E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2-x+6$. On admet que l’une des quatre courbes ci-dessous représente la fonction $f$. Laquelle?

$\quad$

Correction Question 1

Le coefficient principal de cette fonction du second degré est $a=-1<0$.
On exclut donc les propositions a. et b.
L’abscisse du sommet de la parabole est :
$\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-1}{-2}\\
&=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On pose pour tout réel $x$ : $A(x)=\e^{2x}$. On a alors, pour tout $x\in \R$ :

a. $A(x)=2\e^x$
b. $A(x)=\e^{x^2}$
c. $A(x)=\e^x+\e^2$
d. $A(x)=\left(\e^x\right)^2$

$\quad$

Correction Question 2

Pour tout réel $x$ on a $\left(\e^x\right)^2=\e^{2x}$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Les droites d’équations $2x+y+1=0$ et $3x-2y+5=0$

a. sont sécantes en $A(1 ; 1)$.
b. sont sécantes en $B(1 ; -1)$.
c. sont sécantes en $C(-1 ; 1)$.
d. ne sont pas sécantes.

$\quad$

Correction Question 3

Un vecteur directeur de la droite d’équation $2x+y+1=0$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$.
Un vecteur directeur de la droite d’équation $3x-2y+5=0$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Les droites sont donc sécantes.

On a $2\times (-1)+1+1=0$ et $3\times (-1)-2\times 1+5=0$
Le point $C(-1;1)$ appartient donc aux deux droites.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Les droites d’équations $x+3y-5=0$ et $3x-y+6=0$ sont :

a. pependiculaires.
b. sécantes non perpendiculaires.
c. parallèles.
d. confondues.

$\quad$

Correction Question 4

Un vecteur directeur de la droite d’équation $x+3y-5=0$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}$.
Un vecteur directeur de la droite d’équation $3x-y+6=0$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$.

Or :
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=-3\times 1+1\times 3\\
&=0\end{align*}$
Les deux vecteurs sont orthogonaux.
Par conséquent les droites sont perpendiculaires.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère la fonction Python ci-dessous :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite(n) :}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=2}\\
\hspace{0.5cm}\text{k=0}\\
\hspace{0.5cm}\text{while k<n :}\\
\hspace{1cm}\text{u=u+k}\\
\hspace{1cm}\text{k=k+1}\\
\hspace{0.5cm}\text{return u}\\
\hline
\end{array}$$
Quelle valeur renvoie l’appel $\text{suite(5)}$?

a. $5$
b. $8$
c. $12$
d. $17$

$\quad$

Correction Question 5

Voici les différentes valeurs prises par les variables $u$ et $k$.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
u&2&2&3&5&8&12\\
\hline
k&0&1&2&3&4&5\\
\hline
\end{array}$

L’appel $\text{suite(5)}$ renvoie donc la valeur $12$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans un repère orthonormé on considère le point $A(-3; 5)$ et la droite $(d)$ dont une équation cartésienne est $-x+3y+2=0$.

  1. Tracer la droite $(d)$ dans le repère donné en annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Déterminer les coordonnées d’un vecteur normal à la droite $(d)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à $(d)$ et passant par $A$.
    $\quad$
  4. En déduire que le point $H$, projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(d)$, a pour coordonnées $(-1; -1)$.
    $\quad$
  5. En déduire la distance entre le point $A$ et la droite $(d)$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Si $y=0$ alors $x=2$. La droite passe par le point $B(2;5)$.
    Si $x=-1$ alors $y=-1$. La droite passe par le point $C(-1;-1)$.
    On obtient donc le graphique suivant :

    $\quad$
  2. Un vecteur normal à la droite $(d)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. On appelle $(d’)$ la droite perpendiculaire à la droite $(d)$ passant par le point $A$.
    $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de cette droite.
    Ainsi une équation cartésienne de la droite $(d’)$ est de la forme $3x+y+c=0$.
    Le point $A(-3;5)$ appartient à cette droite.
    Donc $-9+5+c=0 \ssi c=4$.
    Une équation de la droite $(d’)$ est donc $3x+y+4=0$.
    $\quad$
  4. Vérifions que le point $H(-1;-1)$ appartient au deux droites.
    D’après la réponse apportée à la question 1. le point $H$ et le point $C$ sont confondus. Donc $H$ appartient à la droite $(d)$.
    $3\times (-1)+(-1)+4=-3-1+4=0 \checkmark$.
    Le point $H$ appartient également à la droite $(d’)$.
    Ainsi $H(-1;-1)$ est bien le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(d)$.
    $\quad$
  5. Ainsi la distance entre le point $A$ et la droite $(d)$ est :
    $\begin{align*} AH&=\sqrt{\left(-1-(-3)\right)^2+(-1-5)^2} \\
    &=\sqrt{2^2+(-6)^2} \\
    &=\sqrt{40}\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
On considère les points $A(-3 ; 1)$, $B(3 ; 5)$ et $C(7 ; 1)$ dans ce repère.
Le but de cet exercice est de déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ et le rayon de ce cercle.
On rappelle que le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les trois sommets de ce triangle.

  1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan puis construire le cercle circonscrit au triangle $ABC$.
    $\quad$
  2. Vérifier que la droite $\Delta$ d’équation $3x+2y-6=0$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
    $\quad$
  3. Déterminer les coordonnées du point $B’$, milieu du segment $[AC]$.
    $\quad$
  4. Déterminer les coordonnées du point $I$, centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
    $\quad$
  5. Calculer une valeur exacte du rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
  2. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}$.
    C’est un vecteur normal à $\Delta$.
    Une équation cartésienne de $\Delta$ est donc de la forme $6x+4y+c=0$.
    On appelle $M(x;y)$ le milieu de $[AB]$.
    On a donc $\begin{cases} x=\dfrac{-3+3}{2}\\y=\dfrac{1+5}{2}\end{cases} \ssi \begin{cases} x=0\\y=3\end{cases}$
    $M$ appartient à $\Delta$ donc
    $0+12+c=0\ssi c=-12$.
    Une équation cartésienne de $Delta$ est donc $6x+4y-12=0$ soit également, en divisant chaque terme par $2$, $3x+2y-6=0$.
    $\quad$
  3. Les coordonnées du point $B’$ sont :
    $\begin{cases} x_{B’}=\dfrac{-3+7}{2}\\y_{B’}=\dfrac{1+1}{2}\end{cases} \ssi \begin{cases} x_{B’}=2\\y_{B’}=1\end{cases}$.
    Ainsi $B'(2;1)$.
    $\quad$
  4. $A$ et $C$ ont la même ordonnée. Une équation de la médiatrice au segment $[AC]$ est donc de la forme $x=k$.
    Le point $B’$ appartient à cette médiatrice. Une équation de cette droite est donc $x=2$.
    Les coordonnées du point $I$ sont donc solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 3x+2y-6=0\\x=2\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=2 \\6+2y-6=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2\\y=0\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$
  5. Le rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est :
    $\begin{align*} R&=IA\\
    &=\sqrt{(-3-2)^2+(1-0)^2} \\
    &=\sqrt{(-5)^2+1^2}\\
    &=\sqrt{26}\end{align*}$
    $\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM) comportant cinq questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $a$, $b$, $c$ trois réels tels que $a\neq 0$ et soit $g$ la
fonction définie sur $\R$ par : $$g(x)=ax^2+bx+c$$
Soit $\Delta$ son discriminant.

La représentation graphique de la fonction $g$ dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.

Alors on peut affirmer que :

a. $a>0$ et $\Delta>0$
b. $a>0$ et $\Delta<0$
c. $a<0$ et $\Delta>0$
d. $a<0$ et $\Delta<0$

$\quad$

Correction Exercice

La parabole coupe l’axe des abscisses en deux points. Donc $\Delta >0$.
D’après la représentation graphique de la fonction $g$, celle-ci possède un maximum. Donc $a<0$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère la fonction $f$ dont la fonction dérivée est la fonction $g$ considérée dans la question 1.
Le tableau des variations de $f$ est :

$\quad$

Correction Question 2

$g$ est positive sur $[1;5]$ et négative sur $]-\infty;1]\cup[5;+\infty[$.
Par conséquent $f$ est croissante sur $[1;5]$ et décroissante sur $]-\infty;1]\cup[5;+\infty[$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère à nouveau la fonction $f$ dont la fonction dérivée est la fonction $g$ considérée dans la question 1. On sait de plus que $f(3)=7$.
La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $3$ a pour équation réduite :

a. $y=4$
b. $y=4x+3$
c. $y=4x+7$
d. $y=4x-5$

$\quad$

Correction Question 3

On a $f'(3)=g(3)=4$ et $f(3)=7$
Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(3)(x-3)+f(3)$ soit $y=4(x-3)+7$ ou encore $y=4x-5$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(5; -1)$, $B(3; 2)$ et $C(1; -3)$. Une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à $(AB)$ et passant par $C$ est :

a. $-2x+3y+11=0$
b. $3x-2y-9=0$
c. $x-3y-10=0$
d. $3x+2y+3=0$

$\quad$

Correction Question 4

$\vect{AB}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$.
C’est donc un vecteur normal à la droite $d$ perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$.
Une équation cartésienne de $d$ est donc de la forme $-2x+3y+c=0$
Le point $C(1;-3)$ appartient à $d$ donc :
$-2-9+c=0 \ssi c=11$
Une équation cartésienne de $d$ est donc $-2x+3y+11=0$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(5; -1)$, $B(3; 2)$ et $C(1; -3)$.
Une mesure, arrondie au degré, de l’angle $\widehat{ABC}$, est :

a. $11$
b. $25$
c. $55$
d. $88$

$\quad$

Correction Question 5

On a $\vect{BA}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix}-2\\-5\end{pmatrix}$

D’une part,
$\begin{align*} \vect{BA}.\vect{BC}&=2\times (-2)+(-3)\times (-5)\\
&=11\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*} BA&=\sqrt{2^2+(-3)^2} \\
&=\sqrt{13}\end{align*}$
$\begin{align*} BC&=\sqrt{(-2)^2+(-5)^2} \\
&=\sqrt{29}\end{align*}$

D’autre part part,
$\begin{align*} \vect{BA}.\vect{BC}&=BA\times BC\times \cos \widehat{ABC} \\
&=\sqrt{13}\times \sqrt{29}\times \cos \widehat{ABC} \end{align*}$

Donc $\sqrt{13}\times \sqrt{29}\times \cos \widehat{ABC} =11$
Ainsi $\cos \widehat{ABC}=\dfrac{11}{\sqrt{13}\times \sqrt{29}}$
Et $\widehat{ABC} \approx 55$°

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Relevez sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Question 1

Quelle est la forme factorisée de $f(x)=0,5(x-2)^2-8$?

a. $0,5x^2-2x-6$
b. $0,5(x-6)(x+2)$
c. $0,5(x+10)(x-6)$
d. $0,5(x-10)(x+6)$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} f(x)&=0,5(x-2)^2-8 \\
&=0,5\left[(x-2)^2-16\right]\\
&=0,5\left[(x-2)^2-4^2\right]\\
&=0,5\left[(x-2)-4\right]\left[(x-2)+4\right] \\
&=0,5(x-6)(x+2)\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

$\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $r = 0,5$ telle que $u_{10} = -4$. Quelle est la valeur du terme $u_2$ ?

a. $8$
b. $0$
c. $-10$
d. $-8$

$\quad$

Correction Question 2

On a $u_{10}=u_2+8r$
Donc $u_2=u_{10}-8r$ soit $u_2=-8$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit la fonction $f$ définie pour tout $x\neq -2$ par : $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}$.
Parmi les expressions suivantes, laquelle définit la dérivée $f’$ de la fonction $f$ sur $\R\backslash \lbrace -2\rbrace$ ?

a. $f'(x)=-\dfrac{5}{(x+2)^2}$
b. $f'(x)=\dfrac{5}{(x+2)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{3}{(x+2)^2}$
d. $f'(x)=2$

$\quad$

Correction Question 3

$f$ est dérivable sur $]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x \neq -2$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\times(x+2)-1\times(2x-1)}{(x+2)^2} \\
&=\dfrac{2x+4-2x+1}{(x+2)^2} \\
&=\dfrac{5}{(x+2)^2}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On se place dans un repère orthonormé $\Oij$. Laquelle de ces équations est une équation cartésienne de la droite $\Delta$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$ et passant par le point $A(-1;3)$?

a. $2x-y+1=0$
b. $-x+2y-7=0$
c. $x+2y+1=0$
d. $-2x-2y+1=0$

$\quad$

Correction Question 4

$\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\Delta$.
Une équation de $\Delta$ est donc de la forme $2x+y+c=0$
Le point $A(-1;3)$ appartient à $\Delta$.
Donc $^2\times (-1)+3+c=0 \ssi c=-1$.
Une équation de $\Delta$ est donc $2x+y-1=0$.
En multipliant les deux membres par $-1$ on obtient l’équation $-2x-y+1=0$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On se place dans un repère orthonormé $\Oij$. Parmi ces propositions, quelle est l’équation cartésienne du cercle de centre $A(2 ; 4)$ et de rayon $3$ ?

a. $(x-2)^2+(y-4)^2=3$
b. $(x+2)^2+(y+4)^2=9$
c. $x^2+y^2-4x-8y+11=0$
d. $x^2+y^2+11=0$

$\quad$

Correction Question 5

Une équation du cercle est :
$\begin{align*} &(x-2)^2+(y-4)^2=3^2 \\
\ssi~&x^2-4x+4+y^2-8y+16=9 \\
\ssi~&x^2-4x+y^2-8y+11=0\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des affirmations proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On choisit au hasard un individu parmi les passagers en transit dans un aéroport.
On a représenté ci-dessous un arbre de probabilités lié à certains évènements dont certains éléments ont été effacés.

On considère les événements suivants :

  •  $A$ : « le passager parle anglais »
  • $B$ : « le passager ne parle pas anglais »
  • $E$ : « le passager est un membre de l’Union Européenne »

a. $P_B(E)=0,12$
b. $P(E)=0,42$
c. La probabilité que le passager choisi soit européen et ne parle pas anglais est $0,3$.
d. $P(A\cup B)=1,1$

$\quad$

Correction Question 1

D’après l’arbre de probabilité on a $P_A(E)=0,5$ et $P(B)=0,4$.
$A$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(E)&=P(A\cap E)+P(B\cap E)\\
&=0,6\times 0,5+0,4\times 0,3\\
&=0,42\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Soit $D$ la droite d’équation $3x + y-2 = 0$.

a. Le point de coordonnées $(6 ; −15)$ appartient à $D$.
b. $D$ est perpendiculaire à la droite d’équation $12x + 4y = 0$.
c. Le vecteur de coordonnées $(1 ; 3)$ est un vecteur directeur de $D$.
d. Le vecteur de coordonnées $(3 ; 1)$ est un vecteur directeur des droites perpendiculaires à $D$.

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur normal à la droite $D$ est $\vec{n}(3;1)$.
C’est donc un vecteur directeur de toutes les droites perpendiculaires à la droite $D$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère dans l’ensemble des réels l’équation trigonométrique $\sin x = 1$.

a. Cette équation admet une unique solution dans l’ensemble des réels.
b. Cette équation admet une infinité de solutions dans l’ensemble  des réels.
c. $2\pi$ est une solution de cette équation.
d. $-\dfrac{57\pi}{2}$ est une solution de cette équation.

$\quad$

Correction Question 3

L’ensemble des solutions de l’équation $\sin x=1$ est l’ensemble des réels $\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ où $k\in \Z$.
L’équation admet une infinité de solutions dans l’ensemble  des réels.

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Soit $f$ la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par $f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$ et $C$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

a. La courbe $C$ n’admet pas de tangente au point d’abscisse $0$.
b. La tangente à $C$ au point d’abscisse $0$ a pour équation $y=2x$.
c. La tangente à $C$ au point d’abscisse $0$ a pour coefficient directeur $1$.
d. La tangente à $C$ au point d’abscisse $0$ est parallèle à l’axe des abscisses.

$\quad$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\left(x^2+1\right)-2x\times 2x}{\left(x^2+1\right)^2} \\
&=\dfrac{2x^2+2-4x^2 }{\left(x^2+1\right)^2} \\
&=\dfrac{-2x^2+2}{\left(x^2+1\right)^2} \end{align*}$
Ainsi $f'(0)=2$
Or $f(0)=0$
Une équation de la tangente à $C$ au point d’abscisse $0$ est donc $y=2(x-0)+0$ soit $y=2x$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]-2; +\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{x-3}{x+2}$$
$f$ est dérivable sur l’intervalle $]-2; +\infty[$ et pour tout réel $x$ de$]-2; +\infty[$, on a :

a. $f'(x)=1$
b. $f'(x)=\dfrac{2x-1}{(x+2)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{5}{(x+2)^2}$
d. $f'(x)=2x-1$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]-2;+\infty[$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1\times (x+2)-1\times (x-3)}{(x+2)^2} \\
&=\dfrac{x+2-x+3}{(x+2)^2}\\
&=\dfrac{5}{(x+2)^2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère le point $A$ de coordonnées $(3; 1)$ ainsi que la droite $(d)$ d’équation cartésienne $x-3y-4=0$.

  1. Déterminer les coordonnées du point $B$ d’abscisse $7$ appartenant à la droite $(d)$.
    $\quad$
  2. Donner un vecteur normal à la droite $(d)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la droite $(\Delta)$ perpendiculaire à la droite $(d)$ passant par le point $A$.
    $\quad$
  4. Calculer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur la droite $(d)$.
    $\quad$
  5. Calculer la distance $AH$ et en donner une interprétation.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Si $x=7$ on a alors :
    $\begin{align*} 7-3y-4=0 &\ssi -3y=-3\\
    &\ssi y=1\end{align*}$
    Le point $B$ a donc pour coordonnées $(7;1)$.
    $\quad$
  2. Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est $x-3y-4=0$.
    Un vecteur normal à cette droite est donc $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. Le vecteur $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de $(\Delta)$.
    Une équation cartésienne de $(\Delta)$ est par conséquent de la forme $-3x-y+c=0$.
    Le point $A(3;1)$ appartient à cette droite.
    Ainsi $-9-1+c=0\ssi c=10$.
    Une équation cartésienne de $(\Delta)$ est donc $-3x-y+10=0$.
    $\quad$
  4. Le point $H$ est le point d’intersection des droites $(d)$ et $(\Delta)$. Ses coordonnées sont donc solution du système d’équations :
    $\begin{align*} \begin{cases} x-3y-4=0\\-3x-y+10=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=3y+4\\-3(3y+4)-y+10=0\end{cases}  \\
    &\ssi \begin{cases} x=3y+4\\-9y-12-y+10=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=3y+4\\-10y-2=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=3y+4\\y=-0,2\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} y=-0,2\\x=3,4\end{cases}\end{align*}$
    $H$ a donc pour coordonnées $(3,4\ ;\ -0,2)$.
    $\quad$
  5. Ainsi :
    $\begin{align*} AH&=\sqrt{(3,4-3)^2+(-0,2-1)^2} \\
    &=\sqrt{0,4^2+(-1,2)^2}\\
    &=\sqrt{1,6}\end{align*}$
    La distance du point $A$ à la droite $(d)$ est donc égale à $\sqrt{1,6}$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère les points $E(3 ; −4)$ et $F(7 ; 2)$.
La droite $(EF)$ passe par le point :

a. $A(0;8)$
b. $B(5,5;0)$
c. $C(13;11)$
d. $D(-25;45)$

$\quad$

Correction Question 1

On a $\vect{EF}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$
On va déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{EA}$, $\vect{EB}$, $\vect{EC}$ et $\vect{ED}$ et tester leur colinéarité avec le vecteur $\vect{EF}$.

$\vect{EA}\begin{pmatrix}-3\\12\end{pmatrix}$ ,  $\vect{EB}\begin{pmatrix}2,5\\4\end{pmatrix}$ ,  $\vect{EC}\begin{pmatrix}10\\15\end{pmatrix}$ ,  $\vect{ED}\begin{pmatrix}-28\\49\end{pmatrix}$

On constate que $10\times 6-4\times 45=0$. Donc $\vect{EC}$ et $\vect{EF}$ sont colinéaires. Le point $C$ appartient à la droite $(EF)$.

Réponse C

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère la droite $D$ qui a pour équation réduite $y=-2x+4$
Parmi les vecteurs suivants, déterminer celui qui est un vecteur normal de la droite $D$ :

a. $\vec{n_1}(2;1)$
b. $\vec{n_2}(-1;2)$
c. $\vec{n_3}(1;-2)$
d. $\vec{n_4}(-2;1)$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $2x+y-4=0$.
Un vecteur normal à cette droite est par conséquent $\vec{n}(2;1)$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3
Soit $ABCD$ un carré de côté $6$ et $I$ le milieu de $[BC]$. Alors le produit scalaire $\vect{AD};\vect{AI}$ vaut :

a. $-18$
b. $18$
c. $36$
d. $9\sqrt{5}$

$\quad$

Correction Question 3

On appelle $J$ le projeté orthogonal du point $I$ sur la droite $(AD)$. $J$ est alors le milieu du segment $[AD]$.
Ainsi $\vect{AD}.\vect{AI}=\vect{AD}.\vect{AJ}$.
Les vecteurs $\vect{AD}$ et $\vect{AJ}$ sont colinéaires et de même sens.
Ainsi
$\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AI}&=\vect{AD}.\vect{AJ} \\
&=AD\times AJ \\
&=6\times 3\\
&=18\end{align*}$

Autre méthode

$\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AI}&=\vect{AD}.\left(\vect{AB}+\vect{BI}\right)\\
&=\vect{AD}.\vect{AB}+\vect{AD}.\vect{BI} \\
&=0+\dfrac{1}{2}\vect{AD}.\vect{BC}\\
&=\dfrac{1}{2}\times 6\times 6 \\
&=18\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, le nombre $\dfrac{14\pi}{3}$ a pour image le point :

a. $E$
b. $F$
c. $G$
d. $H$

$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} \dfrac{14\pi}{3}&=\dfrac{12+2\pi}{3} \\
&=\dfrac{12\pi}{3}+\dfrac{2\pi}{3}\\
&=4\pi+\dfrac{2\pi}{3} \\
&=2\times 2\pi+\dfrac{2\pi}{3}\end{align*}$
Le nombre $\dfrac{14\pi}{3}$ a donc pour image $F$

Autre méthode :

À l’aide de la calculatrice, on obtient :
$\cos \left(\dfrac{14\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$ et $\sin \left(\dfrac{14\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. L’image de $\dfrac{14\pi}{3}$ appartient donc au quadrant supérieur gauche; c’est le point $F$.

Réponse F

$\quad$

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$\quad$

Soit le réel $x$ appartenant à l’intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$ tel que $\sin x=0,8$. Alors :

a. $\cos(x)=0,6$
b. $\cos(x)=-0,6$
c. $\cos(x)=0,2$
d. $\cos(x)=-0,2$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ on a $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$
Ainsi
$\begin{align*} &\cos^2(x)+\sin^2(x)=1 \\
\ssi~&\cos^2(x)+0,8^2=1 \\
\ssi~&\cos^2(x)+0,64=1\\
\ssi~&\cos^2(x)=0,36\\
\ssi~&\cos(x)=0,6 \text{ ou }\cos(x)=-0,6\end{align*}$
On sait que $x$ appartient à l’intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$. Donc $\cos(x)<0$.
Par conséquent $\cos(x)=-0,6$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.
Dans cet exercice, on se place dans un repère orthonormé.

Question 1

Un vecteur normal à la droite d’équation cartésienne $2x-5y+3=0$ a pour coordonnées :

a. $\begin{pmatrix} -5\\2\end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix} 2\\5\end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix} 5\\2\end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix} -2\\5\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur normal à la cette droite est le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$.
Le vecteur $-\vec{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}$ est donc également normal à cette droite.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Le centre $A$ du cercle d’équation $x^2+y^2+6x-8y=0$ est :

a. $A(3;4)$
b. $A(-3;4)$
c. $A(-4;3)$
d. $A(4;-3)$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} &x^2+y^2+6x-8y=0\\
\ssi~&x^2+2\times 3x+y^2-2\times 4y=0\\
\ssi~&x^2+2\times 3x+3^2-3^2+y^2-2\times 4y+4^2-4^2=0\\
\ssi~&(x+3)^2-9+(y-4)^2-16=0\\
\ssi~&(x+3)^2+(y-4)^2=25\\
\ssi~&\left((x-(-3)\right)^2+(y-4)^2=5^2\end{align*}$
Il s’agit donc de l’équation cartésienne du cercle de centre $A(-3;4)$ et de rayon $5$.

Réponse B

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère un triangle $ABC$ tel que $AB = 3$, $BC = 5$ et $AC = 6$, on a alors $\vect{AB}.\vect{AC}$ égal à :

a. $-18$
b. $10$
c. $26$
d. $0$

$\quad$

Correction Question 3

D’après la propriété 7 on a
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\left(3^2+6^2-5^2\right) \\
&=10\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$


$\quad$

Question 4

Le nombre réel $\dfrac{-3\pi}{4}$ est associé au même point du cercle trigonométrique que le réel :

a. $\dfrac{-14\pi}{4}$
b. $\dfrac{7\pi}{4}$
c. $\dfrac{13\pi}{4}$
d. $\dfrac{19\pi}{4}$

$\quad$

Correction Question 4

Deux réels $x$ et $y$ sont associés au même point du cercle si, et seulement si, $x-y=2k\pi$ où $k\in \Z$.

Or :
$\begin{array}{l}\dfrac{-3\pi}{4}-\left(\dfrac{-14\pi}{4}\right)=\dfrac{11\pi}{4}\\
\dfrac{-3\pi}{4}-\dfrac{7\pi}{4}=\dfrac{-5\pi}{2}\\
\dfrac{-3\pi}{4}-\dfrac{13\pi}{4}=-4\pi=-2\times 2\pi \checkmark\\
\dfrac{-3\pi}{4}-\dfrac{19\pi}{4}=\dfrac{-11\pi}{2}\end{array}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=(4x-7)^3$ a pour fonction dérivée :

a. $g'(x)=3(4x-7)^2$
b. $g'(x)=12(4x-7)$
c. $g'(x)=12x-21$
d. $g'(x)=12(4x-7)^2$

$\quad$

Correction Question 5

On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3$.
Ainsi $g(x)=f(4x-7)$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a $f'(x)=3x^2$
Donc, par composition, $g$ l’est aussi.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=4f'(4x-7) \\
&=4\times 3(4x-7)^2 \\
&=12(4x-7)^2\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

Remarque : Les calculatrices savent calculer des nombres dérivés. On pouvait donc faire calculer d’un côté, par exemple, $g'(\pi)$ et de l’autre côté faire calculer les images de $\pi$ par chacune des fonctions et comparer les résultats. On peut bien évidemment remplacer $\pi$^par la valeur de son choix. S’il est impossible, pour une valeur donnée, de choisir une proposition il faut alors changer de valeur. Cette méthode peu élégante permet de trouver la bonne réponse dans des situations désespérées.

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\sin(x)-x$.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

a. $f$ est paire
b. $f$ est impaire
c. Pour tout réel $x$, $f(x+2\pi)=f(x)$
c. Pour tout réel $x$, $f(x+2\pi)=-f(x)$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a $-x\in \R$ et
$\begin{align*} f(-x)&=\sin(-x)-(-x)\\
&=-\sin(x)+x\\
&=-\left(\sin(x)-x\right)\\
&=-f(x)\end{align*}$
La fonction $f$ est donc impaire.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$, l’équation $2\cos(x)-\sqrt{3}=0$ a pour solutions :

a. $-\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{6}$
b. $-\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{4}$
c. $-\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{3}$
d. $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$

$\quad$

Correction Question 2

Dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$
$\begin{align*} 2\cos(x)-\sqrt{3}=0 &\ssi \cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
&\ssi x=\dfrac{\pi}{6} \text{ ou }x=-\dfrac{\pi}{6}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $ABCD$ un parallélogramme tel que :
$AB+3$, $AD=4$ et $\widehat{BAD}=\dfrac{\pi}{3}$.

Alors $\vect{DA}.\vect{DC}$ est égal à :

a. $12$
b. $-12$
c. $6$
d. $-6$

$\quad$

Correction Question 3

On a :
$\begin{align*} \vect{DA}.\vect{DC}&=DA\times DC\times \cos \widehat{ADC} \\
&=3\times 4\times \dfrac{1}{2}\\
&=6\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$


$\quad$

Question 4

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$.
On considère la droite $\left(d_1\right)$ d’équation $3x-4y+1 = 0$. La droite $\left(d_2\right)$ perpendiculaire à $\left(d_1\right)$ et
passant par le point $A(1 ; 1)$ a pour équation :

a. $4x+3y=0$
b. $4x+3y-7=0$
c. $x+3-2=0$
d. $-4x+3y+1=0$

$\quad$

Correction Question 4

Une équation cartésienne de la droite $\left(d_1\right)$ est $3x-4y+1=0$. Un vecteur normal à cette droite est donc $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}$.
Par conséquent $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\left(d_2\right)$.
Une équation cartésienne de $\left(d_2\right)$ est donc de la forme $-4x-3y+c=0$
Le point $A(1;1)$ appartient à cette droite.
Ainsi $-4-3+c=0 \ssi c=7$.
Une équation cartésienne de la droite $\left(d_2\right)$ est donc $-4x-3y+7=0$ ou également, en multipliant les deux membres par $-1$, $4x+3y-7=0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$. Les droites $(d)$ et $\left(d’\right)$ d’équations respectives $2x-y+5=0$ et $-4x+2y+7=0$ sont :

a. confondues
b. sécantes
c. parallèles
d. perpendiculaires

$\quad$

Correction Question 5

Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de la droite $\left(d’\right)$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}-2\\-4\end{pmatrix}$
On constate donc que $\vec{v}=-2\vec{u}$.
Les droites $(d)$ et $(d’)$ sont donc parallèles.
Il reste à déterminer si elles sont confondues ou non.
Le point $A(0;5)$ appartient clairement à la droite $(d)$.
Or $-4\times 0+\times 5+7\neq 0$.
Le point $A$ n’appartient donc pas à la droite $\left(d’\right)$.
Les droites sont strictement parallèles.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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