E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

L’annexe est à rendre avec la copie

Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : $f(x)=0,1+0,9x^2-x^3$.

Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x)=x(1,8-3x)$.
$\quad$
a. Calculer $f(1)$ et $f'(1)$.
$\quad$
b. En déduire une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $1$.
$\quad$
La représentation graphique de la fonction $f$ est donnée en annexe.
a. Donner les variations de la fonction $f$ par lecture graphique.
$\quad$
b. En utilisant les résultats de la question 2., construire sur ce graphique la tangente à la courbe de la fonction $f$ au point d’abscisse $1$.
$\quad$

Annexe

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=0,9\times 2x-3x^2 \\
&=1,8x-3x^2\\
&=x(1,8-3x)\end{align*}$
$\quad$
a. On a $f(1)=0,1+0,9-1=0$
$f'(1)=1\times (1,8-3)=-1,2$
$\quad$
b. Une équation de la tangente à la courbe représentant la fonction $f$ au point d’abscisse $1$ est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
C’est-à-dire $y=-1,2(x-1)$ ou $y=-1,2x+1,2$.
$\quad$
a. Graphiquement, il semblerait que la fonction $f$ soit :
– strictement décroissante sur $]-\infty;0]$;
– strictement croissante sur $[0;0;6]$
– strictement décroissante sur $[0,6;+\infty[$.
$\quad$
b. Une équation de cette tangente est $y=-1,2x+1,2$
Si $x=0$ alors $y=1,2$
Si $x=1$ alors $y=0$
Cette droite passe donc par les points de coordonnées $(0;1,2)$ et $(1;0)$.

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$\quad$

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Séries technologiques

Un architecte a conçu un bassin aquatique comportant trois marches.
Le contour du bassin, représenté ci-contre dans une « vue du dessus », est constitué d’un demi-cercle de diamètre $[TO]$, de deux segments $[OV]$ et $[VW]$ et d’une courbe $\mathcal{C}$, reliant $T$ à $W$.
Les parties grisées figurent l’emplacement des trois marches.

La situation est représentée en annexe dans le repère orthonormal $(O,I ,J)$, dans lequel :

$V$, $W$ et $T$ sont les points de coordonnées respectives $(6,0)$, $(6,4)$ et $(0,8)$
$\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[0 ; 6]$ par $$f(x)=\dfrac{1}{27}x^3-\dfrac{1}{3}x^2+8$$

On note $f’$ la dérivée de $f$. Montrer que pour tout réel $x$ de $[0;6]$, $f'(x) =\dfrac{1}{9}x(x-6)$.
$\quad$
En déduire les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 6]$.
$\quad$
Déterminer les coefficients directeurs des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d’abscisse $0$ et $6$. Que pouvez-vous en déduire graphiquement ?
$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $3$.
$\quad$
Tracer dans le repère orthonormal $(O,I ,J)$, fourni en annexe (à remettre avec la copie) les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ respectivement au point $T$, au point $W$ et au point d’abscisse $3$ puis tracer l’allure de la courbe $\mathcal{C}$.
$\quad$

Annexe

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout réel $x\in[0;6]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{27}\times 3x^2-\dfrac{1}{3}\times 2x \\
&=\dfrac{1}{9}x^2-\dfrac{2}{3}x\\
&=\dfrac{1}{9}x(x-6)\end{align*}$
$\quad$
Pour tout $x\in[0;6]$ on a donc $x\pg 0$ et $x-6\pp 0$. Ainsi $f'(x)\pp 0$.
La fonction $f$ est donc décroissante sur l’intervalle $[0;6]$.
$\quad$
$f'(0)=0$ et $f'(6)=0$.
Ainsi les coefficients directeurs des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d’abscisse $0$ et $6$ sont tous les deux nuls.
Ces tangentes sont par conséquent parallèles à l’axe des abscisses.
$\quad$
On a $f'(3)=-1$ et $f(3)=6$.
Ainsi une équation de $\mathscr{D}$ est $y=-1(x-3)+6$ soit $y=-x+9$.
$\quad$
On obtient le graphique suivant :$\quad$

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$\quad$

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Séries technologiques

Le but de cet exercice est d’étudier et de tracer la fonction $f$ définie, pour tout $x$ de l’intervalle $[-1 ; 10]$, par $f(x) = -0,1x^2+1,05x+1,15$.

Compléter le tableau de valeurs fourni en annexe.
$\quad$
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$. Pour tout $x$ de l’intervalle $[-1 ; 10]$, justifier que l’expression de $f'(x)$ est donnée par : $f'(x)=-0,2x+1,05$.
$\quad$
Etudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[-1 ; 10]$.
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[-1 ; 10]$.
$\quad$
Déterminer la valeur de $f'(-1)$ puis en déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $-1$.
$\quad$
Dans le repère fourni en annexe, tracer $T$ puis la courbe représentative de la fonction $f$ en utilisant les résultats des questions précédentes.
$\quad$

Annexes

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-1&0&1&2&3&4&6&8&10\\
\hline
f(x)&0&&2,1&2,85&&3,75&&&1,65\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-1&0&1&2&3&4&6&8&10\\
\hline
f(x)&0&1,15&2,1&2,85&3,4&3,75&3,85&3,15&1,65\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
Pour tout $x$ de l’intervalle $[-1;10]$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=-0,1\times 2x+1,05 \\
&=-0,2x+1,05\end{align*}$
$\quad$
$f'(x)=0 \ssi -0,2x+1,05=0 \ssi -0,2x=-1,05 \ssi x=5,25$
$f'(x)>0 \ssi -0,2x+1,05>0 \ssi -0,2x>-1,05 \ssi x<5,25$
On obtient alors le tableau de variations suivant :
$\quad$
On a $f'(-1)=1,25$
Une équation de la tangente $T$ est donc $y=1,25\left(x-(-1)\right)+0$ soit $y=1,25(x+1)$.
$\quad$
On obtient donc le graphique suivant :

$\quad$

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$\quad$

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Séries technologiques

Lors d’une épidémie observée sur une période de onze jours, un institut de veille sanitaire a étudié l’évolution du nombre de personnes malades.
La durée, écoulée à partir du début de la période, est exprimée en jours. Elle est notée $t$.
On modélise le nombre de cas grâce à la fonction $f$, où $f(t)$ représente le nombre personnes malades, en milliers, à l’instant $t$.
Soit $f’$ la fonction dérivée de $f$. Le nombre $f'(t)$ représente la vitesse d’évolution de la maladie, $t$ jours après l’apparition des premiers cas.

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$, définie sur l’intervalle $[0 ; 11]$. La droite $\mathcal{T}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $0$ et passe par le point $A$ de coordonnées $(4 ; 45)$.

a. Déterminer par lecture graphique $f'(0)$.
$\quad$
b. En déduire l’équation réduite de la tangente $\mathscr{T}$.
$\quad$
La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[0 ; 11]$ par :
$$f(t)=-t^3+\dfrac{21}{2}t^2+\dfrac{45}{4}t$$
a. Calculer $f'(t)$ pour tout $t$ dans l’intervalle $[0 ; 11]$.
$\quad$
b. On admet que , pour tout $t$ dans l’intervalle $[0 ; 11]$,
$$f'(t)=-3\left(t+\dfrac{1}{2}\right)\left(t-\dfrac{15}{2}\right)$$
Étudier le signe de $f'(t)$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[0 ; 11]$.
$\quad$
c. Retrouver par le calcul l’équation réduite de la tangente $\mathscr{T}$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. $f'(0)$ est le coefficient directeur de $\mathcal{T}$.
Ainsi $f'(0)=\dfrac{45-0}{4-0}=11,25$.
$\quad$
b. Une équation de $\mathscr{T}$ est $y=11,25x$.
$\quad$
a. Pour tout $t\in[0;11]$ on a :
$\begin{align*} f'(t)&=-3t^2+\dfrac{21}{2}\times 2t+\dfrac{45}{4}\\
&=-3t^2+21t+\dfrac{45}{4}\end{align*}$
$\quad$
b. Sur $[0;11]$ on a $t+\dfrac{1}{2}>0$
$t-\dfrac{15}{2}=0\ssi t=\dfrac{15}{2}$ et $t-\dfrac{15}{2}>0\ssi t>\dfrac{15}{2}$
On obtient ainsi le tableau de signes et de variations suivant :
$\quad$
c. $f'(0)=\dfrac{45}{4}$ et $f(0)=0$
L’équation réduite de $\mathcal{T}$ est $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ soit donc $y=\dfrac{45}{4}x$ ou encore $y=11,25x$.
$\quad$

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$\quad$

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Séries technologiques

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-2 ; 6]$ dont la
courbe représentative $C_f$ est donnée ci-dessous.

On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2 ; 6]$.

On considère les points $A(0 ; 30)$, $B(2 ; 14)$, $D(4 ; -10)$
et $E(4 ; -2)$. $A$, $B$ et $E$ sont trois points de la courbe $C_f$.

La droite $(BD)$ est la tangente à la courbe $C_f$ au point $B$.

Les tangentes à la courbe $C_f$ aux points $A$ et $E$ sont parallèles à l’axe des abscisses.

À l’aide des informations précédentes, recopier sur votre feuille le tableau ci-dessous en le complétant :
$\quad$
Donner le nombre de solutions de l’équation $f(x)=0$.
$\quad$
Lire graphiquement la valeur de $f'(2)$.
$\quad$
Parmi les courbes suivantes, une seule représente la fonction dérivée $f’$. Laquelle ? Justifier la réponse.

$\quad$
Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $5$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient le tableau de variations suivant :

$\quad$
La courbe coupe $3$ fois l’axe des abscisses.
L’équation $f(x)=0$ possède donc $3$ solutions.
$\quad$
$f'(2)$ est le coefficient directeur de la droite $(BD)$.
Par conséquent
$\begin{align*} f'(2)&=\dfrac{-10-14}{4-2}\\
&=-12\end{align*}$
$\quad$
Le tableau de signe de $f'(x)$ n’est pas cohérent avec la proposition 2.
D’après la question précédente $f'(2)=-12$.
C’est la courbe de la proposition 1 qui représente la fonction $f’$.
$\quad$
D’après la courbe représentant la fonction $f’$ on lit $f'(5)=15$.
D’après la courbe représentant la fonction $f$ on lit $f(5)=5$.
Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $5$ est $y=15(x-5)+5$ soit $y=15x-70$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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