E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Calculer la masse correspondant à $\dfrac{2}{3}$ de $240$ grammes.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\dfrac{2}{3} \times 240 = 2\times 80=160$.
    Cela correspond donc à $160$ g.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Compléter : « augmenter de $0,3 \%$ revient à multiplier par …… »
    $\quad$
    Correction Question 2

    Cela revient à multiplier par $1+\dfrac{0,3}{100}=1,003$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Compléter : « diminuer de …… $\%$ revient à multiplier par $0,86$ »
    $\quad$
    Correction Question 3

    $0,86=1-0,14$
    Donc « diminuer de $14\%$ revient à multiplier par $0,86$ »
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Des mesures annuelles ont été relevées dans le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{années}&2015&2016&2017\\
    \hline
    \text{mesures}&&5,00&4,00\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Déterminer le taux d’évolution des mesures entre 2016 et 2017.
    $\quad$
    Correction Question 4.a.

    On a $\dfrac{4,00-5,00}{5,00}=-0,2$
    Il s’agit donc d’une baisse de $20\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
    b. Sachant que le taux de 2015 à 2016 est $+25 \%$, calculer la mesure en 2015.
    $\quad$
    Correction Question 4.b.

    On appelle $x$ la mesure en 2015.
    On a donc $x\left(1+\dfrac{25}{100}\right)=5,00$
    Soit $1,25x=5,00$ et par conséquent $x=\dfrac{5,00}{1,25}=4,00$
    $\quad$.

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  5. Déterminer le taux global d’une hausse de $10 \%$ suivie d’une baisse de $20 \%$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    Le coefficient multiplicateur global est :
    $\begin{align*} m&=\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\left(1-\dfrac{20}{100}\right) \\
    &=1,1\times 0,8 \\
    &=0,88\\
    &=1-0,12\end{align*}$
    Il s’agit donc d’une baisse de $12\%$ soit un taux globale de $-12\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  6. Résoudre $2x-(2-x)=7$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $2x-(2-x)=7\ssi 2x-2+x=7 \ssi 3x=9\ssi x=3$
    La solution de l’équation est $3$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Résoudre $(x+3)^2-8=0$.
    $\quad$
    Correction Question 7

    $(x+3)^2-8=0 \ssi x^2+6x+9-8=0\ssi
    x^2+6x+1=0$
    Le discriminant est $\Delta=36-4=32>0$
    Les solutions sont donc $\dfrac{-6-\sqrt{32}}{2}$ et $\dfrac{-6+\sqrt{32}}{2}$.
    $\quad$
    Autre méthode
    $(x+3)^2-8=0 \ssi (x+3)^2=8 \ssi x+3=\sqrt{8}$ ou $x+3=-\sqrt{8}$ $\ssi x=-3+\sqrt{8}$ ou $x=-3-\sqrt{8}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Etudier le signe de $f(x)=4+3x$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $4+3x=0 \ssi 3x=-4 \ssi x=-\dfrac{4}{3}$
    $4+3x>0 \ssi 3x>-4 \ssi x>-\dfrac{4}{3}$
    Ainsi :
    – sur $\left]-\infty;-\dfrac{4}{3}\right[$ on a $f(x)<0$;
    – $f\left(-\dfrac{4}{3}\right)=0$;
    – sur $\left]-\dfrac{4}{3};+\infty\right[$ on a $f(x)>0$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Etudier le signe de $h(x)=2x(5-2x)$.
    $\quad$
    Correction Question 9

    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $2x=0 \ssi x=0$
    $5-2x=0 \ssi -2x=-5 \ssi x=\dfrac{5}{2}$
    De plus $h(x)=10x-4x^2$
    $h$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=-4<0$.
    Par conséquent :
    – sur $]-\infty;0[\cup\left]\dfrac{5}{2};+\infty\right[$ on a $h(x)<0$;
    – $h(0)=0$ et $h\left(\dfrac{5}{2}\right)=0$;
    – sur $\left]0;\dfrac{5}{2}\right[$ on a $h(x)>0$.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également réaliser un tableau de signes pour répondre à la question.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

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E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Mettre sous la forme d’une fraction irréductible $\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{5}$.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\begin{align*}\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{5}&=\dfrac{15}{20}-\dfrac{28}{20} \\
    &=-\dfrac{13}{20}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Donner l’écriture scientifique de $0,045~6$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $0,045~6=4,56\times 10^{-2}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Compléter l’égalité $10^{-5}\times \ldots\ldots =10^8$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $10^{-5}\times 10^{13}=10^{8}$ car $-5+13=8$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Développer l’expression $7x^2(4x-6)$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    $7x^2(4x-6)=28x^3-42x$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Factoriser l’expression $(5x-3)(3x+1)+4x(5x-3)$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $\begin{align*} (5x-3)(3x+1)+4x(5x-3)&=(5x-3)\left[(3x+1)+4x\right] \\
    &=(5x-3)(7x+1)\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  6. Résoudre dans $\R$ l’équation $(2x-5)(-x+7) = 0$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $2x-5=0\ssi 2x=5 \ssi x=\dfrac{5}{2}$ ou $-x+7=0\ssi x=7$.
    Les solutions de l’équation sont donc $\dfrac{5}{2}$ et $7$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ alors $d=$
    $\quad$
    Correction Question 7

    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \ssi ad=bc \ssi d=\dfrac{bc}{a}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Calculer $40\%$ de $70$ €.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $\dfrac{40}{100}\times 70=\dfrac{2~800}{100}=28$.
    $40\%$ de $70$ € représente donc $28$ €.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Un article est passé de $40$ € à $50$ €.
    Quel est le taux d’évolution en pourcentage de cet article ?
    $\quad$
    Correction Question 9

    On a $\dfrac{50-40}{40}=\dfrac{10}{40}=0,25$
    Le taux d’évolution est donc égal à $25\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. On a représenté une droite D dans le repère ci-dessous.

    Compléter par lecture graphique.
    L’équation réduite de la droite $D$ est : ………………………………….
    $\quad$
    Correction Question 10

    L’ordonnée à l’origine est $-3$.
    Pour chaque déplacement de $1$ unité vers la droite on descend de $3$ unités : le coefficient directeur est donc $-3$.
    L’équation réduite de $D$ est donc $y=-3x-3$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

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Séries technologiques

  1. Quelle est la fraction irréductible égale à $\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{3}$?
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{21}-\dfrac{14}{21}=-\dfrac{11}{21}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Un objet coûte $25$ €. Son prix baisse de $20\%$. Quel est son nouveau prix?
    $\quad$
    Correction Question 2

    $25\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=\dfrac{100}{4}\times \dfrac{80}{100}=20$.
    Le nouveau prix est $20$ €.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Ecrire le nombre suivant sous la forme $a^n$ avec $a,n \in \N$.
    $$5^6\times \left(4^3\right)^2$$
    $\quad$
    Correction Question 3

    $5^6\times \left(4^3\right)^2=5^6\times 4^6=20^6$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Donner un ordre de grandeur de $$101\times 99$$
    $\quad$
    Correction Question 4

    Un ordre de grandeur de $101\times 99$ est $100\times 100=10~000$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Résoudre dans $\R$ l’équation d’inconnue $x$ suivante : $$3x^2-1=48$$
    $\quad$
    Correction Question 5

    $3x^2-1=48 \ssi 3x^2=49 \ssi x^2=\dfrac{49}{3}$.
    Les solutions sont donc $-\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{3}}$ soit $-\dfrac{7}{\sqrt{3}}$ et $\dfrac{7}{\sqrt{3}}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  6. Résoudre dans $\R$ l’inéquation d’inconnue $x$ suivante : $$-2x+1\pp 3$$
    $\quad$
    Correction Question 6

    $-2x+1\pp 3 \ssi -2x \pp 2 \ssi x\pg -1$
    L’ensemble solution est $[-1;+\infty[$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Factoriser $9x^2-30x+25$
    $\quad$
    Correction Question 7

    $9x^2-30x+25=(3x)^2-2\times 3x\times 5+5^2=(3x-5)^2$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(-x+1)(-2x+4)$.
    Déterminer le tableau de signes de $f(x)$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $-x+1=0 \ssi x=1$ et $-x+1>0 \ssi x<1$
    $-2x+4=0 \ssi -2x=-4 \ssi x=2$ et $-2x+4>0 \ssi -2x>-4 \ssi x<2$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :$\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. $\quad$

    En utilisant la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[-3;2]$ donnée ci-dessous, résoudre l’inéquation $f(x)\pg 0$.
    $\quad$

    Correction Question 9

    L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\pg 0$ est $[-2;1]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Par lecture graphique donner l’équation réduite de la droite d représentée ci-dessus.
    $\quad$
    Correction Question 10

    L’équation réduite de la droite $d$ est : $y=-\dfrac{1}{2}x-1$.
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

  1. Dans un repère du plan, on donne $A(2; 4)$ et $B(6; 16)$.
    Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
    Une équation de cette droite est donc de la forme $y=mx+p$.
    Le coefficient directeur est $m=\dfrac{16-4}{6-2}=3$.
    Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=3x+p$.
    Or $A(2;4)$ appartient à la droite $(AB)$.
    Par conséquent $4=3\times 2+p$. Donc $p=-2$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2-x+3$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
    Déterminer l’ordonnée du point de $C_f$ ayant pour abscisse $-3$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $f(-3)=2(-3)^2-(-3)+3=18+3+3=24$.
    Le point de $C_f$ ayant pour abscisse $-3$ a pour ordonnée $24$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Factoriser l’expression $4(x+2)+(x+2)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} 4(x+2)+(x+2)^2&=(x+2)\left[4+(x+2)\right]\\
    &=(x+2)(x+6)\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=-3x+7$.
    Déterminer l’antécédent de $-11$ par $g$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    On veut résoudre l’équation
    $\begin{align*} g(x)=-11&\ssi -3x+7=-11 \\
    &\ssi -3x=-18\\
    &\ssi x=6\end{align*}$
    L’antécédent cherché est donc $6$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Après une baisse de $20\%$ un produit coûte $200$ €. Quel était son prix initial?
    $\quad$
    Correction Question 5

    On appelle $P$ son prix initial.
    On a donc :
    $\begin{align*} P\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=200 &\ssi 0,8P=200\\
    &\ssi P=\dfrac{200}{0,8} \\
    &\ssi P = 250\end{align*}$
    Remarque : diviser par $0,8$ revient à diviser par $4$ puis à multiplier par $5$.
    Le produit coûtait donc initialement $250$ €.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Calculer $\dfrac{10+10^3}{10}$
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\dfrac{10+10^3}{10}=1+10^2=101$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Résoudre l’équation $x^2=25$
    $\quad$
    Correction Question 7

    Les solutions de l’équation sont $-5$ et $5$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. La formule de l’IMC (indice de masse corporelle; noté $I$) est $I=\dfrac{m}{t^2}$ où $m$ est la masse en kilogramme et $t$ la taille en mètre.
    Exprimer $t$ en fonction de $m$ et de $I$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    On a donc $t^2=\dfrac{m}{I}$ soit, puisque $t$ est positif, $t=\sqrt{\dfrac{m}{I}}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Compléter le tableau de signe de l’expression $(x-1)(x+3)$.
    $\quad$
    Correction Question 9

    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x+3=0 \ssi x=-3$ et $x+3>0 \ssi x>-3$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Par lecture graphique, dresser le tableau de variation de la fonction $h$ définie sur $[-6; 6]$ et représentée ci-dessous dans un repère du plan :

    $\quad$

    $\quad$
    Correction Question 10

    [collapse]

$\quad$

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  1. Une baisse de $10\%$ suivie d’une baisse de $20\%$ correspond à une baisse globale de $\ldots$
    $\quad$
    Correction Question 2

    Le coefficient multiplicateur associé à cette évolution est :
    $\begin{align*} m&=\left(1-\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)\\
    &=0,9\times 0,8\\
    &=0,72\\
    &=1-0,28\end{align*}$
    Il s’agit donc d’une baisse globale de $28\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. La forme décimale de $\frac{7}{4}\times 10^{-3}$ est
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} \dfrac{7}{4}\times 10^{-3}&=1,75\times 10^{-3} \\
    &=0,001~75\\
    \end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. La fraction irréductible égale à $1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2$ est :
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} 1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2&=1-\dfrac{4}{9} \\
    &=\dfrac{5}{9}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Une série statistique est résumée à l’aide du diagramme en boîtes ci-dessous, utilisez-le pour répondre aux questions 4 et 5.

  1. L’écart interquartile de cette série vaut
    $\quad$
    Correction Question 4

    D’après le graphique, l’écart interquartile vaut $55-30=25$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Le pourcentage des valeurs de cette série comprises entre $30$ et $60$ est de :
    $\quad$
    Correction Question 5

    D’après le graphique, le premier quartile est $Q_1=30$ et le maximum vaut $60$.
    Ainsi $75\%$ des valeurs de cette série sont comprises entre $30$ et $60$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$
  3. Résoudre l’équation $3x-10=x+2$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} 3x-10=x+2 &\ssi 3x-x=2+10\\
    &\ssi 2x=12\\
    &\ssi x=6\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Développer l’expression $(3x-2)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 7

    $\begin{align*} (3x-2)^2&=(3x)^2-2\times 3x\times 2+2^2 \\
    &=9x^2-12x+4\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Factoriser l’expression $x^3+5x$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $x^3+5x=x\left(x^2+5\right)$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  6. Tracer la droite d’équation $y=-2x+3$ dans le repère ci-dessous

    $\quad$
    Correction Question 9

    Si $x=0$ alors $y=-2\times 0+3=3$. Le point $A$ de coordonnées $(0;3)$ appartient donc à la droite $\Delta$.
    Si $x=2,5$ alors $y=-2\times 2,5+3=-2$. Le point $B$ de coordonnées $(2,5;-2)$ appartient à la droite $\Delta$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Dans un repère, on donne $A (5 ; 8)$ et $B (1 ; 0)$, le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
    $\quad$
    Correction Question 10

    $A$ et $B$ ont des abscisses différentes.
    Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{8-0}{5-1} \\
    &=\dfrac{8}{4}\\
    &=2\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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  1. $0,5\%$ de $12~641$ €
    $\quad$
    Correction Question 1

    $1\%$ de $12~641$ est égale à $126,41$€
    Donc $0,5\%$ de $12~641$ est égale à $63,205$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Développer $(2x+3)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} (2x+3)^2&=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2\\
    &=4x^2+12x+9\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Donner un antécédent de $0$ par $f:x\mapsto (x+3)(x-1)$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    On veut donc résoudre l’équation $(x+3)(x-1)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $(x+3)(x-1)=0 \ssi x+3=0$ ou $x-1=0$.
    $\ssi x=-3$ ou $x=1$
    Les antécédents de $0$ par la fonction $f$ sont donc $-3$ et $1$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Résoudre l’inéquation : $3-2x\pg 0$
    $\quad$
    Correction Exercice 4

    $3-2x\pg 0\ssi -2x\pg -3 \ssi x\pp \dfrac{3}{2}$
    L’ensemble solution est donc $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Soit $f(x)=ax^2$ où $a$ est un nombre réel.
    Donner la valeur de $a$ sachant que $f(-2)=10$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $f(-2)=4a$
    Ainsi $f(-2)=10 \ssi 4a=10 \ssi a=\dfrac{5}{2}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$
  6. Dans une classe de première, $42 \%$ des élèves sont des garçons et parmi eux, $4 \%$ sont internes.
    Donner le pourcentage de garçons internes.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\dfrac{42}{100}\times \dfrac{4}{100}=\dfrac{168}{10~000}=1,68\%$
    Le pourcentage de garçons internes est donc égale à $1,68\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. La population d’une ville de $1~520$ habitants baisse chaque année de $10\ %$.
    Donner l’arrondi à l’unité du nombre d’habitants au bout de $3$ ans.
    $\quad$
    Correction Question 7

    Au bout d’un an la population a baissé de $152$ habitants. Il reste donc $1~368$ habitants.
    La deuxième année la population a baissé d’environ $137$ habitants. Il reste donc $1231$ habitants
    La troisième année la population a baisse d’environ $123$ habitants. Il reste donc $1~108$ habitants
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-6 ; 9]$. Cette fonction est celle qui est considérée dans les questions 8 à 10.
La droite passant par les points $A(0 ; -2)$ et $B(5 ; 0)$ est la représentation graphique d’une fonction affine $g$ définie sur $\R$.
Remarque : l’ordonnée du point $B$ a été modifiée pour correspondre à ce qui est donné sur le graphique.

 

  1. $f(-5)$ est égal à :
    $\quad$
    Correction Question 8

    D’après le graphique $f(-5)=1$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Le nombre de solutions de l’équation $f(x)=-2$ est :
    $\quad$
    Correction Question 9

    La droite d’équation $y=-2$ coupe la courbe représentant la fonction $f$ en trois points.
    L’équation $f(x)=-2$ possède donc $3$ solutions.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. $f$ est décroissante sur les intervalles :
    $\quad$
    Correction Question 10

    D’après le graphique, $f$ est décroissante sur les intervalles $[-5;-2]$ et $[5;9]$.
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Exprimer en kilogrammes $\dfrac{5}{6}$ de $360$ kg.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\dfrac{5}{6}\times 360=5\times 60=300$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Développer $(2x+3)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} (2x+3)^2&=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2\\
    &=4x^2+12x+9\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
    Remarque : Dans l’énoncé original il n’y avait pas le $^2$.
    $\quad$
  3. Donner un antécédent de $0$ par $f:x\mapsto (x+3)(x-1)$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    On veut donc résoudre l’équation $(x+3)(x-1)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $(x+3)(x-1)=0 \ssi x+3=0$ ou $x-1=0$.
    $\ssi x=-3$ ou $x=1$
    Les antécédents de $0$ par la fonction $f$ sont donc $-3$ et $1$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Résoudre l’inéquation : $3-2x\pg 0$
    $\quad$
    Correction Exercice 4

    $3-2x\pg 0\ssi -2x\pg -3 \ssi x\pp \dfrac{3}{2}$
    L’ensemble solution est donc $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Soit $f(x)=ax^2$ où $a$ est un nombre réel.
    Donner la valeur de $a$ sachant que $f(-2)=10$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $f(-2)=4a$
    Ainsi $f(-2)=10 \ssi 4a=10 \ssi a=\dfrac{5}{2}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$
  6. Dans une classe de première, $42 \%$ des élèves sont des garçons et parmi eux, $4 \%$ sont internes.
    Donner le pourcentage de garçons internes.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\dfrac{42}{100}\times \dfrac{4}{100}=\dfrac{168}{10~000}=1,68\%$
    Le pourcentage de garçons internes est donc égale à $1,68\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-6 ; 9]$. Cette fonction est celle qui est considérée dans les questions 7 à 10.
La droite passant par les points $A(0 ; -2)$ et $B(5 ; 0)$ est la représentation graphique d’une fonction affine $g$ définie sur $\R$.
Remarque : l’ordonnée du point $B$ a été modifiée pour correspondre à ce qui est donné sur le graphique.

 

  1. $f(-5)$ est égal à :
    $\quad$
    Correction Question 7

    D’après le graphique $f(-5)=1$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Le nombre de solutions de l’équation $f(x)=-2$ est :
    $\quad$
    Correction Question 8

    La droite d’équation $y=-2$ coupe la courbe représentant la fonction $f$ en trois points.
    L’équation $f(x)=-2$ possède donc $3$ solutions.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. L’intervalle des valeurs de $f(x)$ est :
    $\quad$
    Correction Question 9

    D’après le graphique, $f(x)\in[-6;1]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
    $\quad$
    Correction Question 10

    $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
    Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{0-(-2)}{5-0} \\
    &=\dfrac{2}{5}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $$g(x) = 0,5(x + 1)(x-3)$$

  1. a. Quelle est la nature de la fonction $g$ et celle de sa représentation graphique ?
    $\quad$
    b. Résoudre l’équation $g(x) = 0$.
    $\quad$
    c. En déduire la valeur pour laquelle $g$ admet un extremum.
    On précisera si cet extremum est un maximum ou un minimum en argumentant et on calculera sa valeur.
    $\quad$
  2. On a tracé en annexe la représentation graphique de la fonction $g$.
    Résoudre graphiquement l’équation $g(x) = 2$. On laissera sur le graphique les traces de raisonnement.
    $\quad$
  3. On appelle $x_1$ la solution de l’équation $g(x) = 2$ appartenant à l’intervalle $[-2; -1]$ et $x_2$ la solution appartenant à l’intervalle $[3; 4]$. On cherche à déterminer un encadrement de $x_2$ d’amplitude $10^{-n}$.
    Pour cela on a écrit l’algorithme ci-contre en langage Python
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \textcolor{blue}{\textbf{def }} \textcolor{Emerald}{\text{g}}\textcolor{Maroon}{(}\text{x}\textcolor{Maroon}{):} \\
    \hspace{1cm} \textcolor{blue}{\textbf{return }}\textcolor{Emerald}{0.5}\textcolor{Maroon}{*(}\text{x}\textcolor{Maroon}{+}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{Maroon}{)*(}\text{x}\textcolor{Maroon}{-}\textcolor{Emerald}{3}\textcolor{Maroon}{)}\\\\
    \textcolor{blue}{\textbf{def }} \textcolor{Emerald}{\text{balayage}}\textcolor{Maroon}{(}\text{n}\textcolor{Maroon}{):} \\
    \hspace{1cm} \text{x}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{3}\\
    \hspace{1cm} \text{pas}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{10}\textcolor{Maroon}{**(-}\text{n}\textcolor{Maroon}{)}\\
    \hspace{1cm}\textcolor{blue}{\textbf{while }} \text{g}\textcolor{Maroon}{(}\text{x}\textcolor{Maroon}{)<}\textcolor{Emerald}{2}\textcolor{Maroon}{:} \\
    \hspace{2cm} \text{x}\textcolor{Maroon}{=}\text{x}\textcolor{Maroon}{+}\text{pas}\\
    \hspace{1cm} \textcolor{blue}{\textbf{return }}\textcolor{Maroon}{(}\text{x}\textcolor{Maroon}{-}\text{pas}\textcolor{Maroon}{,}\text{x}\textcolor{Maroon}{)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Que faut-il taper dans la console pour obtenir un encadrement de $x_2$ d’amplitude $0,001$ ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} g(x)&=0,5(x+1)(x-3)\\
    &=0,5\left(x^2-3x+x-3\right)\\
    &=0,5\left(x^2-2x-3\right)\\
    &=0,5x^2-x-1,5\end{align*}$
    $g$ est donc une fonction du second degré et sa représentation graphique est une parabole.
    $\quad$
    b. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $g(x)=0 \ssi x+1=0$ ou $x-3=0$ $\ssi x=-1$ ou $x=3$.
    Les solutions de l’équation $g(x)=0$ sont donc $-1$ et $3$.
    $\quad$
    c. L’extremum est donc atteint pour $x=\dfrac{-1+3}{2}=1$.
    Le coefficient principal est $a=0,5>0$. Il s’agit donc d’un minimum.
    $g(1)=-2$.
    $\quad$
  2. À l’aide du graphique suivant

    on en déduit que, graphiquement, les solutions de l’équation $f(x)=2$ sont environ $-1,8$ et $3,8$.
    $\quad$
  3. Il faut saisir $\text{balayage(0.001)}$.
    $\quad$

[collapse]

 

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Pour les question 1 et 2, on utilisera l’énoncé suivant :

On note $T_F$ la température en degrés Fahrenheit et $T_C$ la température en degrés Celsius.
On a la relation : $T_F=1,8T_C+32$.

  1. Si $T_C=30$, a valeur exacte de $T_F$ est :
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\begin{align*} T_F&=1,8T_C+32\\
    &=1,8\times 30+32\\
    &=54+32\\
    &=86\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Si $T_F=50$, alors $T_C$ est égale à :
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} 50=1,8T_C+32&\ssi 18=1,8T_C\\
    &\ssi T_C=10\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Un objet coûte $45$ €. Il augmente de $30 \%$. Quel est son nouveau prix ?
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} 45\times \left(1+\dfrac{30}{100}\right)&=45\times 1,3\\
    &=58,5\end{align*}$
    Après l’augmentation l’article coûte $58,5$ €.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Un prix augmente de $10\%$ puis baisse de $30 \%$.
    Quelle est l’évolution globale de ce prix ?
    $\quad$
    Correction Question 4

    Le coefficient multiplicateur est :
    $\begin{align*} C_M&=\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\\
    &=1,1\times 0,7\\
    &=0,77\\
    &=1-\dfrac{23}{100}\end{align*}$
    Le prix a donc baissé de $23\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Résoudre l’équation $5x+1=4(2x-3)$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $\begin{align*} 5x+1=4(2x-3)&\ssi 5x+1=8x-12\\
    &\ssi -3x=-13\\
    &\ssi x=\dfrac{13}{3}\end{align*}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{13}{3}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Résoudre l’inéquation $-4x+1<3-2x$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} -4x+1<3-2x&\ssi -2<2x\\
    &\ssi -1<x\end{align*}$
    L’ensemble solution est donc $]-1;+\infty[$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Pour les questions 7 à 10, on utilisera l’énoncé suivant :
Sur le graphique suivant, on a représenté la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $\R$

  1. Lire sur le graphique l’image de $-1$ par $f$.
    $\quad$
    Correction Question 7

    Graphiquement $f(-1)=4$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Résoudre $f(x)=-2$ avec la précision que permet le graphique.
    $\quad$
    Correction Question 7

    Graphiquement les solutions de $f(x)=-2$ sont, approximativement $-2,2$ ; $2$ et $2,2$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Dresser le tableau de signe de la fonction $f$ sur $[-2 ; 3]$.
    $\quad$
    Correction Question 9


    $\quad$

    [collapse]
  4. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[-2 ; 3]$.
    Correction Question 10


    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Pour un coefficient multiplicateur de $1,33$ le taux d’évolution en pourcentage est :
    $\quad$
    Correction Question 1

    $1,33=1+\dfrac{33}{100}$
    Le taux d’évolution est donc de $33\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Après une hausse de $120 \%$ un produit coûte $1~200$ €.
    Quel était son prix initial ?
    $\quad$
    Correction Question 2

    On appelle $P$ le prix initial.
    On a donc :
    $\begin{align*}
    P\left(1+\dfrac{120}{100}\right)=1~200 &\ssi 2,2P=1~200\\
    &\ssi P=\dfrac{1~200}{2,2}
    \end{align*}$
    $P$ n’admet pas d’écriture décimale. Une écriture sous la forme d’une fraction irréductible est $P=\dfrac{6~000}{11}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Écrire sous la forme décimale le résultat du calcul suivant $3\times 10^3+6\times 10^2+4+5\times 10^{-1}$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} &3\times 10^3+6\times 10^2+4+5\times 10^{-1}\\=&3\times 1~000+6\times 100+4+5\times 0,1\\
    =&3~604,5\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $5-2x=0$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    $5-2x=0 \ssi 2x=5\ssi x=\dfrac{5}{2}$.
    La solution de l’équation est $\dfrac{5}{2}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. L’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x+6>0$ est
    $\quad$
    Correction Question 5

    $-3x+6>0\ssi -3x>-6\ssi x<2$
    L’ensemble des solutions est $]-\infty;2[$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Factoriser $3x(x+5)-(x+5)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} 3x(x+5)-(x+5)^2&=(x+5)\left[3-(x+5)\right] \\
    &=(x+5)(3x-x-5)\\
    &=(x+5)(2x-5)\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. $x$ et $y$ sont des nombres réels tels que $6-2x\pp 4y$.
    Isoler $x$ dans cette inégalité.
    $\quad$
    Correction Question 7

    $6-2x\pp 4y \ssi -2x\pp 4y-6 \ssi x\pg 3-2y$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. $f(x)=x^2-3$
    Calculer l’image de $\sqrt{2}$ par cette fonction.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $\begin{align*} f\left(\sqrt{2}\right)&=\sqrt{2}^2-3\\
    &=2-3\\
    &=-1\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Les coordonnées du point d’intersection de la droite d’équation $y=3x+2$ avec l’axe des abscisses sont
    $\quad$
    Correction Question 9

    $3x+2=0\ssi 3x=-2 \ssi x=-\dfrac{2}{3}$
    Les coordonnées du point d’intersection de la droite d’équation $y=3x+2$ avec l’axe des abscisses sont $\left(-\dfrac{2}{3};0\right)$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Donner l’équation réduite de la droite $(D)$ représentée ci-dessous
    $\quad$
    Correction Question 10

    On lit que l’ordonnée à l’origine est $-1$ et que le coefficient directeur est $\dfrac{1}{2}$ (on “monte” de $1$ unité quand on se déplace de $2$ unités vers la droite).
    L’équation réduite de $(D)$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x-1$.
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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