E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2-x+6$. On admet que l’une des quatre courbes ci-dessous représente la fonction $f$. Laquelle?

$\quad$

Correction Question 1

Le coefficient principal de cette fonction du second degré est $a=-1<0$.
On exclut donc les propositions a. et b.
L’abscisse du sommet de la parabole est :
$\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-1}{-2}\\
&=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On pose pour tout réel $x$ : $A(x)=\e^{2x}$. On a alors, pour tout $x\in \R$ :

a. $A(x)=2\e^x$
b. $A(x)=\e^{x^2}$
c. $A(x)=\e^x+\e^2$
d. $A(x)=\left(\e^x\right)^2$

$\quad$

Correction Question 2

Pour tout réel $x$ on a $\left(\e^x\right)^2=\e^{2x}$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Les droites d’équations $2x+y+1=0$ et $3x-2y+5=0$

a. sont sécantes en $A(1 ; 1)$.
b. sont sécantes en $B(1 ; -1)$.
c. sont sécantes en $C(-1 ; 1)$.
d. ne sont pas sécantes.

$\quad$

Correction Question 3

Un vecteur directeur de la droite d’équation $2x+y+1=0$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$.
Un vecteur directeur de la droite d’équation $3x-2y+5=0$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Les droites sont donc sécantes.

On a $2\times (-1)+1+1=0$ et $3\times (-1)-2\times 1+5=0$
Le point $C(-1;1)$ appartient donc aux deux droites.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Les droites d’équations $x+3y-5=0$ et $3x-y+6=0$ sont :

a. pependiculaires.
b. sécantes non perpendiculaires.
c. parallèles.
d. confondues.

$\quad$

Correction Question 4

Un vecteur directeur de la droite d’équation $x+3y-5=0$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}$.
Un vecteur directeur de la droite d’équation $3x-y+6=0$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$.

Or :
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=-3\times 1+1\times 3\\
&=0\end{align*}$
Les deux vecteurs sont orthogonaux.
Par conséquent les droites sont perpendiculaires.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère la fonction Python ci-dessous :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite(n) :}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=2}\\
\hspace{0.5cm}\text{k=0}\\
\hspace{0.5cm}\text{while k<n :}\\
\hspace{1cm}\text{u=u+k}\\
\hspace{1cm}\text{k=k+1}\\
\hspace{0.5cm}\text{return u}\\
\hline
\end{array}$$
Quelle valeur renvoie l’appel $\text{suite(5)}$?

a. $5$
b. $8$
c. $12$
d. $17$

$\quad$

Correction Question 5

Voici les différentes valeurs prises par les variables $u$ et $k$.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
u&2&2&3&5&8&12\\
\hline
k&0&1&2&3&4&5\\
\hline
\end{array}$

L’appel $\text{suite(5)}$ renvoie donc la valeur $12$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\e^x}{1+x}$.
On note $C_f$ la représentation graphique de $f$ dans un repère du plan.

  1. Déterminer les coordonnées du point $A$, point d’intersection de la courbe $C_f$ avec l’axe des ordonnées.
    $\quad$
  2. La courbe $C_f$ coupe-t-elle l’axe des abscisses ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. On note $f’$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;+\infty[$, $f'(x)=\dfrac{x\e^x}{(1+x)^2}$.
    $\quad$
  4. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0; +\infty[$. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0; +\infty[$.
    $\quad$
  5. On note $T$ la tangente à $C_f$ au point $A$ d’abscisse $1,6$. La tangente $T$ passe-telle par l’origine du repère ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. L’abscisse du point $A$ est $0$.
    $\begin{align*} f(0)&=\dfrac{e^0}{1+0} \\
    &=\dfrac{1}{1}\\
    &=1\end{align*}$
    Le point $A$ a donc pour coordonnées $(0;1)$.
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Et pour tout réel $x\pg 0$ on a $1+x>0$.
    Par conséquent $f(x)>0$.
    La courbe $\mathscr{C_f}$ ne coupe donc pas l’axe des abscisses.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;+\infty[$.
    Ainsi, pour tout réel $x \pg 0$ :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x(1+x)-1\times \e^x}{(1+x)^2} \\
    &=\dfrac{(1+x-1)\e^x}{(1+x)^2} \\
    &=\dfrac{x\e^x}{(1+x)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  4. Sur $[0;+\infty[$ on a $x\pg 0$, $\e^x>0$ et $1+x>0$
    Donc $f'(x)\pg 0$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  5. Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(1,6)(x-1,6)+f(1,6)$
    Or $f(1,6)=\dfrac{\e^{1,6}}{2,6}$ et $f'(1,6)=\dfrac{1,6\e^{1,6}}{2,6^2}$
    Ainsi une équation de $T$ est $y=\dfrac{1,6\e^{1,6}}{2,6^2}(x-1,6)+\dfrac{\e^{1,6}}{2,6}$
    Soit $y=\dfrac{1,6\e^{1,6}}{2,6^2}x+\dfrac{0,04\e^{1,6}}{6,76}$
    L’ordonnée à l’origine de la droite $T$ n’est donc pas nulle.
    La droite $T$ ne passe par conséquent pas par l’origine du repère.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend cinq questions indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Sur la figure ci-dessous, nous avons tracé dans un repère orthonormé la courbe représentative $\mathcal{C}$ d’une fonction $f$ dérivable sur $\R$ et la tangente à $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $4$.
Cette tangente est représentée par la droite $\mathcal{D}$ . On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Le réel $f'(4)$ est égal à :

a. $-1$
b. $-2$
c. $7$
d. $1$

$\quad$

Correction Question 1

Le réel $f'(4)$ est le coefficient directeur de la droite $\mathcal{D}$. Cette droite passe par les points $A(4;-1)$ et $B(3;1)$
Donc :
$\begin{align*} f'(4)&=\dfrac{1-(-1)}{3-4} \\
&=-2\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-2x^2+1$. On admet que $f$ est une fonction dérivable sur $\R$. Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $y=-1$
b. $y=-x$
c. $y=-x+1$
d. $y=x$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=3x^2-2\times 2x \\
&=3x^2-4x\end{align*}$
Ainsi $f(1)=0$ et $f'(1)=-1$
Une équation de la tangente est donc $y=-(x-1)$ soit $y=-x+1$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Pour tout réel $x$, $\dfrac{\e^x\times \e^{-3x}}{\e^{-x}}$ est égal à :

a. $\e^{-x}$
b. $\e^{3x}$
c. $\e^{-3x}$
d. $\e^x$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} \dfrac{\e^x\times \e^{-3x}}{\e^{-x}}&=\dfrac{\e^{x-3x}}{\e^{-x}} \\
&=\dfrac{\e^{-2x}}{\e^{-x}} \\
&=\e^{-2x-(-x)}\\
&=\e^{-2x+x}\\
&=\e^{-x}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $f$ une fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.

Pour tout réel $x$, une expression de $f(x)$ est :

a. $f(x)=x^2+x-2$
b. $f(x)=-x^2-4$
c. $f(x)=2x^2+2x-4$
d. $f(x)=-3x^2-3x+6$

$\quad$

Correction Question 4

$\quad$

Question 5

La fonction est donc d’abord décroissante. Son coefficient principal est donc positif. On élimine donc les propositions b. et d. .
On lit que $f(0)=-4$
Par conséquent $f(x)=2x^2+2x-4$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

L’ensemble $S$ des solutions de l’inéquation d’inconnue $x\in \R$ : $-x^2-2x+8>0$ est :

a. $S=[-4;2]$
b. $S=]-4;2[$
c. $S=]-\infty;-4[\cup]2;+\infty[$
d. $\lbrace -4;2\rbrace $

$\quad$

Correction Question 5

Les racines du polynômes $-x^2-2x+8$ sont $-4$ et $2$.
Le coefficient principal de ce polynôme du second degré est $a=-1<0$.
L’ensemble $S$ des solutions de l’inéquation $-x^2-2x+8>0$ est donc $]-4;2[$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique des pièces en acier, toutes identiques, pour l’industrie aéronautique.
Ces pièces sont coulées dans des moules à la sortie du four. Elles sont stockées dans un entrepôt dont la température ambiante est maintenue à $25$°C.
Ces pièces peuvent être modelées dès que leur température devient inférieure ou égale à $600$°C et on peut les travailler tant que leur température reste supérieure ou égale à $500$°C.
La température de ces pièces varie en fonction du temps.
On admet que la température en degré Celsius de ces pièces peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par : $$f(t)=1é375\e^{-0,075t}+25~,$$ où $t$ correspond au temps, exprimé en heures, mesuré après la sortie du four.

  1. Calculer la température des pièces à la sortie du four.
    $\quad$
  2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$. Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l’exercice ?
    $\quad$
  3. Les pièces peuvent-elles être modelées $10$ heures après la sortie du four ? Après $14$ heures ?
    $\quad$
  4. On souhaite déterminer le temps minimum d’attente en heures après la sortie du four avant de pouvoir modeler les pièces.
    a. Compléter l’algorithme donné en annexe, qui est à rendre avec la copie, pour qu’il renvoie ce temps minimum d’attente en heure (arrondi par excès à $0,1$ près).
    $\quad$
    b. Déterminer ce temps minimum d’attente. On arrondira au dixième.
    $\quad$

Annexe

$$\begin{array}{l}
\text{from math import}\\
\text{def f(t):}\\
\hspace{1cm}\text{return 1375*exp(-0,075*t)+25}\\\\
\text{def seuil():}\\
\hspace{1cm} \text{t = }\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} \text{temperature = }\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} \text{while température > }\ldots\ldots :\\
\hspace{2cm} \text{t=t+0.1}\\
\hspace{2cm} \text{temperature =}\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} \text{return t}\end{array}$$

L’énoncé original contenait une erreur dans la boucle while. Elle est corrigée ici.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*} f(0)&=1~375\e^0+25 \\
    &=1~375+25\\
    &=1~400\end{align*}$
    La température des pièces à la sortie du four est de $1~400$ €.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables sur $[0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=1~375 \times (-0,075)\e^{-0,075t} \\
    &=-103,125\e^{-0,075t}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Donc $f'(t)<0$ pour tout réel $x\pg 0$.
    Ainsi la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    Une fois sortie du four, la température de la pièce en acier baisse. Le résultat précédent était donc prévisible.
    $\quad$
  3. On a $f(10)\approx 675,5 > 600$
    Les pièces ne peuvent pas être modelées $10$h après la sortie du four.
    $f(14)\approx 506,2 \in[500;600]$
    Les pièces peuvent être modelées $14$h après la sortie du four.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{l}
    \text{from math import}\\
    \text{def f(t):}\\
    \hspace{1cm}\text{return 1375*exp(-0,075*t)+25}\\\\
    \text{def seuil():}\\
    \hspace{1cm} \text{t = t+0.1 }\\
    \hspace{1cm} \text{temperature = f(t)}\\
    \hspace{1cm} \text{while température > 600 :} \\
    \hspace{2cm} \text{t=t+0.1}\\
    \hspace{2cm} \text{temperature = f(t)}\\
    \hspace{1cm} \text{return t}\end{array}$$
    $\quad$
    b. On a $f(11,6)\approx 601,1$ et $f(11,7) \approx 596,8$
    Il faut donc attendre environ $11,7$ heures pour pouvoir modeler les pièces.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM) comportant cinq questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6$, $AC=3$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$.

a. $\vect{AB}.\vect{AC}=9$
b. $\vect{AB}.\vect{AC}=18$
c. $\vect{AB}.\vect{AC}=9\sqrt{3}$
d. les données sont insuffisantes pour calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$

$\quad$

Correction Question 1

On a :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=6\times 3 \times \cos \dfrac{\pi}{3} \\
&=18\times \dfrac{1}{2} \\
&=9\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Soit $f$ une fonction telle que, pour tout nombre réel $h$ non nul, $$\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=h^2+3h-1$$
Alors $f'(1)$ est égal à :

a. $h^2+3h-1$
b. $-1$
c. $3$
d. les données sont insuffisantes pour calculer $f'(1)$

$\quad$

Correction Question 2

$f'(1)$ est égale à, si elle existe, $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$.
Or
$\begin{align*} \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}&=\lim\limits_{h\to 0} h^2+3h-1\\&=-1\end{align*}$

Donc $f'(1)=-1$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(x+2)\e^x$.
Alors, la fonction $f’$ dérivée de $f$ est donnée sur $\R$ par :

a. $f'(x)=\e^x$
b. $f'(x)=(x+3)\e^x$
c. $f'(x)=(-x-1)\e^x$
d. $f'(x)=\dfrac{(-x-1)\e^x}{\e^{2x}}$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^x+(x+2)\times \e^x \\
&=(1+x+2)\e^x\\
&=(x+3)\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Soit $f$ une fonction telle que $f(2)=5$ et $f'(2)=-1$
Dans un repère, la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $2$ a pour équation :

a. $y=-x-3$
b. $y=-x+3$
c. $y=-x+7$
d. $y=5x-11$

$\quad$

Correction Question 4

Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(2)(x-2)+f(2)$
soit $y=-(x-2)+5$ ou encore $y=-x+7$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative $C_f$ dans un repère est la courbe ci-dessous.

La tangente à la courbe $C_f$ au point $A\left(1;\dfrac{4}{3}\right)$ passe par le point $B\left(0;-\dfrac{5}{3}\right)$.
Alors :

a. $f'(1)=\dfrac{1}{3}$
b. $f'(1)=\dfrac{4}{3}$
c. $f'(1)=-\dfrac{5}{3}$
d. $f'(1)=3$

$\quad$

Correction Question 5

$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente au point $A$.
Ainsi :
$\begin{align*} f'(1)&=\dfrac{-\dfrac{5}{3}-\dfrac{4}{3}}{0-1} \\
&=\dfrac{-3}{-1} \\
&=3\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend cinq questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre
réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans
réponse n’apporte, ni ne retire aucun point.

Question 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2+6x-8$.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $f(x)=2(x-4)(x+1)$
b. $f(x)=(2x+8)(2x-2)$
c. $f(x)=2(x+4)(x-1)$
d. $f(x)=2(x+3)(x-2)$

$\quad$

Correction Question 1

On a $f(x)=2\left(x^2+3x-4\right)$.
La somme des racines du polynômes du second degré vaut $-3$ et leur produit vaut $-4$.
On peut donc exclure les propositions a. et d.
Or :
$\begin{align*} 2(x+4)(x-1)&=2\left(x^2-x+4x-4\right)\\
&=2\left(x^2+3x-4\right) \\
&=f(x)\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Pour tout réel $x$, $\dfrac{\left(\e^x\right)^2}{\e^{-x}}$ est égal à :

a. $\e^{x^2+x}$
b. $\e^{3x}$
c. $\e^2$
d. $\e^{-2}$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} \dfrac{\left(\e^x\right)^2}{\e^{-x}}&=\dfrac{\e^{2x}}{\e^{-x}} \\
&=\e^{2x-(-x)}\\
&=\e^{3x}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans le plan muni d’un repère, soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\e^x$. L’équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$ est :

a. $y=-x-1$
b. $y=-x+1$
c. $y=x+1$
d. $y=x$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a $g'(x)=\e^x$.
Une équation de cette tangente est de la forme $y=g'(0)(x-0)+g(0)$.
$g'(0)=1$ et $g(0)=1$
Ainsi une équation de la tangente est $y=x+1$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(-x+1)\e^x$
On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste ?

a. $f'(x)=-x\e^x$
b. $f'(x)=(x-2)\e^x$
c. $f'(x)=(-x+2)\e^x$
d. $f'(x)=x\e^{-x}$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=-1\times \e^x+(-x+1)\times \e^x \\
&=(-1-x+1)\e^x\\
&=-x\e^x
\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on considère la courbe représentative d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

Parmi les propositions suivantes, laquelle n’est pas juste ?

a. $f'(-2)=0$
b. $f'(3)=-2$
c. $f(0)=3$
d. $f'(0)=-2$

$\quad$

Correction Question 5

La tangente à la courbe au point d’abscisse $2$ est parallèle à l’axe des abscisses. Donc $f'(-2)=0$.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est $-2$ donc $f'(0)=-2$.
On lit sur la courbe que $f(0)=3$.
Donc, par élimination, $f'(3)\neq -2$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chacune des cinq questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse
n’apporte, ni ne retire de point.

Question 1

Soit $P$ une probabilité sur un univers $\Omega$ et $A$ et $B$ deux évènements indépendants tels que $P(A)= 0,5$ et $P(B) = 0,2$.
Alors $P(A\cup B)$ est égal à :

a. $0,1$
b. $0,7$
c. $0,6$
d. On ne peut pas savoir

$\quad$

Correction Question 1

$A$ et $B$ sont indépendants donc $P(A\cap B)=p(A)p(B)$.
Ainsi :
$\begin{align*} P(A\cup B)&=P(A)+p(B)-P(A\cap B)\\
&=P(A)+p(B)-P(A)P(B)\\
&=0,5+0,2-0,5\times 0,2\\
&=0,6\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

La valeur arrondie au centième de $1+1,2+1,2^2+1,2^3+\ldots+1,2^{10}$ est :

a. $3,27$
b. $25,96$
c. $26,96$
d. $32,15$

$\quad$

Correction Question 2

Il s’agit de la somme de termes d’une suite géométrique.
$\begin{align*} S&=1+1,2+1,2^2+1,2^3+\ldots+1,2^{10} \\
&=\dfrac{1-1,2^{11}}{1-1,2}\\
&\approx 32,15\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{\e^x}$.
Pour tout réel $x$, $f(x)$ est égal à :

a. $f(x)=\dfrac{\e^{-x}}{-x}$
b. $f(x)=x\e^{-x}$
c. $f(x)=-x\e^{-x}$
d. $f(x)=\dfrac{\e^{-x}}{x}$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f(x)&=\dfrac{x}{\e^x}\\
&=x\e^{-x}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=(2x-5)\e^x$. On admet que $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.
Alors pour tout réel $x$ , $g'(x)$ est égal à :

a. $(2x-3)\e^x$
b. $(-2x+7)\e^x$
c. $2\e^x$
d. $-5\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

On utilise la formule de dérivation d’un produit avec $u(x)=2x-5$ et $v(x)=\e^x$

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=2\e^x+(2x-5)\e^x\\
&=(2+2x-5)\e^x\\
&=(2x-3)\e^x\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Le nombre $\dfrac{\e^3\times \e^{-5}}{\e^2}$ est égal à :

a. $-1$
b. $\e^{-15/2}$
c. $\dfrac{1}{\e^4}$
d. $\dfrac{3\e^{-5}}{2}$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} \dfrac{\e^3\times \e^{-5}}{\e^2}&=\dfrac{\e^{3+(-5)}}{\e^2} \\
&=\dfrac{\e^{-2}}{\e^2}\\
&=\e^{-2-2}\\
&=\e^{-4}\\
&=\dfrac{1}{\e^4}\end{align*}$

Réponse c

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend cinq questions indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1.

$\dfrac{\e^{5x}}{\e^{2x-2}}=$

a. $\e^{3x+2}$
b. $\e^{3x-2}$
c. $\e^{2,5x-2,5}$
d. $\e^{7x-2}$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*}\dfrac{\e^{5x}}{\e^{2x-2}}&=\e^{5x-(2x-2)} \\
&=\e^{5x-2x+2} \\
&=\e^{3x+2}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2.

Soit la suite définie par : $\begin{cases} u_0=2\\u_{n+1}=3u_n-2\text{  ;   pour }n\in \N\end{cases}$.

a. $u_3=7$
b. $u_3=10$
c. $u_3=28$
d. $u_3=4$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} u_1&=3u_0-2\\
&=3\times 2-2\\
&=4\end{align*}$

$\begin{align*} u_2&=3u_1-2\\
&=3\times 4-2\\
&=10\end{align*}$

$\begin{align*} u_3&=3u_2-2\\
&=3\times 10-2\\
&=28\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans un atelier $3\%$ des pièces produites sont défectueuses. On constate qu’au cours du contrôle qualité, si la pièce est bonne, elle est acceptée dans $95\%$ des cas, et que si elle est défectueuse, elle est refusée dans $98\%$ des cas.
La probabilité qu’une pièce soit refusée est égale à :

a. $0,077~9$
b. $0,029~4$
c. $0,048~5$
d. $0,98$

$\quad$

Correction Question 3

On considère les événements :

  • $D$ : « la pièce est défectueuse »
  • $R$ : « la pièce est refusée »

On obtient alors l’arbre pondéré suivant :

$D$ et $\conj{D}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(R)&=P(D\cap R)+P\left(\conj{D}\cap R\right) \\
&=0,03\times 0,98+0,97\times 0,05\\
&=0,077~9\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Sachant que $\cos x=\dfrac{5}{13}$ et que $x$ est compris entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $0$, la valeur de $\sin x$ est :

a. $\dfrac{8}{13}$
b. $-\dfrac{8}{13}$
c. $\dfrac{12}{13}$
d. $-\dfrac{12}{13}$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a $\cos^2 x+\sin^2 x=1$.

On sait que $\cos x=\dfrac{5}{13}$
Par conséquent :
$\begin{align*} &\ssi \cos^2 x+\sin^2 x=1 \\
\ssi ~&\left(\dfrac{5}{13}\right)^2+\sin^2x=1 \\
\ssi ~&\dfrac{25}{169}+\sin^2x=1 \\
\ssi ~&\sin^2x=\dfrac{144}{169} \\
\ssi~&\sin x=\dfrac{12}{13} \text{ ou } \sin x=-\dfrac{12}{13}\end{align*}$

On sait que $x$ est compris entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $0$. Donc $\sin x<0$.

Ainsi $\sin x=-\dfrac{12}{13}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeurs }x_i&-2&0&5\\
\hline
p_i=P\left(X=x_i\right)&0,3&0,5&0,2\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ est égale à :

a. $3$
b. $0,9$
c. $0,4$
d. $0,5$

$\quad$

Correction Question 5

On a :
$\begin{align*} E(X)&=-2\times 0,3+0\times 0,5+5\times 0,2\\
&=0,4\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1 :

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(4; 2)$, $B(2; 6)$. Une équation cartésienne de la médiatrice du segment $[AB]$ est :

a. $x = 3$
b. $x-2y+ 5 = 0$
c. $x + 2y-11 = 0$
d. $y = 0,5x + 3$

$\quad$

Correction Question 1

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}$.
On appelle $d$ la médiatrice du segment $[AB]$.
Ainsi $\vect{AB}$ est un vecteur normal à $d$.
Une équation cartésienne de $d$ est donc de la forme $-2x+4y+c=0$.
On appelle $I$ le milieu du segment $[AB]$. $I$ a alors pour coordonnées $(3;4)$.
Le point $I$ appartient à la droite $d$.
Par conséquent $-6+16+c=0\ssi c=-10$
Une équation cartésienne de $d$ est donc $-2x+4y-10=0$ ou également, en divisant par $-2$, $x-2y+5=0$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2 :

On donne deux points $P$ et $N$ tels $PN = 6$.
L’ensemble des points $M$ tels que $\vect{MP}.\vect{MN}=0$ est :

a. la droite $(PN)$.
b. le cercle de diamètre $[PN]$.
c. un cercle de rayon $6$.
d. le milieu du segment $[PN]$.

$\quad$

Correction Question 2

$\vect{MP}.\vect{MN}=0$ le triangle $MPN$ est rectangle en $M$ si $M$ est différent des points $P$ et $N$.
L’ensemble des points cherché est donc le cercle de diamètre $[PN]$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3 :

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) =x^3-4x+5$. Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ dans un repère orthonormé au point d’abscisse $-1$ est :

a. $y=8x+7$
b. $y=-7x+1$
c. $y=-4x+5$
d. $y=-x+7$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=3x^2-4$
Ainsi $g'(-1)=-1$.
De plus $g(1)=8$

Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d’abscisse $-1$ est $y=-1\left(x-(-1)\right)+8$ soit $y=-x+7$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$


$\quad$

Question 4 :

L’axe de symétrie de la parabole d’équation $y=x^2+x+3$ est :

a. $y=x$
b. $y=-0,5x$
c. $y=-0,5$
d. $x=-0,5$

$\quad$

Correction Question 4

L’axe de symétrie d’une parabole a une équation de la forme $x=k$.
La seule possibilité ici est donc $x=-0,5$.

Réponse d

Remarque : Le sommet de la parabole a pour abscisse $x_S=-\dfrac{b}{2a}$ soit ici $x_S=-0,5$. On retrouve ainsi la valeur du $k$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5 :

L’inéquation $-3\e^{x+2}>-3\e^4$, d’inconnue $x$, a pour ensemble de solutions :

a. $]-2;+\infty[$
b. $]2;+\infty[$
c. $]-\infty;2[$
d. $]-\infty;-2[$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} -3\e^{x+2}>-3\e^4&\ssi \e^{x+2}<\e^4 \\
&\ssi x+2<4 \\
&\ssi x<2\end{align*}$
L’ensemble solution est donc $]-\infty;2[$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Un propriétaire souhaite construire un enclos rectangulaire sur son terrain.

Celui-ci est représenté ci-dessous dans un repère orthonormé, d’unité le mètre. Il est délimité par l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées, la droite d’équation $x = 5$ et la courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ définie sur $[0 ; 5]$ par $f(x) = 4\e^{-0,5x}$.

L’enclos est représenté par le rectangle $OABC$ où $O$ est l’origine du repère et $B$ un point de $C_f$, $A$ et $C$ étant respectivement sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées. On note $x$ l’abscisse du point $A$ et $D$ le point de coordonnées $(5 ; 0)$. Le but de l’exercice est de déterminer la position du point $A$ sur le segment $[OD]$ permettant d’obtenir un enclos de superficie maximale.

  1. Justifier que la superficie de l’enclos, en m$^2$, est donnée en fonction de $x$ par $g(x)=4x\e^{-0,5x}$ pour $x$ dans l’intervalle $[0;5]$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ est dérivable sur $[0 ; 5]$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0 ; 5]$, on a $g'(x)=(4-2x)\e^{-0,5x}$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de variations de la fonction $g$ sur $[0 ; 5]$.
    $\quad$
  4. Où doit-on placer le point $A$ sur $[OD]$ pour obtenir une superficie d’enclos maximale ?
    Donner la superficie maximale possible en arrondissant le résultat au dm$^2$.
    $\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. La superficie de l’enclos est $OA\times OC$.
    Or $OA=x$ et $OC=f(x)$.
    Par conséquent la superficie de l’enclos est :
    $\begin{align*} g(x)&=xf(x)\\
    &=4x\e^{-0,5x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. $g(x)$ est de la forme $g(x)=u(x)\times f(x)$ avec $u(x)=4x$
    Donc $u'(x)=4$ et $f'(x)=-0,5\e^{-0,5x}$
    Par conséquent, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;5]$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=u'(x)\times f(x)+u(x)\times f'(x)\\
    &=4\e^{-0,5x}+4x\times \left(-0,5\e^{-0,5x}\right)\\
    &=4\e^{-0,5x}-2x\e^{-0,5x} \\
    &=(4-2x)\e^{-0,5x}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de $4-2x$.
    $4-2x=0 \ssi 4=2x \ssi x=2$ et $4-2x>0 \ssi -2x>-4 \ssi x<2$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. D’après le tableau de variations $g$ atteint son maximum pour $x=2$.
    Le point $A$ doit donc se trouver à $2$ m de $O$ pour la superficie de l’enclos soit maximale.
    On a $g(2) \approx 2,94$.
    La superficie maximale est donc environ égale à $2,94$ m$^2$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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