E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des affirmations proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la droite $d$ dont une équation cartésienne dans un repère orthonormé est $2x-3y+4=0$.

a. Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-6\\4\end{pmatrix}$
d. Un vecteur normal de $d$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}-12\\18\end{pmatrix}$
c. Le point $C(-5;2)$ appartient à la droite $d$.
d. La droite $d$ coupe la droite d’équation $-x+3y-2=0$ au point $F(1;2)$.

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$. Ainsi $-2\vec{v}\begin{pmatrix}-6\\-4\end{pmatrix}$ est également un vecteur directeur de $d$. On exclut donc la réponde a.

Un vecteur normal de $d$ est $\vec{m}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$.
Ainsi $-6\vec{m}=\vec{n}$ est également un vecteur normal de $d$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé le cercle $\mathcal{C}$ a pour équation $x^2-2x+y^2+y=3$ et la droite $D$ pour équation $y = 1$.

a. $\mathcal{C}$ et $D$ n’ont aucun point d’intersection.
b. $\mathcal{C}$ et $D$ ont un seul point d’intersection.
c. $\mathcal{C}$ et $D$ ont deux points d’intersection.
d. On ne peut pas savoir combien $\mathcal{C}$ et $D$ ont de points d’intersection.

$\quad$

Correction Question 2

On veut résoudre le système suivant :
$\begin{align*} \begin{cases} x^2-2x+y^2+y=3\\y=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} x^2-2x+1+1=3\\y=1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x^2-2x-1=0\\y=1\end{cases} \end{align*}$
Le discriminant de $x^2-2x-1=0$ est :
$\begin{align*} \Delta&=(-2)^2-4\times 1\times (-1) \\
&=8\\
&>0\end{align*}$
L’équation possède donc deux solutions réelles et le système précédent également

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

La fonction $f$ est la fonction définie sur l’ensemble des réels par $f(x)=\cos(2x)$.

a. $f$ est paire.
b. $f$ est impaire.
c. $f$ n’est ni paire ni impaire.
d. $f$ a pour période $\dfrac{\pi}{2}$.

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(-x)&=\cos(-2x)\\
&=\cos(2x)\\
&=f(x)\end{align*}$
La fonction $f$ est donc paire.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)$.
On définit en langage Python une fonction « Suite » pour calculer $u_n$ connaissant $n$.

$\begin{array}{|l|l|l|l|}
\hline
\textbf{a.}& \begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{0}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*(u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u)}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\end{array}
&
\textbf{b.}&\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*(u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u)}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\end{array}\\\hline
\textbf{c.}&\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\end{array}&
\textbf{d.}&\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*(u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u)}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\end{array}\\\hline\end{array}$

$\quad$

Correction Question 4

Le premier terme est $u_0=1$ : on exclut la réponse a.
La fonction doit renvoyer la valeur de $u_n$ : on exclut la réponse b.
Il manque les parenthèses pour le calcul de $\text{u}$ dans la réponse c.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

L’équation $\e^x=1$:

a. n’a pas de solution.
b. a pour solution le nombre $1$.
c. a pour solution le nombre $0$.
d. a pour solution le nombre $\e$.

$\quad$

Correction Question 5

On a $e^0=1$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes.Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-1;4]$.
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ et la tangente à cette courbe au point $A$ de coordonnées $(2;2)$.

L’équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ est :

a. $y=\dfrac{2}{3}(x-2)+2$
b. $y=2(x-2)+\dfrac{2}{3}$
c. $y=\dfrac{2}{3}(x+2)+2$
d. $y=\dfrac{3}{2}(x-2)+2$

$\quad$

Correction Question 1

Le coefficient directeur de la tangente est :
$\begin{align*} m&=\dfrac{4-2}{5-2}\\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
De plus $f(2)=2$
Une équation de la tangente est donc $y=\dfrac{2}{3}(x-2)+2$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormal $(O;I,J)$, le point $A$, placé ci-dessous sur le cercle trigonométrique de centre $O$ d’origine $I$, est associé au nombre réel :

a. $\dfrac{11\pi}{6}$
b.
$\dfrac{2\pi}{3}$
c. $-\dfrac{2\pi}{3}$
d. $-\dfrac{3\pi}{4}$

$\quad$

Correction Question 2

L’abscisse du point $A$ semble être égale à $-0,5$ et son ordonnée est négative.
Or $\cos \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=-0,5$ et $\sin \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)<0$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère une fonction du second degré $f$ définie sur $\R$ par $$f(x)=ax^2+bx$$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels strictement positifs.
Quelle est la courbe représentative de cette fonction dans un repère orthonormé?

$\quad$

Correction Question 3

Le discriminant de cette fonction du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=b^2-4\times a\times 0\\
&=b^2\\
&>0\end{align*}$
L’équation $f(x)=0$ possède donc deux solutions réelles.
De plus, le coefficient principal est $a>0$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans le plan muni d’un repère orthonormé une droite $\mathcal{D}$ a pour équation $x-2y=1$.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte?

a. Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.
b. Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal de la droite $\mathcal{D}$.
c. Le point de coordonnées $A(1;-2)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.
d. L’ordonnée à l’origine de la droite $\mathcal{D}$ est égale à $1$.

$\quad$

Correction Question 4

Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal de la droite $\mathcal{D}$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Un homme marche pendant $10$ jours. Le premier jour, il parcourt 12 km. Chaque jour, il parcourt $500$ m de moins que la veille. Durant ces dix jours, il aura parcouru au total :

a. $95$ km
b. $97,5$ km
c. $19$ km
d. $84$ km

$\quad$

Correction Question 5

On appelle $u_n$ la distance parcourue le $n$-ième jour, en kilomètres.
On a ainsi $u_1=12$ et pour tout entier naturel $n$ compris entre $1$ et $9$ on a $u_{n+1}=u_n-0,5$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $-0,5$ et de premier terme $u_1=12$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=12-0,5n$
Ainsi $u_{10}=7$.
La distance totale parcourue est donc :
$\begin{align*} D&=10\times \dfrac{u_1+u_{10}}{2} \\
&=10\times \dfrac{12+7}{2}\\
&=95\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-1 ; 3)$, $B(5 ; 0)$ et $C(9 ; 3)$.

  1. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.
    $\quad$
  2. Déterminer une équation cartésienne de la droite $D$ passant par le point $C$ et de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. Démontrer que les droites $D$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
    On admet que le point $E(3 ; 1)$ est le point d’intersection de ces deux droites.
  4. Les droites $D$ et $(AB)$ sont-elles perpendiculaires ?
    $\quad$
  5. On donne $AE = 2\sqrt{5}$ et $EC = 2\sqrt{10}$.
    Calculer la mesure en degrés de l’angle $\widehat{AEC}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-3\end{pmatrix}$.
    Ainsi une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est de la forme $-3x-6y+c=0$.
    $A(-1;3)$ appartient à cette droite.
    Donc $3-18+c=0\ssi c=15$.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est $-3x-6y+15=0$ ou encore $x+2y-5=0$.
    $\quad$
  2. Une équation cartésienne de la droite $D$ est de la forme $-x+3y+c$.
    $C(9;3)$ appartient à la droite $D$.
    Donc $-9+9+c=0\ssi c=0$.
    Une équation cartésienne de la droite $D$ est donc $-x+3y=0$.
    $\quad$
  3. Un vecteur directeur de la droite $D$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\-1\end{pmatrix}$.
    Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-3\end{pmatrix}$.
    det$\left(\vec{u};\vect{AB}\right)=-3\times -3-(-1)\times 6=15\neq 0$.
    Ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
    Par conséquent, les droites $D$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
  4. $\vect{AE}\begin{pmatrix}4;-2\end{pmatrix}$ et $\vect{CE}\begin{pmatrix}-6;-2\end{pmatrix}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vect{AE}.\vect{CE}&=4\times (-6)+(-2)\times (-2) \\
    &=-24+4\\
    &=-20\\
    &\neq 0\end{align*}$
    Les droites $(D)$ et $(AB)$ ne sont donc pas perpendiculaires.
    Remarque : On pouvait calculer également $\vect{AB}.\vec{u}$ ou det$\left(\vec{n};\vect{AB}\right)$ mais on besoin du produit scalaire $\vect{AE}.\vect{CE}$ à la question suivante.
    $\quad$
  5. On a $\vect{AE}.\vect{CE}=-20$
    et $\vect{AE}.\vect{CE}=AE\times EC\times \cos \widehat{AEC}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} &2\sqrt{5}\times 2\sqrt{10}\cos\widehat{AEC}=-20 \\
    \ssi~& \cos \widehat{AEC}=-\dfrac{20}{20\sqrt{2}} \\
    \ssi~& \cos \widehat{AEC}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{AEC}=135$°
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=2x^2+5x-4$.
La tangente à la courbe représentative de $g$ au point d’abscisse $2$ a pour équation :

a. $y=14x+14$
b. $y=14x-14$
c. $y=13x-15$
d. $y=13x-12$

$\quad$

Correction Question 1

Une équation de cette tangente est de la forme $y=g'(2)(x-2)+g(2)$.
$g(2)=14$
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que polynôme.
Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=4x+5$.
$g'(2)=13$.
Une équation de la tangente est donc $y=13(x-2)+14$ soit $y=13x-12$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On se place dans un repère orthonormé du plan. On considère les points $A(4; 8)$, $B(9; 6)$ et $D(2; 11)$. Alors $\vect{AD}.\vect{BD}$ est égal à :

a. $-1$
b. $11$
c. $-31$
d. $29$

$\quad$

Correction Question 2

$\vect{AD}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$ et $\vect{BD}\begin{pmatrix}-7\\5\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} \vect{AD}.\vect{BD}&=-2\times (-7)+3\times 5\\
&=29\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé du plan, on considère la droite $D$ d’équation $3x-4y+5 = 0$. La droite parallèle à $D$ et passant par $A(4; 8)$ a pour équation :

a. $4x+3y-40=0$
b. $3x-4y-5=0$
c. $3x-4y+20=0$
d. $4x+3y+6=0$

$\quad$

Correction Question 3

La droite parallèle à $D$ passant par le point $A$ a une équation de la forme $3x-4y+c=0$
Elle passe par le point $A(4;8)$.
Donc $12-32+c=0\ssi c=20$
Une équation de cette droite est donc $3x-4y+20=0$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de raison $q=-1,2$ et de terme initial $u_0=10$. Alors :

a. $0<u_{3~000}<1~000$
b. $u_{3~000}=-3~590$
c. $u_{3~000}>1~000$
d. $u_{3~000}=-36~000$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=10\times (-1,2)^n$
Ainsi :
$\begin{align*} u_{3~000}&=10\times (-1,2)^{3~000} \\
&\approx 3,5 \times 10^{238}\\
&>1~000\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

Remarque : Si ta calculatrice ne te permet pas d’afficher un nombre aussi grand, il faut fonctionner par élimination.
$3~000$ est pair donc $u_{3~000}>0$.
$1,2>1$ la suite des rangs pairs est donc croissante.
On calcule par exemple $u_{100}>1~000$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par : $v_0=1$ et $v_{n+1}=4v_n+2$ pour tout entier $n$.

On veut déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $v_n$ est supérieur ou égal à $100~000$. On réalise pour cela le programme incomplet ci-dessous écrit en langage Python : $$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def algo( ) :}\\
\hspace{1cm}\text{V = 1}\\
\hspace{1cm}\text{n = 0}\\
\hspace{1cm}\text{while $\ldots\ldots\ldots$ :}\\
\hspace{2cm}\text{n = n+1}\\
\hspace{2cm}\text{V = 4 * V + 2}\\
\hspace{1cm}\text{return(n)}\\
\hline
\end{array}$$
Pour que le programme retourne la valeur demandée, il faut compléter la partie en pointillé par :

a. $\text{V == 100000}$
b. $\text{V != 100000}$
c. $\text{V > 100000}$
d. $\text{V < 100000}$

$\quad$

Correction Question 5

Il faut saisir la condition contraire à la condition de sortie.
Donc ici $\text{V < 100000}$.

Réponse d

$\quad

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$\quad

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

L’inéquation $-3(x-2)(x + 1) > 0$ admet pour ensemble des solutions :

a. $[-1;2]$
b. $]-\infty;-1[\cup[2;+\infty[$
c. $]-1;2[$
d. $]-\infty;-1[\cup]2;+\infty[$

$\quad$

Correction Question 1

On a $-3(x-2)(x+1)=-3x^2+3x+6$
Les racines de ce polynôme du second degré sont $2$ et $-1$ et le coefficient principal est $a=-3<0$.
Ainsi l’inéquation $-3(x-2)(x + 1) > 0$ admet pour ensemble des solutions est $]-1;2[$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Soit $x$ un nombre réel. Le réel $\cos(x+ 3\pi)$ est égal à :

a. $\cos(x)$
b. $-\cos(x)$
c. $\sin(x)$
d. $-\sin(x)$

$\quad$

Correction Question 2

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \cos(x+3\pi) &=\cos(x+2\pi+\pi)\\
&=\cos(x+\pi)\\
&=-\cos(x)\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé, on considère la droite 𝑑 passant par le point $A(1; 2)$ et dont un vecteur normal est le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$. Une équation de la droite $d$ est :

a. $2x+3y-8=0$
b. $x+2y+4=0$
c. $2x-3y-4=0$
d. $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation de la droite $d$ est de la forme $2x-3y+c=0$.
Le point $A(1;2)$ appartient à la drite $d$.
Donc $2-6+c=0\ssi c=4$
Ainsi une équation de la droite $d$ est $2x-3y+4=0$, soit $3y=2x+4$ ou encore $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$.
On note $C$ sa courbe représentative sur $[0; +\infty[$.
Le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $\dfrac{1}{2}\phantom{\dfrac{1}{2_2}}$
b. $\dfrac{3}{4}\phantom{\dfrac{1^1}{2_2}}$
c. $\dfrac{3}{2}\phantom{\dfrac{1^1}{2_2}}$
d. $2$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;+\infty[$.
Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x\times (x+1)-x^2\times 1}{(x+1)^2} \\
&=\dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}\\
&=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}\end{align*}$
Ainsi $f'(1)=\dfrac{3}{4}$
Le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d’abscisse $1$ est $\dfrac{3}{4}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

L’ensemble des points $M(x; y)$ dont les coordonnées vérifient l’équation $x^2-2x+y^2+4y=4$ est :

a. une droite
b. le cercle de centre $A(1;-2)$ et de rayon $3$
c. le cercle de centre $B(-1;2)$ et de rayon $9$
d. l’ensemble vide

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} &x^2-2x+y^2+4y=4 \\
\ssi~& x^2-2x+1-1+y^2+2\times 2y+4-4=4 \\
\ssi~& (x-1)^2+(y+2)^2=9\\
\ssi~& (x-1)^2+\left(y-(-2)\right)^2=3^2\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

Question 1

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $D$ d’équation cartésienne $4x+5y-7=0$.
Un vecteur normal à $D$ a pour coordonnées :

a. $(5 ; 4)$
b. $(-5 ; 4)$
c. $(4 ; 5)$
d. $(4 ; -5)$

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur normal à la droite $D$ d’équation $4x+5y-7=0$ est $\vec{u}(4;5)$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, l’ensemble $E$ des points $M$ de coordonnées $(x;y)$ vérifiant : $x^2-2x+y^2=3$ est un cercle :

a. de centre $A(1 ; 0)$ et de rayon $2$.
b. de centre $A(1 ; 0)$ et de rayon $4$.
c. de centre $A(-1 ; 0)$ et de rayon $2$.
d. de centre $A(-1 ; 0)$ et de rayon $4$.

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} x^2-2x+y^2=3&\ssi x^2-2x+1-1+y^2=3 \\
&\ssi (x-1)^2+(y-0)^2=4 \\
&\ssi (x-1)^2+(y-0)^2=2^2 \end{align*}$
Il s’agit donc du cercle de centre $A(1;0)$ et de rayon $2$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

La somme $15 + 16 + 17 + \ldots + 243$ est égale à :

a. $29~403$
b. $29~412$
c. $29~541$
d. $29~646$

$\quad$

Correction Question 3

On note $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0=15$ et de raison $1$.
On a ainsi $u_n=15+n$ pour tout entier naturel $n$.
$15+n=243 \ssi n=228$
Ainsi :
$\begin{align*} S&=15 + 16 + 17 + \ldots + 243\\
&=15+(15+1)+(15+2)+\ldots+(15+228)\\
&=15\times 229+(1+2+\ldots+228)\\
&=3~435+\dfrac{228\times 229}{2}\\
&=29~541\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ dérivable définie sur $\R$ par $f(x)=(x+1)\e^x$.
La fonction dérivée $f’$ de $f$ est définie sur $\R$ par :

a. $f'(x)=(x+2)\e^x$
b. $f'(x)=(x+1)\e^x$
c. $f'(x)=x\e^x$
d. $f'(x)=\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^x+(x+1)\times \e^x\\
&=(1+x+1)\e^x\\
&=(x+2)\e^x\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

En utilisant l’arbre de probabilité pondéré ci-dessous, on obtient :

a. $P(B)=\dfrac{1}{4}$
b. $P(B)=\dfrac{2}{5}$
c. $P(B)=\dfrac{13}{20}$
d. $P(B)=\dfrac{3}{10}$

$\quad$

Correction Question 5

$A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right) \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{3}{10}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans un repère orthonormé $\Oij$ du plan, on considère les points $A(2;-1)$, $B(0;3)$ et $C(3;1)$.

  1. a. Vérifier que$\vect{AB}.\vect{AC}=6$
    $\quad$
    b. Calculer $\norme{\vect{AB}}$ et $\norme{AC}$, on donnera les valeurs exactes.
    $\quad$
    c. Vérifier que $\cos\left(\widehat{BAC}\right)=0,6$ et en déduire la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ au degré près.
    $\quad$
  2. a. Vérifier qu’une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est $2x+y-3=0$.
    $\quad$
    b. On note $H$ le pied la hauteur du triangle $ABC$ issue du sommet $C$.
    Déterminer les coordonnées du point $H$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}-2;4\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=-2\times 1+4\times 2\\
    &=6\end{align*}$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} \norme{\vect{AB}}&=\sqrt{(-2)^2+4^2}\\
    &=\sqrt{20}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} \norme{\vect{AC}}&=\sqrt{1^2+2^2}\\
    &=\sqrt{5}\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a d’une part $\vect{AB}.\vect{AC}=6$ et d’autre part $\vect{AB}.\vect{AC}=\norme{\vect{AB}}\times \norme{\vect{AC}}\times \cos \widehat{BAC}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \norme{\vect{AB}}\times \norme{\vect{AC}}\times \cos \widehat{BAC} =6 &\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{6}{\norme{\vect{AB}}\times \norme{\vect{AC}}} \\
    &\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{6}{\sqrt{20}\times \sqrt{5}} \\
    &\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{6}{10}\\
    &\ssi \cos \widehat{BAC}=0,6\end{align*}$
    $\quad$
    Ainsi $\widehat{BAC} \approx 53$°
  2. a. $2\times 2-1-3=0$ donc les coordonnées du point $A$ vérifient l’équation donnée.
    $0+3-3=0$ donc les coordonnées du point $B$ vérifient l’équation donnée.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc $2x+y-3=0$.
    $\quad$
    b. On appelle $d$ la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$.
    Le vecteur $\vect{AB}$ est donc un vecteur normal à la droite $d$.
    Une équation cartésienne de $d$ est donc de la forme $-2x+4y+c=0$.
    Le point $C(3;1)$ appartient à $d$ donc $-6+4+c=0 \ssi c=2$.
    Une équation de $d$ est donc $-2x+4y+2=0$ ou encore $-x+2y+1=0$.
    Les coordonnées du point $H$ sont solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 2x+y-3=0\\-x+2y+1=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=3-2x\\-x+2(3-2x)+1=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} y=3-2x\\-5x+6+1=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=3-2x\\x=\dfrac{7}{5}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{7}{5}\\y=3-2\times \dfrac{7}{5}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{7}{5}\\y=\dfrac{1}{5}\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi $H$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{7}{5};\dfrac{1}{5}\right)$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question une seule réponse est exacte. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse n’enlève aucun point. La bonne réponse rapporte un point. Il n’est pas demandé de justification.

Question 1

L’ensemble des solutions de l’inéquation $3x^2-4x+1\pg 0$ est :

a. $]-\infty;-1[\cup\left[-\dfrac{1}{3};+\infty\right[$
b. $\left]-\infty;\dfrac{1}{3}\right]\cup[1;+\infty[$
c. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right]\cup[1;+\infty[$
d. $\left[\dfrac{1}{3};1\right]$

$\quad$

Correction Question 1

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=(-4)^2-4\times 3\times 1 \\
&=4\\
&>0\end{align*}$
Le polynôme possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{4-\sqrt{4}}{6} \\
&=\dfrac{1}{3}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{4+\sqrt{4}}{6} \\
&=1\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=3>0$ donc L’ensemble des solutions de l’inéquation $3x^2-4x+1\pg 0$ est $\left]-\infty;\dfrac{1}{3}\right]\cup[1;+\infty[$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}a+2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}3\\a\end{pmatrix}$, où $a$ est un nombre réel. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si :

a. $a(a+2)-3=0$
b. $a(a+2)+3=0$
c. $3(a+2)-a=0$
d. $3(a+2)+a=0$

$\quad$

Correction Question 2

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
$\ssi 3(a+2)+(-1)\times a=0$
$\ssi 3(a+2)-a=0$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère le point $A (-2; 3)$ et le vecteur $\vec{u}(1; 2)$. Une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $A$ et de vecteur normal $\vec{u}$ est :

a. $-2x+y-7=0$
b. $x+2y-4=0$
c. $x-2y+8=0$
d. $2x+y+1=0$

$\quad$

Correction Question 3

$\vec{u}(1; 2)$ est un vecteur normal à la droite $d$.
Une équation cartésienne de cette droite est donc de la forme $x+2y+c=0$
Le point $A(-2;3)$ appartient à cette droite. Donc $-2+6+c=0\ssi c=-4$
Une équation cartésienne de $d$ est donc $x+2y-4=0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la suite $\left(u_n\right)$, géométrique de raison $2$ et de premier terme $u_0 = 3$.
La somme $u_0 + u_1 + \ldots + u_{10}$ est égale à :

a. $3\left(2^{11}-1\right)$
b. $3\left(1-2^{11}\right)$
c. $3\left(2^{10}-1\right)$
d. $3\left(1-2^{10}\right)$

$\quad$

Correction Question 4

On a :
$\begin{align*} S&=u_0 + u_1 + \ldots + u_{10} \\
&=3\times \dfrac{1-2^{11}}{1-2} \\
&=-3\left(1-2^{11}\right)\\
&=3\left(2^{11}-1\right)\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$.
La fonction dérivée de $f$ sur $]1;+\infty[$ a pour expression :

a. $f'(x)=\dfrac{-1}{(x-1)^2}$
b. $f'(x)=\dfrac{-3}{(x-1)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{4x-1}{(x-1)^2}$
d. $f'(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x>1$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\times (x-1)-1\times (2x+1)}{(x-1)^2} \\
&=\dfrac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2} \\
&=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question une seule réponse est exacte. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse n’enlève aucun point. La bonne réponse rapporte un point. Il n’est pas demandé de justification.

Question 1

L’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x^2+2x+1>0$, où $x$ est un nombre réel, est :

a. $\left\{-\dfrac{1}{3};1\right\}$
b. $\emptyset$
c. $\left]-\dfrac{1}{3};1\right[$
d. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right[\cup]1;+\infty[$

$\quad$

Correction Question 1

$-3x^2+2x+1$ est un polynôme du second degré.
$\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times (-3)\times 1\\
&=16\\
&>0\end{align*}$
Il possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{-6}\\
&=1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{-6}\\
&=-\dfrac{1}{3}\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=-3<0$.
L’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x^2+2x+1>0$ est donc $\left]-\dfrac{1}{3};1\right[$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Le plan est muni d’un repère $\Oij$.
Une équation cartésienne de la droite $(d)$ passant par le point $A$ de coordonnées $(-1 ; 5)$ et de vecteur directeur $\vec{v}$ de coordonnées $(3 ; -2)$ est :

a. $-2x+3y+13=0$
b. $-2x-3y-13=0$
c. $2x-3y+13=0$
d. $-2x-3y+13=0$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{v}$ de coordonnées $(3 ; -2)$.
Par conséquent une équation cartésienne de $(d)$ est de la forme $-2x-3y+c=0$
Le point $A(-1;5)$ appartient à la droite $(d)$.
Ainsi $2-15+c=0 \ssi c=13$
Une équation cartésienne de $(d)$ est $-2x-3y+13=0$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie sur $] -\infty; 2[\cup]2; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-2}$.
La fonction dérivée de $f$ est définie sur $]-\infty;2[\cup]2;+\infty[ par :

a. $f'(x)=\dfrac{5}{(x-2)^2}$
b. $f'(x)=\dfrac{3x-6}{(x-2)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{-3}{(x-2)^2}$
d. $f'(x)=\dfrac{-5}{(x-2)^2}$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $] -\infty; 2[\cup]2; +\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $] -\infty; 2[\cup]2; +\infty[$.
Pour tout réel $x$ appartenant à $] -\infty; 2[\cup]2; +\infty[$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2(x-2)-(2x+1)\times 1}{(x-2)^2} \\
&=\dfrac{2x-4-2x-1}{(x-2)^2} \\
&=\dfrac{-5}{(x-2)^2}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Pour tout nombre réel $x$, une expression simplifiée de $\dfrac{\left(\e^x\right)^2\times \e^{-x+1}}{\e^{5x}}$ est :

a. $\e^{-4x+1}$
b. $\e^{x^2-6x+1}$
c. $\e^{x^2+4x+1}$
d. $\e^{-x^3+x^5-5x}$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \dfrac{\left(\e^x\right)^2\times \e^{-x+1}}{\e^{5x}}&=\dfrac{\e^{2x}\times \e^{-x+1}}{\e^{5x}}\\
&=\e^{2x-x+1-5x} \\
&=\e^{-4x+1}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La fonction $f$ est définie pour tout $x$ réel par $f(x)=\e^x\left(3\e^x-1\right)$.
La fonction dérivée de $f$ est définie pour tout $x$ réel par :

a. $f'(x)=\e^x\left(3\e^x\right)$
b. $f'(x)=6\e^{2x}-\e^x$
c. $f'(x)=3\e^{2x}-\e^x$
d. $f'(x)=3\left(\e^x\right)^2-1$

$\quad$

Correction Question 5

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\e^x\left(3\e^x-1\right)+e^x\times 3\e^x\\
&=3\e^{2x}-\e^x+3\e^{2x} \\
&=6\e^{2x}-\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n’est attendue.

Une réponse juste rapporte un point, une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlèvent pas de point.

Question 1

Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation : $2x-3y+1=0$.
Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est :

a. $\vec{u}(2;-3)$
b. $\vec{v}(3;2)$
c. $\vec{w}(-3;1)$
a. $\vec{r}\left(1;\dfrac{3}{2}\right)$

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur directeur d’une droite dont une équation est $ax+by+c=0$ a pour coordonnées $(-b;a)$.
Donc, ici, un vecteur directeur est $\vec{v}(3;2)$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation : $2x-3y+1=0$.
Un vecteur normal à la droite $(d)$ est :

a. $\vec{u}(2;-3)$
b. $\vec{v}(3;2)$
c. $\vec{w}(-3;1)$
a. $\vec{r}\left(1;\dfrac{3}{2}\right)$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur normal à une droite dont une équation est $ax+by+c=0$ a pour coordonnées $(a;b)$.

Donc, ici, un vecteur normal est $\vec{u}(2;-3)$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On donne trois points distincts : $A$, $B$ et $C$.
Les points $D$ et $E$ sont tels que $\vect{EB}=\vect{BA}$ et $\vect{ED}=2\times \vect{BC}$. On a :

a. $A$ est le milieu de $[EB]$
b. $B$ est le milieu de $[ED]$
c. $C$ est le milieu de $[AD]$
d. $D$ est le milieu de $[AC]$

$\quad$

Correction Question 3

Il est préférable de faire un schéma pour se rendre compte de ce qu’il faut prouver.
$\begin{align*} \vect{AD}&=\vect{AB}+\vect{BE}+\vect{ED} \\
&=\vect{AB}+\vect{AB}+2\vect{BC} \\
&=2\left(\vect{AB}+\vect{BC}\right) \\
&=2\vect{AC}\end{align*}$
Par conséquent $C$ est le milieu de $[AD]$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $x$ un nombre réel. Dans un repère orthonormé, les vecteurs $\vec{u}(-x+4;7)$ et $\vec{v} (9; 2x- 5)$ sont orthogonaux lorsque $x$ est égal à :

a. $\dfrac{1}{5}$
b. $10$
c. $-\dfrac{1}{5}$
d. $6$

$\quad$

Correction Question 4

$\phantom{\ssi} \vec{u}(-x+4;7)$ et $\vec{v} (9; 2x- 5)$ sont orthogonaux
$\ssi \vec{u}.\vec{v}=0$
$\ssi 9(-x+4)+7(2x-5)=0$
$\ssi -9x+36+14x-35=0$
$\ssi 5x=-1$
$\ssi x=-\dfrac{1}{5}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-1; -2)$, $B(2; 0)$, $C(3; -1)$ et $D(-3; 4)$. Alors $\vect{AC}.\vect{BD}$ est égal à :

a. $-16$
b. $11$
c. $21$
d. $-24$

$\quad$

Correction Question 5

On a $\vect{AC}(4;1)$ et $\vect{BD}(-5;4)$
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AC}.\vect{BD}&= 4\times (-5)+1\times 4 \\
&=-16\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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