Bac – Centres étrangers 1 – 5 juin 2024

Centres étrangers – 5 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;1]$.
    Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{0,96(0,93x+0,03)-0,93\times 0,96x}{(0,93x+0,03)^2} \\
    &=\dfrac{0,028~8}{(0,93x+0,03)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $(0,93x+0,03)^2>0$ et $0,028~8>0$.
    Par conséquent, pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $f'(x)>0$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;1]$.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. On veut déterminer :
    $\begin{align*} p(D\cap T)&=p(D)\times p_D(T) \\
    &=0,96x\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\left(D,\conj{D}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(T)&=p(D\cap T)+p\left(\conj{D}\cap T\right) \\
    &=0,96x+p\left(\conj{D}\right)\times p_{\conj{D}}(T) \\
    &=0,96x+0,03(1-x) \\
    &=0,93x+0,03\end{align*}$
    La probabilité de l’événement $T$ est bien égale à $0,93x+0,03$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_T(D)&=\dfrac{p(D\cap T)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}\\
    &=f(x)\end{align*}$
    Or $x=\dfrac{50}{1~000}=0,05$
    Ainsi la probabilité qu’un sportif soit dopé sachant que son test est positif est bien égal à $f(0,05) \approx 0,63$.
    $\quad$
  5. a. On a vu à la question précédente que cette valeur prédictive était égale à $f(x)$.
    On veut donc résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} f(x)\pg 0,9&\ssi \dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}\pg 0,9 \\
    &\ssi 0,96x\pg 0,9(0,93x+0,03) \qquad \text{car } 0,96x+0,03>0 \text{ sur } [0;1] \\
    &\ssi 0,96x\pg 0,837x+0,027\\
    &\ssi 0,123x \pg 0,027 \\
    &\ssi x\pg \dfrac{9}{41}\end{align*}$
    Or $\dfrac{9}{41}\approx 0,22$.
    C’est donc à partir d’environ $0,22$ que la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à $0,9$.
    $\quad$
    b. On appelle $y$ la proportion des sportifs dopés parmi les plus performants. On a donc $0 \pp x\pp y\pp 1$.
    La fonction $f$ est strictement croissante. Par conséquent $f(y)\pg f(x)$.
    La valeur prédictive positive sera donc meilleure.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a.
    $\begin{align*} f(x)=x &\ssi 2x\e^{-x}=x \\
    &\ssi 2x\e^{-x}-x=0 \\
    &\ssi x\left(2\e^{-x}-1\right)=0 \\
    &\ssi x=0 \text{ ou } 2\e^{-x}-1=0 \\
    &\ssi x=0 \text{ ou }2\e^{-x}=1 \\
    &\ssi x=0 \text{ ou }\e^{-x}=\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi x=0 \text{ ou }-x=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
    &\ssi x=0 \text{ ou }x=-\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
    &\ssi x=0 \text{ ou }x=\ln(2) \end{align*}$
    Or $0\in [0;1]$ et $\ln(2) \in [0;1]$
    L’ensemble des solutions de l’équation $f(x)=x$ sur $[0;1]$ est donc $\acco{0;\ln(2)}$.
    $\quad$
    b. $f$ est dérivable sur $[0;1]$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-x}+2x\times \left(-\e^{-x}\right) \\
    &=2(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
    c. $1-x>0 \ssi x<1$ et $1-x=0 \ssi x=1$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on note $P(n):~0\pp u_n<u_{n+1}\pp 1$.
    Initialisation : $u_0=0,1$ et $u_1=f(0,1) \approx 0,18$.
    Donc $0\pp u_0<u_1\pp 1$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $0\pp u_n<u_{n+1}\pp 1$
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$.
    Par conséquent $f(0) \pp f\left(u_n\right)<f\left(u_{n+1}\right) \pp f(1)$.
    Ainsi $0\pp u_{n+1}<u_{n+2}\pp 2\e^{-1}<1$.
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp u_n<u_{n+1}\pp 1$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $1$.
    D’après le théorème de la limite monotone, $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$, $\left(u_n\right)$ converge et $f$ est continue sur $[0;1]$ car dérivable sur cet intervalle.
    Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
    D’après la question 1.a., cette équation possède deux solutions sur $[0;1]$ qui sont $0$ et $\ln(2)$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante et $u_0=0,1>0$.
    Ainsi $\left(u_n\right)$ converge vers $\ln(2)$.
    $\quad$
  4. a. La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante et converge vers $\ln(2)$. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pp \ln(2)$ c’est-à-dire $\ln(2)-u_n \pg 0$.
    $\quad$
    b. On peut écrire :

    Remarque : Il y avait une erreur dans le code Python. La fonction $\ln$ doit s’écrire $\text{log}$ et suppose que la bibliothèque $\text{math}$ a été importée.
    $\quad$

    c. Quand on exécute ce code Python sur la calculatrice , on obtient $n=11$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Si $y$ est une fonction constante solution de $\left[E_0\right)$ alors $y’=0$.
    Ainsi $0=y$.
    L’unique fonction constante solution de l’équation différentielle $\left(E_0\right)$ est donc la fonctio nulle.
    $\quad$
  2. L’ensemble solution de l’équation différentielle $y’=y$ est $\acco{t\in \R\mapsto K\e^t,~\forall K\in \R}$.
    $\quad$
  3. la fonction $h$ est dérivable sur $\R$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x$ on a
    $h'(x)=-2\sin(x)+\cos(x)$.
    Or :
    $\begin{align*}h(x)-\cos(x)-3\sin(x) &=2\cos(x)+\sin(x)-\cos(x)-3\sin(x)\\
    &=\cos(x)-2\sin(x) \\
    &=h'(x)\end{align*}$
    $h$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
    $\quad$
  4. Soit $f$ une solution de $(E)$.
    Ainsi, pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} (f-h)'(x)&=f'(x)-h'(x) \\
    &=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)-\left(h(x)-\cos(x)-3\sin(x)\right) \\
    &=f(x)-h(x) \\
    &=(f-h)(x)\end{align*}$
    Par conséquent $f-h$ est solution de $\left(E_0\right)$.
    $\quad$
    Supposons maintenant que $f-h$ soit solution de $\left(E_0\right)$.
    Ainsi, pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=f'(x)-h'(x)+h'(x) \\
    &=f(x)-h(x)+h'(x) \text{ car } f-h \text{ est solution de } \left(E_0\right) \\
    &=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)\text{ car } h \text{ est solution de } \left(E\right)\end{align*}$
    Donc $f$ est solution de $(E)$.
    $\quad$
    Il y a bien équivalence entre “$f$ est  solution de $(E)$” et “$f-h$ est solution de $\left(E_0\right)$”.
    $\quad$
  5. D’après la question 2. il existe un réel $K$ tel que pour tout réel $x$ on ait $f(x)-h(x)=K\e^x$.
    Ainsi $f(x)=2\cos(x)+\sin(x)+K\e^x$.
    $\quad$
    Réciproquement, soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2\cos(x)+\sin(x)+K\e^x$, où $K$ est un réel quelconque.
    Ainsi :
    $\begin{align*} f'(x)&=-2\sin(x)+\cos(x)+K\e^x \\
    &=2\cos(x)-\cos(x)+\sin(x)-3\sin(x)+K\e^x \\
    &=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)\end{align*}$
    $f$ est bien solution de $E$.
    $\quad$
    L’ensemble solution de $(E)$ est $\acco{x\in \R\mapsto 2\cos(x)+\sin(x)+K\e^x,~\forall K\in \R}$.
    $\quad$
  6. On veut donc déterminer la valeur de $K$ telle que $2\cos(0)+\sin(0)+K\e^0=0$
    C’est-à-dire que $2+K=0$. Ainsi $K=-2$.
    $g$ est donc la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=2\cos(x)+\sin(x)-2\e^x$.
    $\quad$
  7. On a :
    $\begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(-2\e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right)\dx &=\Big[-2\e^x-\cos(x)+2\sin(x)\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
    &=-2\e^{\pi/2}-0+2-(-2-1+0) \\
    &=-2\e^{\pi/2}+5\end{align*}$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. D’une part $\vect{AB}\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$ et d’autre part $\vect{AC}\begin{pmatrix} 3\\-1\\0\end{pmatrix}$.
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
    Par conséquent $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. a. $\vect{AB}.\vec{n}=1+9-10=0$
    $\vect{AC}.\vec{n}=3-3+0=0$
    $\vec{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    $\vec{n}$ est donc orthogonal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. $\vec{n}$ est orthogonal au plan $(ABC)$ ; c’est donc un vecteur normal de celui-ci.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $x+3y+5z+d=0$.
    Or $A(-2;0;2)$ appartient à ce plan.
    Donc $-2+0+10+d=0$ soit $d=-8$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est par conséquent $x+3y+5z-8=0$.
    $\quad$
    c. $0+0+15-8=7\neq 0$ : $D$ n’appartient pas au plan $(ABC)$.
    Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
    $\quad$
  3. a. Un vecteur directeur de $\mathcal{D}_1$ est $\vec{n}$.
    De plus en prenant $t=0$ dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}_1$ on obtient les coordonnées du point $D$.
    Ainsi $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $D$.
    $\quad$
    b. Résolvons le système :
    $\begin{align*} \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\x=1+3s\\y=-1-5s\\z=2-6s\end{cases} &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\3t=-1-5s\\3+5t=2-6s\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\3(1+3s)=-1-5s\\3+5(1+3s)=2-6s\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\3+9s=-1-5s\\3+5+15s=2-6s\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\14s=-4\\21s=-6\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\s=-\dfrac{2}{7}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=\dfrac{1}{7}\\[3mm]s=-\dfrac{2}{7}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=\dfrac{1}{7}\\[3mm]y=\dfrac{3}{7}\\[3mm]z=\dfrac{26}{7}\\[3mm]t=\dfrac{1}{7}\\[3mm]s=-\dfrac{2}{7}\end{cases} \end{align*}$
    Les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes en un point de coordonnées $\left(\dfrac{1}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{26}{7}\right)$.
    $\quad$
  4. a. Les coordonnées du point $H$ sont solutions du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\x+3y+5z-8=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t+9t+15+25t-8=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\35t=-7\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=-\dfrac{1}{5}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-\dfrac{1}{5}\\[3mm]y=-\dfrac{3}{5}\\[3mm]z=2\\t=-\dfrac{1}{5}\end{cases}\end{align*}$
    Le point $H$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{5};-\dfrac{3}{5};2\right)$.
    $\quad$
    b. On a $\vect{HD}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{5}\\[3mm]\dfrac{3}{5}\\[3mm]-1\end{pmatrix}$
    La distance cherchée est donc :
    $\begin{align*} HD&=\sqrt{\left(\dfrac{1}{5}\right)^2+\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+(-1)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{1}{25}+\dfrac{9}{25}+1} \\
    &=\sqrt{\dfrac{35}{25}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{7}{5}} \\
    &\approx 1,18\end{align*}$

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     (5 points)

Partie A

On définit la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$ par $$f(x)=\dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}$$

  1. Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;1]$, $$f'(x)=\dfrac{0,028~8}{(0,93x+0,03)^2}$$
    $\quad$
  2. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$

Partie B

La lutte contre le dopage passe notamment par la réalisation de contrôles antidopage qui visent à déterminer si un sportif a fait usage de substances interdites.
Lors d’une compétition rassemblant $1~000$ sportifs, une équipe médicale teste tous les concurrents. On propose d’étudier la fiabilité de ce test.

On appelle $x$ le réel compris entre $0$ et $1$ qui désigne la proportion de sportifs dopés.

Lors de l’élaboration de ce test, on a pu déterminer que :

  • la probabilité qu’un sportif soit déclaré positif sachant qu’il est dopé est égale à $0,96$;
  • la probabilité qu’un sportif soit déclaré positif sachant qu’il n’est pas dopé est égale à $0,03$.
    $\quad$

On note :

  • $D$ l’évènement : « le sportif est dopé » ;
  • $T$ l’évènement : « le test est positif ».
  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :
    $\quad$

    $\quad$
  2. Déterminer, en fonction de $x$, la probabilité qu’un sportif soit dopé et ait un test positif.
    $\quad$
  3. Démontrer que la probabilité de l’évènement $T$ est égale à $0,93x+0,03$.
    $\quad$
  4. Pour cette question uniquement, on suppose qu’il y a $50$ sportifs dopés parmi les $1~000$ testés.
    La fonction $f$ désigne la fonction définie à la partie A.
    Démontrer que la probabilité qu’un sportif soit dopé sachant que son test est positif est égale à $f (0,05)$. En donner une valeur arrondie au centième.
    $\quad$
  5. On appelle valeur prédictive positive d’un test la probabilité que le sportif soit réellement dopé lorsque le résultat du test est positif.
    a. Déterminer à partir de quelle valeur de x la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à $0,9$. Arrondir le résultat au centième.
    $\quad$
    b. Un responsable de la compétition décide de ne plus tester l’ensemble des sportifs, mais de cibler les sportifs les plus performants supposés être plus fréquemment dopés.
    Quelle est la conséquence de cette décision sur la valeur prédictive positive du test ? Argumenter en utilisant un résultat de la partie A.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0; 1]$ par
$$f(x)=2x\e^{-x}$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0; 1]$.

  1. a. Résoudre sur l’intervalle $[0; 1]$ l’équation $f(x) = x$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[0; 1]$, $f'(x)=2(1-x)\e^{-x}$.
    $\quad$
    c. Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0; 1]$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,1$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$$

  1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel, $0 \pp u_n < u_{n+1} \pp  1$.
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  2. Démontrer que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est $\ln(2)$.
    $\quad$
  3. a. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $\ln(2)-u_n$ est positif.
    $\quad$
    b. On souhaite écrire un script Python qui renvoie une valeur approchée de $\ln(2)$ par défaut à $10^{-4}$ près, ainsi que le nombre d’étapes pour y parvenir.
    Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu’il réponde au problème posé.

    $\quad$
    c. Donner la valeur de la variable $n$ renvoyée par la fonction $\text{seuil()}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (5 points)

On considère l’équation différentielle $\left(E_0\right) :~ y’ = y$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

  1. Démontrer que l’unique fonction constante solution de l’équation différentielle $\left(E_0\right)$ est la fonction nulle.
    $\quad$
  2. Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle $\left(E_0\right)$.
    $\quad$

On considère l’équation différentielle $(E) :~ y’ = y-\cos(x)-3\sin(x)$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

  1. La fonction $h$ est définie sur $\R$ par $h(x) = 2\cos(x)+\sin(x)$.
    On admet qu’elle est dérivable sur $\R$.
    Démontrer que la fonction $h$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
    $\quad$
  2. On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.
    Démontrer que : « $f$ est solution de $(E)$ » est équivalent à « $f-h$ est solution de $\left(E_0\right)$».
    $\quad$
  3. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle $(E)$.
    $\quad$
  4. Déterminer l’unique solution $g$ de l’équation différentielle $(E)$ telle que $g(0) = 0$.
    $\quad$
  5. Calculer : $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(-2\e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right)\dx$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère :

  • les points $A(-2 ; 0 ; 2)$, $B(-1 ; 3 ; 0)$, $C(1 ; -1 ; 2)$ et $D(0; 0; 3)$.
  • la droite $\mathcal{D}_1$ dont une représentation paramétrique est
    $\begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\end{cases}$ avec $t \in R\$.
  • la droite $\mathcal{D}_2$ dont une représentation paramétrique est
    $\begin{cases} x=1+3s\\y=-1-5s\\z=2-6s\end{cases}$ avec $s \in \R$.
  1. Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $x+3y+5z-8=0$.
    $\quad$
    c. En déduire que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
    $\quad$
  3. a. Justifier que la droite $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $D$.
    $\quad$
    On admet que la droite $\mathcal{D}_2$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $C$.
    b. Démontrer que les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
    $\quad$
  4. a. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
    $\mathcal{D}_2$
    $\quad$
    b. Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$. Arrondir le résultat au centième.

 

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 1 – 21 mai 2024

Amérique du Nord – 21 mai 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    $\begin{align*} P(R\cap E)&=P(R)P_R(E) \\
    &=0,07\times 0,8 \\
    &=0,056\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} P(E)&=P(R\cap E)+P\left(\conj{R}\cap E\right) \\
    &=P(R)P_R(E)+P\left(\conj{R}\right)P_{\conj{R}}(E) \\
    &=0,056+0,93\times 0,4 \\
    &=0,428\end{align*}$
    La probabilité de tirer une épée est égale à $0,428$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_E(R)&=\dfrac{P(R\cap E)}{P(E)} \\
    &=\dfrac{0,056}{0,428} \\
    &\approx 0,131\end{align*}$
    La probabilité que l’objet soir rare sachant qu’il a tiré une épée est environ égale à $0,131$.
    $\quad$

Partie B

  1. On répète $30$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,07$.
    $X$ suit donc la lo binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,07$.
    Son espérance est $E(X)=np=2,1$.
    $\quad$
  2. On a d’après la calculatrice :
    $\begin{align*} P(X<6)&=P(X\pp 5) \\
    &\approx 0,984\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\left(P(X\pg k)\right)$ est une suite décroissante.
    Or $P(X\pg 2) \approx 0,631\pg 0,5$ et $P(X\pg 3)\approx 0,351<0,5$.
    Par conséquent le plus grand entier $k$ tel que $P(X\pg k) \pg 0,5$ est $2$.
    La probabilité d’obtenir au moins $2$ objets rares est supérieure à ou égale $0,5$.
    $\quad$
  4. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre d’objets rares obtenus lorsqu’un joueur tire $N$ objets.
    Pour la même raison qu’à la question B.1. $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $N$ et $p=0,07$.
    $\begin{align*} P(X\pg 1)\pg 0,95 &\ssi 1-P(X=0)\pg 0,95 \\
    &\ssi P(X=0) \pp 0,05 \\
    &\ssi 0,93^N \pp 0,05 \\
    &\ssi N\ln(0,93) \pp \ln(0,05) \qquad \text{croissance de la fonction } \ln \\
    &\ssi N\pg \dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,93)} \qquad \text{car } \ln(0,93)<0 \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,93)}\approx 41,28$.
    Il faut donc tirer au moins $42$ objets afin que la probabilité de tirer au moins un objet rare soit supérieure ou égale à $0,95$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}3\\1\\-3\end{pmatrix}$.
    Ainsi, en utilisant le point $A(1;0;3)$, une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est $\begin{cases} x=1+3t\\y=t\\z=3-3t\end{cases} \quad t\in \R$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. On constate qu’il faut choisir $t=1$ pour avoir $y=6$ dans la représentation paramétrique de $(d)$.
    Or avec cette valeur de $t$ on obtient aucune des trois premières propositions. La bonne réponse doit donc être la dernière.
    Vérifions cela.
    $6t=-9 \ssi t=-\dfrac{3}{2}$.
    Avec cette valeur on obtient alors $x=-3$, $y=-9$ et $z=7$.
    Réponse d
    $\quad$
  3. Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $(d’)$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}$.
    Or $\dfrac{-2}{1}\neq \dfrac{6}{-2}$.
    Les droites $(d)$ et $(d’)$ ne sont ni parallèles, ni confondues.
    Résolvons le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=3-3t\\x=-2+3k\\y=-1-2k\\z=1+k\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=3-3t\\3+4t=-2+3k\\6t=-1-2k\\3-3t=1+k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=3-3t\\4t-3k=-5\\6t+2k=-1\\-3t+2=k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=3-3t\\4t+9t-6=-5\\6t-6t+4=-1\\k=2-3t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=3-3t\\13t=1\\4=-1 \qquad \text{impossible}\\k=2-3t\end{cases}\end{align*}$
    Le système n’admet donc pas de solution. Les droites ne sont pas sécantes non plus. Elles sont donc non coplanaires.
    Réponse b
    $\quad$
  4. Un vecteur normal au plant $(P)$ est donc $\vec{u}\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}$.
    Une équation cartésienne du plan $(P)$ est alors de la forme $4x+6y-2z+d=0$.
    Le point $I(2;1;0)$ appartient à ce plan.
    Ainsi $8+6+d=0 \ssi d=-14$.
    Une équation cartésienne de $(P)$ est alors $4x+6y-2z-14=0$ soit, en divisant les deux membres par $2$, $2x+3y-z-7=0$.
    Réponse a
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : lectures graphiques

  1. Graphiquement $f'(1)$ est le coefficient directeur de la droite $(T)$. Ainsi il semble que $f'(1)= 3$.
    Une équation réduite de $(T)$ semble être $y=3x-4$.
    $\quad$
  2. La courbe $\left(C_f\right)$ semble être en-dessous de ses tangentes sur $]0;1]$ et au-dessus sur $[1;+\infty[$.
    Donc $f$ semble être concave sur $]0;1]$ et convexe sur $[1;+\infty[$.
    $A$ serait donc un point d’inflexion pour $\left(C_f\right)$.
    $\quad$

Partie B : étude analytique

  1. $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} \ln(t)=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(x^2\right)=+\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} x\ln\left(x^2\right)=+\infty$.
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f(x)&=x\ln\left(x^2\right)-\dfrac{1}{x} \\
    &=x\times 2\ln(x)-\dfrac{1}{x} \\
    &=2x\ln(x)-\dfrac{1}{x}\end{align*}$
    Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to 0^+} x\ln(x)=0$.
    Or $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x>0$ on a, en utilisant la dernière expression de $f(x)$
    $\begin{align*} f'(x)&=2\ln(x)+2x\times \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2} \\
    &=2\ln(x)+2+\dfrac{1}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x>0$
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x^3} \\
    &=\dfrac{2x^2-2}{x^3} \\
    &=\dfrac{2\left(x^2-1\right)}{x^3} \\
    &=\dfrac{2(x-1)(x+1)}{x^3}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Pour tout réel $x>0$ on a $\dfrac{2(x+1)}{x^3}>0$.
    Ainsi, le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $x-1$.
    Or $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$.
    $f$ est donc concave sur $]0;1]$ et convexe sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
    b. La fonction $f’$ est donc strictement décroissante sur $]0;1]$ et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
    $f’$ atteint donc son minimum en $1$. Or $f'(1)=3>0$.
    Donc, pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)>0$.
    $f$ est ainsi strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    $\lim\limits_{x\to 0^-} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $\alpha\approx 1,33$.
    On a :
    $\begin{align*} f(\alpha)=0&\ssi \alpha\ln\left(\alpha^2\right)-\dfrac{1}{\alpha}=0 \\
    &\ssi \alpha\ln\left(\alpha^2\right) =\dfrac{1}{\alpha} \\
    &\ssi \ln\left(\alpha^2\right)=\dfrac{1}{\alpha^2} \qquad \text{car } \alpha \neq 0 \\
    &\ssi \alpha^2=\exp\left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right) \qquad \text{croissance de la fonction } \exp\end{align*}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On a :
    $\begin{align*} I_0&=\int_0^{\pi} \sin(x)\dx \\
    &=\big[-\cos(x)\big]_0^{\pi} \\
    &=-(-1)-1 \\
    &=2\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ et pour tout entier naturel $n$ on a $\e^{-nx}>0$.
    Pour tout réel $x\in [0;\pi]$ on a $\sin(x)\pg 0$.
    Ainsi, pour tout réel $x\in [0;\pi]$ et tout entier naturel $n$, on a $\e^{-nx}\sin(x)\pg 0$.
    Par positivité de l’intégrale, $I_n\pg 0$.
    $\quad$
    b. Soit $n$ un entier naturel.
    $\begin{align*} I_{n+1}-I_n&=\int_0^{\pi} \e^{-(n+1)x}\sin(x)\dx -\int_0^{\pi} \e^{-n)x}\sin(x)\dx  \\
    &=\int_0^{\pi} \left(\e^{-(n+1)x}-\e^{-nx}\right) \sin(x)\dx \\
    &=\int_0^{\pi} \e^{-nx}\left(\e^{-x}-1\right)\sin(x)\dx\end{align*}$
    Pour tout réel $x\in [0;\pi]$ on a $\e^{-nx}>0$, $\e^{-x}\pp 1$ et $\sin(x)\pg 0$.
    Ainsi $\e^{-nx}\left(\e^{-x}-1\right)\sin(x)\pp 0$.
    Par croissance de l’intégrale (on intègre sur un intervalle croissant) $I_{n+1}-I_n\pp 0$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(I_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$. D’après le théorème de la limite monotone, elle converge donc.
    $\quad$
  3. a. Pour tout réel $x\in [0;\pi]$ on a $\sin(x) \pp 1$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a ainsi $\e^{-nx}\sin(x) \pp \e^{-nx}$.
    Par croissance de l’intégrale (on intègre sur un intervalle croissant) $I_n\pp \ds \int_0^{\pi} \e^{-nx}\dx$.
    $\quad$
    b. Soit $n$ un entier naturel non nul
    $\begin{align*} \int_0^{\pi} \e^{-nx}\dx&=\left[-\dfrac{\e^{-nx}}{n}\right]_0^{\pi} \\
    &=-\dfrac{\e^{-n\pi}-1}{n} \\
    &=\dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n}\end{align*}$
    $\quad$
    c. D’après les questions précédentes on a $0\pp I_n \pp \dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n}$.
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \e^{-n\pi}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n}=0$.
    D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
    $\quad$
  4. a. On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[0;\pi]$ définies par : $$\begin{array}{lll}u(x)=\e^{-nx}&\phantom{1234}&u'(x)=-n\e^{-nx} \\
    v(x)=-\cos(x)&&v'(x)=\sin(x)\end{array}$$
    Ainsi :
    $\begin{align*} I_n&=\int_0^{\pi} \e^{-nx}\sin(x)\dx \\
    &=\Big[-\e^{-nx}\cos(x)\Big]_0^{pi}-n\int_0^{\pi} \e^{-nx}\cos(x)\dx \\
    &=1+\e^{-n\pi}-nJ_n\end{align*}$
    $\quad$
    On réalise une autre intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[0;\pi]$ définies par : $$\begin{array}{lll}u(x)=sin(x)&\phantom{1234}&u'(x)=\cos(x) \\
    v(x)=-\dfrac{1}{n}\e^{-nx}&&v'(x)=\e^{-nx}\end{array}$$
    Ainsi :
    $\begin{align*} I_n&=\int_0^{\pi} \e^{-nx}\sin(x)\dx \\
    &= \left[-\dfrac{1}{n}\e^{-nx}\sin(x)\right]_0^{\pi}+\dfrac{1}{n}\int_0^{\pi} \e^{-nx}\cos(x)\dx\\
    &=\dfrac{1}{n}J_n\end{align*}$
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $\begin{align*} 1+\e^{-n\pi}-nJ_n=\dfrac{1}{n}J_n&\ssi \left(\dfrac{1}{n}+n\right)J_n=1+\e^{-n\pi} \\
    &\ssi \dfrac{1+n^2}{n}J_n=1+\e^{-n\pi} \\
    &\ssi J_n=\dfrac{n}{n^2+1}\left(1+\e^{-n\pi}\right)\end{align*}$
    Or
    $\begin{align*} I_n&=\dfrac{1}{n}J_n \\
    &=\dfrac{1}{n}\times \dfrac{n}{n^2+1}\left(1+\e^{-n\pi} \right)\\
    &=\dfrac{1+\e^{-n\pi}}{n^2+1}\end{align*}$
    $\quad$
  5. On peut écrire :

    $\quad$

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     (5 points)

Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L’objet tiré peut être « commun » ou « rare ». Deux types d’objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers.

Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que :

  • la probabilité de tirer un objet rare est de $7 \%$ ;
  • si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de $80 \%$ ;
  • si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de $40 \%$.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet.
On note :

  • $R$ l’événement « le joueur tire un objet rare » ;
  • $E$ l’événement « le joueur tire une épée » ;
  •  $\conj{R}$ et $\conj{E}$ les événements contraires des événements $R$ et $E$.
  1. Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer $P(R\cap E)$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité de tirer une épée.
    $\quad$
  3. Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième.
    $\quad$

Partie B

Un joueur remporte $30$ défis.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre d’objets rares que le joueur obtient après avoir remporté $30$ défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.

  1. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$.
    Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.
    $\quad$
  2. Déterminer $P(X < 6)$. Arrondir le résultat au millième.
    $\quad$
  3. Déterminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X\pg k)  \pg 0,5$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d’acheter un « ticket d’or » qui permet de tirer $N$ objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de $7 \%$.
    Les développeurs aimeraient qu’en achetant un ticket d’or, la probabilité qu’un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supérieure ou égale à $0,95$.
    Déterminer le nombre minimum d’objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en œuvre.
    $\quad$

Exercice 2     (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

Les cinq questions sont indépendantes.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.

  1. On considère les points $A(1; 0; 3)$ et $B(4; 1; 0)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est :
    a. $\begin{cases} x=3+t\\y=1\\z=-3+3t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$
    b. $\begin{cases} x=1+4t\\y=t\\z=3\end{cases}~~$ avec $t\in \R$
    c. $\begin{cases} x=1+3t\\y=t\\z=3-3t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$
    d. $\begin{cases} x=4+t\\y=1\\z=3-3t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$
    $\quad$

On considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=4-2t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$.

  1. Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $(d)$ ?
    a. $M(7; 6; 6)$
    b. $N(3; 6; 4)$
    c. $P(4; 6; -2)$
    d. $R(-3; -9; 7)$
    $\quad$
  2. On considère la droite $(d’)$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=-2+3k\\y=-1-2k\\z=1+k\end{cases}~~$ avec $k\in \R$.
    Les droites $(d)$ et $(d’)$ sont :
    a. sécantes
    b. non coplanaires
    c. parallèles
    d. confondues
    $\quad$
  3. On considère le plan $(P)$ passant par le point $I(2; 1; 0)$ et perpendiculaire à la droite $(d)$. Une équation du plan $(P)$ est :
    a. $2x+3y-z-7=0$
    b. $-x+y-4z+1=0$
    c. $4x+6y-2z+9=0$
    d. $2x+y+1=0$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (5 points)

Le but de cet exercice est d’étudier la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par : $$f(x)=x \ln\left(x^2\right)-\dfrac{1}{x}$$

Partie A : lectures graphiques

On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\left(C_f\right)$ de la fonction $f$, ainsi que la droite $(T)$, tangente à la courbe $\left(C_f\right)$ au point $A$ de coordonnées $(1; -1)$. Cette tangente passe également par le point $B(0; -4)$.

  1. Lire graphiquement $f'(1)$ et donner l’équation réduite de la tangente $(T)$.
    $\quad$
  2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.
    Que semble représenter le point $A$ pour la courbe $\left(C_f\right)$ ?
    $\quad$

Partie B : étude analytique

  1. Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$, puis sa limite en $0$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    a. Déterminer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    b. Montrer que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $]0 ; +\infty[$, $f \dsec(x)=\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}$
    $\quad$
  3. a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de la fonction $f’$, puis le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  4. a. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
    $\quad$
    b. Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$ et montrer que $\alpha$ vérifie : $$\alpha^2=\exp\left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right)$$

$\quad$

$\quad$

Exercice 4     (6 points)

Pour tout entier naturel $n$, on considère les intégrales suivantes :

$$\begin{array}{l} I_n= \ds  \int_0^{\pi} \e^{-nx}\sin(x)\dx\\J_n=\ds \int_0^{\pi} \e^{-nx}\cos(x)\dx \end{array}$$

  1. Calculer $I_0$.
    $\quad$
  2. a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $I_n \pg 0$.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $I_ {n+1}-I_n \pp 0$.
    $\quad$
    c. Déduire des deux questions précédentes que la suite $\left(I_n\right)$ converge.
    $\quad$
  3. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $$I_n \pp  \int_0^{\pi} \e^{-nx}\dx$$
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout entier naturel $n\pg 1$, on a : $$\int_0^{\pi} \e^{-nx}\dx =\dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n}$$
    $\quad$
    c. Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $\left(I_n\right)$.
    $\quad$
  4. a. En intégrant par parties l’intégrale $I_n$ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $n\pg 1$ :
    $$I_n=1-\e^{-n\pi}-nJ_n \qquad \text{et} \qquad I_n=\dfrac{1}{n}J_n$$
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n\pg 1$, on a $I_n=\dfrac{1+\e^{-n\pi}}{n^2+1}$.
    $\quad$
  5. On souhaite obtenir le rang $n$ à partir duquel la suite $\left(I_n\right)$ dévient inférieur à $0,1$.
    Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.