E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Quelle est la fraction irréductible égale à $\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{3}$?
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{21}-\dfrac{14}{21}=-\dfrac{11}{21}$.
    $\quad$

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    $\quad$
  2. Un objet coûte $25$ €. Son prix baisse de $20\%$. Quel est son nouveau prix?
    $\quad$
    Correction Question 2

    $25\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=\dfrac{100}{4}\times \dfrac{80}{100}=20$.
    Le nouveau prix est $20$ €.
    $\quad$

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    $\quad$
  3. Ecrire le nombre suivant sous la forme $a^n$ avec $a,n \in \N$.
    $$5^6\times \left(4^3\right)^2$$
    $\quad$
    Correction Question 3

    $5^6\times \left(4^3\right)^2=5^6\times 4^6=20^6$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Donner un ordre de grandeur de $$101\times 99$$
    $\quad$
    Correction Question 4

    Un ordre de grandeur de $101\times 99$ est $100\times 100=10~000$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Résoudre dans $\R$ l’équation d’inconnue $x$ suivante : $$3x^2-1=48$$
    $\quad$
    Correction Question 5

    $3x^2-1=48 \ssi 3x^2=49 \ssi x^2=\dfrac{49}{3}$.
    Les solutions sont donc $-\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{3}}$ soit $-\dfrac{7}{\sqrt{3}}$ et $\dfrac{7}{\sqrt{3}}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  6. Résoudre dans $\R$ l’inéquation d’inconnue $x$ suivante : $$-2x+1\pp 3$$
    $\quad$
    Correction Question 6

    $-2x+1\pp 3 \ssi -2x \pp 2 \ssi x\pg -1$
    L’ensemble solution est $[-1;+\infty[$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Factoriser $9x^2-30x+25$
    $\quad$
    Correction Question 7

    $9x^2-30x+25=(3x)^2-2\times 3x\times 5+5^2=(3x-5)^2$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(-x+1)(-2x+4)$.
    Déterminer le tableau de signes de $f(x)$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $-x+1=0 \ssi x=1$ et $-x+1>0 \ssi x<1$
    $-2x+4=0 \ssi -2x=-4 \ssi x=2$ et $-2x+4>0 \ssi -2x>-4 \ssi x<2$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :$\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. $\quad$

    En utilisant la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[-3;2]$ donnée ci-dessous, résoudre l’inéquation $f(x)\pg 0$.
    $\quad$

    Correction Question 9

    L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\pg 0$ est $[-2;1]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Par lecture graphique donner l’équation réduite de la droite d représentée ci-dessus.
    $\quad$
    Correction Question 10

    L’équation réduite de la droite $d$ est : $y=-\dfrac{1}{2}x-1$.
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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  1. Dans un repère du plan, on donne $A(2; 4)$ et $B(6; 16)$.
    Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
    Une équation de cette droite est donc de la forme $y=mx+p$.
    Le coefficient directeur est $m=\dfrac{16-4}{6-2}=3$.
    Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=3x+p$.
    Or $A(2;4)$ appartient à la droite $(AB)$.
    Par conséquent $4=3\times 2+p$. Donc $p=-2$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2-x+3$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
    Déterminer l’ordonnée du point de $C_f$ ayant pour abscisse $-3$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $f(-3)=2(-3)^2-(-3)+3=18+3+3=24$.
    Le point de $C_f$ ayant pour abscisse $-3$ a pour ordonnée $24$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Factoriser l’expression $4(x+2)+(x+2)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} 4(x+2)+(x+2)^2&=(x+2)\left[4+(x+2)\right]\\
    &=(x+2)(x+6)\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=-3x+7$.
    Déterminer l’antécédent de $-11$ par $g$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    On veut résoudre l’équation
    $\begin{align*} g(x)=-11&\ssi -3x+7=-11 \\
    &\ssi -3x=-18\\
    &\ssi x=6\end{align*}$
    L’antécédent cherché est donc $6$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Après une baisse de $20\%$ un produit coûte $200$ €. Quel était son prix initial?
    $\quad$
    Correction Question 5

    On appelle $P$ son prix initial.
    On a donc :
    $\begin{align*} P\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=200 &\ssi 0,8P=200\\
    &\ssi P=\dfrac{200}{0,8} \\
    &\ssi P = 250\end{align*}$
    Remarque : diviser par $0,8$ revient à diviser par $4$ puis à multiplier par $5$.
    Le produit coûtait donc initialement $250$ €.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Calculer $\dfrac{10+10^3}{10}$
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\dfrac{10+10^3}{10}=1+10^2=101$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Résoudre l’équation $x^2=25$
    $\quad$
    Correction Question 7

    Les solutions de l’équation sont $-5$ et $5$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. La formule de l’IMC (indice de masse corporelle; noté $I$) est $I=\dfrac{m}{t^2}$ où $m$ est la masse en kilogramme et $t$ la taille en mètre.
    Exprimer $t$ en fonction de $m$ et de $I$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    On a donc $t^2=\dfrac{m}{I}$ soit, puisque $t$ est positif, $t=\sqrt{\dfrac{m}{I}}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Compléter le tableau de signe de l’expression $(x-1)(x+3)$.
    $\quad$
    Correction Question 9

    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x+3=0 \ssi x=-3$ et $x+3>0 \ssi x>-3$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Par lecture graphique, dresser le tableau de variation de la fonction $h$ définie sur $[-6; 6]$ et représentée ci-dessous dans un repère du plan :

    $\quad$

    $\quad$
    Correction Question 10

    [collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

  1. À quelle évolution globale correspond une hausse de $20\%$ suivi d’une baisse de $30\%$ ?
    $\quad$
    Correction Question 1

    Le coefficient multiplicateur est :
    $\begin{align*} m&=\left(1+\dfrac{20}{100}\right)\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\\
    &=1,2\times 0,7\\
    &=0,84\\
    &=1-0,16\end{align*}$
    Il s’agit donc, au global, d’une baisse de $16\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Convertir $3,52$ h en heure minute seconde.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $0,52$h $=0,52\times 60$ min $= 31,2$ min
    $0,2$ min $=0,2\times 60$ s $=12$ s.
    Ainsi $3,52$h $=3$h $31$min $12$s
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Soit $(d)$ la droite d’équation réduite $y = -3x + 2$.
    Le point $B\left(\dfrac{1}{3};1\right)$ appartient-il à la droite $(d)$ ?
    $\quad$
    Correction Question 3

    $-3\times \dfrac{1}{3}+2=-1+2=1$ donc $B$ appartient à la droite $(d)$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Développer et réduite l’expression suivante :
    $A(x)=(2x-1)^2+3x+2$
    $\quad$
    Correction Question 4

    $\begin{align*} A(x)&=(2x-1)^2+3x+2 \\
    &=(2x)^2-2\times 2x\times 1+1^2+3x+2\\
    &=4x^2-4x+1+3x+2\\
    &=4x^2-x+3\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Soit $f$ la fonction définie par la représentation graphique ci-dessous :

    Déterminer graphiquement l’ensemble des solutions de l’équation $f(x)=0$.
    $\quad$

    Correction Question 5

    L’ensemble solution cherché est, graphiquement, $\left\{-3;0;2;4\right\}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Résoudre dans $\R$ l’inéquation d’inconnue $x$ suivante : $-2x-4\pg x+2$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} -2x-4\pg x+2&\ssi -3x\pg 6\\
    &\ssi x\pp -2 \text{ on divise par $-3$ qui est négatif}\end{align*}$
    L’ensemble solution est donc $]-\infty;-2]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Quelle est la fraction irréductible égale à $\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{12}$?
    $\quad$
    Correction Question 7

    $\begin{align*}\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{12}&=\dfrac{9}{24}+\dfrac{10}{24} \\
    &=\dfrac{19}{24}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. On considère le calcul suivant : $0,003\times 1,5\times 10^8$.
    Donner le résultat en écriture scientifique.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $\begin{align*}0,003\times 1,5\times 10^8&=3\times 10^{-3}\times 15\times 10^{-1}\times 10^8 \\
    &=45\times 10^4 \\
    &=4,5\times 10^5\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Résoudre dans $\R$ l’équation d’inconnue $x$ suivante : $$3x^2+1=13$$
    $\quad$
    Correction Question 9

    $\begin{align*}3x^2+1=13&\ssi 3x^2=12\\
    &\ssi x^2=4\\
    &\ssi x=2 \text{ ou } x=-2\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Les tailles des élèves d’une classe de terminale ont été représentées par l’histogramme ci‐dessous :

    Trois élèves ont une taille inférieure à $160$ cm.
    Déterminer le nombre d’élèves dans cette classe de terminale.
    $\quad$
    Correction Question 10

    $6$ “petits rectangles” représentent donc $3$ élèves.
    Donc $2$ “petits rectangles” représentent $1$ élève.
    Il y a par conséquent $33$ élèves dans cette classe.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

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  1. Soit $B=\dfrac{5}{3}-\dfrac{7}{3}\times \dfrac{4}{5}$.
    Donner la valeur de $B$ sous la forme d’une fraction irréductible.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\begin{align*} B&=\dfrac{5}{3}-\dfrac{7}{3}\times \dfrac{4}{5}\\
    &=\dfrac{5}{3}-\dfrac{28}{15}\\
    &=\dfrac{25}{15}-\dfrac{28}{15}\\
    &=-\dfrac{3}{15}\\
    &=-\dfrac{1}{5}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Un prix est multiplié par $0,84$. Quel est le taux d’évolution de ce prix ?
    $\quad$
    Correction Question 2

    $0,84=1-0,16$.
    Il s’agit donc d’une baisse de $16\%$. Le taux d’évolution est donc $-16\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Un prix augmente de $20\%$ puis baisse de $30 \%$. Quelle est l’évolution globale de ce prix ?
    $\quad$
    Correction Question 3

    Le coefficient multiplicateur est :
    $\begin{align*} m&=\left(1+\dfrac{20}{100}\right)\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\\
    &=1,2\times 0,7\\
    &=0,84\\
    &=1-0,16\end{align*}$
    Le prix a subi une baisse de $16\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Dans le repère ci-dessous, tracer la droite d’équation $y=3x-2$.
    $\quad$
    Correction Question 4


    Son ordonnée à l’origine est $-2$ et son coefficient directeur est $3$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Résoudre l’équation $5x+1=4$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $5x+1=4\ssi 5x=3\ssi x=\dfrac{3}{5}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{3}{5}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Résoudre l’équation $3x^2=12$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $3x^2=12\ssi x^2=4\ssi x=2$ ou $x=-2$
    Les solutions de l’équation sont $-2$ et $2$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Développer l’expression $A=(2x-1)^2-x^2$.
    $\quad$
    Correction Question 7

    $\begin{align*} A&=(2x-1)^2-x^2\\
    &=(2x)^2-2\times 2x\times 1+1^2-x^2\\
    &=4x^2-4x+1-x^2\\
    &=3x^2-4x+1\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Voici la répartition des notes sur $5$ d’une classe de première :

  1. L’effectif total de la classe est :
    $\quad$
    Correction Question 8

    $4+8+7+5+1=25$
    Il y a donc $25$ élèves dans la classe.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Quel est le pourcentage de la classe qui a eu $4$ sur $5$ ?
    $\quad$
    Correction Question 8

    $\dfrac{5}{25}=0,2$.
    $20\%$ des élèves ont donc eu $4$ sur $5$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Quel est le pourcentage d’élèves de la classe qui ont eu la moyenne ?
    $\quad$
    Correction Question 8

    $7+5+1=13$
    $\dfrac{13}{25}=\dfrac{52}{100}$
    $52\%$ des élèves ont eu la moyenne
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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  1. Pour un coefficient multiplicateur de $1,33$ le taux d’évolution en pourcentage est :
    $\quad$
    Correction Question 1

    $1,33=1+\dfrac{33}{100}$
    Le taux d’évolution est donc de $33\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Après une hausse de $120 \%$ un produit coûte $1~200$ €.
    Quel était son prix initial ?
    $\quad$
    Correction Question 2

    On appelle $P$ le prix initial.
    On a donc :
    $\begin{align*}
    P\left(1+\dfrac{120}{100}\right)=1~200 &\ssi 2,2P=1~200\\
    &\ssi P=\dfrac{1~200}{2,2}
    \end{align*}$
    $P$ n’admet pas d’écriture décimale. Une écriture sous la forme d’une fraction irréductible est $P=\dfrac{6~000}{11}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Écrire sous la forme décimale le résultat du calcul suivant $3\times 10^3+6\times 10^2+4+5\times 10^{-1}$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} &3\times 10^3+6\times 10^2+4+5\times 10^{-1}\\=&3\times 1~000+6\times 100+4+5\times 0,1\\
    =&3~604,5\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $5-2x=0$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    $5-2x=0 \ssi 2x=5\ssi x=\dfrac{5}{2}$.
    La solution de l’équation est $\dfrac{5}{2}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. L’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x+6>0$ est
    $\quad$
    Correction Question 5

    $-3x+6>0\ssi -3x>-6\ssi x<2$
    L’ensemble des solutions est $]-\infty;2[$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Factoriser $3x(x+5)-(x+5)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} 3x(x+5)-(x+5)^2&=(x+5)\left[3-(x+5)\right] \\
    &=(x+5)(3x-x-5)\\
    &=(x+5)(2x-5)\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. $x$ et $y$ sont des nombres réels tels que $6-2x\pp 4y$.
    Isoler $x$ dans cette inégalité.
    $\quad$
    Correction Question 7

    $6-2x\pp 4y \ssi -2x\pp 4y-6 \ssi x\pg 3-2y$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. $f(x)=x^2-3$
    Calculer l’image de $\sqrt{2}$ par cette fonction.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $\begin{align*} f\left(\sqrt{2}\right)&=\sqrt{2}^2-3\\
    &=2-3\\
    &=-1\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Les coordonnées du point d’intersection de la droite d’équation $y=3x+2$ avec l’axe des abscisses sont
    $\quad$
    Correction Question 9

    $3x+2=0\ssi 3x=-2 \ssi x=-\dfrac{2}{3}$
    Les coordonnées du point d’intersection de la droite d’équation $y=3x+2$ avec l’axe des abscisses sont $\left(-\dfrac{2}{3};0\right)$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Donner l’équation réduite de la droite $(D)$ représentée ci-dessous
    $\quad$
    Correction Question 10

    On lit que l’ordonnée à l’origine est $-1$ et que le coefficient directeur est $\dfrac{1}{2}$ (on “monte” de $1$ unité quand on se déplace de $2$ unités vers la droite).
    L’équation réduite de $(D)$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x-1$.
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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  1. Calculer $\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{2}$. Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\begin{align*}\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{2}&=\dfrac{8}{10}+\dfrac{5}{10} \\
    &=\dfrac{13}{10}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Compléter avec les exposants qui conviennent :
    $$2^3\times 10^5=2^{\ldots}\times 5^{\ldots}$$
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} 2^3\times 10^5&=2^3\times (2\times 5)^5 \\
    &=2^{3+5}\times 5^5 \\
    &=2^8\times 5^5\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Compléter :
    Augmenter de $3\%$ revient à multiplier par $\ldots\ldots$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $1+\dfrac{3}{100}=1,03$
    Augmenter de $3\%$ revient à multiplier par $1,03$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Une table coûte $289$ €. Quel est son prix après une remise de $20 \%$ ?
    $\quad$
    Correction Question 4

    Montant de la remise : $289\times \dfrac{20}{100}=57,8$
    Nouveau prix : $289-57,8=231,2$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Un canapé coûte $405,30$ € après une remise de $30 \%$. Quel était son prix avant la remise ?
    $\quad$
    Correction Question 5

    On appelle $P$ le prix avant remise.
    On a donc :
    $\begin{align*} P\times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=405,30&\ssi 0,7P=405,30 \\
    &\ssi P=\dfrac{405,3}{0,7}\\
    &\ssi P=579\end{align*}$
    Le canapé coûtait $579$ € avant la remise.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Comparer $0,75$ et $\dfrac{3}{5}$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\dfrac{3}{5}=0,6<0,75$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Résoudre l’équation $x^2=2$.
    $\quad$
    Correction Question 7

    $x^2=2\ssi x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}$
    Les solutions de l’équation sont donc $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Compléter le tableau de signes de $(2-x)(3x+1)$.

    $\quad$
    Correction Question 8

    $2-x=0 \ssi x=2$ et $2-x>0 \ssi x<2$
    $3x+1=0\ssi 3x=-1 \ssi x=-\dfrac{1}{3}$ et $3x+1>0\ssi 3x>-1\ssi x>-\dfrac{1}{3}$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Déterminer l’équation réduite de la droite passant par les points $A(1 ; 3)$ et $B(5 ; 5)$.
    $\quad$
    Correction Question 9

    $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. L’équation réduite de $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
    $a=\dfrac{5-3}{5-1}=\dfrac{1}{2}$
    Une équation de $(AB)$ est donc de la forme $y=\dfrac{1}{2}x+b$.
    $A(1;3)$ appartient à la droite $(AB)$.
    Ainsi $3=\dfrac{1}{2}\times 1+b \ssi b=\dfrac{5}{2}$
    L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Factoriser l’expression : $(x-5)(x+1)-3(x-5)$.
    $\quad$
    Correction Question 10

    $\begin{align*} (x-5)(x+1)-3(x-5)&=(x-5)\left[(x+1)-3\right] \\
    &=(x-5)(x+1-3)\\
    &=(x-5)(x-2)\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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