Exercice 1

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   $\quad$$\quad$
2. a. $\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(E)&=p(R)\times p_R(E)+p\left(\conj{R}\right)\times p_{\conj{R}}(E) \\
   &=0,4\alpha+0,7(1-\alpha) \\
   &=0,7-0,3\alpha\end{align*}$
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} p(E)=0,58&\ssi 0,7-0,3\alpha=0,58 \\
   &\ssi -0,12=-0,3\alpha\\
   &\ssi  \alpha=0,4\end{align*}$
   $\quad$
3. On a
   $\begin{align*}
   p_E\left(\conj{R}\right)&=\dfrac{p\left(E\cap \conj{R}\right)}{p(E)} \\
   &=\dfrac{p\left(\conj{R}\right)\times P_{\conj{R}}(E)}{p(E)} \\
   &=\dfrac{0,7(1-\alpha)}{0,58} \\
   &=\dfrac{0,7\times 0,6}{0,58} \\
   &=\dfrac{21}{29}\\
   &\approx 0,72
   \end{align*}$
   La probabilité que le client ayant loué un vélo électrique ait loué un vélo tout terrain est environ égale à $0,72$.
   $\quad$
4. On a
   $\begin{align*} p\left(\conj{R}\cap E\right)&=p\left(\conj{R}\right)\times p_{\conj{R}}(E) \\
   &=0,7(1-\alpha)\\
   &=0,7\times 0,6\\
   &=0,42\end{align*}$
   La probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique est égale à $0,42$.
   $\quad$
5. a. $X(\Omega)=\acco{25,~35,~40,~50}$
   $\begin{align*} p(X=25)&=p\left(R\cap \conj{E}\right) \\
   &= 0,4\times 0,4\\
   &=0,24\end{align*}$
   $\begin{align*} p(X=35)&=p\left(\conj{R}\cap \conj{E}\right) \\
   &= 0,6\times 0,3\\
   &=0,18\end{align*}$
   $\begin{align*} p(X=40)&=p\left(R\cap \conj{E}\right) \\
   &= 0,4\times 0,4\\
   &=0,16\end{align*}$
   $\begin{align*} p(X=50)&=p\left(\conj{R}\cap E\right) \\
   &= 0,6\times 0,7\\
   &=0,42\end{align*}$
   On obtient ainsi le tableau de loi de probabilité de $X$ suivant :
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
   \hline
   x&25&35&40&50\\
   \hline
   p(X=x)&0,24&0,18&0,16&0,42\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. L’espérance mathématique de $X$ est :
   $\begin{align*} E(X)&=25\times 0,24+35\times 0,18+40\times 0,16+50\times 0,42 \\
   &=39,7\end{align*}$
   En moyenne, une location de vélo coûte $39,70$ euros.
   $\quad$
6. a. On répète $30$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,58$.
   $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,58$.
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} p(X=20)&=\dbinom{30}{20} 0,58^{20}\times 0,42^{10} \\
   &\approx 0,095\end{align*}$
   La probabilité qu’un échantillon contienne exactement $20$ clients qui
   louent un vélo électrique est environ égale à $0,095$.
   $\quad$
   c. On veut calculer $P(X\pg 15) \approx 0,858$.
   La probabilité qu’un échantillon contienne au moins $15$ clients qui louent un vélo électrique est environ égale à $0,858$.
   $\quad$

Exercice 2

1. Soit $n\in \N$
   $\begin{align*} b_{n+1}&=a_{n+1}-2 \\
   &=0,5a_n+1-2 \\
   &=0,5a_n-1 \\
   &=0,5\left(a_n-2\right) \\
   &=0,5b_n\end{align*}$
   La suite $\left(b_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$.
   Réponse b
   $\quad$
2. On a donc $u_1=5$, $v_1=3$, $u_2=14$ et $v_2=8$.
   Donc $\dfrac{u_2}{v_2}=1,75$
   Réponse c
   $\quad$
3. La boucle du programme calcule tous les termes $u_n$ et $v_n$ pour $n$ allant de $1$ à $10$.
   Le programme renvoie donc $u_{10}$ et $v_{10}$.
   Réponse d
   $\quad$
4. La fonction $f’$ semble croissante sur l’intervalle $[-4;0]$.
   Par conséquent la fonction $f$ semble convexe sur cet intervalle.
   Réponse b
   $\quad$
5. Le coefficient directeur de la droite $(BC)$ est
   $\begin{align*} f\dsec(1)&=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B} \\
   &=5\end{align*}$
   Réponse d
   $\quad$
6. On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\left(x^2-2x+3\right)\e^x-2$.
   La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*} F'(x)&=(2x-2)\e^x+\left(x^2-2x+3\right)\e^x \\
   &=\left(2x-2+x^2-2x+3\right)\e^x \\
   &=\left(x^2+1\right)\e^x\end{align*}$
   Ainsi $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
   De plus $F(0)=3-2=1$.
   Réponse b
   $\quad$

Exercice 3

Partie A

1. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=0$ donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0$.
   $\quad$
2. Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x\left(1-\ln(x)\right)$.
   Or $\lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} 1-\ln(x)=-\infty$ ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
   $\quad$
3. a. Pour tout réel $x>0$ on a
   $\begin{align*} f'(x)&=1-\ln(x)-x\times \dfrac{1}{x} \\
   &=1-\ln(x)+1\\
   &=-\ln(x)\end{align*}$
   $\quad$
   b. $f'(x)=0\ssi -\ln(x)=0 \ssi x=1$
   $f'(x)>0 \ssi -\ln(x)>0 \ssi x\in ]0;1[$.
   La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
   On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
4. $f(x)=x\ssi x-x\ln(x)=x \ssi -x\ln(x)=0 \ssi x=1$ (la valeur $0$ n’est pas solution puisque $f$ n’est pas définie en $0$).
   $\quad$

Partie B

1. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~0,5\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 1$.
   Initialisation : $u_0=0,5$ et $u_1\approx 0,85$.
   Par conséquent $P(0)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
   $0,5\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 1$.
   La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0,5;1]$.
   Par conséquent $f(0,5) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp p(1)$ c’est-à-dire $u_1\pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 1$.
   Or $u_1\approx 0,85$.
   La propriété $P(n+1)$ est vraie.
   $\quad$
   D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, $0,5\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 1$.
   $\quad$
2. a. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $1$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
   $\quad$
   b. La fonction $f$ est continue sur $]0;+\infty[$ et, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
   Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
   D’après la question A.4. l’unique solution de cette équation est $1$.
   Ainsi $\ell=1$.
   $\quad$

Partie C

1. La fonction $f_k$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x>0$ on a :
   $\begin{align*} f_k'(x)&=k-\ln(x)-x\times \dfrac{1}{x} \\
   &=-\ln(x)+k-1\end{align*}$
   $f_k'(x)>0 \ssi -\ln(x)+k-1>0 \ssi \ln(x)<k-1 \ssi x<\e^{k-1}$
   La fonction $f_k$ est donc strictement croissante sur $\left]0;\e^{k-1}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[\e^{k-1};+\infty\right[$.
   La fonction $f_k$ admet par conséquent un maximum en $x_k=\e^{k-1}$.
   $\quad$
2. Soit $k\in \R$.
   $\begin{align*} y_k=f_k\left(x_k\right)\\
   &=k\e^{k-1}-\e^{k-1}\ln\left(\e^{k-1}\right) \\
   &=k\e^{k-1}-(k-1)\e^{k-1} \\
   &=\e^{k-1}\left(k-(k-1)\right) \\
   &=\e^{k-1}\\
   &=x_k\end{align*}$
   $\quad$

Exercice 4

1. a. Les coordonnées du vecteur $\vec{u}’$ sont $\begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   b. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{u}’$ ne sont pas colinéaires (ils n’ont pas les mêmes coordonnées nulles). Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ ne sont donc pas parallèles.
   $\quad$
   c. Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est $\begin{cases} x=2+k\\y=4+2k\\z=0\end{cases}$.
   $\quad$
2. $\vec{v}.\vec{u}=2-2+0=0$ et $\vec{v}3.\vec{u}’=0-1+1=0$.
   $\vec{v}$ est donc orthogonal aux deux vecteurs, non colinéaires, $\vec{u}$ et $\vec{u}’$.
   $\vec{v}$ est donc un vecteur directeur de la droite perpendiculaire à la fois à $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$.
   Ainsi $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
   $\quad$
3. a. $\vec{n}.\vec{u}=2-2+0=0$ et $\vec{n}.\vec{v}= 4+1-5=0$.
   Ainsi $\vec{n}$ orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$.
   $\quad$
   b. Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $2x-y-5z+d=0$.
   Le point $A(2;4;0)$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
   Par conséquent $4-4-0+d=0 \ssi d=0$.
   Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc $2x-y-5z=0$.
   $\quad$
   c. $M’$ est un point de $Delta$. Il appartient donc également au plan $\mathscr{P}$ qui contient cette droite.
   $M’$ est un point de $\mathscr{D}’$.
   $M’$ est donc le point d’intersection de la droite $\mathscr{D}’$ avec le plan $\mathscr{P}$.
   $2\times 3-1-5=0$ : le point de coordonnées $(3;1;1)$ appartient donc au plan $\mathscr{P}$.
   En prenant $t=-2$ dans la représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}’$ on obtient le point de coordonnées $(3;1;1)$.
   Ainsi ce point est le point d’intersection de la droite $\mathscr{D}’$ et $\mathscr{P}$.
   Ainsi $M’$ a pour coordonnées $(3;1;1)$.
   $\quad$
4. a. $\vec{v}$ est un vecteur directeur de $\Delta$ et $M’$ appartient à cette droite.
   Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $\begin{cases} x= 3+2k’\\y=1-k’\\z=1+k’\end{cases} \qquad k’\in \R$.
   $\quad$
   b. En prenant $k’=-1$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ on obtient le point de coordonnées $(-1;2;0)$.
   En prenant $k=-1$ dans la représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ on obtient le point de coordonnées $(-1;2;0)$.
   $M$ est le point d’intersection de ces deux droites. Donc $M$ a pour coordonnées $(1;2;0)$.
   $\quad$
   c. Les coordonnées de $\vect{MM’}$ sont $\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$.
   Par conséquent
   $\begin{align*} MM’&=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}\\
   &=\sqrt{4+1+1} \\
   &=\sqrt{6}\end{align*}$.
   $\quad$
5. a. Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{r}\begin{pmatrix} 5\\5\\1\end{pmatrix}$.
   $\vec{n}.\vec{r}=10-5-5=0$. Par conséquent $\vec{n}$ est normal à la droite $d$.
   Ainsi $d$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$.
   $\quad$
   b. Les droites $\mathscr{D}$ et $\Delta$ sont perpendiculaires en $M$.
   Le point $A$ appartient à la droite $\mathscr{D}$ et le point $M’$ appartient à la droite $\Delta$.
   Le triangle $AMM’$ est rectangle en $M$.
   Les coordonnées de $\vect{AM}$ sont $\begin{pmatrix} -1\\-2\\0\end{pmatrix}$.
   Par conséquent
   $\begin{align*} AM&=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+0^2} \\
   &=\sqrt{5}\end{align*}$
   Ainsi l’aire du triangle $AMM’$ est
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AM\times MM’}{2} \\
   &=\dfrac{\sqrt{30}}{2}\end{align*}$.
   Le volume du tétraèdre $ANMM’$ est donc $V=\dfrac{\sqrt{30}}{3}\ell$.
   $\quad$
   c. La droite $d$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$. La distance d’un point de la droite $d$ à ce plan est donc toujours la même. Ainsi $\ell$ ne dépend pas du point $N$ choisi.
   Par conséquent $AN_1MM’$ et $AN_2MM’$ ont le même volume.
   $\quad$

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1     7 points
Thème : probabilités

Dans le magasin d’Hugo, les clients peuvent louer deux types de vélos : vélos de route ou bien vélos tout terrain. Chaque type de vélo peut être loué dans sa version électrique ou non.
On choisit un client du magasin au hasard, et on admet que :

• Si le client loue un vélo de route, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de $0,4$ ;
• Si le client loue un vélo tout terrain, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de $0,7$ ;
• La probabilité que le client loue un vélo électrique est de $0,58$.

On appelle $\alpha$ la probabilité que le client loue un vélo de route, avec $0\pp \alpha\pp 1$.

On considère les événements suivants :

• $R$ : « le client loue un vélo de route » ;
• $E$ : « le client loue un vélo électrique » ;
• $\conj{R}$ et $\conj{E}$ , événements contraires de $R$ et $E$.

On modélise cette situation aléatoire à l’aide de l’arbre reproduit ci-dessous :

Si $F$ désigne un événement quelconque, on notera $p(F)$ la probabilité de $F$.

1. Recopier cet arbre sur la copie et le compléter.
   $\quad$
2. a. Montrer que $p(E)=0,7-0,3\alpha$.
   $\quad$
   b. En déduire que : $\alpha = 0,4$.
   $\quad$
3. On sait que le client a loué un vélo électrique. Déterminer la probabilité qu’il ait loué un vélo tout terrain. On donnera le résultat arrondi au centième.
   $\quad$
4. Quelle est la probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique ?
   $\quad$
5. Le prix de la location à la journée d’un vélo de route non électrique est de $25$ euros, celui d’un vélo tout terrain non électrique de $35$ euros. Pour chaque type de vélo, le choix de la version électrique augmente le prix de location à la journée de $15$ euros.
   On appelle $X$ la variable aléatoire modélisant le prix de location d’un vélo à la journée.
   a. Donner la loi de probabilité de $X$. On présentera les résultats sous forme d’un tableau.
   $\quad$
   b. Calculer l’espérance mathématique de $X$ et interpréter ce résultat.
   $\quad$
6. Lorsqu’on choisit $30$ clients d’Hugo au hasard, on assimile ce choix à un tirage avec remise. On note $Y$ la variable aléatoire associant à un échantillon de $30$ clients choisis au hasard le nombre de clients qui louent un vélo électrique.
   On rappelle que la probabilité de l’événement $E$ est : $p(E) = 0,58$.
   a. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   $\quad$
   b. Déterminer la probabilité qu’un échantillon contienne exactement $20$ clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.
   $\quad$
   c. Déterminer la probabilité qu’un échantillon contienne au moins $15$ clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points
Thèmes : suites, fonctions

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ définie par $a_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 0,5a_n+1$ et $b_n=a_n-2$.
   On peut affirmer que :
   a. $\left(a_n\right)$ est arithmétique ;
   b. $\left(b_n\right)$ est géométrique ;
   c. $\left(a_n\right)$ est géométrique ;
   d. $\left(b_n\right)$ est arithmétique.
   $\quad$

Dans les questions 2. et 3., on considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ définies par :$$u_0=2,~v_0=1 \text{ et, pour tout entier naturel }n :\begin{cases} u_{n+1}=u_n+3v_n\\v_{n+1}=u_n+v_n\end{cases}$$

2. On peut affirmer que :
   a. $\begin{cases} u_2=5\\v_2=3\end{cases}$;
   b. $u_2^2-3v_2^2=-2^2$;
   c. $\dfrac{u_2}{v_2}=1,75$;
   d. $5u_1=3v_1$.
   $\quad$
3. On considère le programme ci-dessous écrit en langage Python :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \text{def valeurs() :}\\
   \quad \text{u = 2}\\
   \quad \text{v = 1}\\
   \quad \text{for k in range(1,11) :}\\
   \qquad \text{c = u}\\
   \qquad \text{u = u+3*v}\\
   \qquad \text{v = c+v}\\
   \quad \text{return (u,v)}\\
   \hline
   \end{array}$$
   Ce programme renvoie :
   a. $u_{11} et $v_{11};
   b. $u_{10}$ et $v_{11}$;
   c. les valeurs de $u_n$ et $v_n$ pour $n$ allant de $1$ à $10$;
   d. $u_{10}$ et $v_{10}$.
   $\quad$

Pour les questions 4. et 5., on considère une fonction $f$ deux fois dérivable sur l’intervalle $[-4 ; 2]$. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ et $f\dsec$ la dérivée seconde de $f$.
On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}’$ de la fonction dérivée $f’$ dans un repère du plan. On donne de plus les points $A(-2; 0)$, $B(1; 0)$ et $C(0; 5)$.

4. La fonction $f$ est :
   a. concave sur $[-2; 1]$;
   b. convexe sur $[-4; 0]$;
   c. convexe sur $[-2; 1]$;
   d. convexe sur $[0; 2]$.
   $\quad$
5. On admet que la droite $(BC)$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}’$ au point $B$.
   On a :
   a. $f'(1) < 0$;
   b. $f'(1)= 5$;
   c. $f\dsec(1) > 0$;
   d. $f\dsec(1) = -5$.
   $\quad$
6. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2+1\right)\e^x$.
   La primitive $F$ de $f$ sur $\R$ telle que $F(0) = 1$ est définie par :
   a. $F(x)=\left(x^2-2x+3\right)\e^x$;
   b. $F(x)=\left(x^2-2x+3\right)\e^x-2$;
   c. $F(x)=\left(\dfrac{1}{3}x^3+x\right)\e^x+1$;
   d. $F(x)=\left(\dfrac{1}{3}x^3+x\right)\e^x$;
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points
Thèmes : fonction logarithme, suites

Les parties B et C sont indépendantes.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = x-x\ln(x)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

Partie A

1. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$.
   $\quad$
2. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
   $\quad$
3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
   a. Démontrer que, pour tout réel $x>0$, on a : $f'(x)=-\ln(x)$.
   $\quad$
   b. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$ et dresser son tableau de variation.
   $\quad$
4. Résoudre l’équation $f(x) = x$ sur $]0; +\infty[$.
   $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on pourra utiliser avec profit certains résultats de la partie A.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$\begin{cases} u_0=0,5\\\text{pour tout entier naturel }n, u_{n+1}=u_n-u_n\ln\left(u_n\right)\end{cases}$$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

1. On rappelle que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0,5; 1]$.
   Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0,5\pp u_n\pp u_{n+1}\pp 1$.
   $\quad$
2. a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
   $\quad$
   b. On note $l$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Déterminer la valeur de $l$.
   $\quad$

Partie C

Pour un nombre réel $k$ quelconque, on considère la fonction $f_k$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $$f_k(x)=kx-x\ln(x)$$

1. Pour tout nombre réel $k$, montrer que $f_k$ admet un maximum $y_k$ atteint en $x_k=\e^{k-1}$.
   $\quad$
2. Vérifier que, pour tout nombre réel $k$, on a : $x_k=y_k$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points
Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère :

• la droite $\mathcal{D}$ passant par le point $?(2; 4; 0)$ et dont un vecteur directeur est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$;
• la droite $\mathcal{D}’$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases}x=3\\y=3+t\\z=3+t\end{cases} \quad, t\in \R$.

1. a. Donner les coordonnées d’un vecteur directeur $\vec{u’}de la droite $\mathcal{D}’$.
   $\quad$
   b. Montrer que les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}’$ ne sont pas parallèles.
   $\quad$
   c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.

On admet dans la suite de cet exercice qu’il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire aux droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}’$. Cette droite ∆$\Delta$ coupe chacune des droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}’$. On appellera $M$ le point d’intersection de $\Delta$ et $\mathcal{D}$, et $M’$ le point d’intersection de $\Delta$ et $\mathcal{D}’$.

On se propose de déterminer la distance $MM’$ appelée « distance entre les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}’$ ».

2. Montrer que le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
   $\quad$
3. On note $\mathcal{P}$ le plan contenant les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$, c’est-à-dire le plan passant par le point $A$ et de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
   a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-5\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
   $\quad$
   b. En déduire qu’une équation du plan $\mathcal{P}$ est : $2x-y-5z=0$.
   $\quad$
   c. On rappelle que $M’$ est le point d’intersection des droites $\Delta$ et $\mathcal{D}’$. Justifier que $M’$ est également le point d’intersection de $\mathcal{D}’$ et du plan $\mathcal{P}$.
   En déduire que les coordonnées du point $M’$ sont $(3; 1; 1)$.
   $\quad$
4. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
   $\quad$
   b. Justifier que le point $M$ a pour coordonnées $(1; 2; 0)$.
   $\quad$
   c. Calculer la distance $MM’$.
   $\quad$
5. On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=5t\\y=2+5t\\z=1+t\end{cases} \quad$ avec $t\in \R$.
   a. Montrer que la droite $d$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$.
   $\quad$
   b. On note $\ell$ la distance d’un point $N$ de la droite $d$ au plan $\mathcal{P}$. Exprimer le volume du tétraèdre $ANMM’$ en fonction de $\ell$.
   On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : $V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{B}\times h$ où $\mathscr{B}$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
   $\quad$
   c. Justifier que, si $N_1$ et $N_2$ sont deux points quelconques de la droite $d$, les tétraèdres $AN_1MM’$ et $AN_2MM’$ ont le même volume.
   $\quad$

$\quad$