E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\e^x}{1+x}$.
On note $C_f$ la représentation graphique de $f$ dans un repère du plan.

  1. Déterminer les coordonnées du point $A$, point d’intersection de la courbe $C_f$ avec l’axe des ordonnées.
    $\quad$
  2. La courbe $C_f$ coupe-t-elle l’axe des abscisses ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. On note $f’$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;+\infty[$, $f'(x)=\dfrac{x\e^x}{(1+x)^2}$.
    $\quad$
  4. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0; +\infty[$. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0; +\infty[$.
    $\quad$
  5. On note $T$ la tangente à $C_f$ au point $A$ d’abscisse $1,6$. La tangente $T$ passe-telle par l’origine du repère ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. L’abscisse du point $A$ est $0$.
    $\begin{align*} f(0)&=\dfrac{e^0}{1+0} \\
    &=\dfrac{1}{1}\\
    &=1\end{align*}$
    Le point $A$ a donc pour coordonnées $(0;1)$.
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Et pour tout réel $x\pg 0$ on a $1+x>0$.
    Par conséquent $f(x)>0$.
    La courbe $\mathscr{C_f}$ ne coupe donc pas l’axe des abscisses.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;+\infty[$.
    Ainsi, pour tout réel $x \pg 0$ :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x(1+x)-1\times \e^x}{(1+x)^2} \\
    &=\dfrac{(1+x-1)\e^x}{(1+x)^2} \\
    &=\dfrac{x\e^x}{(1+x)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  4. Sur $[0;+\infty[$ on a $x\pg 0$, $\e^x>0$ et $1+x>0$
    Donc $f'(x)\pg 0$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  5. Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(1,6)(x-1,6)+f(1,6)$
    Or $f(1,6)=\dfrac{\e^{1,6}}{2,6}$ et $f'(1,6)=\dfrac{1,6\e^{1,6}}{2,6^2}$
    Ainsi une équation de $T$ est $y=\dfrac{1,6\e^{1,6}}{2,6^2}(x-1,6)+\dfrac{\e^{1,6}}{2,6}$
    Soit $y=\dfrac{1,6\e^{1,6}}{2,6^2}x+\dfrac{0,04\e^{1,6}}{6,76}$
    L’ordonnée à l’origine de la droite $T$ n’est donc pas nulle.
    La droite $T$ ne passe par conséquent pas par l’origine du repère.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique des pièces en acier, toutes identiques, pour l’industrie aéronautique.
Ces pièces sont coulées dans des moules à la sortie du four. Elles sont stockées dans un entrepôt dont la température ambiante est maintenue à $25$°C.
Ces pièces peuvent être modelées dès que leur température devient inférieure ou égale à $600$°C et on peut les travailler tant que leur température reste supérieure ou égale à $500$°C.
La température de ces pièces varie en fonction du temps.
On admet que la température en degré Celsius de ces pièces peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par : $$f(t)=1é375\e^{-0,075t}+25~,$$ où $t$ correspond au temps, exprimé en heures, mesuré après la sortie du four.

  1. Calculer la température des pièces à la sortie du four.
    $\quad$
  2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$. Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l’exercice ?
    $\quad$
  3. Les pièces peuvent-elles être modelées $10$ heures après la sortie du four ? Après $14$ heures ?
    $\quad$
  4. On souhaite déterminer le temps minimum d’attente en heures après la sortie du four avant de pouvoir modeler les pièces.
    a. Compléter l’algorithme donné en annexe, qui est à rendre avec la copie, pour qu’il renvoie ce temps minimum d’attente en heure (arrondi par excès à $0,1$ près).
    $\quad$
    b. Déterminer ce temps minimum d’attente. On arrondira au dixième.
    $\quad$

Annexe

$$\begin{array}{l}
\text{from math import}\\
\text{def f(t):}\\
\hspace{1cm}\text{return 1375*exp(-0,075*t)+25}\\\\
\text{def seuil():}\\
\hspace{1cm} \text{t = }\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} \text{temperature = }\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} \text{while température > }\ldots\ldots :\\
\hspace{2cm} \text{t=t+0.1}\\
\hspace{2cm} \text{temperature =}\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} \text{return t}\end{array}$$

L’énoncé original contenait une erreur dans la boucle while. Elle est corrigée ici.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*} f(0)&=1~375\e^0+25 \\
    &=1~375+25\\
    &=1~400\end{align*}$
    La température des pièces à la sortie du four est de $1~400$ €.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables sur $[0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=1~375 \times (-0,075)\e^{-0,075t} \\
    &=-103,125\e^{-0,075t}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Donc $f'(t)<0$ pour tout réel $x\pg 0$.
    Ainsi la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    Une fois sortie du four, la température de la pièce en acier baisse. Le résultat précédent était donc prévisible.
    $\quad$
  3. On a $f(10)\approx 675,5 > 600$
    Les pièces ne peuvent pas être modelées $10$h après la sortie du four.
    $f(14)\approx 506,2 \in[500;600]$
    Les pièces peuvent être modelées $14$h après la sortie du four.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{l}
    \text{from math import}\\
    \text{def f(t):}\\
    \hspace{1cm}\text{return 1375*exp(-0,075*t)+25}\\\\
    \text{def seuil():}\\
    \hspace{1cm} \text{t = t+0.1 }\\
    \hspace{1cm} \text{temperature = f(t)}\\
    \hspace{1cm} \text{while température > 600 :} \\
    \hspace{2cm} \text{t=t+0.1}\\
    \hspace{2cm} \text{temperature = f(t)}\\
    \hspace{1cm} \text{return t}\end{array}$$
    $\quad$
    b. On a $f(11,6)\approx 601,1$ et $f(11,7) \approx 596,8$
    Il faut donc attendre environ $11,7$ heures pour pouvoir modeler les pièces.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM) comportant cinq questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6$, $AC=3$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$.

a. $\vect{AB}.\vect{AC}=9$
b. $\vect{AB}.\vect{AC}=18$
c. $\vect{AB}.\vect{AC}=9\sqrt{3}$
d. les données sont insuffisantes pour calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$

$\quad$

Correction Question 1

On a :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=6\times 3 \times \cos \dfrac{\pi}{3} \\
&=18\times \dfrac{1}{2} \\
&=9\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Soit $f$ une fonction telle que, pour tout nombre réel $h$ non nul, $$\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=h^2+3h-1$$
Alors $f'(1)$ est égal à :

a. $h^2+3h-1$
b. $-1$
c. $3$
d. les données sont insuffisantes pour calculer $f'(1)$

$\quad$

Correction Question 2

$f'(1)$ est égale à, si elle existe, $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$.
Or
$\begin{align*} \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}&=\lim\limits_{h\to 0} h^2+3h-1\\&=-1\end{align*}$

Donc $f'(1)=-1$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(x+2)\e^x$.
Alors, la fonction $f’$ dérivée de $f$ est donnée sur $\R$ par :

a. $f'(x)=\e^x$
b. $f'(x)=(x+3)\e^x$
c. $f'(x)=(-x-1)\e^x$
d. $f'(x)=\dfrac{(-x-1)\e^x}{\e^{2x}}$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^x+(x+2)\times \e^x \\
&=(1+x+2)\e^x\\
&=(x+3)\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Soit $f$ une fonction telle que $f(2)=5$ et $f'(2)=-1$
Dans un repère, la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $2$ a pour équation :

a. $y=-x-3$
b. $y=-x+3$
c. $y=-x+7$
d. $y=5x-11$

$\quad$

Correction Question 4

Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(2)(x-2)+f(2)$
soit $y=-(x-2)+5$ ou encore $y=-x+7$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative $C_f$ dans un repère est la courbe ci-dessous.

La tangente à la courbe $C_f$ au point $A\left(1;\dfrac{4}{3}\right)$ passe par le point $B\left(0;-\dfrac{5}{3}\right)$.
Alors :

a. $f'(1)=\dfrac{1}{3}$
b. $f'(1)=\dfrac{4}{3}$
c. $f'(1)=-\dfrac{5}{3}$
d. $f'(1)=3$

$\quad$

Correction Question 5

$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente au point $A$.
Ainsi :
$\begin{align*} f'(1)&=\dfrac{-\dfrac{5}{3}-\dfrac{4}{3}}{0-1} \\
&=\dfrac{-3}{-1} \\
&=3\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend cinq questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre
réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans
réponse n’apporte, ni ne retire aucun point.

Question 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2+6x-8$.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $f(x)=2(x-4)(x+1)$
b. $f(x)=(2x+8)(2x-2)$
c. $f(x)=2(x+4)(x-1)$
d. $f(x)=2(x+3)(x-2)$

$\quad$

Correction Question 1

On a $f(x)=2\left(x^2+3x-4\right)$.
La somme des racines du polynômes du second degré vaut $-3$ et leur produit vaut $-4$.
On peut donc exclure les propositions a. et d.
Or :
$\begin{align*} 2(x+4)(x-1)&=2\left(x^2-x+4x-4\right)\\
&=2\left(x^2+3x-4\right) \\
&=f(x)\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Pour tout réel $x$, $\dfrac{\left(\e^x\right)^2}{\e^{-x}}$ est égal à :

a. $\e^{x^2+x}$
b. $\e^{3x}$
c. $\e^2$
d. $\e^{-2}$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} \dfrac{\left(\e^x\right)^2}{\e^{-x}}&=\dfrac{\e^{2x}}{\e^{-x}} \\
&=\e^{2x-(-x)}\\
&=\e^{3x}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans le plan muni d’un repère, soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\e^x$. L’équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$ est :

a. $y=-x-1$
b. $y=-x+1$
c. $y=x+1$
d. $y=x$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a $g'(x)=\e^x$.
Une équation de cette tangente est de la forme $y=g'(0)(x-0)+g(0)$.
$g'(0)=1$ et $g(0)=1$
Ainsi une équation de la tangente est $y=x+1$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(-x+1)\e^x$
On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste ?

a. $f'(x)=-x\e^x$
b. $f'(x)=(x-2)\e^x$
c. $f'(x)=(-x+2)\e^x$
d. $f'(x)=x\e^{-x}$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=-1\times \e^x+(-x+1)\times \e^x \\
&=(-1-x+1)\e^x\\
&=-x\e^x
\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on considère la courbe représentative d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

Parmi les propositions suivantes, laquelle n’est pas juste ?

a. $f'(-2)=0$
b. $f'(3)=-2$
c. $f(0)=3$
d. $f'(0)=-2$

$\quad$

Correction Question 5

La tangente à la courbe au point d’abscisse $2$ est parallèle à l’axe des abscisses. Donc $f'(-2)=0$.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est $-2$ donc $f'(0)=-2$.
On lit sur la courbe que $f(0)=3$.
Donc, par élimination, $f'(3)\neq -2$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-2 ; 2]$ par $f(x)=2x^3+2x^2-2x+3$ et $C$ sa représentation graphique dans le repère suivant.

  1. On considère la droite $d$ d’équation $y=2x+3$.
    a. Montrer que déterminer les abscisses des points d’intersection entre la droite $d$ et la courbe $C$ revient à résoudre l’équation $2x\left(x^2+x-2\right)$ sur l’intervalle $[-2 ; 2]$.
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection entre $d$ et $C$.
    $\quad$
  2. On considère la droite $d’$ d’équation $y=2x+a$ où $a$ est un nombre réel.
    À l’aide du graphique, donner une valeur de $a$ pour laquelle la droite $d’$ et la courbe $C$ ont un seul point d’intersection.
    $\quad$
  3. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    a. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-2 ; 2]$ , $f'(x)=6(x+1)\left(x-\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de $f$ sur l’intervalle $[-2 ; 2]$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On veut résoudre l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=2x+3&\ssi 2x^3+2x^2-2x+3=2x+3 \\
    &\ssi 2x^3+2x^2-4x=0 \\
    &\ssi 2x\left(x^2+x-2\right)=0\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $2x\left(x^2+x-2\right)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $2x=0$ ou $x^2+x-2=0$
    $2x=0 \ssi x=0$
    $\quad$
    Résolution de $x^2+x-2=0$
    $\begin{align*} \Delta &=1^2-4\times 1\times (-2) \\
    &=9\\
    &>0\end{align*}$
    L’équation possède alors deux solutions réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{2}\\
    &=-2\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{2}\\
    &=1\end{align*}$
    $\quad$
    Par conséquent l’équation $2x\left(x^2+x-2\right)=0$ possède trois solutions : $-2$, $0$ et $1$.
    Si $x=-2$ alors $y=2\times (-2)+3=-1$
    Si $x=0$ alors $y=3$
    Si $x=1$ alors $y=2\times 1+3=5$
    Ainsi les points d’intersection entre $d$ et $C$ ont pour coordonnées $(-2;-1)$, $(0;3)$ et $(1;5)$.
    $\quad$
  2. On peut par exemple prendre $a=8$.
    La droite d’équation $y=2x+8$ passe par les points de coordonnées $(-2;6)$ et $(0;8)$ et ne coupe la courbe $C$ qu’en un seul point (d’abscisse strictement positive).
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[-2;2]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[-2;2]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\times 3x^2+2\times 2x-2\\
    &=6x^2+4x-2\end{align*}$
    On a également :
    $\begin{align*} 6(x+1)\left(x-\dfrac{1}{3}\right)&=(x+1)(6x-2) \\
    &=6x^2-2x+6x-2\\
    &=6x^2+4x-2\\
    &=f'(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $f'(x)$ est un polynôme du second degré possédant donc deux racines $-1$ et $\dfrac{1}{3}$ et dont le coefficient principal est $a=6$.
    Ainsi :
    $f'(x)>0$ sur $[-2;-1[\cup\left]\dfrac{1}{3};2\right]$
    $f'(x)<0$ sur $\left]-1;\dfrac{1}{3}\right[$
    $f(-1)=f\left(\dfrac{1}{3}\right)=0$
    Par conséquent $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[-2;-1]$ et sur $\left[\dfrac{1}{3};2\right]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[-1;\dfrac{1}{3}\right]$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chacune des cinq questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse
n’apporte, ni ne retire de point.

Question 1

Soit $P$ une probabilité sur un univers $\Omega$ et $A$ et $B$ deux évènements indépendants tels que $P(A)= 0,5$ et $P(B) = 0,2$.
Alors $P(A\cup B)$ est égal à :

a. $0,1$
b. $0,7$
c. $0,6$
d. On ne peut pas savoir

$\quad$

Correction Question 1

$A$ et $B$ sont indépendants donc $P(A\cap B)=p(A)p(B)$.
Ainsi :
$\begin{align*} P(A\cup B)&=P(A)+p(B)-P(A\cap B)\\
&=P(A)+p(B)-P(A)P(B)\\
&=0,5+0,2-0,5\times 0,2\\
&=0,6\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

La valeur arrondie au centième de $1+1,2+1,2^2+1,2^3+\ldots+1,2^{10}$ est :

a. $3,27$
b. $25,96$
c. $26,96$
d. $32,15$

$\quad$

Correction Question 2

Il s’agit de la somme de termes d’une suite géométrique.
$\begin{align*} S&=1+1,2+1,2^2+1,2^3+\ldots+1,2^{10} \\
&=\dfrac{1-1,2^{11}}{1-1,2}\\
&\approx 32,15\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{\e^x}$.
Pour tout réel $x$, $f(x)$ est égal à :

a. $f(x)=\dfrac{\e^{-x}}{-x}$
b. $f(x)=x\e^{-x}$
c. $f(x)=-x\e^{-x}$
d. $f(x)=\dfrac{\e^{-x}}{x}$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f(x)&=\dfrac{x}{\e^x}\\
&=x\e^{-x}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=(2x-5)\e^x$. On admet que $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.
Alors pour tout réel $x$ , $g'(x)$ est égal à :

a. $(2x-3)\e^x$
b. $(-2x+7)\e^x$
c. $2\e^x$
d. $-5\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

On utilise la formule de dérivation d’un produit avec $u(x)=2x-5$ et $v(x)=\e^x$

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=2\e^x+(2x-5)\e^x\\
&=(2+2x-5)\e^x\\
&=(2x-3)\e^x\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Le nombre $\dfrac{\e^3\times \e^{-5}}{\e^2}$ est égal à :

a. $-1$
b. $\e^{-15/2}$
c. $\dfrac{1}{\e^4}$
d. $\dfrac{3\e^{-5}}{2}$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} \dfrac{\e^3\times \e^{-5}}{\e^2}&=\dfrac{\e^{3+(-5)}}{\e^2} \\
&=\dfrac{\e^{-2}}{\e^2}\\
&=\e^{-2-2}\\
&=\e^{-4}\\
&=\dfrac{1}{\e^4}\end{align*}$

Réponse c

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On donne ci-dessous les représentations graphiques respectives $C_f$ et $C_g$ de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ l’ensemble des nombres réels.

  1. La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+3x^2-9x-1$.
    On admet qu’elle est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. Calculer $f'(x)$.
    $\quad$
    b. Déterminer le signe de $f'(x)$ en fonction du réel $x$ . En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Déterminer une équation de la droite $T$ tangente à $C_f$ au point d’abscisse $-1$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ est une fonction polynôme du second degré, il existe donc trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que : $g(x)=ax^2+bx+c$ pour tout réel $x$ . On note $\Delta$ son discriminant.
    a. Déterminer, à l’aide du graphique, le signe de $a$ et le signe de $\Delta$.
    $\quad$
    b. La fonction $g$ est définie, pour tout réel $x$, par $g(x)=10x^2+8x+8$.
    Démontrer que les courbes $C_f$ et $C_g$ ont un point commun d’abscisse $-1$ et qu’en ce point elles ont la même tangente.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2+3\times 2x-9 \\
    &=3x^2+6x-9\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le discriminant de $3x^2+6x-9$ est :
    $\begin{align*} \Delta&=6^2-4\times 3\times (-9) \\
    &=144\\
    &>0\end{align*}$
    Le polynôme du second degré possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-6-\sqrt{144}}{6} \\
    &=-3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-6+\sqrt{144}}{6} \\
    &=1\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=3>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(-1)\left(x-(-1)\right)+f(1)$
    Or $f'(-1)=-12$ et $f(-1)=10$
    Une équation de $T$ est donc $y=-12(x+1)+10$ soit $y=-12x-2$
    $\quad$
  2. a. La parabole est strictement au-dessus de l’axe des abscisses donc $a>0$ et $\Delta<0$.
    $\quad$
    b. On a $g(-1)=10$ donc $g(-1)=f(-1)$.
    Les courbes $C_f$ et $C_g$ ont un point en commun.
    La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=20x+8$.
    $g'(-1)=-12$.
    La tangente à $C_g$ au point d’abscisse $-1$ a donc le même coefficient directeur que la droite $T$.
    Par conséquent les courbes $C_f$ et $C_g$ ont un point commun d’abscisse $-1$ et qu’en ce point elles ont la même tangente.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

La fonction f est définie sur $]-1; +\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}$$
On se place dans un repère orthonormé du plan.

  1. Démontrer que pour tout 𝑥 appartenant à l’intervalle $]-1; +\infty[$: $$f'(x)=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}$$
    $\quad$
  2. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $]-1; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
  4. Etudier la position relative de la courbe représentative de $f$ et de la droite d’équation $y=x$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]-1;+\infty[$ en tant que que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]-1;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>-1$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x(x+1)-\left(x^2+1\right)\times 1}{(x+1)^2} \\
    &=\dfrac{2x^2+2x-x^2-1}{(x+1)^2} \\
    &=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Un carré étant toujours positif, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2+2x-1$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
    $\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times 1\times (-1) \\
    &=8\\
    &>0\end{align*}$
    Il possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-2-\sqrt{8}}{2} \\
    &=-1-\sqrt{2}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{2} \\
    &=-1+\sqrt{2}\end{align*}$
    Son coefficient principal est $a=1>0$.
    Ainsi $x^2+2x-1$ est :
    – positif sur $\left]-\infty;-1-\sqrt{2}\right[\cup\left]-1+\sqrt{2};+\infty\right[$;
    – nul si $x\in \lbrace -1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\rbrace$
    – négatif sur $\left]-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\right[$
    Or $-1-\sqrt{2}<-1$.
    Ainsi $f$ est strictement décroissante sur $\left]-1;-1+\sqrt{2}\right]$ et strictement croissante sur $\left[-1+\sqrt{2};+\infty\right[$.
    $\quad$
  3. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    Or $f'(0)=-1$ et $f(0)=1$.
    Une équation de $T$ est donc $y=-x+1$.
    $\quad$
  4. On doit étudier le signe de
    $\begin{align*} f(x)-x&=\dfrac{x^2+1}{x+1}-x\\
    &=\dfrac{x^2+1-\left(x^2+x\right)}{x+1}\\
    &=\dfrac{1-x}{x+1}\end{align*}$
    Sur $]-1;+\infty[$ on a $x+1>0$
    Donc $f(x)-x$ est du signe de $1-x$.
    Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi x<1$
    Ainsi la courbe représentative de la fonction $f$ est au-dessus de la droite d’équation $y=x$ sur l’intervalle $]-1;1[$ et au-dessous sur l’intervalle $]1;+\infty[$.
    Si $x=1$ alors la courbe et la droite sont confondues.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Partie A

On considère la fonction polynôme du second degré $P$ définie sur $\R$ par : $$P(x)=x^2-7x+6$$

  1. Résoudre l’équation $P(x)=0$
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $P$ sur $\R$.
    $\quad$

Partie B
On considère la fonction polynôme du troisième degré $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=2x^3-21x^2+36x$$

  1. Calculer la dérivée $f’$ de $f$ et vérifier que $f'(x)=6P(x)$
    $\quad$
  2. Etudier les variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. On se place dans un repère du plan. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point $B$ d’abscisse $3$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

  1. Il s’agit d’une équation du second degré.
    $\begin{align*} \Delta&=(-7)^2-4\times 1\times 6 \\
    &=25\\
    &>0\end{align*}$
    L’équation possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{7-\sqrt{25}}{2}\\
    &=1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{7+\sqrt{25}}{2}\\
    &=6\end{align*}$
    $\quad$
  2. Le coefficient principal du polynôme du second degré $P$ est $a=1>0$.
    Par conséquent :
    – $P(x)<0$ sur $]1;6[$;
    – $P(1)=P(6)=0$
    – $P(x)>0$ sur $]-\infty;1[\cup]6;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\times 3x^2-21\times 2x+36\\
    &=6x^2-42x+36\\
    &=6\left(x^2-7x+6\right)\\
    &=6P(x)\end{align*}$
    $\quad$
  2. Ainsi, pour tout réel $x$, $f'(x)$ est du signe de $P(x)$.
    – la fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[1;6]$ et strictement croissante sur $]-\infty;1]\cup[6;+\infty[$.
    $\quad$
  3. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(3)(x-3)+f(3)$
    Or $f'(3)=-36$ et $f(3)=-27$
    Une équation de $T$ est donc $y=-36(x-3)-27$ soit $y=-36x+81$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=100$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n-\dfrac{13}{100}u_n$.
Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$?

a. géométrique de raison $1$
b. arithmétique de raison $-\dfrac{13}{100}$
c. géométrique de raison $^1$ et arithmétique de raison $-\dfrac{13}{100}$
d. géométrique de raison $0,87$

Correction Question 1

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=u_n-\dfrac{13}{100}u_n\\
&=0,87u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,87$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On considère la variable aléatoire $X$ qui prend les valeurs $x_i$ pour $i$ entier naturel allant de $1$ à $5$. La loi de probabilité incomplète de la variable aléatoire $X$ est donnée ci-dessous : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X=x_i&-6& -3& 0& 3& x_5\\
\hline
P\left(X=x_i\right)& 0,2& 0,1& 0,2& 0,4& 0,1\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance de la variable aléatoire $X$ est égale à $0,7$.
Quelle est la valeur $x_5$ prise par la variable aléatoire $X$?

a. $6$
b. $1$
c. $10$
d. $100$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} E(X)=0,7&\ssi -6\times 0,2-3\times 0,1+0+3\times 0,4+0,1x_5=0,7 \\
&\ssi-0,3+0,1x_5=0,7\\
&\ssi 0,1x_5=1 \\
&\ssi x_5=10\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction dérivable définie sur $\left]-\dfrac{7}{3};+\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{2x+3}{3x+7}$ et $f’$ sa fonction dérivée.

a. $f'(x)=\dfrac{2}{3}$
b. $f'(x)=\dfrac{23}{(3x+7)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{5}{(3x+7)^2}$
d. $f'(x)=\dfrac{5}{3x+7}$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x\in \left]-\dfrac{7}{3};+\infty\right[$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2(3x+7)-3(2x+3)}{(3x+7)^2} \\
&=\dfrac{6x+14-6x-9}{(3x+7)^2} \\
&=\dfrac{5}{(3x+7)^2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

De 2017 à 2018, le prix d’un article a augmenté de $10 \%$. En 2019, ce même article a retrouvé son prix de 2018. Quelle a été l’évolution du prix entre 2018 et 2019 ?

a. une baisse de $10 \%$
b. une baisse de plus de $10 \%$
c. on ne peut pas savoir
d. une baisse de moins de $10 \%$

$\quad$

Correction Question 4

On appelle $x$ le pourcentage de diminution appliqué au prix entre 2018 et 2019.
On a ainsi
$\begin{align*} \left(1+\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 &\ssi 1,01\left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 \\
&\ssi 1-\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{1,01}\\
&\ssi -\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{1,01}-1\\
&\ssi x=-100\left(\dfrac{1}{1,01}-1\right)\end{align*}$
Ainsi $x\approx 0,99$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=4$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=3u_n-5$. On souhaite qu’à la fin de l’exécution de l’algorithme, la valeur contenue dans la variable $u$ soit celle de $u_5$ . Quel algorithme doit-on choisir ?

$\begin{array}{llll}
\textbf{a.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*n-5\\\hspace{0.5cm}n=n+1\\\hline\end{array}
&\textbf{b.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u_n-5\\\hspace{0.5cm}n=n+1\\\hline\end{array}\\\\
\textbf{c.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u-5\\\hline\end{array}
&\textbf{d.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{While $\pp 5$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u-5\\\hspace{0.7cm}n=n+1\\\hline\end{array}\end{array}$

$\quad$

Correction Question 5

Algorithme a : il faudrait avoir $u=3*u-5$
Algorithme b : $u_n$ n’a pas de sens en python
Algorithme d : dans $\text{While }\pp 5$ il manque une variable avant le $\pp$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence