E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Le principe d’un Escape Game est le suivant : une équipe de participants est enfermée à l’intérieur d’une salle à thème et doit réussir à en sortir en moins d’une heure (on parle alors de partie réussie). Au-delà d’une heure, les participants sont libérés et la partie est perdue.

Un exploitant d’Escape Game propose à ses participants de faire deux parties à la suite : la première partie se déroule dans la salle à thème « Espion », la seconde partie dans la salle à thème « Musée ». Il dispose des données suivantes :

  • lorsqu’une équipe joue dans la salle à thème « Espion », la probabilité qu’elle réussisse sa partie « Espion » est égale à $0,5$ ;
  • lorsqu’une équipe a réussi la partie « Espion», la probabilité qu’elle réussisse sa partie « Musée » est égale à $0,6$ ;
  • lorsqu’une équipe n’a pas réussi la partie « Espion », la probabilité qu’elle réussisse sa partie « Musée » est égale à $0,45$.

Une équipe est choisie au hasard. On note les événements suivants :

  • $E$ : « l’équipe réussit la partie « Espion » ;
  • $M$ : « l’équipe réussit la partie « Musée ».
  1. Sur la copie, recopier et compléter l’arbre de probabilités suivant :$\quad$
  2. Déterminer la probabilité que l’équipe réussisse les deux parties.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que l’équipe réussisse la partie « Musée » est égale à $0,525$.
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité qu’une équipe échoue à la partie « Espion » sachant qu’elle a réussi la partie « Musée » ? On donnera la réponse arrondie à $10^{-2}$.
    $\quad$
  5. Pour chacune des deux parties qui sont gagnées, une équipe reçoit $2$ € de réduction pour une prochaine visite. Elle peut donc recevoir $0$, $2$ ou $4$ € de réduction.
    Si un très grand nombre d’équipes jouent les deux parties, quel est le montant moyen de la réduction obtenue à la fin des deux parties ? Expliquer la démarche.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. On veut calculer
    $\begin{align*} p(E\cap M)&=p(E)\times p_E(M)\\
    &=0,5\times 0,6\\
    &=0,3\end{align*}$
    La probabilité que l’équipe réussisse les deux parties est égale à $0,3$.
    $\quad$
  3. $E$ et $\conj{E}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(M)&=p(E\cap M)+p\left(\conj{E}\cap M\right)\\
    &=0,5\times 0,6+0,5\times 0,45\\
    &=0,525\end{align*}$
    La probabilité que l’équipe réussisse la partie « Musée » est égale à $0,525$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_M\left(\conj{E}\right)&=\dfrac{p\left(M\cap \conj{E}\right)}{p(M)}\\
    &=\dfrac{0,5\times 0,45}{0,525}\\
    &\approx 0,43\end{align*}$
    $\quad$
  5. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le montant de la réduction obtenue.
    $X$ suit donc la loi de probabilité suivante :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&~~0~~&~~2~~&~~4~~\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&0,275&0,425&0,3\\
    \hline
    \end{array}$
    En effet :
    $P(X=4)=p(E\cap M)$
    $\begin{align*} P(X=0)&=p\left(\conj{E}\cap \conj{M}\right) \\
    &=0,5\times 0,55\\
    &=0,275\end{align*}$
    $P(X=2)=1-P(X=0)+P(X=4)$
    Ainsi :
    $\begin{align*} E(X)&=0\times P(X=0)+2\times P(X=2)+4\times P(X=4)\\
    &=2\times 0,425+4\times 0,3\\
    &=2,05\end{align*}$
    Si un très grand nombre d’équipes jouent les deux parties, le montant moyen de la réduction obtenue à la fin des deux parties est égal à $2,05$ €.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans cet exercice toutes les probabilités seront données sous forme décimale, arrondie au millième.

Une entreprise récupère des smartphones endommagés, les répare et les reconditionne afin de les revendre à prix réduit.

  • $45 \%$ des smartphones qu’elle récupère ont un écran cassé ;
  • parmi les smartphones ayant un écran cassé, $30 \%$ ont également une batterie
    défectueuse ;
  • par contre, seulement $20 \%$ des smartphones ayant un écran non cassé ont une batterie défectueuse.
  1. Un technicien chargé de réparer et reconditionner les smartphones de l’entreprise prend un smartphone au hasard dans le stock. On note :
    $\bullet$ $E$ l’événement : « Le smartphone choisi a un écran cassé. »
    $\bullet$ $B$ l’événement : « Le smartphone choisi a une batterie défectueuse. »
    a. Représenter la situation décrite ci-dessus par un arbre pondéré.
    $\quad$
    b. Démontrer que la probabilité que le smartphone choisi ait une batterie défectueuse est égale à $0,245$.
    $\quad$
    c. Sachant que le smartphone choisi a une batterie défectueuse, quelle est la probabilité qu’il ait un écran cassé ?
    $\quad$
  2. L’entreprise dépense $20$ € pour réparer et reconditionner chaque smartphone qu’elle récupère. Si l’écran est cassé, elle dépense $30$ € supplémentaires, et si la batterie est défectueuse, elle dépense $40$ € supplémentaires.
    On note $X$ la variable aléatoire égale au coût total de réparation et reconditionnement d’un smartphone choisi au hasard dans le stock.
    a. Recopier et compléter sur la copie (aucune justification n’est attendue) le tableau suivant pour donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&20&50&\ldots&\ldots\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&0,44&\ldots&\ldots&\ldots\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. L’entreprise doit réparer et reconditionner $500$ smartphones. Combien doit-elle s’attendre à dépenser ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. $E$ et $\conj{E}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(B)&=P(E\cap B)+P\left(\conj{E}\cap B\right) \\
    &=0,45\times 0,3+0,55\times 0,2\\
    &=0,245\end{align*}$
    La probabilité que le smartphone choisi ait une batterie défectueuse est égale à $0,245$.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_B(E)&=\dfrac{P(B\cap E)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,45\times 0,3}{0,245}\\
    &=\dfrac{27}{49}\end{align*}$
    Sachant que le smartphone choisi a une batterie défectueuse, la probabilité qu’il ait un écran cassé est égale à $\dfrac{27}{49}$.
    $\quad$
  2. a. $X$ prend les valeurs $20$, $50$, $60$ et $90$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&20&50&60&90\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&0,44&0,315&0,11&0,135\\
    \hline
    \end{array}$$
    On a
    $\begin{align*} P(X=50)&=P\left(E\cap \conj{B}\right) \\
    &=0,45\times 0,7\\
    &=0,315\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=60)&=P\left(B\cap \conj{E}\right) \\
    &=0,55\times 0,2\\
    &=0,11\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=90)&=P(E\cap B) \\
    &=0,45\times 0,3\\
    &=0,135\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=\small{20\times 0,44+50\times 0,315+60\times 0,11+90\times 0,135}\\
    &=43,3\end{align*}$
    En moyenne le reconditionnement d’un smartphone coûte $43,3$ €.
    Cela coûtera $500\times 43,3=21~650$ € de réparer et reconditionner $500$ smartphones.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la
lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des
recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question
sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ donnée par le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
k&-5&0&10&20&50\\
\hline
P(X=k)&0,71&0,03&0,01&0,05&0,2\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance de $X$ est :

a. $15$
b. $0,2$
c. $7,55$
d. $17$

$\quad$

Correction Question 1

L’espérance de $X$ est :

$\begin{align*} E(X)&=\small{-5\times 0,71+0\times 0,03+10\times 0,01+20\times 0,05+50\times 0,2} \\
&=7,55\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On se place dans un repère orthonormé.
Le cercle de centre A( -2 ; 4) et de rayon 9 a pour équation :

a. $(x+2)^2+(y-4)^2=81$
b. $(x-2)^2+(y+4)^2=81$
c. $(x+2)^2+(y-4)^2=9$
d. $(x-2)^2+(y+4)^2=9$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation du cercle est $\left(x-(-2)\right)^2+(y-4)^2=9^2$ soit $(x+2)^2+(y-4)^2=81$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels.

On considère dans un repère la courbe représentative de $f$ tracée ci-dessous.

On appelle $\Delta$ son discriminant.

On peut affirmer que :

a. $a>0$ ou $c<0$
b. $c$ et $\Delta$ sont du même signe
c. $a<0$ et $c<0$
d. $a<0$ et $\Delta<0$

$\quad$

Correction Question 3

D’après le graphique $a<0$ (la fonction $f$ admet un maximum) et $\Delta>0$ (il y a deux racines)
Les deux racines $x_1$ et $x_2$ sont de signes différents.
Or $ax_1x_2=c$ donc $c>0$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_0=-2$ et $U_{n+1}=2U_n-5$.
Un algorithme permettant de calculer la somme $S=U_0+U_1+\ldots+U_{36}$ est :

$\begin{array}{llll}
\textbf{a.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=0}\\
\text{Pour i de 1 à 37}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}&\textbf{b.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=0}\\
\text{Pour i de 1 à 36}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}\\\\
\textbf{c.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=-2}\\
\text{Pour i de 1 à 37}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}&\textbf{d.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=-2}\\
\text{Pour i de 1 à 36}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}\end{array}$

$\quad$

Correction Question 4

Si la variable $\text{U}$ est transformée avant la variable $\text{S}$ alors $\text{S}$ doit être initialisée à $-2$.
Dans l’algorithme c., quand $\text{i}=1$, la variable $S$ prend la valeur $u_0+u_0$ au lieu de $u_0+u_1$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_0=-2$ et $U_{n+1}=2U_n-5$ est :

a. arithmétique mais pas géométrique
b. géométrique mais pas arithmétique
c. ni arithmétique, ni géométrique
d. à la fois arithmétique et géométrique

$\quad$

Correction Question 5

On $U_0=-2$
$\begin{align*} U_1&=2U_0-5\\
&=2\times (-2)-5 \\
&=-9\end{align*}$
$\begin{align*} U_2&=2U_1-5\\
&=2\times (-9)-5\\
&=-23\end{align*}$

Ainsi :

  • $U_1-U_0=-7$ et $U_2-U_1=-14$
    Ces différences ne sont pas égales : la suite n’est pas arithmétique
  • $\dfrac{U_1}{U_0}=\dfrac{9}{2}$ et $\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{23}{9}$
    Ces quotients ne sont pas égaux : la suite n’est pas géométrique

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une chaîne de salons de coiffure propose à ses $5~000$ clients qui viennent pour une
coupe deux prestations supplémentaires cumulables :

  • une coloration naturelle à base de plantes appelée « couleur-soin »,
  • des mèches blondes pour donner du relief à la chevelure, appelées « effet coup de soleil ».

Il apparaît que $2~000$ clients demandent une « couleur-soin ». Parmi ceux qui ne veulent pas de « couleur soin », $900$ demandent un « effet coup de soleil ». Par ailleurs, $650$ clients demandent une « couleur soin » et un « effet coup de soleil ».
On notera $C$ l’évènement « le client souhaite une « couleur-soin ».
On notera $E$ l’évènement « le client souhaite un « effet coup de soleil ».

  1. Recopier sur votre copie et compléter le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &C&\conj{C}&\text{Total}\\
    \hline
    E&&900&\\
    \hline
    \conj{E}&&&\\
    \hline
    \text{Total}&\phantom{\text{Total}}&\phantom{\text{Total}}&5~000\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. On interroge un client au hasard parmi les $5~000$ clients.
    a. Quelle est la probabilité qu’il ait choisi les deux prestations : « couleur soin » et « effet coup de soleil » ?
    $\quad$
    b. Calculer $P_E\left(\conj{C}\right)$.
    $\quad$
  3. On a des prix différents suivant la prestation fournie. On appelle $X$ le prix payé en euros par chaque client.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Coupe seule}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\\\text{et « effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}\\
    \hline
    \text{Valeurs de $k$ en €}&20&50&65&80\\
    \hline
    P(X=k)&&&0,18&0,13\\
    \hline
    \end{array}$$
    Après avoir recopié et complété le tableau, calculer l’espérance de $X$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &C&\conj{C}&\text{Total}\\
    \hline
    E&650&900&1~550\\
    \hline
    \conj{E}&1~350&2~100&3~450\\
    \hline
    \text{Total}&2~000&3~000&5~000\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(C\cap E)&=\dfrac{650}{5000}~\\
    &=0,13\end{align*}$
    La probabilité qu’il ait choisi les deux prestations : « couleur soin » et « effet coup de soleil » est $0,13$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P_E\left(\conj{C}\right)&=\dfrac{900}{1~550}\\
    &=\dfrac{18}{31}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
  4. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Coupe seule}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\\\text{et « effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}\\
    \hline
    \text{Valeurs de $k$ en €}&20&50&65&80\\
    \hline
    P(X=k)&0,42&0.27&0,18&0,13\\
    \hline
    \end{array}$$
    En effet :
    $\begin{align*} P(X=20)&=P\left(\conj{C}\cap \conj{E}\right) \\
    &=\dfrac{2~100}{5~000}\\
    &=0,42\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} P(X=50)&=P\left(C\cap \conj{E}\right) \\
    &=\dfrac{1~350}{5~000}\\
    &=0,27\end{align*}$
    $\quad$
    L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=20\times 0,42+50\times 0,27+65\times 0,18+80\times 0,13\\
    &=44\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=100$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n-\dfrac{13}{100}u_n$.
Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$?

a. géométrique de raison $1$
b. arithmétique de raison $-\dfrac{13}{100}$
c. géométrique de raison $^1$ et arithmétique de raison $-\dfrac{13}{100}$
d. géométrique de raison $0,87$

Correction Question 1

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=u_n-\dfrac{13}{100}u_n\\
&=0,87u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,87$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On considère la variable aléatoire $X$ qui prend les valeurs $x_i$ pour $i$ entier naturel allant de $1$ à $5$. La loi de probabilité incomplète de la variable aléatoire $X$ est donnée ci-dessous : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X=x_i&-6& -3& 0& 3& x_5\\
\hline
P\left(X=x_i\right)& 0,2& 0,1& 0,2& 0,4& 0,1\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance de la variable aléatoire $X$ est égale à $0,7$.
Quelle est la valeur $x_5$ prise par la variable aléatoire $X$?

a. $6$
b. $1$
c. $10$
d. $100$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} E(X)=0,7&\ssi -6\times 0,2-3\times 0,1+0+3\times 0,4+0,1x_5=0,7 \\
&\ssi-0,3+0,1x_5=0,7\\
&\ssi 0,1x_5=1 \\
&\ssi x_5=10\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction dérivable définie sur $\left]-\dfrac{7}{3};+\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{2x+3}{3x+7}$ et $f’$ sa fonction dérivée.

a. $f'(x)=\dfrac{2}{3}$
b. $f'(x)=\dfrac{23}{(3x+7)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{5}{(3x+7)^2}$
d. $f'(x)=\dfrac{5}{3x+7}$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x\in \left]-\dfrac{7}{3};+\infty\right[$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2(3x+7)-3(2x+3)}{(3x+7)^2} \\
&=\dfrac{6x+14-6x-9}{(3x+7)^2} \\
&=\dfrac{5}{(3x+7)^2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

De 2017 à 2018, le prix d’un article a augmenté de $10 \%$. En 2019, ce même article a retrouvé son prix de 2018. Quelle a été l’évolution du prix entre 2018 et 2019 ?

a. une baisse de $10 \%$
b. une baisse de plus de $10 \%$
c. on ne peut pas savoir
d. une baisse de moins de $10 \%$

$\quad$

Correction Question 4

On appelle $x$ le pourcentage de diminution appliqué au prix entre 2018 et 2019.
On a ainsi
$\begin{align*} \left(1+\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 &\ssi 1,01\left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 \\
&\ssi 1-\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{1,01}\\
&\ssi -\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{1,01}-1\\
&\ssi x=-100\left(\dfrac{1}{1,01}-1\right)\end{align*}$
Ainsi $x\approx 0,99$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=4$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=3u_n-5$. On souhaite qu’à la fin de l’exécution de l’algorithme, la valeur contenue dans la variable $u$ soit celle de $u_5$ . Quel algorithme doit-on choisir ?

$\begin{array}{llll}
\textbf{a.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*n-5\\\hspace{0.5cm}n=n+1\\\hline\end{array}
&\textbf{b.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u_n-5\\\hspace{0.5cm}n=n+1\\\hline\end{array}\\\\
\textbf{c.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u-5\\\hline\end{array}
&\textbf{d.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{While $\pp 5$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u-5\\\hspace{0.7cm}n=n+1\\\hline\end{array}\end{array}$

$\quad$

Correction Question 5

Algorithme a : il faudrait avoir $u=3*u-5$
Algorithme b : $u_n$ n’a pas de sens en python
Algorithme d : dans $\text{While }\pp 5$ il manque une variable avant le $\pp$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une étude statistique menée lors des entraînements montre que, pour un tir au but, Karim marque avec une probabilité de $0,7$.
Karim effectue une série de $3$ tirs au but. Les deux issues possibles après chaque tir sont les événements :

  • $M$ : « Karim marque un but » ;
  • $R$ : « Karim rate le tir au but ».

On admet que les tirs au but de Karim sont indépendants.

  1. On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre total de buts marqués à l’issue de cette série de tirs par Karim.
    a. Réaliser un arbre pondéré permettant de décrire toutes les issues possibles.
    $\quad$
    b. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$
    c. Calculer l’espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$.
    $\quad$
  2. On propose à un spectateur le jeu suivant : il mise $15$ € avant la série de tirs au but de Karim ; chaque but marqué par Karim lui rapporte $6$ €, et chaque but manqué par Karim ne
    lui rapporte rien.
    On note $Y$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique du spectateur, c’est-à-dire la différence entre le gain total obtenu et la mise engagée.
    a. Exprimer $Y$ en fonction de $X$.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance $E(Y)$ de la variable aléatoire $Y$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant

    $\quad$
    b.
    La variable aléatoire $X$ ne peut prendre que les valeurs $0$, $1$, $2$ et $3$.
    $\begin{align*}P(X=0)&=0,3^3 \\
    &=0,027\end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=1)&=3\times 0,7\times 0,3^2 \\
    &=0,189\end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=2)&=3\times 0,7^2\times 0,3 \\
    &=0,441\end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=3)&=0,7^3 \\
    &=0,343\end{align*}$
    $\quad$
    Remarque : On dit que la variable aléatoire $X$ suit uneloi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=0,7$.
    $\quad$
    c. L’espérance est :
    $\begin{align*} E(X)&=\small{0\times P(X=0)+1\times P(X=1)+2\times P(X=2)+3\times P(X=3)}\\
    &=1\times 0,189+2\times 0,441+3\times 0,343\\
    &=2,1\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a donc $Y=6X-15$
    $\quad$
    b. On sait que $E(aX+b)=aE(X)+b$.
    Donc, ici :
    $\begin{align*} E(Y)&=6E(X)-15\\
    &=6\times 2,1-15\\
    &=-2,4\end{align*}$
    À chaque partie, le joueur perd donc en moyenne $2,4$ €.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.
Une urne contient $150$ jetons rouges et $50$ jetons bleus, tous indiscernables au toucher. $20 \%$ des jetons rouges sont gagnants et $40 \%$ des jetons bleus sont gagnants. Un joueur tire au hasard un jeton de l’urne.

Question 1

La probabilité que le jeton soit rouge et gagnant est :

a. $0,2$
b. $0,45$
c. $0,15$
d. $0,95$

$\quad$

Correction Question 1

On note les événements :

  • $R$ : le jeton est rouge;
  • $G$ : le jeton est gagnant.

On a ainsi
$\begin{align*} P(R)&=\dfrac{150}{250}\\
&=0,75\end{align*}$
et $P_R(G)=0,2$
Par conséquent :
$\begin{align*} P(R\cap G)&=P(R)\times P_R(G)\\
&=0,75\times 0,2\\
&=0,15\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

La probabilité que le jeton soit gagnant est :

a. $0,2$
b. $0,6$
c. $0,25$
d. $0,4$

$\quad$

Correction Question 2

On utilise les notations de la correction de la question 1.
$R$ et $\conj{R}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(G)&=P(R\cap G)+P\left(\conj{R}\cap G\right) \\
&=0,15+\dfrac{50}{200}\times 0,4\\
&=0,25\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Un joueur tire successivement et avec remise deux jetons de l’urne. La probabilité qu’il tire deux jetons rouges est :

a. $0,562~5$
b. $0,75$
c. $0,30$
d. $0,15$

$\quad$

Correction Question 3

La probabilité de tirer deux jetons rouges est :
$\begin{align*} p&=0,75^2 \\
&=0,562~5\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

On note $X$ la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros d’un joueur. La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeurs $a$ prises par $X$}&-5&0&10\\
\hline
P(X=a)&0,6&0,15&0,25\\
\hline
\end{array}$$

Question 4

La probabilité $P(X > 0)$ est égale à :

a. $0,15$
b. $0,6$
c. $10$
d. $0,25$

$\quad$

Correction Question 4

On a :
$\begin{align*} P(X>0)&=P(X=10)\\
&=0,25\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Le gain algébrique moyen en euros que peut espérer un joueur est égale à :

a. $0$
b. $-0,5$
c. $\dfrac{5}{3}$
d. $5$

$\quad$

Correction Question 5

L’espérance mathématique de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=-5\times P(X=-5)+0\times P(X=0)+10\times P(X=10)\\
&=-5\times 0,6+10\times 0,25\\
&=-0,5\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend cinq questions indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1.

$\dfrac{\e^{5x}}{\e^{2x-2}}=$

a. $\e^{3x+2}$
b. $\e^{3x-2}$
c. $\e^{2,5x-2,5}$
d. $\e^{7x-2}$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*}\dfrac{\e^{5x}}{\e^{2x-2}}&=\e^{5x-(2x-2)} \\
&=\e^{5x-2x+2} \\
&=\e^{3x+2}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2.

Soit la suite définie par : $\begin{cases} u_0=2\\u_{n+1}=3u_n-2\text{  ;   pour }n\in \N\end{cases}$.

a. $u_3=7$
b. $u_3=10$
c. $u_3=28$
d. $u_3=4$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} u_1&=3u_0-2\\
&=3\times 2-2\\
&=4\end{align*}$

$\begin{align*} u_2&=3u_1-2\\
&=3\times 4-2\\
&=10\end{align*}$

$\begin{align*} u_3&=3u_2-2\\
&=3\times 10-2\\
&=28\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans un atelier $3\%$ des pièces produites sont défectueuses. On constate qu’au cours du contrôle qualité, si la pièce est bonne, elle est acceptée dans $95\%$ des cas, et que si elle est défectueuse, elle est refusée dans $98\%$ des cas.
La probabilité qu’une pièce soit refusée est égale à :

a. $0,077~9$
b. $0,029~4$
c. $0,048~5$
d. $0,98$

$\quad$

Correction Question 3

On considère les événements :

  • $D$ : « la pièce est défectueuse »
  • $R$ : « la pièce est refusée »

On obtient alors l’arbre pondéré suivant :

$D$ et $\conj{D}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(R)&=P(D\cap R)+P\left(\conj{D}\cap R\right) \\
&=0,03\times 0,98+0,97\times 0,05\\
&=0,077~9\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Sachant que $\cos x=\dfrac{5}{13}$ et que $x$ est compris entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $0$, la valeur de $\sin x$ est :

a. $\dfrac{8}{13}$
b. $-\dfrac{8}{13}$
c. $\dfrac{12}{13}$
d. $-\dfrac{12}{13}$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a $\cos^2 x+\sin^2 x=1$.

On sait que $\cos x=\dfrac{5}{13}$
Par conséquent :
$\begin{align*} &\ssi \cos^2 x+\sin^2 x=1 \\
\ssi ~&\left(\dfrac{5}{13}\right)^2+\sin^2x=1 \\
\ssi ~&\dfrac{25}{169}+\sin^2x=1 \\
\ssi ~&\sin^2x=\dfrac{144}{169} \\
\ssi~&\sin x=\dfrac{12}{13} \text{ ou } \sin x=-\dfrac{12}{13}\end{align*}$

On sait que $x$ est compris entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $0$. Donc $\sin x<0$.

Ainsi $\sin x=-\dfrac{12}{13}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeurs }x_i&-2&0&5\\
\hline
p_i=P\left(X=x_i\right)&0,3&0,5&0,2\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ est égale à :

a. $3$
b. $0,9$
c. $0,4$
d. $0,5$

$\quad$

Correction Question 5

On a :
$\begin{align*} E(X)&=-2\times 0,3+0\times 0,5+5\times 0,2\\
&=0,4\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un magasin de téléphonie mobile lance une offre sur ses smartphones de la marque Pomme vendus à $800$ € : il propose une assurance complémentaire pour $50$ € ainsi qu’une coque à $20$ €.
Ce magasin a fait les constatations suivantes concernant les acheteurs de ce smartphone :

  • $40\%$ des acheteurs ont souscrit à l’assurance complémentaire.
  • Parmi les acheteurs qui ont souscrit à l’assurance complémentaire, $20\%$ ont acheté en plus la coque.
  • Parmi les acheteurs qui n’ont pas souscrit à l’assurance
    complémentaire, deux sur trois n’ont pas acheté la coque.

On interroge au hasard un client de ce magasin ayant acheté un smartphone de la marque Pomme.
On considère les évènements suivants :
$A$ : « le client a souscrit à l’assurance complémentaire » ;
$C$ : « le client a acheté la coque ».

  1. Calculer la probabilité que le client ait souscrit à l’assurance
    complémentaire et ait acheté la coque.
    $\quad$
  2. Montrer que $P(C) = 0,28$.
    $\quad$
  3. Le client interrogé a acheté la coque.
    Quelle est la probabilité qu’il n’ait pas souscrit à l’assurance complémentaire ?
    $\quad$
  4. Déterminer la dépense moyenne d’un client de ce magasin ayant acheté un smartphone de la marque Pomme.
    On pourra noter $X$ la variable aléatoire qui représente la dépense en euros d’un client de ce magasin ayant acheté un smartphone de la marque Pomme.
    $\quad$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. On peut utiliser l’arbre pondéré suivant :

    On veut calculer :
    $\begin{align*} P(A\cap C)&=P(A)\times P_A(C)\\
    &=0,4\times 0,2\\
    &=0,08\end{align*}$
    La probabilité que le client ait souscrit à l’assurance
    complémentaire et ait acheté la coque est égale à $0,08$.
    $\quad$
  2. $A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(C)&=P(C\cap A)+P\left(\conj{C}\cap A\right) \\
    &=0,08+0,6\times \dfrac{1}{3} \\
    &=0,28\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_C\left(\conj{A}\right)&=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap C\right)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,6\times \dfrac{1}{3}}{0,28} \\
    &=\dfrac{5}{7}\end{align*}$
    La probabilité que le client n’ait pas souscrit à l’assurance complémentaire sachant qu’il a acheté la coque est égale à $\dfrac{5}{7}$.
    $\quad$
  4. La variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs $800$, $820$, $850$ et $870$.
    $\begin{align*} P(X=800)&=P\left(\conj{A}\cap \conj{C}\right) \\
    &=0,6\times \dfrac{2}{3} \\
    &=0,4\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=820)&=P\left(\conj{A}\cap C\right) \\
    &=0,6\times \dfrac{1}{3} \\
    &=0,2\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=850)&=P\left(A\cap\conj{C}\right) \\
    &=0,4\times 0,8 \\
    &=0,32\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=870)&=P\left(A\cap C\right) \\
    &=0,4\times 0,2 \\
    &=0,08\end{align*}$
    Ainsi
    $\begin{align*} E(X)&=\small{800P(X=800)+820P(X=820)+850P(X=850)+870P(X=870)}\\
    &=\small{800\times 0,4+820\times 0,2+850\times 0,32+870\times 0,08}\\
    &=825,6\end{align*}$
    Un client ayant acheté un smartphone de la marque Pomme dépensera donc en moyenne $825,6$ €.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

On dispose d’un paquet de cartes contenant un nombre identique de cartes de la catégorie « Sciences » et de la catégorie « Économie ». Une question liée à un de ces deux thèmes figure sur chaque carte.
Les cartes sont mélangées et on en tire une au hasard dans le paquet. Ensuite, on essaye de répondre à la question posée.

Un groupe de copains participe à ce jeu. Connaissant leurs points forts et leurs faiblesses, on estime qu’il a :

  • $3$ chances sur $4$ de donner la bonne réponse lorsqu’il est interrogé en sciences ;
  • $1$ chance sur $8$ de donner la bonne réponse lorsqu’il est interrogé en économie.

On note $S$ l’événement «La question est dans la catégorie Sciences» et $B$ l’événement «La réponse donnée par le groupe est bonne»

Partie A :

  1. Calculer $P(B\cap S)$
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité que le groupe de copains réponde correctement à la question posée.
    $\quad$
  3. Les événements $S$ et $B$ sont-ils indépendants ?
    $\quad$

Partie B

Pour participer à ce jeu, on doit payer $5$ € de droit d’inscription.
On recevra :

  • $10$ € si on est interrogé en sciences et que la réponse est correcte ;
  • $30$ € si on est interrogé en économie et que la réponse est correcte ;
  • rien si la réponse donnée est fausse.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque partie jouée, associe son gain. On appelle gain la différence en euros entre ce qui est reçu et les $5$ € de droit d’inscription.

  1. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$
  2. Que retourne la fonction Jeu écrite ci-dessous en langage Python avec les listes : $\text{L} = [ -5 ; 5 ; 25]$ et $\text{G} = [0,5625 ; 0,375 ; 0,0625]$ ?
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \textcolor{blue}{\text{def }}\textbf{Jeu}(\text{L,G}):\\
    \hspace{1cm} \text{n = }\textcolor{violet}{\text{len}}(\text{L})\\
    \hspace{1cm} \text{E = }\textcolor{Mahogany}{0}\\
    \hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i}\textcolor{blue}{\text{ in }} \textcolor{violet}{\text{ range}}(\text{n}):\\
    \hspace{2cm} \text{E = E + L[i]*G[i]}\\
    \hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{return}}(\text{E})\\
    \hline
    \end{array}$$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. Le paquet de cartes contenant un nombre identique de cartes de la catégorie « Sciences » et de la catégorie « Économie ».
    Donc $P(S)=\dfrac{1}{2}$
    On sait de plus que $P_S(B)=\dfrac{3}{4}$.
    Donc :
    $\begin{align*} P(B\cap S)&=P(S)\times P_S(B) \\
    &=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{4}\\
    &=\dfrac{3}{8}\end{align*}$
    $\quad$
  2. $S$ et $\conj{S}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totale on a :
    $\begin{align*} P(B)&=P(B\cap S)+P\left(B\cap \conj{S}\right) \\
    &=\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{8}\\
    &=\dfrac{7}{16}\end{align*}$
    La probabilité que le groupe de copains réponde correctement à la question posée est donc égale à $\dfrac{7}{16}$.
    $\quad$
  3. On a $P_S(B)=\dfrac{3}{4}$ et $P(B)=\dfrac{7}{16}$
    Par conséquent $P_S(B)\neq P(B)$. Les événements $S$ et $B$ ne sont pas indépendants.
    $\quad$

Partie B

  1. La variable aléatoire $X$ peut donc prendre les valeurs $-5$, $5$ et $25$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}P(X=5)&=P(B\cap S) \\
    &=\dfrac{3}{8} \end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=25)&=P\left(B\cap \conj{S}\right) \\
    &=P\left(\conj{S}\right)\times P_{\conj{S}}(B)\\
    &=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{8} \\
    &=\dfrac{1}{16}\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=-5)&=1-P(X=5)-P(X=25)\\
    &=1-\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{16}\\
    &=\dfrac{9}{16}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Le programme Python permet de calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$.
    Or :
    $\begin{align*} E(X)&=-5\times P(X=-5)+5\times P(X=5)+25\times P(X=25)\\
    &=-5\times \dfrac{9}{16}+5\times \dfrac{3}{8}+25\times \dfrac{1}{16}\\
    &=0,625\end{align*}$
    Ainsi la fonction retournera la valeur $0,625$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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