E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

La gestionnaire d’un cinéma s’intéresse à la catégorie des films vus par ses spectateurs, ainsi qu’à leur consommation au rayon « friandises ». Une étude sur plusieurs mois a montré que $40 \%$ des spectateurs sont allés voir un film d’action, $35 \%$ un dessin animé et les autres une comédie.
Parmi les spectateurs allant voir un film d’action, la moitié achètent des friandises, alors qu’ils sont $80 \%$ pour ceux allant voir un dessin animé et $70 \%$ pour ceux allant voir une comédie.
On interroge au hasard un spectateur sortant du cinéma et on note :
$\hspace{1.5cm} A$ l’événement : « le spectateur a vu un film d’action »,
$\hspace{1.5cm} D$ l’événement : « le spectateur a vu un dessin animé »,
$\hspace{1.5cm} C$ l’événement : « le spectateur a vu une comédie »,
$\hspace{1.5cm} F$ l’événement : « le spectateur a acheté des friandises ».

Reproduire et compléter sur la copie l’arbre de probabilité ci-dessous représentant la situation.
$\quad$
Démontrer que $P(F) = 0,655$.
$\quad$
On interroge au hasard un spectateur ayant acheté des friandises. Quelle est la probabilité qu’il ait vu un dessin animé ? On donnera l’arrondi à $10^{-3}$.
$\quad$
Une place de cinéma coûte $10$ €. On considérera que si un spectateur achète des friandises, il dépense $18$ € pour sa place de cinéma et ses friandises.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le coût d’une sortie au cinéma pour un spectateur.
a. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
$\quad$
b. En déduire le coût moyen par spectateur d’une sortie dans ce cinéma.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
$A$, $D$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(F)&=P(A\cap F)+P(D\cap F)+P(C\cap F) \\
&=0,4\times 0,5+0,35\times 0,8+0,25\times 0,7\\
&=0,655\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_F(D)&=\dfrac{P(D\cap F)}{P(F)} \\
&=\dfrac{0,35\times 0,8}{0,655}\\
&\approx 0,427\end{align*}$
La probabilité que le spectateur ait vu un dessin animé sachant qu’il a acheté des friandises est environ égale à $0,427$.
$\quad$
a. $X$ peut prendre les valeurs $10$ et $18$.
$\begin{align*} P(X=18)&=P(F)\\
&=0,655\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=10)&=1-P(X=18)\\
&=0,345\end{align*}$
$\quad$
b. L’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=18\times 0,655+10\times 0,345\\
&=15,24\end{align*}$
En moyenne, un spectateur dépense $15,24$ € dans ce cinéma.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Lors des journées classées « rouges » selon Bison Futé, l’autoroute qui relie Paris à Limoges en passant par Orléans est surchargée.
Lors de ces journées classées « rouges », on a pu observer le comportement des automobilistes faisant le trajet de Paris à Limoges en passant par Orléans.

Pour le trajet de Paris à Orléans, $30 \%$ d’entre eux prennent la route nationale, les autres prennent l’autoroute.
Pour le trajet d’Orléans à Limoges :
- parmi les automobilistes ayant pris la route nationale entre Paris et Orléans, $40 \%$ prennent la route départementale, les autres prennent l’autoroute ;
- parmi les automobilistes n’ayant pas pris la route nationale entre Paris et Orléans, $45 \%$ prennent la route départementale , les autres prennent l’autoroute.

On choisit un automobiliste au hasard parmi ceux effectuant, en journée classée rouge, le trajet Paris – Limoges en passant par Orléans.

On note $N$ l’événement « l’automobiliste prend la route nationale entre Paris et Orléans » et $D$ l’événement « l’automobiliste prend la route départementale entre Orléans et Limoges ».
Si $A$ est un évènement, on note $\conj{A}$ l’évènement contraire de $A$.

Recopier sur la copie et compléter l’arbre ci-dessous.
$\quad$
$\quad$
Calculer $P\left(\conj{N} \cap \conj{D}\right)$ et interpréter le résultat.
$\quad$
Montrer que la probabilité que l’automobiliste ne choisisse pas la Route Départementale entre Orléans et Limoges est $0,565$.
$\quad$
Lors de ces journées classées « rouges », on donne les temps de parcours suivants :
Paris – Orléans, par autoroute : $3$ heures ;
Paris – Orléans, par nationale : $2$ heures ;
Orléans – Limoges, par autoroute : $4$ heures ;
Orléans – Limoges, par départementale : $3$ heures et demie.
$\quad$
Recopier et compléter le tableau ci-dessous, qui donne pour chaque trajet, le temps en heure et la probabilité :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Évènement}&N\cap D&N\cap \conj{D}&\conj{N}\cap D&\conj{N}\cap \conj{D}\\
\hline
\text{Temps en heure}&5,5&&&\\
\hline
\text{Probabilité}&0,12&&&\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
Calculer l’espérance de la variable aléatoire qui donne la durée du trajet en heure et en donner une interprétation.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On a :
$\begin{align*} P\left(\conj{N}\cap \conj{D}\right)&=P\left(\conj{N}\right)\times P_{\conj{N}}\left(\conj{D}\right) \\
&=0,7\times 0,55\\
&=0,385\end{align*}$
La probabilité pour que l’automobiliste n’ait pris ni la route nationale ni la route départementale est égale à $0,385$.
$\quad$
$N$ et $\conj{N}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P\left(\conj{D}\right)&=P\left(N\cap \conj{D}\right)+P\left(\conj{N}\cap \conj{D}\right)\\
&=P(N)\times P_N\left(\conj{D}\right)+0,385\\
&=0,3\times 0,6+0,385\\
&=0,565\end{align*}$
$\quad$
On obtient le tableau suivant :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Évènement}&N\cap D&N\cap \conj{D}&\conj{N}\cap D&\conj{N}\cap \conj{D}\\
\hline
\text{Temps en heure}&5,5&6&6,5&7\\
\hline
\text{Probabilité}&0,12&0,18&0,315&0,385\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne la durée du trajet en heure.
On a ainsi $P(X=5,5)=0,12$, $P(X=6)=0,18$, $P(X=6,5)=0,315$ et $P(X=7)=0,385$.
Ainsi l’espérance mathématique de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=5,5\times 0,12+6\times 0,18+6,5\times 0,315+7\times 0,385\\
&=6,482~5\end{align*}$
En moyenne, la durée du trajet est d’environ $6,5$ heures.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une petite entreprise de textile commercialise des nappes et des lots de serviettes assorties.
Un client achète au plus une nappe et au plus un lot de serviettes.
En consultant le fichier des ventes de l’entreprise, on constate que :

$20\%$ des clients achètent une nappe ;
Parmi les clients ayant acheté une nappe, $70 \%$ ont acheté un lot de serviettes ;
Parmi les clients n’ayant pas acheté de nappe, $10 \%$ ont tout de même acheté un lot de serviettes.

On choisit au hasard un client de cette entreprise.
Pour tout événement $A$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$ et $P(A)$ la probabilité de l’événement $A$.
On note les événements suivants :

$N$ « le client achète une nappe » ;
$S$ « le client achète un lot de serviettes »

Reproduire sur la copie et compléter l’arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.
$\quad$
Calculer la probabilité que le client achète une nappe et un lot de serviettes.
$\quad$
Montrer que la probabilité de l’événement $S$ est égale à $0,22$.
$\quad$
Calculer la probabilité que le client achète une nappe sachant qu’il a acheté une serviette.
$\quad$
Une nappe est vendue $45$ € et un lot de serviettes $25$ €.
On appelle $D$ la variable aléatoire donnant la dépense effectuée par un client.
Calculer l’espérance mathématique de $D$ et donner une interprétation de ce nombre dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(N\cap S)&=P(N)\times P_N(S)\\
&=0,2\times 0,7\\
&=0,14\end{align*}$
La probabilité que le client achète une nappe et un lot de serviettes est égale à $0,14$.
$\quad$
$N$ et $\conj{N}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(S)&=P(N\cap S)+P\left(\conj{N}\cap S\right) \\
&=0,14+0,8\times 0,1\\
&=0,22\end{align*}$
La probabilité de l’événement $S$ est égale à $0,22$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_S(N)&=\dfrac{P(S\cap N)}{P(S)}\\
&=\dfrac{0,14}{0,22}\\
&=\dfrac{7}{11}\end{align*}$
La probabilité que le client achète une nappe sachant qu’il a acheté une serviette est égale à $\dfrac{7}{11}$.
$\quad$
$D$ prend les valeurs $0$, $25$, $45$, $70$.
$\begin{align*} P(D=0)&=P\left(\conj{N}\cap \conj{S}\right) \\
&=0,8\times 0,9\\
&=0,72\end{align*}$
$\begin{align*} P(D=25)&=P\left(\conj{N}\cap S\right) \\
&=0,8\times 0,1\\
&=0,08\end{align*}$
$\begin{align*} P(D=45)&=P\left(N\cap \conj{S}\right) \\
&=0,2\times 0,3\\
&=0,06\end{align*}$
$\begin{align*} P(D=70)&=P\left(N\cap S\right) \\
&=0,2\times 0,7\\
&=0,14\end{align*}$
L’espérance mathématique de $D$ est donc :
$\begin{align*} E(D)&=\small{0\times P(D=0)+25\times P(D=25)+45\times P(D=45)+70\times P(D=70)}\\
&=25\times 0,08+45\times 0,06+70\times 0,14\\
&=14,5\end{align*}$
En moyenne un client dépense $14,5$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Si $\sin x=\dfrac{1}{3}$ alors

a. $\sin(x+\pi)=-\dfrac{1}{3}$
b. $\sin(x-\pi)=\dfrac{1}{3}$
c. $\cos(x)=\dfrac{2}{3}$
d. $\sin(x+15\pi)=\dfrac{1}{3}$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a $\sin(x+\pi)=-\sin(x)$
Donc $\sin(x+\pi)=-\dfrac{1}{3}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Parmi les paraboles ci-dessous laquelle représente une fonction qui n’admet aucune racine ?

$\quad$

Correction Question 2

Seule la courbe d. ne touche ou ne traverse l’axe des abscisses.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par $f(x)=2x-\dfrac{1}{x}$.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $1$
b. $3$
c. $-1$
d. $0$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$, on a $f'(x)=2+\dfrac{1}{x^2}$.
Par conséquent $f'(1)=3$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2-2x+y^2+6y+2=0$ est :

a. une parabole
b. le cercle de centre $\Omega$ de coordonnées $(-1; 3)$ et de
rayon $8$.
c. le cercle de centre $\Omega$ de coordonnées $(1; -3)$ et
de rayon $2\sqrt{2}$.
d. une droite

$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} &x^2-2x+y^2+6y+2=0 \\
\ssi~& x^2-2x+1-1+y^2+6y+9-9+2=0\\
\ssi~& (x-1)^2+(y+3)^2=8\\
\ssi~& (x-1)^2+\left(y-(-3)\right)^2=\left(2\sqrt{2}\right)^2\end{align*}$

Il s’agit du cercle de centre $\Omega$ de coordonnées $(1; -3)$ et
de rayon $2\sqrt{2}$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ donnant le gain en euros, d’un joueur, à un jeu, est donnée par le tableau suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x_i&-10&6&10\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&~~\dfrac{1}{4}~~&~~\dfrac{3}{8}~~&~~\dfrac{3}{8}~~\\
\hline
\end{array}$$
Sur un grand nombre de parties, le gain moyen que peut espérer le joueur est :

a. $3,5$ euros
b. $4$ euros
c. $2$ euros
d. $6$ euros

$\quad$

Correction Question 5

L’espérance mathématiques de la variable aléatoire $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=-10\times \dfrac{1}{4}+6\times \dfrac{3}{8}+10\times \dfrac{3}{8}\\
&=3,5\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique des jeux en bois. Avant sa commercialisation, chaque jeu est soumis à deux contrôles : un contrôle de peinture et un contrôle de solidité.

Après un très grand nombre de vérifications, on constate que :

$8 \%$ des jeux ont un défaut de peinture,
parmi les jeux qui n’ont pas de défaut de peinture, $5 \%$ ont un défaut de solidité,
$2 \%$ des jeux présentent les deux défauts.

On choisit au hasard un jeu parmi ceux fabriqués par l’entreprise. On note :

$T$ l’événement : « le jeu a un défaut de peinture. »
$S$ l’événement : « le jeu a un défaut de solidité. »

Démontrer que $P_T(S) = 0,25$.
$\quad$
Recopier et compléter l’arbre pondéré de probabilité ci-dessous traduisant les données de l’énoncé.

$\quad$
Démontrer que la probabilité que le jeu choisi au hasard n’ait pas de défaut de solidité est égale à $0,934$.
$\quad$
Les jeux qui présentent un défaut de solidité sont détruits. Dans cette question, on leur attribuera un prix de vente de $0$ €.
Les jeux ne présentant aucun défaut sont vendus $14$ € chacun.
Les autres jeux sont vendus $9$ € chacun.
$\quad$
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le prix de vente, en euros, d’un jeu.
a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant, pour chaque valeur $x_i$ de $X$, la probabilité de l’événement $\left\{X=x_i\right\}$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x_i&0&9&14\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&\phantom{1234}&\phantom{1234}&\phantom{1234}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Quel est le prix de vente moyen d’un jeu fabriqué par cette entreprise ?
On arrondira le résultat au centime d’euro.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} P(T\cap S)=P(T)\times P_T(S)&\ssi 0,02=0,08P_T(S)\\
&\ssi P_T(S)=0,25\end{align*}$
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré :
$\quad$
$T$ et $\conj{T}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P\left(\conj{S}\right)&=P\left(T\cap \conj{S}\right)+P\left(\conj{T}\cap \conj{S}\right) \\
&=0,08\times 0,75+0,92\times 0,95\\
&=0,934\end{align*}$
La probabilité que le jeu choisi au hasard n’ait pas de défaut de solidité est égale à $0,934$.
$\quad$
a. On obtient le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x_i&0&9&14\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&0,066&0,06&0,874\\
\hline
\end{array}$$
$P(X=0)=1-0,934=0,066$
$P(X=14)=0,92\times 0,95=0,874$
$P(X=9)=1-(0,066+0,874)=0,06$
$\quad$
Remarque : On peut calculer $P(X=9)$ directement.
$\begin{align*} P(X=9)&=P\left(T\cap \conj{S}\right) \\
&=P(T)-P(T\cap S) \\
&=0,08-0,02\\
&=0,06\end{align*}$
$\quad$
b. L’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=0\times 0,066+9\times 0,06+14\times 0,874 \\
&=12,776\end{align*}$
Le prix de vente moyen d’un jeu fabriqué par cette entreprise est d’environ $12,78$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une fleuriste met en vente quatre sortes de bouquets dont les tarifs et la composition sont indiqués dans le tableau ci-dessous : $$\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{Bouquet de tulipes orange : }10,50 \text{ €}&\text{Bouquet de roses orange : }23,50 \text{ €}\\
\hline
\text{Bouquet de tulipes blanches : }11,60 \text{ €}&\text{Bouquet de roses blanches :} 25,50 \text{ €}\\
\hline
\end{array}$$

$72 \%$ des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses.
Les autres bouquets mis en vente ne contiennent que des tulipes.
$20 \%$ des bouquets de tulipe mis en vente ne contiennent que des tulipes orange.
$36 \%$ des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses blanches.

Un client achète au hasard un bouquet parmi ceux mis en vente par la fleuriste. On note :

$R$ l’événement : « Le bouquet acheté par ce client est composé de roses. »
$B$ l’événement : « Le bouquet acheté par ce client est composé de fleurs blanches. »

Les événements contraires des événements $R$ et $B$ sont notés respectivement $\conj{R}$ et $\conj{B}$.

a. Donner, sans justifier, la probabilité $P(R\cap B)$.
$\quad$
b. Recopier et compléter le plus possible l’arbre de probabilité ci-dessous en traduisant uniquement les données de l’énoncé.

$\quad$
c. Montrer que $P(B) = 0,584$.
$\quad$
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le prix d’un bouquet acheté par un client.
a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant, pour chaque valeur $x_i$ de $X$, la probabilité de l’événement $\left\{X=x_i\right\}$. Justifier.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i&&&&\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$. On arrondira le résultat au centième.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a.$36 \%$ des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses blanches.
Donc $P(R\cap B)=0,36$
$\quad$
b. On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
c. $R$ et $\conj{R}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(R\cap B)+P\left(\conj{R}\cap B\right)\\
&=0,36+0,28\times 0,8\\
&=0,584\end{align*}$
$\quad$
a. On obtient le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i&10,5&11,6&23,5&25,5\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&0,056&0,224&0,36&0,36\\
\hline
\end{array}$$
En effet :
$\begin{align*} P(X=25,5)&=P(R\cap B)\\
&=0,36\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=10,5)&=P\left(\conj{R}\cap \conj{B}\right)\\
&=0,28\times 0,2 \\
&=0,056\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=11,6)&=P\left(\conj{R}\cap B\right)\\
&=0,28\times 0,8 \\
&=0,224\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=23,5)&=1-\left(0,056+0,224+0,36\right)\\
&=0,36\end{align*}$
$\quad$
Remarque : On peut également calculer $P(X=23,5)$ directement.
$\begin{align*} P(R\cap B)=P(R)\times P_R(B)& \ssi 0,36 = 0,72 P_R(B) \\
&\ssi P_R(B)=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
Par conséquent $P_R\left(\conj{B}\right)=\dfrac{1}{2}$
Ainsi
$\begin{align*} P(X=23,5)&=P\left(R\cap \conj{B}\right) \\
&=P(R)\times P_R\left(\conj{B}\right) \\
&=0,72 \times \dfrac{1}{2} \\
&=0,36\end{align*}$
$\quad$b. L’espérance de la variable aléatoire $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=10,5\times 0,056+11,6\times 0,224+23,5\times 0,36+25,5\times 0,36 \\
&\approx 20,83\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée, mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Question 1

Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $A(2 ;-1)$ et de rayon $4$ a comme équation :

a. $(x+2)^2+(y-1)^2=16$
b. $(x-2)^2+(y+1)^2=4$
c. $(x-2)^2+(y+1)^2=16$
d. $(x+2)^2+(y-1)^2=4$

$\quad$

Correction Question 1

Une équation cartésienne du cercle est :
$(x-2)^2+\left(y-(-1)\right)^2=4^2$ soit $(x-2)^2+(y+1)^2=16$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Soit la droite $(d)$ d’équation cartésienne $2x-y+1=0$.
Sachant que la droite $\left(d_1\right)$ est perpendiculaire à la droite $(d)$, une équation de $\left(d_1\right)$ peut être :

a. $x-2y+2=0$
b. $x+2y-1=0$
c. $-2x+y-1=0$
d. $x-y+2=0$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$.
La droite $\left(d_1\right)$ est perpendiculaire à la droite $(d)$ donc $\vec{u}$ est normal à la droite $(d)$.
Ainsi une équation cartésienne de $\left(d_1\right)$ est de la forme $x+2y+c=0$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

L’expression de $\sin(\pi-x)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ est égale à :

a. $-2\sin(x)$
b. $0$
c. $2\sin(x)$
d. $\cos(x)-\sin(x)$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \sin(\pi-x)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)&=\sin(x)-\sin(x)\\
&=0\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

On considère la fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-3x^2+x-5$.
Le tableau de variations de cette fonction est :

$\quad$

Correction Question 4

Le coefficient principal de cette fonction du second degré est $a=-3<0$. Cette fonction est donc d’abord croissante puis décroissante.
L’abscisse de son sommet est :
$\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a}\\
&=-\dfrac{1}{-6}\\
&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

À un jeu, la variable aléatoire donnant le gain algébrique $G$ suit la loi de probabilité suivante (en euros) :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeur de $\boldsymbol{G}$}&-25&-3&x&100\\
\hline
\text{Probabilité}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{6}&0,3&0,2\\
\hline
\end{array}$$
Sachant que l’espérance de $G$ est égale à $\dfrac{38}{3}$, la valeur de $x$ est :

a. $0$
b. $5$
c. $20$
d. $25$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} &E(G)=\dfrac{38}{3}\\
\ssi~&-25\times \dfrac{1}{3}-3\times \dfrac{1}{6}+0,3x+100\times 0,2=\dfrac{38}{3} \\
\ssi~&-\dfrac{25}{3}-\dfrac{1}{2}+0,3x+20=\dfrac{38}{3} \\
\ssi~& 0,3x=1,5\\
\ssi~& x=5\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un constructeur de véhicules fabrique deux types d’automobiles : « Citadine » ou « Routière ».
Pour ces véhicules, ce constructeur propose deux finitions :

« Sport » au tarif de $2~500$ euros par véhicule,
« Luxe » au tarif de $4~000$ euros par véhicule.

En consultant le carnet de commandes de ce constructeur, on recueille les indications suivantes :

$80\%$ des clients ont commandé une automobile « Citadine ». Les autres clients ont commandé une automobile « Routière ».
Parmi les clients possédant une automobile « Citadine », $70\%$ ont pris la finition « Sport ».
Parmi les clients possédant une automobile « Routière », $60\%$ ont pris la finition « Luxe ».

On choisit un client au hasard et on considère les évènements suivants :

$C$ : « Le client a commandé une automobile « Citadine » »,
$L$ : « Le client a choisi la finition « Luxe » ».

D’une manière générale, on note $\conj{A}$ l’évènement contraire d’un évènement $A$.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le montant en euros de la finition choisie par un client.

Construire l’arbre pondéré de probabilité traduisant les données de l’exercice.
$\quad$
Calculer la probabilité que le client ait commandé une automobile « Citadine » et ait choisi la finition « Luxe », c’est-à-dire calculer $P(C\cap L)$.
$\quad$
Justifier que $P(L) = 0,36$.
$\quad$
La variable aléatoire $X$ ne prend que deux valeurs $a$ et $b$.
a. Déterminer les probabilités $P(X = a)$ et $P(X = b)$.
$\quad$
b. Déterminer l’espérance de $X$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(C\cap L)&=P(C)\times P_C(L)\\
&=0,8\times 0,3\\
&=0,24\end{align*}$
La probabilité que le client ait commandé une automobile « Citadine » et ait choisi la finition « Luxe » est égale à $0,24$.
$\quad$
$C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(L)&=P(C\cap L)+P\left(\conj{C}\cap L\right) \\
&=0,24+0,2\times 0,6\\
&=0,36\end{align*}$
$\quad$
a. On a donc
$\begin{align*} P(X=2~500)&=P\left(\conj{L}\right) \\
&=1-0,36\\
&=0,64\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} P(X=4~000)&=P(L) \\
&=0,36\end{align*}$
$\quad$
b. L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=2~500P(X=2~500)+4~000P(X=4~000)\\
&=2~500\times 0,64+4~000\times 0,36\\
&=3~040\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

On dispose d’un dé équilibré à six faces et de deux urnes U et V contenant des boules blanches ou rouges, indiscernables au toucher.
L’urne U contient $40$ boules blanches et $60$ boules rouges.
L’urne V contient $70$ boules blanches et $30$ boules rouges.

Un jeu consiste à lancer le dé puis tirer une boule dans l’une des urnes. Si on obtient $1$ ou $6$ sur le dé, le tirage s’effectue dans l’urne U. Si on obtient $2$, $3$, $4$ ou $5$ sur le dé, le tirage s’effectue dans l’urne V.
On considère les événements :
$\hspace{1cm}U$ : « le tirage s’effectue dans l’urne U »
$\hspace{1cm}V$ : « le tirage s’effectue dans l’urne V »
$\hspace{1cm}B$ : « la boule tirée est blanche »
$\hspace{1cm}R$ : « la boule tirée est rouge ».
Sauf indication contraire, les probabilités seront arrondies au millième.

1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
  $\quad$
2. Déterminer la probabilité de l’évènement « la boule tirée est rouge ».
  $\quad$
3. On tire une boule rouge. Quelle est la probabilité qu’elle ait été tirée dans l’urne U ?
  $\quad$
4. Pour jouer, il faut miser $1$ €. Le joueur gagne $3$ € s’il tire une boule rouge et il ne gagne rien s’il tire une boule blanche. On note $G$ la variable aléatoire donnant le gain du joueur.
  a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $G$.
  On donnera le tableau de la loi de probabilité, mais aucune justification n’est demandée.
  $\quad$
  b. Calculer l’espérance mathématique de $G$. Interpréter ce résultat.
  $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
$U$ et $V$ forment un système complet d”événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(R)&=P(U\cap R)+P(V\cap R)\\
&=\dfrac{1}{3}\times 0,6+\dfrac{2}{3}\times 0,3\\
&=0,4\end{align*}$
La probabilité de l’évènement « la boule tirée est rouge » est égale à $0,4$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_R(U)&=\dfrac{P(U\cap R)}{P(R)}\\
&=\dfrac{0,6\times \dfrac{1}{3}}{0,4}\\
&=0,5\end{align*}$
La probabilité que la boule ait été tirée dans l’urne U sachant qu’elle est rouge est égale à $0,5$.
$\quad$
a. On obtient la loi de probabilité suivante:
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
g_i&2&-1\\
\hline
P\left(G=g_i\right)&0,4&0,6\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. L’espérance mathématique de $G$ est :
$\begin{align*} E(G)&=2\times 0,4+(-1)\times 0,6\\
&=0,2\end{align*}$
En moyenne, un joueur gagne $0,2$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Maxime participe à un jeu qui se déroule en deux parties :

La probabilité qu’il gagne la première partie est de $0,2$.
S’il gagne la première partie, il gagne la deuxième avec une probabilité de $0,9$.
S’il perd la première partie, il perd la suivante avec une probabilité de $0,6$.

On note :

$G_1$ l’événement « Maxime gagne la première partie »
$G_2$ l’événement « Maxime gagne la seconde partie »

Partie A

Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
$\quad$
Calculer la probabilité que Maxime gagne les deux parties du jeu.
$\quad$
Montrer que la probabilité que Maxime gagne la deuxième partie du jeu est $0,5$.
$\quad$

Partie B

On sait de plus que :

-à chaque partie gagnée, le joueur gagne $1,5$ €.
à chaque partie perdue, il perd $1$ €.

On note $X$ la variable aléatoire qui correspond au gain algébrique en euros de Maxime à l’issue des deux parties.

Recopier sur la copie et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeurs de $X$}&&&3&\text{Total}\\
\hline
\text{Probabilité}&\phantom{0,18}&\phantom{0,18}&0,18&\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
Déterminer si ce jeu est équitable. Justifier.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
La probabilité que Maxime gagne les deux parties du jeu est :
$\begin{align*} P\left(G_1\cap G_2\right)&=P\left(G_1\right)\times P_{G_1}\left(G_2\right) \\
&=0,2\times 0,9\\
&=0,18\end{align*}$
$\quad$
$G_1$ et $\conj{G_1}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P\left(G_2\right)&=P\left(G_1\cap G_2\right)+P\left(\conj{G_1}\cap G_2\right) \\
&=0,18+0,8\times 0,4\\
&=0,5\end{align*}$
La probabilité que Maxime gagne la deuxième partie du jeu est $0,5$.
$\quad$

Partie B

On obtient :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeurs de $X$}&-2&0,5&3&\text{Total}\\
\hline
\text{Probabilité}&0,48&0,34&0,18&1\\
\hline
\end{array}$
En effet :
– $P(X=-2)=0,8\times 0,6=0,48$
– $P(X=0,5)=1-(0,48+0,18)=0,34$
$\quad$
L’espérance de la variable $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=-2\times 0,48+0,5\times 0,34+3\times 0,18 \\
&=-0,25\end{align*}$
Par conséquent $E(X)\neq 0$. Le jeu n’est donc pas équitable.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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