le diamètre du cercle $C$ est :
$\begin{align*} AB&=\sqrt{(5-1)^2+(-2-2)^2}\\
&=\sqrt{16+16}\\
&=\sqrt{32}\end{align*}$

Le rayon du cercle $C$ est :
$\begin{align*} R&=\dfrac{AB}{2} \\
&=\sqrt{8}\end{align*}$

Le centre du cercle $C$ est le milieu $M$ du segment $[AB]$.
$M$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1+5}{2};\dfrac{2+(-2)}{2}\right)$ soit $(3;0)$.

Une équation cartésienne du cercle $C$ est par conséquent :
$\begin{align*} &(x-3)^2+(y-0)^2=8 \\
\ssi~& x^2-6x+9+y^2-8=0\\
\ssi~&x^2-6x+y^2+1=0\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(-2 ; 1)$, $B(1 ; 2)$ et $E(0 ; -5)$. On appelle $\boldsymbol{C}$ le cercle de centre $A$ passant par $B$.

  1. Justifier qu’une équation du cercle $\boldsymbol{C}$ est $(x+2)^2+(y-1)^2=10$.
    $\quad$
  2. Calculer $\vect{AB}.\vect{AE}$.
    $\quad$
  3. Que peut-on en déduire pour les droites $(AB)$ et $(AE)$ ?
    $\quad$
  4. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AE)$.
    $\quad$
  5. Calculer les coordonnées des points d’intersection de $(AE)$ et du cercle $\boldsymbol{C}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} AB&=\sqrt{\left(1-(-2)\right)^2+(2-1)^2}\\
    &=\sqrt{3^2+1^2}\\
    &=\sqrt{10}\end{align*}$
    Ainsi une équation du cercle $\boldsymbol{C}$ est $\left(x-(-2)\right)^2+(y-1)^2=\sqrt{10}^2$ soit $(x+2)^2+(y-1)^2=10$.
    $\quad$
  2. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AE}\begin{pmatrix}2\\-6\end{pmatrix}$.
    Donc :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AE}&=3\times 2+1\times (-6)\\
    &=0\end{align*}$
    $\quad$
  3. Les droites $(AB)$ et $(AE)$ sont donc perpendiculaires.
    $\quad$
  4. Le vecteur $\vect{AB}$ est donc normal à la droite $(AE)$.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc de la forme $3x+y+c=0$.
    Le point $E(0;-5)$ appartient à cette droite.
    Par conséquent $0-5+c=0\ssi c=5$.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc $3x+y+5=0$.
    $\quad$
  5. Les coordonnées des points d’intersection sont solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases}3x+y+5=0\\(x+2)^2+(y-1)^2=10\end{cases}&\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\(x+2)^2+(-5-3x-1)^2=10\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\x^2+4x+4+(-6-3x)^2=10\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\x^2+4x+4+36+36x+9x^2-10=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\10x^2+40x+30=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\x^2+4x+3=0\end{cases}\end{align*}$
    Le discriminant de l’équation du second degré $x^2+4x+3=0$ est :
    $\begin{align*} \Delta&=4^2-4\times 1\times 3\\
    &=4\\
    &>0\end{align*}$
    Les solutions de cette équation sont donc :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2}\\
    &=-3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2}\\
    &=-1\end{align*}$
    Si $x=-3$ alors $y=-5-3x=4$
    Si $x=-1$ alors $y=-5-3x=-2$
    Ainsi, les points d’intersection de $(AE)$ et du cercle $\boldsymbol{C}$ sont les points de coordonnées $(-3;4)$ et $(-1;-2)$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\Oij$. On considère le triangle $OAB$ où $O$ est l’origine du repère, $A$ le point de coordonnées $(8 ; 0)$ et $B$ celui de coordonnées $(0 ; 6)$.

On considère le point $E$, milieu du segment $[AB]$.

La figure est donnée en annexe, elle sera complétée au fur et à mesure et sera rendue avec la copie.

On rappelle que dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et par le milieu du côté opposé et que le centre de gravité d’un triangle est le point de concours de ses $3$ médianes.

  1. Calculer les $2$ produits scalaires suivants :
    a. $\vect{OA}.\vect{OB}$
    $\quad$
    b. $\vect{OA}.\vect{OE}$
    $\quad$
  2.  a. Justifier que l’équation $1,5x + y-6 = 0$ est une équation cartésienne de la médiane issue du point $B$ dans le triangle $OAB$. Tracer cette médiane sur la figure annexe.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation de la médiane issue de $O$ dans le triangle $OAB$.
    $\quad$
    c. Déterminer les coordonnées du point $G$, centre de gravité du triangle $OAB$.
    Placer le point $G$ sur la figure annexe.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Le triangle $OAB$ est rectangle en $O$. Par conséquent $\vect{OA}.\vect{OB}=0$.
    $\quad$
    b. $E$ est le milieu de $[AB]$. Ses coordonnées sont donc $\left(\dfrac{8+0}{2};\dfrac{0+6}{2}\right)$ soit $(4;3)$.
    Par conséquent $\vect{OA}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{OE}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 4\\3\end{pmatrix}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}\vect{OA}.\vect{OE}&=8\times 4+0\times 3\\
    &=32\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. $1,5\times 0+6-6=0$ : la droite d’équation $1,5x+y-6=0$ passe donc par le point $B$.
    Le point $F(4;0)$ est le milieu du segment $[OA]$.
    $1,5\times 4+0-6=6-6=0$ : la droite d’équation $1,5x+y-6=0$ passe donc par le point $F$.
    Ainsi, $1,5x+y-6=0$ est une équation cartésienne de la médiane issue du point $B$ dans le triangle $OAB$.
    Voir la figure à la question 2.c
    $\quad$
    b. Cette médiane passe par l’origine du repère.
    Une équation de cette droite est donc de la forme $y=ax$.
    Elle passe par le point $E(4;3)$ Par conséquent $3=4a \ssi a=\dfrac{3}{4}$.
    Une équation de la médiane issue du point $O$ dans le triangle $OAB$ est donc $y=\dfrac{3}{4}x$.
    $\quad$
    c. Le point $G$ est le point d’intersection des médianes du triangle $OAB$.
    Les coordonnées du point $G$ sont donc solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} y=\dfrac{3}{4}x\\1,5x+y-6=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=\dfrac{3}{4}x\\1,5x+\dfrac{3}{4}x-6=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}y=\dfrac{3}{4}x\\2,25x=6\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}y=\dfrac{3}{4}x\\x=\dfrac{8}{3}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=\dfrac{8}{3}\\y=2\end{cases} \end{align*}$
    Le point $G$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{8}{3};2\right)$.
    $\quad$

    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un QCM et comprend cinq questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d’abscisse $0$ est :

a. $y=x+1$
b. $y=\e x$
c. $y=\e^x$
d. $y=x-1$

$\quad$

Correction Question 1

On appelle $f$ la fonction exponentielle.
Une équation de la tangente est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
Or $f'(0)=\e^0=1$ et $f(0)=\e^0=1$.
Ainsi une équation de la tangente est $y=x+1$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

La fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=\e^{-2x+6}$ admet pour dérivée la fonction $f’$ définie sur $\R$ par :

a. $f'(x)=\e^{-2x+6}$
b. $f'(x)=-2\e^{-2x+6}$
c. $f'(x)=-2x\e^{-2x+6}$
d. $f'(x)=(-2x+6)\e^{-2x+6}$

$\quad$

Correction Question 2

$f(x)$ est de la forme $f(x)=\e^{ax+b}$.
Elle est donc dérivable sur $\R$ et $f'(x)$ est de la forme $a\e^{ax+b}$.
Ainsi, pour tout réel $x$ on a $f'(x)-2\e^{-2x+6}$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans le repère orthonormé $\Oij$, le vecteur $\vect{AB}$ représenté ci-dessous est égal à :

a. $-2\vec{i}+6\vec{j}$
b. $-6\vec{i}+2\vec{j}$
c. $2\vec{i}-6\vec{j}$
d. $6\vec{i}-2\vec{j}$

$\quad$

Correction Question 3

On lit, graphiquement, que $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-2\end{pmatrix}$
Par conséquent $\vect{AB}=6\vec{i}-2\vec{j}$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\sin x-\cos x$. Parmi les quatre propositions suivantes, une seule est correcte. Laquelle ?

a. $f$ est une fonction paire.
b. $f$ est une fonction impaire.
c. $f$ n’est ni paire, ni impaire.
d. $f(0)=0$

$\quad$

Correction Question 4

On a $f(0)=-1$

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(-x)&=\sin(-x)-\cos(-x)\\
&=-\sin(x)-\cos(x)\end{align*}$
Par conséquent $f(-x)\neq f(x)$ et $f(-x)\neq -f(-x)$.
La fonction $f$ n’est ni paire, ni impaire.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Dans le plan muni d’un repère, on considère la droite $(d)$ d’équation : $5x-2y+8=0$.
La droite $(d)$ a pour coefficient directeur :

a. $\vec{u}(2;5)$
b. $\dfrac{5}{2}$
c. $\dfrac{2}{5}$
d. $-2$

$\quad$

Correction Question 5

Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}(2;5)$.
Le coefficient directeur de cette droite est donc $\dfrac{5}{2}$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$.
On considère les points $A$, $B$ et $C$ de coordonnées : $A (7 ; -2)$, $B (7 ; 4)$ et $C(1 ; 1)$.

  1. Montrer que $Y=1$ est une équation de la droite $\left(d_1\right)$ passant par $C$ et perpendiculaire à
    $(AB)$.
    $\quad$
  2. Que représente cette droite pour le triangle $ABC$ ?
    $\quad$
  3. Donner une équation de la droite $\left(d_2\right)$, hauteur du triangle $ABC$ issue du sommet $B$.
    $\quad$
  4. On appelle $H$ le point d’intersection des droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$.
    Donner en justifiant la valeur du produit scalaire : $\vect{AH}.\vect{CB}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}$.
    Une équation cartésienne de la droite $\left(d_1\right)$ est donc de la forme $6y+c=0$
    Le point $C(1;1)$ appartient à $\left(d_1\right)$.
    Par conséquent $6+c=0 \ssi c=-6$.
    Une équation de $\left(d_1\right)$ est donc $6y-6=0$ soit $y=1$.
    $\quad$
  2. La droite $\left(d_1\right)$ est donc la hauteur issue de $C$ du triangle $ABC$.
    $\quad$
  3. La droite $\left(d_2\right)$ passe donc par $B$ et est perpendiculaire à $(AC)$.
    $\vect{AC}\begin{pmatrix}-6\\3\end{pmatrix}$
    Une équation de $\left(d_2\right)$ est donc de la forme $-6x+3y+c=0$
    Le point $B(7;4)$ appartient à cette droite.
    Par conséquent $-72+12+c=0 \ssi c=60$.
    Une équation de $\left(d_2\right)$ est donc $-6x+3y+60=0$ soit $-2x+y+20=0$.
    $\quad$
  4. Le point $H$ est donc l’orthocentre du triangle $ABC$. Par conséquent la droite $(AH)$ est la hauteur issue du point $A$ du triangle $ABC$. Elle est donc perpendiculaire à la droite $(BC)$.
    Ainsi $\vect{AH}.\vect{CB}=0$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

L’équation $2x^2-8x+6=0$ admet deux solutions. Leur somme $S$ et leur produit $P$ sont :

a. $S=-8$ et $P=6$
b. $S=-4$ et $P=3$
c. $S=4$ et $P=3$
d. $S=3$ et $P=-4$

$\quad$

Correction Question 1

$2x^2-8x+6=0 \ssi x^2-4x+3=0$
Donc $P=3$ et $S=4$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

$\alpha$ est un nombre réel tel que $\sin(\alpha)=0,5$. On a alors :

a. $\sin(\pi-\alpha)=0,5$
b. $\sin(\pi-\alpha)=-0,5$
c. $\sin(\pi-\alpha)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
d. $\sin(\pi-\alpha)=\dfrac{\pi}{6}$

$\quad$

Correction Question 2

Pour tout réel $x$ on a $\sin(\pi-x)=\sin(x)$
Donc $\sin(\pi-\alpha)=0,5$.

Réponse a

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$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé du plan, on considère le cercle d’équation : $$(x-3)^2+(y+0,5)^2=\dfrac{25}{4}$$
On peut affirmer que :

a. ce cercle a un rayon de $6,25$.
b. ce cercle passe par le point $R(5 ; -2)$.
c. le centre de ce cercle a pour coordonnées $(-3 ; 0,5)$
d. aucune des réponses a., b. ou c. n’est correcte.

$\quad$

Correction Question 3

Le rayon du cercle est $R=\sqrt{\dfrac{25}{4}}=2,5$.
$(5-3)^2+(-2+0,5)^2=6,25$ donc $(5-3)^2+(-2+0,5)^2=\dfrac{25}{4}$

Réponse B

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé du plan, une équation cartésienne de la droite passant par le point $A(2 ; -4)$ et de vecteur normal $\vec{n}(5 ; 6)$ est :

a. $6x-5y-32=0$
b. $6x+5y8=0$
c. $5x+6y+14=0$
d. $5x+6y-14=0$

$\quad$

Correction Question 4

Une équation de cette droite est de la forme $5x+6y+c=0$.
$A(2;-4)$ appartient à cette droite.
Donc $10-24+c=0\ssi c=14$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(2x+3)\e^x$.
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$. On a alors :

a. $f'(x)=2\e^x$
b. $f'(x)=(2x+3)\e^x$
c. $f'(x)=(2x+1)\e^x$
d. $f'(x)=(2x+5)\e^x$

$\quad$

Correction Question 5

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2\e^x+(2x+3)\e^x \\
&=(2+2x+3)\e^x\\
&=(2x+5)\e^x\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n=3\times \dfrac{10^n}{2^{n+1}}$.
La suite $\left(u_n\right)$ est une suite :

a.arithmétique de raison $3$.
b. géométrique de raison $3$.
c. arithmétique de raison $5$.
d. géométrique de raison $5$.

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_n&=3\times\dfrac{10^n}{2^{n+1}} \\
&=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{10^n}{2^n} \\
&=\dfrac{3}{2}\times 5^n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $5$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé$\Oij$ du plan, on considère les points $A(-2; 1)$ et $B(2; 4)$.
La droite $\Delta$ passe par le point $C(-1; 1)$ et admet le vecteur $\vect{AB}$ pour vecteur normal.
La droite $\Delta$ admet pour équation cartésienne :

a. $3x-4y+7=0$
b. $4x+3y+1=0$
c. $3x-4y-1=0$
d. $4x+3y+7=0$

$\quad$

Correction Question 2

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$. Une équation de la droite $\Delta$ est donc de la forme $4x+3y+c=0$.
Le point $C(-1;1)$ appartient à cette droite. Ainsi :
$-4+3+c=0 \ssi c=1$
Une équation de la droite $\Delta$ est donc $4x+3y+1=0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans l’intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, l’unique solution de l’équation $2\cos(x+\pi)+1=0$ est :

a. $\dfrac{\pi}{3}$
b. $-\dfrac{5\pi}{3}$
c. $\dfrac{\pi}{6}$
d. $\dfrac{2\pi}{3}$

$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} 2\cos(x+\pi)+1=0&\ssi -2\cos(x)+1=0\\
&\ssi \cos(x)=\dfrac{1}{2}\end{align*}$

Donc, dans l’intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, la solution est $\dfrac{\pi}{3}$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{\e^x}{1+\e^x}$.
La fonction dérivée $f’$ de la fonction $f$ est définie par :

a. $f'(x)=\dfrac{\e}{1+\e}$
b. $f'(x)=\dfrac{\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$
c. $f'(x)=1$
d. $f'(x)=\dfrac{-\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x\left(1+\e^x\right)-\e^x\times \e^x}{\left(1+\e^x\right)^2} \\
&=\dfrac{\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=-0,5(x+2)^2+4,5$.
On peut affirmer que :

a. Le tableau de variations de la fonction $f$ est donné ci-dessous:

b.
La courbe représentative de la fonction $f$ admet un sommet de coordonnées $(4,5; -2)$.
c. Le signe de $f(x)$ est donné ci-dessous :

d. La fonction $f$ admet un minimum en $-2$ égal à $4,5$

$\quad$

Correction Question 5

On a $f(x)=-0,5\left(x-(-2)\right)^2+4,5$
Le coefficient principal est $a=-0,5<0$. La fonction $f$ admet donc un maximum dont l’abscisse est $-2$. On exclut donc les réponses a.b., et d.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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