E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Calculer la masse correspondant à $\dfrac{2}{3}$ de $240$ grammes.
$\quad$

Correction Question 1

$\dfrac{2}{3} \times 240 = 2\times 80=160$.
Cela correspond donc à $160$ g.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Compléter : « augmenter de $0,3 \%$ revient à multiplier par …… »
$\quad$

Correction Question 2

Cela revient à multiplier par $1+\dfrac{0,3}{100}=1,003$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Compléter : « diminuer de …… $\%$ revient à multiplier par $0,86$ »
$\quad$

Correction Question 3

$0,86=1-0,14$
Donc « diminuer de $14\%$ revient à multiplier par $0,86$ »
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Des mesures annuelles ont été relevées dans le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{années}&2015&2016&2017\\
\hline
\text{mesures}&&5,00&4,00\\
\hline
\end{array}$$
a. Déterminer le taux d’évolution des mesures entre 2016 et 2017.
$\quad$

Correction Question 4.a.

On a $\dfrac{4,00-5,00}{5,00}=-0,2$
Il s’agit donc d’une baisse de $20\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
b. Sachant que le taux de 2015 à 2016 est $+25 \%$, calculer la mesure en 2015.
$\quad$

Correction Question 4.b.

On appelle $x$ la mesure en 2015.
On a donc $x\left(1+\dfrac{25}{100}\right)=5,00$
Soit $1,25x=5,00$ et par conséquent $x=\dfrac{5,00}{1,25}=4,00$
$\quad$.

[collapse]

$\quad$

$\quad$
Déterminer le taux global d’une hausse de $10 \%$ suivie d’une baisse de $20 \%$.
$\quad$

Correction Question 5

Le coefficient multiplicateur global est :
$\begin{align*} m&=\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\left(1-\dfrac{20}{100}\right) \\
&=1,1\times 0,8 \\
&=0,88\\
&=1-0,12\end{align*}$
Il s’agit donc d’une baisse de $12\%$ soit un taux globale de $-12\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre $2x-(2-x)=7$.
$\quad$

Correction Question 6

$2x-(2-x)=7\ssi 2x-2+x=7 \ssi 3x=9\ssi x=3$
La solution de l’équation est $3$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre $(x+3)^2-8=0$.
$\quad$

Correction Question 7

$(x+3)^2-8=0 \ssi x^2+6x+9-8=0\ssi
x^2+6x+1=0$
Le discriminant est $\Delta=36-4=32>0$
Les solutions sont donc $\dfrac{-6-\sqrt{32}}{2}$ et $\dfrac{-6+\sqrt{32}}{2}$.
$\quad$
Autre méthode
$(x+3)^2-8=0 \ssi (x+3)^2=8 \ssi x+3=\sqrt{8}$ ou $x+3=-\sqrt{8}$ $\ssi x=-3+\sqrt{8}$ ou $x=-3-\sqrt{8}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Etudier le signe de $f(x)=4+3x$.
$\quad$

Correction Question 8

$4+3x=0 \ssi 3x=-4 \ssi x=-\dfrac{4}{3}$
$4+3x>0 \ssi 3x>-4 \ssi x>-\dfrac{4}{3}$
Ainsi :
– sur $\left]-\infty;-\dfrac{4}{3}\right[$ on a $f(x)<0$;
– $f\left(-\dfrac{4}{3}\right)=0$;
– sur $\left]-\dfrac{4}{3};+\infty\right[$ on a $f(x)>0$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Etudier le signe de $h(x)=2x(5-2x)$.
$\quad$

Correction Question 9

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
$2x=0 \ssi x=0$
$5-2x=0 \ssi -2x=-5 \ssi x=\dfrac{5}{2}$
De plus $h(x)=10x-4x^2$
$h$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=-4<0$.
Par conséquent :
– sur $]-\infty;0[\cup\left]\dfrac{5}{2};+\infty\right[$ on a $h(x)<0$;
– $h(0)=0$ et $h\left(\dfrac{5}{2}\right)=0$;
– sur $\left]0;\dfrac{5}{2}\right[$ on a $h(x)>0$.
$\quad$
Remarque : On pouvait également réaliser un tableau de signes pour répondre à la question.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise fabrique et commercialise des trottinettes. La capacité maximale de production de l’entreprise est de $21$ trottinettes.
Le coût total de fabrication (en euros) de $x$ trottinettes est modélisé par la fonction $C$ définie par : $$C(x) = 2x^3-50x^2+452x$$
Le prix de vente est de $200$ € par trottinette.

Calculer, pour $12$ objets fabriqués et vendus, le coût de fabrication, la recette et le bénéfice.
$\quad$
On note $R(x)$ et $B(x)$ la recette et le bénéfice pour $x$ trottinettes vendues.
a. Exprimer $R(x)$.
$\quad$
b. Montrer que le bénéfice réalisé pour $x$ trottinettes vendues est : $$B(x)=-2x^3+50x^2-252x$$
$\quad$
a. Montrer que $B(x)=-2x(x-7)(x-18)$.
$\quad$
b. Étudier le signe de $B(x)$ sur l’intervalle $[0 ; 21]$ et interpréter le signe de $B(x)$ dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Le coût de fabrication est $C(12)=1~680$ €.
La recette est $200\times 12 = 2~400$ €.
Le bénéfice est $2~400-1~680=720$ €
$\quad$
a. On a $R(x)=200x$.
$\quad$
b. Le bénéfice réalisé pour $x$ trottinettes vendues est :
$\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x)\\
&=200x-\left(2x^3-50x^2+452x\right) \\
&=200x-2x^3+50x^2-452x\\
&=-2x^3+50x^2-252x\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} -2x(x-7)(x-18)&=-2x\left(x^2-18x-7x+126\right) \\
&=-2x\left(x^2-25x+126\right)\\
&=-2x^3+50x^2-252x\\
&=B(x)\end{align*}$
$\quad$
b. $2x=0 \ssi x=0$ et $2x>0 \ssi x>0$
$x-7=0\ssi x=7$ et $x-7>0\ssi x>7$
$x-18=0\ssi x=18$ et $x-18>0 \ssi x>18$
On obtient alors le tableau de signes suivant :L’entreprise réalise donc un bénéfice si elle produit et vend entre $7$ et $18$ trottinettes.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Calculer $\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{2}$. Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*}\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{2}&=\dfrac{8}{10}+\dfrac{5}{10} \\
&=\dfrac{13}{10}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Compléter avec les exposants qui conviennent :
$$2^3\times 10^5=2^{\ldots}\times 5^{\ldots}$$
$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} 2^3\times 10^5&=2^3\times (2\times 5)^5 \\
&=2^{3+5}\times 5^5 \\
&=2^8\times 5^5\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Compléter :
Augmenter de $3\%$ revient à multiplier par $\ldots\ldots$.
$\quad$

Correction Question 3

$1+\dfrac{3}{100}=1,03$
Augmenter de $3\%$ revient à multiplier par $1,03$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Une table coûte $289$ €. Quel est son prix après une remise de $20 \%$ ?
$\quad$

Correction Question 4

Montant de la remise : $289\times \dfrac{20}{100}=57,8$
Nouveau prix : $289-57,8=231,2$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un canapé coûte $405,30$ € après une remise de $30 \%$. Quel était son prix avant la remise ?
$\quad$

Correction Question 5

On appelle $P$ le prix avant remise.
On a donc :
$\begin{align*} P\times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=405,30&\ssi 0,7P=405,30 \\
&\ssi P=\dfrac{405,3}{0,7}\\
&\ssi P=579\end{align*}$
Le canapé coûtait $579$ € avant la remise.
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Comparer $0,75$ et $\dfrac{3}{5}$.
$\quad$

Correction Question 6

$\dfrac{3}{5}=0,6<0,75$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’équation $x^2=2$.
$\quad$

Correction Question 7

$x^2=2\ssi x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}$
Les solutions de l’équation sont donc $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Compléter le tableau de signes de $(2-x)(3x+1)$.

$\quad$

Correction Question 8

$2-x=0 \ssi x=2$ et $2-x>0 \ssi x<2$
$3x+1=0\ssi 3x=-1 \ssi x=-\dfrac{1}{3}$ et $3x+1>0\ssi 3x>-1\ssi x>-\dfrac{1}{3}$
On obtient donc le tableau de signes suivant :
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la droite passant par les points $A(1 ; 3)$ et $B(5 ; 5)$.
$\quad$

Correction Question 9

$A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. L’équation réduite de $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
$a=\dfrac{5-3}{5-1}=\dfrac{1}{2}$
Une équation de $(AB)$ est donc de la forme $y=\dfrac{1}{2}x+b$.
$A(1;3)$ appartient à la droite $(AB)$.
Ainsi $3=\dfrac{1}{2}\times 1+b \ssi b=\dfrac{5}{2}$
L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Factoriser l’expression : $(x-5)(x+1)-3(x-5)$.
$\quad$

Correction Question 10

$\begin{align*} (x-5)(x+1)-3(x-5)&=(x-5)\left[(x+1)-3\right] \\
&=(x-5)(x+1-3)\\
&=(x-5)(x-2)\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

L’entreprise SAVEUR fabrique et commercialise de l’extrait de parfum. Elle est en capacité d’en produire jusqu’à $34$ hectolitres par mois. On suppose que toute la production est
vendue.

On modélise le coût de production mensuel, en centaines d’euros, de $x$ hectolitres d’extrait de parfum par la fonction $C$ définie par $C(x)=2x^2+12x+240$, où $x\in[0;34]$.

Chaque hectolitre d’extrait de parfum est vendu $80$ centaines d’euros.

a. Calculer le coût de production mensuel et la recette réalisée par l’entreprise lorsqu’elle produit $6$ hectolitres d’extrait de parfum dans le mois.
$\quad$
b. L’entreprise réalise-t-elle un profit lorsqu’elle produit et vend $6$ hectolitres d’extrait de parfum par mois ?
$\quad$
Démontrer que le bénéfice, en centaines d’euros, pour la vente de $x$ hectolitres d’extrait de parfum, est donné par la fonction $B$ définie par : $B(x)=-2x^2+68x-240$.
$\quad$
Justifier que, pour tout réel $x\in[0;34], B(x)=(-2x+8)(x-30)$.
$\quad$
Etudier le signe de $B(x)$, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 34]$, et en déduire la quantité d’extrait de parfum à produire et à vendre pour que l’entreprise ne travaille pas à perte.
$\quad$
Déterminer le montant, en euros, du bénéfice maximal que peut réaliser l’entreprise en vendant cet extrait de parfum.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a $C(6)=384$
Le coût de production de $6$ hectolitres est de $38~400$ euros.
$6\times 80=480$.
La recette réalisée par l’entreprise est alors de $48~000$ euros.
$\quad$
b. La recette est supérieure aux coût quand l’entreprise produit et vend $6$ hectolitres d’extrait de parfum par mois. Elle réalise donc un bénéfice.
$\quad$
Le bénéfice réalisé pour la vente de $x$ hectolitres est :
$\begin{align*}B(x)&=80x-C(x)\\
&=80x-2x^2-12x-240\\
&=-2x^2+68x-240\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
Pour tout $x\in [0;34]$ on a :
$\begin{align*} (-2x+8)(x-30)&=-2x^2+60x+8x-240\\
&=-2x^2+68x-240\\
&=B(x)\end{align*}$
$\quad$
$B(x)$ est un polynôme du second degré dont les racines, d’après l’expression de la question précédente, sont $4$ et $30$. Son coefficient principal est $a=-2<0$.
Par conséquent :
– $B(x)>0$ sur $]4;30[$;
– $B(4)=B(30)=0$;
– $B(x)<0$ sur $[0;4[\cup]30;34]$.
L’entreprise doit donc produire et vendre entre $4$ et $30$ hectolitre d’extrait de parfum pour réaliser un bénéfice.
$\quad$
Le maximum de $B$ est atteint pour $x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{68}{4}=17$.
$B(17)=338$
Le bénéfice maximal que l’entreprise peut réaliser est donc égal à $33~800$ euros.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Le prix d’un objet est passé de $30$ euros à $36$ euros.
Calculer le taux d’évolution en pourcentage ?
$\quad$

Correction Question 1

$\dfrac{36-30}{30}=0,2$.
Le taux d’évolution est donc égal à $20\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Par combien faut-il multiplier une quantité positive pour que celle-ci diminue de $15\%$ ?
$\quad$

Correction Question 2

Le coefficient multiplicateur est $1-\dfrac{15}{100}=0,85$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Après une augmentation du prix de $10\%$, un article est vendu $44$ euros.
Quel était le prix de départ?
$\quad$

Correction Question 3

On appelle $P$ le prix de départ. On a donc :
$\begin{align*} P\times \left(1+\dfrac{10}{100}\right)=44&\ssi 1,1P=44 \\
&\ssi P=\dfrac{44}{1,1}\\
&\ssi P=40\end{align*}$
Le prix de départ était de $40$ euros.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’équation suivante : $2(x-3)-4=7x$.
$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} 2(x-3)-4=7x&\ssi 2x-6-4=7x\\
&\ssi -10=5x\\
&\ssi x=-2\end{align*}$
La solution de l’équation est $-2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’équation suivante $(x+1)^2=7$.
$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} (x+1)^2=7 &\ssi x+1=\sqrt{7} \text{ ou } x+1=-\sqrt{7}\\
&\ssi x=\sqrt{7}-1 \text{ ou } x=-\sqrt{7}-1\end{align*}$
Les solutions de l’équation sont $\sqrt{7}-1$ et $-\sqrt{7}-1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’inéquation $2(x-1) \pp -3x+8$.
$\quad$

Correction Question 6

$\begin{align*} 2(x-1) \pp -3x+8 &\ssi 2x-2 \pp -3x+8 \\
&\ssi 5x\pp 10 \\
&\ssi x\pp 2\end{align*}$
L’ensemble solution est $]-\infty;2]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la droite $\Delta$ représentée ci-dessous.

$\quad$

Correction Question 7

L’ordonnée à l’origine est $2$.
La droite passe par les points de coordonnées $(0;2)$ et $(1;-1)$.
Le coefficient directeur est donc :
$\begin{align*} a&=\dfrac{2-(-1)}{0-1}\\
&=-3\end{align*}$
Ainsi l’équation réduite de $\Delta$ est $y=-3x+2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Étudier le signe de l’expression $(10x-7)(-x+3)$ sur $\R$.
$\quad$

Correction Question 8

$10x-7=0 \ssi 10x=7 \ssi x=0,7$ et $10x-7>0 \ssi 10x>7\ssi x>0,7$.
$-x+3=0 \ssi x=3$ et $-x+3>0 \ssi x<3$
On obtient donc le tableau de signes suivant :

$\quad$

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$\quad$

Pour les questions 9 et 10, on considère la situation suivante :
Entre le 1$\ier$ et le 8 mars 2020, une agence bancaire a étudié nombre de paiements effectués par $500$ de ses clients en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire. Elle a obtenu le diagramme en barres ci-dessous.

Combien de clients ont effectué $28$ paiements en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire entre le 1$\ier$ et le 8 mars 2020 ?
$\quad$

Correction Question 9

D’après le graphique, $20$ clients ont effectué $28$ paiements « sans contact ».
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Combien de clients ont effectué au moins $30$ paiements en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire entre le 1$\ier$ et le 8 mars 2020 ?
$\quad$

Correction Question 10

$10+14+8=32$.
$32$ clients ont effectué au moins $30$ paiement en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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