E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, $\e^{2x}+\e^{4x}$ est égal à

a. $\e^{6x}$
b. $\e^{2x}\left(1+\e^2\right)$
c. $\e^{3x}\left(\e^x+\e^{-x}\right)$
d. $\e^{8x^2}$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} e^{2x}+\e^{4x}&=\e^{2x}\times 1+\e^{2x}\times \e^{2x}\\
&=\e^{2x}\left(1+\e^{2x}\right)\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans le plan muni d’un repère $\Oij$, on considère les vecteurs $\vec{u}(-5;2)$ et $\vec{v}(4;10)$ et la droite $(d)$ d’équation : $5x+2y+3=0$.

a. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires
b. $\vec{u}$ est un vecteur normal à la droite $(d)$
c. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
d. $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=-5\times 4+2\times 10\\
&=0\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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Question 3

La dérivée $f’$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(2x-1)\e^{-x}$ est :

a. $2x\e^{-x}$
b. $-2x\e^{-x}$
c. $(-2x+3)\e^{-x}$
d. $2\e^{-x}+(2x-1)\e^{-x}$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-x}+(2x-1)\times \left(-\e^{-x}\right)\\
&=(2-2x+1)\e^{-x}\\
&=(3-2x)\e^{-x}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Pour tout réel $x$, on a $\sin(\pi+x)=$

a. $-\sin(x)$
b. $\cos(x)$
c. $\sin(x)$
d. $-\cos(x)$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ $\sin(\pi+x)=-\sin(x)$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
La tangente à la courbe au point $A$ est la droite $T$.

a. $f'(0)=3$
b. $f'(0)=\dfrac{1}{5}$
c. $f'(0)=5$
d. $f'(0)=-5$

$\quad$

Correction Question 5

$f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $T$.
Cette droite passe par les points de coordonnées $(0;3)$ et $(1;-2)$.
Donc :
$\begin{align*} f'(0)&=\dfrac{-2-3}{1-0}\\
&=-5\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Dans un repère orthonormé, on considère la parabole $P$ d’équation $y=2x^2+4x-11$, de sommet $S$ et d’axe de symétrie la droite $\boldsymbol{D}$ . Quelle est la bonne proposition ?

a. $S(-4;5)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $y=5$.
b. $S(-1;-17)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $x=-1$.
c. $S(-1;-13)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $x=-1$.
d. $S(-1;-13)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $y=-1$.

$\quad$

Correction Question 1

L’abscisse du sommet est :
$\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a}\\
&=-\dfrac{4}{4}\\
&=-1\end{align*}$
Son ordonnée est $y_S=f(-1)=-13$.
Une équation de l’axe de symétrie est $x=-1$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Une expérience aléatoire met en jeu des événements $A$ et $B$ et leurs événements contraires $\conj{A}$ et $\conj{B}$. L’arbre pondéré ci-dessous traduit certaines données de cette expérience aléatoire.

On a alors :

a. $P(B)=0,5$
b. $P(A\cap B)=0,9$
c. $P_A(B)=0,18$
d. $P_B(A)=\dfrac{9}{13}$

$\quad$

Correction Question 2

$A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right)\\
&=0,6\times 0,3+0,4\times 0,2\\
&=0,26\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} P_B(A)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\\
&=\dfrac{0,6\times 0,3}{0,26}\\
&=\dfrac{9}{13}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère le nombre réel $a=\dfrac{18\pi}{5}$.
Un des nombres réels suivants a le même point image que le nombre réel $a$ sur le cercle trigonométrique. Lequel ?

a. $\dfrac{3\pi}{5}$
b. $\dfrac{63\pi}{5}$
c. $\dfrac{-12\pi}{5}$
d. $\dfrac{-3\pi}{5}$

$\quad$

Correction Question 3

Deux nombres $a$ et $b$ ont le même point image sur le cercle trigonométrique si, et seulement si, $a-b=2k\pi$ avec $k\in \Z$.

$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{3\pi}{5}=3\pi$
$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{63\pi}{5}=-9\pi$
$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{-12\pi}{5}=6\pi \checkmark$
$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{-3\pi}{5}=4,2\pi$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^x$.
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$. On a alors :

a. $f'(x)=\e^x$
b. $f'(x)=(1+x)\e^x$
c. $f'(x)=x\e^x$
d. $f'(x)=2x\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\e^x+x\e^x \\
&=(1+x)\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Parmi les relations suivantes, quelle est celle qui permet de définir une suite géométrique de terme général $u_n$?

a. $u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2}$
b. $u_n=u_{n-1}+2$
c. $u_n=2{u_{n-1}}^2$
d. $u_n=2u_{n-1}+10$

$\quad$

Correction Question 5

Il faut obtenir une relation de la forme $u_n=qu_{n-1}$ pour tout $n\in \N^*$

Or $u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2} \ssi u_n=\dfrac{1}{2}u_{n-1}$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse
choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1.

a. Si le discriminant d’un polynôme du second degré est strictement positif, alors ce polynôme admet $2$ racines positives.
b. Si le discriminant d’un polynôme du second degré est strictement négatif, alors ce polynôme admet $2$ racines négatives.
c. Si un polynôme du second degré est toujours strictement positif, alors ce
polynôme n’admet pas de racine.
d. Si le discriminant d’un polynôme du second degré est nul, alors ce polynôme admet le nombre $0$ pour racine.

$\quad$

Correction Question 1

Si le discriminant est strictement positif alors le polynôme possède $2$ racines (mais pas nécessairement positives).
Si le discriminant est strictement négatif alors le polynôme n’admet pas de racines réelles.
Si le discriminant est nul alors le polynôme ne possède qu’une seule racine (qui n’est pas nécessairement $0$).

Si un polynôme du second degré est toujours strictement positif, alors ce
polynôme n’admet pas de racine.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

a. L’équation $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ admet $2$ solutions dans
l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.
b. L’équation $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ admet $1$ solutions dans
l’intervalle $[0;\pi[$.
c. L’équation $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ admet $1$ solutions dans
l’intervalle $[0;\pi[$.
d. L’équation $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ admet $2$ solutions dans
l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.

$\quad$

Correction Question 2

Sur l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ on a $\cos x\pg 0$.
Sur l’intervalle $[0;\pi[$ on a $\sin x\pg 0$

$\cos \dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$ appartient à l’intervalle $[0;\pi[$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

La courbe représentative d’une fonction $f$, définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels, est donnée ci-dessous avec ses tangentes, aux points $A$
et $B$ d’abscisses respectives $2$ et $4$. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.

a. $f(0)=1$
b. $f'(2)=1$
c. $f'(2)=-2$
d. $f'(4)=0,5$

$\quad$

Correction Question 3

$f(0) \approx -3$.
$f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A$. Donc $f'(2)=1$ (graphiquement).
$f'(4)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $B$. Donc $f'(4)<0$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $g$ définie sur l’ensemble des nombres réels $\R$ par :
$g(x)=x^3-0,0012x+1$

a. $g$ est strictement croissante sur $\R$.
b. $g$ est croissante sur $\R$.
c. $g$ est constante sur l’intervalle $[-0,02 ; 0,02]$.
d. $g$ est décroissante sur l’intervalle $[-0,02 ; 0,02]$.

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=3x^2-0,0012$.
$g'(x)\pp 0 \ssi 3x^2-0,0012\pp 0 \ssi x^2\pp 0,0004 \ssi x\in[-0,02;0,02]$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

a. L’équation $\left(\e^x\right)^2=1$ admet deux solutions dans $\R$.
b. L’ensemble de définition de la fonction exponentielle est $]0;+\infty[$.
c. La fonction dérivée de la fonction $x\mapsto \e^{-x}$ est la fonction $x\mapsto \e^{-x}$.
d. L’ensemble de définition de la fonction exponentielle est $\R$.

$\quad$

Correction Question 5

La fonction exponentielle est définie sur $\R$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un QCM et comprend cinq questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d’abscisse $0$ est :

a. $y=x+1$
b. $y=\e x$
c. $y=\e^x$
d. $y=x-1$

$\quad$

Correction Question 1

On appelle $f$ la fonction exponentielle.
Une équation de la tangente est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
Or $f'(0)=\e^0=1$ et $f(0)=\e^0=1$.
Ainsi une équation de la tangente est $y=x+1$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

La fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=\e^{-2x+6}$ admet pour dérivée la fonction $f’$ définie sur $\R$ par :

a. $f'(x)=\e^{-2x+6}$
b. $f'(x)=-2\e^{-2x+6}$
c. $f'(x)=-2x\e^{-2x+6}$
d. $f'(x)=(-2x+6)\e^{-2x+6}$

$\quad$

Correction Question 2

$f(x)$ est de la forme $f(x)=\e^{ax+b}$.
Elle est donc dérivable sur $\R$ et $f'(x)$ est de la forme $a\e^{ax+b}$.
Ainsi, pour tout réel $x$ on a $f'(x)-2\e^{-2x+6}$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans le repère orthonormé $\Oij$, le vecteur $\vect{AB}$ représenté ci-dessous est égal à :

a. $-2\vec{i}+6\vec{j}$
b. $-6\vec{i}+2\vec{j}$
c. $2\vec{i}-6\vec{j}$
d. $6\vec{i}-2\vec{j}$

$\quad$

Correction Question 3

On lit, graphiquement, que $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-2\end{pmatrix}$
Par conséquent $\vect{AB}=6\vec{i}-2\vec{j}$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\sin x-\cos x$. Parmi les quatre propositions suivantes, une seule est correcte. Laquelle ?

a. $f$ est une fonction paire.
b. $f$ est une fonction impaire.
c. $f$ n’est ni paire, ni impaire.
d. $f(0)=0$

$\quad$

Correction Question 4

On a $f(0)=-1$

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(-x)&=\sin(-x)-\cos(-x)\\
&=-\sin(x)-\cos(x)\end{align*}$
Par conséquent $f(-x)\neq f(x)$ et $f(-x)\neq -f(-x)$.
La fonction $f$ n’est ni paire, ni impaire.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Dans le plan muni d’un repère, on considère la droite $(d)$ d’équation : $5x-2y+8=0$.
La droite $(d)$ a pour coefficient directeur :

a. $\vec{u}(2;5)$
b. $\dfrac{5}{2}$
c. $\dfrac{2}{5}$
d. $-2$

$\quad$

Correction Question 5

Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}(2;5)$.
Le coefficient directeur de cette droite est donc $\dfrac{5}{2}$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

L’équation $2x^2-8x+6=0$ admet deux solutions. Leur somme $S$ et leur produit $P$ sont :

a. $S=-8$ et $P=6$
b. $S=-4$ et $P=3$
c. $S=4$ et $P=3$
d. $S=3$ et $P=-4$

$\quad$

Correction Question 1

$2x^2-8x+6=0 \ssi x^2-4x+3=0$
Donc $P=3$ et $S=4$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

$\alpha$ est un nombre réel tel que $\sin(\alpha)=0,5$. On a alors :

a. $\sin(\pi-\alpha)=0,5$
b. $\sin(\pi-\alpha)=-0,5$
c. $\sin(\pi-\alpha)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
d. $\sin(\pi-\alpha)=\dfrac{\pi}{6}$

$\quad$

Correction Question 2

Pour tout réel $x$ on a $\sin(\pi-x)=\sin(x)$
Donc $\sin(\pi-\alpha)=0,5$.

Réponse a

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé du plan, on considère le cercle d’équation : $$(x-3)^2+(y+0,5)^2=\dfrac{25}{4}$$
On peut affirmer que :

a. ce cercle a un rayon de $6,25$.
b. ce cercle passe par le point $R(5 ; -2)$.
c. le centre de ce cercle a pour coordonnées $(-3 ; 0,5)$
d. aucune des réponses a., b. ou c. n’est correcte.

$\quad$

Correction Question 3

Le rayon du cercle est $R=\sqrt{\dfrac{25}{4}}=2,5$.
$(5-3)^2+(-2+0,5)^2=6,25$ donc $(5-3)^2+(-2+0,5)^2=\dfrac{25}{4}$

Réponse B

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé du plan, une équation cartésienne de la droite passant par le point $A(2 ; -4)$ et de vecteur normal $\vec{n}(5 ; 6)$ est :

a. $6x-5y-32=0$
b. $6x+5y+8=0$
c. $5x+6y+14=0$
d. $5x+6y-14=0$

$\quad$

Correction Question 4

Une équation de cette droite est de la forme $5x+6y+c=0$.
$A(2;-4)$ appartient à cette droite.
Donc $10-24+c=0\ssi c=14$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(2x+3)\e^x$.
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$. On a alors :

a. $f'(x)=2\e^x$
b. $f'(x)=(2x+3)\e^x$
c. $f'(x)=(2x+1)\e^x$
d. $f'(x)=(2x+5)\e^x$

$\quad$

Correction Question 5

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2\e^x+(2x+3)\e^x \\
&=(2+2x+3)\e^x\\
&=(2x+5)\e^x\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = 3x\e^{-0,4x}$
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$.
On admet que la fonction $f’$ a pour expression $f'(x)=(-1,2x+3)\e^{-0,4x}$.

  1.  Déterminer le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  2. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Un sportif a pris un produit dopant. La fonction $f$ modélise la quantité, en mg/L, de ce produit dopant présent dans le sang du sportif $x$ heures après la prise.
    a. Pourquoi peut-on affirmer que ce produit dopant n’est pas naturellement présent dans l’organisme du sportif ?
    $\quad$
    b. Combien de temps après son absorption, ce produit dopant sera-t-il présent en quantité maximale dans le sang du sportif ?
    $\quad$
    c. Le sportif absorbe ce produit dopant au début d’une séance d’entraînement.
    Le même jour, $6$ heures après le début de cette séance d’entraînement, il est soumis à un contrôle anti-dopage. Celui-ci se révèlera positif si la quantité de produit dopant présent dans l’organisme de ce sportif dépasse $1,4$ mg/L.
    Ce contrôle anti-dopage sera-t-il positif ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-1,2x+3$.
    $-1,2x+3=0 \ssi -1,2x=-3 \ssi x=2,5$
    $-1,2x+3>0 \ssi -1,2x>-3 \ssi x<2,5$
    Ainsi :
    $\bullet$ $f'(x)>0$ sur $[0;2,5[$
    $\bullet$ $f'(2,5)=0$
    $\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]2,5;+\infty[$
    $\quad$
  2. On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. a. À l’instant $t=0$, la concentration du produit dopant dans le sang est nulle. Il n’est donc pas naturellement présent dans l’organisme du sportif.
    $\quad$
    b. D’après le tableau de variations, la quantité maximale dans le sang est atteinte $2,5$ heures après sont absorption.
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} f(6)&=18\e^{-2,4} \\
    &\approx 1,63 \\
    &>1,4\end{align*}$
    Ce contrôle anti-dopage sera donc positif.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n=3\times \dfrac{10^n}{2^{n+1}}$.
La suite $\left(u_n\right)$ est une suite :

a.arithmétique de raison $3$.
b. géométrique de raison $3$.
c. arithmétique de raison $5$.
d. géométrique de raison $5$.

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_n&=3\times\dfrac{10^n}{2^{n+1}} \\
&=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{10^n}{2^n} \\
&=\dfrac{3}{2}\times 5^n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $5$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé$\Oij$ du plan, on considère les points $A(-2; 1)$ et $B(2; 4)$.
La droite $\Delta$ passe par le point $C(-1; 1)$ et admet le vecteur $\vect{AB}$ pour vecteur normal.
La droite $\Delta$ admet pour équation cartésienne :

a. $3x-4y+7=0$
b. $4x+3y+1=0$
c. $3x-4y-1=0$
d. $4x+3y+7=0$

$\quad$

Correction Question 2

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$. Une équation de la droite $\Delta$ est donc de la forme $4x+3y+c=0$.
Le point $C(-1;1)$ appartient à cette droite. Ainsi :
$-4+3+c=0 \ssi c=1$
Une équation de la droite $\Delta$ est donc $4x+3y+1=0$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans l’intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, l’unique solution de l’équation $2\cos(x+\pi)+1=0$ est :

a. $\dfrac{\pi}{3}$
b. $-\dfrac{5\pi}{3}$
c. $\dfrac{\pi}{6}$
d. $\dfrac{2\pi}{3}$

$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} 2\cos(x+\pi)+1=0&\ssi -2\cos(x)+1=0\\
&\ssi \cos(x)=\dfrac{1}{2}\end{align*}$

Donc, dans l’intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, la solution est $\dfrac{\pi}{3}$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{\e^x}{1+\e^x}$.
La fonction dérivée $f’$ de la fonction $f$ est définie par :

a. $f'(x)=\dfrac{\e}{1+\e}$
b. $f'(x)=\dfrac{\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$
c. $f'(x)=1$
d. $f'(x)=\dfrac{-\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x\left(1+\e^x\right)-\e^x\times \e^x}{\left(1+\e^x\right)^2} \\
&=\dfrac{\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=-0,5(x+2)^2+4,5$.
On peut affirmer que :

a. Le tableau de variations de la fonction $f$ est donné ci-dessous:

b.
La courbe représentative de la fonction $f$ admet un sommet de coordonnées $(4,5; -2)$.
c. Le signe de $f(x)$ est donné ci-dessous :

d. La fonction $f$ admet un minimum en $-2$ égal à $4,5$

$\quad$

Correction Question 5

On a $f(x)=-0,5\left(x-(-2)\right)^2+4,5$
Le coefficient principal est $a=-0,5<0$. La fonction $f$ admet donc un maximum dont l’abscisse est $-2$. On exclut donc les réponses a.b., et d.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0; 10]$ par : $f(x)=60x\e^{-0,5x}$.
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$.

  1. Démontrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=-30(x-2)\e^{-0,5x}$.
    $\quad$
  2. Déterminer le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0 ; 10]$.
    $\quad$
  3. Établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 10]$.
    On indiquera dans ce tableau les valeurs exactes des extremums.
    $\quad$
  4. Quelles sont les coordonnées du point en lequel la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ est parallèle à l’axe des abscisses ?
    $\quad$
  5. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. L fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;10]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\in[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=60\e^{-0,5x}+60x\times \left(-0,5\e^{-0,5x}\right)\\
    &=(60-30x)\e^{-0,5x}\\
    &=-30(x-2)\e^{-0,5x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-30(x-2)$.
    Or $-30(x-2)=0 \ssi x-2=0 \ssi x=2$
    et $-30(x-2)>0\ssi x-2<0 \ssi x<2$
    Par conséquent :
    $\bullet$ $f'(x)>0$ sur $[0;2[$;
    $\bullet$ $f'(2)=0$;
    $\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]2;10]$.
    $\quad$
  3. On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. $f'(x)=0 \ssi x=2$
    La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ est parallèle à l’axe des abscisses au point de coordonnées $\left(2;120\e^{-1}\right)$.
    $\quad$
  5. Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    Or $f'(0)=60$ et $f(0)=0$.
    Une équation de cette tangente est donc $y=60x$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une note de musique est émise en pinçant la corde d’une guitare électrique. La puissance du son émis, initialement de $120$ watts, diminue en fonction du temps écoulé après pincement de la corde.
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $t\pg 0$ par : $f(t)=120\e^{-0,14t}$.
On admet que $f(t)$ modélise la puissance du son, exprimée en watt, à l’instant $t$ où $t$ est le temps écoulé, exprimée en seconde, après pincement de la corde.

On désigne par $f’$ la fonction dérivée de $f$.

  1. Calculer $f'(t)$.
    $\quad$
  2. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. Quelle sera la puissance du son, trois secondes après avoir pincé la corde ? Arrondir au dixième.
    $\quad$
  4. On considère la fonction seuil ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil():}\\
    \hspace{1cm}\text{t=0}\\
    \hspace{1cm}\text{puissance=120}\\
    \hspace{1cm}\text{while puissance>=60:}\\
    \hspace{2cm}\text{t=t+0.1}\\
    \hspace{2cm}\text{puissance=120*exp(-0.14*t)}\\
    \hspace{1cm}\text{return t}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Que renvoie cette fonction $\text{seuil()}$?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $f(t)$ est du type $k\e^{at+b}$ pour tout réel $t$.
    La fonction $f$ est donc dérivable sur $[0;+\infty[$.
    Pour tout $t\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=120\times (-0,14)\e^{-0,14t}\\
    &=-16,8\e^{-0,14t}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent, pour tout $t\pg 0$ on a $f'(t)<0$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    Cela signifie donc que la puissance du son diminue avec le temps.
    $\quad$
  3. Trois secondes après avoir pincé la corde
    $\begin{align*}f(3)&=120\e^{-0,14\times 3}\\
    &=120\e^{-0,42}\\
    &\approx 78,8\end{align*}$
    La puissance du son sera d’environ $78,8$ watts .
    $\quad$
  4. Cette fonction renvoie le temps nécessaire en seconde pour que la puissance du son soit strictement inférieure à $60$ watts.
    Or $f(4.9) \approx 60,43$  et $f(5)\approx 59,59$.
    La fonction renvoie donc la valeur $5$.
    $\quad$
    Remarque : L’énoncé original de cette fonction était :$$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil():}\\
    \hspace{1cm}\text{t=0}\\
    \hspace{1cm}\text{puissance=120}\\
    \hspace{1cm}\text{while puissance<=60:}\\
    \hspace{2cm}\text{t=t+0.1}\\
    \hspace{2cm}\text{puissance=120*exp(-0.14*t)}\\
    \hspace{1cm}\text{return t}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Cette fonction renvoie $0$ puisqu’on ne rentre jamais dans la boucle while.
    Cette fonction ne nécessite de plus au moins l’importation, en amont, de la fonction exp de la bibliothèque math de Python pour fonctionner.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée, cependant des traces de recherche au brouillon peuvent aider à trouver la bonne réponse. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, l’expression $\e^x\times \e^{x+2}$ est égale à :

a. $\e^{2x+2}$
b. $\e^{x^2+2}$
c. $\e^{\frac{x}{x+2}}$
d. $\e^{x^2+2x}$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \e^x\times \e^{x+2}&=\e^{x+x+2}\\
&=\e^{2x+2}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $g$ une fonction définie et dérivable en $1$. Dans un repère du plan, une équation de la tangente à la courbe de la fonction $g$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $y=g(1)\times (x-1)-g'(1)$
b. $y=g'(1)\times (x-1)+g(1)$
c. $y=g'(1)\times (x+1)-g(1)$
d. $y=g(1)\times (x+1)+g'(1)$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation de la tangente à la courbe de la fonction $g$ au point d’abscisse $1$ est $y=g'(1)\times (x-1)+g(1)$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Le plan est muni d’un repère $\Oij$. On considère la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vec{u}(4 ; 7)$ et passant par le point $A(-2 ; 3)$. Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est :

a. $-7x+4y-26=0$
b. $4x+7y-13=0$
c. $-7x+4y+26=0$
d. $4x-7y+29=0$

$\quad$

Correction Question 3

Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}(4 ; 7)$.
Une équation cartésienne de $(d)$ est donc de la forme $7x-4y+c=0$.
Le point $A(-2;3)$ appartient à la droite.
Par conséquent $-14-12+c=0 \ssi c=26$
Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est donc $7x-4y+26=0$ ou encore $-7x+4y-26=0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

$t$ est un réel. On sait que $\cos(t)=\dfrac{2}{3}$. Alors $\cos(t+4\pi)+\cos(-t)$ est égal à :

a. $-\dfrac{4}{3}$
b. $0$
c. $\dfrac{4}{3}$
d. $\dfrac{2}{3}$

$\quad$

Correction Question 4

$\cos(t)=\dfrac{2}{3}$ donc $\cos(-t)=\dfrac{2}{3}$
et
$\begin{align*} \cos(t+4\pi)&=\cos(t+2\times 2\pi)\\
&=\cos(t) \\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
Ainsi $\cos(t+4\pi)+\cos(-t)=\dfrac{4}{3}$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère, dans un repère du plan, la parabole $(P)$ d’équation :
$y = -x^2+6x-9$. La parabole $(P)$ admet :

a. aucun point d’intersection avec l’axe des abscisses
b. un seul point d’intersection avec l’axe des abscisses
c. deux points d’intersection avec l’axe des abscisses
d. trois points d’intersection avec l’axe des abscisses

$\quad$

Correction Question 5

On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*} -x^2+6x-9=0 &\ssi x^2-6x+9=0 \\
&\ssi (x-3)^2=0\\
&\ssi x=3\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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