E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des affirmations proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On choisit au hasard un individu parmi les passagers en transit dans un aéroport.
On a représenté ci-dessous un arbre de probabilités lié à certains évènements dont certains éléments ont été effacés.

On considère les événements suivants :

  •  $A$ : « le passager parle anglais »
  • $B$ : « le passager ne parle pas anglais »
  • $E$ : « le passager est un membre de l’Union Européenne »

a. $P_B(E)=0,12$
b. $P(E)=0,42$
c. La probabilité que le passager choisi soit européen et ne parle pas anglais est $0,3$.
d. $P(A\cup B)=1,1$

$\quad$

Correction Question 1

D’après l’arbre de probabilité on a $P_A(E)=0,5$ et $P(B)=0,4$.
$A$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(E)&=P(A\cap E)+P(B\cap E)\\
&=0,6\times 0,5+0,4\times 0,3\\
&=0,42\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Soit $D$ la droite d’équation $3x + y-2 = 0$.

a. Le point de coordonnées $(6 ; −15)$ appartient à $D$.
b. $D$ est perpendiculaire à la droite d’équation $12x + 4y = 0$.
c. Le vecteur de coordonnées $(1 ; 3)$ est un vecteur directeur de $D$.
d. Le vecteur de coordonnées $(3 ; 1)$ est un vecteur directeur des droites perpendiculaires à $D$.

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur normal à la droite $D$ est $\vec{n}(3;1)$.
C’est donc un vecteur directeur de toutes les droites perpendiculaires à la droite $D$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère dans l’ensemble des réels l’équation trigonométrique $\sin x = 1$.

a. Cette équation admet une unique solution dans l’ensemble des réels.
b. Cette équation admet une infinité de solutions dans l’ensemble  des réels.
c. $2\pi$ est une solution de cette équation.
d. $-\dfrac{57\pi}{2}$ est une solution de cette équation.

$\quad$

Correction Question 3

L’ensemble des solutions de l’équation $\sin x=1$ est l’ensemble des réels $\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ où $k\in \Z$.
L’équation admet une infinité de solutions dans l’ensemble  des réels.

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Soit $f$ la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par $f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$ et $C$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

a. La courbe $C$ n’admet pas de tangente au point d’abscisse $0$.
b. La tangente à $C$ au point d’abscisse $0$ a pour équation $y=2x$.
c. La tangente à $C$ au point d’abscisse $0$ a pour coefficient directeur $1$.
d. La tangente à $C$ au point d’abscisse $0$ est parallèle à l’axe des abscisses.

$\quad$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\left(x^2+1\right)-2x\times 2x}{\left(x^2+1\right)^2} \\
&=\dfrac{2x^2+2-4x^2 }{\left(x^2+1\right)^2} \\
&=\dfrac{-2x^2+2}{\left(x^2+1\right)^2} \end{align*}$
Ainsi $f'(0)=2$
Or $f(0)=0$
Une équation de la tangente à $C$ au point d’abscisse $0$ est donc $y=2(x-0)+0$ soit $y=2x$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]-2; +\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{x-3}{x+2}$$
$f$ est dérivable sur l’intervalle $]-2; +\infty[$ et pour tout réel $x$ de$]-2; +\infty[$, on a :

a. $f'(x)=1$
b. $f'(x)=\dfrac{2x-1}{(x+2)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{5}{(x+2)^2}$
d. $f'(x)=2x-1$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]-2;+\infty[$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1\times (x+2)-1\times (x-3)}{(x+2)^2} \\
&=\dfrac{x+2-x+3}{(x+2)^2}\\
&=\dfrac{5}{(x+2)^2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\sin(x)-x$.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

a. $f$ est paire
b. $f$ est impaire
c. Pour tout réel $x$, $f(x+2\pi)=f(x)$
c. Pour tout réel $x$, $f(x+2\pi)=-f(x)$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a $-x\in \R$ et
$\begin{align*} f(-x)&=\sin(-x)-(-x)\\
&=-\sin(x)+x\\
&=-\left(\sin(x)-x\right)\\
&=-f(x)\end{align*}$
La fonction $f$ est donc impaire.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$, l’équation $2\cos(x)-\sqrt{3}=0$ a pour solutions :

a. $-\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{6}$
b. $-\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{4}$
c. $-\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{3}$
d. $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$

$\quad$

Correction Question 2

Dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$
$\begin{align*} 2\cos(x)-\sqrt{3}=0 &\ssi \cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
&\ssi x=\dfrac{\pi}{6} \text{ ou }x=-\dfrac{\pi}{6}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $ABCD$ un parallélogramme tel que :
$AB+3$, $AD=4$ et $\widehat{BAD}=\dfrac{\pi}{3}$.

Alors $\vect{DA}.\vect{DC}$ est égal à :

a. $12$
b. $-12$
c. $6$
d. $-6$

$\quad$

Correction Question 3

On a :
$\begin{align*} \vect{DA}.\vect{DC}&=DA\times DC\times \cos \widehat{ADC} \\
&=3\times 4\times \dfrac{1}{2}\\
&=6\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$


$\quad$

Question 4

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$.
On considère la droite $\left(d_1\right)$ d’équation $3x-4y+1 = 0$. La droite $\left(d_2\right)$ perpendiculaire à $\left(d_1\right)$ et
passant par le point $A(1 ; 1)$ a pour équation :

a. $4x+3y=0$
b. $4x+3y-7=0$
c. $x+3-2=0$
d. $-4x+3y+1=0$

$\quad$

Correction Question 4

Une équation cartésienne de la droite $\left(d_1\right)$ est $3x-4y+1=0$. Un vecteur normal à cette droite est donc $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}$.
Par conséquent $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\left(d_2\right)$.
Une équation cartésienne de $\left(d_2\right)$ est donc de la forme $-4x-3y+c=0$
Le point $A(1;1)$ appartient à cette droite.
Ainsi $-4-3+c=0 \ssi c=7$.
Une équation cartésienne de la droite $\left(d_2\right)$ est donc $-4x-3y+7=0$ ou également, en multipliant les deux membres par $-1$, $4x+3y-7=0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$. Les droites $(d)$ et $\left(d’\right)$ d’équations respectives $2x-y+5=0$ et $-4x+2y+7=0$ sont :

a. confondues
b. sécantes
c. parallèles
d. perpendiculaires

$\quad$

Correction Question 5

Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de la droite $\left(d’\right)$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}-2\\-4\end{pmatrix}$
On constate donc que $\vec{v}=-2\vec{u}$.
Les droites $(d)$ et $(d’)$ sont donc parallèles.
Il reste à déterminer si elles sont confondues ou non.
Le point $A(0;5)$ appartient clairement à la droite $(d)$.
Or $-4\times 0+\times 5+7\neq 0$.
Le point $A$ n’appartient donc pas à la droite $\left(d’\right)$.
Les droites sont strictement parallèles.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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