solution-E3C2 – Spécialité maths – Vrai Faux – 2020

Vrai / Faux

E3C2 – 1ère

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse devra être justifiée.
Toute démarche de justification même non aboutie sera prise en compte.

  1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on donne les points :
    $$𝐴(2 ; -2) , \quad B(4 ; 0) ,\quad C(0 ; −5) ,\quad D(-7 ; 1)$$
    Affirmation 1 : Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
    Affirmation 2 : Une équation de la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ est : $$y = x- 5$$
    $\quad$
    Affirmation 3 : Une équation du cercle de centre $A$ passant par $B$ est : $$(x-2)^2+(y+2)^2=8$$
    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in]0;+\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{\e^x}{x}$$ On note $f’$ sa fonction dérivée.
    Affirmation 4 : $f'(1)=0$
    $\quad$
  3. On donne $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$
    Affirmation 5 : $\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)<0$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Affirmation 1 fausse

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{CD}\begin{pmatrix}-7\\6\end{pmatrix}$
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{CD}&=2\times (-7)+2\times 6\\
&=-2\\
&\neq 0\end{align*}$
Les vecteurs ne sont pas orthogonaux. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas perpendiculaires.

$\quad$

Affirmation 2 fausse

On appelle $d$ la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$
$\vect{AB}$ est un vecteur normal à droite $d$.
Une équation cartésienne de $d$ est donc de la forme $2x+2y+c=0$.
$C(0;-5)$ appartient à $d$ donc $0-10+c=0 \ssi c=10$.
Une équation cartésienne de $d$ est donc $2x+2y+10=0$ ou encore $x+y+5=0$
Par conséquent $y=-5-x$

$\quad$

Affirmation 3 vraie

$AB$ est un rayon de ce cercle. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$.
$\begin{align*} AB^2&=2^2+2^2\\
&=8\end{align*}$
Une équation du cercle de centre $A$ passant par $B$ est donc :
$(x-2)^2+\left(y-(-2)\right)^2=8$ soit $(x-2)^2+(y+2)^2=8$.

$\quad$

Affirmation 4 vraie

$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]0;+\infty[$.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x\times x-\e^x\times 1}{x^2} \\
&=\dfrac{(x-1)\e^x}{x^2}\end{align*}$
Par conséquent $f'(1)=0$

$\quad$

Affirmation 5 fausse

$\dfrac{2\pi}{5}\in ]0;\pi[$ donc $\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)>0$

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un QCM et comprend cinq questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée, mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Question 1

On donne ci-dessous la courbe représentative $C_f$ d’une fonction $f$.


Cette courbe a une tangente $T$ au point $A(-3 ; 3)$.
L’équation réduite de cette tangente est :

a. $y=\dfrac{1}{5}x-3,7$
b. $y=\dfrac{1}{5}x+18$
c. $y=5x+18$
d. $y=5x-3,7$

$\quad$

Correction Question 1

D’après le graphique, l’ordonnée à l’origine de la droite $T$ est $18$.
Cette droite passe par les points de coordonnées $(-3;3)$ et $(0;18)$.
Le coefficient directeur est donc :
$\begin{align*} a&=\dfrac{18-3}{0-(-3)}\\
&=5\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On reprend la fonction $f$ de la question précédente. La représentation graphique de sa fonction dérivée est :

$\quad$

Correction Question 2

D’après le graphique, la fonction $f$ est croissante sur les intervalles $]-\infty;-2]$ et $[2;+\infty[$ et décroissante sur l’intervalle $[-2;2]$.
$f'(x)$ est donc positif sur $]-\infty;-2]$ et $[2;+\infty[$ et négatif sur $[-2;2]$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

L’expression $\cos(x+\pi)+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ est égale à :

a. $-2\cos(x)$
b. $0$
c. $\cos(x)+\sin(x)$
d. $2\cos(x)$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \cos(x+\pi)+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)&=-\cos(x)+\cos(x)\\
&=0\end{align*}$

Réponse 0

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x^2+4x+6$.
Cette fonction est strictement positive sur l’intervalle :

a. $]-\infty;-1[\cup]3;+\infty[$
b. $]-1;3[$
c. $]-\infty;-3[\cup]1;+\infty[$
d. $]-3;1[$

$\quad$

Correction Question 4

Le discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=4^2-4\times (-2)\times 6\\
&=64\\
&>0\end{align*}$

Les racines sont donc :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{64}}{-4}\\
&=3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{64}}{-4}\\
&=-1\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=-2<0$.
Par conséquent $f(x)>0$ sur l’intervalle $]-1;3[$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=(2x-1)\e^x$.
La fonction dérivée de la fonction $h$ est définie sur $\R$ par :

a. $h'(x)=2\e^x$
b. $h'(x)=(2x+1)\e^x$
c. $h'(x)=(2x-1)\e^x$
d. $h'(x)=-\e^x$

$\quad$

Correction Question 5

La fonction $h $est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} h'(x)&=2\e^x +(2x-1)\e^x \\
&=(2+2x-1)\e^x\\
&=(2x+1)\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Une fonction du second degré $f$ a pour forme canonique valable pour tout réel $x$ : $f(x)=3(x+2)^2+5$.
Concernant son discriminant :

a. on peut dire qu’il est nul
b. on peut dire qu’il est strictement positif
c. on peut dire qu’il est strictement négatif
d. on ne peut rien dire sur son signe

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a donc $f(x)\pg 5$.
Donc l’équation $f(x)=0$ n’admet pas de solution réelle.
Son discriminant est donc strictement négatif.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Un vecteur directeur de la droite d’équation $2x+3y+5=0$ est :

a. $\vec{u}(2;3)$
b. $\vec{u}(-3;2)$
c. $\vec{u}(3;2)$
d. $\vec{u}(-2;3)$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur directeur d’une droite dont une équation cartésienne est $ax+by+c=0$ est $\vec{u}(-b;a)$.

Un vecteur directeur de la droite d’équation $2x+3y+5=0$ est $\vec{u}(-3;2)$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(3; -1)$, $B( 4 ; 2)$ et $C (1 ; 1)$.
Le produit scalaire $\vect{AB}.\vect{AC}$ est égal à :

a. $-4$
b. $2$
c. $4$
d. $8$

$\quad$

Correction Question 3

On a $\vec{AB}(1;3)$ et $\vec{AC}(-2;2)$.
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=1\times (-2)+3\times 2 \\
&=-2+6\\
&=4\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $g$ la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par $g(x)=(2x+1)\e^x$.
Pour tout réel $x$, $g'(x)$ est égal à :

a. $2\e^x$
b. $2x\e^x$
c. $(2x+2)\e^x$
d. $(2x+3)\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=2\e^x+(2x+1)\e^x \\
&=(2+2x+1)\e^x \\
&=(2x+3)\e^x\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Pour tout réel $x$, $\sin(x+\pi)$ est égal à :

a. $\cos x$
b. $\sin x$
c. $-\cos x$
d. $-\sin x$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ on a $\sin(x+\pi)=-\sin x$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $P$ définie sur l’intervalle $[0 ; 5]$ par $P(t)=100t\e^{-t}$.

  1. Calculer $P(0)$ et $P(5)$ (on arrondira à l’unité).
    $\quad$
  2. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu une expression de la dérivée de la fonction $P$ : pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0 ; 5]$, $P'(t)=100(1-t)\e^{-t}$.
    a. Utiliser cette expression pour étudier le signe de $P'(t)$ sur l’intervalle $[0 ; 5]$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de variations de la fonction $P$ sur l’intervalle $[0 ; 5]$.
    $\quad$
    c. Pour quelle valeur de $t$ la fonction $P$ admet-elle un maximum ? Quelle est la valeur de ce maximum ? (on arrondira à l’unité).
    $\quad$
  3. Une station pompe l’eau d’une rivière pour la transformer ensuite en eau potable. Lors d’un épisode de pollution, il faut interrompre le pompage en attendant que la vague de pollution soit évacuée par le courant. On étudie ici un épisode de pollution ayant duré $5$ heures environ.
    La concentration en polluant, exprimée en milligrammes par litre (mg/L) est modélisée par la fonction $P$ définie précédemment, où $t$ est le temps écoulé depuis le début de l’alerte, exprimé en heures.
    On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $P$ dans le plan muni d’un repère orthogonal.

    Les normes en vigueur indiquent que ce polluant devient dangereux pour la santé si sa concentration dépasse $5$ mg/L.
    Lors d’un épisode déclaré de pollution dans la rivière et après arrêt du pompage, à partir de combien d’heures peut-on considérer que la pollution ne représente plus de danger pour la santé?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $P(0)=0$ et $P(5)=500\e^{-5}\approx 3$.
    $\quad$
  2. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $P'(t)$ ne dépend donc que de celui de $1-t$.
    $1-t=0\ssi t=1$ et $1-t>0 \ssi t<1$.
    Ainsi :
    $\bullet$ $P'(t)>0$ sur $[0;1[$;
    $\bullet$ $P'(1)=0$;
    $\bullet$ $P'(t)<0$ sur $[1;5[$.
    $\quad$
    b. On obtient le tableaux de variations suivant :

    $\quad$
    c. D’après le tableau de variations, la fonction $P$ atteint son maximum en $1$. Ce maximum vaut $100\e^{-1}\approx 37$.
    $\quad$
  3. On constate graphiquement que $P(x)<5$ à partir d’environ $4,5$.
    On peut donc considérer que la pollution ne représente plus de danger pour la santé au bout de $4$h $30$ min.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des affirmations proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre  correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $c$ un nombre réel strictement supérieur à $1$. Sur l’ensemble des nombres réels, la fonction polynôme $f$ définie par $f(x)=x^2+2x+c$.

a. change de signe exactement $2$ fois
b. change de signe exactement une fois
c. est toujours positive
d. est toujours négative

$\quad$

Correction Question 1

$c>1$ donc $1-c<0$

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times 1\times c\\
&=4(1-c)\\
&<0\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=1>0$.

Ainsi $f(x)>0$ sur $\R$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Si $x$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $[-\pi ; 0]$ tel que $\cos x =\dfrac{3}{5}$, alors $\sin x$ a pour valeur

a. $\dfrac{4}{5}$
b. $-\dfrac{4}{5}$
c. $-\dfrac{2}{5}$
d. On ne peut pas savoir

$\quad$

Correction Question 2

$x$ appartient à l’intervalle $[-\pi ; 0]$ donc $\sin x\pp 0$.
Pour tout réel $x$ on a $\cos^2 x+\sin^2 x=1$
Donc $\dfrac{9}{25}+\sin^2 x=1 \ssi \sin^2x=\dfrac{16}{25}$
Ainsi $\sin x=\dfrac{4}{5}$  ou $\sin x=-\dfrac{4}{5}$
Puisque $\sin x\pp 0$ on a $\sin x=-\dfrac{4}{5}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Le quadrilatère $ABCD$ est un carré. On a :

a. $\vect{AB}.\vect{AD}=0$
b. $\vect{AB}.\vect{AC}=0$
c. $\vect{AB}.\vect{AB}=0$
d. $\vect{AB}.\vect{DC}=0$

$\quad$

Correction Question 3

$ABCD$ est un carré. Les droites $(AB)$ et $(AD)$ sont donc perpendiculaires.
Par conséquent $\vect{AB}.\vect{AD}=0$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

La droite d’équation $2x-y+1=0$coupe l’axe des abscisses au point $A$ de coordonnées :

a.  $A(0 ; 1)$
b. $A\left(\dfrac{1}{2};0\right)$
c.  $A(0 ; -1)$
d. $A\left(-\dfrac{1}{2};0\right)$

$\quad$

Correction Question 4

On veut résoudre l’équation $2x-0+1=0 \ssi x=-\dfrac{1}{2}$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Pour tout réel $x$, $\dfrac{\e^x}{\e^{-x}}$ est égal à

a. $-1$
b. $\e^{-2x}$
c. $\left(\e^x\right)^2$
d. $\e^0$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \dfrac{\e^x}{\e^{-x}}&=\e^{x-(-x)}\\
&=\e^{2x}\\
&=\left(\e^x\right)^2\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On modélise la valeur de vente (en milliers d’euros) d’une voiture électrique en fonction du nombre $x$ d’années à partir de sa mise sur le marché par la fonction $f$ définie sur l’intervalle
$[0 ; 10]$ par $$f(x)=35\e^{-0,22x}$$

  1. Calculer $f(0)$. Quel est le prix de vente de cette voiture au moment de la mise sur le marché ?
    $\quad$
  2. Donner une valeur approchée du prix de vente au bout de $5$ ans et $6$ mois.
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $f$ est dérivable et on note $f’$ sa fonction dérivée. Montrer que pour tout $x$ appartenant à $[0 ; 10]$, $$f'(x)=-7,7\e^{-0,22x}$$
    $\quad$
  4. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  5. Un client souhaite revendre sa voiture dès que celle-ci aura un prix de vente inférieur à $10~000$ euros. Après combien de mois après avoir acheté sa voiture pourra-t-il la revendre ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $f(0)=35\e^0=35$.
    Au moment de la mise sur le marché le prix de la voiture est de $35~000$ euros.
    $\quad$
  2. On a $f(5,5)=35\e^{-1,21}\approx 10,437$.
    Le prix de vente au bout de $5$ ans et $6$ mois serait d’environ $10~437$ euros.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=35\times (-0,22)\e^{-0,22x}\\
    &=-7,7\e^{-0,22x}\end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $f'(x)<0$ sur l’intervalle $[0;10]$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  5. On a $f(5,6)\approx 10,21$ et $f(5,7)\approx 9,99$.
    Or $5,7$ ans $=5$ ans et $8,4$ mois.
    C’est donc à partir de $5$ ans et $9$ mois qu’il pourra revendre sa voiture.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise vend des smartphones d’un seul modèle « haut de gamme ».
Le service marketing modélise le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus par trimestre en fonction du prix de vente $x$ par la fonction $N$ définie par $N(x)=100\e^{-2x}$ où :

  • $x$ est le prix de vente en milliers d’euros d’un smartphone modèle « haut de gamme ». Le prix du smartphone modèle « haut de gamme » est compris entre $400$€ et $2~000$€ ; on a donc $x\in [0,4 ; 2]$.
  • $N(x)$ est le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus trimestriellement en millions d’unités.
  1. Si le service commercial fixe le prix de vente de ce smartphone modèle « haut de gamme » à $1~000$ €, quel sera le nombre de smartphones vendus trimestriellement ?
    On arrondira le résultat à mille unités.
    $\quad$

La recette trimestrielle $R(x)$ est obtenue en multipliant le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus par le prix de vente. On obtient $R(x) = x \times N(x)$ en milliards d’euros.
Le coût de production en milliards d’euros en fonction du nombre de smartphones modèle « haut de gamme » fabriqués est modélisé par la fonction $C$ définie par $C(x)= 0,4 \times N(x)$ où $x$ est le prix de vente en milliers d’euros.
Le bénéfice est obtenu en calculant la différence entre la recette et le coût de production.

  1. Vérifier que le bénéfice trimestriel peut être estimé à 8,120 milliards d’euros pour un prix de vente $1~000$ €.
    $\quad$
  2. Montrer que le bénéfice trimestriel s’exprime en milliards d’euros en fonction du prix de vente $x$ en milliers d’euros par : $B(x)=(100x-40)\e^{-2x}$.
    $\quad$
  3. On admet que pour tout réel $x\in [0,4 ; 2]$, $B'(x)=(180-200x)\e^{-2x}$.
    Étudier les variations de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0,4 ; 2]$.
    $\quad$
  4. À quel prix faut-il vendre ces smartphones pour assurer un bénéfice maximal ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $N(1)=100\e^{-2} \approx 13,534$
    Si le service commercial fixe le prix de vente de ce smartphone modèle « haut de gamme » à $1~000$ €, l’entreprise vendra environ $13,534$ millions de smartphone par trimestre.
    $\quad$
  2. On a $R(x)=1\times N(1)$ et $C(1)=0,4\times N(1)$
    Le bénéfice est alors
    $\begin{align*} B&=R(1)-C(1) \\
    &=N(1)-0,4N(1)\\
    &=0,6N(1) \\
    &\approx 8,120\end{align*}$
    Le bénéfice trimestriel peut être estimé à 8,120 milliards d’euros pour un prix de vente $1~000$ €.
    $\quad$
  3. Pour  tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0,4;2]$ on a :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x)\\
    &=100x\e^{-2x}-40\e^{-2x}\\
    &=(100x-40)\e^{-2x}\end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $B'(x)$ ne dépend donc que de celui de $180-200x$.
    Or $180-200x=0 \ssi 200x=180 \ssi x=0,9$
    et $180-200x>0 \ssi -200x>-180 \ssi x<0,9$
    Par conséquent :
    $\bullet$ $B'(x)>0$ sur $[0;0,9]$
    $\bullet$ $B(0,9)=0$
    $\bullet$ $B'(x)<0$ sur $[0,9;2]$
    La fonction $B$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;0,9]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[0,9;2]$.
    $\quad$
  5. La fonction $B$ atteint son maximum pour $x=0,9$.
    Le bénéfice est donc maximal quand les smartphones sont vendus $900$€.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un QCM en 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée, cependant des traces de recherche au brouillon peuvent aider à trouver la bonne réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Dans le repère orthogonal suivant on a tracé quatre courbes, chacune associée à une fonction de variable réelle $x$ et d’expression $\e^{\lambda x}$ où $\lambda$ est un paramètre réel.

Quelle courbe possède le plus petit paramètre $\lambda$?

a. $\mathcal{C}_f$
b. $\mathcal{C}_g$
c. $\mathcal{C}_h$
d. $\mathcal{C}_i$

$\quad$

Correction Question 1

Le paramètre $\lambda$ est négatif pour les fonctions $f$ et $g$ et positifs pour les fonctions $h$ et $i$.
Pour une abscisse négative donnée, le point de la courbe $\mathcal{C}_g$ associé a une ordonnée supérieure à celle du point de la courbe $\mathcal{C}_f$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On choisit au hasard un couple ayant deux enfants et on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de filles du couple. On admet que la probabilité qu’un enfant soit une fille est égale à $0,5$ et qu’il y a indépendance du sexe de l’enfant entre deux naissances.
Déterminer $P(X \pg 1)$.

a. $0,25$
b. $0,5$
c. $\dfrac{1}{3}$
d. $0,75$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
&=1-0,5^2\\
&=0,75\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

On a représenté ci-dessous la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction sinus dans un repère orthogonal.

$A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$ sont des points de $\mathcal{C}$ et ils tous la même ordonnée.

Parmi les segments suivants, lequel a pour longueur la période de la fonction sinus?

a. $\left[A_0;A_1\right]$
b. $\left[A_0;A_2\right]$
c. $\left[A_0;A_3\right]$
d. $\left[A_0;A_4\right]$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction sinus est une fonction périodique de période $2\pi$.
Seuls les points $A_0$ et $A_3$ ont des abscisses séparées de $2\pi$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=0,5x^2-2x+1$.
On considère l’équation $f(x)=0$, d’inconnue $x\in \R$. L’ensemble des solutions de cette équation est :

a. $\emptyset$
b. $\left\{2-\sqrt{2};2+\sqrt{2}\right\}$
c. $\left\{2-\sqrt{6};2+\sqrt{6}\right\}$
d. $\left\{4-2\sqrt{2};4+2\sqrt{2}\right\}$

$\quad$

Correction Question 4

$f(x)$ est un polynôme du second degré dont le discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=(-2)^2-4\times 0,5\times 1 \\
&=2\end{align*}$
Les racines sont :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{2-\sqrt{2}}{1}\\
&=2-\sqrt{2}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{2+\sqrt{2}}{1}\\
&=2+\sqrt{2}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

$ABC$ est un triangle tel que : $AB = 5$, $BC = 2$, $\widehat{ABC} = 60$°.  La longueur $AC$ est égale à

a. $\sqrt{19}$
b. $\sqrt{21}$
c. $\sqrt{28}$
d. $\sqrt{29}$

$\quad$

Correction Question 5

D’après la formule d’Al-Kashi on a :
$\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2-2AB\times BC\cos \widehat{ABC}\\
&=25+4-20\cos(60)\\
&=19\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On modélise la diffusion dans le sang d’un médicament de $1$ gramme par intraveineuse (fonction $f_1$, courbe représentative $\mathcal{C}_1$) ou par voie orale (fonction $f_2$, courbe représentative $\mathcal{C}_2$) pendant une durée de $10$ heures.
Plus précisément :

  • $f_1(t)$ modélise la proportion du médicament dans le sang à l’instant $t$, où $t$ est le temps en heure après injection par intraveineuse ;
  • $f-2(t)$ modélise la proportion du médicament dans le sang à l’instant $t$, où $t$ est le temps en heure après administration par voie orale.

Pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0 ; 10]$, on admet que $f_1(t)=\e^{-0,57t}$ et $f_2(t)=1,75t\e^{-t}$.
Les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ de $f_1$ et $f_2$ sont représentées ci-dessous.

  1. Injection par voie intraveineuse
    a. Déterminer le sens de variation de la fonction $f_1$.
    $\quad$
    b. Résoudre graphiquement $f_1(t) < 0,1$. Interpréter la réponse dans le contexte.
    $\quad$
  2. Administration par voie orale
    On note $f_2’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
    a. Montrer que, pour tout $t$ de $[0 ; 1]$, $f_2′(t)=1,75(1-t)\e^{-t}$
    $\quad$
    b. Construire le tableau de variations de la fonction $f_2$.
    $\quad$
    c. À quel instant 𝑡 la proportion de médicament dans le sang est-elle la plus élevée ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La fonction $f_1$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que composée de la fonction exponentielle et d’une fonction affine.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;10]$ on a : $f_1′(t)=-0,57\e^{-0,57t}$
    Ainsi $f'(t)<0$ sur $[0;10]$.
    La fonction $f_1$ est donc strictement décroissante sur $[0;10]$.
    $\quad$
    b. Graphiquement $f_1(t)<0,1$ si $t$ appartient à l’intervalle $]4;10]$ (valeur approchée pour $4$).
    La proportion de médicament est inférieure à $0,1$ à partir de $4$ heures.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f_2$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel de l’intervalle $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} f_2′(t)&=1,75\e^{-t}+1,75t\times \left(-\e^{-t}\right)\\
    &=1,75(1-t)\e^{-t}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f_2′(t)$ ne dépend donc que de celui de $1-t$.
    $1-t=0\ssi t=1$ et $1-t>0\ssi t<1$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. La proportion de médicament dans le sang est la plus élevée au bout d’une heure.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2-2,5x+1\right)\e^x$
.

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    a. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=\left(x^2-0,5x-1,5\right)\e^x$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative dans un repère et $\mathcal{T}$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ au point $A$ d’abscisse $0$.
    a. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{C}_f$.
    $\quad$
    b. On admet que la tangente $\mathcal{T}$ recoupe la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $P$ d’abscisse $a$ strictement positive. A l’aide de votre calculatrice, donner un encadrement de $a$ au dixième près.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=(2x-2,5)\e^x+\left(x^2-2,5x+1\right)\e^x\\
    &=\left(2x-2,5+x^2-2,5x+1\right)\e^x\\
    &=\left(x^2-0,5x-1,5\right)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2-0,5x-1,5$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=(-0,5)^2-4\times 1\times (-1,5)\\
    &=6,25\\
    &>0\end{align*}$
    Il possède deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{0,5-\sqrt{6,25}}{2}\\
    &=-1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{0,5+\sqrt{6,25}}{2}\\
    &=1,5\end{align*}$
    Ainsi :
    $\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]-\infty;-1[\cup]1,5;+\infty[$
    $\bullet$ $f'(-1)=f'(1,5)=0$
    $\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]-1;1,5[$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;-1]\cup[1,5;+\infty[$ et strictement décroissante sur $[-1;1,5]$.
    $\quad$
  2. a. Une équation de $\mathcal{T}$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    $f(0)=1$ et $f'(0)=-1,5$.
    Une équation de la droite $\mathcal{T}$ est donc $y=-1,5x+1$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $a\approx 1,8$.
    $\quad$

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$\quad$

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