Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Sud – sujet 2 – 27 septembre 2023

Amérique du Sud – 27 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} p(X=2)&=p\left(\left(A_1\cap A_2\cap \conj{A_3}\right)\cup \left(A_1\cap\conj{ A_2}\cap A_3\right)\cup \left(\conj{A_1}\cap A_2\cap A_3\right)\right)\\
&\underset{\text{(incompatibilité)}}{=}p\left(A_1\cap A_2\cap \conj{A_3}\right)+p \left(A_1\cap\conj{ A_2}\cap A_3\right)+p\left(\conj{A_1}\cap A_2\cap A_3\right)\\
&=0,6\times 0,35\times 0,65+0,6\times 0,65\times 0,5+0,4\times 0,5\times 0,35 \\
&=0,401~5
\end{align*}$
La probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des trois tirs est égale à $0,401~5$.
$\quad$
a. $p(X=1)=1-\left(p(X=0)+p(X=2)+p(X=3)\right)=0,425$.
$\begin{array}{|c||c||c||c|}
\hline
X=x_i&0&1&2&3\\
\hline
p\left(X=x_i\right)&0,1&0,425&0,401~5&0,073~5\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
b.
$\begin{align*}E(X)&=p(X=1)+2p(X=2)+3p(X=3) \\
&=0,425+0,803+0,2205\\
&=1,448~5\end{align*}$
$\quad$
c. En moyenne, sur $3$ tirs, le joueur atteint sa cible $1,448~5$ fois.
$\quad$

Partie B

a. On répète $N=15$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,073~5$.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,073~5$.
$\quad$
b. On a alors :
$\begin{align*} p(Y=5)&=\dbinom{15}{5}0,073~5^5\times (1-0,073~5)^10 \\
&\approx 0,003\end{align*}$
La probabilité qu’exactement $5$ joueurs soient gagnants à ce jeu est environ égale à $0,003$.
$\quad$
On répète $N$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,073~5$.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $N$ et $p=0,073~5$.
$\begin{align*} p(Y\pg 1)\pg 0,98&\ssi 1-p(Y=0)\pg 0,98 \\
&\ssi p(Y=0) \pp 0,02 \\
&\ssi 0,926~5^N \pp 0,02 \\
&\ssi N\ln(0,926~5) \pp \ln(0,02) \\
&\ssi N\pg \dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,926~5)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,926~5)}\approx 51,2$.
Il faut donc au moins $52$ joueurs pour que la probabilité qu’il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0,98$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

$\vect{AB}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix} -1\\-2\\3\end{pmatrix}$.
Or $\dfrac{1}{-1}\neq \dfrac{-2}{-2}$.
$\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires.
Les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
$\quad$
a. D’une part $\vec{n}.\vect{AB}=1-2+1=0$
D’autre part $\vec{n}.\vect{AC}=-1-2+3=0$.
$\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. Il est donc normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est de la forme $x+y+z+d=0$.
$A(1;1;-4)$ appartient à ce plan. Donc $1+1-4+d=0\ssi d=2$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $x+y+z+2=0$.
$\quad$
a. $1+1+2+2=6\neq 0$. $\Omega$ n’appartient pas au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. On appelle $(d)$ la droite orthogonale au plan $(ABC)$ passant par $\Omega$.
Une représentation paramétrique de $(d)$ est donc $$\begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\end{cases} \quad t\in \R$$
Les coordonnées du point $H$ sont donc solution du système suivant :
$\begin{align*} \begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\\x+y+z+2=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\\1+t+1+t+2+t+2=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\\6+3t=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} t=-2\\x=-1\\y=-1\\z=0\end{cases}\end{align*}$
Ainsi $H$ a pour coordonnées $(-1;-1;0)$.
$\quad$
Remarque : On peut “vérifier” le résultat obtenu en calculant la distance $\Omega H$ et vérifier que celle-ci est bien égale à la valeur fournie par l’énoncé juste après.
$\quad$
$H$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(ABC)$.
Par conséquent, pour tout point $N$ de $(ABC)$ distinct de $H$ on a $\Omega N>\Omega H$.
Ainsi $\Omega N>2\sqrt{3}$ et le point $N$ n’appartient pas à $S$.
$\quad$
Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
$\vect{\Omega K}\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}=2\vec{u}$.
Ainsi $(\Omega K)$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
$3+3-0-6=0$ : $H$ appartient à $\mathscr{P}$.
$\begin{align*} \Omega H&=\sqrt{2^2+2^2+(-2)^2} \\
&=\sqrt{12} \\
&=2\sqrt{3}\end{align*}$.
$K$ appartient à $S$.
Le plan $\mathscr{P}$ est tangent à la sphère $S$ au point $K$.
$\quad$
Soit $M(x,y,z)$ appartenant à $(\Delta)$.
On a alors :
$\begin{align*}\begin{cases} x+y+z+2=0\\x+y-z-6=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x+y+z+2=0\\2z+8=0&L_2\leftarrow L_1-L_2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} z=-4\\x+y-2=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=k\\y=2-k\\z=-4\end{cases}\end{align*}$. Une représentation paramétrique de $(\Delta)$ est $ \begin{cases} x=k\\y=2-k\\z=-4\end{cases} \qquad k\in\R$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

$\begin{align*}u_1&=5\times 0-8\times 0+6\\
&=6\end{align*}$
$\begin{align*}u_2&=5\times 6-8\times 1+6\\
&=28\end{align*}$
$\quad$
On peut écrire :
$$\begin{array}{l} \\
\text{def suite_u(n) :} \\
\quad \text{u = 0}\\
\quad \text{for i in range(1,n+1) :}\\
\qquad \text{u = 5 * u – 8 * (i – 1) + 6}\\
\quad \text{return(u)}\end{array}$$
Remarque : On écrit $i-1$ car on calcule à chaque tour de boucle la valeur de $u_i=5u_{i-1}-8(i-1)+6$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$, on pose $P(n):~u_n\pg 2n$.
Initialisation : $u_0=0$ et $2\times 0=0$ donc $u_0\pg 2\times 0$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} u_{n+1}&=5u_n-8n+6 \\
&\pg 5\times 2n-8n+6 \\
&\pg 10n-8n+6 \\
&\pg 2n+6 \\
&\pg 2(n+3) \\
&\pg 2(n+1)\end{align*}$
$P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, $u_n\pg 2n$.
$\quad$
b. $\lim\limits_{n\to +\infty} 2n=+\infty$.
D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
$\quad$
c. $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$ donc pour tout réel $M>0$ il existe un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier $n\pg n_0$, on a $u_n\pg M$.
Pour tout $p\in \N^*$ on peut prendre $M=10^p$.
Il existe donc un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier $n\pg n_0$, on a $u_n\pg 10^p$.
$\quad$
Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=5u_n-8n+6-u_n \\
&=4u_n+8n+6 \\
&\pg 4\times 2n+8n+6 \\
&\pg 6\\
&>0\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
$\quad$
a. Il semblerait que, pour tout $n\in \N$ on ait $v_n=5^n$.
$\quad$
Soit $n\in \N$
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-2(n+1)+1 \\
&=5u_n-8n+6-2n-2+1 \\
&=5u_n-10n+5\\
&=5\left(u_n-2n+1\right) \\
&=5v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $5$ et de premier terme $v_0=1$.
Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $v_n=5^n$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} u_n&=v_n+2n+1 \\
&=5^n+2n+1\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

$\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{X\to 0} \ln(1+X)=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(1+\e^{-x}\right)=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}}+\dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{-1}{1+\e^x}+\dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{-4+1+\e^x}{4\left(1+\e^x\right)} \\
&=\dfrac{\e^x-3}{4\left(1+\e^x\right)}\end{align*}$$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $\e^x-3$.
Or $\e^x-3>0 \ssi \e^x>3\ssi x>\ln(3)$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\left]-\infty;\ln(3)\right]$ et strictement croissante sur $\left[\ln(3);+\infty\right[$.
$\quad$
c. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[2;5]$ (car $\ln(3)<2$).
De plus $f(2)\approx 0,6<1$ et $f(5)\approx 1,3>1$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=1$ admet donc une unique solution dans l’intervalle $[2;5]$.
$\quad$

Partie B

a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f\dsec(x)>0$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est donc convexe et la courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de toutes ses tangentes et en dessous de toutes ses cordes.
Ainsi, $\mathscr{C}_f$ est inscrite dans le quadrilatère $MNPQ$.
$\quad$
a. On a
$\begin{align*} f(-\alpha)&=\ln\left(1+\e^{\alpha}\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
&=\ln\left(\e^{\alpha}\left(\e^{-\alpha}+1\right)\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
&=\ln\left(\e^{\alpha}\right)+\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
&=\alpha+\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
&=\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{3}{4}\alpha \end{align*}$
$\quad$
b. $f'(0)=-\dfrac{1}{4}$ et $f(0)=\ln(2)$.
Une équation de $Delta$ est $y=-\dfrac{1}{4}x+\ln(2)$.
Ainsi $P$ a pour coordonnées $\left(-\alpha;\ln(2)+\dfrac{1}{4}\alpha\right)$ et $Q$ a pour coordonnées $\left(\alpha;\ln(2)-\dfrac{1}{4}\alpha\right)$.
$N$ a pour coordonnées $\left(-\alpha;\ln\left(1+\e^{-\alpha}+1\right)+\dfrac{3}{4}\alpha \right)$ et $M$ a pour coordonnées $\left(\alpha;\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{4}\alpha\right)$.
Par conséquent $\vect{PN}$ a pour coordonnées :
$\begin{align*} \begin{pmatrix} 0\\\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{3}{4}\alpha-\ln(2)-\dfrac{1}{4}\alpha \end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix} 0\\\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{2}\alpha-\ln(2)\end{pmatrix}\end{align*}$.
$\vect{QN}$ a pour coordonnées :
$\begin{align*} \begin{pmatrix} 0\\\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{4}\alpha-\ln(2)+\dfrac{1}{4}\alpha\end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix} 0\\ \ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{2}\alpha-\ln(2)\end{pmatrix}\end{align*}$
Ainsi $\vect{PN}=\vect{QM}$ et $MNPQ$ est un parallélogramme.
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées

Exercice 1 5 points

Partie A

Un jeu proposé dans une fête foraine consiste à effectuer trois tirs successivement sur une cible mouvante. On a constaté que :

Si le joueur atteint la cible lors d’un tir alors il ne l’atteint pas lors du tir suivant dans $65 \%$ des cas ;
Si le joueur n’atteint pas la cible lors d’un tir alors il l’atteint lors du tir suivant dans $50 \%$ des cas.

La probabilité qu’un joueur atteigne la cible lors de son premier tir est de $0,6$.
Pour tout événement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité et $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$.

On choisit au hasard un joueur à ce jeu de tirs. On considère les événements suivants :

$A_1$ : « Le joueur atteint la cible lors du 1$^{\text{er}}$ tir » ;
$A_2$ : « Le joueur atteint la cible lors du 2$\ieme$ tir » ;
$A_3$ : « Le joueur atteint la cible lors du 3$\ieme$ tir ».

Recopier et compléter, avec les probabilités correspondantes sur chaque branche, l’arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.
$\quad$

$\quad$

Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur atteint sa cible au cours des trois tirs.

Montrer que la probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des trois tirs est égale à $0,401~5$.
$\quad$
L’objectif de cette question est de calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$, notée $E(X)$.
a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
X = x_i& 0& 1& 2& 3\\
\hline
P\left(X=x_i\right)& ~~0,1~~&\phantom{0,0735}&\phantom{0,0735}& 0,0735\\
\hline
\end{array}$$
b. Calculer $E(X)$.
$\quad$
c. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

Partie B

On considère $N$, un entier naturel supérieur ou égal à $1$.
Un groupe de $N$ personnes se présente à ce stand pour jouer à ce jeu dans des conditions identiques et indépendantes. Un joueur est déclaré gagnant lorsqu’il atteint trois fois la cible.
On note $Y$ la variable aléatoire qui compte parmi les $N$ personnes le nombre de joueurs déclarés gagnants.

Dans cette question, $N = 15$.
a. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
$\quad$
b. Donner la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu’exactement $5$ joueurs soient gagnants à ce jeu.
$\quad$
Par la méthode de votre choix, que vous expliciterez, déterminer le nombre minimum de personnes qui doivent se présenter à ce stand pour que la probabilité qu’il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0,98$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

Dans un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points :
$$A(1 ; 1 ; -4),~ B(2 ; -1 ; -3),~ C(0 ;-1 ;-1) \text{ et } \Omega(1 ; 1 ; 2)$$

Démontrer que les points $A$, $B$, et $C$ définissent un plan.
$\quad$
a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x+y+z+2=0$.
$\quad$
a. Justifier que le point $\Omega$ n’appartient pas au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan $(ABC)$.$\quad$

On admet que $\Omega H = 2\sqrt{3}$. On définit la sphère $S$ de centre $\Omega$ et de rayon $2\sqrt{3}$ comme l’ensemble de tous les points $M$ de l’espace tels que $\Omega M = 2\sqrt{3}$.

Justifier, sans calcul, que tout point $N$ du plan $(ABC)$, distinct de $H$, n’appartient pas à la sphère $S$.
$\quad$

On dit qu’un plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ en un point $K$ lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :

$K\in \mathcal{P}\cap S$
$(\Omega K) \perp \mathcal{P}$

Soit le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne $x+y-z-6=0$ et le point $K$ de coordonnées $K(3 ; 3 ; 0)$. Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ au point $K$.
$\quad$
On admet que les plans $(ABC)$ et $\mathcal{P}$ sont sécants selon une droite $(\Delta)$.
Déterminer une équation paramétrique de la droite $(\Delta)$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n\in \N,~u_{n+1}=5u_n-8n+6$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
Soit $n$ un entier naturel.
Recopier et compléter la fonction $\text{suite_u}$ d’argument $\text{n}$ ci-dessous, écrite en langage Python, afin qu’elle retourne la valeur de $u_n$.
$$\begin{array}{l}
\text{def suite_u(n):}\\
\quad \text{u = …}\\
\quad \text{for i in range(1,n + 1):}\\
\qquad \text{u = …}\\
\quad \text{return u}\end{array}$$
$\quad$
a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \N$, $u_n\pg 2n$.
$\quad$
b. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
c. Soit $p\in \N^*$. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ vérifiant, $n\pg n_0$, $u_n\pg 10^p$ ?
$\quad$
Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
$\quad$
On considère la suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout $n\in \N$, par $v_n=u_n-2n+1$.
a. En dessous de la fonction $\text{suite_u}$ précédente, on a écrit la fonction $\text{suite_v}$ ci-dessous :
$$\begin{array}{l}
\text{def suite_v(n):}\\
\quad \text{L = [ ]}\\
\quad \text{for i in range(1,n + 1):}\\
\qquad \text{L.append(suite_u(i) – 2 * i + 1)}\\
\quad \text{return L}\end{array}$$
$\quad$
La commande « $\text {L.append}$ » permet de rajouter, en dernière position, un élément dans la liste $\text{L}$.
Lorsqu’on saisit $\text{suite_v(5)}$ dans la console, on obtient l’affichage suivant :
$$\begin{array}{l}
\text{>>> suite_v(5)}\\
\text{[1, 5, 25, 125, 625, 3125]}\end{array}$$
Conjecturer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
Démontrer cette conjecture.
$\quad$
b. En déduire, pour tout entier naturel $n$, la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\ln\left(1+\e^{-x}\right)+\dfrac{1}{4}x$.
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\Oij$ du plan.

Partie A

Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
$\quad$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
a. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{\e^x-3}{4\left(\e^x+1\right)}$.
$\quad$
b. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
c. Montrer que l’équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[2 ; 5]$.
$\quad$

Partie B

On admettra que la fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $f\dsec(x)=\dfrac{\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$.
On note $\Delta$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $0$.
Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathcal{C}_f$, la tangente $\Delta$ et le quadrilatère $MNPQ$ tel que $M$ et $N$ sont les deux points de la courbe $\mathcal{C}_f$ d’abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$, et $Q$ et $P$ sont les deux points de la droite $\Delta$ d’abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$.

a. Justifier le signe de $f\dsec(x)$ pour tout $x\in \R$.
$\quad$
b. En déduire que la portion de la courbe $\mathcal{C}_f$, sur l’intervalle $[-\alpha;\alpha]$, est inscrite dans le quadrilatère $MNPQ$.
$\quad$
a. Montrer que $f(-\alpha)=\ln\left(\e^{-\alpha}+1\right)+\dfrac{3}{4}\alpha$.
$\quad$
b. Démontrer que le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Nouvelle Calédonie – sujet 2 – 29 août 2023

Nouvelle Calédonie – 29 août 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Les points $F$ et $K$ appartiennent au plan $(EHG)$, ne sont pas confondus et le point $C$ n’appartient pas à ce plan.
Ainsi $C$, $F$ et $K$ définissent bien un plan.
$\quad$
a. $K$ est le milieu de $[HG]$ et $HG=1$ donc $KG=0,5$.
$[GF]$ et $[GC]$ sont des arêtes du cube. Donc $GF=GC=1$.
$\quad$
b. Le triangle $FGC$ est rectangle en $G$.
L’aire du triangle $FGC$ est donc :
$\begin{align*} A_{FGC}&=\dfrac{GF\times GC}{2} \\
&=\dfrac{1}{2} \text{u.a.}\end{align*}$
$\quad$
c. Le volume du tétraèdre $FGCK$ est
$\begin{align*} V_{FGCK}&=\dfrac{A_{FGC}\times KG}{3} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}}{3} \\
&=\dfrac{1}{12} \text{u.v.}\end{align*}$
$\quad$
a. On a $C(1;1;0)$, $F(0;1;1)$ et $K(1;0,5;1)$.
Donc $\vect{CF}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{CK}\begin{pmatrix}0\\-0,5\\1\end{pmatrix}$
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle (ou car, d’après la question 1, ils définissent un plan).
$\vec{n}.\vect{CF}=-1+0+1=0$ et $\vec{n}.\vect{CK}=0-1+1=0$.
$\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(CFK)$. Il est donc normal à ce plan.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(CFK)$ est donc de la forme $x+2y+z+d=0$.
$C(1;1;0)$ appartient à ce plan. Par conséquent $1+2+0+d=0\ssi d=-3$.
Une équation cartésienne du plan $(CFK)$ est par conséquent $x+2y+z-3=0$.
$\quad$
La droite $\Delta$ passe par $G(1;1;1)$ et admet comme vecteur directeur le vecteur $\vec{n}$.
Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $\begin{cases} x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases} \quad (t\in \R)$.
$\quad$
a. On note $L(x;y;z)$.
Les coordonnées de $L$ sont solution du système
$\begin{align*} \begin{cases} x+2y+z-3=0\\x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases}&\ssi \begin{cases} 1+t+2+4t+1+t-3=0\\x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 6t+1=0\\x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} t=-\dfrac{1}{6}\\[3mm]x=\dfrac{5}{6}\\[3mm]y=\dfrac{2}{3}\\[3mm]\dfrac{5}{6}\end{cases}\end{align*}$
Ainsi les coordonnées du point $L$ sont $\left(\dfrac{5}{6};\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{6}\right)$.
$\quad$
b. On a alors $\vect{LG}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{6}\\[3mm]\dfrac{1}{3}\\[3mm]\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}$
Donc :
$\begin{align*} LG&=\sqrt{\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{6^2}} \\
&=\sqrt{\dfrac{1}{6}} \\
&=\dfrac{\sqrt{6}}{6}\end{align*}$
$\quad$
On a
$\begin{align*}V_{FGCK}=\dfrac{1}{12}&\ssi \dfrac{A_{CFK}\times LG}{3}=\dfrac{1}{12} \\
&\ssi A_{CFK}\times \dfrac{\sqrt{6}}{6}=\dfrac{1}{4} \\
&\ssi A_{CFK}=\dfrac{\sqrt{6}}{4} \text{u.a.}\end{align*}$.
L’aire du triangle $CFK$ est donc égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4} $ u.a.

Ex 2

Exercice 2

Pour tout réel $x\pg 0$ on a
$\begin{align*} f(x)&=x\e^{-x} \\
&=x\times \dfrac{1}{\e^x} \\
&=\dfrac{x}{\e^x}\end{align*}$
Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
La droite d’équation $y=0$ est par conséquent une asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
$\quad$
D’après l’énoncé $f$ est dérivable sur $\R_+$.
Pour tout réel $x\pg 0$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\e^{-x}-x\e^{-x} \\
&=(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0\ssi x<1$.
On obtient alors le tableau de variations suivant :
$\quad$
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0;1]$.
$f(0)=0$ et $f(1)=\e^{-1}\approx 0,3679$. Donc $\dfrac{367}{1~000}\in \left]0;\e^{-1}\right[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=\dfrac{367}{1~000}$ admet une unique solution sur $]0;1[$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$ et $f(1)=\e^{-1}\approx 0,3679$. Donc $\dfrac{367}{1~000}\in \left]0;\e^{-1}\right[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=\dfrac{367}{1~000}$ admet une unique solution sur $]1;+\infty[$.
$\quad$
Finalement, l’équation $f(x)=\dfrac{367}{1~000}$ admet exactement deux solutions sur $[0;+\infty[$.
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-2$.
$x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0\ssi x>2$.
La fonction $f$ est donc concave sur $[0;2]$ et convexe sur $[2;+\infty[$.
$\quad$
a. Une équation de la droite $T_a$ est :
$\begin{align*}y=f'(a)(x-a)+f(a)&\ssi y=(1-a)\e^{-a}(x-a)+a\e^{-a} \\
&\ssi y=(1-a)\e^{-a}x-a\e^{-a}+a^2\e^{-a}+a\e^{-a} \\
&\ssi y=(1-a)\e^{-a}x+a^2\e^{-a}\end{align*}$
$\quad$
b. L’ordonnée à l’origine de $T_a$ est $a^2\e^{-a}$.
Donc $g(a)=a^2\e^{-a}$.
$\quad$
c. On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=x^2\e^{-x}$.
La fonction $g$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x\pg 0$ on a
$\begin{align*} g'(x)&=2x\e^{-x}-x^2\e^{-x} \\
&=x(2-x)\e^{-x} \\
&=-xf\dsec(x)\end{align*}$
Ainsi, sur $[0;+\infty[$ $g'(x)$ et $f\dsec(x)$ sont de signes contraires.
D’après la question 5., $g(a)$ est maximale quand $x=2$ c’est-à-dire quand $A$ est un point d’inflexion de $\mathcal{C}_f$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

On a
$\begin{align*} u_1&=\dfrac{-u_0-4}{u_0+3} \\
&=-\dfrac{4}{3}\end{align*}$
$\begin{align*} u_2&=\dfrac{-u_1-4}{u_1+3} \\
&=-\dfrac{8}{5}\end{align*}$
$\quad$
On peut écrire $$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def terme(n):}
\quad \text{u = 0} \\
\quad \text{for i in range(n):}\\
\qquad \text{u = (-u – 4)/(u + 3)}\\
\quad \text{return(u)}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $]-3;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>-3$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-(x+3)-(-x-4)}{(x+3)^2} \\
&=\dfrac{-x-3+x+4}{(x+3)^2} \\
&=\dfrac{1}{(x+3)^2}\\
&>0\end{align*}$
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-3;+\infty[$.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~-2<u_{n+1} \pp u_n$.
Initialisation : $u_0=0$ et $u_1=-\dfrac{4}{3}$ donc $-2<u_1\pp u_0$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
On a $-2<u_{n+1}\pp u_n$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-3;+\infty[$.
Par conséquent $f(-2)<f\left(u_{n+1}\right)\pp f\left(u_n\right)$
Donc $-2<u_{n+2}\pp u_{n+1}$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout $n\in \N$, $-2<u_{n+1}\pp u_n$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $-2$.
Elle converge donc.
$\quad$
a. On a $v_0=\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
b. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\dfrac{1}{u_{n+1}+2}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{-u_n-4}{u_n+3}+2}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{-u_n-4+2u_n+6}{u_n+3}}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{u_n+2}{u_n+3}}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
&=\dfrac{u_n+3}{u_n+2}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
&=\dfrac{u_n+2}{u_n+2}\\
&=1\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $1$.
$\quad$
c. Ainsi, pour tout $n\in \N$, on a $v_n=\dfrac{1}{2}+n$.
Or $v_n=\dfrac{1}{u_n+2}\ssi u_n+2=\dfrac{1}{v_n} \ssi u_n=\dfrac{1}{0,5+n}-2$.
$\quad$
d. $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n+0,5}=0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-2$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

On a $P_A(F)=\dfrac{25}{75}$.
Réponse b
$\quad$
On a
$\begin{align*} P(A\cup F)&=\dfrac{75+80}{200} \\
&=\dfrac{155}{200} \\
&=\dfrac{31}{40}\end{align*}$
Réponse c
$\quad$
On appelle $B$ l’événement “le bus est en panne” et $T$ l’événement ‘le train est en panne”.
On veut calculer :
$\begin{align*}p_1&=P(B\cup T)\\
&=P(B)+P(T)-P(B\cap T)\\
&=b+t-P(B)P(T) \qquad \text{(indépendance)}\\
&=b+t-bt\end{align*}$
Réponse d
$\quad$
Albert peut se rendre à son travail si le train et le bus ne sont pas en panne. Donc
$\begin{align*} p_2&=P\left(\conj{B\cap T}\right) \\
&=1-P(B\cap T) \\
&=1-P(B)P(T) \qquad \text{(indépendance)}\\
&=1-bt\end{align*}$
Réponse b
$\quad$
On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de FACE.
On effectue $n$ expériences identiques de Bernoulli de paramètre $x$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n$ et $x$.
Ainsi :
$\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
&=1-(1-x)^n\end{align*}$
Réponse d
$\quad$

Énoncé

La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 5 points

On considère le cube $ABCDEFGH$ d’arête $1$ représenté ci-dessous.

On note $K$ le milieu du segment $[HG]$.
On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AD},\vect{AB},\vect{AE}\right)$.

Justifier que les points $C$, $F$ et $K$ définissent un plan.
$\quad$
a. Donner, sans justifier, les longueurs $KG$, $GF$ et $GC$.
$\quad$
b. Calculer l’aire du triangle $FGC$.
$\quad$
c. Calculer le volume du tétraèdre $FGCK$.
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par :
$$V=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}\times h$$
où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondante.
$\quad$
a. On note $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$.
Démontrer que $\vec{n}$ est normal au plan $(CFK)$.
$\quad$
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(CFK)$ est :
$$x +2y + z-3 = 0$$
$\quad$
On note $\Delta$ la droite passant par le point $G$ et orthogonale au plan $(CFK)$.
Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :
$$\begin{cases}x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases}\quad (t\in \R)$$
$\quad$
Soit $L$ le point d’intersection entre la droite $\Delta$ et le plan $(CFK)$.
a. Déterminer les coordonnées du point $L$.
$\quad$
b. En déduire que $LG = \dfrac{\sqrt{6}}{6}$.
$\quad$
En utilisant la question 2., déterminer la valeur exacte de l’aire du triangle $CFK$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la fonction $f$ , définie sur $[0 ;+\infty[$ par : $$f(x) = x\e^{-x}$$
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $[0 ;+\infty[$.
On note $f’$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.

En remarquant que pour tout x dans $[0 ;+\infty[$, on a $f(x) =\dfrac{x}{\e^x}$ , démontrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède une asymptote en $+\infty$ dont on donnera une équation.
$\quad$
Démontrer que pour tout réel $x$ appartenant à $[0 ;+\infty[$ : $$f'(x) = (1-x)\e^{-x}$$
$\quad$
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0 ;+\infty[$, sur lequel on fera figurer les valeurs aux bornes ainsi que la valeur exacte de l’extremum.
$\quad$
Déterminer, sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$, le nombre de solutions de l’équation : $$f(x) = \dfrac{367}{1~000}$$
$\quad$
On admet que pour tout $x$ appartenant à $[0 ;+\infty[$ : $$f\dsec(x) = \e^{-x}(x-2)$$
Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$.
$\quad$
Soit $a$ un réel appartenant à $[0 ;+\infty[$ et $A$ le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a$.
On note $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A$.
On note $H_a$ le point d’intersection de la droite $T_a$ et de l’axe des ordonnées.
On note $g(a)$ l’ordonnée de $H_a$.
La situation est représentée sur la figure ci-dessous.
$\quad$

$\quad$
a. Démontrer qu’une équation réduite de la tangente $T_a$ est :
$$y=\left((1-a)\e^{-a}\right).x+a^2\e^{-a}$$
$\quad$
b. En déduire l’expression de $g(a)$.
$\quad$
c. Démontrer que $g(a)$ est maximum lorsque $A$ est un point d’inflexion de la courbe $C_f$.
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1} =\dfrac{-u_n-4}{u_n +3}$$
On admet que $u_n$ est défini pour tout entier naturel $n$.

Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
On considère la fonction terme ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def terme(n):}\\
\quad \text{u = …}\\
\quad \text{for i in range(n):}\\
\qquad \text{u = …}\\
\quad \text{return(u)}\\
\hline
\end{array}$$
On rappelle qu’en langage Python, « $\text{i in range(n)}$ » signifie que $\text{i}$ varie de $\text{0}$ à $\text{n-1}$.
Recopier et compléter le cadre ci-dessus de sorte que, pour tout entier naturel $n$, l’instruction $\text{terme(n)}$ renvoie la valeur de $u_n$.
$\quad$
Soit la fonction $f$ définie sur $]-3 ;+\infty[$ par : $$f(x) = \dfrac{-x-4}{x+3}$$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-3 ;+\infty[$.
$\quad$
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
$$−2 < u_{n+1} \pp u_n$$
$\quad$
En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$vn = \dfrac{1}{u_n+2}$$
a. Donner $v_0$.
$\quad$
b. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $1$.
$\quad$
c. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $$u_n =\dfrac{1}{n+0,5}-2$$
$\quad$
d. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

L’énoncé ci-dessous est commun aux questions 1. et 2.

Les $200$ adhérents d’un club sont des filles ou des garçons. Ces adhérents pratiquent l’aviron ou le basket selon la répartition figurant dans le tableau ci-dessous.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\text{Aviron}&\text{Basket}&\text{Total}\\
\hline
\text{Filles}& 25& 80& 105\\
\hline
\text{Garçon}& 50&45&95\\
\hline
\text{Total}& 75& 125& 200\\
\hline
\end{array}$$
On choisit un adhérent au hasard et on considère les évènements suivants :
$F$ : l’adhérent est une fille. $\qquad A$ : l’adhérent pratique l’aviron.

La probabilité de $F$ sachant $A$ est égale à :
a. $\dfrac{25}{100_{\phantom{1}}}$
b. $\dfrac{25}{75_{\phantom{1}}}$
c. $\dfrac{25}{105_{\phantom{1}}}$
d. $\dfrac{75}{105_{\phantom{1}}}$
$\quad$
La probabilité de l’événement $A\cup F$ est égale à :
a. $\dfrac{9}{10_{\phantom{1}}}$
b. $\dfrac{1}{8_{\phantom{1}}}$
c. $\dfrac{31}{40_{\phantom{1}}}$
d. $\dfrac{5}{36_{\phantom{1}}}$
$\quad$
$$\begin{array}{c} \ast\\[-1cm]\ast\ast\end{array}$$

L’énoncé ci-dessous est commun aux questions 3. et 4.

Pour se rendre à son travail, Albert peut utiliser au choix le bus ou le train.

La probabilité que le bus soit en panne est égale à $b$.
La probabilité que le train soit en panne est égale à $t$.
Les pannes de bus et de train surviennent de façon indépendante.

La probabilité $p_1$, que le bus ou le train soient en panne est égale à :
a. $p_1 = bt$
b. $p_1 = 1-bt$
c. $p_1 = b+t$
d. $p_1 = b + t-bt$
$\quad$
La probabilité p2 que Albert puisse se rendre à son travail est égale à :
a. $p_1 = bt$
b. $p_1 = 1-bt$
c. $p_1 = b+t$
d. $p_1 = b + t-bt$
$\quad$
$$\begin{array}{c} \ast\\[-1cm]\ast\ast\end{array}$$

On considère une pièce de monnaie pour laquelle la probabilité d’obtenir FACE est égale à $x$. On lance la pièce $n$ fois. Les lancers sont indépendants.
La probabilité $p$ d’obtenir au moins une fois FACE sur les $n$ lancers est égale à :
a. $p = x^n$
b. $p = (1- x)^n$
c. $p = 1-x^n$
d. $p = 1-(1-x)^n$
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Nouvelle Calédonie – sujet 1 – 28 août 2023

Nouvelle Calédonie – 28 août 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient, une fois l’arbre totalement complété :
$\quad$

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P\left(V\cap \conj{L}\right)&=P(V)\times P_V\left(\conj{L}\right) \\
&=0,6\times 0,8\\
&=0,48\end{align*}$
La probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu’il ne prenne pas l’option PILOTE est égale à $0,48$.
$\quad$
$\left(V,\conj{V}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(L)=P(L\cap V)+P\left(L\cap \conj{V}\right) &\ssi 0,42=P(V)P_V(L)+P\left(L\cap \conj{V}\right)\\
&\ssi 0,42=0,6\times 0,2+P\left(L\cap \conj{V}\right)\\
&\ssi P\left(L\cap \conj{V}\right)=0,3\end{align*}$
La probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu’il prenne l’option PILOTE est égale à $0,30$.
$\quad$
On a ainsi :
$\begin{align*} P_{\conj{V}}(L)&=\dfrac{P\left(L\cap \conj{V}\right)}{P\left(\conj{V}\right)} \\
&=\dfrac{0,3}{0,4}\\
&=0,75\end{align*}$
$\quad$
On a donc :
$\begin{align*} P_L(V)&=\dfrac{P(V\cap L)}{P(L)} \\
&=\dfrac{P(V)P_V(L)}{0,42}\\
&=\dfrac{0,6\times 0,2}{0,42}\\
&=\dfrac{2}{7} \\
&\approx 0,29\end{align*}$
La probabilité que le client ait choisi un bateau à voile sachant qu’il a pris l’option PILOTE est environ égale à $0,29$.
$\quad$

Partie B

On a donc, d’après l’énoncé, $P_{\conj{L}}(A)=0,12$ et $P_L(A)=0,05$.
Ainsi, d’une part,
$\begin{align*} P(L\cap A)&=P(L)P_L(A) \\
&=0,42\times 0,05\\
&=0,021\end{align*}$
et d’autre part,
$\begin{align*} P\left(\conj{L}\cap A\right)&=P\left(\conj{L}\right)P_{\conj{L}}(A)\\
&=0,58\times 0,12\\
&=0,069~6\end{align*}$
$\quad$
$\left(L,\conj{L}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a alors :
$\begin{align*}P(A)&=P(L\cap A)+P\left(\conj{L}\cap A\right)\\
&=0,021+0,069~6\\
&=0,090~6\end{align*}$
Ainsi, pour $1~000$ bateaux loués, il peut s’attendre à $1~000\times 0,090~6=90,6\approx 91$ avaries.
$\quad$

Partie C

$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=40$ et $p=0,42$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(X\pg 15)&=1- P(X\pp 14) \\
&\approx 0,768\end{align*}$
La probabilité qu’au moins $15$ clients prennent l’option PILOTE est environ égale à $0,768$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a.
$\begin{align*} u_1&=5u_0-4\times 0-3\\
&=15-3\\
&=12\end{align*}$
$\quad$
b. On a également :
$\begin{align*} u_2&=5u_1-4\times 1-3\\
&=60-4-3\\
&=53\end{align*}$
$\quad$
c. D’après la calculatrice, il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit strictement croissante et que $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n\pg n+1$.
Initialisation : $u_0=3$ et $0+1=1$ donc $u_0\pg 0+1$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} u_{n+1}&=5u_n-4n-3\\
&\pg 5(n+1)-4n-3\\
&\pg 5n+5-4n-3\\
&\pg n+2\\
&\pg (n+1)+1\end{align*}$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg n+1$.
$\quad$
b. $\lim\limits_{n\to +\infty} n+1=+\infty$ et, pour tout $n\in \N$, $u_n\pg n+1$.
D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*}v_{n+1}&=u_{n+1}-(n+1)-1 \\
&=5u_n-4n-3-n-2\\
&=5u_n-5n-5\\
&=5\left(u_n-n-1\right)\\
&=5v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $5$ et de premier terme $v_0=u_0-0-1=2$.
$\quad$
b. Ainsi, pour tout $n\in \N$, on a $v_n=2\times 5^n$
$\quad$
c. Pour tout $n\in \N$ on a alors
$\begin{align*} u_n&=v_n+n+1\\
&=2\times 5^n+n+1\end{align*}$
$\quad$
d. Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=2\times 5^n+(n+1)+1-2\times 5^n-n-1\\
&=2\times 5^n(5-1)+1 \\
&=8\times 5^n+1\\
&>0\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
$\quad$
a. On peut écrire :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite() :}\\
\quad \text{u = 3}\\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{while u < 10**7:}\\
\qquad \text{u = 5 * u – 4 * n – 3}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante et, $u_9=3~906~260<10^7$ alors que $u_{10}=19~531~261\pg 10^7$.
Ainsi la fonction renvoie la valeur $10$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=1+x\e^x$ est dérivable en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a alors :
$\begin{align*} F'(x)&=\e^x+x\e^x \\
&=(1+x)\e^x \\
&=f(x)\end{align*}$
Ainsi $F$ est une primitive de la fonction $f$.
Réponse a
$\quad$
On résout le système
$\begin{align*} \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\x=1-s\\y=-1+s\\z=2-s\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\2+r=1-s\\1+r=-1+s\\r=2-s\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\2+r=1-s\\1+r=-1+s\\-r=2-s\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\r+s=-1\\r-s=-2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\2r=-3-1\\2s=1\end{cases}\end{align*}$
Le système possède donc une unique solution. Les droites sont par conséquent sécantes.
Réponse a
$\quad$
Un vecteur normal au plan $(P)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $(\Delta)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
$\vec{n}.\vec{u}=2-1-1=0$
Donc $(\Delta)$ est parallèle au plan $(P)$.
De plus le point de coordonnées $(2;4;1)$ appartient au plan $(P)$, car $2\times 2-4+1-1=0$, et à la droite $(\Delta)$.
La droite $(\Delta)$ est donc incluse dans le plan $(P)$
Réponse b
$\quad$
Un vecteur normal au plan $\left(P_1\right)$ est $\vect{n_1}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ et un vecteur normal au plan $\left(P_2\right)$ est $\vect{n_2}\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$.
$\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$ ne sont pas colinéaires. Les deux plans ne sont pas parallèles (on exclut donc les réponses b et d).
$\vect{n_1}.\vect{n_2}=2-2+1=1\neq 0$. Les plans ne sont pas perpendiculaires.
Réponse c
$\quad$
$\vect{EF}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{EG}\begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}$
Ainsi :
$\begin{align*} EF&=\sqrt{1^2+2^2+2^2}\\
&=3\end{align*}$
$\begin{align*} EG&=\sqrt{(-3)^2+4^2} \\
&=5\end{align*}$
D’une part $\vect{EF}.\vect{EG}=-3+0+8=5$
D’autre part $\vect{EF}.\vect{EG}=EF\times EG\times \cos \widehat{FEG} = 15\cos \widehat{FEG}$.
Donc $\cos \widehat{FEG}=\dfrac{5}{15}$ et $\widehat{FEG} \approx 71$ °
Réponse d
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2\ln(x)=0$. Or $\lim\limits_{x\to 0} 5x^2+2x=0$
Donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x^2\left(5+\dfrac{2}{x}-2\ln(x)\right)$
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} -2\ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=5\times 2x+2-2\times 2x\ln(x)-2x^2\times \dfrac{1}{x} \\
&=10x+2-4x\ln(x)-2x \\
&=8x+2-4x\ln(x)\end{align*}$.
$\quad$
a. D’après l’énoncé, la fonction $f’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f\dsec(x)&=8-4\ln(x)-4x\times \dfrac{1}{x} \\
&=8-4\ln(x)-4 \\
&=4-4\ln(x)\\
&=4\left(1-\ln(x)\right)\end{align*}$
$\quad$
b. $f\dsec(x) >0 \ssi 1-\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x\in ]0;\e]$.
$f$ est par conséquent convexe sur $]0;\e]$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ est donc au-dessus de ses tangentes sur $]0;\e]$
$\quad$
c. On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
a. Sur $]0;\e]$ on a $f'(x)>2$. L’équation $f'(x)=0$ n’admet donc aucune solution sur $]0;\e]$.
La fonction $f’$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]\e;+\infty[$.
De plus $f'(\e)=4\e+2$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f'(x)=-\infty$. Or $0\in ]-\infty;4\e+2[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f'(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $]\e;+\infty[$.
Par conséquent, l’équation $f'(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
D’après la calculatrice $7,87< \alpha < 7,88$.$\quad$
b. Ainsi :
$\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]0;\alpha[$ ;
$\bullet$ $f'(\alpha)=0$ ;
$\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
On obtient alors le tableau de variations suivant :
$\quad$
$\quad$
a. On a
$\begin{align*} f'(\alpha)=0&\ssi 8\alpha+2-4\alpha\ln(\alpha) =0\\
&\ssi 4\alpha\ln(\alpha)=8\alpha+2 \\
&\ssi \ln(\alpha)=\dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} f(\alpha)&=5\alpha^2+2\alpha-2\alpha^2\ln(\alpha)\\
&=5\alpha^2+2\alpha-2\alpha^2\times \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha} \\
&=5\alpha^2+2\alpha-4\alpha^2-\alpha\\
&=\alpha^2+\alpha\end{align*}$
$\quad$
b. $7,87 < \alpha<7,88$ donc, du fait de la stricte croissance de la fonction carré sur $\R_+$, on a $7,87^2 <\alpha^2<7,88^2$
Par conséquent $7,87^2+7,87<f(\alpha)<7,88^2+7,88$.
Donc $69,806~9<f(\alpha)<69,974~4$.
L’encadrement à $10^{-2}$ de $\alpha$ ne permet pas d’obtenir un encadrement à $10^{-1}$ de $f(\alpha)$
Graphiquement $69,9<f(\alpha)<70,0$.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

Une entreprise de location de bateaux de tourisme propose à ses clients deux types de bateaux : bateau à voile et bateau à moteur.

Par ailleurs, un client peut prendre l’option PILOTE. Dans ce cas, le bateau, qu’il soit à voile ou à moteur, est loué avec un pilote.

On sait que :

$60 \%$ des clients choisissent un bateau à voile; parmi eux, 20 % prennent l’option PILOTE.
$42 \%$ des clients prennent l’option PILOTE.

On choisit un hasard un client et on considère les événements :

$V$ : « le client un bateau à voile » ;
$L$ : « le client prend l’option PILOTE ».

Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

Traduire la situation par un arbre pondéré que l’on complètera au fur et à mesure.
$\quad$
Calculer la probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu’il ne prenne pas l’option PILOTE.
$\quad$
Démontrer que la probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu’il prenne l’option PILOTE est égale à $0,30$.
$\quad$
En déduire $P_{ \conj{V}}(L)$, probabilité de $L$ sachant que $V$ n’est pas réalisé.
$\quad$
Un client a pris l’option PILOTE.
Quelle est la probabilité qu’il ait choisi un bateau à voile? Arrondir à $0,01$ près.
$\quad$

Partie B
Lorsqu’un client ne prend pas l’option PILOTE, la probabilité que son bateau subisse une avarie est égale à $0,12$. Cette probabilité n’est que de $0,005$ si le client prend l’option PILOTE.
On considère un client. On note A l’événement : « son bateau subit une avarie ».

Déterminer $P(L\cap A)$ et $P\left(\conj{L}\cap A\right)$.
$\quad$
L’entreprise loue $1~000$ bateaux. À combien d’avaries peut-on s’attendre ?
$\quad$

Partie C
On rappelle que la probabilité qu’un client donné prenne l’option PILOTE est égale à $0,42$.
On considère un échantillon aléatoire de $40$ clients. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients de l’échantillon prenant l’option PILOTE.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
Donner sans justification ses paramètres.
$\quad$
Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu’au moins $15$ clients prennent l’option PILOTE.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, par : $$u_{n+1} = 5u_n-4n-3$$

a. Démontrer que $u_1 = 12$.
$\quad$
b. Déterminer $u_2$ en détaillant le calcul.
$\quad$
c. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation ainsi que la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$u_n \pg n+1$$
$\quad$
b. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$v_n = u_n-n-1$$
a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.
Donner sa raison et son premier terme $v_0$.
$\quad$
b. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $$u_n = 2\times 5^n +n +1$$
$\quad$
d. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python et destinée à renvoyer le plus petit entier naturel $n$ tel que un $u_n \pg 10^7$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite() :}\\
\quad \text{u = 3}\\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{while ……… :} \phantom{123456}\\
\qquad \text{u = ………}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
a. Recopier le programme et compléter les deux instructions manquantes.
$\quad$
b. Quelle est la valeur renvoyée par cette fonction?
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = (x+1) \e^x$.
Une primitive $F$ de $f$ sur $\R$ est définie par :
a. $F(x) = 1+ x\ e^x$
b. $F(x) = (1+x) \e^x$
c. $F(x) = (2+ x) \e^x$
d. $F(x) = \left(\dfrac{x^2}{2}+x\right)\e^x$
$\quad$
$$\begin{array}{c}\ast\\[-1cm]\ast\ast\end{array}$$

Dans toute la suite de l’exercice, on se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ dont des représentations paramétriques sont respectivement :
$$\left(d_1\right)~ \begin{cases} x=2+r\\y=1+r\\z=-r\end{cases} \quad (r\in\R) \quad ;\quad \left(d_2\right) ~\begin{cases} x=1-s\\y=-1+s\\z=2-s\end{cases} \quad (s\in \R)$$
Les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ sont :
a. sécantes.
b. strictement parallèles.
c. confondues.
d. non coplanaires.
$\quad$
On considère le plan $(P)$ dont une équation cartésienne est : $2x- y +z-1 = 0$.
On considère la droite $(\Delta)$ dont une représentation paramétrique est :$$\begin{cases} x=2+u\\y=4+u\\z=1-u\end{cases} \quad (u\in \R)$$
La droite $(\Delta)$ est :
a. sécante et non orthogonale au plan $(P)$.
b. incluse dans le plan $(P)$.
c. strictement parallèle au plan $(P)$.
d. orthogonale au plan $(P)$.
$\quad$
On considère le plan $\left(P_1\right)$ dont une équation cartésienne est $x-2y+z+1 = 0$, ainsi que le plan $\left(P_2\right)$
dont une équation cartésienne est $2x + y+z-6 = 0.$
Les plans $\left(P_1\right)$ et $\left(P_2\right)$ sont :
a. sécants et perpendiculaires.
b. confondus.
c. sécants et non perpendiculaires.
d. strictement parallèles.
$\quad$
On considère les points $E(1 ; 2 ; 1)$, $F(2 ; 4 ; 3)$ et $G(-2 ; 2 ; 5)$.
On peut affirmer que la mesure $\alpha$ de l’angle $\widehat{FEG}$ vérifie :
a. $\alpha = 90$°
b. $\alpha >90$°
c. $\alpha=0$°
d. $\alpha\approx 71$°
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$ par : $$f (x) = 5x^2+2x-2x^2\ln(x)$$
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sut l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
On note $f’$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.

a. Démontrer : que la limite de la fonction $f$ en $0$ est égale à $0$.
$\quad$
b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\quad$
Déterminer $f′(x)$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
$\quad$
a. Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$ :
$$f\dsec(x) = 4\left(1-\ln(x)\right)$$
$\quad$
b. En déduire le plus grand intervalle sur lequel la courbe $\mathcal{C}_f$, est au-dessus de ses tangentes.
$\quad$
c. Dresser le tableau des variations de la fonction $f’$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
(On admettra que $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}} f'(x) = 2$ et que $\lim\limits_{x\to +\infty} f'(x) = -\infty$.)
$\quad$
a. Montrer que l’équation $f'(x) = 0$ admet dans l’intervalle $]0 ;+\infty[$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d’amplitude $10^{-2}$.
$\quad$
b. En déduire le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$ ainsi que le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
$\quad$
a. En utilisant l’égalité $f'(\alpha) = 0$, démontrer que : $$\ln(\alpha) = \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}$$
En déduire que $f(\alpha) = \alpha^2+\alpha$.
$\quad$
b. En déduire un encadrement d’amplitude $10^{-1}$ du maximum de la fonction $f$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – La Réunion – sujet 2 – 29 mars 2023

La Réunion – 29 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
$\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(S)=P(S\cap R)+P\left(S\cap \conj{R}\right)&\ssi 0,82=P(R)P_R(S)+P\left(\conj{R}\right)P_{\conj{R}}(S) \\
&\ssi 0,82=0,2\times 0,9+0,8x \\
&\ssi 0,64=0,8x \\
&\ssi x=0,8\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_S(R)&=\dfrac{P(S\cap R)}{P(S)} \\
&=\dfrac{P(R)P_R(S)}{P(S)} \\
&=\dfrac{0,2\times 0,9}{0,82} \\
&=\dfrac{9}{41} \\
&\approx 0,22\end{align*}$
La probabilité que le client ait acheté un matelas RESSORTS sachant qu’il a été satisfait de son achat est environ égal à $0,22$.
$\quad$

Partie B

a. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,82$.
$\quad$
b. La probabilité qu’au plus trois clients soient satisfaits de leur achat est $$P(X\pp 3)\approx 0,222$$
$\quad$
a. On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $p=0,82$.
On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces $n$ clients.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,82$.
Ainsi,
$\begin{align*} p_n&=P(Y=n) \\
&=0,82^n\end{align*}$
$\quad$
b.
$\begin{align*} p_n<0,01 &\ssi 0,82^n <0,01 \\
&\ssi n\ln(0,82) < \ln(0,01) \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,82)}\qquad \text{(car $\ln(0,82)<0$)}\end{align*} $
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,82)}\approx 23,2$.
Ainsi $p_n<0,01$ si, et seulement si, $n\pg 24$.
La probabilité que tous les clients soient satisfaits de leur achat est inférieure à $1\%$ dès qu’il y a au moins $24$ clients.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

On a
$\begin{align*} u_1&=\dfrac{6u_0+2}{u_0+5} \\
&=\dfrac{48+2}{13 }\\
&=\dfrac{50}{13}\end{align*}$
$\quad$
a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
Pour tout $x>0$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{6(x+5)-(6x+2)}{(x+5)^2} \\
&=\dfrac{28}{(x+5)^2}\\
&>0\end{align*}$
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
$\quad$
$f(2)=\dfrac{14}{7}=2$.
La fonction $f$ étant strictement croissante sur $[0;+\infty[$, pour tout $x>2$ on a $f(x)>f(2)$ soit $f(x)>2$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$ on a $P(n):~u_n>2$.
Initialisation : $u_0=8>2$. Donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
Donc $u_n>2$. D’après la question 2.a, $f\left(u_n\right) > 2$ soit $u_{n+1}>2$.
Par conséquent $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout $n\in \N$, $u_n>2$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on a $u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(2-u_n\right)\left(u_n+1\right)}{u_n+5}$.
D’après la question précédente, pour tout $n\in \N$, $u_n>2$.
Ainsi $2-u_n<0$, $u_n+1>0$ et $u_n+5>0$.
Donc $u_{n+1}-u_n<0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $2$; elle converge donc .
a. $v_0=\dfrac{8-2}{8+1}=\dfrac{2}{3}$
$\quad$
b. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+1} \\
&=\dfrac{\dfrac{6u_n+2}{u_n+5}-2}{\dfrac{6u_n+2}{u_n+5}+1} \\
&=\dfrac{~\dfrac{6u_n+2-2u_n-10}{u_n+5}~}{\dfrac{6u_n+2+u_n+5}{u_n+5}} \\
&=\dfrac{4u_n-8}{7u_n+7} \\
&=\dfrac{4}{7}\times \dfrac{u_n-2}{u_n+1}\\
&=\dfrac{4}{7}v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{4}{7}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{2}{3}$.
$\quad$
c. Pour tout $n\in \N$, on a $v_n=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{4}{7}\right)^n$.
$-1<\dfrac{4}{7}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a
$\begin{align*} v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+1}&\ssi v_n\left(u_n+1\right)=u_n-2 \\
&\ssi u_nv_n+v_n=u_n-2\\
&\ssi u_nv_n-u_n=-2-v_n\\
&\ssi u_n\left(v_n-1\right)=-2-v_n \\
&\ssi u_n=\dfrac{-2-v_n}{v_n-1}\end{align*}$
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{-2-v_n}{v_n-1}=2$.
$\quad$
On a $u_{13}\approx 2,0014>2,001$ et $u_{14}\approx 2,000~8<2,001$.
La commande $\texttt{seuil(2.001)}$ renverra donc la valeur $14$.
Il s’agit du rang à partir duquel tous les termes de la suite prendront des valeurs inférieures ou égales à $2,001$.

Ex 3

Exercice 3

Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est $$\begin{cases} x=1\\y=1+2t\\z=-t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
$\quad$
Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{w}\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}$.
$\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
Ainsi $(d)$ et $\mathscr{P}$ sont sécants.
$1-4+2+1=4-4=0$ : le point de coordonnées $(1;-1;1)$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
En prenant $t=-1$ dans la représentation paramétrique de $(d)$ on obtient le point de coordonnées $(1;-1;1)$.
Ainsi la droite $(d)$ et le plan $\mathscr{P}$ sont sécants en un point $B$ de coordonnées $(1;-1;1)$.
$\quad$
a. $\vect{AC}\begin{pmatrix} 0\\-2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{AB}\begin{pmatrix} 0\\-2\\1\end{pmatrix}$.
$\dfrac{-2}{-2}=1$ et $\dfrac{-1}{1}=-1$ donc $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires.
Par conséquent $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
$\quad$
b. $\vec{n}.\vect{AC}=0+0+0=0$ et $\vec{n}.\vect{AB}=0+0+0$.
Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
Donc $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
c. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $x+d=0$.
$A(1;1;0)$ appartient à ce plan. Par conséquent $1+d=0 \ssi d=-1$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x-1=0$.
$\quad$
a.
$\begin{align*} AB&=\sqrt{0^2+(-2)^2+1^2}\\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
$\begin{align*} AC&=\sqrt{0^2+(-2)^2+(-1)^2}\\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
Ainsi $AB=AC$ et le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
$\quad$
b. $H$ est le milieu de $[BC]$. Il a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1+1}{2};\dfrac{-1-1}{2};\dfrac{1-1}{2}\right)$ soit $(1;-1;0)$.
Donc $\vect{AH}\begin{pmatrix} 0\\-2\\0\end{pmatrix}$
Donc :
$\begin{align*} AH&=\sqrt{0^2+(-2)^1+0} \\
&=2\end{align*}$
$\vect{BC}\begin{pmatrix}0\\0\\-2\end{pmatrix}$
On a donc également $BC=2$.
Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ donc $[AH]$ est à la fois une médiane, une médiatrice, une hauteur et une bissectrice du triangle.
L’aire du triangle $ABC$ est :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AH\times BC}{2} \\
&=2\text{ u.a.}\end{align*}$
$\quad$
a. $\vect{BD}\begin{pmatrix} -1\\0\\0\end{pmatrix}$
Ainsi $\vec{n}=-\vect{BD}$.
$\vect{BD}$ est donc normal au plan $(ABC)$.
Par conséquent $(BD)$ est une hauteur de la pyramide $ABCD$.
$\quad$
b. $\quad$
$\begin{align*} BD&=\sqrt{1^2+0^2+0^2}\\
&=1\end{align*}$
Par conséquent :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times BD\\
&=\dfrac{2}{3} \text{ u.v.}\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2\e^x+2x\e^x \\
&=2(x+1)\e^x\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+1$.
Or $x+1=0\ssi x=-1$ et $x+1>0\ssi x>-1$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;-1]$ et strictement croissante sur $[-1;+\infty[$.
De plus $f(-1)=-2\e^{-1} \approx -0,736$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]-\infty;-1]$
Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0>-\dfrac{73}{100}$ et $f(-1)<-\dfrac{73}{100}$
D’après le théorème de la bijection, l’équation $f(x)=-\dfrac{73}{100}$ possède une unique solution sur $]-\infty;-1]$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[-1;+\infty[$
$f(-1)<-\dfrac{73}{100}$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ (produit de deux fonctions tendant vers $+\infty$).
D’après le théorème de la bijection, l’équation $f(x)=-\dfrac{73}{100}$ possède une unique solution sur $[-1;+\infty[$.
$\quad$
L’équation $f(x)=-\dfrac{73}{100}$ possède donc exactement deux solutions sur $\R$.
Réponse c
$\quad$
$\lim\limits_{x\to -\infty} x+1=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0^+$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=-\infty$.
Réponse a
$\quad$
La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} h'(x)&=4\e^{2x}+2(4x-16)\e^{2x} \\
&=(4+8x-32)\e^{2x} \\
&=(8x-28)\e^{2x} \\
&=4(2x-7)\e^{2x}\end{align*}$
La fonction $h’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} h\dsec(x)&=4\left(2\e^{2x}+2(2x-7)\e^{2x}\right) \\
&=8(1+2x-7)\e^{2x} \\
&=8(2x-6)\e^{2x}\end{align*}$
$h\dsec(x)>0 \ssi 2x-6>0 \ssi x>3$ et $\dsec(x)=0 \ssi 2x-6=0\ssi x=3$.
La fonction $h\dsec$ s’annule en changeant de signe en $3$.
Le point d’abscisse $3$ est donc un point d’inflexion pour la courbe $\mathscr{C}_h$.
Réponse b
$\quad$
La fonction $k$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a $k'(x)=\dfrac{3}{x}-1$
Une équation de $T$ est $y=k'(\e)(x-\e)+k(\e)$.
Par conséquent $k'(\e)=\dfrac{3-\e}{\e}$ et $k(\e)=3-\e$.
Une équation de $T$ est donc $y=\dfrac{3-\e}{\e}(x-\e)+3-\e$
Soit $y=\dfrac{3-\e}{\e}x$
Réponse b
$\quad$
$\left(\ln(x)\right)^2+10\ln(x)+21=0 \ssi \begin{cases} X^2+10X+21=0 \\X=\ln(x)\end{cases}$
Le discriminant de l’équation $X^2+10X+21=0$ est $\Delta=16$.
Elle possède donc deux solutions $\dfrac{-10-\sqrt{16}}{2}=-7$ et $\dfrac{-10+\sqrt{16}}{2}=-3$.
$\ln(x)=-7 \ssi x=\e^{-7}$
$\ln(x)=-3\ssi x=\e^{-3}$.
Par conséquent $\e^{-7}$ et $\e^{-3}$ sont les solutions de l’équation $\left(\ln(x)\right)^2+10\ln(x)+21=0$.
Réponse c
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

Un commerçant vend deux types de matelas: matelas RESSORTS et matelas MOUSSE.
On suppose que chaque client achète un seul matelas.

On dispose des informations suivantes :

$20\%$ des clients achètent un matelas RESSORTS. Parmi eux, $90\%$ sont satisfaits de leur achat.
$82\%$ des clients sont satisfaits de leur achat.

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

On choisit au hasard un client et on note les évènements :

$R$ : : « le client achète un matelas RESSORTS »,
$S$ : « le client est satisfait de son achat ».

On note $x = P_{\conj{R}}(S)$, où $P_{\conj{R}}(S)$ désigne la probabilité de $S$ sachant que $R$ n’est pas réalisé.

Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.
$\quad$
$\quad$
Démontrer que $x = 0,8$.
$\quad$
On choisit un client satisfait de son achat.
Quelle est la probabilité qu’il ait acheté un matelas RESSORTS ?
On arrondira le résultat à $10^{-2}$.

Partie B

On choisit $5$ clients au hasard. On considère la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces $5$ clients.
a. On admet que $X$ suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.
$\quad$
b. Déterminer la probabilité qu’au plus trois clients soient satisfaits de leur achat.
On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
Soit $n$ un entier naturel non nul.
On choisit à présent $n$ clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.
a. On note $p_n$ la probabilité que les $n$ clients soient tous satisfaits de leur achat.
Démontrer que $p_n = 0,82^n$.
$\quad$
b. Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $p_n < 0,01$.
Interpréter dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n +1} = \dfrac{6u_n+2}{u_n +5}$$

Calculer $u_1$.
$\quad$
Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par : $$f(x) = \dfrac{6x+2 }{x+5}$$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
a. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
En déduire que pour tout réel $x > 2$, on a $f(x) > 2$.
$\quad$
b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n > 2$.
$\quad$
On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$u_{n+1}-u_n = \dfrac{\left(2-u_n\right)\left(u_n+1\right)}{u_n +5}$$
a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
On définit la suite $\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel par: $$v_n = \dfrac{u_n-2}{u_n+1}$$
a. Calculer $v_0$.
$\quad$
b. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{4}{7}$.
$\quad$
c. Déterminer, en justifiant, la limite de $\left(v_n\right)$.
En déduire la limite de $\left(u_n\right)$.
$\quad$
On considère la fonction Python $\text{seuil}$ ci-dessous, où $\text{A}$ est un nombre réel strictement plus grand que $2$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil (A) :}\\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{u = 8}\\
\quad \text{while u > A :}\\
\qquad \text{u = (6*u + 2) / (u + 5)}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
Donner, sans justification, la valeur renvoyée par la commande $\text{seuil (2.001)}$ puis interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

On se place dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère le point $A(1;1;0)$ et le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}0\\2\\- 1\end{pmatrix}$.
On considère le plan $\mathcal{P}$ d’équation : $x+4y+2z+1 = 0$.

On note $(d)$ la droite passant par A et dirigée par le vecteur $\vec{u}$.
Déterminer une représentation paramétrique de $(d)$.
$\quad$
Justifier que la droite $(d)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants en un point $B$ dont les coordonnées sont $(1;-1;1)$.
$\quad$
On considère le point $C(1;-1;-1)$.
a. Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
$\quad$
b. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
c. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
$\quad$
a. Justifier que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
$\quad$
b. Soit $H$ le milieu du segment $[BC]$.
Calculer la longueur $AH$ puis l’aire du triangle $ABC$.
$\quad$
Soit $D$ le point de coordonnées $(0;-1;1)$.
a. Montrer que la droite $(BD)$ est une hauteur de la pyramide $ABCD$.
$\quad$
b. Déduire des questions précédentes le volume de la pyramide $ABCD$.
$\quad$
On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par: $$V = \dfrac13 \mathcal{B} \times h$$
où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondante.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2x\e^x$.
Le nombre de solutions sur $\R$ de l’équation $f(x) = -\dfrac{73}{100}$ est égal à :
a. $0$
b. $1$
c. $2$
d. une infinité.
$\quad$
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $$g(x) = \dfrac{x+ 1}{\e^x}$$
La limite de la fonction $g$ en $- \infty$ est égale à :
a. $-\infty$
b. $+\infty$
c. $0$
d. elle n’existe pas.
$\quad$
On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par: $$h(x) = (4x-16)\e^{2x}$$
On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère orthogonal.
On peut affirmer que:
a. $h$ est convexe sur $\R$.
b. $\mathcal{C}_h$ possède un point d’inflexion en $x = 3$.
c. $h$ est concave sur $\R$.
d. $\mathcal{C}_h$ possède un point d’inflexion en $x = 3,5$.
$\quad$
On considère la fonction $k$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $$k(x) = 3 \ln (x)-x$$
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $k$ dans un repère orthonormé.
On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $x = \e$.
Une équation de $T$ est:
a. $y = (3-\e)x$
b. $y = \left(\dfrac{3-\e}{\e}\right)x$
c. $y = \left(\dfrac{3}{\e}- 1\right)x + 1$
d. $y = (\e-1)x + 1$
$\quad$
On considère l’équation $\left(\ln (x)\right)^2+10\ln(x)+21 = 0$, avec $x \in ]0;+\infty[$.
Le nombre de solutions de cette équation est égal à :
a. $0$
b. $1$
c. $2$
d. une infinité.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 2 – 28 mars 2023

Amérique du Nord – 28 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

La fonction $f’$ semble être positive sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et négative sur $[0,3;2,5]$.
Par conséquent $f$ semble croissante sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et décroissante sur $[0,3;2,5]$.
$\quad$
La fonction $f’$ semble strictement croissante sur $]-\infty;-1]$ et $[2;+\infty[$ et strictement décroissante sur $[-1;2]$.
La fonction $f$ semble être convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
$\quad$

Partie B

a. D’après la limite des termes de plus haut degré, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2-5x+6=\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$.
De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x^2\e^x-5x\e^x+6\e^x$.
$\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2\e^x=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=(2x-5)\e^x+\left(x^2-5x+6\right)\e^x \\
&=\left(2x-5+x^2-5x+6\right)\e^x \\
&=\left(x^2-3x+1\right)\e^x\end{align*}$.
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent $f'(x)$ est du même signe que $x^2-3x+1$.
Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=5>0$.
Ses racines sont donc $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$.
$\quad$
De plus son coefficient principal est $1>0$.
Par conséquent :
$\bullet~f'(x)<0$ sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ ;
$\bullet~f'(x)=0$ si $x\in \acco{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}$ ;
$\bullet~f'(x)>0$ sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$ et strictement décroissante sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ .
$\quad$
Une équation de $(\mathscr{T})$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
Or $f(0)=6$ et $f'(0)=1$.
Une équation de $(\mathscr{T})$ est donc $y=x+6$.
$\quad$
a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent $f\dsec(x)$ est du signe de $(x+1)(x-2)$.
$x+1=0\ssi x=-1$ et $x+1>0\ssi x>-1$
$x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
Par conséquent $f\dsec(x)<0 \ssi x\in ]-1;2[$.
La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$ et convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$. Sa courbe représentative est donc située sous ses tangentes sur cet intervalle.
Or $0$ appartient à $[-1;2]$.
Par conséquent $f(x)\pp x+6$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Pour tout entier naturel $n$ on a donc $a_{n+1}=(1-0,15)a_n+0,1b_n$ soit $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $b_{n+1}=0,15a_n+(1-0,1)b_n$ soit $b_{n+1}=0,15a_n+0,9b_n$.
Par conséquent
$\begin{align*} a_1&=0,85\times 1~700+0,1\times 1~300\\
&=1~575\end{align*}$
$\begin{align*} b_1&=0,15\times 1~700+0,9\times 1~300\\
&=1~425\end{align*}$
En 2024, le club A comptera $1~575$ membres et le club B $1~425$.
$\quad$
Durant l’étude aucun sportif ne quitte le groupe.
Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $a_n+b_n=3~000$.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $a_n+b_n=3~000$.
Par conséquent :
$\begin{align*} a_{n+1}&=0,85a_n+0,1\left(3~000-a_n\right) \\
&=0,85a_n+300-0,1a_n \\
&=0,75a_n+300\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
Initialisation : $a_0=1~700$ et $a_1=1~575$. Donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$
donc
$900\pp 0,75a_{n+1}\pp 0,75a_n\pp 1~275$
Par conséquent $1~200 \pp 0,75a_{n+1}+300\pp 0,75a_n+300\pp 1~575$.
Donc $1~200\pp a_{n+2} \pp a_{n+1} \pp 1~575\pp 1~700$.
Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout $n\in \N$, $1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
$\quad$
b. La suite $\left(a_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~200$ ; elle converge donc.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-1~200 \\
&=0,75a_n+300-1~200\\
&=0,75a_n-900 \\
&=0,75\left(a_n-1~200\right) \\
&=0,75v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_0=a_0-1~200$ soit $v_0=500$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $v_n=500\times 0,75^n$.
$\quad$
c. Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} a_n&=v_n+1~200 \\
&=500\times 0,75^n+1~200\end{align*}$
$\quad$
a. $-1<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,75^n=0$. Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=1~200$.
$\quad$
b. Sur le long terme, le club A comptera ainsi $1~200$ membres.
$\quad$
a. On peut écrire
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\texttt{def seuil() :}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{n = 0}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{A = 1700}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{while A >= 1280 :}\\
\hspace{1.6cm} \texttt{n = n + 1}\\
\hspace{1.6cm} \texttt{A = 0.75 * A + 300}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} a_n< 1~280 &\ssi 500\times 0,75^n+1200< 1~280 \\
&\ssi 500\times 0,75^n< 80 \\
&\ssi 0,75^n < 0,16\\
&\ssi n\ln(0,75)<\ln(0,16) \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \qquad \text{(car $\ln(0,75)<0$)}\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \approx 6,4$.
Ainsi l’appel de la fonction $\texttt{seuil}$ renverra $7$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. $\vect{EF}\begin{pmatrix}-4\\4\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{FG}\begin{pmatrix} 4\\0\\-4\end{pmatrix}$
$\quad$
b. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
Ainsi les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. Une représentation paramétrique de la droite $(FG)$ est donc $$\begin{cases} x=-1+4t\\y=2\\z=1-4t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
$\quad$
b. $-1+4t=2\ssi 4t=3\ssi t=\dfrac{3}{4}$
$4t-1=-2 \ssi -1+4t=2\ssi t=\dfrac{3}{4}$
Donc en prenant $t=\dfrac{3}{4}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(FG)$ on retrouve les coordonnées de point $H$.
De plus $\vect{EH}\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}$.
Ainsi $\vect{EH}.\vect{FG}=-4+0+4=0$.
Les droites $(EH)$ et $(FG)$ sont perpendiculaires en $H$.
$H$ est le projeté orthogonal du point $E$ sur la droite $(FG)$.
$\quad$
c. On a :
$\begin{align*} FG&=\sqrt{4^2+0+(-4)^2} \\
&=\sqrt{32} \\
&=4\sqrt{2}\end{align*}$
$\begin{align*} EH&=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2} \\
&=\sqrt{18} \\
&=3\sqrt{2}\end{align*}$
L’aire du triangle $EFG$ est donc égale à :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{EH\times FG}{2} \\
&=\dfrac{4\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2} \\
&=12 \text{ cm}^2\end{align*}$
$\quad$
a. $\vec{n}.\vect{EF}=-8+4+4=0$
$\vec{n}.\vect{FG}=8+0-8=0$
Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EFG)$.
Il est donc normal au plan $(EFG)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est de la forme $2x+y+2z+d=0$.
$E(3;-2;-1)$ appartient à ce plan.
Ainsi $6-2-2+d=0 \ssi d=-2$.
Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est donc $2x+y+2z-2=0$.
$\quad$
c. Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est donc $$\begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\end{cases} \qquad \forall k\in \R$$
$\quad$
d. On résout le système :
$\begin{align*} \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\2x+y+2z-2=0\end{cases}&\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\6+4k+1+k+10+4k-2=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\9k=-15\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}k=-\dfrac{5}{3}\\[2mm]x=-\dfrac{1}{3}\\[2mm]y=-\dfrac{2}{3}\\[2mm]z=\dfrac{5}{3}\end{cases}\end{align*}$
Donc $K$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
$\quad$
a. $\vect{DK}\begin{pmatrix}-\dfrac{10}{3}\\[2mm]-\dfrac{5}{3}\\[2mm]-\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}$
$\begin{align*} DK&=\sqrt{\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{100}{9}+\dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9}} \\
&=\sqrt{25} \\
&=5 \text{ cm}\end{align*}$
$\quad$
b. Le volume du tétraèdre $DEFG$ est :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times DK \\
&=\dfrac{1}{3}\times 12\times 5 \\
&=20\text{ cm}^3\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Pour tout réel $x>1$ on a $f(x)=0,05-\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{x}{x-1}$.
D’après la limite des termes de plus haut degré $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x}=1$.
Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0,05$.
Réponse b
$\quad$
La fonction $h$ est continue sur l’intervalle $[-2;4]$ et donc également sur l’intervalle $[1;3]$.
$h(1)=4>0$ et $h(3)=-1<0$.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $h(x)=0$ admet au moins une solution sur l’intervalle $[1;3]$.
Réponse c
$\quad$
$\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$. Il existe donc un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n\pg N$, on ait $u_n\pg 1$.
Par conséquent, pour tout $n\pg N$ : $0\pp \dfrac{1}{u_n} \pp 1$ et $0\pp \dfrac{v_n}{u_n}\pp v_n$.
$\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$.
D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{v_n}{u_n}=0$.
Réponse b
$\quad$
On considère la variable aléatoire $X$ égale au gain algébrique du joueur.
$P(X=8)=\dfrac{1}{6}$ (s’il obtient $1$)
$P(X=-1)=\dfrac{1}{2}$ (s’il obtient un nombre pair)
$P(X=-4)=\dfrac{1}{3}$ (sinon)
L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=8\times \dfrac{1}{6}-1\times \dfrac{1}{2}-4\times \dfrac{1}{3} \\
&=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$
Réponse d
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} P(X=0)=\dfrac{1}{125}&\ssi (1-p)^3=\dfrac{1}{125} \\
&\ssi 1-p=\dfrac{1}{5} \\
&\ssi p=\dfrac{4}{5}\end{align*}$
Réponse c
$\quad$

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 5 points

Partie A

Le plan est muni d’un repère orthogonal.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f’$ sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$.

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$. Aucune justification n’est demandée.

Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. On utilisera des valeurs approchées si besoin.
$\quad$
Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble être convexe.
$\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^{2}-5 x + 6\right) \e^{x}$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.

a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\quad$
b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
$\quad$
Montrer que, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right) \e^{x}$.
$\quad$
En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.
$\quad$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$. On note $f”$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. On admet que, pour tout réel $x$, on a $f”(x) = (x+1)(x- 2) \e^{x}$.

a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[-1~;~2]$, on a $f(x) \pp x + 6$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On étudie un groupe de $3~000$ sportifs qui pratiquent soit l’athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B.

En 2023, le club A compte $1~700$ membres et le club B en compte $1~300$.

On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$, où $n$ désigne le rang de l’année à partir de 2023.
L’année 2023 correspond au rang $0$. On a alors $a_{0}= 1~700$ et $b_{0} = 1~300$.

Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :

durant l’étude, aucun sportif ne quitte le groupe ;
chaque année, $15\%$ des sportifs du club A quittent le club et adhèrent au club B ;
chaque année, $10\%$ des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club $A$.

Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, déterminer une relation liant $a_{n}$ et $b_{n}$.
$\quad$
Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)$ vérifie la relation suivante pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1}= 0,75 a_{n} + 300$
$\quad$
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $$1~200 \pp a_{n+1} \pp a_{n} \pp 1~700$$
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(a_{n}\right)$ converge.
$\quad$
Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=a_{n}- 1~200$.
a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.
$\quad$
b. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. En déduire que pour tout entier naturel $n, a_{n}= 500 \times 0,75^{n}+ 1~200$.
$\quad$
a. Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
$\quad$
b. Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
a. Recopier et compléter le programme Python ci-dessous afin qu’il renvoie la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à $1~280$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\textbf{def }\text{seuil() :}\\
\quad\text{n = 0}\\
\quad \text{A = 1700}\\
\quad \textbf{while} \text{ … :}\\
\qquad \text{n = n + 1} \phantom{123456789}\\
\qquad \text{A = …}\\
\quad \textbf{return}\text{ …}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Déterminer la valeur renvoyée lorsqu’on appelle la fonction $\text{seuil}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé d’unité $1$ cm, on considère les points $$D(3;1;5) \qquad E(3;-2;-1) \qquad F(-1;2;1) \qquad G(3;2;-3)$$

a. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{EF}$ et $\vect{FG}$.
$\quad$
b. Justifier que les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(FG)$.
$\quad$
b. On appelle $H$ le point de coordonnées $(2;2;-2)$.
Vérifier que $H$ est le projeté orthogonal de $E$ sur la droite $(FG)$ .
$\quad$
c. Montrer que l’aire du triangle $EFG$ est égale à $12$ cm$^{2}$.
$\quad$
a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(EFG)$.
$\quad$
b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(EFG)$.
$\quad$
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $D$ et orthogonale au plan $(EFG)$.
$\quad$
d. On note $K$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(EFG)$.
À l’aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point $K$.
$\quad$
a. Vérifier que la distance $DK$ est égale à $5$ cm.
$\quad$
b. En déduire le volume du tétraèdre $DEFG$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Les cinq questions sont indépendantes.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]1~;+\infty[$ par $f(x)= 0,05-\dfrac{\ln x}{x- 1}$.
La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à :
a. $+\infty$
b. $0,05$
c. $-\infty$
d. $0$
$\quad$
On considère une fonction $h$ continue sur l’intervalle $[-2 ; 4]$ telle que : $$h(-1)=0, \qquad h(1) = 4, \qquad h(3) = -1$$
On peut affirmer que :
a. la fonction $h$ est croissante sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
b. la fonction $h$ est positive sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
c. il existe au moins un nombre réel $a$ dans l’intervalle $[1;3]$ tel que $h(a) = 1$.
d. l’équation $h(x)=1$ admet exactement deux solutions dans l’intervalle $[-2;4]$.
$\quad$
On considère deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs telles que $\lim\limits_{n \to+\infty} u_{n}=+\infty$ et $\left(v_{n}\right)$ converge vers $0$.
On peut affirmer que :
a. la suite $\left(\dfrac{1}{v_{n}}\right)$ converge.
b. la suite $\left(\dfrac{v_{n}}{u_{n}}\right)$ converge.
c. la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
d. $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-u_{n}\right)^{n}=-\infty$
$\quad$
Pour participer à un jeu, un joueur doit payer $4$ €.
Il lance ensuite un dé équilibré à six faces :
$\bullet$ s’il obtient $1$, il remporte $12$ €;
$\bullet$ s’il obtient un nombre pair, il remporte $3$ €;
$\bullet$ sinon, il ne remporte rien.
En moyenne, le joueur :
a. gagne $3,50$ €.
b. perd $3$ €.
c. perd $1,50$ €.
d. perd $0,50$ €.
$\quad$
On considère la variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;~p)$.
On sait que $P(X = 0) = \dfrac{1}{125}$. On peut affirmer que :
a. $p = \dfrac{1}{5}$
b. $P(X = 1) =\dfrac{124}{125}$
c. $p = \dfrac{4}{5}$
d. $P(X= 1) =\dfrac{4}{5}$
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 1 – 27 mars 2023

Amérique du Nord – 27 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(D\cap R)&=P(D)P_D(R)\\
&=0,03\times 0,35 \\
&=0,010~5\end{align*}$
La probabilité que le déchet soit dangereux et recyclable est égale à $0,010~5$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P\left(M\cap \conj{R}\right)&=P(M)P_M\left(\conj{R}\right) \\
&=0,69\times 0,27 \\
&=0,186~3\end{align*}$
La probabilité que le déchet soit minéral non dangereux et non recyclable est égale à $0,186~3$.
$\quad$
$(M,N,D)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(R)&=P(M\cap R)+P(N\cap R)+P(D\cap R) \\
&=P(M)P_M(R)+P(N)P_N(R)+P(D)P_D(R) \\
&=0,69\times 0,73+0,28\times 0,49+0,03\times 0,35 \\
&=0,651~4\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_R(N)&=\dfrac{P(N\cap R)}{P(R)} \\
&=\dfrac{P(N)P_N(R)}{P(R)} \\
&=\dfrac{0,28\times 0,49}{0,651~4} \\
&\approx 0,210~6\end{align*}$
La probabilité que le déchet soit non minéral et non dangereux sachant qu’il est recyclable est environ égale à $0,210~6$.
$\quad$

Partie B

a. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,651~4$.
$\quad$
b. On veut calculer :
$\begin{align*} P(X=14)&=\dbinom{20}{14}0,651~4^{14}\times (1-0,651~4)^6 \\
&\approx 0,172~3\end{align*}$
La probabilité que l’échantillon contienne exactement $14$ déchets recyclables est environ égale à $0,172~3$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc
$\begin{align*}p_n&=(1-0,651~4)^n \\
&=0,348~6^n\end{align*}$
$\quad$
b. On veut déterminer le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que :
$\begin{align*} 1-0,348~6^n\pg 0,999~9 &\ssi -0,348~6^n \pg -0,000~1 \\
&\ssi 0,348~6^n \pp 0,000~1 \\
&\ssi n\ln(0,348~6) \pp\ln(0,000~1) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,000~1)}{\ln(0,348~6)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,000~1)}{\ln(0,348~6)}\approx 8,7$.
L’entier naturel cherché est donc $9$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A – Étude d’une fonction auxiliaire

a. $\lim\limits_{x\to -\infty}2x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to-\infty}\e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to-\infty}\e^{2x}=0$.
De plus $\lim\limits_{x\to -\infty} -2x-3=+\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=+\infty$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a $g(x)=\e^{2x}\left(3-2x\e^{-2x}-3\e^{-2x}\right)$
$\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-2x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} x\e^{-2x}=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} 3-2x\e^{-2x}-3\e^{-2x}=3$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{2x}=+\infty$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=3\times 2\e^{2x}-2 \\
&=6\e^{2x}-2\end{align*}$
$\quad$
b.
$\begin{align*}g'(x)=0&\ssi 6\e^{2x}-2=0\\
&\ssi \e^{2x}=\dfrac{1}{3} \\
&\ssi 2x=\ln\left(\dfrac{1}{3}\right) \\
&\ssi 2x=-\ln(3) \\
&\ssi x=\dfrac{-\ln(3)}{2}\end{align*}$
$\begin{align*}g'(x)>0&\ssi 6\e^{2x}-2>0\\
&\ssi \e^{2x}>\dfrac{1}{3} \\
&\ssi 2x>\ln\left(\dfrac{1}{3}\right) \\
&\ssi 2x>-\ln(3) \\
&\ssi x>\dfrac{-\ln(3)}{2}\end{align*}$
Par conséquent :
$\bullet~g'(x)<0$ sur $\left]-\infty;\dfrac{-\ln(3)}{2}\right[$
$\bullet~g’\left(\dfrac{-\ln(3)}{2}\right)=0$
$\bullet~g'(x)>0$ sur $\left]\dfrac{-\ln(3)}{2};+\infty\right[$
$\quad$
c. On obtient par conséquent le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
où
$\begin{align*} m&=g\left(\dfrac{-\ln(3)}{2}\right) \\
&=\dfrac{3}{3}+\ln(3)-3 \\
&=\ln(3)-2\end{align*}$
$\quad$
a. $g(0)=3-0-3=0$ donc $0$ est solution de l’équation $g(x)=0$.
$\quad$.
b. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $\left]-\infty;-\dfrac{\ln(3)}{2}\right]$.
$g\left(-\dfrac{\ln(3)}{2}\right)=\ln(3)-2<0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=+\infty$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left]-\infty;-\dfrac{\ln(3)}{2}\right]$.
D’après la calculatrice $-1,5<\alpha<-1,4$.
$\quad$
D’après le tableau de variations de la fonction $g$ est la question A.3. on a :
$\bullet ~g(x)>0$ sur $]-\infty;\alpha]$ ;
$\bullet ~g(\alpha)=0$ ;
$\bullet ~g(x)<0$ sur $]\alpha;0[$ ;
$\bullet ~g(0)=0$ ;
$\bullet ~g(x)>0$ sur $]0;+\infty[$.
$\quad$

Partie B – Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=3\e^{3x}-2\e^x-(2x+1)\e^x \\
&=\e^x\left(3\e^{2x}-2-(2x+1)\right) \\
&=\e^x\left(3\e^{2x}-2x-3\right) \\
&=\e^xg(x)\end{align*}$
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive. Ainsi $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe.
Par conséquent :
$\bullet ~f'(x)>0$ sur $]-\infty;\alpha]$ ;
$\bullet ~f'(\alpha)=0$ ;
$\bullet ~f'(x)<0$ sur $]\alpha;0[$ ;
$\bullet ~f'(0)=0$ ;
$\bullet ~f'(x)>0$ sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;\alpha]$ et sur $[0;+\infty[$ et est strictement décroissante sur $[\alpha;0]$.
$\quad$
La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\e^xg(x)$. Par conséquent :
$\begin{align*} f\dsec(x)&=\e^xg(x)+\e^xg'(x) \\
&=\e^x\left(g(x)+g'(x)\right) \quad (*)\\
&=\e^x\left(3\e^{2x}-2x-3+6\e^{2x}-2\right) \\
&=\e^x\left(9\e^{2x}-2x-5\right)\end{align*}$
En traçant la courbe sur la calculatrice, on remarque que cette expression est négative sur un intervalle inclus dans $]-3;0[$.
En particulier $f\dsec(-1) \approx -0,66$.
Ainsi $f$ n’est pas convexe sur $\R$.
$\quad$
Remarque : On pouvait également dire que :
$\bullet$ $g'(x)<0$ sur $\left]-\infty;-\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)\right[$ d’après la question A.2.b
$\bullet$ $g(x)<0$ sur $]\alpha;0[$ d’après la question A.4
Ainsi $g(x)+g'(x)<0$ sur $\left]\alpha;-\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)\right[$.
Donc, d’après $(*)$, $f\dsec(x)<0$ sur $\left]\alpha;-\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)\right[$ et $f$ est concave sur intervalle. Elle n’est donc pas convexe sur $\R$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}$, $\vect{AC}\begin{pmatrix}4\\-2\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix}0\\-6\\6\end{pmatrix}$.
$\vect{AB}.\vect{AC}=16-8-8=0$.
Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
De plus :
$\begin{align*} AB^2&=4^2+4^2+(-2)^2 \\
&=36\end{align*}$
et
$\begin{align*} AC^2&=4^2+(-2)^2+4^2 \\
&=36\end{align*}$
Ainsi $AB=AC$ et le triangle $ABC$ est également isocèle.
Réponse a
$\quad$
On a :
$4\times 3+6+3-21=21-21=0$ : les coordonnées du point $B$ vérifient l’équation $4x+y+z-21=0$.
$4\times 3+0+9-21=21-21=0$ : les coordonnées du point $C$ vérifient l’équation $4x+y+z-21=0$.
$4\times 8-3-8-21=32-32=0$ : les coordonnées du point $D$ vérifient l’équation $4x+y+z-21=0$.
Réponse c
$\quad$
La première réponse ne convient pas car les coordonnées du point $H$ ne vérifient pas l’équation du plan $(ABC)$ fournie.
Un vecteur normal au plan $(ABC)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}$.
$\vect{DH}$ doit être colinéaires à ce vecteur.
$3-2\times 7-2\times 2+15=0$. Le point $H’$ de coordonnées $(3,7,2)$ appartient donc au plan $(ABC)$.
De plus $\vect{DH’}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}-5\\10\\10\end{pmatrix}$.
Donc $\vect{DH’}=-5\vec{n}$.
Réponse b
$\quad$
Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}$
$\vec{u}$ et $\vect{BC}$ ne sont donc pas colinéaires.
Une représentation paramétrique de la droite $(BC)$ est $$\begin{cases} x=3\\y=6-6k\\z=3+6k\end{cases} \qquad \forall k\in \R$$
Déterminons si le système suivant possède une solution
$\begin{align*}
\begin{cases} x=3\\y=6-6k\\z=3+6k\\x=5+t\\y=3-t\\z=-1+3t \end{cases}&\ssi \begin{cases} x=5+t\\y=3-t\\z=-1+3t \\3=5+t\\6-6k=3-t\\3+6k=-1+3t \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=5+t\\y=3-t\\z=-1+3t \\t=-2\\6-6k=3-t\\3+6k=-1+3t \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=5+t\\y=3-t\\z=-1+3t \\t=-2\\-6k=-1\\6k=-10 \end{cases} \end{align*}$
Les deux dernières équations ne sont pas compatibles.
Réponse d
$\quad$
Les vecteurs normaux de ces deux plans ne sont pas colinéaires : les plans ne sont pas parallèles.
$2\times (-1)-2+2\times 5-6=10-10=0$ : le point $A$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
$2\times 3-6+2\times 3-6=12-12=0$ : le point $B$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
La droite $(AB)$ appartient donc aux deux plans.
Les deux plans sont sécants et leur intersection est la droite $(AB)$.
Réponse b.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A – Étude de la suite $\boldsymbol{u_n}$

$\quad$
$\begin{align*} u_1&=\dfrac{1}{2}\left(5+\dfrac{11}{5}\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{36}{5} \\
&=\dfrac{18}{5}\end{align*}$
$\begin{align*} u_2&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{18}{5}+\dfrac{55}{18}\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{599}{90} \\
&=\dfrac{599}{180}\end{align*}$
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{11}{x^2}\right) \\
&=\dfrac{x^2-11}{2x^2}\\
&=\dfrac{\left(x-\sqrt{11}\right)\left(x+\sqrt{11}\right)}{2x^2}\end{align*}$
Pour tout réel $x\pg \sqrt{11}$ on a $x-\sqrt{11}\pg 0$, $x+\sqrt{11}\pg 0$ et $2x^2\pg 0$.
Ainsi, $f'(x)\pg 0$ sur $\left[\sqrt{11};+\infty\right[$.
La fonction $f$ est donc bien croissante sur l’intervalle $\left[\sqrt{11};+\infty\right[$.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n\pg u_{n+1}\pg \sqrt{11}$
Initialisation : $u_0=5$, $u_1=\dfrac{18}{5}=3,6$ et $\sqrt{11}\approx 3,32$.
Par conséquent $u_0\pg u_1\pg \sqrt{11}$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
Ainsi $u_n\pg u_{n+1} \pg \sqrt{11}$.
La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $\left[\sqrt{11};+\infty\right[$.
Par conséquent $f\left(u_n\right)\pg f\left(u_{n+1}\right) \pg f\left(\sqrt{11}\right)$
Soit $u_{n+1}\pg u_{n+2} \pg \sqrt{11}$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $u_n\pg u_{n+1}\pg \sqrt{11}$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $\sqrt{11}$; elle converge donc.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) sur $\left[\sqrt{11};+\infty\right[$.
De plus, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
Ainsi $\alpha$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi x+\dfrac{11}{x}=2x \\
&\ssi \dfrac{11}{x}=x \\
&\ssi x^2=11 \\
&\ssi x=\sqrt{11} \text{ ou } x=-\sqrt{11}\end{align*}$.
Or $\alpha \pg \sqrt{11}$.
Par conséquent $\alpha=\sqrt{11}$.
$\quad$

Partie B – Application géométrique

a. On a $L_0\times \ell_0=11 \ssi 5\ell_0=11 \ssi \ell_0=2,2$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a $L_n\ell_n=11$ donc $\ell_n=\dfrac{11}{L_n}$.
$\quad$
On a $L_0=u_0$. De plus, pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} L_{n+1}&=\dfrac{1}{2}\left(L_n+\ell_n\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\left(L_n+\dfrac{11}{L_n}\right)\end{align*}$
Par conséquent $ \left(L_n\right)$ correspond à la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
D’après la partie A, $L_n\pg \sqrt{11}$.
Par conséquent $\dfrac{1}{L_n} \pp \dfrac{1}{\sqrt{11}} $
Ainsi $\dfrac{11}{L_n}\pp \sqrt{11}$
D’où $\ell_n \pp \sqrt{11}$.
$\quad$
Cela signifie que sur le long terme, le rectangle $R_n$ sera un carré de côté $\sqrt{11}$.
$\quad$
a. On obtient les valeurs approchée de $\ell_3$ et $L_3$.
L’appel $\texttt{heron(3)}$ renvoie donc $\texttt{(3.316606, 3.316643)}$.
$\quad$
b. Cela signifie qu’un encadrement de $\sqrt{11}$ est $3,316~606 \pp \sqrt{11}\pp 3,316~643$.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

Dans un souci d’améliorer sa politique en matière de développement durable, une entreprise a réalisé une enquête statistique sur sa production de déchets.

Dans cette enquête, les déchets sont classés en trois catégories :

$69\%$ des déchets sont minéraux et non dangereux;
$28\%$ des déchets sont non minéraux et non dangereux;
les déchets restants sont des déchets dangereux.

Cette enquête statistique nous apprend également que :

$73\%$ des déchets minéraux et non dangereux sont recyclables ;
$49\%$ des déchets non minéraux et non dangereux sont recyclables ;
$35\%$ des déchets dangereux sont recyclables.

Les parties A et B sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.

Partie A

Dans cette entreprise, on prélève au hasard un déchet. On considère les évènements suivants :

$M$ : « Le déchet prélevé est minéral et non dangereux »;
$N$ : « Le déchet prélevé est non minéral et non dangereux »;
$D$ : « Le déchet prélevé est dangereux »;
$R$ : « Le déchet prélevé est recyclable ».

On note $\conj{R}$ l’évènement contraire de l’évènement $R$.

Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation de l’énoncé.

$\quad$

Justifier que la probabilité que le déchet soit dangereux et recyclable est égale à $0,010~5$.
$\quad$
Déterminer la probabilité $P\left(M \cap \conj{R}\right)$ et interpréter la réponse obtenue dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Démontrer que la probabilité de l’évènement $R$ est $P(R)=0,651~4$.
$\quad$
On suppose que le déchet prélevé est recyclable. Déterminer la probabilité que ce déchet soit non minéral et non dangereux. On donnera la valeur arrondie au dix-millième.
$\quad$

Partie B

On rappelle que la probabilité qu’un déchet prélevé au hasard soit recyclable est égale à $0,651~4$.

Afin de contrôler la qualité de la collecte dans l’entreprise, on prélève un échantillon de $20$ déchets pris au hasard dans la production. On suppose que le stock est suffisamment important pour assimiler le prélèvement de cet échantillon à un tirage avec remise.
On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de déchets recyclables dans cet échantillon.
a. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
$\quad$
b. Donner la probabilité que l’échantillon contienne exactement 14 déchets recyclables. On donnera la valeur arrondie au dix-millième.
$\quad$
Dans cette question, on prélève désormais $n$ déchets, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.
a. Donner l’expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ qu’aucun déchet de cet échantillon ne soit recyclable.
$\quad$
b. Déterminer la valeur de l’entier naturel $n$ à partir de laquelle la probabilité qu’au moins un déchet du prélèvement soit recyclable est supérieure ou égale à $0,999~9$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=\e^{3 x}-(2 x+1) \e^{x}$$

Le but de cet exercice est d’étudier la fonction $f$ sur $\R$.

Partie A – Étude d’une fonction auxiliaire

On définit la fonction $g$ sur $\R$ par : $$g(x)=3 \e^{2x}-2 x – 3$$

a. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $-\infty$.
$\quad$
b. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
$\quad$
a. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\R$, et on note $g’$ sa fonction dérivée.
Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a $g'(x)=6 \e^{2 x}-2$.
$\quad$
b. Étudier le signe de la fonction dérivée $g’$ sur $\R$.
$\quad$
c. En déduire le tableau de variations de la fonction $g$ sur $\R$. Vérifier que la fonction $g$ admet un minimum égal à $\ln (3)-2$.
$\quad$
a. Montrer que $x=0$ est solution de l’équation $g(x) = 0$.
$\quad$
b. Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet une deuxième solution, non nulle, notée $\alpha$, dont on donnera un encadrement d’amplitude $10^{-1}$.
$\quad$
Déduire des questions précédentes le signe de la fonction $g$ sur $\R$.
$\quad$

Partie B – Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$, et on note $f’$ sa fonction dérivée.
Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a $f'(x)=\e^{x} g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la partie A.
$\quad$
En déduire alors le signe de la fonction dérivée $f’$ puis les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
Pourquoi la fonction $f$ n’est-elle pas convexe sur $\R$ ? Expliquer.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Les cinq questions sont indépendantes.

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère les points $A(-1;2;5)$, $B(3;6;3)$, $C(3;0;9)$ et $D(8;-3;-8)$.

On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.

$ABC$ est un triangle :
a. isocèle rectangle en A
b.isocèle rectangle en B
c.isocèle rectangle en C
d.équilatéral
$\quad$
Une équation cartésienne du plan $(BCD)$ est :
a. $2 x+y+z-15=0$
b. $9 x-5 y+3=0$
c. $4 x+y+z-21=0$
d. $11 x+5 z-73=0$
$\quad$
On admet que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $x-2y-2z+15 = 0$.
On appelle $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
On peut affirmer que :
a. $H(-2;17;12)$
b. $H(3;7;2)$
c. $H(3;2;7)$
d. $H(-15;1;-1)$
$\quad$
Soit la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\begin{cases}x=5+t \\ y=3-t \\ z =-1 + 3t\end{cases}$, avec $t$ réel.
Les droites $(BC)$ et $\Delta$ sont :
a. confondues
b. strictement parallèles
c. sécantes
d. non coplanaires
$\quad$
On considère le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne $2x-y+2z-6 = 0$.
On admet que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $x-2 y-2 z+15=0$.
On peut affirmer que :
a. les plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ sont strictement parallèles
b. les plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ sont sécants et leur intersection est la droite $(AB)$
c. les plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ sont sécants et leur intersection est la droite $(AC)$
d. les plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ sont sécants et leur intersection est la droite $(BC)$
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=5$ et pour tout entier naturel $n$, $$ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_{n}+\dfrac{11}{u_{n}}\right)$$

On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est bien définie.

Partie A – Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_{n}\right)}$

Donner $u_{1}$ et $u_{2}$ sous forme de fractions irréductibles.
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty [$ par : $$f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\frac{11}{x}\right)$$
Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $\left[\sqrt{11};+\infty\right[$.
$\quad$
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $: u_{n} \pg u_{n+1} \pg \sqrt{11}$.
$\quad$
En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers une limite réelle. On note $a$ cette limite.
$\quad$
Après avoir déterminé et résolu une équation dont $a$ est solution, préciser la valeur exacte de $a$.
$\quad$

Partie B – Application géométrique

Pour tout entier naturel $n$, on considère un rectangle $R_{n}$ d’aire $11$ dont la largeur est notée $\ell_{n}$ et longueur $L_{n}$.

La suite $\left(L_{n}\right)$ est définie par $L_{0}=5$ et, pour tout entier naturel $n$, $$L_{n+1}=\dfrac{L_{n}+\ell_{n}}{2} $$

a. Expliquer pourquoi $\ell_{0}=2,2$.
$\quad$
b. Établir que pour tout entier naturel $n$, $$\ell_{n}=\dfrac{11}{L_{n}}$$
$\quad$
Vérifier que la suite $\left(L_{n}\right)$ correspond à la suite $\left(u_{n}\right)$ de la partie A.
$\quad$
Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $\ell_{n} \pp \sqrt{11} \pp L_{n}$.
$\quad$
On admet que les suites $\left(L_{n}\right)$ et $\left(\ell_{n}\right)$ convergent toutes les deux vers $\sqrt{11}$. Interpréter géométriquement ce résultat dans le contexte de la partie B.
$\quad$
Voici un script, écrit en langage Python, relatif aux suites étudiées dans cette partie :
$$\begin{array}{|l l|}
\hline
1 & \text{def heron(n):} \\
2 & \quad \text{L = 5} \\
3 & \quad \text{l = 2.2} \\
4 & \quad \text{for i in range(n):} \\
5 & \qquad \text{L = (L + l) / 2} \\
6 & \qquad \text{l = 11 / L} \\
7 & \quad \text{return round(l,6), round(L,6)}\\
\hline
\end{array}$$
On rappelle que la fonction Python $\text{round(x,k)}$ renvoie une version arrondie du nombre $\text{x}$ avec $\text{k}$ décimales.
a. Si l’utilisateur tape $\text{heron(3)}$ dans une console d’exécution Python, qu’obtient-il comme valeurs de sortie pour $\text{l}$ et $\text{L}$ ?
$\quad$
b. Donner une interprétation de ces deux valeurs.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 2 – 24 mars 2023

Asie – 24 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

L’aire du triangle $FBG$ est égale à la moitié de l’aire du carré unité $BCGF$.
$I$ est le milieu de $[EF]$ et $EF=AB$ donc $FI=\dfrac{1}{2}$.
Le volume du tétraèdre $FIGB$ est donc :
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{FBG}\times FI \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}\\
&=\dfrac{1}{12} \text{u.v.}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \vect{AI}&=\vect{AE}+\vect{EI} \\
&=\vect{AE}+\dfrac{1}{2}\vect{EF} \\
&=\vect{AE}+\dfrac{1}{2}\vect{AB}\end{align*}$
Par conséquent $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};0;1\right)$.
$\quad$
$\vect{BI}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\[2mm]0\\1\end{pmatrix}$, $\vect{BG}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{DJ}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$
$\vect{DJ}.\vect{BI}=-1+0+1=0$
$\vect{DJ}.\vect{BG}=0-1+1=0$
Les vecteur $\vect{DJ}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (ils n’ont pas la même composante nulle) du plan $(BIG)$.
Par conséquent $\vect{DJ}$ est un vecteur normal au plan $(BIG)$.
$\quad$
Une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est alors de la forme $2x-y+z+d=0$.
$B(1;0;0)$ appartient au plan $(BIG)$. Donc $2+0+0+d=0 \ssi d=-2$.
Une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est par conséquent $2x-y+z-2=0$.
$\quad$
Une représentation paramétrique de la droite $d$ est $$\begin{cases} x=1+2t\\y=-t\\z=1+t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$.
$\quad$
a. En prenant $t=-\dfrac{1}{6}$ dans la représentation paramétrique de $d$ on obtient $x=\dfrac{2}{3}$, $y=\dfrac{1}{6}$ et $z=\dfrac{5}{6}$.
De plus $2\times \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}-2=\dfrac{4}{3}+\dfrac{2}{3}-2=0$.
Le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right)$ appartient donc à la fois à la droite $d$ et au plan $(BIG)$.
La droite $d$ coupe le plan $(BIG)$ au point $L$.
Ainsi $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right)$.
$\quad$
b. $\vect{FL}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3}\\[2mm]\dfrac{1}{6}\\[2mm]-\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} FL&=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{6}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{6}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{36}}\\
&=\sqrt{\dfrac{1}{6}} \\
&=\dfrac{\sqrt{6}}{6}\end{align*}$
$\quad$
c. On appelle $\mathscr{A}$ l’aire du triangle $IGB$.
On a alors
$\begin{align*} V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times FL\\ &\ssi \dfrac{1}{12}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times \dfrac{\sqrt{6}}{6} \\
&\ssi \mathscr{A}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\end{align*}$
L’aire du triangle $IGB$ est donc égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ u.a.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

$\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$
$\lim\limits_{x\to -\infty} 2x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{2x}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=1$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $g(x)=\e^{2x}\left(1-\e^{-x}+\e^{-2x}\right)$
Or, $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{2x}=+\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-2x}=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
$\quad$
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} g'(x)&=2\e^{2x}-\e^x \\
&=\e^{x}\left(2\e^x-1\right)\end{align*}$.
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
La signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2\e^x-1$.
$2\e^x-1=0 \ssi 2\e^x=1 \ssi \e^x=\dfrac{1}{2} \ssi x=-\ln(2)$
$2\e^x-1>0 \ssi 2\e^x>1 \ssi \e^x>\dfrac{1}{2} \ssi x>-\ln(2)$
On obtient alors le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
La fonction $g$ admet un minimum qui vaut $\dfrac{3}{4}$.
Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $g(x)\pg \dfrac{3}{4}>0$.
La fonction $g$ est strictement positive sur $\R$.
$\quad$
On pourrait écrire $\e^{2x}-\e^x+1>0 \ssi \begin{cases} X^2-X+1>0 \\X=\e^x\end{cases}$.
Le discriminant du polynôme du second degré $X^2-X+1$ est $\Delta=-3<0$.
Le coefficient principal de ce polynôme est $1>0$.
Par conséquent, pour tout réel $X$ on a $X^2-X+1>0$.
Donc $\e^{2x}-\e^x+1>0$ pour tout réel $x$.
$\quad$

Partie B

D’après la question A.5., pour tout tout réel $x$, on a $\e^{2x}-\e^x+1>0$.
La fonction $\ln$ est définie sur $\R_+^*$.
Par conséquent la fonction $f$ est bien définie sur $\R$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x$ on a alors :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\e^{2x}-\e^x}{\e^{2x}-\e^x+1} \\
&=\dfrac{g'(x)}{g(x)}\end{align*}$
$\quad$
Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
Or $f(0)=0$ et $f'(0)=1$.
Une équation de cette tangente est donc $y=x$.
$\quad$
$g'(x)>0 \ssi x>-\ln(2)$ d’après la question A.4
Pour tout réel $x$, on a $g(x)>0$.
Par conséquent $f$ est strictement croissante sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$.
$f\left(-\ln(2)\right)=\ln\left(\dfrac{3}{4}\right)<2$.
Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\ln\left(g(x)\right)$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
Or $2\in \left]\ln\left(\dfrac{3}{4}\right);+\infty\right[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$.
D’après la calculatrice $\alpha\approx 1,12$.
$\quad$

Partie C

D’après la question B.5. l’équation $f(x)=2$ admet bien au moins une solution. La conjecture 1 est vraie.

$-\ln(2)\approx -0,69<-0,5$. La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$. La conjecture 2 est fausse.

Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est $y=x$. La conjecture 3 est fausse.

$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. Le premier jour on dispose de $2$ g de polonium.
Par conséquent :
$\begin{align*} v_0&=2\times 3\times 10^{21} \\
&=6\times 10^{21}\end{align*}$
$\quad$
b. Chaque jour $0,5\%$ des noyaux se sont désintégrés. Il en reste donc $0,995u_n$.
Chaque jour, on ajoute $0,005$ g de polonium.
Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} v_{n+1}&=0,995u_n+0,005\times 3\times 10^{21} \\
&=0,995u_n+1,5\times 10^{19}\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0\pp v_{n+1} \pp v_n$.
Initialisation : $v_0=6\times 10^{21}$ et $v_1=0,995v_0+1,5\times 10^{19}$ soit $v_1=5,985\times 10^{21}$.
On a bien $0\pp v_{1} \pp v_0$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} 0\pp v_{n+1} \pp v_n&\ssi 0\pp 0,995 v_{n+1} \pp 0,995 v_n \\
&\ssi 1,5\times 10^{19}\pp 0,995v_{n+1}+1,5\times 10^{19}\pp 0,995v_n+1,5\times 10^{19}\end{align*}$
Par conséquent $0\pp v_{n+2}\pp v_{n+1}$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $0\pp v_{n+1} \pp v_n$.
$\quad$
b. La suite $\left(v_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle converge donc.
$\quad$
a. Soit $b\in \N$. $u_n=v_n-3\times 10^{21} \ssi v_n=u_n+3\times 10^{21}$
$\begin{align*} u_{n+1}&=v_{n+1}-3\times 10^{21} \\
&=0,995v_n+1,5\times 10^{19}-3\times 10^{21} \\
&=0,995v_n-2,985\times 10^{21}\\
&=0,995\left(u_n+3\times 10^{21}\right)-2,985\times 10^{21} \\
&=0,995u_n+2,985\times 10^{21} -2,985\times 10^{21} \\
&=0,995u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,995$ et de premier terme $u_0=v_0-3\times 10^{21}=3\times 10^{21}$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=3\times 10^{21}\times 0,995^n$.
Par conséquent
$\begin{align*} v_n&=u_n+3\times 10^{21} \\
&=3\times 10^{21}\times 0,995^n+3\times 10^{21}\\
&=3\times 10^{21}\left(0,995^n+1\right)\end{align*}$
$\quad$
c. $-1<0,995<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,995^n=0$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=3\times 10^{21}$.
Cela signifie que sur le long terme il ne restera plus que $3\times 10^{21}$ noyaux atomiques.
$\quad$
On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} u_n\pp 4,5\times 10^{21} &\ssi 3\times 10^{21}\left(0,995^n+1\right)\pp 4,5\times 10^{21} \\
&\ssi 0,995^n+1 \pp 1,5 \\
&\ssi 0,995^n\pp 0,5 \\
&\ssi n\ln(0,995) \pp \ln(0,5) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,995)} \qquad \text{car }\ln(0,995)<0\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,995)}\approx 138,3$.
C’est donc au bout de $139$ jours que le nombre de noyaux de polonium sera inférieur à $4,5\times 10^{21}$.
$\quad$
a. On peut écrire $$\texttt{V = 0.995 * V + 1.5 * 10**19}$$ ou $$\texttt{V = 3 * 10**21 * (0.995**(k + 1))}$$
$\quad$
b. $52\times 7=364$.
Il faut donc saisir $\texttt{noyaux(364)}$ pour que la fonction renvoie les relevés quotidien du nombre de noyaux contenus dans l’échantillon de polonium pendant $52$ semaines d’étude.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $3$ et de premier terme $u_0=7$.
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=7+3n$.
$7+3n=2023\ssi 3n=2016 \ssi n=672$.
Il y a donc $672+1=673$ termes.
Réponse B
$\quad$
La parité des deux termes consécutifs de la liste $\texttt{L}$ est différente.
Le premier et le dernier terme de cette liste sont impairs.
Il y a donc $\dfrac{673-1}{2}=336$ nombres pairs.
La probabilité de tirer un nombre pair est donc égale à $\dfrac{336}{673}$.
Réponse C
$\quad$
La probabilité cherchée est $P(A\cap B)=\dfrac{34}{673}$.
Réponse B
$\quad$
$\left(A,\conj{A}\right)$ est un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right) \\
&=\dfrac{168}{673}+P\left(\conj{A}\right)P_{\conj{A}}(B) \\
&=\dfrac{34}{673}+\dfrac{673-168}{673}\times \dfrac{33}{505} \\
&=\dfrac{67}{673}\end{align*}$
Par conséquent
$\begin{align*} P_B(A)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \\
&=\dfrac{\dfrac{34}{673}}{~\dfrac{67}{673}~} \\
&=\dfrac{34}{67} \end{align*}$
Réponse D
$\quad$
La probabilité qu’un nombre tiré de cette liste ne soit pas un multiple de $4$ est égale à $\dfrac{505}{673}$.
La probabilité qu’aucun des $10$ nombres choisis ne soit un multiple de $4$ est donc égale à $\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}$.
Réponse A
$\quad$
Remarque : On pouvait également également introduire une variable aléatoire $X$ égale à la quantité de nombres multiples de $4$ parmi les $10$ tirages effectués. Il faut alors prouver que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{168}{673}$. On demande donc de calculer $P(X=0)$.
$\quad$

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie.
Les candidates et les candidats sont invités à faire figurer sur leurs copies toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse.

Exercice 1 5 points

On considère deux cubes $ABCDEFGH$ et $BKLCFJMG$ positionnés comme sur la figure suivante:

Le point $I$ est le milieu de $[EF]$.
Dans toute la suite de l’exercice, on se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.
Ainsi, par exemple, les points $F$, $G$ et $J$ ont pour coordonnées $F(1;0;1)$, $G(1;1;1)$ et $J(2;0;1)$.

Montrer que le volume du tétraèdre $FIGB$ est égal à $\dfrac{1}{12}$ d’unité de volume.
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire d’une base} \times \text{hauteur correspondante}$$
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $I$.
$\quad$
Montrer que le vecteur $\vect{DJ}$ un vecteur normal au plan $(BIG)$.
$\quad$
Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est $2x-y+z-2 = 0$.
$\quad$
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, orthogonale à $(BIG)$ et passant par $F$.
$\quad$
a. La droite $d$ coupe le plan $(BIG)$ au point $L$.
Montrer que les coordonnées du point L sont $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right)$.
$\quad$
b. Calculer la longueur $FL$.
$\quad$
c. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $IGB$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(\e^{2x} – \e^x + 1\right).$ On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative représentée ci-dessous.

Un élève formule les conjectures suivantes à partir de cette représentation graphique :

L’équation $f(x) = 2$ semble admettre au moins une solution.
Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ semble être croissante est $[-0,5;+\infty[$.
L’équation de la tangente au point d’abscisse $x = 0$ semble être: $y = 1,5x$.

$\quad$

Le but de cet exercice est de valider ou rejeter les conjectures concernant la fonction $f$.

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

On définit sur $\R$ la fonction $g$ définie par $g(x) = \e^{2x}-\e^x + 1.$

Déterminer $\lim\limits_{x \to – \infty} g(x)$.
$\quad$
Montrer que $\lim\limits_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.
$\quad$
Montrer que $g'(x) = \e^x\left(2\e^x-1\right)$ pour tout $x \in \R$.
$\quad$
Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$.
Dresser le tableau des variations de la fonction $g$ en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s’il y en a, ainsi que les limites de $g$ en $-\infty$ et $+ \infty$.
$\quad$
En déduire le signe de $g$ sur $\R$.
$\quad$
Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat de la question 5 en posant $X = \e^x$.
$\quad$

Partie B

Justifier que la fonction $f$ est bien définie sur $\R$.
$\quad$
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$. Justifier que $f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$ pour tout $x \in \R$.
$\quad$
Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$.
$\quad$
Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[-\ln (2)~;~ +\infty\right[$.
$\quad$
Montrer que l’équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[-\ln (2)~;~ +\infty\right[$ et déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
$\quad$

Partie C

À l’aide des résultats de la partie B, indiquer, pour chaque conjecture de l’élève, si elle est vraie ou fausse. Justifier.

$\quad$

Exercice 3 5 points

Marie Sklodowska-Curie (1867-1934) est une physicienne (mais aussi chimiste et mathématicienne), polonaise naturalisée française.
Deux Prix Nobel lui ont été décernés: un en Physique (partagé avec son mari et Henri Becquerel) en 1903 et un en Chimie en 1911 pour la découverte de deux nouveaux éléments, le polonium (nom donné en hommage à ses origines) et le radium.

On décide d’étudier le rayonnement radioactif du polonium lors de la désintégration des noyaux atomiques au cours du temps.

Au début de l’expérience, on dispose d’un morceau de $2$ g de polonium.
On sait que $1$ g de polonium contient $3 \times 10^{21}$ noyaux atomiques.
On admet que, au bout de 24 heures, $0,5\%$ des noyaux se sont désintégrés et que, pour compenser cette disparition, on ajoute alors $0,005$ g de polonium.

On modélise la situation à l’aide d’une suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ ; on note $v_0$ le nombre de noyaux contenus dans le polonium au début de l’expérience. Pour $n \pg 1$, $v_n$ désigne le nombre de noyaux contenus dans le polonium au bout de $n$ jours écoulés.

a. Vérifier que $v_0 = 6\times 10^{21}$.
$\quad$
b. Expliquer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $v_{n+1} = 0,995v_n + 1,5 \times 10^{19}$.
$\quad$
a. Démontrer, par récurrence sur $n$, que $0 \pp v_{n+1} \pp v_n$.
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est convergente.
$\quad$
On considère la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie, pour tout entier naturel $n$, par: $u_n = v_n-3 \times 10^{21}$.
a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est géométrique de raison $0,995$.
$\quad$
b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $v_n = 3 \times 10^{21}\left(0,995^n + 1\right)$.
$\quad$
c. En déduire la limite de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Déterminer, par le calcul, au bout de combien de jours le nombre de noyaux de polonium sera inférieur à $4,5 \times 10^{21}$. Justifier la réponse.
$\quad$
On souhaite disposer de la liste des termes de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$.
Pour cela, on utilise une fonction appelée noyaux programmée en langage Python et retranscrite partiellement ci-après.
$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
1 &\text{def noyaux (n) :}\\
2 &\qquad \text{V = 6 * 10 ** 21}\\
3&\qquad \text{L = [V]}\\
4&\qquad \text{for k in range (n):}\\
5&\qquad \qquad \text{V = …}\\
6&\qquad \qquad \text{L.append(V)}\\
7&\qquad \text{return L}\\
\hline\end{array}$$
a. À la lecture des questions précédentes, proposer deux solutions différentes pour compléter la ligne 5 de la fonction noyaux afin qu’elle réponde au problème.
$\quad$
b. Pour quelle valeur de l’entier $\text{n}$ la commande $\text{noyaux(n) }$renverra-t-elle les relevés quotidiens du nombre de noyaux contenus dans l’échantillon de polonium pendant $52$ semaines d’étude ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Pour chacune des cinq questions de cet exercice, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

On considère $L$ une liste de nombres constituée de termes consécutifs d’une suite arithmétique de premier terme $7$ et de raison $3$, le dernier nombre de la liste est $2023$ soit : $L=[7,10,\ldots,2023]$.

Question 1 : Le nombre de termes de cette liste est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
2023&673&672&2016\\
\hline
\end{array}$$

Question 2 : On choisit au hasard un nombre dans cette liste.
La probabilité de tirer un nombre pair est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\dfrac{1}{2}&\dfrac{34}{673}&\dfrac{336}{673}&\dfrac{337}{673}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

On rappelle qu’on choisit au hasard un nombre dans cette liste.
On s’intéresse aux événements suivants :

Événements $A$ : « obtenir un multiple de $4$ »
Événement $B$ : « obtenir un nombre dont le chiffre des unités est $6$ »

Pour répondre aux questions suivantes on pourra utiliser l’arbre pondéré ci-dessous et on donne $P(A\cap B)=\dfrac{34}{673}$.

Question 3 : La probabilité d’obtenir un multiple de $4$ ayant $6$ comme chiffre des unités est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\dfrac{168}{673}\times \dfrac{34}{673}&\dfrac{34}{673}&\dfrac{17}{84}&\dfrac{168}{34}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Question 4 : $P_B(A)$ est égale à :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\dfrac{36}{168}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{33}{168}&\dfrac{34}{67}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Question 5 : On choisit , au hasard, successivement, $10$ éléments de cette liste. Un élément peut être choisi plusieurs fois. La probabilité qu’aucun de ces $10$ nombres ne soit un multiple de $4$ est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}&1-\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}&\left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}&1-\left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Europe – sujet 2 – 22 mars 2023

Centres étrangers (Europe) – 22 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A : lectures graphiques

Graphiquement il semblerait qu’une équation de la tangente $\mathcal{T}$ est $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
La fonction $f$ semble être convexe sur l’intervalle $]-\infty;0]$ et concave sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
$\quad$

Partie B : étude de la fonction

Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-(-3)\e^{-3x}}{\left(1+\e^{-3x}\right)^2} \\
&=\dfrac{3\e^{-3x}}{\left(1+\e^{-3x}\right)^2} \end{align*}$
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f'(x)>0$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
$\quad$
a. $\lim\limits_{x\to +\infty} -3x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-3x}=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=1$.
$\quad$
b. $\lim\limits_{x\to -\infty} -3x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-3x}=+\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} f(x)=0,99&\ssi \dfrac{1}{1+\e^{-3x}}=0,99 \\
&\ssi 1=0,99+0,99\e^{-3x} \\
&\ssi 0,99\e^{-3x}=0,01 \\
&\ssi \e^{-3x}=\dfrac{1}{99} \\
&\ssi -3x=\ln\left(\dfrac{1}{99}\right) \quad \text{(fonction $\ln$ strictement croissante sur $\R_+^*$)} \\
&\ssi -3x=-\ln(99) \\
&\ssi x=\dfrac{\ln(99)}{3}\end{align*}$
Ainsi $\alpha=\dfrac{\ln(99)}{3}$.
$\quad$

Partie C : Tangente et convexité

Une équation de $\mathcal{T}$ est de la forme $y=f'(0)x+f(0)$.
Or $f'(0)=\dfrac{3}{4}$ et $f(0)=\dfrac{1}{2}$.
Par conséquent une équation de $\mathcal{T}$ est $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $\e^{-3x}-1$.
$\e^{-3x}-1=0 \ssi \e^{-3x}=1 \ssi -3x=0 \ssi x=0$
$\e^{-3x}-1>0\ssi \e^{-3x}>1 \ssi -3x>0 \ssi x<0$
Ainsi :
$\bullet f\dsec(x)>0$ sur $]-\infty;0[$ ;
$\bullet f\dsec(0)=0$ ;
$\bullet f\dsec(x)<0$ sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
a. La fonction $f$ est donc convexe sur $]-\infty;0[$.
$\quad$
b. La fonction $f\dsec$ s’annule en changeant de signe en $0$. Par conséquent $A$ est un point d’inflexion pour la courbe $\mathcal{C}_f$.
$\quad$
La tangente à une courbe à son point d’inflexion traverse la courbe en ce point. La fonction est convexe sur $]-\infty;0]$ et concave sur $[0;+\infty[$.
La tangente $\mathcal{T}$ est donc en-dessous de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $]-\infty;0]$ et au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

$1+x>0 \ssi x>-1$.
La fonction $f$ est donc définie sur l’intervalle $]-1;+\infty[$.
$\quad$
Pour tout réel $x>-1$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{1}{1+x} \\
&=\dfrac{1+x-1}{1+x} \\
&=\dfrac{x}{1+x}\end{align*}$
$\quad$
a. Sur $]-1;+\infty[$, $1+x>0$.
$f'(x)$ est donc du signe de $x$ sur cet intervalle.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-1;0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
$\quad$
b. La fonction $f$ admet donc un minimum en $0$ et $f(0)=0$.
Ainsi, pour tout $x\in ]-1;0[\cup]0;+\infty[$ on a $f(x)>0$ et $f(0)=0$.
$\quad$
a. Pour tout $x>-1$ on a :
$\begin{align*} f(x)&=x-\ln(1+x) \\
&=\ln\left(\e^x\right)-\ln(1+x) \\
&=\ln\left(\dfrac{\e^x}{1+x}\right)\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout réel $x>-1$ on a $\dfrac{\e^x}{1+x}=\dfrac{\e^x}{x}\times \dfrac{x}{1+x}$.
Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{x}}{x}=+\infty$
Pour tout réel $x>0$, $\dfrac{x}{1+x} =\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{1+x}=1$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{1+x}=+\infty$. Or $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$

Partie B

$u_1=10-\ln(11) \approx 7,602$.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n \pg 0$.
Initialisation : $u_0=10 \pg 0$ donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$u_n\pg 10>-1$ et $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
D’après la question A.3.b, $f\left(u_n\right)\pg 0$.
Donc $u_{n+1}\pg 0$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg 0$.
$\quad$
Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=-\ln\left(1+u_n\right) \\
&\pp 0\end{align*}$
En effet, d’après la question précédente, $1+u_n\pg 1$ et la fonction $\ln$ est positive sur $[1;+\infty[$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue sur $]-1;+\infty[$ en tant que fonction dérivable sur cet intervalle.
De plus, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} f(x)=x &\ssi -\ln(1+x)=0\\
&\ssi \ln(1+x)=0 \\
&\ssi 1+x=1 \\
&\ssi x=0\end{align*}$
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

$\vect{AB}\begin{pmatrix} -1\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}-5\\-5\\0\end{pmatrix}$
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont donc pas alignés.
Autre réponse possible : $A$ et $C$ ont la même cote $(1)$ qui est différente de celle de $B$ $(2)$. Les trois points ne sont donc pas alignés.
$\quad$
$\vect{AB}.\vect{AC}=5-5+0=0$.
$\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont par conséquent orthogonaux et le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
$\quad$
$-3+0-2+5=0$ ; les coordonnées de $A$ vérifient l’équation $-x+y-2z+5=0$.
$-2+1-4+5=0$ ; les coordonnées de $B$ vérifient l’équation $-x+y-2z+5=0$.
$2-5-2+5=0$ ; les coordonnées de $C$ vérifient l’équation $-x+y-2z+5=0$.
D’après la question 1. les points $A$, $B$ et $C$ définissent un point.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $-x+y-2z+5=0$.
$\quad$
Un vecteur normal au plan $(ABC)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}$.
Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $$\begin{cases} x=1-t\\y=-2+t\\z=4-2t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
$\quad$
On considère le point $H’$ de coordonnées $(0;-1;2)$.
En prenant $t=1$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ on obtient $x=0$, $y=-1$ et $z=2$. $H’$ appartient ainsi à $\Delta$.
$0-1-4+5=0$: donc $H’$ appartient au plan $(ABC)$.
$-1-2-8+5=-6\neq 0$ : le point $S$ n’appartient pas au plan $(ABC)$. La droite $\Delta$ n’est donc pas incluse dans le plan $(ABC)$.
Le point $H$ a par conséquent pour coordonnées $(0;-1;2)$.
$\quad$
$\vect{SH}\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} SH&=\sqrt{(-1)^2+1^2+(-2)^2} \\
&=\sqrt{1+1+4} \\
&=\sqrt{6}\end{align*}$
$\quad$
$\vect{HB}\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} HB^2&=2^2+2^2+0 \\
&=8\end{align*}$
L’aire du disque $\mathcal{D}$ est donc :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\pi \times HB^2 \\
&=8\pi\end{align*}$
$\quad$
Le volume du cône considéré est
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times SH \\
&=\dfrac{8\sqrt{6}\pi}{3}\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

On répète $50$ fois de façon indépendant la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,04$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,04$.
On veut calculer
$\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
&=1-0,96^{50} \\
&\approx 0,870\end{align*}$
Réponse b
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} p(3<X\pp 7)&=p(4\pp X\pp 7) \\
&=p(X\pp 7)-p(X<4) \\
&=p(X\pp 7)-p(X\pp 3)\end{align*}$
Réponse b
$\quad$
On veut déterminer le plus petit entier naturel $k$ tel que $p(X\pp k) \pg 0,95$.
D’après la calculatrice $p(X\pp 4) \approx 0,951$ et $p(X\pp 3) \approx 0,861$.
Donc $k=4$
Réponse c
$\quad$
On considère la variable aléatoire $Y$ égale au nombre de pièces défectueuses tirées.
On répète $n$ fois de façon indépendant la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,04$.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,04$.
La probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses est : $p(Y=n)=0,04^n$.
Réponse a
$\quad$
La fonction Python renvoie le plus petit rang $n$ à partir duquel $1-0,96^n\pg x$.
Or
$\begin{align*} p(Y\pg 1)&=1-p(Y=0) \\
&=1-0,96^n\end{align*}$
Réponse a
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-3x}}$$
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
On nomme $A$ le point de coordonnées $\left(0;\dfrac{1}{2}\right)$ et $B$ le point de coordonnées $\left(1;\dfrac{5}{4}\right)$.
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$, et $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $0$.

Partie A : Lectures graphiques

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique. Aucune justification n’est demandée.

Déterminer l’équation réduite de la tangente $\mathcal{T}$.
$\quad$
Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.
$\quad$

Partie B : Étude de la fonction

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.
Déterminer l’expression de sa fonction dérivée $f’$.
$\quad$
Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
$\quad$
a. Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $f$.
$\quad$
b. Déterminer la limite en $-\infty$ de la fonction $f$.
$\quad$
Déterminer la valeur exacte de la solution $\alpha$ de l’équation $f(x)=0,99$.
$\quad$

Partie C : Tangente et convexité

Déterminer par le calcul une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $0$.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$. On note $f\dsec$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$.
On admet que $f\dsec$ est définie sur $\R$ par $$f\dsec(x)=\dfrac{9\e^{-3x}\left(\e^{-3x}-1\right)}{\left(1+\e^{-3x}\right)^3}$$

Étudier le signe de la fonction $f\dsec$ sur $\R$.
$\quad$
a. Indiquer, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) la fonction $f$ est convexe.
$\quad$
b. Que représente le point $A$ pour la courbe $\mathcal{C}_f$.
$\quad$
En déduire la position relative de la tangente $\mathcal{T}$ et de la courbe $\mathcal{C}_f$. Justifier la réponse.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie par $$f(x)=x-\ln(1+x)$$

Justifier que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]-1;+\infty[$.
$\quad$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]-1;+\infty[$.
Déterminer l’expression de sa fonction dérivée $f’$.
$\quad$
a. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $]-1;+\infty[$.
$\quad$
b. En déduire le signe de la fonction $f$ sur l’intervalle $]-1;+\infty[$.
$\quad$
a. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $]-1;+\infty[$, on a : $$f(x)=\ln\left(\dfrac{\e^x}{1+x}\right)$$
$\quad$
b. En déduire la limite en $+\infty$ de la fonction $f$.
$\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=10$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=u_n-\ln\left(1+u_n\right)$$
On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est bien définie.

Donner la valeur arrondie au millième de $u_1$.
$\quad$
En utilisant la question 3.a. de la partie A, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\pg 0$.
$\quad$
Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
$\quad$
Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(3;0;1)$, $B(2;1;2)$ et $C(-2;-5;1)$.

Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
$\quad$
Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
$\quad$
Vérifier que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne : $$-x+y-2z+5=0$$
$\quad$
On considère le point $S(1;-2;4)$.
Déterminer la représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$, passant par $S$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
$\quad$
On appelle $H$ le point d’intersection de la droite $(\Delta)$ et du plan $(ABC)$.
Montrer que les coordonnées de $H$ sont $(0;-1;2)$.
$\quad$
Calculer la valeur exacte de la distance $SH$.
$\quad$
On considère le cercle $\mathcal{C}$, inclus dans le plan $(ABC)$, de centre $H$, passant par le point $B$. On appelle $\mathcal{D}$ le disque délimité par le cercle $\mathcal{C}$.
Déterminer la valeur exacte de l’aire du disque $\mathcal{D}$.
$\quad$
En déduire la valeur exacte du volume du cône de sommet $S$ et de base le disque $\mathcal{D}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Cet exercice est un questionnaire )à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Les cinq questions sont indépendantes.

Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que $4\%$ des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.

On choisit au hasard $n$ pièces produites par la chaîne de production. Le nombre de pièces produites est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses tirées.

Dans les trois questions suivantes, on prend $n=50$.

Quelle est la probabilité, arrondie au millième, de tirer au moins une pièce défectueuse ?
a. $1$
b. $0,870$
c. $0,600$
d. $0,599$
$\quad$
La probabilité $p(3<X\pp 7)$ est égale à :
a. $p(X\pp 7)-p(X>3)$
b. $p(X\pp 7)-p(X\pp 3)$
c. $p(X<7)-P(X>3)$
d. $p(X<7)-p(X\pg 3)$
$\quad$
Quel est le plus petit entier naturel $k$ tel que la probabilité de tirer au plus $k$ pièces défectueuses soit supérieure ou égale à $95\%$ ?
a. $2$
b. $3$
c. $4$
d. $5$
$\quad$

Dans les questions suivantes, $n$ ne vaut plus nécessairement $50$.

Quelle est la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses ?
a. $0,04^n$
b. $0,96^n$
c. $1-0,04^n$
d. $1-0,96^n$
$\quad$
On considère la fonction Python ci-dessous. Que renvoie-t-elle?
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\textbf{def } \text{seuil(x):}\\
\quad \text{n = 1}\\
\quad \textbf{while } \text{1-0.96**n < x :}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\quad \textbf{return }\text{n}\\
\hline
\end{array}$$
a. Le plus petit nombre $n$ tel que la probabilité de tirer au moins une pièce défectueuse soit supérieure ou égale à $x$.
b. Le plus petit nombre $n$ tel que la probabilité de ne tirer aucune pièce défectueuse soit supérieure ou égale à $x$.
c. Le plus grand nombre $n$ tel que la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses soit supérieure ou égale à $x$.
d. Le plus grand nombre $n$ tel que la probabilité de ne tirer aucune pièce défectueuse soit supérieure ou égale à $x$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 2 – 21 mars 2023

Métropole – 21 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :
$\begin{align*} p(A\cap G)&=p(A)\times p_A(G) \\
&=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{10} \\
&=\dfrac{7}{25}\end{align*}$
Réponse C
$\quad$
$(A,B)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} &p(G)=p(A\cap G)+p(B\cap G) \\
&\ssi \dfrac{12}{25}=\dfrac{7}{25}+p(B)p_B(G) \\
&\ssi \dfrac{5}{25}=\dfrac{3}{5}p_B(G) \\
&\ssi p_B(G)=\dfrac{~~\dfrac{1}{5}~~}{\dfrac{3}{5}} \\
&\ssi p_B(G)=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
Réponse B
$\quad$
On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
On répète $10$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{12}{25}$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{12}{25}$.
Par conséquent
$\begin{align*} p(X=6)&=\dbinom{10}{6}\left(\dfrac{12}{25}\right)^6\times \left(\dfrac{13}{25}\right)^4 \\
&\approx 0,188\end{align*}$
Réponse C
$\quad$
D’après l’énoncé $p(X\pp n) \approx 0,207$.
En faisant des essais à la calculatrice avec les différentes valeurs proposées on trouve $n=3$.
Réponse B
$\quad$
La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :
$\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
&=1-\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10} \end{align*}$
Réponse D
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude d’un premier modèle en laboratoire

Chaque mois le nombre d’insecte augmente de $60\%$.
Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $u_{n+1}=1,6u_n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,6$ et de premier terme $u_0=0,1$.
Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $u_n=0,1\times 1,6^n$.
$\quad$
$1,6>1$ et $0,1>0$. Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
$\quad$
On veut résoudre :
$\begin{align*} u_n>0,4&\ssi 0,1\times 1,6^n >0,4 \\
&\ssi 1,6^n >4 \\
&\ssi n\ln(1,6)>\ln(4) \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(4)}{\ln(1,6)} \qquad \text{car }\ln(1,6)>0\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(4)}{\ln(1,6)} \approx 2,95$
Le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n>0,4$ est donc $3$.
$\quad$
D’après la question précédente, au bout de $3$ mois la population d’insecte a dépassé $400~000$.
L’équilibre du milieu naturel ne sera donc pas préservé.
$\quad$

Partie B : Étude d’un second modèle

On a
$\begin{align*} v_1&=1,6v_0-1,6v_0^2 \\
&=0,144\end{align*}$
Il y a donc $144~000$ insectes au bout d’un mois.
$\quad$
a.
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi 1,6x-1,6x^2=x \\
&\ssi 0,6x-1,6x^2=0 \\
&\ssi x(0,6-1,6x)=0\\
&\ssi x=0 \text{ ou } 0,6-1,6x=0 \\
&\ssi x=0 \text{ ou } x=0,375\end{align*}$
$0$ et $0,375$ appartiennent bien à l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
Les solutions de l’équation $f(x)=x$ sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ sont donc $0$ et $0,375$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $-1,6$.
Son maximum est atteint en $\dfrac{-1,6}{2\times (-1,6)}=\dfrac{1}{2}$.
La fonction $f$ est donc croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~0\pp v_n\pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
Initialisation : $v_0=0,1$ et $v_1=0,144$ donc $0\pp u_0\pp u_1\pp \dfrac{1}{2}$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$0\pp v_n \pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$
La fonction $f$ est croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
Donc $f(0) \pp f\left(v_n\right) \pp f\left(v_{n+1}\right) \pp f\left(\dfrac{1}{2}\right)$
Soit $0\pp v_{n+1} \pp v_{n+2} \pp 0,4$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout $n\in \N$ on a $0\pp v_n\pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
$\quad$
b. La suite $\left(v_n\right)$ est croissante et majorée ; elle converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
c. $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
Par conséquent $\ell=0$ ou $\ell=0,375$ d’après la question 2.a.
La suite $\left(v_n\right)$ est croissante et $v_0=0,1$. Donc $\ell\pg 0,1$.
Ainsi $\ell=0,375$.
Il y aura donc, au plus, $375~000$ insectes.
Pour préserver l’équilibre du milieu naturel le nombre d’insectes ne doit pas dépasser $400~000$.
L’équilibre du milieu naturel serait donc préservé.
$\quad$
a. La fonction $\texttt{seuil}$ renvoie le plus petit rang $n$ à partir duquel $v_n\pg 0,4$.
D’après la question précédente, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et majorée par $\ell$. Or $\ell<0,4$.
Si on saisit $\texttt{seuil(0.4)}$ la boucle $\texttt{while}$ ne s’arrête jamais.
$\quad$
b. On a $v_5\approx 0,338$ et $b_6\approx 0,358$.
Par conséquent $\texttt{seuil(0.35)}$ renvoie $6$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_1$ est $\vec{n_1}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$.
$\quad$
b. $\vec{n_1}.\vec{n_2}=2-1-1=0$.
Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_1$ est orthogonal à un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_2$.
Les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires.
$\quad$
a. Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_2$ est de la forme $x-y+z+d=0$.
Le point $B$ appartient à ce plan. Par conséquent $1-1+2+d=0\ssi d=-2$.
Une équation cartésienne de $\mathcal{P}_2$ est donc $x-y+z-2=0$.
$\quad$
b. Montrons que la droite est incluse dans chacun des deux plans.
Soit $t\in \R$.
$2\times 0+(-2+t)-t+2=-2+t-t+2=0$ : $\Delta$ est incluse dans $\mathcal{P}_1$.
$0-(-2+t)+t-2=2-t+t-2=0$ : $\Delta$ est incluse dans $\mathcal{P}_2$.
Ainsi $\Delta$ est incluse dans deux plans perpendiculaires.
La droite $\Delta$ est l’intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
$\quad$
a. Soit $t\in \R$.
$\vect{AM_t}\begin{pmatrix} -1\\-2+t-1\\t-1\end{pmatrix}$ soit $\vect{AM_t}\begin{pmatrix} -1\\-3+t\\t-1\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} AM_t&=\sqrt{(-1)^2+(-3+t)^2+(t-1)^2} \\
&=\sqrt{1+9-6t+t^2+t^2-2t+1} \\
&=\sqrt{2t^2-8t+11}\end{align*}$
$\quad$
b. La distance $AM_t$ est minimale si, et seulement si, $2t^2-8t+11$ est minimale (car la fonction racine carrée est strictement croissante sur $\R_+$).
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t)=2t^2-8t+11$.
Il s’agit d’une fonction polynôme du second degré dont le coefficient principal est $2>0$.
Elle admet donc un minimum en $\dfrac{-(-8)}{2\times 2}=2$.
Or $f(2)=3$
$H$ est le point de $\Delta$ tel que $AM_t$ est minimale.
Ainsi $AH=\sqrt{3}$.
$\quad$
a. Une représentation paramétrique de $\mathcal{D}_1$ est $$\begin{cases} x=1+2k\\y=1+k\\z=1-k\end{cases} \qquad \forall k\in \R$$
$\quad$
b. On note $H’$ le point de coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
En prenant $k=-\dfrac{2}{3}$ dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}_1$ on retrouve les coordonnées du point $H’$. Donc $H’$ appartient à $\mathcal{D}_1$.
De plus $-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{3}+2=-\dfrac{6}{3}+2=0$. Le point $H’$ appartient également à $\mathcal{P}_1$.
Ainsi $H_1$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
$\quad$
Montrons dans un premier temps que $AH_1HH_2$ est un parallélogramme.
$\vect{AH_1}\begin{pmatrix} -\dfrac{4}{3}\\[2mm]-\dfrac{2}{3}\\[2mm] \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$ et $\vect{H_2H}\begin{pmatrix} -\dfrac{4}{3}\\[2mm]-\dfrac{2}{3}\\[2mm] \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$.
Ainsi $\vect{AH_1}=\vect{H_2H}$ et $AH_1HH_2$ est un parallélogramme.
Par construction $\vect{AH_1}$ est orthogonal à $\mathcal{P}_1$. Donc $\vect{AH_1}$ est orthogonal à $\vect{H_1H}$ car les points $H_1$ et $H$ appartiennent au plan $\mathcal{P}_1$.
$AH_1HH_2$ est donc un rectangle.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a.$\lim\limits_{x\to -\infty} -x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-x}=+\infty$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} 1 +\e^{-x}=+\infty$.
Or $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
b. $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} 1 +\e^{-x}=1$.
Or $\lim\limits_{X\to 1} \ln(X)=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
La droite d’équation $y=0$ est donc une asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
$\quad$
c. Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}} \\
&=\dfrac{\e^x}{\e^x}\times \dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}} \\
&=\dfrac{-1}{\e^x+1}\end{align*}$
$\quad$
d. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$, par conséquent, pour tout $x\in \R$ on a $f'(x)<0$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
a. Une équation de $T_0$ est de la forme $y=f'(0)x+f(0)$
Or $f'(0)=-\dfrac{1}{2}$ et $f(0)=\ln(2)$
Une équation de $T_0$ est donc $y=-\dfrac{1}{2}x+\ln(2)$.
$\quad$
b. La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x$ on a $f\dsec(x)=\dfrac{\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$.
Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f\dsec(x)>0$.
La fonction $f$ est convexe sur $\R$.
$\quad$
c. La fonction $f$ est convexe sur $\R$. La courbe représentative de la fonction $f$ est donc au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier au-dessus de $T_0$.
Ainsi, pour tout réel $x$, on a $f(x)\pg -\dfrac{1}{2}x+\ln(2)$.
$\quad$
a. Soit $x\in \R$
$\begin{align*} f(x)-f(-x)&=\ln\left(1+\e^{-x}\right)-\ln\left(1+\e^{x}\right) \\
&=\ln\left(\dfrac{1+\e^{-x}}{1+\e^x}\right) \\
&=\ln\left(\e^{-x}\times \dfrac{\e^x+1}{1+\e^x}\right) \\
&=\ln\left(\e^{-x}\right) \\
&=-x\end{align*}$
$\quad$
b. Le coefficient directeur de la droite $\left(M_aN_a\right)$ est
$\begin{align*} m&=\dfrac{f(a)-f(-a)}{a-(-a)} \\
&=\dfrac{-a}{2a} \\
&=-\dfrac{1}{2} \\
&=f'(0)\end{align*}$
Par conséquent les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ sont parallèles.
$\quad$

Énoncé

Le candidat doit traiter les quatre exercices proposés.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

Exercice 1 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.

Un jeu vidéo possède une vaste communauté de joueurs en ligne. Avant de débuter une partie, le joueur doit choisir entre deux « mondes » : soit le monde A, soit le monde B.
On choisit au hasard un individu dans la communauté des joueurs.
Lorsqu’il joue une partie, on admet que :

la probabilité que le joueur choisisse le monde A est égale à $\dfrac{2}{5}$ ;
si le joueur choisit le monde A, la probabilité qu’il gagne la partie est de $\dfrac{7}{10}$ ;
la probabilité que le joueur gagne la partie est de $\dfrac{12}{25}$.

On considère les évènements suivants :

$A$ : « Le joueur choisit le monde $\mathrm{A}$ » ;
$B$ : « Le joueur choisit le monde B » ;
$G$ : « Le joueur gagne la partie ».

La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :
a. $\dfrac{7}{10}$
b. $\dfrac{3}{25}$
c. $\dfrac{7}{25}$
d. $\dfrac{24}{125}$
$\quad$
La probabilité $P_B(G)$ de l’événement $G$ sachant que $B$ est réalisé est égale à :
a. $\dfrac{1}{5}$
b. $\dfrac{1}{3}$
c. $\dfrac{7}{15}$
d. $\dfrac{5}{12}$
$\quad$

Dans la suite de l’exercice, un joueur effectue $10$ parties successives. On assimile cette situation à un tirage aléatoire avec remise. On rappelle que la probabilité de gagner une partie est de $\dfrac{12}{25}$.

La probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne exactement $6$ parties est égale à:
a. $0,859$
b. $0,671$
c. $0,188$
d. $0,187$
$\quad$
On considère un entier naturel $n$ pour lequel la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne au plus $n$ parties est de $0,207$. Alors :
a. $n=2$
b. $n=3$
c. $n=4$
d. $n=5$
$\quad$
La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :
a. $1-\left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$
b. $\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$
c. $\left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$
d. $1-\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

Des biologistes étudient l’évolution d’une population d’insectes dans un jardin botanique. Au début de l’étude la population est de $100~000$ insectes.
Pour préserver l’équilibre du milieu naturel le nombre d’insectes ne doit pas dépasser $400~000$ .

Partie A : Étude d’un premier modèle en laboratoire

L’observation de l’évolution de ces populations d’insectes en laboratoire, en l’absence de tout prédateur, montre que le nombre d’insectes augmente de $60 \%$ chaque mois.
En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l’évolution de la population d’insectes à l’aide d’une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ modélise le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois. On a donc $u_0=0,1$.

Justifier que pour tout entier naturel $n$: $u_n=0,1 \times 1,6^n$.
$\quad$
Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n>0,4$.
$\quad$
Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.
$\quad$

Partie B : Étude d’un second modèle

En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation.
Ils modélisent le nombre d’insectes à l’aide de la suite $\left(v_n\right)$, définie par : $v_0=0,1$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=1,6 v_n-1,6 v_n^2$, où, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ est le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois.

Déterminer le nombre d’insectes au bout d’un mois.
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right]$ par $f(x)=1,6 x-1,6 x^2$.
a. Résoudre l’équation $f(x)=x$.
$\quad$
b. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right]$.
$\quad$
a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, 0 \pp v_n \pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
$\quad$
b. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente.
$\quad$
On note $\ell$ la valeur de sa limite. On admet que $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
$\quad$
c. Déterminer la valeur de $\ell$. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel sera-t-il préservé ? Justifier la réponse.
$\quad$
On donne ci-dessous la fonction $\text{seuil}$, écrite en langage Python.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil(a) :} \\
\quad \text{v = 0.1} \\
\quad \text{n = 0} \\
\qquad \text{while v < a :} \\
\qquad \text{v = 1.6 * v – 1.6 * v * v} \\
\qquad \text{n = n + 1} \\
\quad \text{return n} \\
\hline
\end{array}$$
a. Qu’observe-t-on si on saisit $\text{seuil(0.4)}$ ?
$\quad$
b. Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de $\text{seuil(0.35)}$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère :

le plan $\mathcal{P}_1$ dont une équation cartésienne est $2 x+y-z+2=0$,
le plan $\mathcal{P}_2$ passant par le point $B(1 ; 1 ; 2)$ et dont un vecteur normal est $\vect{n_2}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$.

a. Donner les coordonnées d’un vecteur $\vect{n_1}$ normal au plan $\mathcal{P}_1$.
$\quad$
b. On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l’un des plans est orthogonal à un vecteur normal à l’autre plan.
Montrer que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires.
$\quad$
a. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_2$.
$\quad$
b. On note $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases}x=0 \\ y=-2+t,\quad t \in \mathbb{R} \text {. } \\ z=t\end{cases}$ Montrer que la droite $\Delta$ est l’intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
$\quad$

On considère le point $A(1 ; 1 ; 1)$ et on admet que le point $A$ n’appartient ni à $\mathcal{P}_1$ ni à $\mathcal{P}_2$.
On note $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $\Delta$.

On rappelle que, d’après la question 2.b, la droite $\Delta$ est l’ensemble des points $M_t$ de coordonnées $(0 ;-2+t ; t)$, où $t$ désigne un nombre réel quelconque.
a. Montrer que, pour tout réel $t, A M_t=\sqrt{2 t^2-8 t+11}$.
$\quad$
b. En déduire que $AH=\sqrt{3}$.
$\quad$
On note $\mathcal{D}_1$ la droite orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$ passant par le point $A$ et $H_1$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}_1$.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}_1$.
$\quad$
b. En déduire que le point $H_1$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
$\quad$
Soit $H_2$ le projeté orthogonal de $A$ sur le plan $\mathcal{P}_2$.
On admet que $H_2$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)$. et que $H$ a pour coordonnées $(0;0;2)$.
Sur le schéma ci-dessous, les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont représentés, ainsi que les points $A$, $H_1$, $H_2$, $H$.
Montrer que $AH_1HH_2$ est un rectangle.
$\quad$

$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(1 + \e^{-x}\right)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\Oij$.
La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous.

a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
$\quad$
b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.
$\quad$
c. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
Calculer $f'(x)$ puis montrer que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=\dfrac{-1}{1+\e^x}$.
$\quad$
d. Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
On note $T_0$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d’abscisse $0$.
a. Déterminer une équation de la tangente $T_0$.
$\quad$
b. Montrer que la fonction $f$ est convexe sur $\R$.
$\quad$
c. En déduire que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x)\pg -\dfrac{1}{2}x+\ln(2)$.
$\quad$
Pour tout nombre réel $a$ différent de $0$, on note $M_a$ et $N_a$ les points de la courbe $\mathcal{C}$ d’abscisses respectives $-a$ et $a$. On a donc : $M_a\left(-a;f(-a)\right)$ et $N_a\left(a;f(a)\right)$.
a. Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x)-f(-x)=-x$.
$\quad$
b. En déduire que les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ sont parallèles.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 1 – 13 mars 2023

Polynésie – 13 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On veut calculer:
$\begin{align*} p(J\cap T)&=p(J)p_J(T) \\
&=0,21\times (1-0,68)\\
&=0,067~2\end{align*}$
La probabilité que la personne interrogée ait moins de 35 ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels est égale à $0,067~2$.
$\quad$
$\left(J,\conj{J}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} p(T)&=p(J\cap T)+p\left(\conj{J}\cap T\right) \\
&=0,067~2+p\left(\conj{J}\right)p_{\conj{J}}(T) \\
&=0,067~2+(1-0,21)\times 0,2 \\
&=0,225~2\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_T(J)&=\dfrac{p(T\cap J)}{p(T)} \\
&=\dfrac{0,067~2}{0,225~2} \\
&\approx 0,298\end{align*}$
La probabilité que l’habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels ait moins de $35$ ans est environ égale à $0,30$.
$\quad$

Partie B

On répète de façon indépendante $120$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,3$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=120$ et $p=0,3$.
$\quad$
On veut calculer $p(X\pg 50)= 1- p(X\pp 49) \approx 0,004$.
La probabilité qu’au moins $50$ utilisateurs de vélo parmi les $120$ aient moins de 35 ans est environ égale à $0,004$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. $\vec{v}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$.
$\quad$
b. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires car aucune des composantes de $\vec{u}$ n’est nulle alors que la troisième de $\vec{v}$ l’est.
Par conséquent $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
$\quad$
c. Une représentation paramétrique de la droite $d_1$ est $\begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\end{cases} \quad \forall t\in \R$.
Résolvons le système :
$\begin{align*} &\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\\x=2k-3\\y=k\\z=5\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\\2+t=2k-3\\3-t=k\\t=5\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\\t=5\\7=2k-3\\k=-2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\\t=5\\k=5\\k=-2\end{cases} \end{align*}$
Les deux dernières lignes du système ne sont pas compatibles.
Les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont donc pas sécantes.
$\quad$
d. Les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont ni sécantes, ni parallèles. Elles sont par conséquent non coplanaires.
$\quad$
a. D’une part $\vec{w}.\vec{u}=-1-2+3=0$
D’autre part $\vec{w}.\vec{v}=-2+2+0=0$
Le vecteur $\vec{w}$ est donc orthogonal aux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
$\quad$
b. Soit $M'(3;3;5)$.
$5\times 3+4\times 3-5-22=15+12-5-22=0$. $M’$ appartient au plan $P$.
Prenons $k=3$ dans la représentation paramétrique de $d_2$.
On obtient $x=6-3=3$, $y=3$ et $z=5$. $M’$ appartient à $d_2$.
Les droite $d_1$ et $d_2$ ne sont pas coplanaires. Par conséquent la droite $d_2$ n’est pas incluse dans le plan $P$.
Ainsi l’intersection de la droite $d_2$ et du plan $P$ est le point $M(3;3;5)$.
$\quad$
a. Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{w}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}$.
D’après la question 2.a., les droites $\Delta$ et $d_1$ sont orthogonales.
Montrons qu’elles sont sécantes.
$\begin{align*} \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\x=2+t\\y=3-t\\z=t\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\-r+3=2+t\\2r+3=3-t\\3r+5=t\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\t=3r+5\\-r+3=2+3r+5\\2r+3=3-3r-5\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\t=3r+5\\-4r=4\\5r=-5\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\r=-1\\t=2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} r=-1\\t=2\\x=4\\y=1\\z=2\end{cases}\end{align*}$.
Les droites $\Delta$ et $d_1$ sont perpendiculaires en $L(4;1;2)$.
$\quad$
b. La droite $\Delta$ est orthogonale à la droite $d_2$ d’après la question 2.a.
Prenons $k=3$ dans la représentation paramétrique de $d_2$.
On obtient $x=3$, $y=3$ et $z=5$. Le point de coordonnées $(3;3;5)$ appartient donc à la fois à la droite $d_2$ et, par construction, à la droite $\Delta$.
Ainsi $\Delta$ et $d_2$ sont perpendiculaires au point de coordonnées $(3;3;5)$.
$\quad$
La droite $\Delta$ est donc perpendiculaires au deux droites $d_1$ et $d_2$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

La fonction $f$ est dérivable deux fois sur $\R$ en tant que somme de fonctions deux fois dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$f'(x)=\e^x-1$ et $f\dsec(x)=\e^x>0$.
La fonction $f$ est convexe sur $\R$.
Affirmation 1 vraie
$\quad$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
$\left(2\e^x-6\right)\left(\e^x+2\right)=0 \ssi 2\e^x-6=0$ ou $\e^x+2=0$.
$2\e^x-6=0 \ssi 2\e^x=6\ssi \e^x=3\ssi x=\ln(3)$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc $\e^x+2>2>0$.
Ainsi l’équation $\left(2\e^x-6\right)\left(\e^x+2\right)=0$ possède une unique solution dans $\R$ qui est $\ln(3)$.
Affirmation 2 vraie
$\quad$
Pour tout $x>0$ on a
$\begin{align*} \dfrac{\e^{2x}-1}{\e^x-x}&=\dfrac{\e^{2x}\left(1-\e^{-2x}\right)}{\e^x\left(1-x\e^{-x}\right)} \\
&=\e^x\times \dfrac{1-\e^{-2x}}{1-x\e^{-x}}\end{align*}$
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-2x}=0$, $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ et par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} x\e^{-x}=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{2x}-1}{\e^x-x}=+\infty$.
Affirmation 3 fausse
$\quad$
La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} F'(x)&=2\e^{3x}+3(2x+1)\e^{3x} \\
&=(2+6x+3)\e^{3x} \\
&=(6x+5)\e^{3x} \\
&=f(x)\end{align*}$
$F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
$F(0)=1+4=5$.
Affirmation 4 vraie
$\quad$
La fonction $\texttt{mystere}$ renvoie la moyenne des valeurs contenues dans la liste.
La moyenne ici est égale à :
$\dfrac{1+9+9+5+0+3+6+12+0+5}{10}=5$.
Affirmation 5 fausse
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. Pour tout $n\in \N$ on note $P(n):~u_n=2\times 0,9^n-3$.
Initialisation : $u_0=-1$ et $2\times 0,9^0-3=-1$.
Donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} u_{n+1}&=0,9u_n-0,3\\
&=0,9\left(2\times 0,9^n-3\right)-0,3 \\
&=2\times 0,9^{n+1}-2,7-0,3\\
&=2\times 0,9^{n+1}-0,3\end{align*}$
$P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $u_n=2\times 0,9^n-3$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$ on a $u_n=-3+2\times 0,9^n>-3$ (on ajoute un nombre positif à $-3$).
$\begin{align*}u_n+1&=2\times 0,9^n-2 \\
&=2\left(0,9^n-1\right) \\
&<0\end{align*}$
Donc $-3<u_n\pp -1$.
$\quad$
c. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=2\times 0,9^{n+1}-3-2\times 0,9^n+3\\
&=2\times 0,9^n(0,9-1) \\
&<0\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
$\quad$
d. $0<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,9^n=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-3$.
La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $-3$.
$\quad$
a. La fonction $g$ est dérivable sur $]-3;-1]$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
Pour tout $x\in ]-3;-1]$
$\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{0,5}{0,5x+1,5}-1 \\
&=\dfrac{0,5-0,5x-1,5}{0,5x+1,5} \\
&=\dfrac{-0,5x-1}{0,5x+1,5} \\
&=-\dfrac{0,5x+1}{0,5x+1,5}\end{align*}$
Sur $]-3;-1]$ on a $0,5x+1,5>0$.
$0,5x+1=0 \ssi 0,5x=-1 \ssi x=-2$
$-(0,5x+1)>0 \ssi 0,5x+1<0 \ssi x<-2$
La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]-3;-2]$ et strictement décroissante sur $[-2;-1]$.
$g(-1)=0-(-1)=1$.
$\lim\limits_{x\to -3^+} 0,5x+1,5=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$.
Donc $\lim\limits_{x\to -3^+} \ln(0,5x+1,5)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -3^+} g(x)=-\infty$.
$\quad$
b. $g(-2)=\ln(0,5)+2 \approx 1,3$.
La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]-3;-2]$.
$g(-2)>0$ et $\lim\limits_{x\to -3^+} g(x)=-\infty$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-3;-2]$.
Pour tout $x\in ]-2;-1]$ on a $g(x)\pg -1$ car la fonction $g$ est décroissante sur cette intervalle et $g(-1)=1$.
L’équation $g(x)=0$ n’admet donc pas de solution sur cet intervalle.
Finalement l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-3;-1]$.
D’après la calculatrice $\alpha\approx -2,8887$. Par conséquent $-2,889<\alpha <-2,888$.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$
$\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\ln\left(0,5u_{n+1}+1,5\right) -\ln\left(0,5u_{n}+1,5\right)\\
&=\ln\left(0,9^{n+1}-1,5+1,5\right)-\ln\left(0,9^{n}-1,5+1,5\right) \\
&=\ln\left(0,9^{n+1}\right)-\ln\left(0,9^{n}\right)\\
&=(n+1)\ln(0,9)-n\ln(0,9)\\
&=\ln(0,9)\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $\ln(0,9)$.
$\quad$
b.
$\begin{align*} u_n=v_n&\ssi u_n=\ln\left(0,5u_n+1,5\right) \\
&\ssi \ln\left(0,5u_n+1,5\right) -u_n=0 \\
&\ssi g\left(u_n\right)=0\end{align*}$
$\quad$
c. $v$ est une suite arithmétique de premier terme $0$ et de raison $\ln(0,9)$.
Donc pour tout $n\in \N$, $v_n=n\ln(0,9)$.
$u_n=v_n\ssi g\left(u_n\right)=0\ssi g\left(v_n\right)=0 \ssi v_n=\alpha$.
Par conséquent $n\ln(0,9)=\alpha \ssi n=\dfrac{\alpha}{\ln(0,9)}$
Or $-2,889<\alpha <-2,888$ donc $\dfrac{-2,889}{\ln(0,9)}<n<\dfrac{-2,888}{\ln(0,9)}$
Mais $\dfrac{-2,889}{\ln(0,9)} \approx 27,42$ et $\dfrac{-2,888}{\ln(0,9)} \approx 27,41$.
Il n’existe aucun entier naturel entre ces deux nombres.
Il n’existe donc aucun rang $k\in \N$ pour lequel $u_k=\alpha$.
$\quad$
d. Or $u_n=\alpha\ssi g\left(u_n\right)=0\ssi u_n=v_n$.
Il n’existe donc aucun rang $k\in \N$ pour lequel $v_k=u_k$.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 4 points

Thème : probabilités

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Les utilisateurs de vélo d’une ville sont classés en deux catégories disjointes :

ceux qui utilisent le vélo dans leurs déplacements professionnels ;
ceux qui utilisent le vélo uniquement pour leurs loisirs.

Un sondage donne les résultats suivants :

$21 \%$ des utilisateurs ont moins de 35 ans. Parmi eux, $68 \%$ utilisent leur vélo uniquement pour leurs loisirs alors que les autres l’utilisent dans leurs déplacements professionnels ;
parmi les 35 ans ou plus, seuls $20 \%$ utilisent leur vélo dans leurs déplacements professionnels, les autres l’utilisent uniquement pour leurs loisirs.

On interroge au hasard un utilisateur de vélo de cette ville.
Dans tout l’exercice on considère les événements suivants :

$J$ : « la personne interrogée a moins de 35 ans » ;
$T$ : « la personne interrogée utilise le vélo dans ses déplacements professionnels » ;
$\conj{J}$ et $\conj{T}$ sont les événements contraires de $J$ et $T$.

Partie A

Calculer la probabilité que la personne interrogée ait moins de 35 ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
$\quad$
Calculer la valeur exacte de la probabilité de $T$.
$\quad$
On considère à présent un habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels. Démontrer que la probabilité qu’il ait moins de 35 ans est $0,30$ à $10^{-2}$ près.
$\quad$

Partie B

Dans cette partie, on s’intéresse uniquement aux personnes utilisant leur vélo dans leurs déplacements professionnels. On admet que $30 \%$ d’entre elles ont moins de 35 ans.

On sélectionne au hasard parmi elles un échantillon de 120 personnes auxquelles on va soumettre un questionnaire supplémentaire. On assimile la sélection de cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.

On demande à chaque individu de cet échantillon son âge.

$X$ représente le nombre de personnes de l’échantillon ayant moins de 35 ans.

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
$\quad$
Calculer la probabilité qu’au moins $50$ utilisateurs de vélo parmi les $120$ aient moins de 35 ans.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

Thème : géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère :

$d_1$ la droite passant par le point $H(2; 3; 0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\-1\\1\end{pmatrix}$;
$d_2$ la droite de représentation paramétrique :$$\begin{cases} x=2k-3\\y=k\\z=5\end{cases} \qquad \text{où $k$ décrit $\R$}$$

Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d’une droite $\Delta$ qui soit perpendiculaire aux droites $d_1$ et $d_2$.

a. Déterminer un vecteur directeur $\vec{v}$ de la droite $d_2$.
$\quad$
b. Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
$\quad$
c. Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas sécantes.
$\quad$
d. Quelle est la position relative des droites $d_1$ et $d_2$ ?
$\quad$
a. Vérifier que le vecteur $\vec{w}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$.
$\quad$
b. On considère le plan $P$ passant par le point $H$ et dirigé par les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$.
On admet qu’une équation cartésienne de ce plan est :
$$5x+4y-z-22 = 0.$$
Démontrer que l’intersection du plan $P$ et de la droite $d_2$ est le point $M(3; 3; 5)$.
$\quad$
Soit $\Delta$ la droite de vecteur directeur $\vec{w}$ passant par le point $M$. Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc donnée par :
$$\begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\end{cases} \qquad \text{où $r$ décrit $\R$}$$
a. Justifier que les droites $\Delta$ et $d_1$ sont perpendiculaires en un point $L$ dont on déterminera les coordonnées.
$\quad$
b. Expliquer pourquoi la droite $\Delta$ est solution du problème posé.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Thème : fonction exponentielle, algorithmique

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation : La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^x-x$ est convexe.
$\quad$
Affirmation : L’équation $\left(2e^x-6\right)\left(\e^x + 2\right) = 0$ admet $\ln(3)$ comme unique solution dans $\R$.
$\quad$
Affirmation : $$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{2x}-1}{\e^x-x}=0$$
$\quad$
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(6x+5)\e^{3x}$ et $F$ la fonction définie sur $\R$ par : $F(x) = (2x + 1)\e^{3x}+4$.
Affirmation : $F$ est la primitive de $f$ sur $\R$ qui prend la valeur $5$ quand $x = 0$.
$\quad$
On considère la fonction $\texttt{mystere}$ définie ci-dessous qui prend une liste $\texttt{L}$ de nombres en paramètre.
On rappelle que $\texttt{len(L)}$ représente la longueur de la liste $\texttt{L}$.
$$\begin{array}{|lll|}
\hline
\\
\phantom{1234}&\texttt{def mystere(L) :}&\phantom{1234} \\
&\hspace{0.8cm} \texttt{S = 0}& \\
&\hspace{0.8cm} \texttt{for i in range(len(L)) :}&\\
&\hspace{1.6cm} \texttt{S = S + L[i]}&\\
&\hspace{0.8cm} \texttt{return S / len(L)}&\\
\\
\hline
\end{array}$$
Affirmation : L’exécution de $\texttt{mystere([1,9,9,5,0,3,6,12,0,5]) }$ renvoie $\texttt{50}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 6 points

Thème : suites, fonctions

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=-1$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=0,9u_n-0,3$$

a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \N, u_n = 2 \times 0,9^n-3$.
$\quad$
b. En déduire que pour tout $n\in \N$, $-3 < u_n \pp -1$.
$\quad$
c. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
$\quad$
d. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et préciser sa limite.
$\quad$
On se propose d’étudier la fonction $g$ définie sur $]-3 ; -1]$ par :
$$g(x) = \ln(0,5x + 1,5)-x$$.
a. Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction $g$ (limites, variations, image de $-1$).
$\quad$

$\quad$
b. En déduire que l’équation $g(x) = 0$ a exactement une solution que l’on
notera $\alpha$ et dont on donnera un encadrement d’amplitude $10^-3$.
$\quad$
Dans la suite de l’exercice, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $n\in\N$, par : $$v_n = \ln\left(0,5u_n + 1,5\right).$$
a. En utilisant la formule donnée à la question 1. a., démontrer que $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $\ln(0,9)$.
$\quad$
b. Soit $n$ un entier naturel.
Démontrer que $u_n=v_n$ si, et seulement si $g\left(u_n\right)=0$.
$\quad$
c. Démontrer qu’il n’existe aucun rang $k\in \N$ pour lequel $u_k = \alpha$.
$\quad$
d. En déduire qu’il n’existe aucun rang $k\in \N$ pour lequel $v_k = u_k$.
$\quad$

$\quad$