solution-E3C2 – Spécialité maths – Vrai Faux – 2020

Vrai / Faux

E3C2 – 1ère

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse devra être justifiée.
Toute démarche de justification même non aboutie sera prise en compte.

  1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on donne les points :
    $$𝐴(2 ; -2) , \quad B(4 ; 0) ,\quad C(0 ; −5) ,\quad D(-7 ; 1)$$
    Affirmation 1 : Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
    Affirmation 2 : Une équation de la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ est : $$y = x- 5$$
    $\quad$
    Affirmation 3 : Une équation du cercle de centre $A$ passant par $B$ est : $$(x-2)^2+(y+2)^2=8$$
    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in]0;+\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{\e^x}{x}$$ On note $f’$ sa fonction dérivée.
    Affirmation 4 : $f'(1)=0$
    $\quad$
  3. On donne $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$
    Affirmation 5 : $\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)<0$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Affirmation 1 fausse

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{CD}\begin{pmatrix}-7\\6\end{pmatrix}$
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{CD}&=2\times (-7)+2\times 6\\
&=-2\\
&\neq 0\end{align*}$
Les vecteurs ne sont pas orthogonaux. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas perpendiculaires.

$\quad$

Affirmation 2 fausse

On appelle $d$ la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$
$\vect{AB}$ est un vecteur normal à droite $d$.
Une équation cartésienne de $d$ est donc de la forme $2x+2y+c=0$.
$C(0;-5)$ appartient à $d$ donc $0-10+c=0 \ssi c=10$.
Une équation cartésienne de $d$ est donc $2x+2y+10=0$ ou encore $x+y+5=0$
Par conséquent $y=-5-x$

$\quad$

Affirmation 3 vraie

$AB$ est un rayon de ce cercle. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$.
$\begin{align*} AB^2&=2^2+2^2\\
&=8\end{align*}$
Une équation du cercle de centre $A$ passant par $B$ est donc :
$(x-2)^2+\left(y-(-2)\right)^2=8$ soit $(x-2)^2+(y+2)^2=8$.

$\quad$

Affirmation 4 vraie

$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]0;+\infty[$.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x\times x-\e^x\times 1}{x^2} \\
&=\dfrac{(x-1)\e^x}{x^2}\end{align*}$
Par conséquent $f'(1)=0$

$\quad$

Affirmation 5 fausse

$\dfrac{2\pi}{5}\in ]0;\pi[$ donc $\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)>0$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise produit entre $1$ millier et $5$ milliers de pièces par jour. Le coût moyen de production d’une pièce, en milliers d’euros, pour $x$ milliers de pièces produites, est donné
par la fonction $f$ définie pour tout réel $x\in[1 ; 5]$ par : $$f(x)=\dfrac{0,5x^3-3x^2+x+16}{x}$$

  1. Calculer le coût moyen de production d’une pièce lorsque l’entreprise produit $2$ milliers de pièces.
    $\quad$
  2. On admet que de $f$ est dérivable sur $[1 ; 5]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    Montrer que pour tout réel $x\in [1; 5]$, $$f'(x)=\dfrac{x^3-3x^2-16}{x^2}$$
    $\quad$
  3. Vérifier que, pour tout réel $x$, $$x^3-3x^2-16=(x-4)\left(x^2+x+4\right)$$
    $\quad$
  4. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[1 ; 5]$.
    $\quad$
  5. Déterminer le nombre de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de production d’une pièce soit minimal, ainsi que la valeur de ce coût minimal.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} f(2)&=\dfrac{0,5\times 2^3-3\times 2^2+2+1}{2}\\
    &=5\end{align*}$
    Lorsque l’entreprise produit $2$ milliers de pièce le coût moyen de production d’une pièce est de $5~000$ euros.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x \in [1;5]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\left(0,5\times 3x^2-6x+1\right)x-\left(0,5x^3-3x^2+x+16\right)\times 1}{x^2}\\
    &=\dfrac{1,5x^3-6x^2+x-0,5x^3+3x^2-x-16}{x^2}\\
    &=\dfrac{x^3-3x^2-16}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*}&(x-4)\left(x^2+x+4\right)\\
    =~&x^3+x^2+4x-4x^2-4x-16\\
    =~&x^3-3x^2-16\end{align*}$
    $\quad$
  4. Ainsi pour tout réel $x\in[1;5]$ on a $f'(x)=\dfrac{(x-4)\left(x^2+x+4\right)}{x^2}$
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $(x-4)\left(x^2+x+4\right)$
    $x-4=0\ssi x=4$ et $x-4>0 \ssi x>4$
    Le discriminant de $x^2+x+4$ est :
    $\begin{align*} \Delta&=1^2-4\times 1\times 4\\
    &=-15\\
    &<0\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Par conséquent $x^2+x+4>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  5. D’après le tableau de variations la fonction $f$ atteint son minimum pour $x=4$ et $f(4)=1$
    Le coût de production d’une pièce est minimal quand elle fabrique $4~000$ pièces. Ce coût est alors de $1~000$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un QCM et comprend cinq questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée, mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Question 1

On donne ci-dessous la courbe représentative $C_f$ d’une fonction $f$.


Cette courbe a une tangente $T$ au point $A(-3 ; 3)$.
L’équation réduite de cette tangente est :

a. $y=\dfrac{1}{5}x-3,7$
b. $y=\dfrac{1}{5}x+18$
c. $y=5x+18$
d. $y=5x-3,7$

$\quad$

Correction Question 1

D’après le graphique, l’ordonnée à l’origine de la droite $T$ est $18$.
Cette droite passe par les points de coordonnées $(-3;3)$ et $(0;18)$.
Le coefficient directeur est donc :
$\begin{align*} a&=\dfrac{18-3}{0-(-3)}\\
&=5\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On reprend la fonction $f$ de la question précédente. La représentation graphique de sa fonction dérivée est :

$\quad$

Correction Question 2

D’après le graphique, la fonction $f$ est croissante sur les intervalles $]-\infty;-2]$ et $[2;+\infty[$ et décroissante sur l’intervalle $[-2;2]$.
$f'(x)$ est donc positif sur $]-\infty;-2]$ et $[2;+\infty[$ et négatif sur $[-2;2]$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

L’expression $\cos(x+\pi)+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ est égale à :

a. $-2\cos(x)$
b. $0$
c. $\cos(x)+\sin(x)$
d. $2\cos(x)$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \cos(x+\pi)+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)&=-\cos(x)+\cos(x)\\
&=0\end{align*}$

Réponse 0

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x^2+4x+6$.
Cette fonction est strictement positive sur l’intervalle :

a. $]-\infty;-1[\cup]3;+\infty[$
b. $]-1;3[$
c. $]-\infty;-3[\cup]1;+\infty[$
d. $]-3;1[$

$\quad$

Correction Question 4

Le discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=4^2-4\times (-2)\times 6\\
&=64\\
&>0\end{align*}$

Les racines sont donc :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{64}}{-4}\\
&=3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{64}}{-4}\\
&=-1\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=-2<0$.
Par conséquent $f(x)>0$ sur l’intervalle $]-1;3[$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=(2x-1)\e^x$.
La fonction dérivée de la fonction $h$ est définie sur $\R$ par :

a. $h'(x)=2\e^x$
b. $h'(x)=(2x+1)\e^x$
c. $h'(x)=(2x-1)\e^x$
d. $h'(x)=-\e^x$

$\quad$

Correction Question 5

La fonction $h $est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} h'(x)&=2\e^x +(2x-1)\e^x \\
&=(2+2x-1)\e^x\\
&=(2x+1)\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Une fonction du second degré $f$ a pour forme canonique valable pour tout réel $x$ : $f(x)=3(x+2)^2+5$.
Concernant son discriminant :

a. on peut dire qu’il est nul
b. on peut dire qu’il est strictement positif
c. on peut dire qu’il est strictement négatif
d. on ne peut rien dire sur son signe

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a donc $f(x)\pg 5$.
Donc l’équation $f(x)=0$ n’admet pas de solution réelle.
Son discriminant est donc strictement négatif.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Un vecteur directeur de la droite d’équation $2x+3y+5=0$ est :

a. $\vec{u}(2;3)$
b. $\vec{u}(-3;2)$
c. $\vec{u}(3;2)$
d. $\vec{u}(-2;3)$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur directeur d’une droite dont une équation cartésienne est $ax+by+c=0$ est $\vec{u}(-b;a)$.

Un vecteur directeur de la droite d’équation $2x+3y+5=0$ est $\vec{u}(-3;2)$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(3; -1)$, $B( 4 ; 2)$ et $C (1 ; 1)$.
Le produit scalaire $\vect{AB}.\vect{AC}$ est égal à :

a. $-4$
b. $2$
c. $4$
d. $8$

$\quad$

Correction Question 3

On a $\vec{AB}(1;3)$ et $\vec{AC}(-2;2)$.
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=1\times (-2)+3\times 2 \\
&=-2+6\\
&=4\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $g$ la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par $g(x)=(2x+1)\e^x$.
Pour tout réel $x$, $g'(x)$ est égal à :

a. $2\e^x$
b. $2x\e^x$
c. $(2x+2)\e^x$
d. $(2x+3)\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=2\e^x+(2x+1)\e^x \\
&=(2+2x+1)\e^x \\
&=(2x+3)\e^x\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Pour tout réel $x$, $\sin(x+\pi)$ est égal à :

a. $\cos x$
b. $\sin x$
c. $-\cos x$
d. $-\sin x$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ on a $\sin(x+\pi)=-\sin x$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On modélise la diffusion dans le sang d’un médicament de $1$ gramme par intraveineuse (fonction $f_1$, courbe représentative $\mathcal{C}_1$) ou par voie orale (fonction $f_2$, courbe représentative $\mathcal{C}_2$) pendant une durée de $10$ heures.
Plus précisément :

  • $f_1(t)$ modélise la proportion du médicament dans le sang à l’instant $t$, où $t$ est le temps en heure après injection par intraveineuse ;
  • $f-2(t)$ modélise la proportion du médicament dans le sang à l’instant $t$, où $t$ est le temps en heure après administration par voie orale.

Pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0 ; 10]$, on admet que $f_1(t)=\e^{-0,57t}$ et $f_2(t)=1,75t\e^{-t}$.
Les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ de $f_1$ et $f_2$ sont représentées ci-dessous.

  1. Injection par voie intraveineuse
    a. Déterminer le sens de variation de la fonction $f_1$.
    $\quad$
    b. Résoudre graphiquement $f_1(t) < 0,1$. Interpréter la réponse dans le contexte.
    $\quad$
  2. Administration par voie orale
    On note $f_2’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
    a. Montrer que, pour tout $t$ de $[0 ; 1]$, $f_2′(t)=1,75(1-t)\e^{-t}$
    $\quad$
    b. Construire le tableau de variations de la fonction $f_2$.
    $\quad$
    c. À quel instant 𝑡 la proportion de médicament dans le sang est-elle la plus élevée ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La fonction $f_1$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que composée de la fonction exponentielle et d’une fonction affine.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;10]$ on a : $f_1′(t)=-0,57\e^{-0,57t}$
    Ainsi $f'(t)<0$ sur $[0;10]$.
    La fonction $f_1$ est donc strictement décroissante sur $[0;10]$.
    $\quad$
    b. Graphiquement $f_1(t)<0,1$ si $t$ appartient à l’intervalle $]4;10]$ (valeur approchée pour $4$).
    La proportion de médicament est inférieure à $0,1$ à partir de $4$ heures.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f_2$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel de l’intervalle $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} f_2′(t)&=1,75\e^{-t}+1,75t\times \left(-\e^{-t}\right)\\
    &=1,75(1-t)\e^{-t}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f_2′(t)$ ne dépend donc que de celui de $1-t$.
    $1-t=0\ssi t=1$ et $1-t>0\ssi t<1$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. La proportion de médicament dans le sang est la plus élevée au bout d’une heure.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2-2,5x+1\right)\e^x$
.

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    a. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=\left(x^2-0,5x-1,5\right)\e^x$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative dans un repère et $\mathcal{T}$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ au point $A$ d’abscisse $0$.
    a. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{C}_f$.
    $\quad$
    b. On admet que la tangente $\mathcal{T}$ recoupe la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $P$ d’abscisse $a$ strictement positive. A l’aide de votre calculatrice, donner un encadrement de $a$ au dixième près.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=(2x-2,5)\e^x+\left(x^2-2,5x+1\right)\e^x\\
    &=\left(2x-2,5+x^2-2,5x+1\right)\e^x\\
    &=\left(x^2-0,5x-1,5\right)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2-0,5x-1,5$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=(-0,5)^2-4\times 1\times (-1,5)\\
    &=6,25\\
    &>0\end{align*}$
    Il possède deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{0,5-\sqrt{6,25}}{2}\\
    &=-1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{0,5+\sqrt{6,25}}{2}\\
    &=1,5\end{align*}$
    Ainsi :
    $\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]-\infty;-1[\cup]1,5;+\infty[$
    $\bullet$ $f'(-1)=f'(1,5)=0$
    $\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]-1;1,5[$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;-1]\cup[1,5;+\infty[$ et strictement décroissante sur $[-1;1,5]$.
    $\quad$
  2. a. Une équation de $\mathcal{T}$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    $f(0)=1$ et $f'(0)=-1,5$.
    Une équation de la droite $\mathcal{T}$ est donc $y=-1,5x+1$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $a\approx 1,8$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, $\e^{2x}+\e^{4x}$ est égal à

a. $\e^{6x}$
b. $\e^{2x}\left(1+\e^2\right)$
c. $\e^{3x}\left(\e^x+\e^{-x}\right)$
d. $\e^{8x^2}$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} e^{2x}+\e^{4x}&=\e^{2x}\times 1+\e^{2x}\times \e^{2x}\\
&=\e^{2x}\left(1+\e^{2x}\right)\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans le plan muni d’un repère $\Oij$, on considère les vecteurs $\vec{u}(-5;2)$ et $\vec{v}(4;10)$ et la droite $(d)$ d’équation : $5x+2y+3=0$.

a. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires
b. $\vec{u}$ est un vecteur normal à la droite $(d)$
c. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
d. $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=-5\times 4+2\times 10\\
&=0\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

Question 3

La dérivée $f’$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(2x-1)\e^{-x}$ est :

a. $2x\e^{-x}$
b. $-2x\e^{-x}$
c. $(-2x+3)\e^{-x}$
d. $2\e^{-x}+(2x-1)\e^{-x}$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-x}+(2x-1)\times \left(-\e^{-x}\right)\\
&=(2-2x+1)\e^{-x}\\
&=(3-2x)\e^{-x}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Pour tout réel $x$, on a $\sin(\pi+x)=$

a. $-\sin(x)$
b. $\cos(x)$
c. $\sin(x)$
d. $-\cos(x)$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ $\sin(\pi+x)=-\sin(x)$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
La tangente à la courbe au point $A$ est la droite $T$.

a. $f'(0)=3$
b. $f'(0)=\dfrac{1}{5}$
c. $f'(0)=5$
d. $f'(0)=-5$

$\quad$

Correction Question 5

$f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $T$.
Cette droite passe par les points de coordonnées $(0;3)$ et $(1;-2)$.
Donc :
$\begin{align*} f'(0)&=\dfrac{-2-3}{1-0}\\
&=-5\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Dans un repère orthonormé, on considère la parabole $P$ d’équation $y=2x^2+4x-11$, de sommet $S$ et d’axe de symétrie la droite $\boldsymbol{D}$ . Quelle est la bonne proposition ?

a. $S(-4;5)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $y=5$.
b. $S(-1;-17)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $x=-1$.
c. $S(-1;-13)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $x=-1$.
d. $S(-1;-13)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $y=-1$.

$\quad$

Correction Question 1

L’abscisse du sommet est :
$\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a}\\
&=-\dfrac{4}{4}\\
&=-1\end{align*}$
Son ordonnée est $y_S=f(-1)=-13$.
Une équation de l’axe de symétrie est $x=-1$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Une expérience aléatoire met en jeu des événements $A$ et $B$ et leurs événements contraires $\conj{A}$ et $\conj{B}$. L’arbre pondéré ci-dessous traduit certaines données de cette expérience aléatoire.

On a alors :

a. $P(B)=0,5$
b. $P(A\cap B)=0,9$
c. $P_A(B)=0,18$
d. $P_B(A)=\dfrac{9}{13}$

$\quad$

Correction Question 2

$A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right)\\
&=0,6\times 0,3+0,4\times 0,2\\
&=0,26\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} P_B(A)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\\
&=\dfrac{0,6\times 0,3}{0,26}\\
&=\dfrac{9}{13}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère le nombre réel $a=\dfrac{18\pi}{5}$.
Un des nombres réels suivants a le même point image que le nombre réel $a$ sur le cercle trigonométrique. Lequel ?

a. $\dfrac{3\pi}{5}$
b. $\dfrac{63\pi}{5}$
c. $\dfrac{-12\pi}{5}$
d. $\dfrac{-3\pi}{5}$

$\quad$

Correction Question 3

Deux nombres $a$ et $b$ ont le même point image sur le cercle trigonométrique si, et seulement si, $a-b=2k\pi$ avec $k\in \Z$.

$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{3\pi}{5}=3\pi$
$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{63\pi}{5}=-9\pi$
$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{-12\pi}{5}=6\pi \checkmark$
$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{-3\pi}{5}=4,2\pi$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^x$.
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$. On a alors :

a. $f'(x)=\e^x$
b. $f'(x)=(1+x)\e^x$
c. $f'(x)=x\e^x$
d. $f'(x)=2x\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\e^x+x\e^x \\
&=(1+x)\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Parmi les relations suivantes, quelle est celle qui permet de définir une suite géométrique de terme général $u_n$?

a. $u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2}$
b. $u_n=u_{n-1}+2$
c. $u_n=2{u_{n-1}}^2$
d. $u_n=2u_{n-1}+10$

$\quad$

Correction Question 5

Il faut obtenir une relation de la forme $u_n=qu_{n-1}$ pour tout $n\in \N^*$

Or $u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2} \ssi u_n=\dfrac{1}{2}u_{n-1}$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+3x^2+3x-63$.
On appelle $\boldsymbol{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

  1. Déterminer $f'(x)$.
    $\quad$
  2. Etudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  4. Justifier que la tangente à la courbe $\boldsymbol{C}$ au point d’abscisse $-1$ est la droite $\boldsymbol{D}$ d’équation $y=-64$.
    $\quad$
  5. Déterminer en quels points de la courbe $\boldsymbol{C}$ la tangente à la courbe est parallèle à la droite d’équation $y=3x-100$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La fonction $f$ est dérivables sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2+3\times 2x+3\\
    &=3x^2+6x+3\end{align*}$
    $\quad$
  2. $f'(x)=3x^2+6x+3$ est un polynôme du second degré.
    On peut calculer son discriminant.
    Mais on peut aussi remarquer que :
    $\begin{align*} f'(x)&=3\left(x^2+2x+1\right)\\
    &=3(x+1)^2\end{align*}$
    Par conséquent $f'(x)\pg 0$ sur $\R$ et $f'(x)=0 \ssi x=-1$
    $\quad$
  3. On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. Une équation de la droite $\boldsymbol{D}$ est de la forme $y=f'(-1)\left(x-(-1)\right)+f(1)$
    Or $f'(-1)=0$ et $f(1)=-64$.
    Ainsi une équation de $\boldsymbol{D}$ est $y=-64$.
    $\quad$
  5. Le coefficient directeur de la droite d’équation $y=3x-100$ est $3$.
    On veut donc résoudre l’équation :
    $\begin{align*} f'(x)=3&\ssi 3(x+1)^2=3 \\
    &\ssi (x+1)^2=1\\
    &\ssi x+1=1 \text{  ou  } x+1=-1\\
    &\ssi x=0\text{  ou } x=-2\end{align*}$
    Seules les tangentes à la courbe $\boldsymbol{C}$ au point d’abscisse $0$ et $-2$ sont donc parallèles à la droite d’équation $y=3x-100$.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également résoudre une équation du second degré en utilisant le discriminant.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse
choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1.

a. Si le discriminant d’un polynôme du second degré est strictement positif, alors ce polynôme admet $2$ racines positives.
b. Si le discriminant d’un polynôme du second degré est strictement négatif, alors ce polynôme admet $2$ racines négatives.
c. Si un polynôme du second degré est toujours strictement positif, alors ce
polynôme n’admet pas de racine.
d. Si le discriminant d’un polynôme du second degré est nul, alors ce polynôme admet le nombre $0$ pour racine.

$\quad$

Correction Question 1

Si le discriminant est strictement positif alors le polynôme possède $2$ racines (mais pas nécessairement positives).
Si le discriminant est strictement négatif alors le polynôme n’admet pas de racines réelles.
Si le discriminant est nul alors le polynôme ne possède qu’une seule racine (qui n’est pas nécessairement $0$).

Si un polynôme du second degré est toujours strictement positif, alors ce
polynôme n’admet pas de racine.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

a. L’équation $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ admet $2$ solutions dans
l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.
b. L’équation $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ admet $1$ solutions dans
l’intervalle $[0;\pi[$.
c. L’équation $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ admet $1$ solutions dans
l’intervalle $[0;\pi[$.
d. L’équation $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ admet $2$ solutions dans
l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.

$\quad$

Correction Question 2

Sur l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ on a $\cos x\pg 0$.
Sur l’intervalle $[0;\pi[$ on a $\sin x\pg 0$

$\cos \dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$ appartient à l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

La courbe représentative d’une fonction $f$, définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels, est donnée ci-dessous avec ses tangentes, aux points $A$
et $B$ d’abscisses respectives $2$ et $4$. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.

a. $f(0)=1$
b. $f'(2)=1$
c. $f'(2)=-2$
d. $f'(4)=0,5$

$\quad$

Correction Question 3

$f(0) \approx -3$.
$f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A$. Donc $f'(2)=1$ (graphiquement).
$f'(4)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $B$. Donc $f'(4)<0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $g$ définie sur l’ensemble des nombres réels $\R$ par :
$g(x)=x^3-0,0012x+1$

a. $g$ est strictement croissante sur $\R$.
b. $g$ est croissante sur $\R$.
c. $g$ est constante sur l’intervalle $[-0,02 ; 0,02]$.
d. $g$ est décroissante sur l’intervalle $[-0,02 ; 0,02]$.

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=3x^2-0,0012$.
$g'(x)\pp 0 \ssi 3x^2-0,0012\pp 0 \ssi x^2\pp 0,0004 \ssi x\in[-0,02;0,02]$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

a. L’équation $\left(\e^x\right)^2$ admet deux solutions dans $\R$.
b. L’ensemble de définition de la fonction exponentielle est $]0;+\infty[$.
c. La fonction dérivée de la fonction $x\mapsto \e^{-x}$ est la fonction $x\mapsto \e^{-x}$.
d. L’ensemble de définition de la fonction exponentielle est $\R$.

$\quad$

Correction Question 5

La fonction exponentielle est définie sur $\R$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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