E3C – Séries technologiques – Automatismes – EC2

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Le nombre d’adhérents d’un club de sport est passé de 250 en 2018 à 210 en 2019.
Déterminer le taux d’évolution du nombre d’adhérents entre 2018 et 2019.
$\quad$

Correction Question 1

$\dfrac{210-250}{250}=\dfrac{-40}{250}=-\dfrac{4}{25}=-\dfrac{16}{100}$
Le taux d’évolution du nombre d’adhérents est donc de $-16\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Développer $(x-3)(2x+5)$
$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} (x-3)(2x+5)&=2x^2+5x-6x-15\\
&=2x^2-x-15\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

On considère la fonction affine $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=3x-6$.

Calculer $g\left(\dfrac{2}{7}\right)$.
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} g\left(\dfrac{2}{7}\right)&=3\times \dfrac{2}{7}-6\\
&=\dfrac{6}{7}-\dfrac{42}{7}\\
&=-\dfrac{36}{7}\end{align*}$

[collapse]

$\quad$
Déterminer l’antécédent de $2$ par la fonction $g$.
$\quad$

Correction Question 4

On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*} 3x-6=2&\ssi 3x=8 \\
&\ssi x=\dfrac{8}{3}\end{align*}$
L’antécédent de $2$ par la fonction $g$ est $\dfrac{8}{3}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Donner le tableau de signes de $g$ sur $\R$.
$\quad$

Correction Question 5

$3x-6=0 \ssi 3x=6 \ssi x=2$ et $3x-6>0\ssi 3x>6\ssi x>2$
On obtient le tableau de signes suivant :

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

On a tracé dans le repère ci-dessous une droite $D$ et $C_f$, la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $[-1;6]$. Répondre aux
questions suivantes par lecture graphique :

Donner le tableau de signes de la fonction ? sur l’intervalle $[-1;6]$.
$\quad$

Correction Question 6

D’après le graphique on obtient le tableau de signes suivant :$\quad$

[collapse]

$\quad$
Déterminer $f(3)$.
$\quad$

Correction Question 7

Graphiquement $f(3)=6$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre $f(x)=6$.
$\quad$

Correction Question 8

Deux points de la courbe $C_f$ ont pour ordonnées $6$ : celui d’abscisse $3$ et celui d’abscisse $5$.
Les solutions de l’équation sont donc $3$ et $5$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre $f(x)\pg 3$.
$\quad$

Correction Question 9

D’après le graphique, $f(x)\pg 3$ pour tout $x\pg 2$.
L’ensemble solution est donc $[2;6]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Donner une équation de la droite $D$.
$\quad$

Correction Question 10

L’ordonnée à l’origine est $4$.
Pour un déplacement d’une unité vers la droite on descend de $2$ unités. Le coefficient directeur est donc $-2$.
Une équation de la droite $D$ est par conséquent $y=-2x+4$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Quelle est la fraction irréductible égale à $\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{3}$?
$\quad$

Correction Question 1

$\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{21}-\dfrac{14}{21}=-\dfrac{11}{21}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un objet coûte $25$ €. Son prix baisse de $20\%$. Quel est son nouveau prix?
$\quad$

Correction Question 2

$25\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=\dfrac{100}{4}\times \dfrac{80}{100}=20$.
Le nouveau prix est $20$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Ecrire le nombre suivant sous la forme $a^n$ avec $a,n \in \N$.
$$5^6\times \left(4^3\right)^2$$
$\quad$

Correction Question 3

$5^6\times \left(4^3\right)^2=5^6\times 4^6=20^6$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Donner un ordre de grandeur de $$101\times 99$$
$\quad$

Correction Question 4

Un ordre de grandeur de $101\times 99$ est $100\times 100=10~000$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’équation d’inconnue $x$ suivante : $$3x^2-1=48$$
$\quad$

Correction Question 5

$3x^2-1=48 \ssi 3x^2=49 \ssi x^2=\dfrac{49}{3}$.
Les solutions sont donc $-\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{3}}$ soit $-\dfrac{7}{\sqrt{3}}$ et $\dfrac{7}{\sqrt{3}}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’inéquation d’inconnue $x$ suivante : $$-2x+1\pp 3$$
$\quad$

Correction Question 6

$-2x+1\pp 3 \ssi -2x \pp 2 \ssi x\pg -1$
L’ensemble solution est $[-1;+\infty[$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Factoriser $9x^2-30x+25$
$\quad$

Correction Question 7

$9x^2-30x+25=(3x)^2-2\times 3x\times 5+5^2=(3x-5)^2$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(-x+1)(-2x+4)$.
Déterminer le tableau de signes de $f(x)$.
$\quad$

Correction Question 8

$-x+1=0 \ssi x=1$ et $-x+1>0 \ssi x<1$
$-2x+4=0 \ssi -2x=-4 \ssi x=2$ et $-2x+4>0 \ssi -2x>-4 \ssi x<2$
On obtient donc le tableau de signes suivant :$\quad$

[collapse]

$\quad$
$\quad$
En utilisant la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[-3;2]$ donnée ci-dessous, résoudre l’inéquation $f(x)\pg 0$.
$\quad$

Correction Question 9

L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\pg 0$ est $[-2;1]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Par lecture graphique donner l’équation réduite de la droite d représentée ci-dessus.
$\quad$

Correction Question 10

L’équation réduite de la droite $d$ est : $y=-\dfrac{1}{2}x-1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Dans un repère du plan, on donne $A(2; 4)$ et $B(6; 16)$.
Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
$\quad$

Correction Question 1

$A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
Une équation de cette droite est donc de la forme $y=mx+p$.
Le coefficient directeur est $m=\dfrac{16-4}{6-2}=3$.
Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=3x+p$.
Or $A(2;4)$ appartient à la droite $(AB)$.
Par conséquent $4=3\times 2+p$. Donc $p=-2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2-x+3$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
Déterminer l’ordonnée du point de $C_f$ ayant pour abscisse $-3$.
$\quad$

Correction Question 2

$f(-3)=2(-3)^2-(-3)+3=18+3+3=24$.
Le point de $C_f$ ayant pour abscisse $-3$ a pour ordonnée $24$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Factoriser l’expression $4(x+2)+(x+2)^2$.
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} 4(x+2)+(x+2)^2&=(x+2)\left[4+(x+2)\right]\\
&=(x+2)(x+6)\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=-3x+7$.
Déterminer l’antécédent de $-11$ par $g$.
$\quad$

Correction Question 4

On veut résoudre l’équation
$\begin{align*} g(x)=-11&\ssi -3x+7=-11 \\
&\ssi -3x=-18\\
&\ssi x=6\end{align*}$
L’antécédent cherché est donc $6$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Après une baisse de $20\%$ un produit coûte $200$ €. Quel était son prix initial?
$\quad$

Correction Question 5

On appelle $P$ son prix initial.
On a donc :
$\begin{align*} P\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=200 &\ssi 0,8P=200\\
&\ssi P=\dfrac{200}{0,8} \\
&\ssi P = 250\end{align*}$
Remarque : diviser par $0,8$ revient à diviser par $4$ puis à multiplier par $5$.
Le produit coûtait donc initialement $250$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Calculer $\dfrac{10+10^3}{10}$
$\quad$

Correction Question 6

$\dfrac{10+10^3}{10}=1+10^2=101$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’équation $x^2=25$
$\quad$

Correction Question 7

Les solutions de l’équation sont $-5$ et $5$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
La formule de l’IMC (indice de masse corporelle; noté $I$) est $I=\dfrac{m}{t^2}$ où $m$ est la masse en kilogramme et $t$ la taille en mètre.
Exprimer $t$ en fonction de $m$ et de $I$.
$\quad$

Correction Question 8

On a donc $t^2=\dfrac{m}{I}$ soit, puisque $t$ est positif, $t=\sqrt{\dfrac{m}{I}}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Compléter le tableau de signe de l’expression $(x-1)(x+3)$.
$\quad$

Correction Question 9

$x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
$x+3=0 \ssi x=-3$ et $x+3>0 \ssi x>-3$
On obtient donc le tableau de signes suivant :

$\quad$

[collapse]

$\quad$
Par lecture graphique, dresser le tableau de variation de la fonction $h$ définie sur $[-6; 6]$ et représentée ci-dessous dans un repère du plan :

$\quad$

$\quad$

Correction Question 10

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

À quelle évolution globale correspond une hausse de $20\%$ suivi d’une baisse de $30\%$ ?
$\quad$

Correction Question 1

Le coefficient multiplicateur est :
$\begin{align*} m&=\left(1+\dfrac{20}{100}\right)\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\\
&=1,2\times 0,7\\
&=0,84\\
&=1-0,16\end{align*}$
Il s’agit donc, au global, d’une baisse de $16\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Convertir $3,52$ h en heure minute seconde.
$\quad$

Correction Question 2

$0,52$h $=0,52\times 60$ min $= 31,2$ min
$0,2$ min $=0,2\times 60$ s $=12$ s.
Ainsi $3,52$h $=3$h $31$min $12$s
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Soit $(d)$ la droite d’équation réduite $y = -3x + 2$.
Le point $B\left(\dfrac{1}{3};1\right)$ appartient-il à la droite $(d)$ ?
$\quad$

Correction Question 3

$-3\times \dfrac{1}{3}+2=-1+2=1$ donc $B$ appartient à la droite $(d)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Développer et réduite l’expression suivante :
$A(x)=(2x-1)^2+3x+2$
$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} A(x)&=(2x-1)^2+3x+2 \\
&=(2x)^2-2\times 2x\times 1+1^2+3x+2\\
&=4x^2-4x+1+3x+2\\
&=4x^2-x+3\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Soit $f$ la fonction définie par la représentation graphique ci-dessous :

Déterminer graphiquement l’ensemble des solutions de l’équation $f(x)=0$.
$\quad$

Correction Question 5

L’ensemble solution cherché est, graphiquement, $\left\{-3;0;2;4\right\}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’inéquation d’inconnue $x$ suivante : $-2x-4\pg x+2$.
$\quad$

Correction Question 6

$\begin{align*} -2x-4\pg x+2&\ssi -3x\pg 6\\
&\ssi x\pp -2 \text{ on divise par $-3$ qui est négatif}\end{align*}$
L’ensemble solution est donc $]-\infty;-2]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Quelle est la fraction irréductible égale à $\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{12}$?
$\quad$

Correction Question 7

$\begin{align*}\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{12}&=\dfrac{9}{24}+\dfrac{10}{24} \\
&=\dfrac{19}{24}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On considère le calcul suivant : $0,003\times 1,5\times 10^8$.
Donner le résultat en écriture scientifique.
$\quad$

Correction Question 8

$\begin{align*}0,003\times 1,5\times 10^8&=3\times 10^{-3}\times 15\times 10^{-1}\times 10^8 \\
&=45\times 10^4 \\
&=4,5\times 10^5\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’équation d’inconnue $x$ suivante : $$3x^2+1=13$$
$\quad$

Correction Question 9

$\begin{align*}3x^2+1=13&\ssi 3x^2=12\\
&\ssi x^2=4\\
&\ssi x=2 \text{ ou } x=-2\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Les tailles des élèves d’une classe de terminale ont été représentées par l’histogramme ci‐dessous :

Trois élèves ont une taille inférieure à $160$ cm.
Déterminer le nombre d’élèves dans cette classe de terminale.
$\quad$

Correction Question 10

$6$ “petits rectangles” représentent donc $3$ élèves.
Donc $2$ “petits rectangles” représentent $1$ élève.
Il y a par conséquent $33$ élèves dans cette classe.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Soit $B=\dfrac{5}{3}-\dfrac{7}{3}\times \dfrac{4}{5}$.
Donner la valeur de $B$ sous la forme d’une fraction irréductible.
$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} B&=\dfrac{5}{3}-\dfrac{7}{3}\times \dfrac{4}{5}\\
&=\dfrac{5}{3}-\dfrac{28}{15}\\
&=\dfrac{25}{15}-\dfrac{28}{15}\\
&=-\dfrac{3}{15}\\
&=-\dfrac{1}{5}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un prix est multiplié par $0,84$. Quel est le taux d’évolution de ce prix ?
$\quad$

Correction Question 2

$0,84=1-0,16$.
Il s’agit donc d’une baisse de $16\%$. Le taux d’évolution est donc $-16\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un prix augmente de $20\%$ puis baisse de $30 \%$. Quelle est l’évolution globale de ce prix ?
$\quad$

Correction Question 3

Le coefficient multiplicateur est :
$\begin{align*} m&=\left(1+\dfrac{20}{100}\right)\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\\
&=1,2\times 0,7\\
&=0,84\\
&=1-0,16\end{align*}$
Le prix a subi une baisse de $16\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Dans le repère ci-dessous, tracer la droite d’équation $y=3x-2$.
$\quad$

Correction Question 4

Son ordonnée à l’origine est $-2$ et son coefficient directeur est $3$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’équation $5x+1=4$.
$\quad$

Correction Question 5

$5x+1=4\ssi 5x=3\ssi x=\dfrac{3}{5}$
La solution de l’équation est $\dfrac{3}{5}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Résoudre l’équation $3x^2=12$.
$\quad$

Correction Question 6

$3x^2=12\ssi x^2=4\ssi x=2$ ou $x=-2$
Les solutions de l’équation sont $-2$ et $2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Développer l’expression $A=(2x-1)^2-x^2$.
$\quad$

Correction Question 7

$\begin{align*} A&=(2x-1)^2-x^2\\
&=(2x)^2-2\times 2x\times 1+1^2-x^2\\
&=4x^2-4x+1-x^2\\
&=3x^2-4x+1\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Voici la répartition des notes sur $5$ d’une classe de première :

L’effectif total de la classe est :
$\quad$

Correction Question 8

$4+8+7+5+1=25$
Il y a donc $25$ élèves dans la classe.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Quel est le pourcentage de la classe qui a eu $4$ sur $5$ ?
$\quad$

Correction Question 8

$\dfrac{5}{25}=0,2$.
$20\%$ des élèves ont donc eu $4$ sur $5$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Quel est le pourcentage d’élèves de la classe qui ont eu la moyenne ?
$\quad$

Correction Question 8

$7+5+1=13$
$\dfrac{13}{25}=\dfrac{52}{100}$
$52\%$ des élèves ont eu la moyenne
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

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Séries technologiques

Pour un coefficient multiplicateur de $1,33$ le taux d’évolution en pourcentage est :
$\quad$

Correction Question 1

$1,33=1+\dfrac{33}{100}$
Le taux d’évolution est donc de $33\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Après une hausse de $120 \%$ un produit coûte $1~200$ €.
Quel était son prix initial ?
$\quad$

Correction Question 2

On appelle $P$ le prix initial.
On a donc :
$\begin{align*}
P\left(1+\dfrac{120}{100}\right)=1~200 &\ssi 2,2P=1~200\\
&\ssi P=\dfrac{1~200}{2,2}
\end{align*}$
$P$ n’admet pas d’écriture décimale. Une écriture sous la forme d’une fraction irréductible est $P=\dfrac{6~000}{11}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Écrire sous la forme décimale le résultat du calcul suivant $3\times 10^3+6\times 10^2+4+5\times 10^{-1}$.
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} &3\times 10^3+6\times 10^2+4+5\times 10^{-1}\\=&3\times 1~000+6\times 100+4+5\times 0,1\\
=&3~604,5\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’équation $5-2x=0$.
$\quad$

Correction Question 4

$5-2x=0 \ssi 2x=5\ssi x=\dfrac{5}{2}$.
La solution de l’équation est $\dfrac{5}{2}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
L’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x+6>0$ est
$\quad$

Correction Question 5

$-3x+6>0\ssi -3x>-6\ssi x<2$
L’ensemble des solutions est $]-\infty;2[$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Factoriser $3x(x+5)-(x+5)^2$.
$\quad$

Correction Question 6

$\begin{align*} 3x(x+5)-(x+5)^2&=(x+5)\left[3-(x+5)\right] \\
&=(x+5)(3x-x-5)\\
&=(x+5)(2x-5)\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
$x$ et $y$ sont des nombres réels tels que $6-2x\pp 4y$.
Isoler $x$ dans cette inégalité.
$\quad$

Correction Question 7

$6-2x\pp 4y \ssi -2x\pp 4y-6 \ssi x\pg 3-2y$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
$f(x)=x^2-3$
Calculer l’image de $\sqrt{2}$ par cette fonction.
$\quad$

Correction Question 8

$\begin{align*} f\left(\sqrt{2}\right)&=\sqrt{2}^2-3\\
&=2-3\\
&=-1\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Les coordonnées du point d’intersection de la droite d’équation $y=3x+2$ avec l’axe des abscisses sont
$\quad$

Correction Question 9

$3x+2=0\ssi 3x=-2 \ssi x=-\dfrac{2}{3}$
Les coordonnées du point d’intersection de la droite d’équation $y=3x+2$ avec l’axe des abscisses sont $\left(-\dfrac{2}{3};0\right)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Donner l’équation réduite de la droite $(D)$ représentée ci-dessous
$\quad$

Correction Question 10

On lit que l’ordonnée à l’origine est $-1$ et que le coefficient directeur est $\dfrac{1}{2}$ (on “monte” de $1$ unité quand on se déplace de $2$ unités vers la droite).
L’équation réduite de $(D)$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x-1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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Calculer $\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{2}$. Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*}\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{2}&=\dfrac{8}{10}+\dfrac{5}{10} \\
&=\dfrac{13}{10}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Compléter avec les exposants qui conviennent :
$$2^3\times 10^5=2^{\ldots}\times 5^{\ldots}$$
$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} 2^3\times 10^5&=2^3\times (2\times 5)^5 \\
&=2^{3+5}\times 5^5 \\
&=2^8\times 5^5\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Compléter :
Augmenter de $3\%$ revient à multiplier par $\ldots\ldots$.
$\quad$

Correction Question 3

$1+\dfrac{3}{100}=1,03$
Augmenter de $3\%$ revient à multiplier par $1,03$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Une table coûte $289$ €. Quel est son prix après une remise de $20 \%$ ?
$\quad$

Correction Question 4

Montant de la remise : $289\times \dfrac{20}{100}=57,8$
Nouveau prix : $289-57,8=231,2$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un canapé coûte $405,30$ € après une remise de $30 \%$. Quel était son prix avant la remise ?
$\quad$

Correction Question 5

On appelle $P$ le prix avant remise.
On a donc :
$\begin{align*} P\times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=405,30&\ssi 0,7P=405,30 \\
&\ssi P=\dfrac{405,3}{0,7}\\
&\ssi P=579\end{align*}$
Le canapé coûtait $579$ € avant la remise.
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Comparer $0,75$ et $\dfrac{3}{5}$.
$\quad$

Correction Question 6

$\dfrac{3}{5}=0,6<0,75$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’équation $x^2=2$.
$\quad$

Correction Question 7

$x^2=2\ssi x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}$
Les solutions de l’équation sont donc $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Compléter le tableau de signes de $(2-x)(3x+1)$.

$\quad$

Correction Question 8

$2-x=0 \ssi x=2$ et $2-x>0 \ssi x<2$
$3x+1=0\ssi 3x=-1 \ssi x=-\dfrac{1}{3}$ et $3x+1>0\ssi 3x>-1\ssi x>-\dfrac{1}{3}$
On obtient donc le tableau de signes suivant :
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la droite passant par les points $A(1 ; 3)$ et $B(5 ; 5)$.
$\quad$

Correction Question 9

$A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. L’équation réduite de $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
$a=\dfrac{5-3}{5-1}=\dfrac{1}{2}$
Une équation de $(AB)$ est donc de la forme $y=\dfrac{1}{2}x+b$.
$A(1;3)$ appartient à la droite $(AB)$.
Ainsi $3=\dfrac{1}{2}\times 1+b \ssi b=\dfrac{5}{2}$
L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Factoriser l’expression : $(x-5)(x+1)-3(x-5)$.
$\quad$

Correction Question 10

$\begin{align*} (x-5)(x+1)-3(x-5)&=(x-5)\left[(x+1)-3\right] \\
&=(x-5)(x+1-3)\\
&=(x-5)(x-2)\end{align*}$
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