Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Sud – sujet 2 – 27 septembre 2023

Amérique du Sud – 27 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} p(X=2)&=p\left(\left(A_1\cap A_2\cap \conj{A_3}\right)\cup \left(A_1\cap\conj{ A_2}\cap A_3\right)\cup \left(\conj{A_1}\cap A_2\cap A_3\right)\right)\\
    &\underset{\text{(incompatibilité)}}{=}p\left(A_1\cap A_2\cap \conj{A_3}\right)+p \left(A_1\cap\conj{ A_2}\cap A_3\right)+p\left(\conj{A_1}\cap A_2\cap A_3\right)\\
    &=0,6\times 0,35\times 0,65+0,6\times 0,65\times 0,5+0,4\times 0,5\times 0,35 \\
    &=0,401~5
    \end{align*}$
    La probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des trois tirs est égale à $0,401~5$.
    $\quad$
  3. a. $p(X=1)=1-\left(p(X=0)+p(X=2)+p(X=3)\right)=0,425$.
    $\begin{array}{|c||c||c||c|}
    \hline
    X=x_i&0&1&2&3\\
    \hline
    p\left(X=x_i\right)&0,1&0,425&0,401~5&0,073~5\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*}E(X)&=p(X=1)+2p(X=2)+3p(X=3) \\
    &=0,425+0,803+0,2205\\
    &=1,448~5\end{align*}$
    $\quad$
    c. En moyenne, sur $3$ tirs, le joueur atteint sa cible $1,448~5$ fois.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On répète $N=15$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,073~5$.
    $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,073~5$.
    $\quad$
    b. On a alors :
    $\begin{align*} p(Y=5)&=\dbinom{15}{5}0,073~5^5\times (1-0,073~5)^10 \\
    &\approx 0,003\end{align*}$
    La probabilité qu’exactement $5$ joueurs soient gagnants à ce jeu est environ égale à $0,003$.
    $\quad$
  2. On répète $N$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,073~5$.
    $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $N$ et $p=0,073~5$.
    $\begin{align*} p(Y\pg 1)\pg 0,98&\ssi 1-p(Y=0)\pg 0,98 \\
    &\ssi p(Y=0) \pp 0,02 \\
    &\ssi 0,926~5^N \pp 0,02 \\
    &\ssi N\ln(0,926~5) \pp \ln(0,02) \\
    &\ssi N\pg \dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,926~5)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,926~5)}\approx 51,2$.
    Il faut donc au moins $52$ joueurs pour que la probabilité qu’il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0,98$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. $\vect{AB}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix} -1\\-2\\3\end{pmatrix}$.
    Or $\dfrac{1}{-1}\neq \dfrac{-2}{-2}$.
    $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires.
    Les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
    $\quad$
  2. a. D’une part $\vec{n}.\vect{AB}=1-2+1=0$
    D’autre part $\vec{n}.\vect{AC}=-1-2+3=0$.
    $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. Il est donc normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est de la forme $x+y+z+d=0$.
    $A(1;1;-4)$ appartient à ce plan. Donc $1+1-4+d=0\ssi d=2$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $x+y+z+2=0$.
    $\quad$
  3. a. $1+1+2+2=6\neq 0$. $\Omega$ n’appartient pas au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. On appelle $(d)$ la droite orthogonale au plan $(ABC)$ passant par $\Omega$.
    Une représentation paramétrique de $(d)$ est donc $$\begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\end{cases} \quad t\in \R$$
    Les coordonnées du point $H$ sont donc solution du système suivant :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\\x+y+z+2=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\\1+t+1+t+2+t+2=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\\6+3t=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=-2\\x=-1\\y=-1\\z=0\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi $H$ a pour coordonnées $(-1;-1;0)$.
    $\quad$
    Remarque : On peut “vérifier” le résultat obtenu en calculant la distance $\Omega H$ et vérifier que celle-ci est bien égale à la valeur fournie par l’énoncé juste après.
    $\quad$
  4. $H$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(ABC)$.
    Par conséquent, pour tout point $N$ de $(ABC)$ distinct de $H$ on a $\Omega N>\Omega H$.
    Ainsi $\Omega N>2\sqrt{3}$ et le point $N$ n’appartient pas à $S$.
    $\quad$
  5. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
    $\vect{\Omega K}\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}=2\vec{u}$.
    Ainsi $(\Omega K)$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
    $3+3-0-6=0$ : $H$ appartient à $\mathscr{P}$.
    $\begin{align*} \Omega H&=\sqrt{2^2+2^2+(-2)^2} \\
    &=\sqrt{12} \\
    &=2\sqrt{3}\end{align*}$.
    $K$ appartient à $S$.
    Le plan $\mathscr{P}$ est tangent à la sphère $S$ au point $K$.
    $\quad$
  6. Soit $M(x,y,z)$ appartenant à $(\Delta)$.
    On a alors :
    $\begin{align*}\begin{cases} x+y+z+2=0\\x+y-z-6=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x+y+z+2=0\\2z+8=0&L_2\leftarrow L_1-L_2\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} z=-4\\x+y-2=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=k\\y=2-k\\z=-4\end{cases}\end{align*}$. Une représentation paramétrique de $(\Delta)$ est $ \begin{cases} x=k\\y=2-k\\z=-4\end{cases} \qquad k\in\R$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. $\begin{align*}u_1&=5\times 0-8\times 0+6\\
    &=6\end{align*}$
    $\begin{align*}u_2&=5\times 6-8\times 1+6\\
    &=28\end{align*}$
    $\quad$
  2. On peut écrire :
    $$\begin{array}{l} \\
    \text{def suite_u(n) :} \\
    \quad \text{u = 0}\\
    \quad \text{for i in range(1,n+1) :}\\
    \qquad \text{u = 5 * u – 8 * (i – 1) + 6}\\
    \quad \text{return(u)}\end{array}$$
    Remarque : On écrit $i-1$ car on calcule à chaque tour de boucle la valeur de $u_i=5u_{i-1}-8(i-1)+6$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout $n\in \N$, on pose $P(n):~u_n\pg 2n$.
    Initialisation : $u_0=0$ et $2\times 0=0$ donc $u_0\pg 2\times 0$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=5u_n-8n+6 \\
    &\pg 5\times 2n-8n+6 \\
    &\pg 10n-8n+6 \\
    &\pg 2n+6 \\
    &\pg 2(n+3) \\
    &\pg 2(n+1)\end{align*}$
    $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, $u_n\pg 2n$.
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{n\to +\infty} 2n=+\infty$.
    D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
    c. $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$ donc pour tout réel $M>0$ il existe un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier $n\pg n_0$, on a $u_n\pg M$.
    Pour tout $p\in \N^*$ on peut prendre $M=10^p$.
    Il existe donc un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier $n\pg n_0$, on a $u_n\pg 10^p$.
    $\quad$
  4. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=5u_n-8n+6-u_n \\
    &=4u_n+8n+6 \\
    &\pg 4\times 2n+8n+6 \\
    &\pg 6\\
    &>0\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  5. a. Il semblerait que, pour tout $n\in \N$ on ait $v_n=5^n$.
    $\quad$
    Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-2(n+1)+1 \\
    &=5u_n-8n+6-2n-2+1 \\
    &=5u_n-10n+5\\
    &=5\left(u_n-2n+1\right) \\
    &=5v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $5$ et de premier terme $v_0=1$.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $v_n=5^n$.
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a :
    $\begin{align*} u_n&=v_n+2n+1 \\
    &=5^n+2n+1\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{X\to 0} \ln(1+X)=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(1+\e^{-x}\right)=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}}+\dfrac{1}{4} \\
    &=\dfrac{-1}{1+\e^x}+\dfrac{1}{4} \\
    &=\dfrac{-4+1+\e^x}{4\left(1+\e^x\right)} \\
    &=\dfrac{\e^x-3}{4\left(1+\e^x\right)}\end{align*}$$\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $\e^x-3$.
    Or $\e^x-3>0 \ssi \e^x>3\ssi x>\ln(3)$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\left]-\infty;\ln(3)\right]$ et strictement croissante sur $\left[\ln(3);+\infty\right[$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[2;5]$ (car $\ln(3)<2$).
    De plus $f(2)\approx 0,6<1$ et $f(5)\approx 1,3>1$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=1$ admet donc une unique solution dans l’intervalle $[2;5]$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f\dsec(x)>0$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est donc convexe et la courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de toutes ses tangentes et en dessous de toutes ses cordes.
    Ainsi, $\mathscr{C}_f$ est inscrite dans le quadrilatère $MNPQ$.
    $\quad$
  2. a. On a
    $\begin{align*} f(-\alpha)&=\ln\left(1+\e^{\alpha}\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
    &=\ln\left(\e^{\alpha}\left(\e^{-\alpha}+1\right)\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
    &=\ln\left(\e^{\alpha}\right)+\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
    &=\alpha+\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
    &=\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{3}{4}\alpha \end{align*}$
    $\quad$
    b. $f'(0)=-\dfrac{1}{4}$ et $f(0)=\ln(2)$.
    Une équation de $Delta$ est $y=-\dfrac{1}{4}x+\ln(2)$.
    Ainsi $P$ a pour coordonnées $\left(-\alpha;\ln(2)+\dfrac{1}{4}\alpha\right)$ et $Q$ a pour coordonnées $\left(\alpha;\ln(2)-\dfrac{1}{4}\alpha\right)$.
    $N$ a pour coordonnées $\left(-\alpha;\ln\left(1+\e^{-\alpha}+1\right)+\dfrac{3}{4}\alpha \right)$ et $M$ a pour coordonnées $\left(\alpha;\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{4}\alpha\right)$.
    Par conséquent $\vect{PN}$ a pour coordonnées :
    $\begin{align*} \begin{pmatrix} 0\\\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{3}{4}\alpha-\ln(2)-\dfrac{1}{4}\alpha \end{pmatrix}
    &=\begin{pmatrix} 0\\\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{2}\alpha-\ln(2)\end{pmatrix}\end{align*}$.
    $\vect{QN}$ a pour coordonnées :
    $\begin{align*} \begin{pmatrix} 0\\\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{4}\alpha-\ln(2)+\dfrac{1}{4}\alpha\end{pmatrix}
    &=\begin{pmatrix} 0\\ \ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{2}\alpha-\ln(2)\end{pmatrix}\end{align*}$
    Ainsi $\vect{PN}=\vect{QM}$ et $MNPQ$ est un parallélogramme.
    $\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées

Exercice 1     5 points

Partie A

Un jeu proposé dans une fête foraine consiste à effectuer trois tirs successivement sur une cible mouvante. On a constaté que :

  • Si le joueur atteint la cible lors d’un tir alors il ne l’atteint pas lors du tir suivant dans $65 \%$ des cas ;
  • Si le joueur n’atteint pas la cible lors d’un tir alors il l’atteint lors du tir suivant dans $50 \%$ des cas.

La probabilité qu’un joueur atteigne la cible lors de son premier tir est de $0,6$.
Pour tout événement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité et $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$.

On choisit au hasard un joueur à ce jeu de tirs. On considère les événements suivants :

  • $A_1$ : « Le joueur atteint la cible lors du 1$^{\text{er}}$ tir » ;
  • $A_2$ : « Le joueur atteint la cible lors du 2$\ieme$ tir » ;
  • $A_3$ : « Le joueur atteint la cible lors du 3$\ieme$ tir ».

 

  1. Recopier et compléter, avec les probabilités correspondantes sur chaque branche, l’arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.
    $\quad$

    $\quad$

Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur atteint sa cible au cours des trois tirs.

  1. Montrer que la probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des trois tirs est égale à $0,401~5$.
    $\quad$
  2. L’objectif de cette question est de calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$, notée $E(X)$.
    a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    X = x_i& 0& 1& 2& 3\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)& ~~0,1~~&\phantom{0,0735}&\phantom{0,0735}& 0,0735\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. Calculer $E(X)$.
    $\quad$
    c. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie B

On considère $N$, un entier naturel supérieur ou égal à $1$.
Un groupe de $N$ personnes se présente à ce stand pour jouer à ce jeu dans des conditions identiques et indépendantes. Un joueur est déclaré gagnant lorsqu’il atteint trois fois la cible.
On note $Y$ la variable aléatoire qui compte parmi les $N$ personnes le nombre de joueurs déclarés gagnants.

  1. Dans cette question, $N = 15$.
    a. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
    $\quad$
    b. Donner la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu’exactement $5$ joueurs soient gagnants à ce jeu.
    $\quad$
  2. Par la méthode de votre choix, que vous expliciterez, déterminer le nombre minimum de personnes qui doivent se présenter à ce stand pour que la probabilité qu’il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0,98$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Dans un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points :
$$A(1 ; 1 ; -4),~ B(2 ; -1 ; -3),~ C(0 ;-1 ;-1) \text{ et } \Omega(1 ; 1 ; 2)$$

  1. Démontrer que les points $A$, $B$, et $C$ définissent un plan.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x+y+z+2=0$.
    $\quad$
  3. a. Justifier que le point $\Omega$ n’appartient pas au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan $(ABC)$.$\quad$

On admet que $\Omega H = 2\sqrt{3}$. On définit la sphère $S$ de centre $\Omega$ et de rayon $2\sqrt{3}$ comme l’ensemble de tous les points $M$ de l’espace tels que $\Omega M = 2\sqrt{3}$.

  1. Justifier, sans calcul, que tout point $N$ du plan $(ABC)$, distinct de $H$, n’appartient pas à la sphère $S$.
    $\quad$

On dit qu’un plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ en un point $K$ lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :

  • $K\in \mathcal{P}\cap S$
  • $(\Omega K) \perp \mathcal{P}$
  1. Soit le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne $x+y-z-6=0$ et le point $K$ de coordonnées $K(3 ; 3 ; 0)$. Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ au point $K$.
    $\quad$
  2. On admet que les plans $(ABC)$ et $\mathcal{P}$ sont sécants selon une droite $(\Delta)$.
    Déterminer une équation paramétrique de la droite $(\Delta)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n\in \N,~u_{n+1}=5u_n-8n+6$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Soit $n$ un entier naturel.
    Recopier et compléter la fonction $\text{suite_u}$ d’argument $\text{n}$ ci-dessous, écrite en langage Python, afin qu’elle retourne la valeur de $u_n$.
    $$\begin{array}{l}
    \text{def suite_u(n):}\\
    \quad \text{u = …}\\
    \quad \text{for i in range(1,n + 1):}\\
    \qquad \text{u = …}\\
    \quad \text{return u}\end{array}$$
    $\quad$
  3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \N$, $u_n\pg 2n$.
    $\quad$
    b. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    c. Soit $p\in \N^*$. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ vérifiant, $n\pg n_0$, $u_n\pg 10^p$ ?
    $\quad$
  4. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  5. On considère la suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout $n\in \N$, par $v_n=u_n-2n+1$.
    a. En dessous de la fonction $\text{suite_u}$ précédente, on a écrit la fonction $\text{suite_v}$ ci-dessous :
    $$\begin{array}{l}
    \text{def suite_v(n):}\\
    \quad \text{L = [ ]}\\
    \quad \text{for i in range(1,n + 1):}\\
    \qquad \text{L.append(suite_u(i) – 2 * i + 1)}\\
    \quad \text{return L}\end{array}$$
    $\quad$
    La commande « $\text {L.append}$ » permet de rajouter, en dernière position, un élément dans la liste $\text{L}$.
    Lorsqu’on saisit $\text{suite_v(5)}$ dans la console, on obtient l’affichage suivant :
    $$\begin{array}{l}
    \text{>>> suite_v(5)}\\
    \text{[1, 5, 25, 125, 625, 3125]}\end{array}$$
    Conjecturer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
    Démontrer cette conjecture.
    $\quad$
    b. En déduire, pour tout entier naturel $n$, la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\ln\left(1+\e^{-x}\right)+\dfrac{1}{4}x$.
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\Oij$ du plan.

Partie A

  1. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{\e^x-3}{4\left(\e^x+1\right)}$.
    $\quad$
    b. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
    c. Montrer que l’équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[2 ; 5]$.
    $\quad$

Partie B

On admettra que la fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $f\dsec(x)=\dfrac{\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$.
On note $\Delta$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $0$.
Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathcal{C}_f$, la tangente $\Delta$ et le quadrilatère $MNPQ$ tel que $M$ et $N$ sont les deux points de la courbe $\mathcal{C}_f$ d’abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$, et $Q$ et $P$ sont les deux points de la droite $\Delta$ d’abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$.

  1. a. Justifier le signe de $f\dsec(x)$ pour tout $x\in \R$.
    $\quad$
    b. En déduire que la portion de la courbe $\mathcal{C}_f$, sur l’intervalle $[-\alpha;\alpha]$, est inscrite dans le quadrilatère $MNPQ$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que $f(-\alpha)=\ln\left(\e^{-\alpha}+1\right)+\dfrac{3}{4}\alpha$.
    $\quad$
    b. Démontrer que le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme.
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 2 – 28 mars 2023

Amérique du Nord – 28 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. La fonction $f’$ semble être positive sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et négative sur $[0,3;2,5]$.
    Par conséquent $f$ semble croissante sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et décroissante sur $[0,3;2,5]$.
    $\quad$
  2. La fonction $f’$ semble strictement croissante sur $]-\infty;-1]$ et $[2;+\infty[$ et strictement décroissante sur $[-1;2]$.
    La fonction $f$ semble être convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. D’après la limite des termes de plus haut degré, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2-5x+6=\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$.
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x^2\e^x-5x\e^x+6\e^x$.
    $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2\e^x=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=(2x-5)\e^x+\left(x^2-5x+6\right)\e^x \\
    &=\left(2x-5+x^2-5x+6\right)\e^x \\
    &=\left(x^2-3x+1\right)\e^x\end{align*}$.
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $f'(x)$ est du même signe que $x^2-3x+1$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=5>0$.
    Ses racines sont donc $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$.
    $\quad$
    De plus son coefficient principal est $1>0$.
    Par conséquent :
    $\bullet~f'(x)<0$ sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ ;
    $\bullet~f'(x)=0$ si $x\in \acco{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}$ ;
    $\bullet~f'(x)>0$ sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$ et strictement décroissante sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ .
    $\quad$
  4. Une équation de $(\mathscr{T})$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
    Or $f(0)=6$ et $f'(0)=1$.
    Une équation de $(\mathscr{T})$ est donc $y=x+6$.
    $\quad$
  5. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $f\dsec(x)$ est du signe de $(x+1)(x-2)$.
    $x+1=0\ssi x=-1$ et $x+1>0\ssi x>-1$
    $x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
    Par conséquent $f\dsec(x)<0 \ssi x\in ]-1;2[$.
    La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$ et convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$. Sa courbe représentative est donc située sous ses tangentes sur cet intervalle.
    Or $0$ appartient à $[-1;2]$.
    Par conséquent $f(x)\pp x+6$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $a_{n+1}=(1-0,15)a_n+0,1b_n$ soit $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $b_{n+1}=0,15a_n+(1-0,1)b_n$ soit $b_{n+1}=0,15a_n+0,9b_n$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} a_1&=0,85\times 1~700+0,1\times 1~300\\
    &=1~575\end{align*}$
    $\begin{align*} b_1&=0,15\times 1~700+0,9\times 1~300\\
    &=1~425\end{align*}$
    En 2024, le club A comptera $1~575$ membres et le club B $1~425$.
    $\quad$
  2. Durant l’étude aucun sportif ne quitte le groupe.
    Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $a_n+b_n=3~000$.
    $\quad$
  3. Pour tout $n\in \N$ on a $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $a_n+b_n=3~000$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,85a_n+0,1\left(3~000-a_n\right) \\
    &=0,85a_n+300-0,1a_n \\
    &=0,75a_n+300\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
    Initialisation : $a_0=1~700$ et $a_1=1~575$. Donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$
    donc
    $900\pp 0,75a_{n+1}\pp 0,75a_n\pp 1~275$
    Par conséquent $1~200 \pp 0,75a_{n+1}+300\pp 0,75a_n+300\pp 1~575$.
    Donc $1~200\pp a_{n+2} \pp a_{n+1} \pp 1~575\pp 1~700$.
    Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout $n\in \N$, $1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(a_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~200$ ; elle converge donc.
    $\quad$
  5. a. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-1~200 \\
    &=0,75a_n+300-1~200\\
    &=0,75a_n-900 \\
    &=0,75\left(a_n-1~200\right) \\
    &=0,75v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_0=a_0-1~200$ soit $v_0=500$.
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $v_n=500\times 0,75^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout $n\in \N$ on a :
    $\begin{align*} a_n&=v_n+1~200 \\
    &=500\times 0,75^n+1~200\end{align*}$
    $\quad$
  6. a. $-1<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,75^n=0$. Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=1~200$.
    $\quad$
    b. Sur le long terme, le club A comptera ainsi $1~200$ membres.
    $\quad$
  7. a. On peut écrire
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \texttt{def seuil() :}\\
    \hspace{0.8cm} \texttt{n = 0}\\
    \hspace{0.8cm} \texttt{A = 1700}\\
    \hspace{0.8cm} \texttt{while A >= 1280 :}\\
    \hspace{1.6cm} \texttt{n = n + 1}\\
    \hspace{1.6cm} \texttt{A = 0.75 * A + 300}\\
    \hspace{0.8cm} \texttt{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} a_n< 1~280 &\ssi 500\times 0,75^n+1200< 1~280 \\
    &\ssi 500\times 0,75^n< 80 \\
    &\ssi 0,75^n < 0,16\\
    &\ssi n\ln(0,75)<\ln(0,16) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \qquad \text{(car $\ln(0,75)<0$)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \approx 6,4$.
    Ainsi l’appel de la fonction $\texttt{seuil}$ renverra $7$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. $\vect{EF}\begin{pmatrix}-4\\4\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{FG}\begin{pmatrix} 4\\0\\-4\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
    Ainsi les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. a. Une représentation paramétrique de la droite $(FG)$ est donc $$\begin{cases} x=-1+4t\\y=2\\z=1-4t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
    $\quad$
    b. $-1+4t=2\ssi 4t=3\ssi t=\dfrac{3}{4}$
    $4t-1=-2 \ssi -1+4t=2\ssi t=\dfrac{3}{4}$
    Donc en prenant $t=\dfrac{3}{4}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(FG)$ on retrouve les coordonnées de point $H$.
    De plus $\vect{EH}\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}$.
    Ainsi $\vect{EH}.\vect{FG}=-4+0+4=0$.
    Les droites $(EH)$ et $(FG)$ sont perpendiculaires en $H$.
    $H$ est le projeté orthogonal du point $E$ sur la droite $(FG)$.
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} FG&=\sqrt{4^2+0+(-4)^2} \\
    &=\sqrt{32} \\
    &=4\sqrt{2}\end{align*}$
    $\begin{align*} EH&=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2} \\
    &=\sqrt{18} \\
    &=3\sqrt{2}\end{align*}$
    L’aire du triangle $EFG$ est donc égale à :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{EH\times FG}{2} \\
    &=\dfrac{4\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2} \\
    &=12 \text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. $\vec{n}.\vect{EF}=-8+4+4=0$
    $\vec{n}.\vect{FG}=8+0-8=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EFG)$.
    Il est donc normal au plan $(EFG)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est de la forme $2x+y+2z+d=0$.
    $E(3;-2;-1)$ appartient à ce plan.
    Ainsi $6-2-2+d=0 \ssi d=-2$.
    Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est donc $2x+y+2z-2=0$.
    $\quad$
    c. Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est donc $$\begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\end{cases} \qquad \forall k\in \R$$
    $\quad$
    d. On résout le système :
    $\begin{align*} \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\2x+y+2z-2=0\end{cases}&\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\6+4k+1+k+10+4k-2=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\9k=-15\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}k=-\dfrac{5}{3}\\[2mm]x=-\dfrac{1}{3}\\[2mm]y=-\dfrac{2}{3}\\[2mm]z=\dfrac{5}{3}\end{cases}\end{align*}$
    Donc $K$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. a. $\vect{DK}\begin{pmatrix}-\dfrac{10}{3}\\[2mm]-\dfrac{5}{3}\\[2mm]-\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} DK&=\sqrt{\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{100}{9}+\dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9}} \\
    &=\sqrt{25} \\
    &=5 \text{ cm}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le volume du tétraèdre $DEFG$ est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times DK \\
    &=\dfrac{1}{3}\times 12\times 5 \\
    &=20\text{ cm}^3\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Pour tout réel $x>1$ on a $f(x)=0,05-\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{x}{x-1}$.
    D’après la limite des termes de plus haut degré $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x}=1$.
    Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0,05$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. La fonction $h$ est continue sur l’intervalle $[-2;4]$ et donc également sur l’intervalle $[1;3]$.
    $h(1)=4>0$ et $h(3)=-1<0$.
    D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $h(x)=0$ admet au moins une solution sur l’intervalle $[1;3]$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$. Il existe donc un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n\pg N$, on ait $u_n\pg 1$.
    Par conséquent, pour tout $n\pg N$ : $0\pp \dfrac{1}{u_n} \pp 1$ et $0\pp \dfrac{v_n}{u_n}\pp v_n$.
    $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$.
    D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{v_n}{u_n}=0$.
    Réponse b
    $\quad$
  4. On considère la variable aléatoire $X$ égale au gain algébrique du joueur.
    $P(X=8)=\dfrac{1}{6}$ (s’il obtient $1$)
    $P(X=-1)=\dfrac{1}{2}$ (s’il obtient un nombre pair)
    $P(X=-4)=\dfrac{1}{3}$ (sinon)
    L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=8\times \dfrac{1}{6}-1\times \dfrac{1}{2}-4\times \dfrac{1}{3} \\
    &=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} P(X=0)=\dfrac{1}{125}&\ssi (1-p)^3=\dfrac{1}{125} \\
    &\ssi 1-p=\dfrac{1}{5} \\
    &\ssi p=\dfrac{4}{5}\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$

 

 

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     5 points

Partie A

Le plan est muni d’un repère orthogonal.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f’$ sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$.

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$. Aucune justification n’est demandée.

  1. Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. On utilisera des valeurs approchées si besoin.
    $\quad$
  2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble être convexe.
    $\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^{2}-5 x + 6\right) \e^{x}$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.

  1. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right) \e^{x}$.
    $\quad$
  3. En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. Déterminer l’équation réduite de la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$. On note $f”$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. On admet que, pour tout réel $x$, on a $f”(x) = (x+1)(x- 2) \e^{x}$.

  1. a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[-1~;~2]$, on a $f(x) \pp x + 6$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

On étudie un groupe de $3~000$ sportifs qui pratiquent soit l’athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B.

En 2023, le club A compte $1~700$ membres et le club B en compte $1~300$.

On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$, où $n$ désigne le rang de l’année à partir de 2023.
L’année 2023 correspond au rang $0$. On a alors $a_{0}= 1~700$ et $b_{0} = 1~300$.

Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :

  • durant l’étude, aucun sportif ne quitte le groupe ;
  • chaque année, $15\%$ des sportifs du club A quittent le club et adhèrent au club B ;
  • chaque année, $10\%$ des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club $A$.
  1. Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, déterminer une relation liant $a_{n}$ et $b_{n}$.
    $\quad$
  3. Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)$ vérifie la relation suivante pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1}= 0,75 a_{n} + 300$
    $\quad$
  4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $$1~200 \pp a_{n+1} \pp a_{n} \pp 1~700$$
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(a_{n}\right)$ converge.
    $\quad$
  5. Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=a_{n}- 1~200$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n, a_{n}= 500 \times 0,75^{n}+ 1~200$.
    $\quad$
  6. a. Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
    $\quad$
    b. Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  7. a. Recopier et compléter le programme Python ci-dessous afin qu’il renvoie la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à $1~280$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \textbf{def }\text{seuil() :}\\
    \quad\text{n = 0}\\
    \quad \text{A = 1700}\\
    \quad \textbf{while} \text{ … :}\\
    \qquad \text{n = n + 1} \phantom{123456789}\\
    \qquad \text{A = …}\\
    \quad \textbf{return}\text{ …}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Déterminer la valeur renvoyée lorsqu’on appelle la fonction $\text{seuil}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé d’unité $1$ cm, on considère les points $$D(3;1;5) \qquad E(3;-2;-1) \qquad F(-1;2;1) \qquad G(3;2;-3)$$

  1. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{EF}$ et $\vect{FG}$.
    $\quad$
    b. Justifier que les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(FG)$.
    $\quad$
    b. On appelle $H$ le point de coordonnées $(2;2;-2)$.
    Vérifier que $H$ est le projeté orthogonal de $E$ sur la droite $(FG)$ .
    $\quad$
    c. Montrer que l’aire du triangle $EFG$ est égale à  $12$ cm$^{2}$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(EFG)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(EFG)$.
    $\quad$
    c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $D$ et orthogonale au plan $(EFG)$.
    $\quad$
    d. On note $K$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(EFG)$.
    À l’aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point $K$.
    $\quad$
  4. a. Vérifier que la distance $DK$ est égale à $5$ cm.
    $\quad$
    b. En déduire le volume du tétraèdre $DEFG$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Les cinq questions sont indépendantes.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]1~;+\infty[$ par $f(x)= 0,05-\dfrac{\ln x}{x- 1}$.
    La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à :
    a. $+\infty$
    b. $0,05$
    c. $-\infty$
    d. $0$
    $\quad$
  2. On considère une fonction $h$ continue sur l’intervalle $[-2 ; 4]$ telle que : $$h(-1)=0, \qquad h(1) = 4, \qquad h(3) = -1$$
    On peut affirmer que :
    a. la fonction $h$ est croissante sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
    b. la fonction $h$ est positive sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
    c. il existe au moins un nombre réel $a$ dans l’intervalle $[1;3]$ tel que $h(a) = 1$.
    d. l’équation $h(x)=1$ admet exactement deux solutions dans l’intervalle $[-2;4]$.
    $\quad$
  3. On considère deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs telles que $\lim\limits_{n \to+\infty} u_{n}=+\infty$ et $\left(v_{n}\right)$ converge vers $0$.
    On peut affirmer que :
    a. la suite $\left(\dfrac{1}{v_{n}}\right)$ converge.
    b. la suite $\left(\dfrac{v_{n}}{u_{n}}\right)$ converge.
    c. la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
    d. $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-u_{n}\right)^{n}=-\infty$
    $\quad$
  4. Pour participer à un jeu, un joueur doit payer $4$ €.
    Il lance ensuite un dé équilibré à six faces :
    $\bullet$ s’il obtient $1$, il remporte $12$ €;
    $\bullet$ s’il obtient un nombre pair, il remporte $3$ €;
    $\bullet$ sinon, il ne remporte rien.
    En moyenne, le joueur :
    a. gagne $3,50$ €.
    b. perd $3$ €.
    c. perd $1,50$ €.
    d. perd $0,50$ €.
    $\quad$
  5. On considère la variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;~p)$.
    On sait que $P(X = 0) = \dfrac{1}{125}$. On peut affirmer que :
    a. $p = \dfrac{1}{5}$
    b. $P(X = 1) =\dfrac{124}{125}$
    c. $p = \dfrac{4}{5}$
    d. $P(X= 1) =\dfrac{4}{5}$
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 2 – 14 mars 2023

Centre étrangers – 14 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=(x-1)\e^x$.
    Elle est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=1\times \e^x+(x-1)\e^x \\
    &=(1+x-1)\e^x \\
    &=x\e^x \\
    &=f(x)\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  2. $f$ est convexe sur $[5;+\infty[$ donc $f\dsec(x)\pg 0$ sur cet intervalle.
    Il semblerait que $f(x)\pg 0$ sur cet intervalle également.
    Réponse D
    $\quad$
  3. $g(0)=2\ssi \dfrac{a}{b+1}=2$
    $\lim\limits_{t\to +\infty} \e^{-t}=0$ donc $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=\dfrac{a}{b}$. Par conséquent $\dfrac{a}{b}=3$.
    On résout donc le système :
    $\begin{align*}\begin{cases} \dfrac{a}{b+1}=2\\[2mm] \dfrac{a}{b}=3 \end{cases} &\ssi \begin{cases} a=2b+2\\a=3b\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=3b\\3b=2b+2\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=2\\a=6\end{cases}\end{align*}$
    Réponse D
    $\quad$
  4. On appelle $A$ l’événement “choisir l’urne A”, $B$ l’événement “choisir l’urne B” et $V$ l’événement “obtenir une boule verte”
    $(A,B)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} p(V)&=p(A\cap V)+p(B\cap V) \\
    &=p(A)p_A(V)+p(B)p_B(V) \\
    &=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{4} \\
    &=\dfrac{5}{8}\end{align*}$
    On veut calculer :
    $\begin{align*} p_V(B)&=\dfrac{p(V\cap B)}{p(V)} \\
    &=\dfrac{p(B)p_B(V)}{p(V)} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{8}} \\
    &=\dfrac{3}{5}\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  5. Dans le script A, on calcule tous les termes de la somme mais on ne les ajoute pas.
    Dans le script C, la boucle while s’arrête si la somme est supérieure à $100$ ce qui ne correspond pas à ce qu’on veut calculer.
    Dans le script D, la boucle while est infinie puisque $k$ ne change pas de valeur.
    Réponse B
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

  1. $\lim\limits_{x\to -1,5^+} 2x+3=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -1,5^+} f(x)=-\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to -1,5^+} f(x)-x=-\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x\to -1,5^+} g(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ est dérivable sur $]-1,5;+\infty[$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
    Pour tout $x>-1,5$
    $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{2}{2x+3}-1 \\
    &=\dfrac{2-2x-3}{2x+3} \\
    &=\dfrac{-2x-1}{2x+3}\\
    &=-\dfrac{2x+1}{2x+3}\end{align*}$.
    Sur $]-1,5;+\infty[$ on a $2x+3>0$.
    $g'(x)$ est donc du signe de $-(2x+1)$.
    Or $2x+1=0 \ssi 2x=-1 \ssi x=-\dfrac{1}{2}$ et $2x+1>0\ssi 2x>-1\ssi x>-\dfrac{1}{2}$.
    La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]-1,5;-0,5]$ et strictement décroissante sur $[-0,5;+\infty[$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]-0,5;+\infty[$.
    $g(-0,5)=\ln(2)-0,5\approx 0,19>0$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-0,5;+\infty[$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $\alpha \approx 0,256$ donc $0,25\pp \alpha \pp 0,26$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

  1. $g(\alpha)=0 \ssi f(\alpha)-\alpha=0\ssi f(\alpha)=\alpha$.
    $f(-1)=-1$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1,5;+\infty[$.
    Or $[-1;\alpha] \subset ]-1,5;+\infty[$.
    Donc, pour tout $x\in [-1;\alpha]$, $f(x)\in \left[f(-1);f(\alpha)\right]$ soit $f(x)\in [-1;\alpha]$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~-1 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    Initialisation : $u_0=0$, $u_1=f(0)=\ln(3)-1\approx 0,1$.
    Par conséquent $0 \pp u_0 \pp u_1 \pp \alpha$ puisque $\alpha \approx 0,256$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $-1\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1,5;+\infty[$.
    Donc $f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right)$ soit $u_{n+1} \pp u_{n+2}$.
    De plus d’après la question B.1, pour tout $x\in [-1;\alpha]$, $f(x)\in [-1;\alpha]$.
    Par conséquent, pour tout $u_{n+1}$ et $u_{n+2}$ appartiennent à $[-1;\alpha]$.
    Ainsi $-1 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$ et $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $-1\pp u_n\pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\alpha$. Elle converge donc.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. On a $H(0;2;2)$, $M(3,0,1)$ et $N(3,1,1)$.
    $\quad$
    b. $\vect{HM}\begin{pmatrix} 3\\-2\\-1\end{pmatrix}$
    Une représentation paramétrique de la droite $(HM)$ est donc $\begin{cases} x=3t\\y=2-2t\\z=2-t\end{cases} \quad \forall t\in \R$.
    $\quad$
  2. Les abscisses des points $B$, $C$ et $F$ sont toutes égales à $2$.
    Une équation du plan $(BCF)$ est donc $x=2$.
    On appelle $P’$ le point de coordonnées $\left(2;\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)$.
    L’abscisse de $P’$ est $2$ donc $P’$ appartient donc à $(BCF)$.
    Prenons $t=\dfrac{2}{3}$ dans la représentation paramétrique de $(HM)$.
    On obtient $x=2$, $y=2-\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}$ et $z=2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$. Donc $P’$ appartient à $(HM)$.
    La droite $(HM)$ n’est pas incluse dans le plan $(BCF)$ puisque $H$ n’appartient pas à $(BCF)$.
    Ainsi le point d’intersection de $(HM)$ et de $(BCF)$ est $P’$ de coordonnées $\left(2;\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)$.
    $\quad$
  3. a. $\vect{PM}\begin{pmatrix}1\\-\dfrac{2}{3}\\[2mm]-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$ et $\vect{PN}\begin{pmatrix}1\\\dfrac{1}{3}\\[2mm]-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} \vect{PM}.\vect{PN}&=1-\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{9} \\
    &=\dfrac{8}{9}\end{align*}$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} PM&=\sqrt{1^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{1+\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{14}{9}}\\
    &=\dfrac{\sqrt{14}}{3}\end{align*}$
    $\quad$
    c. D’une part $ \vect{PM}.\vect{PN}=\dfrac{8}{9}$
    D’autre part $ \vect{PM}.\vect{PN}=PM\times PN\times \cos\left(\widehat{MPN}\right)$.
    Par conséquent
    $\cos\left(\widehat{MPN}\right)=\dfrac{\dfrac{8}{9}}{PM\times PN}$
    soit $\cos\left(\widehat{MPN}\right)=\dfrac{\dfrac{8}{9}}{\dfrac{\sqrt{14}}{3}\times \dfrac{\sqrt{11}}{3}}$
    Ainsi $\widehat{MPN} \approx 49,86$°$<55$°.
    Le toît pourra être construit.
    $\quad$
  4. $E(0;0;2)$ donc $\vect{EN}\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$.
    Méthode 1 : 
    Une représentation paramétrique de la droite $(EN)$ est $\begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\end{cases} \forall k\in \R$.
    Résolvons le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\\x=3t\\y=2-2t\\z=2-t\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\\k=t\\2-2t=k\\2-t=2-k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\\k=t\\2-2t=t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\\k=t\\3t=2\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=k=\dfrac{2}{3}\\x=2\\y=\dfrac{2}{3}\\z=\dfrac{4}{3}\end{cases}\end{align*}$.
    Les droites $(HM)$ et $(EN)$ sont donc sécantes en $P$.
    $\quad$
    Méthode 2 :
    $E$ et $M$ ont la même ordonnée ce qui n’est pas le cas de $M$ et $H$. Ainsi $E$, $H$ et $M$ ne sont pas alignés.
    Les droites $(HM)$ et $(EN)$ sont donc soit sécantes soit non coplanaires.
    $\vect{EN}\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{PN}\begin{pmatrix}1\\\dfrac{1}{3}\\[2mm]-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.
    Donc $\vect{EN}=-3\vect{PN}$.
    Ces deux vecteurs sont colinéaires. Par conséquent $E$, $P$ et $N$ sont alignés.
    Par construction, $P$ appartient à $(HM)$.
    Ainsi $(HM)$ et $(EN)$ sont sécantes en $P$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de candidats se qualifiant lors de la première phase.
On répète de manière indépendante $4$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,6$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n=4$ et $p=0,6$.
$\begin{align*}
P(X\pg 2)&=1-P(X\pp 1) \\
&=1-P(X=0)-P(X=1) \\
&=1-0,4^4-\dbinom{4}{1}0,6^1\times 0,4^3\\
&\approx 0,821\end{align*}$.
Par conséquent $P(X\pg 2) \pg 0,8$ : la première condition est vérifiée.

La durée moyenne est égale à
$\begin{align*} d_m&=5P(X=2)+9P(X=3)+11P(X=4)
&\approx 6,3\\
&>6\end{align*}$
La condition 2 n’est pas vérifiée.

Le jeu ne pourra pas être retenu.

$\quad$

Énoncé

Exercice 1 (QCM)       5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie. Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

  1. Question1:
    Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^x$. Une primitive $F$ sur $\R$ de la fonction $f$ est définie par :
    A. $F(x)=\dfrac{x^2}{2}\e^x$
    B. $F(x)=(x-1)\e^x$
    C. $F(x)=(x+1)\e^x$
    D. $F(x)=\dfrac{1}{2}x\e^{x^2}$
    $\quad$
  2. La courbe $C$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]0; +\infty[$.
    On sait que :
    $\bullet$ le maximum de la fonction $f$ est atteint au point d’abscisse $3$ ;
    $\bullet$ le point $P$ d’abscisse $5$ est l’unique point d’inflexion de la courbe $C$.
    $\quad$

    $\quad$
    A. pour tout $x\in ]0;5[$, $f(x)$ et $f'(x)$ sont de même signe ;
    B. pour tout $x\in ]5;+\infty[$, $f(x)$ et $f'(x)$ sont de même signe ;
    C. pour tout $x\in ]0;5[$, $f'(x)$ et $f\dsec(x)$ sont de même signe ;
    D. pour tout $x\in ]5;+\infty[$, $f(x)$ et $f\dsec(x)$ sont de même signe .
    $\quad$
  3. Question 3 :
    On considère la fonction $g$ définie sur $[0; +\infty[$ par $g(t)=\dfrac{a}{b+\e^{-t}}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
    On sait que $g(0) = 2$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=3$. Les valeurs de $a$ et $b$ sont :
    A. $a=2$ et $b=3$
    B. $a=4$ et $b=\dfrac{1}{3}$
    C. $a=4$ et $b=1$
    D. $a=6$ et $b=2$
    $\quad$
  4. Question 4 :
    Alice dispose de deux urnes A et B contenant chacune quatre boules indiscernables au toucher. L’urne A contient deux boules vertes et deux boules rouges. L’urne B contient trois boules vertes et une boule rouge.
    Alice choisit au hasard une urne puis une boule dans cette urne. Elle obtient une boule verte. La probabilité qu’elle ait choisi l’urne B est :
    A. $\dfrac{3}{8}$
    B. $\dfrac{1}{2}$
    C. $\dfrac{3}{5}$
    D. $\dfrac{5}{8}$
    $\quad$
  5. Question 5 :
    On pose $S = 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{100}$.
    Parmi les scripts Python ci-dessous, celui qui permet de calculer la somme $S$ est :
    $$\begin{array}{lll}
    \begin{array}{l}
    \textbf{a.}\\
    \texttt{def somme_a() :}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{S = 0}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{for k in range(100) :}\\
    \hspace{1.6cm}\texttt{S=1/(k+1)}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{return S}\end{array}
    &\phantom{1234}
    &\begin{array}{l}
    \textbf{b.}\\
    \texttt{def somme_b() :}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{S = 0}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{for k in range(100) :}\\
    \hspace{1.6cm}\texttt{S = S + 1/(k + 1)}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{return S}\end{array} \\\\
    \begin{array}{l}
    \textbf{c.}\\
    \texttt{def somme_c() :}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{k = 0}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{while S < 100}\\
    \hspace{1.6cm}\texttt{S=S + 1/(k+1)}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{return S}\end{array}
    &\phantom{1234}
    &\begin{array}{l}
    \textbf{d.}\\
    \texttt{def somme_d() :}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{k = 0}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{while k < 100}\\
    \hspace{1.6cm}\texttt{S = S + 1/(k + 1)}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{return S}\end{array} \\
    \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2       6 points

On considère la fonction $f$ définie sur $]-1,5;+\infty[$ par $f(x)=\ln(2x+3)-1$.

Le but de cet exercice est d’étudier la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $$u_0=0 \text{ et } u_{n+1}=f\left(u_n\right) \text{ pour tout entier naturel $n$.}$$

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

On considère la fonction $g$ définie sur $]-1,5;+\infty[$ par $g(x)=f(x)-x$.

  1. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $-1,5$.
    $\quad$

On admet que la limite de la fonction $g$ en $+\infty$ est $-\infty$.

  1. Étudier les variations de la fonction $g$ sur $]-1,5 ; +∞[$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, dans l’intervalle $]-0,5 ; +\infty[$, l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$.
    $\quad$
    b. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

On admet que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1,5 ; +\infty[$.

  1. Soit $x$ un nombre réel. Montrer que si $x\in [-1; \alpha]$ alors $f(x)\in [-1;\alpha]$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
    $$-1\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$$
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3       6 points

La figure ci-dessous correspond à la maquette d’un projet architectural.
Il s’agit d’une maison de forme cubique $(ABCDEFGH)$ accolée à un garage de forme cubique $(BIJKLMNO)$ où $L$ est le milieu du segment $[BF]$ et $K$ est le milieu du segment $[BC]$.
Le garage est surmonté d’un toit de forme pyramidale $(LMNOP)$ de base carrée $LMNO$ et de sommet $P$ positionné sur la façade de la maison.

On munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ avec $\vec{i}=\dfrac{1}{2}\vect{AB}$, $\vec{j}=\dfrac{1}{2}\vect{AD}$ et $\vec{k}=\dfrac{1}{2}\vect{AE}$.

  1. a. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points $H$, $M$ et $N$.
    $\quad$
    b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(HM)$.
    $\quad$
  2. L’architecte place le point $P$ à l’intersection de la droite $(HM)$ et du plan $(BCF)$.
    Montrer que les coordonnées de $P$ sont $\left(2;\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)$.
    $\quad$
  3. a. Calculer le produit scalaire $\vect{PM}.\vect{PN}$.
    $\quad$
    b. Calculer la distance $PM$.
    $\quad$
    On admet que la distance $PN$ est égale à $\dfrac{\sqrt{11}}{3}$
    $\quad$
    c. Pour satisfaire à des contraintes techniques, le toit ne peut être construit que si l’angle $\widehat{MPN}$ ne dépasse pas $55$°. Le toit pourra-t-il être construit ?
    $\quad$
  4. Justifier que les droites $(HM)$ et $(EN)$ sont sécantes. Quel est leur point d’intersection ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4       3 points

Une société de production s’interroge sur l’opportunité de programmer un jeu télévisé. Ce jeu réunit quatre candidats et se déroule en deux phases.

La première phase est une phase de qualification. Cette phase ne dépend que du hasard.
Pour chaque candidat, la probabilité de se qualifier est $0,6$ .

La deuxième phase est une compétition entre les candidats qualifiés. Elle n’a lieu que si deux candidats au moins sont qualifiés. Sa durée dépend du nombre de candidats qualifiés comme l’indique le tableau ci-dessous (lorsqu’il n’y a pas de deuxième phase, on considère que sa durée est nulle).

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{l}\text{Nombre de}\\
\text{candidats qualifiés}\\
\text{pour la deuxième}\\
\text{phase}\end{array}&\phantom{123}0\phantom{123}&\phantom{123}1\phantom{123}&\phantom{123}2\phantom{123}&\phantom{123}3\phantom{123}&\phantom{123}4\phantom{123}\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Durée de la}\\
\text{deuxième phase en}\\
\text{minutes}\end{array}&0&0&5&9&11\\
\hline
\end{array}$$

Pour que la société décide de retenir ce jeu, il faut que les deux conditions suivantes soient vérifiées :

Condition n°1 : La deuxième phase doit avoir lieu dans au moins $80\%$ des cas.

Condition n°2 : La durée moyenne de la deuxième phase ne doit pas excéder $6$ minutes.

$\quad$

Le jeu peut-il être retenu ?

$\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 1 – 13 mars 2023

Centre étrangers – 13 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Pour tout $n\in \N$ on a:
    $\begin{align*} u_n&=\dfrac{1+2^n}{3+5^n} \\
    &=\dfrac{2^n\left(\dfrac{1}{2^n}+1\right)}{5^n\left(\dfrac{3}{5^n}+1\right)} \\
    &=\left(\dfrac{2}{5}\right)^n \times \dfrac{\dfrac{1}{2^n}+1}{\dfrac{3}{5^n}+1}\end{align*}$
    $-1<\dfrac{2}{5}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{2}{5}\right)^n=0$.
    De plus $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{3}{5^n}=0$
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\ln(x)+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2x\ln(x)+x \\
    &=x\left(2\ln(x)+1\right)\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. $h(x)\pp 0$ sur $]-\infty;1]$. Par conséquent, $H$ est décroissante sur $]-\infty;1]$ et donc sur $]-\infty;0]$.
    Or $H(0)=0$.
    Par conséquent, pour tout $x\pp 0$, $H(x)\pg H(0)$ soit $H(x)\pg 0$.
    Réponse a
    $\quad$
  4. Il s’agit d’un algorithme de dichotomie qui est mis en place.
    Dans la boucle while, il faut que l’écart soit supérieur à $0,001$ pour continuer cette boucle. On exclut donc la proposition c.
    La fonction est croissante sur $[a;b]$. Par conséquent si $f(m)<0$ alors $a$ prend la valeur de $m$. On exclut la proposition a.
    Il faut recalculer la variable $m$ à chaque tour de boucle : on exclut la proposition b.
    Réponse d
    $\quad$
  5. On choisit $2$ boules vertes parmi les $3$ boules vertes de l’urne. La probabilité de tirer une boule bleue est égale à $\dfrac{7}{10}$ et celle de tirer une boule verte est égale à $\dfrac{3}{10}$.
    On répète $3$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{7}{10}$.
    La variable aléatoire égale au nombre de boules vertes tirées suit la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac{7}{10}$.
    La probabilité de tirer exactement deux boules vertes est égale à $\dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$.
    Réponse d
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. La trottinette est en bon état lors de sa mise en service.
    Ainsi
    $\begin{align*} p_1&=p\left(B_1\right) \\
    &=p\left(B_0\right)p_{B_0}\left(B_1\right)\\
    &=1\times 0,9\\
    &=0,9\end{align*}$
    $\quad$
    $\left(B_1,\conj{B_1}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales.
    $\begin{align*} p_2&=p\left(B_1\cap B_2\right)+p\left(\conj{B_1}\cap B_2\right) \\
    &=p\left(B_1\right)p_{B_1}\left(B_2\right)+p\left(\conj{B_1}\right)p_{\conj{B_1}}\left(B_1\right) \\
    &=0,9\times 0,9+0,1\times 0,4 \\
    &=0,81+0,04\\
    &=0,85\end{align*}$
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  3. $\left(B_n,\conj{B_n}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales.
    $\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(B_n\cap B_{n+1}\right)+p\left(\conj{B_n}\cap B_{n+1}\right) \\
    &=p\left(B_n\right)p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)+p\left(\conj{B_n}\right)p_{\conj{B_n}}\left(B_{n+1}\right) \\
    &=0,9\times p_n+0,4\left(1-p_n\right) \\
    &=0,9p_n+0,4-0,4p_n\\
    &=0,5p_n+0,4\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout $n$ on pose $R(n):~p_n\pg 0,8$.
    Initialisation : $p_0=1\pg 0,8$ donc $R(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $R(n)$ vraie.
    $\begin{align*} p_n\pg 0,8& \ssi 0,5p_n\pg 0,4 \\
    &\ssi 0,5p_n +0,4\pg 0,8 \\
    &\ssi p_{n+1} \pg 0,8\end{align*}$
    Donc $R(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété $R$ est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $p_n \pg 0,8$.
    $\quad$
    b. L’entreprise peut annoncer qu’au moins $80\%$ du parc de trottinette est bon état à tout moment.
    $\quad$
  5. a. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-0,8 \\
    &=0,5p_n+0,4-0,8 \\
    &=0,5p_n-0,4 \\
    &=0,5\left(p_n-0,8\right) \\
    &=0,5u_n\end{align*}$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_0=p_0-0,8=0,2$.
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $u_n=0,2\times 0,5^n$.
    Ainsi $p_n=0,8+u_n=0,8+0,2\times 0,5^n$.
    $\quad$
    c. $0<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,8$.
    $\quad$

Partie B

  1. On répète $15$ fois de manière indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,8$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,8$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X=15)&=0,8^{15} \\
    &\approx 0,035\end{align*}$
    La probabilité que les $15$ trottinettes soient en bon état est égale à $0,8^{15} \approx 0,035$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(X\pg 10)&=1-p(X\pp 9) \\
    &\approx 0,939\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins $10$ trottinettes soient en bon état dans un lot de $15$ est environ égale à $0,939$.
    $\quad$
  4. Cela signifie qu’en moyenne, dans un lot de $15$ trottinettes, $12$ sont en bon état.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. $\vect{BF}=\dfrac{1}{2}\vect{AE}$ et $\vec{k}=\dfrac{1}{8}\vect{AE}$.
    Donc $E$ a pour coordonnées $(0,0,8)$, $F$ a pour coordonnées $(4,0,4)$
    Ainsi $I$, milieu de $[EF]$ a pour coordonnées $(2,0,6)$.
    $J$ est le milieu de $[AE]$ donc $J$ a pour coordonnées $(0,0,4)$.
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{IJ}\begin{pmatrix} -2\\0\\-2\end{pmatrix}$.
    $G$ a pour coordonnées $(4,4,4)$ donc $\vect{IG}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2\\4\\-2\end{pmatrix}$.
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même coordonnée nulle.
    D’une part $\vec{n}.\vect{IJ}=2+0-2=0$
    D’autre part $\vec{n}.\vect{IG}=-2+4-2=0$
    $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IGJ)$.
    $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(IGJ)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(IGJ)$ est alors de la forme $-x+y+z+d=0$.
    $I(2,0,6)$ appartient à ce plan. Donc $-2+0+6+d=0 \ssi d=-4$.
    Une équation cartésienne du plan $(IGJ)$ est donc $-x+y+z-4=0$.
    $\quad$
  3. $H$ a pour coordonnées $(0,4,8)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $d$ est $\begin{cases} x=-t\\y=4+t\\z=8+t\end{cases}, \quad \forall t\in \R$.
    $\quad$
  4. Montrons que le point $L’\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{16}{3}\right)$ appartient à la droite et au plan.
    $-\dfrac{8}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{16}{3}-4= \dfrac{12}{3}-4  =0$. $L’$ appartient au plan $(IGJ)$.
    Prenons $t=-\dfrac{8}{3}$ dans la représentation paramétrique de $d$.
    On obtient alors $x=\dfrac{8}{3}$, $y=4-\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}$ et $z=8-\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}$.
    $L’$ appartient alors également à $d$.
    Ainsi $L’$ appartient à la fois à $d$ et au plan $(IGJ)$. La droite $d$ est normale au plan $(IGJ)$; elle n’est donc pas incluse dedans.
    Par conséquent les coordonnées du point $L$ sont bien $\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{16}{3}\right)$.
    $\quad$
  5. La distance cherchée est $HL$.
    $\vect{HL}\begin{pmatrix} \dfrac{8}{3}\\[2mm]-\dfrac{8}{3}\\[2mm]-\dfrac{8}{3}\end{pmatrix}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} HL&=\sqrt{\left(\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{8}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{64}{3}} \\
    &=\dfrac{8}{\sqrt{3}}\end{align*}$
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*} \vect{IG}.\vect{IJ}&=-4+0+4 \\
    &=0\end{align*}$
    Les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{IG}$ sont orthogonaux et le triangle $IGJ$ est rectangle en $I$.
    $\quad$
  7. On a :
    $\begin{align*} IJ&=\sqrt{(-2)^2+0^2+(-2)^2} \\
    &=\sqrt{8}\end{align*}$
    $\begin{align*} IG&=\sqrt{2^2+4^2+(-2)^2} \\
    &=\sqrt{24}\end{align*}$Le volume du tétraèdre $IGJH$ est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{IGJ}\times HL \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{IJ\times IG}{2}\times HL \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{8}\times \sqrt{24}}{2}\times \dfrac{8}{\sqrt{3}} \\
    &=\dfrac{32}{3}\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    Pour tout $t\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=-(-t+1)\e^{-0,5t^2+t+2} \\
    &=(t-1)\e^{-0,5t^2+t+2}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent $f'(t)$ est du signe de $t-1$.
    Or $t-1<0 \ssi t<1$ et $t-1=0 \ssi t=1$.
    Ainsi la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;1[$.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$ d’après la question précédente.
    $\lim\limits_{t\to +\infty} (-0,5t^2t+2) = \lim\limits_{t\to +\infty} -0,5t^2=-\infty$ (limite des termes de plus haut degré).
    Or $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{t\to +\infty} \e^{-0,5t^2+t+2}=0$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=\e^3$.
    Or $\e^3 \approx 20,086$.
    Ainsi, après $1$ heure, la population de bactéries va croître jusqu’à environ $20~086<21~000$ entités.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[0;1]$.
    $f(0)=\e^3-\e^2\approx 12,7>10$
    $f(1)\approx 7,9<10$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=10$ admet une unique solution sur $[0;1]$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
    $f(1)\approx 7,9<10$
    $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=\e^3>10$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=10$ admet une unique solution sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
    Finalement l’équation $f(t)=10$ admet exactement deux solutions sur $[0;+\infty[$.
    La population de bactéries aura un effectif de $10~000$ à deux reprises au cours du temps.
    Affirmation 3 vraie.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1  (QCM)     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie. Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

  1. Question 1 :
    On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par $u_n=\dfrac{1+2^n}{3+5^n}$.
    Cette suite :
    a. diverge vers $+\infty$
    b. converge vers $\dfrac{2}{5}$
    c. converge vers $0$
    d. converge vers $\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
  2. Question 2 :
    Soit $f$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x)= x^2\ln(x)$. L’expression de la fonction dérivée de $f$ est :
    a. $f'(x)=2x\ln(x)$
    b. $f'(x)=x\left(2\ln(x)+1\right)$
    c. $f'(x)=2$
    d. $f'(x)=x$
    $\quad$
  3. Question 3 :
    On considère une fonction ℎ définie et continue sur $\R$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous :
    $\quad$

    $\quad$
    On note $H$ la primitive de $h$ définie sur $\R$ qui s’annule en $0$.
    Elle vérifie la propriété :
    a. $H$ positive sur $]-\infty ; 0]$.
    b. $H$ négative sur $]-\infty ; 1]$.
    c. $H$ croissante sur $]-\infty ; 1]$.
    d. $H$ croissante sur $\R$.
    $\quad$
  4. Question 4 :
    Soit deux réels $a$ et $b$ avec $a < b$.
    On considère une fonction $f$ définie, continue, strictement croissante sur l’intervalle $[a ; b]$ et qui s’annule en un réel $\alpha$.
    Parmi les propositions suivantes, la fonction en langage Python qui permet de donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,001$ est :
    $$\begin{array}{lll}
    \begin{array}{l}
    \textbf{a.}\\
    \textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
    \hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) >= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
    \hspace{1,6cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
    \hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
    \end{array}
    &\phantom{1234}&
    \begin{array}{l}
    \textbf{c.}\\
    \textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
    \hspace{0,8cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
    \hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) <= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
    \hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
    \end{array} \\
    \begin{array}{l}
    \textbf{b.}\\
    \textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
    \hspace{0,8cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
    \hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) >= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
    \hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
    \end{array}
    &\phantom{1234}&
    \begin{array}{l}
    \textbf{d.}\\
    \textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
    \hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) >= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
    \hspace{1,6cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
    \hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
    \hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
    \hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
    \end{array}\end{array}$$
    $\quad$
  5. Question 5 :
    Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher dont $7$ sont bleues et les autres vertes. On effectue trois tirages successifs avec remise. La probabilité d’obtenir exactement deux boules vertes est :
    a. $\left(\dfrac{7}{10}\right)^2\times \dfrac{3}{10}$
    b. $\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$
    c. $\dbinom{10}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$
    d. $\dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2       6 points

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Dans une grande ville française, des trottinettes électriques sont mises à disposition des usagers. Une entreprise, chargée de l’entretien du parc de trottinettes, contrôle leur état chaque lundi.

$\quad$

Partie A

On estime que :

  • lorsqu’une trottinette est en bon état un lundi, la probabilité qu’elle soit encore en bon état le lundi suivant est $0,9$ ;
  • lorsqu’une trottinette est en mauvais état un lundi, la probabilité qu’elle soit en bon état le lundi suivant est $0,4$.

On s’intéresse à l’état d’une trottinette lors des phases de contrôle.
Soit $n$ un entier naturel. On note $B_n$ l’événement « la trottinette est en bon état $n$ semaines après sa mise en service » et $p_n$ la probabilité de $B_n$.
Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon état. On a donc $p_0=1$.

  1. Donner $p_1$ et montrer que $p_2 = 0,85$. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :
    $\quad$

    $\quad$
  3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,4$.
    $\quad$
  4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $p_n\pg 0,8$.
    $\quad$
    b. À partir de ce résultat, quelle communication l’entreprise peut-elle envisager pour valoriser la fiabilité du parc ?
    $\quad$
  5. a. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=p_n-0,8$.
    Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
    $\quad$
    b. En déduire l’expression de $u_n$ puis de $p_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
    $\quad$

Partie B
Dans cette partie, on modélise la situation de la façon suivante :

  • l’état d’une trottinette est indépendant de celui des autres ;
  • la probabilité qu’une trottinette soit en bon état est égale à $0,8$.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à un lot de $15$ trottinettes, associe le nombre de trottinettes en bon état. Le nombre de trottinettes du parc étant très important, le prélèvement de $15$ trottinettes peut être assimilé à un tirage avec remise.

  1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que les $15$ trottinettes soient en bon état.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité qu’au moins $10$ trottinettes soient en bon état dans un lot de $15$.
    $\quad$
  4. On admet que $E(X) = 12$. Interpréter le résultat.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3       6 points

On considère le prisme droit $ABFEDCGH$, de base $ABFE$, trapèze rectangle en $A$.
On associe à ce prisme le repère orthonormé $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ tel que :
$\vec{i}=\dfrac{1}{4}\vect{AB}$ ; $\vec{j}=\dfrac{1}{4}\vect{AD}$ ; $\vec{k}=\dfrac{1}{8}\vect{AE}$.
De plus on a $\vect{BF}=\dfrac{1}{2}\vect{AE}$.
On note $I$ le milieu du segment $[EF]$.
On note $J$ le milieu du segment $[AE]$.

 

  1. Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
    $\quad$
  2. Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$.
    a. Montrer que le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $(IGJ)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(IGJ)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, perpendiculaire au plan $(IGJ)$ et passant par $H$.
    $\quad$
  4. On note $L$ le projeté orthogonal du point $H$ sur le plan $(IGJ)$.
    Montrer que les coordonnées de $L$ sont $\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{16}{3}\right)$.
    $\quad$
  5. Calculer la distance du point $H$ au plan $(IGJ)$.
    $\quad$
  6. Montrer que le triangle $IGJ$ est rectangle en $I$.
    $\quad$
  7. En déduire le volume du tétraèdre $IGJH$.
    On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule :
    $$V=\dfrac{1}{3}\times (\textit{aire de la base}) \times \textit{hauteur}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4       3 points

Un biologiste a modélisé l’évolution d’une population de bactéries (en milliers d’entités) par la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par $f(t) = \e^3-\e^{-0,5t^2+t+2}$ où $t$ désigne le temps en heures depuis le début de l’expérience.

À partir de cette modélisation, il propose les trois affirmations ci-dessous. Pour chacune d’elles, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

  • Affirmation 1 : « La population augmente en permanence ».
    $\quad$
  • Affirmation 2 : « À très long terme, la population dépassera $21~000$ bactéries ».
    $\quad$
  • Affirmation 3 : « La population de bactéries aura un effectif de $10~000 $ à deux reprises au cours du temps ».
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole, Antilles, Guyane – sujet 2 – 9 septembre 2022

Métropole Antilles/Guyane – 9 septembre 2022

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$$\quad$
  2. a. $\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(E)&=p(R)\times p_R(E)+p\left(\conj{R}\right)\times p_{\conj{R}}(E) \\
    &=0,4\alpha+0,7(1-\alpha) \\
    &=0,7-0,3\alpha\end{align*}$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} p(E)=0,58&\ssi 0,7-0,3\alpha=0,58 \\
    &\ssi -0,12=-0,3\alpha\\
    &\ssi  \alpha=0,4\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*}
    p_E\left(\conj{R}\right)&=\dfrac{p\left(E\cap \conj{R}\right)}{p(E)} \\
    &=\dfrac{p\left(\conj{R}\right)\times P_{\conj{R}}(E)}{p(E)} \\
    &=\dfrac{0,7(1-\alpha)}{0,58} \\
    &=\dfrac{0,7\times 0,6}{0,58} \\
    &=\dfrac{21}{29}\\
    &\approx 0,72
    \end{align*}$
    La probabilité que le client ayant loué un vélo électrique ait loué un vélo tout terrain est environ égale à $0,72$.
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*} p\left(\conj{R}\cap E\right)&=p\left(\conj{R}\right)\times p_{\conj{R}}(E) \\
    &=0,7(1-\alpha)\\
    &=0,7\times 0,6\\
    &=0,42\end{align*}$
    La probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique est égale à $0,42$.
    $\quad$
  5. a. $X(\Omega)=\acco{25,~35,~40,~50}$
    $\begin{align*} p(X=25)&=p\left(R\cap \conj{E}\right) \\
    &= 0,4\times 0,4\\
    &=0,24\end{align*}$
    $\begin{align*} p(X=35)&=p\left(\conj{R}\cap \conj{E}\right) \\
    &= 0,6\times 0,3\\
    &=0,18\end{align*}$
    $\begin{align*} p(X=40)&=p\left(R\cap \conj{E}\right) \\
    &= 0,4\times 0,4\\
    &=0,16\end{align*}$
    $\begin{align*} p(X=50)&=p\left(\conj{R}\cap E\right) \\
    &= 0,6\times 0,7\\
    &=0,42\end{align*}$
    On obtient ainsi le tableau de loi de probabilité de $X$ suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&25&35&40&50\\
    \hline
    p(X=x)&0,24&0,18&0,16&0,42\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. L’espérance mathématique de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=25\times 0,24+35\times 0,18+40\times 0,16+50\times 0,42 \\
    &=39,7\end{align*}$
    En moyenne, une location de vélo coûte $39,70$ euros.
    $\quad$
  6. a. On répète $30$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,58$.
    $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,58$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} p(X=20)&=\dbinom{30}{20} 0,58^{20}\times 0,42^{10} \\
    &\approx 0,095\end{align*}$
    La probabilité qu’un échantillon contienne exactement $20$ clients qui
    louent un vélo électrique est environ égale à $0,095$.
    $\quad$
    c. On veut calculer $P(X\pg 15) \approx 0,858$.
    La probabilité qu’un échantillon contienne au moins $15$ clients qui louent un vélo électrique est environ égale à $0,858$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} b_{n+1}&=a_{n+1}-2 \\
    &=0,5a_n+1-2 \\
    &=0,5a_n-1 \\
    &=0,5\left(a_n-2\right) \\
    &=0,5b_n\end{align*}$
    La suite $\left(b_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. On a donc $u_1=5$, $v_1=3$, $u_2=14$ et $v_2=8$.
    Donc $\dfrac{u_2}{v_2}=1,75$
    Réponse c
    $\quad$
  3. La boucle du programme calcule tous les termes $u_n$ et $v_n$ pour $n$ allant de $1$ à $10$.
    Le programme renvoie donc $u_{10}$ et $v_{10}$.
    Réponse d
    $\quad$
  4. La fonction $f’$ semble croissante sur l’intervalle $[-4;0]$.
    Par conséquent la fonction $f$ semble convexe sur cet intervalle.
    Réponse b
    $\quad$
  5. Le coefficient directeur de la droite $(BC)$ est
    $\begin{align*} f\dsec(1)&=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B} \\
    &=5\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  6. On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\left(x^2-2x+3\right)\e^x-2$.
    La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} F'(x)&=(2x-2)\e^x+\left(x^2-2x+3\right)\e^x \\
    &=\left(2x-2+x^2-2x+3\right)\e^x \\
    &=\left(x^2+1\right)\e^x\end{align*}$
    Ainsi $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
    De plus $F(0)=3-2=1$.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=0$ donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x\left(1-\ln(x)\right)$.
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} 1-\ln(x)=-\infty$ ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=1-\ln(x)-x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=1-\ln(x)+1\\
    &=-\ln(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $f'(x)=0\ssi -\ln(x)=0 \ssi x=1$
    $f'(x)>0 \ssi -\ln(x)>0 \ssi x\in ]0;1[$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  4. $f(x)=x\ssi x-x\ln(x)=x \ssi -x\ln(x)=0 \ssi x=1$ (la valeur $0$ n’est pas solution puisque $f$ n’est pas définie en $0$).
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~0,5\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 1$.
    Initialisation : $u_0=0,5$ et $u_1\approx 0,85$.
    Par conséquent $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $0,5\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 1$.
    La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0,5;1]$.
    Par conséquent $f(0,5) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp p(1)$ c’est-à-dire $u_1\pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 1$.
    Or $u_1\approx 0,85$.
    La propriété $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, $0,5\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 1$.
    $\quad$
  2. a. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $1$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est continue sur $]0;+\infty[$ et, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
    D’après la question A.4. l’unique solution de cette équation est $1$.
    Ainsi $\ell=1$.
    $\quad$

Partie C

  1. La fonction $f_k$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f_k'(x)&=k-\ln(x)-x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=-\ln(x)+k-1\end{align*}$
    $f_k'(x)>0 \ssi -\ln(x)+k-1>0 \ssi \ln(x)<k-1 \ssi x<\e^{k-1}$
    La fonction $f_k$ est donc strictement croissante sur $\left]0;\e^{k-1}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[\e^{k-1};+\infty\right[$.
    La fonction $f_k$ admet par conséquent un maximum en $x_k=\e^{k-1}$.
    $\quad$
  2. Soit $k\in \R$.
    $\begin{align*} y_k=f_k\left(x_k\right)\\
    &=k\e^{k-1}-\e^{k-1}\ln\left(\e^{k-1}\right) \\
    &=k\e^{k-1}-(k-1)\e^{k-1} \\
    &=\e^{k-1}\left(k-(k-1)\right) \\
    &=\e^{k-1}\\
    &=x_k\end{align*}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Les coordonnées du vecteur $\vec{u}’$ sont $\begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{u}’$ ne sont pas colinéaires (ils n’ont pas les mêmes coordonnées nulles). Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ ne sont donc pas parallèles.
    $\quad$
    c. Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est $\begin{cases} x=2+k\\y=4+2k\\z=0\end{cases}$.
    $\quad$
  2. $\vec{v}.\vec{u}=2-2+0=0$ et $\vec{v}.\vec{u}’=0-1+1=0$.
    $\vec{v}$ est donc orthogonal aux deux vecteurs, non colinéaires, $\vec{u}$ et $\vec{u}’$.
    $\vec{v}$ est donc un vecteur directeur de la droite perpendiculaire à la fois à $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$.
    Ainsi $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
    $\quad$
  3. a. $\vec{n}.\vec{u}=2-2+0=0$ et $\vec{n}.\vec{v}= 4+1-5=0$.
    Ainsi $\vec{n}$ orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $2x-y-5z+d=0$.
    Le point $A(2;4;0)$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
    Par conséquent $4-4-0+d=0 \ssi d=0$.
    Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc $2x-y-5z=0$.
    $\quad$
    c. $M’$ est un point de $Delta$. Il appartient donc également au plan $\mathscr{P}$ qui contient cette droite.
    $M’$ est un point de $\mathscr{D}’$.
    $M’$ est donc le point d’intersection de la droite $\mathscr{D}’$ avec le plan $\mathscr{P}$.
    $2\times 3-1-5=0$ : le point de coordonnées $(3;1;1)$ appartient donc au plan $\mathscr{P}$.
    En prenant $t=-2$ dans la représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}’$ on obtient le point de coordonnées $(3;1;1)$.
    Ainsi ce point est le point d’intersection de la droite $\mathscr{D}’$ et $\mathscr{P}$.
    Ainsi $M’$ a pour coordonnées $(3;1;1)$.
    $\quad$
  4. a. $\vec{v}$ est un vecteur directeur de $\Delta$ et $M’$ appartient à cette droite.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $\begin{cases} x= 3+2k’\\y=1-k’\\z=1+k’\end{cases} \qquad k’\in \R$.
    $\quad$
    b. En prenant $k’=-1$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ on obtient le point de coordonnées $(-1;2;0)$.
    En prenant $k=-1$ dans la représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ on obtient le point de coordonnées $(-1;2;0)$.
    $M$ est le point d’intersection de ces deux droites. Donc $M$ a pour coordonnées $(1;2;0)$.
    $\quad$
    c. Les coordonnées de $\vect{MM’}$ sont $\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} MM’&=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}\\
    &=\sqrt{4+1+1} \\
    &=\sqrt{6}\end{align*}$.
    $\quad$
  5. a. Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{r}\begin{pmatrix} 5\\5\\1\end{pmatrix}$.
    $\vec{n}.\vec{r}=10-5-5=0$. Par conséquent $\vec{n}$ est normal à la droite $d$.
    Ainsi $d$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    b. Les droites $\mathscr{D}$ et $\Delta$ sont perpendiculaires en $M$.
    Le point $A$ appartient à la droite $\mathscr{D}$ et le point $M’$ appartient à la droite $\Delta$.
    Le triangle $AMM’$ est rectangle en $M$.
    Les coordonnées de $\vect{AM}$ sont $\begin{pmatrix} -1\\-2\\0\end{pmatrix}$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} AM&=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+0^2} \\
    &=\sqrt{5}\end{align*}$
    Ainsi l’aire du triangle $AMM’$ est
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AM\times MM’}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{30}}{2}\end{align*}$.
    Le volume du tétraèdre $ANMM’$ est donc $V=\dfrac{\sqrt{30}}{3}\ell$.
    $\quad$
    c. La droite $d$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$. La distance d’un point de la droite $d$ à ce plan est donc toujours la même. Ainsi $\ell$ ne dépend pas du point $N$ choisi.
    Par conséquent $AN_1MM’$ et $AN_2MM’$ ont le même volume.
    $\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1     7 points
Thème : probabilités

Dans le magasin d’Hugo, les clients peuvent louer deux types de vélos : vélos de route ou bien vélos tout terrain. Chaque type de vélo peut être loué dans sa version électrique ou non.
On choisit un client du magasin au hasard, et on admet que :

  • Si le client loue un vélo de route, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de $0,4$ ;
  • Si le client loue un vélo tout terrain, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de $0,7$ ;
  • La probabilité que le client loue un vélo électrique est de $0,58$.

On appelle $\alpha$ la probabilité que le client loue un vélo de route, avec $0\pp \alpha\pp 1$.

On considère les événements suivants :

  • $R$ : « le client loue un vélo de route » ;
  • $E$ : « le client loue un vélo électrique » ;
  • $\conj{R}$ et $\conj{E}$ , événements contraires de $R$ et $E$.

On modélise cette situation aléatoire à l’aide de l’arbre reproduit ci-dessous :

Si $F$ désigne un événement quelconque, on notera $p(F)$ la probabilité de $F$.

  1. Recopier cet arbre sur la copie et le compléter.
    $\quad$
  2. a. Montrer que $p(E)=0,7-0,3\alpha$.
    $\quad$
    b. En déduire que : $\alpha = 0,4$.
    $\quad$
  3. On sait que le client a loué un vélo électrique. Déterminer la probabilité qu’il ait loué un vélo tout terrain. On donnera le résultat arrondi au centième.
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique ?
    $\quad$
  5. Le prix de la location à la journée d’un vélo de route non électrique est de $25$ euros, celui d’un vélo tout terrain non électrique de $35$ euros. Pour chaque type de vélo, le choix de la version électrique augmente le prix de location à la journée de $15$ euros.
    On appelle $X$ la variable aléatoire modélisant le prix de location d’un vélo à la journée.
    a. Donner la loi de probabilité de $X$. On présentera les résultats sous forme d’un tableau.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance mathématique de $X$ et interpréter ce résultat.
    $\quad$
  6. Lorsqu’on choisit $30$ clients d’Hugo au hasard, on assimile ce choix à un tirage avec remise. On note $Y$ la variable aléatoire associant à un échantillon de $30$ clients choisis au hasard le nombre de clients qui louent un vélo électrique.
    On rappelle que la probabilité de l’événement $E$ est : $p(E) = 0,58$.
    a. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité qu’un échantillon contienne exactement $20$ clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.
    $\quad$
    c. Déterminer la probabilité qu’un échantillon contienne au moins $15$ clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points
Thèmes : suites, fonctions

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ définie par $a_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 0,5a_n+1$ et $b_n=a_n-2$.
    On peut affirmer que :
    a. $\left(a_n\right)$ est arithmétique ;
    b. $\left(b_n\right)$ est géométrique ;
    c. $\left(a_n\right)$ est géométrique ;
    d. $\left(b_n\right)$ est arithmétique.
    $\quad$

Dans les questions 2. et 3., on considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ définies par :$$u_0=2,~v_0=1 \text{ et, pour tout entier naturel }n :\begin{cases} u_{n+1}=u_n+3v_n\\v_{n+1}=u_n+v_n\end{cases}$$

  1. On peut affirmer que :
    a. $\begin{cases} u_2=5\\v_2=3\end{cases}$;
    b. $u_2^2-3v_2^2=-2^2$;
    c. $\dfrac{u_2}{v_2}=1,75$;
    d. $5u_1=3v_1$.
    $\quad$
  2. On considère le programme ci-dessous écrit en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def valeurs() :}\\
    \quad \text{u = 2}\\
    \quad \text{v = 1}\\
    \quad \text{for k in range(1,11) :}\\
    \qquad \text{c = u}\\
    \qquad \text{u = u+3*v}\\
    \qquad \text{v = c+v}\\
    \quad \text{return (u,v)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Ce programme renvoie :
    a. $u_{11}$ et $v_{11}$;
    b. $u_{10}$ et $v_{11}$;
    c. les valeurs de $u_n$ et $v_n$ pour $n$ allant de $1$ à $10$;
    d. $u_{10}$ et $v_{10}$.
    $\quad$

Pour les questions 4. et 5., on considère une fonction $f$ deux fois dérivable sur l’intervalle $[-4 ; 2]$. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ et $f\dsec$ la dérivée seconde de $f$.
On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}’$ de la fonction dérivée $f’$ dans un repère du plan. On donne de plus les points $A(-2; 0)$, $B(1; 0)$ et $C(0; 5)$.

  1. La fonction $f$ est :
    a. concave sur $[-2; 1]$;
    b. convexe sur $[-4; 0]$;
    c. convexe sur $[-2; 1]$;
    d. convexe sur $[0; 2]$.
    $\quad$
  2. On admet que la droite $(BC)$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}’$ au point $B$.
    On a :
    a. $f'(1) < 0$;
    b. $f'(1)= 5$;
    c. $f\dsec(1) > 0$;
    d. $f\dsec(1) = -5$.
    $\quad$
  3. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2+1\right)\e^x$.
    La primitive $F$ de $f$ sur $\R$ telle que $F(0) = 1$ est définie par :
    a. $F(x)=\left(x^2-2x+3\right)\e^x$;
    b. $F(x)=\left(x^2-2x+3\right)\e^x-2$;
    c. $F(x)=\left(\dfrac{1}{3}x^3+x\right)\e^x+1$;
    d. $F(x)=\left(\dfrac{1}{3}x^3+x\right)\e^x$;
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points
Thèmes : fonction logarithme, suites

Les parties B et C sont indépendantes.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = x-x\ln(x)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

Partie A

  1. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. Démontrer que, pour tout réel $x>0$, on a : $f'(x)=-\ln(x)$.
    $\quad$
    b. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$ et dresser son tableau de variation.
    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $f(x) = x$ sur $]0; +\infty[$.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on pourra utiliser avec profit certains résultats de la partie A.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$\begin{cases} u_0=0,5\\\text{pour tout entier naturel }n, u_{n+1}=u_n-u_n\ln\left(u_n\right)\end{cases}$$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

  1. On rappelle que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0,5; 1]$.
    Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0,5\pp u_n\pp u_{n+1}\pp 1$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    b. On note $l$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Déterminer la valeur de $l$.
    $\quad$

Partie C

Pour un nombre réel $k$ quelconque, on considère la fonction $f_k$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $$f_k(x)=kx-x\ln(x)$$

  1. Pour tout nombre réel $k$, montrer que $f_k$ admet un maximum $y_k$ atteint en $x_k=\e^{k-1}$.
    $\quad$
  2. Vérifier que, pour tout nombre réel $k$, on a : $x_k=y_k$.
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 4     7 points
Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère :

  • la droite $\mathscr{D}$ passant par le point $A(2; 4; 0)$ et dont un vecteur directeur est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$;
  • la droite $\mathscr{D}’$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases}x=3\\y=3+t\\z=3+t\end{cases} \quad, t\in \R$.
  1. a. Donner les coordonnées d’un vecteur directeur $\vec{u’}$ de la droite $\mathscr{D}’$.
    $\quad$
    b. Montrer que les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
    c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$.

On admet dans la suite de cet exercice qu’il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire aux droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$. Cette droite $\Delta$ coupe chacune des droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$. On appellera $M$ le point d’intersection de $\Delta$ et $\mathscr{D}$, et $M’$ le point d’intersection de $\Delta$ et $\mathscr{D}’$.

On se propose de déterminer la distance $MM’$ appelée « distance entre les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ ».

  1. Montrer que le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
    $\quad$
  2. On note $\mathscr{P}$ le plan contenant les droites $\mathscr{D}$ et $\Delta$, c’est-à-dire le plan passant par le point $A$ et de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
    a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-5\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation du plan $\mathscr{P}$ est : $2x-y-5z=0$.
    $\quad$
    c. On rappelle que $M’$ est le point d’intersection des droites $\Delta$ et $\mathscr{D}’$. Justifier que $M’$ est également le point d’intersection de $\mathscr{D}’$ et du plan $\mathscr{P}$.
    En déduire que les coordonnées du point $M’$ sont $(3; 1; 1)$.
    $\quad$
  3. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. Justifier que le point $M$ a pour coordonnées $(1; 2; 0)$.
    $\quad$
    c. Calculer la distance $MM’$.
    $\quad$
  4. On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=5t\\y=2+5t\\z=1+t\end{cases} \quad$ avec $t\in \R$.
    a. Montrer que la droite $d$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    b. On note $\ell$ la distance d’un point $N$ de la droite $d$ au plan $\mathscr{P}$. Exprimer le volume du tétraèdre $ANMM’$ en fonction de $\ell$.
    On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : $V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{B}\times h$ où $\mathscr{B}$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
    $\quad$
    c. Justifier que, si $N_1$ et $N_2$ sont deux points quelconques de la droite $d$, les tétraèdres $AN_1MM’$ et $AN_2MM’$ ont le même volume.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole, Antilles, Guyane – sujet 1 – 8 septembre 2022

Métropole Antilles/Guyane – 8 septembre 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Pour tout réel $x$
    $\begin{align*} g(x)&=\dfrac{2\e^x}{\e^x+1} \\
    &=\dfrac{2\e^x}{\e^x\left(1+\e^{-x}\right) }\\
    &=\dfrac{2}{1+\e^{-x}}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=2$.
    La droite d’équation $y=2$ est donc asymptote à la courbe représentative de la fonction $g$ en $+\infty$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. La fonction $f\dsec$ semble positive sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
    Par conséquent $f$ est convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. Pour tout $n\in \N$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-2 \\
    &=\dfrac{1}{2}u_{n+1}+1-2 \\
    &=\dfrac{1}{2}u_{n+1}-1 \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(u_n-2\right)\\
    &=\dfrac{1}{2}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
    Réponse d
    $\quad$
  4. $0<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$. Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+\left(\dfrac{1}{4}\right)^n=1$.
    $\begin{align*}\dfrac{n}{n+1}&=\dfrac{n}{n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}\\
    &=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n}{n+1}=1$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} 2-\dfrac{n}{n+1}=1$.
    D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$.
    Réponse b
    $\quad$
  5. On considère la fonction $F$ définie sur $]0;+\infty[$ par $F(x)=\dfrac{1}{3}x^3\left(\ln(x)-\dfrac{1}{3}\right)$.
    La fonction $F$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x>0$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=\dfrac{1}{3}\times 3x^2\left(\ln(x)-\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{3}x^3\times \dfrac{1}{x}\\
    &=x^2\ln(x)-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x^2 \\
    &=x^2\ln(x)\end{align*}$
    Ainsi $F$ est une primitive de la fonction $f$.
    Réponse a
    $\quad$
  6. Soit $x\in \R$
    $\begin{align*} 2+\dfrac{3\e^{-x}-5}{\e^{-x}+1}&=\dfrac{2\e^{-x}+2+3\e^{-x}-5}{\e^{-x}+1} \\
    &=\dfrac{5\e^{-x}-3}{\e^{-x}+1} \\
    &=\dfrac{\e^{-x}\left(5-3\e^x\right)}{\e^{-x}\left(1+\e^x\right)} \\
    &=\dfrac{5-3\e^x}{1+\e^x}\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a $p\left(\conj{M}\cap \conj{G}\right)=0,06$ et $p\left(\conj{M}\right)=1-0,7$ c’est-à-dire $p\left(\conj{M}\right)=0,3$.
    Or
    $\begin{align*} P_{\conj{M}}\left(\conj{G}\right)&=\dfrac{p\left(\conj{M}\cap \conj{G}\right)}{p\left(\conj{M}\right)} \\
    &=\dfrac{0,06}{0,3} \\
    &=0,2\end{align*}$
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre suivant :
    $\quad$
    $\quad$
    c. On veut calculer
    $\begin{align*} p\left(G\cap \conj{M}\right)&=p\left(\conj{M}\right)\times p_{\conj{M}}(G) \\
    &=0,3\times 0,8\\
    &=0,24\end{align*}$
    La probabilité de l’événement « le client visite la grotte et ne visite pas le musée » est égale à $0,24$.
    $\quad$
    d. $\left(M,\conj{M}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} p(G)&=p(G\cap M)+p\left(\conj{M}\cap G\right) \\
    &=p(M)\times p_M(G)+p\left(\conj{M}\cap G\right) \\
    &=0,7\times 0,6+0,24 \\
    &=0,66\end{align*}$
    $\quad$
  2. On veut calculer
    $\begin{align*} p_G(M)&=\dfrac{p(G\cap M)}{p(G)} \\
    &=\dfrac{0,7\times 0,6}{0,66} \\
    &=\dfrac{7}{11} \\
    &>\dfrac{1}{2}
    \end{align*}$
    L’affirmation est donc exacte.
    $\quad$
  3. a. On a $T(\Omega)=\acco{0,~5,~12,~17}$
    $\begin{align*} p(T=0)&=p\left(\conj{G}\cap \conj{M}\right) \\
    &=0,06\end{align*}$
    $\begin{align*} p(T=5)&=p\left(G\cap \conj{M}\right) \\
    &=0,24\end{align*}$
    $\begin{align*} p(T=12)&=p\left(\conj{G}\cap M\right) \\
    &=0,28\end{align*}$
    $\begin{align*} p(T=17)&=p\left(G\cap M\right) \\
    &=0,42\end{align*}$
    Ainsi
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    t&0&5&12&17\\
    \hline
    p(T=t)&0,06&0,24&0,28&0,42\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. L’espérance mathématique de $T$ est donc
    $\begin{align*} E(T)&=0\times 0,06+5\times 0,24+12\times 0,28+17\times 0,42 \\
    &=11,7\end{align*}$
    $\quad$
    c. Un client dépense donc en moyenne $11,70$ €.
    On appelle $N$ le nombre moyen de clients par journée.
    $11,7N\pg 700 \ssi x\pg \dfrac{700}{11,7}$
    Or $\dfrac{700}{11,7}\approx 59,83$.
    Il faut donc, en moyenne, au moins $60$ clients par journée pour atteindre cet objectif.
    $\quad$
  4. On appelle $p$ le prix de la visite de la grotte. On appelle $T’$ la variable aléatoire qui modélise la somme dépensée par un client de l’hôtel pour ces visites. On obtient alors la loi de probabilité suivante
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    t&0&x&12&12+x\\
    \hline
    p(T’=t)&0,06&0,24&0,28&0,42\\
    \hline
    \end{array}$
    Son espérance est donc
    $\begin{align*} E(T’)&=0,24x+12\times 0,28+0,42(12+x) \\
    &=0,24x+3,36+5,04+0,42x \\
    &=8,4+0,66x\end{align*}$
    $\begin{align*} E(T’)=15&\ssi 8,4+0,66x=15 \\
    &\ssi 0,66x=6,6 \\
    &\ssi x=10\end{align*}$
    Le prix de la visite de la grotte devrait donc être de $10$ euros pour atteindre l’objectif.
    $\quad$
  5. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients ayant visité la grotte. On répète $100$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,66$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,66$.
    D’après la calculatrice :
    $\begin{align*} P(X\pg 75)&=1-P(X\pp 74) \\
    &\approx 0,034\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins les trois quarts des clients de l’hôtel aient visité la grotte est environ égale à $0,034$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Par croissances comparées,$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x\pg 1$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2} \\
    &=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x\pg 1$ on a $x^2\pg 1$
    $1-\ln(x)=0\ssi \ln(x)=1\ssi x=\e$ donc $f'(x)=0 \ssi x=\e$
    $1-\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$ donc $f'(x)>0 \ssi x\in [1;\e]$
    $1-\ln(x)<0 \ssi \ln(x)>1 \ssi x>\e$ donc $f'(x)>0 \ssi x\in [\e;+\infty[$
    $\quad$
    c. On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  3. a. Soit $k$ un réel, $0\pp k \pp \e^{-1}$. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[1;\e]$.
    $f(1)=0\pp k$ et $f(\e)=\e^{-1}\pg k$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=k$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;\e]$.
    $\quad$
    b. Soit $k$ strictement supérieur à $\dfrac{1}{\e}$.
    Pour tout réel $x\pg 1$ on a $fx)\pp \e^{-1}$.
    Par conséquent l’équation $f(x)=k$ n’admet aucune solution sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ comme composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=\dfrac{1}{4}\e^{\frac{x}{4}}>0$ car la fonction exponentielle est strictement positive.
    La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n \pp u_{n+1} \pp \e$.
    Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=\e^{\frac{1}{4}}\approx 1,28$
    Par conséquent $u_0\pp u_1 \pp \e$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $u_n \pp u_{n+1} \pp \e$. La fonction $g$ est strictement croissante sur $[1;\e]$. Par conséquent :
    $g\left(u_{n+1}\right) \pp g\left(u_{n+1}\right) \pp g(\e)$ soit $u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \e^{-1}\pp \e$.
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\pp u_{n+1} \pp \e$.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\e$.
    Par conséquent $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  4. $\e^{\frac{x}{4}}=x \ssi \dfrac{x}{4}=\ln(x) \ssi \dfrac{1}{4}=\dfrac{\ln(x)}{x} \ssi f(x)=\dfrac{1}{4}$
    $\quad$
  5. D’après la calculatrice une solution de l’équation $f(x)=\dfrac{1}{4}$ est environ égale à $1,43$ qui appartient bien à $[1;\e]$.
    Ainsi $\ell \approx 1,43$.

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $\vect{DE}\begin{pmatrix} 12\\-15\\-6\end{pmatrix}$
    Par conséquent $\dfrac{1}{3}\vect{DE}\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\Delta$.
    Ainsi, une représentation paramétrique de $\Delta$ est $\begin{cases} x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\end{cases} \qquad t\in \R$.
    $\quad$
    b. $\Delta$ et $\Delta’$ sont parallèles. Un vecteur directeur de de $\Delta$ est donc également un vecteur directeur de $\Delta’$.
    Une représentation paramétrique de $\Delta’$ est donc $\begin{cases} x=4t\\y=-5t\\z=-2t\end{cases} \qquad t\in \R$.
    $\quad$
    c. $4t=1,36 \ssi t=0,34$
    De plus $-5\times 0,34=-1,7$ et $-2\times 0,34=-0,68 \neq -0,7$.
    Donc $F$ n’appartient pas à la droite $\Delta’$.
    $\quad$
  2. a. $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires (aucune coordonnée nulle pour le vecteur $\vect{AB}$). Les points $A$, $B$ et $C$ définissent donc bien un plan.
    $\quad$
    b. On note $\vec{n}\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}$.
    $\vec{n}.\vect{AB}=8-10+2=0$ et $\vec{n}.\vect{AC}=8+0-8=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    La droite $\Delta$ est par conséquent perpendiculaire au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Une équation du plan $(ABC)$ est donc de la forme $4x-5y-2z+d=0$.
    Le point $A(-1;-1;3)$ appartient au plan $(ABC)$.
    Par conséquent $-4+5-6+d=0 \ssi d=5$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $4x-5y-2z+5=0$.
    $\quad$
  3. a. Prenons $t=2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$.
    Le point de coordonnées $(7;-4;5)$ appartient donc à la droite $\Delta$.
    Donc $G(7;-4;4)$ appartient à la droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. Les coordonnées du point $H$ sont solution du système
    $\begin{align*} \begin{cases} 4x-5y-2z+5=0\\x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\\-4+16t-30+25t-16+4t+5=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\\45t=45\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=1\\x=3\\y=1\\z=6\end{cases} \end{align*}$.
    Le point $H$ a donc pour coordonnées $(3;1;6)$.
    $\quad$
    c. La distance du point $G$ au plan $(ABC)$ est par conséquent $HG$.
    Or $\vect{HG}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -4\\5\\2\end{pmatrix}$
    Ainsi
    $\begin{align*} HG&=\sqrt{(-4)^2+5^2+2^2} \\
    &=\sqrt{16+25+4} \\
    &=\sqrt{45} \\
    &=\sqrt{9\times 5}\\
    &=3\sqrt{5}\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. $\vect{AB}.\vect{AC}=4+0-4=0$.
    Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
    $\quad$
    b. $AB=\sqrt{9}=3$ et $AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
    Le volume du tétraèdre $ABCG$ est donc
    $\begin{align*} V&=\dfrac{\dfrac{AB\times AC}{2}\times HG}{3} \\
    &=\dfrac{3\times \sqrt{5}\times 3\sqrt{5}}{3} \\
    &=15\end{align*}$
    $\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1     7 points
Thèmes : fonctions, suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $g(x)=\dfrac{2\e^x}{\e^x+1}$.
    La courbe représentative de la fonction $g$ admet pour asymptote en $+\infty$ la droite d’équation :
    a. $x=2$;
    b. $y=2$;
    c. $y=0$
    d. $x=-1$.
    $\quad$
  2. On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$.
    On appelle $C$ sa représentation graphique.
    $\quad$
    On désigne par $f\dsec$ la dérivée seconde de $f$.
    $\quad$
    On a représenté sur le graphique ci-dessous la courbe de $f\dsec$, notée $C\dsec$.
    $\quad$

    $\quad$
    a. $C$ admet un unique point d’inflexion;
    b. $f$ est convexe sur l’intervalle $[-1;2]$;
    c. $f$ est convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$;
    d. $f$ est convexe sur $\R$.
    $\quad$
  3. On donne la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0= 0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+1$.
    La suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-2$, est :
    a. arithmétique de raison $-2$;
    b. géométrique de raison $-2$;
    c. arithmétique de raison $1$;
    d. géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  4. On considère une suite $\left(u_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$1+\left(\dfrac{1}{4}\right)^n \pp u_n \pp 2-\dfrac{n}{n+1}$$
    On peut affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ :
    a. converge vers $2$;
    b. converge vers $1$;
    c. diverge vers $+\infty$;
    d. n’a pas de limite.
    $\quad$
  5. Soit $f$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x)=x^2\ln(x)$.
    Une primitive $F$ de $f$ sur $]0; +\infty[$ est définie par :
    a. $F(x) =\dfrac{1}{3}x^3\left(\ln(x)-\dfrac{1}{3}\right)$;
    b. $F(x) = \dfrac{1}{3}x^3\left(\ln(x)-1\right)$;
    c. $F(x) = \dfrac{1}{3}x^2$;
    d. $F(x) = \dfrac{1}{3}x^2\left(\ln(x)-1\right)$.
    $\quad$
  6. Pour tout réel $x$ , l’expression $2+\dfrac{3\e^{-x}-5}{\e^{-x}+1}$ est égale à :
    a. $\dfrac{5-3\e^x}{1+\e^x}$;
    b. $\dfrac{5+3\e^x}{1-\e^x}$;
    c. $\dfrac{5+3\e^x}{1+\e^x}$;
    d. $\dfrac{5-3\e^x}{1-\e^x}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points
Thème : probabilités

Un hôtel situé à proximité d’un site touristique dédié à la préhistoire propose deux visites dans les environs, celle d’un musée et celle d’une grotte.

Une étude a montré que $70\%$ des clients de l’hôtel visitent le musée. De plus, parmi les clients visitant le musée, $60\%$ visitent la grotte.
Cette étude montre aussi que $6\%$ des clients de l’hôtel ne font aucune visite.
On interroge au hasard un client de l’hôtel et on note :

  • $M$ l’événement : « le client visite le musée » ;
  • $G$ l’événement : « le client visite la grotte ».

On note $\conj{M}$ l’événement contraire de $M$, $\conj{G}$ l’événement contraire de $G$, et pour tout événement $E$, on note $p(E)$ la probabilité de $E$.

Ainsi, d’après l’énoncé, on a : $p\left(\conj{M}\cap \conj{G}\right)= 0,06$

  1. a. Vérifier que $p_{\conj{M}}\left(\conj{G}\right) = 0,2$, où $p_{\conj{M}}\left(\conj{G}\right)$ désigne la probabilité que le client interrogé ne visite pas la grotte sachant qu’il ne visite pas le musée.
    $\quad$
    b. L’arbre pondéré ci-dessous modélise la situation. Recopier et
    compléter cet arbre en indiquant sur chaque branche la probabilité
    associée.
    $\quad$
    $\quad$
    c. Quelle est la probabilité de l’événement « le client visite la grotte et ne visite pas le musée » ?
    $\quad$
    d. Montrer que $p(G) = 0,66$.
    $\quad$
  2. Le responsable de l’hôtel affirme que parmi les clients qui visitent la grotte, plus de la moitié visitent également le musée. Cette affirmation est-elle exacte ?
    $\quad$
  3. Les tarifs pour les visites sont les suivants :
    $\bullet$ visite du musée : $12$ euros ;
    $\bullet$ visite de la grotte : $5$ euros.
    On considère la variable aléatoire $T$ qui modélise la somme dépensée par un client de l’hôtel pour ces visites.
    a. Donner la loi de probabilité de $T$. On présentera les résultats sous la forme d’un tableau.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance mathématique de $T$.
    $\quad$
    c. Pour des questions de rentabilité, le responsable de l’hôtel estime que le montant moyen des recettes des visites doit être supérieur à $700$ euros par jour. Déterminer le nombre moyen de clients par journée permettant d’atteindre cet objectif.
    $\quad$
  4. Pour augmenter les recettes, le responsable souhaite que l’espérance de la variable aléatoire modélisant la somme dépensée par un client de l’hôtel pour ces visites passe à $15$ euros, sans modifier le prix de visite du musée qui demeure à $12$ euros. Quel prix faut-il fixer pour la visite de la grotte afin d’atteindre cet objectif ? (On admettra que l’augmentation du
    prix d’entrée de la grotte ne modifie pas la fréquentation des deux sites).
    $\quad$
  5.  On choisit au hasard $100$ clients de l’hôtel, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. Quelle est la probabilité qu’au moins les trois quarts de ces clients aient visité la grotte à l’occasion de leur séjour à l’hôtel ? On donnera une valeur du résultat à $10^{-3}$ près.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points
Thèmes : fonctions logarithme et exponentielle, suites

Les parties A et B sont, dans une large mesure, indépendantes.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

  1. Donner la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. Montrer que, pour tout nombre réel $x\pg 1$, $f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$.
    $\quad$
    b. Justifier le tableau de signes suivant, donnant le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
    $\quad$

    $\quad$
    c. Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Soit $k$ un nombre réel positif ou nul.
    a. Montrer que, si $0\pp k\pp \dfrac{1}{\e}$, l’équation $f(x)=k$ admet une unique solution sur l’intervalle $[1 ;\e]$.
    $\quad$
    b. Si $k>\dfrac{1}{\e}$, l’équation $f(x) = k$ admet-elle des solutions sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$ ?
    Justifier.
    $\quad$

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x)=\e^{\frac{x}{4}}$.
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=\e^{\frac{u_n}{4}} \text{  c’est à dire : } u_{n+1}=g\left(u_n\right)$$

  1. Justifier que la fonction $g$ est croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n\pp u_{n+1} \pp \e$.
    $\quad$
  3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$

On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$, et on admet que $\ell$ est solution de l’équation : $$\e^{\frac{x}{4}}=x$$

  1. En déduire que $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=\dfrac{1}{4}$, où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.
    $\quad$
  2. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points
Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points
$A(-1 ; -1 ; 3)$, $B(1 ; 1 ; 2)$, $C(1 ; -1 ; 7)$.
On considère également la droite ∆ passant par les points $D(-1 ; 6 ; 8)$ et $E(11 ; -9 ; 2)$.

  1. a. Vérifier que la droite $\Delta$ admet pour représentation paramétrique :
    $$\begin{cases}x = -1 + 4t\\y = 6-5t\\z = 8-2t\end{cases} \quad \text{avec }t\in \R$$
    $\quad$
    b. Préciser une représentation paramétrique de la droite $\Delta’$ parallèle à $\Delta$ et passant par l’origine $O$ du repère.
    $\quad$
    c. Le point $F(1,36 ; -1,7 ; -0,7)$ appartient-il à la droite $\Delta’$ ?
    $\quad$
  2. a. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
    $\quad$
    b. Montrer que la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $4x-5y-2z+5=0$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que le point $G(7; -4; 4)$ appartient à la droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. En déduire que la distance du point $G$ au plan $(ABC)$ est égale à $3\sqrt{5}$.
    $\quad$
  4. a. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    $\quad$
    b. Calculer le volume $V$ du tétraèdre $ABCG$.
    On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule $V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{B}\times h$ où $\mathscr{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondant à cette base.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 2 – 18 mai 2022

Centres étrangers – Asie – 18 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. $\vect{AB}\begin{pmatrix} 5\\1\\0\end{pmatrix}$, $\vect{DC}\begin{pmatrix} 5\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{AD}\begin{pmatrix} -1\\5\\-4\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. $\vect{AB}=\vect{DC}$ donc $ABCD$ est un parallélogramme.
    De plus
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AD}&=5\times (-1)+1\times 5+0\times (-4) \\
    &=-5+5+0\\
    &=0\end{align*}$
    $ABCD$ est donc un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont perpendiculaires.
    Par conséquent $ABCD$ est un rectangle.
    $\quad$
    c. On a
    $\begin{align*} AB&=\sqrt{5^2+1^2+0^2} \\
    &=\sqrt{26}\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} AD&=\sqrt{(-1)^2+5^2+(-4)^2} \\
    &=\sqrt{42}\end{align*}$
    L’aire du rectangle $ABCD$ est donc
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=AB\times AD \\
    &=\sqrt{26}\times \sqrt{42}\\
    &=2\sqrt{273}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$ ne sont pas colinéaires (une des coordonnées de $\vect{AB}$ est nulle tandis que la même coordonnée de $\vect{AD}$ ne l’est pas).
    Ainsi $A$, $B$ et $D$ définissent bien un plan.
    $\quad$
    b. D’une part
    $\begin{align*} \vec{n}.\vect{AB}&=-2\times 5+10\times 1+13\times 0\\
    &=-10+10+0\\
    &=0\end{align*}$
    D’autre part
    $\begin{align*} \vec{n}.\vect{AD}&=-2\times (-1)+10\times 5+13\times (-4)\\
    &=2+50-52\\
    &=0\end{align*}$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABD)$.
    $\vec{n}$ est donc normal au plan $(ABD)$.
    $\quad$
    c. Une équation cartésienne du plan $(ABD)$ est donc de la forme $-2x+10y+13z+d=0$.
    Le point $A(-3;1;3)$ appartient à ce plan.
    Par conséquent $6+10+39+d=0\ssi d=-55$
    Une équation cartésienne du plan $(ABD)$ est donc $-2x+10y+13z-55=0$.
    $\quad$
  3. a. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $$\begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\end{cases} \quad t\in \R$$
    $\quad$
    b. Les coordonnées du point $I$ sont solution du système:
    $\begin{align*} \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\-2x+10y+13z-55=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\-2(-3-2t)+10(14+10t)+13(14+13t)-55=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\6+4t+140+100t+182+169t-55=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\273t+273=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} t=-1\\x=-1\\y=4\\z=1\end{cases}\end{align*}$
    Le point $I$ a donc pour coordonnées $(-1;4;1)$.
    $\quad$
    c. $\vect{IK}\begin{pmatrix} -2\\10\\13\end{pmatrix}$
    Donc
    $\begin{align*} IK&=\sqrt{(-2)^2+10^2+13^2} \\
    &=\sqrt{273}\end{align*}$
    Ainsi la hauteur de la pyramide $KABCD$ de base $ABCD$ et de sommet $K$ vaut bien $\sqrt{273}$.
    $\quad$
  4. Le volume de la pyramide $KABCD$ est
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times IK \\
    &=\dfrac{1}{3}\times 2\sqrt{273}\times \sqrt{273} \\
    &=182\end{align*}$
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. La courbe $\mathscr{C}_2$ représente une fonction qui semble être strictement positive et strictement décroissante sur $]3;+\infty[$. La courbe de sa fonction dérivée est  strictement située en dessous de l’axe des abscisses ce qui n’est pas le cas de la courbe $\mathscr{C}_1$.
    En revanche la courbe $\mathscr{C}_1$ semble représenter une fonction strictement croissante. La courbe de sa fonction dérivée est donc située strictement au-dessus de l’axe des abscisses.
    Ainsi $f$ est représentée par $\mathscr{C}_1$ et $f’$ par $\mathscr{C}_2$.
    $\quad$
  2. Graphiquement l’équation $f(x)=3$ admet une unique solution qui vaut environ $5,6$.
    $\quad$
  3. Graphiquement la fonction $f$ semble être concave sur $\R$.
    $\quad$

Partie B

  1. On étudie le signe de la fonction $g$ définie sur $]3;+\infty[$ par $g(x)=x^2-x-6$.
    Le discriminant est $\Delta =25>0$.
    Les racines de $x^2-x-6$ sont donc $x_1=\dfrac{1-\sqrt{25}}{2}=-2$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{25}}{2}=3$.
    Le coefficient principale de $x^2-x-6$ est $a=1>0$.
    Ainsi $g(x)>0$ sur $]3;+\infty[$.
    Par conséquent $\ln\left(x^2-x-6\right)$ est bien définie sur $]3;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to 3^+} x^2-x-6=0$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 3^+} f(x)=-\infty$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2-x-6=+\infty$ (fonction du second degré dont le coefficient principal est positif) et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
    La droite d’équation $x=3$ est donc asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est dérivable sur $I$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x\in I$ on a $f'(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x\in I$ on a $x^2-x-6>0$. Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $2x-1$.
    $2x-1=0\ssi 2x=1\ssi x=\dfrac{1}{2}$
    $2x-1>0 \ssi 2x>1\ssi x>\dfrac{1}{2}$
    Or $\dfrac{1}{2}<3$. Ainsi, pour tout réel $x\in I$, $f'(x)>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :$\quad$
  4. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]3;+\infty[$ et donc sur $]5;6[$.
    De plus $f(5)\approx 2,64<3$ et $f(6)\approx 3,18>3$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=3$ admet une unique solution sur l’intervalle $]5;6[$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $5,63<\alpha<5,64$.
    $\quad$
  5. a. La fonction $f’$ est dérivable sur $]3;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Ainsi, pour tout réel $x\in I$
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{2\left(x^2-x-6\right)-(2x-1)^2}{\left(x^2-x-6\right)^2} \\
    &=\dfrac{2x^2-2x-12-\left(4x^2-4x+1\right)}{\left(x^2-x-6\right)^2} \\
    &=\dfrac{-2x^2+2x-13}{\left(x^2-x-6\right)^2} \end{align*}$
    $\quad$
    b. Un carré étant toujours positif, le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $-2x^2+2x-13$.
    Son discriminant est $\Delta=-100<0$
    Le coefficient principal du polynôme du second degré est $a=-2<0$.
    Ainsi, pour tout réel $x\in I$, $-2x^2+2x-13<0$.
    Par conséquent, pour tout réel $x\in I$, $f\dsec(x)<0$ et la fonction $f$ est concave sur $I$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie 1

  1. S’il prend le bus de 8 h, il est sûr d’être à l’heure à l’aéroport à temps pour son vol. Donc $P_B(V)=1$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  3. $\left(B,\conj{B}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} P(V)&=P(B\cap V)+P\left(\conj{B}\cap V\right) \\
    &=P(B)\times P_B(V)+P\left(\conj{B}\right)\times P_{\conj{B}}(V) \\
    &=0,2\times 1+0,8\times 0,5 \\
    &=0,6\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} P_V(B)&=\dfrac{P(V\cap B)}{P(V)} \\
    &=\dfrac{0,2\times 1}{0,6}\\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    La probabilité que Julien soit arrivé à l’aéroport en bus sachant qu’il est à l’heure à l’aéroport pour son vol est égale à $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$

Partie 2

  1. On répète, de façon indépendante, $206$ fois la même expérience de Bernoulli. $X$ compte le nombre de passagers se présentant à l’embarquement.
    Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=206$ et $p=0,95$.
    $\quad$
  2. L’espérance mathématique de $X$ est
    $\begin{align*} E(X)&=np\\
    &=206\times 0,95 \\
    &=195,7\end{align*}$
    En moyenne, $195,7$ (soit environ $196$) passagers vont se présenter à l’embarquement.
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} P(X=201)&=\dbinom{206}{201} \times 0,95^{201}\times 0,05^5 \\
    &\approx 0,031\end{align*}$
    La probabilité que $201$ passagers se présentent à l’embarquement est environ égale à $0,031$.
    $\quad$
  4. D’après la calculatrice, $P(X\pp 200)\approx 0,948$.
    La probabilité que le nombre de passagers se présentant à l’embarquement soit inférieur à la capacité de l’avion est environ égale à $0,948$.
    $\quad$
  5. a. On a :
    $\begin{align*} P(Y=6)&=1-\left(P(Y=0)+P(Y=1)+\ldots+P(Y=5)\right) \\
    &=0,000~03\end{align*}$
    $\quad$
    b. $206$ billets ont été vendus. La compagnie a donc encaissé $206\times 250=51~500$ euros.
    Pour chaque passager lésé la compagnie doit payer $250+600=850$ euros.
    Il y a $Y$ passagers lésés.
    Ainsi $C=51~500-850Y$.
    $\quad$
    c. La loi de probabilité de $C$ est donc donnée par le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    c_i&51~500&50~650&49~800&48~950&48100&47~250&46~400 \\
    \hline
    P\left(C=c_i\right)&0,947~75&0,030~63&0,014~41&0,005~39&0,001~51&0,000~28&0,000~03\\
    \hline
    \end{array}$$
    L’espérance mathématique de $C$ est
    $\begin{align*} E(C)&=51~500\times P(C=51~500)+49~800\times P(C=50~650)+\ldots+46~400\times P(C=46~400) \\
    &=51~429,25\end{align*}$
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également procéder autrement :
    Par linéarité de l’espérance on a :
    $\begin{align*} E(C)&=E(51~500-850Y)\\
    &=51~ 500-850E(Y)\end{align*}$
    On calcule maintenant l’espérance de $Y$.
    $\begin{align*} E(Y)&=1\times P(Y=1)+2\times P(Y=2)+\ldots+6\times P(Y=6) \\
    &= 0,083~24\end{align*}$
    Donc
    $\begin{align*} E(C)&=51~500-850\times 0,083~24 \\
    &=51~429,25\end{align*}$
    $\quad$
    d. En vendant $200$ billets le chiffre d’affaires est $200\times 250=50~000$ euros.
    Ainsi le chiffre d’affaires moyen en pratiquant le surbooking est supérieur à celui obtenu en vendant exactement $200$ billets.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. On a
    $\begin{align*} p_1&=0,3+0,7p_0^2 \\
    &=0,3+0,7\times 0,3^2 \\
    &=0,363\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} p_2&=0,3+0,7p_1^2 \\
    &=0,3+0,7\times 0,363^2 \\
    &=0,392~238~3\end{align*}$
    La probabilité que la bactérie ait au plus une seule descendance est égale à $0,363$ et la probabilité qu’elle ait au plus deux descendance est égale à $0,392~238~3$.
    $\quad$
    b. La probabilité d’obtenir au moins $11$ générations de bactérie est $1-p_{10}\approx 0,572$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(p_n\right)$ semble être croissante et converger vers un réel sont la valeur est environ égale à $0,428~5$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $R(n):~0\pp p_n\pp p_{n+1} \pp 0,5$.
    Initialisation : $p_0=0,3$ et $p_1=0,363$ donc $0\pp p_0\pp p_1 \pp 0,5$.
    Par conséquent $R(0)$ est vraie.
    $\quad$Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $R(n)$ vraie.
    $\begin{align*} 0\pp p_n\pp p_{n+1}\pp 0,5&\Rightarrow 0 \pp p_n^2\pp p_{n+1}^2 \pp 0,25 \\
    &\Rightarrow 0 \pp 0,7p_n^2\pp 0,7p_{n+1}^2 \pp 0,175 \\
    &\Rightarrow 0,3 \pp 0,3+0,7p_n^2\pp 0,3+0,7p_{n+1}^2 \pp 0,475 \end{align*}$
    Par conséquent $0\pp 0,3\pp p_{n+1}\pp p_{n+2} \pp 0,475\pp 0,5$ et $R(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0\pp p_n\pp p_{n+1} \pp 0,5$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(p_n\right)$ est croissante et majorée par $0,5$; elle converge donc vers un réel $L$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $f:~x\mapsto 0,3+0,7x^2$ est continue sur $\R$ et, pour tout $n\in \N$, $p_{n+1}=f\left(p_n\right)$.
    Ainsi $L$ est solution de l’équation $x=f(x)$ soit $0,7x^2-x+0,3=0$.
    $\quad$
    b. Le discriminant de $0,7x^2-x+0,3$ est $\Delta =0,16>0$.
    Ce polynôme du second degré admet donc deux racines : $x_1=\dfrac{1-\sqrt{0,16}}{1,4}=\dfrac{3}{7}$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{0,16}}{1,4}=1$.
    Seule $x_1$ appartient à l’intervalle $[0;0,5]$.
    Donc $L=\dfrac{3}{7}$.
    $\quad$
  4. On obtient la fonction suivante :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def suite(n) :}\\
    \quad \text{p = 0.3}\\
    \quad \text{s= [p]}\\
    \quad \text{for i in range(n – 1):}\\
    \qquad \text{p = 0.3 + 0.7 * p ** 2}\\
    \qquad \text{s.append(p)}\\
    \quad \text{return (s)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     7 points

Principaux domaines abordés : Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l’espace. Orthogonalité et distances dans l’espace. Représentations paramétriques et équations cartésiennes.

Dans un repère orthonormé $\Oijk$ de l’espace, on considère les points $$A(-3 ; 1 ; 3),~B(2 ; 2 ; 3),~C(1 ; 7 ; -1),~D(-4 ; 6 ; -1) \text{ et } K(-3 ; 14 ; 14)$$

  1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{AB}$, $\vect{DC}$ et $\vect{AD}$.
    $\quad$
    b. Montrer que le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.
    $\quad$
    c. Calculer l’aire du rectangle $ABCD$.
    $\quad$
  2. a. Justifier que les points $A$, $B$ et $D$ définissent un plan.
    $\quad$
    b. Montrer que le vecteur $\vec{n}(-2 ; 10 ; 13)$ est un vecteur normal au plan $(ABD)$.
    $\quad$
    c. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABD)$.
    $\quad$
  3. a. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan $(ABD)$ et qui passe par le point $K$.
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées du point $I$, projeté orthogonal du point $K$ sur le plan $(ABD)$.
    $\quad$
    c. Montrer que la hauteur de la pyramide $KABCD$ de base $ABCD$ et de sommet $K$ vaut $\sqrt{273}$.
    $\quad$
  4. Calculer le volume $V$ de la pyramide $KABCD$.
    On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par la formule : $$V =\dfrac{1}{3}\times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Principaux domaines abordés : Étude des fonctions. Fonction logarithme.

Partie A

 

Dans le repère orthonormé ci-dessus, sont tracées les courbes représentatives d’une fonction $f$ et de sa fonction dérivée, notée $f’$
, toutes deux définies sur $]3 ; +\infty[$.

  1. Associer à chaque courbe la fonction qu’elle représente. Justifier.
    $\quad$
  2. Déterminer graphiquement la ou les solutions éventuelles de l’équation $f (x) = 3$.
    $\quad$
  3. Indiquer, par lecture graphique, la convexité de la fonction $f$.
    $\quad$

Partie B

  1. Justifier que la quantité $\ln\left(x^2-x-6\right)$ est bien définie pour les valeurs $x$ de l’intervalle $]3 ; +\infty[$, que l’on nommera $I$ dans la suite.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ de la Partie A est définie par $f(x)=\ln\left(x^2-x-6\right)$ sur $I$.
    Calculer les limites de la fonction $f$ aux deux bornes de l’intervalle $I$.
    En déduire une équation d’une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ sur $I$.
    $\quad$
  3. a. Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à $I$.
    $\quad$
    b. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $I$.
    Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les limites aux bornes de $I$.
    $\quad$
  4. a. Justifier que l’équation $f(x) = 3$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]5; 6[.$
    $\quad$
    b. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  5. a. Justifier que $f\dsec(x)=\dfrac{-2x^2+2x-13}{\left(x^2-x-6\right)^2}$.
    $\quad$
    b. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $I$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Principaux domaines abordés: Probabilités conditionnelles et indépendance. Variables aléatoires.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

Partie 1
Julien doit prendre l’avion; il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l’aéroport.
S’il prend le bus de 8 h, il est sûr d’être à l’aéroport à temps pour son vol.
Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d’arriver à temps à l’aéroport.
Julien est parti en retard de son appartement et la probabilité qu’il manque son bus est de $0,8$.
S’il manque son bus, il se rend à l’aéroport en prenant une compagnie de voitures privées; il a alors une probabilité de $0,5$ d’être à l’heure à l’aéroport.
On notera :

  • $B$ l’évènement : « Julien réussit à prendre son bus »;
  • $V$ l’évènement : « Julien est à l’heure à l’aéroport pour son vol ».
  1. Donner la valeur de $P_B (V )$.
    $\quad$
  2. Représenter la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  3. Montrer que $P(V) = 0,6$.
    $\quad$
  4. Si Julien est à l’heure à l’aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu’il soit arrivé à l’aéroport en bus ? Justifier.
    $\quad$

Partie 2

Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu’il n’y a de places dans les avions car certains passagers ne se présentent pas à l’embarquement du vol sur lequel ils ont réservé.
On appelle cette pratique le surbooking.
Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager a $5 \%$ de chance de ne pas se présenter à l’embarquement.
Considérons un vol dans un avion de $200$ places pour lequel $206$ billets ont été vendus. On suppose que la présence à l’embarquement de chaque passager est indépendante des autres passagers et on appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant à l’embarquement.

  1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    $\quad$
  2. En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l’embarquement ?
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que $201$ passagers se présentent à l’embarquement. Le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  4. Calculer $P(X \pp 200)$, le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  5. La compagnie aérienne vend chaque billet à $250$ euros.
    Si plus de $200$ passagers se présentent à l’embarquement, la compagnie doit rembourser le billet d’avion et payer une pénalité de $600$ euros à chaque passager lésé.
    On appelle :
    $\bullet~~Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer bien qu’ayant acheté un billet;
    $\bullet~~C$ la variable aléatoire qui totalise le chiffre d’affaire de la compagnie aérienne sur ce vol.
    $\quad$
    On admet que $Y$ suit la loi de probabilité donnée par le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    y_i& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\
    \hline
    P\left(Y = y_i\right)&0,947~75& 0,030~63 &0,014~41 &0,005 ~39 &0,001~51& 0,000~28&\phantom{0,000~28}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Compléter la loi de probabilité donnée ci-dessus en calculant $P(Y = 6)$.
    $\quad$
    b. Justifier que : $C = 51500−850Y$.
    $\quad$
    c. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $C$ sous forme d’un tableau.
    Calculer l’espérance de la variable aléatoire $C$ à l’euro près.
    $\quad$
    d. Comparer le chiffre d’affaires obtenu en vendant exactement $200$ billets et le chiffre d’affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Principaux domaines abordés: Suites numériques. Algorithmique et programmation.

On s’intéresse au développement d’une bactérie.
Dans cet exercice, on modélise son développement avec les hypothèses suivantes : cette bactérie a une probabilité $0,3$ de mourir sans descendance et une probabilité $0,7$ de se diviser en deux bactéries filles.
Dans le cadre de cette expérience, on admet que les lois de reproduction des bactéries sont les mêmes pour toutes les générations de bactéries qu’elles soient mère ou fille.
Pour tout entier naturel $n$, on appelle $p_n$ la probabilité d’obtenir au plus $n$ descendances pour une bactérie.
On admet que, d’après ce modèle, la suite $\left(p_n\right)$ est définie de la façon suivante :
$p_0 = 0,3$ et, pour tout entier naturel $n$, $$p_{n+1} = 0,3+0,7p_n^2$$

  1. La feuille de calcul ci-dessous donne des valeurs approchées de la suite $\left(p_n\right)$.
    $\quad$
    $\quad$
    a. Déterminer les valeurs exactes de $p_1$ et $p_2$ (masquées dans la feuille de calcul) et interpréter ces valeurs dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, d’obtenir au moins $11$ générations de bactéries à partir d’une bactérie de ce type ?
    $\quad$
    c. Formuler des conjectures sur les variations et la convergence de la suite $\left(p_n\right)$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$, $0\pp p_n \pp p_{n+1}\pp 0,5$.
    $\quad$
    b. Justifier que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  3. On appelle $L$ la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
    a. Justifier que $L$ est solution de l’équation $0,7x
    2- x+0,3 = 0$
    $\quad$
    b. Déterminer alors la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
    $\quad$
  4. La fonction suivante, écrite en langage Python, a pour objectif de renvoyer les $n$ premiers termes de la suite $\left(p_n\right)$.
    $$\begin{array}{ll}
    \begin{array}{l} 1\\2\\3\\4\\5\\6\\7\end{array}&\begin{array}{|l|}\hline\text{def suite(n) :}\\
    \quad \text{p = …}\\
    \quad \text{s = [p]}\\
    \quad \text{for i in range (…):}\\
    \quad \text{p = …}\\
    \quad \text{s.append(p)}\\
    \quad \text{return (s)}\\
    \hline
    \end{array}\end{array}$$
    Recopier, sur votre copie, cette fonction en complétant les lignes 2, 4 et 5 de façon à ce que la fonction $\texttt{suite(n)}$ retourne, sous forme de liste, les $n$ premiers termes de la suite.
    $\quad$

$\quad$

 

 

 

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 2 – 19 mai 2022

Amérique du nord – 19 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  2. a. $\left(A_1,B_1\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} a_2&=P\left(A_2\right) \\
    &=P\left(A_1\cap A_2\right)+P\left(B_1\cap A_2\right) \\
    &=P\left(A_1\right)\times P_{A_1}\left(A_2\right)+P\left(B_1\right)\times P_{B_1}\left(A_2\right) \\
    &=0,5\times 0,84+0,5\times 0,24 \\
    &=0,54\end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{A_2}\left(B_1\right)&=\dfrac{P\left(A_2\cap B_1\right)}{P\left(A_2\right)} \\
    &=\dfrac{0,5\times 0,24}{0,54}\\
    &=\dfrac{2}{9}\end{align*}$
    La probabilité que le vélo se trouve au point B le premier matin sachant qu’il se trouve au point A le deuxième matin est égale à $\dfrac{2}{9}$ soit environ égale à $0,222$.
    $\quad$
  3. a. On obtient l’arbre suivant :$\quad$
    b. Soit $n\in \N^*$. $\left(A_n,B_n\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} a_{n+1}&=P\left(A_{n+1}\right) \\
    &=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(B_n\cap A_{n+1}\right) \\
    &=P\left(A_n\right)\times P_{A_n}\left(A_{n+1}\right)+P\left(B_n\right)\times P_{B_n}\left(A_{n+1}\right) \\
    &=0,84a_n+0,24\left(1-a_n\right) \\
    &=0,6a_n+0,24\end{align*}$
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ non nul on pose $R(n):~a_n=0,6-0,1\times 0,6^{n-1}$.
    Initialisation : $a_1=0,5$ et $0,6-0,1^1=0,5$ donc $R(1)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $R(n)$ vraie.
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,6a_n+0,24 \\
    &=0,6\left(0,6-0,1\times 0,6^{n-1}\right)+0,24\\
    &=0,36-0,1\times 0,6^n+0,24 \\
    &=0,6-0,1\times 0,6^n\end{align*}$
    Donc $R(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $a_n=0,6-0,1\times 0,6^{n-1}$.
    $\quad$
  5. $-1<0,6<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,6^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=0,6$.
    Sur le long terme, la probabilité que le vélo se trouve au point $A$ est égale à $0,6$.
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*} a_n\pg 0,599&\ssi 0,6-0,1\times 0,6^{n-1}\pg 0,599 \\
    &\ssi -0,1\times 0,6^{n-1} \pg -0,001 \\
    &\ssi 0,6^{n-1} \pp 0,01 \\
    &\ssi (n-1)\ln(0,6)\pp \ln(0,01) \\
    &\ssi n-1\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,6)} \quad \text{car } \ln(0,6)<0\\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,6)}+1\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,6)}+1\approx 10,02$
    Le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n\pg 0,599$ est donc $11$.
    La probabilité que le vélo se trouve au point $A$ est supérieure à $0,599$ à partir du $11$-ième jour.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. La fonction $p$ est dérivable sur $[-3;4]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x\in [-3;4]$ on a $p'(x)=3x^2-6x+5$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=-24<0$
    Ainsi $p'(x)$ est du signe du coefficient principal $a=3>0$.
    Par conséquent $p$ est strictement croissante sur $[-3;4]$.
    $\quad$
  2. La fonction $p$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[-3;4]$.
    $p(-3)=-68<0$ et $p(4)=37>0$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $p(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-3;4]$.
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice $\alpha\approx -0,2$.
    $\quad$
  4. La fonction $p$ est strictement croissante sur $[-3;4]$ et s’annule en $\alpha$. On obtient alors le tableau de signes suivant :
    $\quad$

Partie B

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[-3;4]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x\in [-3;4]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x\left(1+x^2\right)-2x\e^x}{\left(1+x^2\right)^2} \\
    &=\dfrac{\left(x^2-2x+1\right)\e^x}{\left(1+x^2\right)^2} \\
    &=\dfrac{(x-1)^2\e^x}{\left(1+x^2\right)^2} \end{align*}$
    $\quad$
    b. On a fonc $f'(1)=0$.
    La courbe $\mathscr{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$.
    $\quad$
  2. a. Il semblerait que la fonction change de convexité (et donc $\mathscr{C}_f$ possède un point d’inflexion) environ en $0$ et en $1$.
    Le toboggan semble dont assurer de bonnes sensations.
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ et pour tout réel $x\in [-3;4]$ on a $\left(1+x^2\right)^3>0$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $p(x)(x-1)$.
    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$.
    D’après le tableau de signes obtenu à la question A.4. on obtient le tableau de signes de $f\dsec(x)$.
    La fonction $f$ est donc convexe sur $[-3;\alpha]$ et $[1;4]$ et concave sur $[\alpha;1]$. $f\dsec(x)$ s’annule en $\alpha$ et $1$.
    Donc $\mathscr{C}_f$ possède deux points d’inflexion et le toboggan assurera de bonnes sensations.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. $\vect{AR}\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{AT}\begin{pmatrix}-3\\0\\2\end{pmatrix}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} AR&=\sqrt{0^2+3^2+2^2} \\
    &=\sqrt{13}\end{align*}$
    $\begin{align*} AT&=\sqrt{(-3)^2+0^2+2^2} \\
    &=\sqrt{13}\end{align*}$
    Ainsi $AR=AT$. Le triangle $ART$ est isocèle en $A$.
    b. $\quad$
    $\begin{align*} \vect{AR}.\vect{AT}&=0\times -(-3)+3\times 0+2\times 2\\
    &=4\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a également $\vect{AR}.\vect{AT}=AR\times AT\times \cos \widehat{RAT}$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} \cos \widehat{RAT}&=\dfrac{\vect{AR}.\vect{AT}}{AR\times AT} \\
    &=\dfrac{4}{13} \end{align*}$
    Donc $\widehat{RAT}\approx 72,1$°
    $\quad$
  2. a. D’une part
    $\begin{align*} \vec{n}.\vect{AR}&=2\times 0+(-2)\times 3+3\times 2\\
    &=0\end{align*}$
    D’autre part
    $\begin{align*} \vec{n}.\vect{AT}&=2\times (-3)+(-2)\times 0+3\times 2\\
    &=0\end{align*}$
    Ainsi $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (l’angle $\widehat{RAT}$ n’est ni plat ni nul) du plan $(ART)$.
    $\vec{n}$ est donc un vecteur normal au plan $(ART)$.
    $\quad$
    b. Une équation du plan $(ART)$ est par conséquent de la forme $2x-2y+3z+d=0$.
    Or $A(6;0;2)$ appartient à ce plan.
    Donc $12-0+6+d=0 \ssi d=-18$
    Une équation cartésienne du plan $(ART)$ est $2x-2y+3z-18=0$.
    $\quad$
  3. a. $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$ et le point $S\left(3;\dfrac{5}{2};0\right)$ appartient à cette droite.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est bien $\begin{cases} x=3+2k\\y=\dfrac{5}{2}-2k\\z=3k\end{cases} \quad k\in \R$.
    $\quad$
    b. Prenons $k=1$ dans la représentation paramétrique précédente. Le point de coordonnées $\left(5;\dfrac{1}{2};3\right)$ appartient à la droite $\Delta$.
    $2\times 5-2\times \dfrac{1}{2}+3\times 3-18=10-1+9-18=0$. Le point de coordonnées $\left(5;\dfrac{1}{2};3\right)$ appartient au plan $(ART)$.
    Ainsi $L$ a pour coordonnées $\left(5;\dfrac{1}{2};3\right)$.
    $\quad$
  4. a. On a $D(0,8,0)$ et $K(0;4;4)$ donc $\vect{DK}\begin{pmatrix}0\\-4\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{DN}\begin{pmatrix} 0\\-4t\\4t\end{pmatrix}$
    Par conséquent $\vect{DN}=t\vect{DK}$.
    Les points $D$, $N$ et $K$ sont alignés.
    $T\in[0;1]$ donc $N$ appartient au segment $[DK]$.
    $\quad$
    b. On a $\vect{SL}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$ et $\vect{SN}\begin{pmatrix} -3\\\dfrac{11}{2}-4t\\4t\end{pmatrix}$.$\begin{align*} &(SL) \text{ et }(SN)\text{ sont perpendiculaires}\\
    &\ssi\vect{SL}.\vect{SN}=0 \\
    &\ssi 2\times (-3)+(-2)\times  \left(\dfrac{11}{2}-4t\right)+3\times 4t=0 \\
    &\ssi -6-11+8t+12t=0 \\
    &\ssi 20t=17 \\
    &\ssi t=0,85\end{align*}$
    Le point $N$ doit donc avoir pour coordonnées $(0;4,6;3,4)$ pour que les deux rayons lasers soient perpendiculaires.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. $\quad$
    $\begin{align*}a&=\ln(9)+\ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)+\ln\left(\dfrac{1}{9}\right) \\
    &=\ln(9)+\ln\left(\sqrt{3}\right)-\ln(3)-\ln(9)\\
    &=\dfrac{1}{2}\ln(3)-\ln(3) \\
    &=-\dfrac{1}{2}\ln(3)\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  2. $x-10>0\ssi x>10$ : l’équation est définie sur $]10;+\infty[$
    Sur $]10;+\infty[$
    $\begin{align*} &\ln(x)+\ln(x-10)=\ln(3)+\ln(7) \\
    &\ssi \ln\left(x(x-10)\right)=\ln(21) \\
    &\ssi x(x-10)=21 \\
    &\ssi x^2-10x-21=0\end{align*}$
    Le discriminant de $x^2-10x-21$ est $\Delta=184>0$.
    Les racines de ce polynômes sont $x_1=\dfrac{10-\sqrt{184}}{2}<0$ et $x_2=\dfrac{10+\sqrt{184}}{2}>10$
    Donc l’unique solution de $(E)$ est $\dfrac{10+\sqrt{184}}{2}$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x\in ]0;+\infty[$,
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\left(-1+\ln(x)\right)+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=-2x+2x\ln(x)+x \\
    &=x\left(2\ln(x)-1\right)\end{align*}$
    $\ln\left(\sqrt{e}\right)=\dfrac{1}{2}$
    Par conséquent $f’\left(\sqrt{e}\right)=0$.
    Une équation de la tangente au point d’abscisse $\sqrt{e}$ est donc $y=f\left(\sqrt{e}\right)$ soit $y=-\dfrac{1}{2}\e$.
    Réponse d
    $\quad$
  4. On répète $5$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli. On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de jetons jaunes tirés.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\dfrac{2}{5}$
    Ainsi
    $\begin{align*} P(X=2)&=\dbinom{5}{2}\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\left(\dfrac{3}{5}\right)^3\\
    &\approx 0,346\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  5. On reprend la variable aléatoire $X$ définie à la question précédente.
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^5\\
    &\approx 0,922\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  6. On reprend la variable aléatoire $X$ définie à la question 4..
    Son espérance mathématiques est :
    $\begin{align*} E(X)&=np\\
    &=5\times \dfrac{2}{5} \\
    &=2\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     7 points

Thème : probabilités, suites

Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée.
La société dispose de deux points de location distinctes, le point A et le point B. Les vélos peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l’un où l’autre des deux points de location.
On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l’ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B.

D’après une étude statistique :

  • Si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu’il se trouve au point A le matin suivant est égale à $0,84$;
  • Si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu’il se trouve au point B le matin suivant est égale à $0,76$.

À l’ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l’autre moitié au point B.

On considère un vélo de la société pris au hasard.

Pour tout entier naturel non nul n, on définit les évènements suivants :

  • $A_n$ : « le vélo se trouve au point A le $n$-ième matin »
  • $B_n$ : « le vélo se trouve au point B le $n$-ième matin ».

Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $a_n$ la probabilité de l’évènement $A_n$ et $b_n$ la probabilité de l’évènement $B_n$. Ainsi $a_1 = 0,5$ et $b_1 = 0,5$.

  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins :$\quad$
  2. a. Calculer $a_2$.
    $\quad$
    b. Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Calculer la probabilité qu’il se soit trouvé au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième.
    $\quad$
  3. a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $n +1$-ième matins.
    $\quad$
    b. Justifier que pour tout entier naturel non nul $n$, $a_{n+1} = 0,6a_n +0,24$.
    $\quad$
  4. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$, $a_n = 0,6−0,1×0,6^{n−1}$.
    $\quad$
  5. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ et interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  6. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n > 0,599$ et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Thème : fonctions, fonction exponentielle

Partie A

Soit p la fonction définie sur l’intervalle $[-3 ; 4]$ par : $$p(x)=x^3-3x^2+5x+1$$

  1. Déterminer les variations de la fonction $p$ sur l’intervalle $[-3 ; 4]$.
    $\quad$
  2. Justifier que l’équation $p(x) = 0$ admet dans l’intervalle $[-3 ; 4]$ une unique solution qui sera notée $\alpha$.
    $\quad$
  3. Déterminer une valeur approchée du réel $\alpha$ au dixième près.
    $\quad$
  4. Donner le tableau de signes de la fonction $p$ sur l’intervalle $[-3 ; 4]$.
    $\quad$

Partie B

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-3 ; 4]$ par :$$f(x)=\dfrac{\e^x}{1+x^2}$$
On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

  1. a. Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-3 ; 4]$.
    $\quad$
    b. Justifier que la courbe $\mathscr{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$.
    $\quad$
  2. Les concepteurs d’un toboggan utilisent la courbe $\mathscr{C}_f$ comme profil d’un toboggan. Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d’inflexion.
    $\quad$
    a. D’après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ?
    Argumenter.
    b. On admet que la fonction $f\dsec$, dérivée seconde de la fonction $f$ , a pour expression pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-3 ; 4]$ :
    $$f\dsec(x)=\dfrac{p(x)(x-1)\e^x}{\left(1+x^2\right)^3}$$
    où $p$ est la fonction définie dans la partie A.
    En utilisant l’expression précédente de $f\dsec$, répondre à la question : « le toboggan assure-t-il de bonnes sensations ? ». Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Thème : géométrie dans l’espace

Une exposition d’art contemporain a lieu dans une salle en forme de pavé droit de largeur $6$ m, de longueur $8$ m et de hauteur $4$ m.
Elle est représentée par le parallélépipède rectangle $OBCDEFGH$ où $OB = 6$ m, $OD = 8$ m et $OE = 4$ m.
On utilise le repère orthonormé $\Oijk$ tel que $\vec{i}=\dfrac{1}{6}\vect{OB}$, $\vec{j}=\dfrac{1}{8}\vect{OD}$ et $\vec{k}=\dfrac{1}{4}\vect{OE}$.

 

Dans ce repère on a, en particulier $C(6; 8; 0)$, $F(6; 0; 4)$ et $G(6; 8; 4)$.
Une des œuvres exposées est un triangle de verre représenté par le triangle $ART$ qui a pour sommets $A(6; 0; 2)$, $R(6; 3; 4)$ et $T(3; 0; 4)$, Enfin, $S$ est le point de coordonnées $\left(3;\dfrac{5}{2};0\right)$.

  1. a. Vérifier que le triangle $ART$ est isocèle en $A$.
    $\quad$
    b. Calculer le produit scalaire $\vect{AR}.\vect{AT}$.
    $\quad$
    c. En déduire une valeur approchée à $0,1$ degré près de l’angle $\widehat{RAT}$.
    $\quad$
  2. a. Justifier que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ART)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(ART)$.
    $\quad$
  3. Un rayon laser dirigé vers le triangle $ART$ est émis du plancher à partir du point $S$. On admet que ce rayon est orthogonal au plan $(ART)$.
    a. Soit $\Delta$ la droite orthogonale au plan $(ART)$ et passant par le point $S$.
    Justifier que le système ci-dessous est une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ : $$\begin{cases} x=3+2k\\[3pt]y=\dfrac{5}{2}-2k\\[3pt]z=3k\end{cases} \quad, \text{avec } k\in \R$$
    $\quad$
    b. Soit $L$ le point d’intersection de la droite $\Delta$, avec le plan $(ART)$.
    Démontrer que $L$ a pour coordonnées $\left(5;\dfrac{1}{2};3\right)$.
    $\quad$
  4. L’artiste installe un rail représenté par le segment $[DK]$ ou $K$ est le milieu du segment $[EH]$.
    Sur ce rail, il positionne une source lumineuse laser en un point $N$ du segment $[DK]$ et il oriente ce second rayon laser vers le point $S$.
    $\quad$
    $\quad$
    a. Montrer que, pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0; 1]$, le point $N$ de coordonnées $(0 ; 8−4t ; 4t)$ est un point du segment $[DK]$.
    $\quad$
    b. Calculer les coordonnées exactes du point $N$ tel que les deux rayons laser représentés par les segments $[SL]$ et $[SN]$ soient perpendiculaires.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Thème : : fonction logarithme népérien, probabilités

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend six questions. Les six questions sont indépendantes. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Question 1

Le réel $a$ est définie par $a = \ln(9)+\ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)+\ln\left(\dfrac{1}{9}\right)$ est égal à :
a. $1-\dfrac{1}{2}\ln(3)$
b. $\dfrac{1}{2}\ln(3)$
c. $3\ln(3)-\dfrac{1}{2}$
d. $-\dfrac{1}{2}\ln(3)$
$\quad$

Question 2

On note $(E)$ l’équation suivante $\ln(x) +\ln(x −10) = ln (3)+ln (7)$ d’inconnue le réel $x$.
a. $3$ est solution de $(E)$.
b. $5-\sqrt{46}$ est solution de $(E)$.
c. L’équation $(E)$ admet une unique solution réelle.
d. L’équation $(E)$ admet deux solutions réelles.
$\quad$

Question 3

La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par l’expression $f(x)=x^2\left(-1+\ln(x)\right)$.
On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.
a. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ; +\infty[$, $f'(x)=2x+\dfrac{1}{x}$.
b. La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
c. $f’\left(\sqrt{\e}\right)$ est différent de $0$.
d. La droite d’équation $y=-\dfrac{1}{2}\e$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $\sqrt{\e}$.
$\quad$

Question 4

Un sac contient $20$ jetons jaunes et $30$ jetons bleus. On tire successivement et avec remise $5$ jetons du sac.
La probabilité de tirer exactement $2$ jetons jaunes, arrondie au millième, est :
a. $0,683$
b. $0,346$
c. $0,230$
d. $0,165$
$\quad$

Question 5

Un sac contient $20$ jetons jaunes et $30$ jetons bleus. On tire successivement et avec remise $5$ jetons du sac.
La probabilité de tirer au moins un jeton jaune, arrondie au millième, est :
a. $0,078$
b. $0,259$
c. $0,337$
d. $0,922$
$\quad$

Question 6

Un sac contient $20$ jetons jaunes et $30$ jetons bleus.
On réalise l’expérience aléatoire suivante : on tire successivement et avec remise cinq jetons du sac.
On note le nombre de jetons jaunes obtenus après ces cinq tirages.
Si on répète cette expérience aléatoire un très grand nombre de fois alors, en moyenne, le nombre de jetons jaunes est égal à:
a. $0,4$
b. $1,2$
c. $2$
d. $2,5$
$\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 2 – 19 mai 2022

Centres étrangers – Liban – 19 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient donc l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(F\cap C)&=P(F)\times P_F(C) \\
    &=0,48\times 0,165 \\
    &=0,079~2\end{align*}$
    La probabilité que la personne choisie soit une femme qui exerce une profession de cadre est égale à $0,079~2$.
    $\quad$
  3. a. $\left(F,\conj{F}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} P(C)&=P(C\cap F)+P\left(C\cap\conj{F}\right) \\
    &=0,079~2+P\left(\conj{F}\right)\times P_{\conj{F}}(C) \\
    &=0,079~2+0,52\times 0,215 \\
    &=0,191\end{align*}$
    La probabilité que la personne choisie exerce une profession de cadre est égale à $0,191$.
    $\quad$
    b. D’une part $P(C)\times P(F)=0,091~68$
    D’autre part $P(C \cap F)=0,079~2$
    Donc $P(C)\times P(F)\neq P(C\cap F)$.
    Les événements $F$ et $C$ ne sont pas indépendants.
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*} P_C(F)&=\dfrac{P(C\cap F)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,079~2}{0,191} \\
    &\approx 0,414~7\end{align*}$.
    La probabilité que la personne choisie soit une femme sachant qu’elle exerce une profession de cadre est environ égale à $0,414~7$.
    $\quad$
  5. a. On répète $15$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli. $X$ compte le nombre de cadres au sein de l’échantillon de $15$ salariés.
    Par conséquent $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,191$.
    $\quad$
    b. On veut calculer
    $\begin{align*} P(X\pp 1)&=P(X=0)+P(X=1) \\
    &=(1-0,191)^{15}+\dbinom{15}{1}0,191\times (1-0,191)^{14} \\
    &\approx 0,189~0\end{align*}$
    La probabilité que l’échantillon contienne au plus $1$ cadre est environ égale à $0,189~0$.
    $\quad$
    c. L’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=np\\
    &=15\times 0,191 \\
    &=2,865\end{align*}$
    $\quad$
  6. On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de cadres au sein de l’échantillon de $n$ salariés.
    Par conséquent $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,191$.
    $\begin{align*} P(Y\pg 1)\pg 0,99 &\ssi 1-P(Y=0)\pg 0,99 \\
    &\ssi P(X=0)\pp 0,01 \\
    &\ssi 0,809^n \pp 0,01\\
    &\ssi n\ln(0,809) \pp \ln(0,01) \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,809)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,809)} \approx 21,7$.
    Il faut donc que l’échantillon contienne au moins $22$ salariés pour la probabilité qu’il y ait au moins un cadre au sein de l’échantillon soit supérieure ou égale à $0,99$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $[AH]$ et $[ED]$ sont les diagonales du carré $ADHE$.
    Les droites $(AH)$ et $(ED)$ sont par conséquent perpendiculaires.
    $\quad$
    b. $EFGH$ est un carré donc $(EH)$ et $(HG)$ sont perpendiculaires.
    $CDHG$ est un carré donc $(GH)$ et $(DH)$ sont perpendiculaires.
    Ainsi, $(HG)$ est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan $(EDH)$.
    Par conséquent, la droite $(GH)$ est orthogonale au plan $(EDH)$.
    $\quad$
    c. La droite $(ED)$ est incluse dans le plan $(EDH)$. D’après la question précédente, les droites $(GH)$ et $(ED)$ sont orthogonales.
    D’après la question 1.a. les droites $(AH)$ et $(ED)$ sont perpendiculaires.
    La droite $(ED)$ est donc orthogonale à deux droites sécantes (le point $A$ n’appartient pas à la droite $(GH)$) du plan $(AGH)$.
    La droite $(ED)$ est orthogonale au plan $(AGH)$.
    $\quad$
  2. Dans le repère fourni on a $E(0;0;1)$ et $D(0;1;0)$.
    Par conséquent $\vect{ED}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    $\vect{ED}$ est un vecteur normal au plan $(AGH)$ d’après la question précédente.
    Une équation cartésienne du plan $(AGH)$ est donc de la forme $y-z+d=0$.
    Or $A(0;0;0)$ appartient à ce plan. Ainsi $d=0$.
    Une équation cartésienne du plan $(AGH)$ est $y-z=0$.
    $\quad$
  3. a. On a $\vect{EL}\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3}\\[3pt]1\\-1\end{pmatrix}$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(EL)$ est $\begin{cases} x=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}t\\[3pt]y=1+t\\z=-t\end{cases} \qquad t\in \R$.
    $\quad$
    b. On résout le système
    $\begin{align*} \begin{cases} x=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}t\\[3pt]y=1+t\\z=-t\\y-z=0 \end{cases} &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}t\\[3pt]y=1+t\\z=-t\\ 1+t+t=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}t=-\dfrac{1}{2}\\ x=\dfrac{1}{3}t\\[3pt]y=\dfrac{1}{2}\\[3pt]z=\dfrac{1}{2}\end{cases}\end{align*}$
    Le point d’intersection de la droite $(EL)$ et du plan $(AGH)$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
    $\quad$
    c. $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$ : le point $K$ de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$ appartient au plan $(AGH)$.
    $\vect{KL}\begin{pmatrix}0\\-\dfrac{1}{2}\\[3pt]\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$.
    Par conséquent $\vect{KL}=-\dfrac{1}{2}\vect{ED}$.
    Ainsi $\vect{KL}$ est un vecteur normal au plan $(AGH)$.
    Donc $K\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$ est le projeté orthogonal du point $L$ sur le plan $(AGH)$.
    $\quad$
    d. On a
    $\begin{align*} KL&=\sqrt{0^2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{1}{2}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}$.
    La distance du point $L$ ai plan $(AGH)$ est donc $h=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    $\quad$
    e. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $AHD$ rectangle en $D$.
    Donc $AH^2=AD^2+HD^2$ ainsi $AH^2=2$ et $AH=\sqrt{2}$
    $(HG)$ est orthogonale au plan $(EDH)$ d’après la question 1.b.
    La droite $(AH)$ est incluse dans le plan $(EDH)$.
    Par conséquent les droites $(AH)$ et $(HG)$ sont perpendiculaires et le triangle $AHG$ est rectangle en $H$.
    L’aire du triangle $AHG$ est donc
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AH\times HG}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}\times 1}{2}\\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}$
    Le volume du tétraèdre $LAGH$ est alors
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times h \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$.

Ex 3

Exercice 3

  1. La fonction $g$ est deux fois dérivables sur $\R$ en tant que somme de fonctions deux fois dérivables.
    Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=1~000x^{999}+1$ et $g\dsec(x)=999~000x^{998}$
    $998$ est pair donc, pour tout réel $x$ $g\dsec(x)\pg 0$.
    La fonction $g$ est convexe sur $\R$
    Réponse b
    $\quad$
  2. D’après le graphique, $f'(0)=1$.
    Une équation de la droite $T$ est donc de la forme $y=x+b$.
    $T$ est par conséquent parallèle à la droite d’équation $y=x$.
    Réponse a
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $-1\pp (-1)^n \pp 1$.
    Donc $-\dfrac{-1}{1+n}\pp u_n \pp \dfrac{1}{n+1}$
    Or pour tout entier naturel $n$ on a $-1 \pp -\dfrac{1}{1+n}$ et $\dfrac{1}{1+n}\pp 1$.
    Ainsi $-1\pp u_n \pp 1$.
    Réponse c
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n\times v_{n+1}<0$.
    Cela signifie donc que deux termes consécutifs de la suite $\left(v_n\right)$ sont toujours de signes contraires.
    Ainsi, tous les termes de rang pair sont du même signe.
    Par conséquent $v_{10}$ est du même signe que $v_0$
    Réponse c
    $\quad$
  5. On a $8=2w_1-4 \ssi 12=2w_1 \ssi w_1=6$
    $6=2w_0-4 \ssi 2w_0=10\ssi w_0=5$.
    Réponse b
    $\quad$
  6. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~a_n>0$
    Initialisation : $a_0=1>0$ donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $a_n>0$ et $\e^n>0$ donc $\dfrac{\e^n}{\e^n+1}a_n>0$.
    Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n>0$.
    $\quad$
    Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} a_{n+1}-a_n&=\dfrac{\e^n}{\e^n+1}a_n-a_n \\
    &=\left(\dfrac{\e^n}{\e^n+1}-1\right)a_n \\
    &=-\dfrac{1}{\e^n+1}a_n\\
    &<0\end{align*}$
    La suite $\left(a_n\right)$ est donc strictement décroissante.
    Réponse b
    $\quad$
    Remarque : Puisqu’il s’agit d’une question d’un QCM, l’utilisation de la calculatrice est à privilégiée ici pour avoir une idée du comportement de la suite.
    $\quad$
  7. On appelle $u_n$ le nombre de cellules à la $n$-ième génération.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=2^n$.
    Au bout de $4$ heures il y a environ $4~000$ cellules. Or $u_{11}=2~048$ et $u_{12}=4~096$.
    Il a donc fallu $4$ heures pour obtenir à la $12$-ième génération.
    $\dfrac{4\times 60}{12}=20$.
    Le temps de génération est donc environ égal à $20$ minutes.
    Réponse c
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. On a $\lim\limits_{x\to 0^+} \e^{-x}=1$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=-\e^{-x}+\dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{-x\e^{-x}+1}{x} \\
    &=\dfrac{1-x\e^{-x}}{x}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est convexe sur $\R$. Sa courbe représentative est donc au-dessus de toutes ses tangentes.
    On a $\e^0=1$. Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est par conséquent $y=x+1$.
    Ainsi, pour tout réel $x\in ]0;1]$, $\e^x\pg x+1>x$ soit $1\pg x\e^{-x}$.
    Donc pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a $x\e^x<1$.
    Remarque : On pouvait également déterminer le tableau de variations de la fonction $g$ définie sur $]0;1]$ par $g(x)=x\e^{-x}$.
    $\quad$
    Ainsi sur $]0;1]$, $1-x\e^{-x}>0$
    Par conséquent $f'(x)>0$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  4. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;1]$.
    $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$ et $f(1)=\e^{-1}>0$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\ell$ sur $]0;1]$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On a $a_1=\e^{-1}\approx 0,37$ et $b_1=\e^{-1/10}\approx 0,90$.
    $\quad$
    b. On peut écrire
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def termes(n):}\\
    \quad \text{a = 1 / 10} \\
    \quad \text{b = 1} \\
    \quad \text{for k in range(0,n):}\\
    \qquad \text{c = exp(-b)}\\
    \qquad \text{b = exp(-a)}\\
    \qquad \text{a = c}\\
    \quad \text{return(a,b)}\\
    \hline
    \end{array}$
    Remarque : On suppose donc que la bibliothèque $\texttt{math}$ a été importée (ou au moins la fonction $\texttt{exp}$) pour que la fonction ne comporte pas d’erreur.
    $\quad$
  2. a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~0<a_n\pp a_{n+1}\pp b_{n+1}\pp b_n\pp 1$
    Initialisation : On a $a_0=0,1$, $a_1 \approx 0,37$, $b_1\approx 0,90$ et $b_0=1$ donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $0<a_n\pp a_{n+1}\pp b_{n+1}\pp b_n\pp 1$
    La fonction $x\mapsto \e^{-x}$ est décroissante sur $\R$.
    Par conséquent $\e^{0}>\e^{-a_n}\pg \e^{-a_{n+1}}\pg \e^{-b_{n+1}}\pg \e^{-b_n}\pg \e^{-1}$
    Soit $1>b_{n+1}\pg b_{n+2}\pg a_{n+2}\pg a_{n+1}\pg \e^{-1}>0$.
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $0<a_n\pp a_{n+1}\pp b_{n+1} \pp b_n \pp 1$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(a_n\right)$ est croissante et majorée par $1$ : elle converge donc.
    La suite $\left(b_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$ : elle converge donc.
    $\quad$
  3. a. On a $A=\e^{-B}$  par conséquent $\ln(A)=-B$ et $B=-\ln(A)$.
    Or $B=\e^{-A}$ donc $-\ln(A)=\e^{-A}$ soit $\e^{-A}+\ln(A)=0$.
    Par conséquent $f(A)=0$.
    $\quad$
    b. D’après la question précédente et la question A.4. $A=\ell$.
    On a $B=\e^{-A}$ donc $A=-\ln(B)$
    Or $A=\e^{-B}$ soit $-\ln(B)=\e^{-B}$ et donc $f(B)=0$.
    On a ainsi également $B=\ell$.
    Donc $A-B=0$.
    Remarque : On dit que les suite $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ sont adjacentes.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     7 points

Thème : probabilités

Les résultats seront arrondis si besoin à $10^{-4}$ près.
Une étude statistique réalisée dans une entreprise fournit les informations suivantes :

  • $48 \%$ des salariés sont des femmes. Parmi elles, $16,5 \%$ exercent une profession de cadre ;
  • $52 \%$ des salariés sont des hommes. Parmi eux, $21,5 \%$ exercent une profession de cadre.

On choisit une personne au hasard parmi les salariés.
On considère les événements suivants :

  • $F$ : « la personne choisie est une femme » ;
  • $C$ : « la personne choisie exerce une profession de cadre ».
  1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme qui exerce une profession de cadre.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que la probabilité que la personne choisie exerce une profession de cadre est égale à $0,191$.
    $\quad$
    b. Les événements $F$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité de $F$ sachant $C$, notée $P_C(F)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  5. On choisit au hasard un échantillon de 15 salariés. Le grand nombre de salariés dans l’entreprise permet d’assimiler ce choix à un tirage avec remise.
    On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de cadres au sein de l’échantillon de $15$ salariés.
    On rappelle que la probabilité qu’un salarié choisi au hasard soit un cadre est égale à $0,191$.
    a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que l’échantillon contienne au plus $1$ cadre.
    $\quad$
    c. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $X$.
    $\quad$
  6. Soit $n$ un entier naturel.
    On considère dans cette question un échantillon de $n$ salariés.
    Quelle doit être la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu’il y ait au moins un cadre au sein de l’échantillon soit supérieure ou égale à $0,99$ ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Thème : géométrie dans l’espace

On considère le cube $ABCDEFGH$ de côté $1$ représenté ci-dessous.

 

On munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.

  1. a. Justifier que les droites $(AH)$ et $(ED)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
    b. Justifier que la droite $(GH)$ est orthogonale au plan $(EDH)$.
    $\quad$
    c. En déduire que la droite $(ED)$ est orthogonale au plan $(AGH)$.
    $\quad$
  2. Donner les coordonnées du vecteur $\vect{ED}$.
    Déduire de la question 1.c. qu’une équation cartésienne du plan $(AGH)$ est :
    $$y-z=0$$
    $\quad$
  3. On désigne par $L$ le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};1;0\right)$
    a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EL)$.
    $\quad$
    b. Déterminer l’intersection de la droite $(EL)$ et du plan $(AGH)$.
    $\quad$
    c. Démontrer que le projeté orthogonal du point $L$ sur le plan $(AGH)$ est le point $K$ de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
    $\quad$
    d. Montrer que la distance du point $L$ au plan $(AGH)$ est égale à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    $\quad$
    e. Déterminer le volume du tétraèdre $LAGH$.
    On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule :
    $$V=\dfrac{1}{3}\times (\text{aire de la base})\times \text{hauteur}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Thème : Fonctions, suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la
réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. . Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x^{1~000}+x$.
    On peut affirmer que :
    a. la fonction $g$ est concave sur $\R$.
    b. la fonction $g$ est convexe sur $\R$.
    c. la fonction $g$ possède exactement un point d’inflexion.
    d. la fonction $g$ possède exactement deux points d’inflexion.
    $\quad$
  2. On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f’$ sa fonction dérivée.
    On note $C$ la courbe représentative de $f$.
    On note $\Gamma$ la courbe représentative de $f’$.
    On a tracé ci-dessous la courbe $\boldsymbol{\Gamma}$ .On note $T$ la tangente à la courbe $\boldsymbol{C}$ au point d’abscisse $0$.
    On peut affirmer que la tangente $T$ est parallèle à la droite d’équation :
    a. $y=x$
    b. $y=0$
    c. $y=1$
    d. $x=0$
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}$.
    On peut affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ est :
    a. majorée et non minorée.
    b. minorée et non majorée.
    c. bornée.
    d. non majorée et non minorée.
    $\quad$
  4. Soit $k$ un nombre réel non nul.
    Soit $\left(v_n\right)$ une suite définie pour tout entier naturel $n$.
    On suppose que $v_0=k$ et que pour tout $n$, on a $v_n\times v_{n+1}<0$.
    On peut affirmer que $v_{10}$ est :
    a. positif.
    b. négatif.
    c. du signe de $k$.
    d. du signe de $-k$.
    $\quad$
  5. On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
    $$w_{n+1}=2w_n-4\text{ et } w_2=8$$
    On peut affirmer que :
    a. $w_0=0$.
    b. $w_0=5$.
    c. $w_0=10$.
    d. Il n’est pas possible de calculer $w_0$.
    $\quad$
  6. On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$a_{n+1}=\dfrac{\e^n}{\e^n+1}a_n \text{ et } a_0=1$$
    On peut affirmer que :
    a. la suite $\left(a_n\right)$ est strictement croissante.
    b. la suite $\left(a_n\right)$ est strictement décroissante.
    c. la suite $\left(a_n\right)$ n’est pas monotone.
    d. la suite $\left(a_n\right)$ est constante.
    $\quad$
  7. Une cellule se reproduit en se divisant en deux cellules identiques, qui se
    divisent à leur tour, et ainsi de suite. On appelle temps de génération le temps nécessaire pour qu’une cellule donnée se divise en deux cellules. On a mis en culture $1$ cellule. Au bout de $4$ heures, il y a environ $4~000$ cellules.
    On peut affirmer que le temps de génération est environ égal à :
    a. moins d’une minute.
    b. $12$ minutes.
    c. $20$ minutes.
    d. $1$ heure.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4

Thème : Fonctions, fonction exponentielle, fonction logarithme, suites

Partie A

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de $]0 ; 1]$ par :$$f(x)=\e^{-x}+\ln(x)$$

  1. Calculer la limite de $f$ en $0$.
    $\quad$
  2. On admet que $f$ est dérivable sur $]0 ; 1]$. On note $f’$ sa fonction dérivée.
    Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $]0 ; 1]$, on a :
    $$f'(x)=\dfrac{1-x\e^{-x}}{x}$$
    $\quad$
  3. Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $]0 ; 1]$, on a $x\e^{-x}<1$.
    En déduire le tableau de variation de $f$ sur $]0 ; 1]$.
    $\quad$
  4. Démontrer qu’il existe un unique réel $\ell$ appartenant à $]0 ; 1]$ tel que $f(\ell)=0$.
    $\quad$

Partie B

  1. On définit deux suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ par :
    $$\begin{cases} a_0=\dfrac{1}{10}\\[3pt]b_0=1\end{cases} \text{ et, pour tout entier naturel }n,~\begin{cases} a_{n+1}=\e^{-b_n}\\[3pt]b_{n+1}=\e^{-a_n}\end{cases}$$
    a. Calculer $a_1$ et $b_1$. On donnera des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
    b. On considère ci-dessous la fonction termes, écrite en langage Python.
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def termes(n):}\\
    \quad\text{a = 1/10}\\
    \quad\text{b = 1}\\
    \quad\text{for k in range(0,n):}\\
    \qquad\text{c = …}\\
    \qquad\text{b = …}\\
    \qquad\text{a = c}\\
    \quad\text{return(a,b)}\\
    \hline
    \end{array}$
    Recopier et compléter sans justifier le cadre ci-dessus de telle sorte que la
    fonction termes calcule les termes des suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$.
    $\quad$
  2. On rappelle que la fonction $x\mapsto \e^{-x}$ est décroissante sur $\R$.
    a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$0<a_n\pp a_{n+1}\pp b_{n+1}\pp b_n\pp 1$$
    $\quad$
    b. En déduire que les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ sont convergentes.
    $\quad$
  3. On note $A$ la limite de $\left(a_n\right)$ et $B$ la limite de $\left(b_n\right)$.
    On admet que $A$ et $B$ appartiennent à l’intervalle $]0 ; 1]$, et que $A = \e^{-B}$ et $B = \e^{-A}$.
    a. Démontrer que $f(A)=0$.
    $\quad$
    b. Déterminer $A-B$.
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 1 – 18 mai 2022

Amérique du nord – 18 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant:
    $\quad$
    $\quad$
    b. $\left(V,\conj{V}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(R)&=P(R\cap V)+P\left(R\cap \conj{V}\right) \\
    &=P(V)\times P_V(R)+P\left(\conj{V}\right)\times P_{\conj{V}}(R)\\
    &=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{50}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{10} \\
    &=\dfrac{7}{150}\end{align*}$
    La probabilité que Paul rate son train est égale à $\dfrac{7}{150}$.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(V)&=\dfrac{P(R\cap V)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{~\dfrac{2}{150}~}{\dfrac{7}{150}} \\
    &=\dfrac{2}{7}\end{align*}$
    La probabilité que Paul ait pris son vélo pour rejoindre la gare sachant qu’il a raté son train est égale à $\dfrac{2}{7}$.
    $\quad$
  2. a. On répète $20$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli. $X$ compte le nombre de jours où Paul prend son vélo sur ces $20$ jours.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} P(X=10)&=\dbinom{20}{10}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{10}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{10} \\
    &\approx 0,054\end{align*}$
    La probabilité que Paul prenne son vélo exactement $10$ jours sur ces $20$ jours pour se rendre à la gare est environ égale à $0,054$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} P(X\pg 10)&=1-P(X\pp 9) \\
    &\approx 0,962\end{align*}$
    La probabilité que Paul prenne son vélo au moins $10$ jours sur ces $20$ jours pour se rendre à la gare est environ égale à $0,962$.
    d. L’espérance mathématique de $X$ est
    $\begin{align*} E(X)&=np\\
    &=20\times \dfrac{2}{3}\\
    &=\dfrac{40}{3}\end{align*}$
    En moyenne, sur un période choisie au hasard de $20$ jours, Paul prend son vélo environ $13$ jours pour se rendre à la gare.
    $\quad$
  3. L’espérance mathématique de $T$ est :
    $\begin{align*} E(T)&=10\times P(T=10)+11\times P(T=11)+\ldots+18\times P(T=18) \\
    &=13,5\end{align*}$
    En moyenne Paul met $13,5$ minutes pour se rendre à la gare en voiture.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on note $P(n):~T_n\pg 20$.
    Initialisation : $T_0=180\pg 20$ donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $\begin{align*} T_n\pg 20&\ssi 0,955T_n \pg 19,1 \\
    &\ssi 0,955T_n+0,9 \pg 20 \\
    &\ssi T_{n+1} \pg 20\end{align*}$
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$, $T_n\pg 20$.
    $\quad$
    b. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} T_{n+1}-T_n&=0,955T_n+0,9 -T_n \\
    &=-0,045T_n+0,9 \\
    &=-0,045\left(T_n-20\right)\end{align*}$
    $\quad$
    Pour tout $n\in \N$ on a $T_n\pg 20 \ssi T_n-20\pg 0$.
    Ainsi $T_{n+1}-T_n\pp 0$.
    Par conséquent $\left(T_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(T_n\right)$ est décroissante et minorée par $20$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  2. a. Soit $n\in \N$. $u_n=T_n-20\ssi T_n=u_n+20$
    $\begin{align*} u_{n+1}&=T_{n+1}-20 \\
    &=0,955T_n+0,9-20 \\
    &=0,955T_n-19,1\\
    &=0,955\left(u_n+20\right)-19,1 \\
    &=0,955u_n+19,1-19,1\\
    &=0,955u_n\end{align*}$
    Par conséquent, la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $0,955$ et de premier terme $u_0=160$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=160\times 0,955^n$.
    Donc $T_n=u_n+20=20+160\times 0,955^n$.
    $\quad$
    c. $-1<0,955<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,955^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} T_n=20$.
    $\quad$
    d.
    $\begin{align*} T_n\pp 120&\ssi 20+160\times 0,955^n \pp 120 \\
    &\ssi 160\times 0,955^n \pp 100 \\
    &\ssi 0,955^n \pp 0,625 \\
    &\ssi n\ln(0,955) \pp \ln(0,625) \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,625)}{\ln(0,955)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,625)}{\ln(0,955)} \approx 10,2$.
    L’ensemble solution de $T_n\pp 120$ est l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $11$.
    $\quad$
  3. a. La température au centre du gâteau va décroitre jusqu’à atteindre la température ambiante.
    Il était donc prévisible que $\lim\limits_{n\to +\infty} T_n=20$.
    $\quad$
    b. La fonction $\texttt{temp}$ renvoie le plus petit entier naturel $n$ tel que $T_n\pp x$.
    D’après la question 2.d. la commande $\texttt{temp(120)}$ renvoie $11$.
    Cela signifie que la température au centre du gâteau devient inférieure à $120$ degré Celsius au bout de $11$ minutes.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. $\vect{JK}\begin{pmatrix} -1\\2\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{JL}\begin{pmatrix} -4\\-2\\-3\end{pmatrix}$
    Donc
    $\begin{align*} \vect{JK}.\vect{JL}&=-1\times (-4)+2\times (-2)+0\times (-3) \\
    &=4-4\\
    &=0\end{align*}$
    Les vecteurs $\vect{JK}$ et $\vect{JL}$ sont donc orthogonaux. Le triangle $JKL$ est par conséquent rectangle en $J$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} JK&=\sqrt{(-1)^2+2^2+0^2} \\
    &=\sqrt{5}\end{align*}$
    $\begin{align*} JL&=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+(-3)^2} \\
    &=\sqrt{29}\end{align*}$
    L’aire du triangle $JKL$ est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{JK\times JL}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{29}}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{145}}{2} \text{ cm}^2\end{align*}$
    c. Dans le triangle $JKL$ rectangle en $J$ on a $\tan \widehat{JKL}=\dfrac{JL}{JK}$
    Soit $\tan \widehat{JKL}=\dfrac{\sqrt{29}}{\sqrt{5}}$
    Par conséquent $\widehat{JKL} \approx 67,5$°
    $\quad$
  2. a. D’une part :
    $\begin{align*}\vect{JK}.\vec{n}&=6\times (-1)+3\times 2+0\times (-10) \\
    &=-6+6\\
    &=0\end{align*}$
    D’autre part
    $\begin{align*}\vect{JL}.\vec{n}&=6\times (-4)+3\times (-2)+(-10)\times (-3)
    &=-24-6+30\\
    &=0\end{align*}$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteur non colinéaires (puisqu’orthogonaux) du plan $(JKL)$.
    $\vec{n}$ est par conséquent un vecteur normal au plan $(JKL)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(JKL)$ est donc de la forme $6x+3y-10z+d=0$.
    Le point $J(2;0;1)$ appartient au plan $(JKL)$.
    Par conséquent $12+0-10+d=0 \ssi d=-2$
    Une équation cartésienne du plan $(JKL)$ est $6x+3y-10z-2=0$.
    $\quad$
  3. a. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $\Delta$.
    Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc $\begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\end{cases} \qquad ,t\in \R$.
    $\quad$
    b. On résout le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\6x+3y-10z-2=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\6(10+6t)+3(9+3t)-10(-6-10t)-2=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\60+36t+27+9t+60+100t-2=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\145t+145=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases}t=-1\\ x=4\\y=6\\z=4\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi $H$ a pour coordonnées $(4;6;4)$.
    $\quad$
    c. $\vect{HT}\begin{pmatrix} 6\\3\\-10\end{pmatrix}$
    Donc
    $\begin{align*} HT&=\sqrt{6^2+3^2+(-10)^2} \\
    &=\sqrt{145}\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times HT \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{145}}{2}\times \sqrt{145}\\
    &=\dfrac{145}{6} \text{ cm}^3\end{align*}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Soit $x\in \R$
    $\begin{align*} 1-\dfrac{1-\e^x}{1+\e^x}&=\dfrac{1+\e^x-1+\e^x}{1+\e^x} \\
    &=\dfrac{2\e^x}{1+\e^x} \\
    &=\dfrac{2\e^x}{\e^x\left(\e^{-x}+1\right)} \\
    &=\dfrac{2}{1+\e^{-x}}\end{align*}$
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} g(x)=\dfrac{1}{2} &\ssi \dfrac{\e^x}{\e^x+1}=\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi 2\e^x=\e^x+1 \\
    &\ssi \e^x=1 \\
    &\ssi x=0\end{align*}$
    L’équation $g(x)=\dfrac{1}{2}$ admet une unique solution : $0$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\e^{-x}-x^2\e^{-x} \\
    &=\left(2x-x^2\right)\e^{-x} \\
    &=x(2-x)\e^{-x}\end{align*}$
    Si l’axe des abscisses est tangent à la courbe $C$ en $A\left(x_A;y_A\right)$ alors $f’\left(x_A\right)=0$.
    Or $f'(x)=0 \ssi x(2-x)=0$ car la fonction exponentielle est strictement positive.
    $x(2-x)=0 \ssi x=0$ ou $x=2$.
    Cependant $f(0)=0$ et $f(2)=4\e^{-2}\neq 0$. Le point de coordonnées $(0;0)$ appartient à l’axe des abscisses mais le point de coordonnées $\left(2;4\e^{-2}\right)$ n’appartient pas à cet axe.
    L’axe des abscisses est tangent à la courbe $C$ qu’en l’origine du repère.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. La fonction $h$ est deux fois dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions deux fois dérivables.
    Soit $x\in \R$
    $\begin{align*} h'(x)&=\e^x\left(1-x^2\right)-2x\e^x \\
    &=\e^x\left(-x^2-2x+1\right)\end{align*}$
    $\begin{align*} h\dsec(x)&=\e^x\left(-x^2-2x+1\right)+\e^{-x}(-2x-2)\\
    &=\e^x\left(-x^2-2x+1-2x-2\right) \\
    &=\e^x\left(-x^2-4x-1\right)\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $h\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x^2-4x-1$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est $\Delta=12>0$.
    Ainsi l’équation $-x^2-4x-1=0$ admet $2$ solutions distinctes et $h\dsec(x)$ change deux fois de signe en s’annulant.
    La courbe représentative de la fonction $h$ admet donc deux points d’inflexion.
    Affirmation 4 fausse
    $\quad$
  5. Soit $x>0$. $\dfrac{\e^x}{\e^x+x}=\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{\e^x}}$
    Or, par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{\e^x}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{1+\dfrac{x}{\e^x}}=1$
    Affirmation 5 fausse
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*} 1+\e^{2x}\pg 2\e^x &\ssi \left(\e^x\right)^2-2\e^x+1 \pg 0\\
    &\ssi \left(\e^x-1\right)^2 \pg 0\end{align*}$
    Cette dernière inégalité est vraie pour tout réel $x$.
    Affirmation 6 vraie
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     7 points

Thème : probabilités

Chaque chaque jour où il travaille, Paul doit se rendre à la gare pour rejoindre son lieu de travail en train. Pour cela, il prend son vélo deux fois sur trois et, si il ne prend pas son vélo, il prend sa voiture.

  1. lorsqu’il prend son vélo pour rejoindre la gare, Paul ne rate le train qu’une fois sur $50$ alors que, lorsqu’il prend sa voiture pour rejoindre la gare Paul rate son train une fois sur $10$.
    On considère une journée au hasard lors de laquelle Paul sera à la gare pour prendre le train qui le conduira au travail.
    On note :
    • $V$ l’évènement « Paul prend son vélo pour rejoindre la gare »;
    • $R$ l’évènement « Paul rate son train ».
    a. Faire un arbre pondéré résumant la situation.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité que Paul rate son train est égale à $\dfrac{7}{150}$.
    $\quad$
    c. Paul a raté son train. Déterminer la valeur exacte de la probabilité qu’il ait pris son vélo pour rejoindre la gare.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard un mois pendant lequel Paul s’est rendu $20$ jours à la gare pour rejoindre son lieu de travail selon les modalités décrites en préambule.
    On suppose que, pour chacun de ces $20$ jours, le choix entre le vélo et la voiture est indépendant des choix des autres jours.
    On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de jours où Paul prend son vélo sur ces $20$ jours.
    a. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres.
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo exactement 10 jours sur ces $20$ jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à $10^{-3}$.
    $\quad$
    c. Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo au moins $10$ jours sur ces $20$ jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à $10^{-3}$.
    $\quad$
    d. En moyenne, combien de jours sur une période choisie au hasard de $20$ jours pour se rendre à la gare, Paul prend-il son vélo ? On arrondira la réponse à l’entier.
    $\quad$
  3. Dans le cas où Paul se rend à la gare en voiture, on note $T$ la variable aléatoire donnant le temps de trajet nécessaire pour se rendre à la gare. La durée du trajet est donnée en minutes, arrondie à la minute. La loi de probabilité de $T$ est donnée par le tableau ci-dessous :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    k\text{ (en minutes)}&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\
    \hline
    P(T=k)&0,14&0,13&0,13&0,12&0,12&0,11&0,10&0,08&0,07\\
    \hline
    \end{array}$
    Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $T$ et interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Thème : suites

Dans cet exercice, on considère la suite $\left(T_n\right)$ définie par :
$$T_0 = 180 \text{ et, pour tout entier naturel }n,~ T_{n+1} = 0,955T_n +0,9$$

  1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $T_n \pg 20$.
    $\quad$
    b. Vérifier que pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1}-T_n = −0,045\left(T_n-20\right))$. En déduire le sens de
    variation de la suite $\left(T_n\right)$.
    $\quad$
    c. Conclure de ce qui précède que la suite $\left(T_n\right)$ est convergente. Justifier.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $u_n = T_n-20$.
    a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $T_n = 20+160\times 0,955^n$.
    $\quad$
    c. Calculer la limite de la suite $\left(T_n\right)$.
    $\quad$
    d. Résoudre l’inéquation $T_n\pp 120$ d’inconnue $n$ entier naturel.
    $\quad$
  3. Dans cette partie, on s’intéresse à l’évolution de la température au centre d’un gâteau après sa sortie du four.
    On considère qu’à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de $180$° C et celle de l’air ambiant de $20$° C.
    La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente $\left(T_n\right)$. Plus précisément, $T_n$ représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius, n minutes après sa sortie du four.
    a. Expliquer pourquoi la limite de la suite $\left(T_n\right)$ déterminée à la question 2. c. était prévisible dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
    b. On considère la fonction Python ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def temp(x):}\\
    \quad \text{T = 180} \\
    \quad \text{n = 0}\\
    \quad \text{while T > x:} \\
    \qquad \text{T = 0.955 * T + 0.9}\\
    \qquad \text{n = n + 1}\\
    \quad \text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Donner le résultat obtenu en exécutant la commande $\texttt{temp(120)}$.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$ d’unité $1$ cm, on considère les points suivants :
$$J(2 ; 0 ; 1),~~ K(1 ; 2 ; 1) \text{ et } L(−2 ; −2 ; −2)$$

  1. a. Montrer que le triangle $JKL$ est rectangle en $J$.
    $\quad$
    b. Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle $JKL$ en cm$^2$.
    $\quad$
    c. Déterminer une valeur approchée au dixième près de l’angle géométrique $\widehat{JKL}$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées$\begin{pmatrix}6\\3\\-10\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(JKL)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(JKL)$.

$\quad$
Dans la suite, $T$ désigne le point de coordonnées $(10 ; 9 ; −6)$.

  1. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan $(JKL)$ et passant par $T$.
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $T$ sur le plan $(JKL)$.
    $\quad$
    c. On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V=\dfrac{1}{3}\mathscr{B}\times h \text{où $\mathscr{B}$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondante}$$
    Calculer la valeur exacte du volume du tétraèdre $JKLT$ en cm$^3$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Thème : fonction exponentielle

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.

  1. Affirmation 1 : Pour tout réel $x$ : $1-\dfrac{1-\e^x}{1+\e^x}=\dfrac{2}{1+\e^{-x}}$.
    $\quad$
  2. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) =
    \dfrac{\e^x}{\e^x+1}$.
    Affirmation 2 : L’équation $g(x) = \dfrac{1}{2}$ admet une unique solution dans $\R$.
    $\quad$
  3. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2\e^{-x}$ et on note $\mathscr{C}$ sa courbe dans un repère orthonormé.
    Affirmation 3 : L’axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathscr{C}$ en un seul point.
    $\quad$
  4. On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=\e^x\left(1-x^2\right)$.
    Affirmation 4 : Dans le plan muni d’un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction $h$ n’admet pas de point d’inflexion.
    $\quad$
  5. Affirmation 5 : $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{\e^x+x}=0$.
    $\quad$
  6. Affirmation 6 : Pour tout réel $x$, $1+\e^{2x}\pg 2\e^x$.
    $\quad$

$\quad$