E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0; 10]$ par : $f(x)=60x\e^{-0,5x}$.
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$.

Démontrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=-30(x-2)\e^{-0,5x}$.
$\quad$
Déterminer le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0 ; 10]$.
$\quad$
Établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 10]$.
On indiquera dans ce tableau les valeurs exactes des extremums.
$\quad$
Quelles sont les coordonnées du point en lequel la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ est parallèle à l’axe des abscisses ?
$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $0$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

L fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;10]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x\in[0;10]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=60\e^{-0,5x}+60x\times \left(-0,5\e^{-0,5x}\right)\\
&=(60-30x)\e^{-0,5x}\\
&=-30(x-2)\e^{-0,5x}\end{align*}$
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-30(x-2)$.
Or $-30(x-2)=0 \ssi x-2=0 \ssi x=2$
et $-30(x-2)>0\ssi x-2<0 \ssi x<2$
Par conséquent :
$\bullet$ $f'(x)>0$ sur $[0;2[$;
$\bullet$ $f'(2)=0$;
$\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]2;10]$.
$\quad$
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

$\quad$
$f'(x)=0 \ssi x=2$
La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ est parallèle à l’axe des abscisses au point de coordonnées $\left(2;120\e^{-1}\right)$.
$\quad$
L’équation réduite de cette tangente est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
Or $f'(0)=60$ et $f(0)=0$.
Une équation de cette tangente est donc $y=60x$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une note de musique est émise en pinçant la corde d’une guitare électrique. La puissance du son émis, initialement de $120$ watts, diminue en fonction du temps écoulé après pincement de la corde.
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $t\pg 0$ par : $f(t)=120\e^{-0,14t}$.
On admet que $f(t)$ modélise la puissance du son, exprimée en watt, à l’instant $t$ où $t$ est le temps écoulé, exprimé en seconde, après pincement de la corde.

On désigne par $f’$ la fonction dérivée de $f$.

Calculer $f'(t)$.
$\quad$
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Quelle sera la puissance du son, trois secondes après avoir pincé la corde ? Arrondir au dixième.
$\quad$
On considère la fonction seuil ci-dessous :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil():}\\
\hspace{1cm}\text{t=0}\\
\hspace{1cm}\text{puissance=120}\\
\hspace{1cm}\text{while puissance>=60:}\\
\hspace{2cm}\text{t=t+0.1}\\
\hspace{2cm}\text{puissance=120*exp(-0.14*t)}\\
\hspace{1cm}\text{return t}\\
\hline
\end{array}$$
Que renvoie cette fonction $\text{seuil()}$?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$f(t)$ est du type $k\e^{at+b}$ pour tout réel $t$.
La fonction $f$ est donc dérivable sur $[0;+\infty[$.
Pour tout $t\pg 0$ on a :
$\begin{align*} f'(t)&=120\times (-0,14)\e^{-0,14t}\\
&=-16,8\e^{-0,14t}\end{align*}$
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent, pour tout $t\pg 0$ on a $f'(t)<0$.
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

Cela signifie donc que la puissance du son diminue avec le temps.
$\quad$
Trois secondes après avoir pincé la corde
$\begin{align*}f(3)&=120\e^{-0,14\times 3}\\
&=120\e^{-0,42}\\
&\approx 78,8\end{align*}$
La puissance du son sera d’environ $78,8$ watts .
$\quad$
Cette fonction renvoie le temps nécessaire en seconde pour que la puissance du son soit strictement inférieure à $60$ watts.
Or $f(4.9) \approx 60,43$ et $f(5)\approx 59,59$.
La fonction renvoie donc la valeur $5$.
$\quad$
Remarque : L’énoncé original de cette fonction était :$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil():}\\
\hspace{1cm}\text{t=0}\\
\hspace{1cm}\text{puissance=120}\\
\hspace{1cm}\text{while puissance<=60:}\\
\hspace{2cm}\text{t=t+0.1}\\
\hspace{2cm}\text{puissance=120*exp(-0.14*t)}\\
\hspace{1cm}\text{return t}\\
\hline
\end{array}$$
Cette fonction renvoie $0$ puisqu’on ne rentre jamais dans la boucle while.
Cette fonction nécessite de plus au moins l’importation, en amont, de la fonction exp de la bibliothèque math de Python pour fonctionner.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée, cependant des traces de recherche au brouillon peuvent aider à trouver la bonne réponse. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, l’expression $\e^x\times \e^{x+2}$ est égale à :

a. $\e^{2x+2}$
b. $\e^{x^2+2}$
c. $\e^{\frac{x}{x+2}}$
d. $\e^{x^2+2x}$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \e^x\times \e^{x+2}&=\e^{x+x+2}\\
&=\e^{2x+2}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $g$ une fonction définie et dérivable en $1$. Dans un repère du plan, une équation de la tangente à la courbe de la fonction $g$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $y=g(1)\times (x-1)-g'(1)$
b. $y=g'(1)\times (x-1)+g(1)$
c. $y=g'(1)\times (x+1)-g(1)$
d. $y=g(1)\times (x+1)+g'(1)$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation de la tangente à la courbe de la fonction $g$ au point d’abscisse $1$ est $y=g'(1)\times (x-1)+g(1)$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Le plan est muni d’un repère $\Oij$. On considère la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vec{u}(4 ; 7)$ et passant par le point $A(-2 ; 3)$. Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est :

a. $-7x+4y-26=0$
b. $4x+7y-13=0$
c. $-7x+4y+26=0$
d. $4x-7y+29=0$

$\quad$

Correction Question 3

Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}(4 ; 7)$.
Une équation cartésienne de $(d)$ est donc de la forme $7x-4y+c=0$.
Le point $A(-2;3)$ appartient à la droite.
Par conséquent $-14-12+c=0 \ssi c=26$
Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est donc $7x-4y+26=0$ ou encore $-7x+4y-26=0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 4

$t$ est un réel. On sait que $\cos(t)=\dfrac{2}{3}$. Alors $\cos(t+4\pi)+\cos(-t)$ est égal à :

a. $-\dfrac{4}{3}$
b. $0$
c. $\dfrac{4}{3}$
d. $\dfrac{2}{3}$

$\quad$

Correction Question 4

$\cos(t)=\dfrac{2}{3}$ donc $\cos(-t)=\dfrac{2}{3}$
et
$\begin{align*} \cos(t+4\pi)&=\cos(t+2\times 2\pi)\\
&=\cos(t) \\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
Ainsi $\cos(t+4\pi)+\cos(-t)=\dfrac{4}{3}$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère, dans un repère du plan, la parabole $(P)$ d’équation :
$y = -x^2+6x-9$. La parabole $(P)$ admet :

a. aucun point d’intersection avec l’axe des abscisses
b. un seul point d’intersection avec l’axe des abscisses
c. deux points d’intersection avec l’axe des abscisses
d. trois points d’intersection avec l’axe des abscisses

$\quad$

Correction Question 5

On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*} -x^2+6x-9=0 &\ssi x^2-6x+9=0 \\
&\ssi (x-3)^2=0\\
&\ssi x=3\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Dans cet exercice, les distances sont exprimées en mètres.
On considère un rectangle $ABCD$ d’aire $49$ m$^2$ tel que $DC=x$ et $BC=y$.
On admet que les nombres $x$ et $y$ sont strictement positifs.

On souhaite déterminer les dimensions $x$ et $y$ pour que le périmètre de ce rectangle soit minimal.

a. Montrer que le périmètre, en mètres, du rectangle $ABCD$ est égal à $2x+\dfrac{98}{x}$.
$\quad$
b. Calculer ce périmètre pour $x = 10$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=2x+\dfrac{98}{x}$.
On admet que $x$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout $x>0$, $$f'(x)=\dfrac{2x^2-98}{x^2}$$
$\quad$
Déterminer le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
En déduire les dimensions du rectangle d’aire $49$ m² dont le périmètre est minimal.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. L’aire du rectangle est égale d’une part à $xy$ et d’autre part à $49$ m$^2$.
Par conséquent $xy=49 \ssi y=\dfrac{49}{x}$.
Le périmètre du rectangle est :
$\begin{align*} P&=2(x+y)\\
&=2x+2y\\
&=2x+\dfrac{98}{x}\end{align*}$.
$\quad$
b. Si $x=10$ alors le périmètre vaut $2\times 10+\dfrac{98}{10}=29,8$ m.
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2-\dfrac{98}{x^2} \\
&=\dfrac{2x^2-98}{x^2}\end{align*}$
$\quad$
$x^2>0$ sur $]0;+\infty[$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x^2-98$.
Or :
$\begin{align*} 2x^2-98&=2\left(x^2-49\right)\\
&=2(x-7)(x+7)\end{align*}$
Sur $]0;+\infty[$ on a $2(x+7)>0$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-7$.
$x-7=0 \ssi x=7$ et $x-7>0 \ssi x>7$
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

$\quad$
Le périmètre du rectangle d’aire $49$ m$^2$ est minimal quand $x=7$. Il s’agit alors d’un carré de côté $7$ m.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ par $f(x)=(ax+b)\e^{-0,1x}$ où $a$ et $b$ sont des réels fixés.
La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous, dans un repère orthogonal.

On a également représenté la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point $A(0 ; 5)$.
On admet que cette tangente $T$ passe par le point $B(4 ; 19)$.

En exprimant $f(0)$, déterminer la valeur de $b$.
$\quad$
a. À l’aide des coordonnées des points $A$ et $B$, déterminer une équation de la droite $T$.
$\quad$
b. Exprimer, pour tout réel $x$, $f'(x)$ en fonction de $x$ et de $a$ et en déduire que pour tout réel $x$, $f(x)=(4x+5)\e^{-0,1x}$
$\quad$
On souhaite déterminer le maximum de la fonction $f$ sur $\R$.
a. Montrer que pour tout $x\in\R$, $f'(x)=(-0,4x+3,5)\e^{-0,1x}$.
$\quad$
b. Déterminer les variations de $f$ sur $\R$ et en déduire le maximum de $f$ sur $\R$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*}f(0)=b\e^0 \\
&=b\end{align*}$
Le point $A(0;5)$ appartient à $\mathcal{C}_f$.
Donc $f(0)=5$. Par conséquent $b=5$.
$\quad$
a. Les points $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. Une équation de de la droite $T$ est donc de la forme $y=mx+p$.
On a :
$\begin{align*} m&=\dfrac{19-5}{4-0}\\
&=3,5\end{align*}$
Elle passe par le point $A(0;5)$ donc $p=5$.
Une équation de $T$ est donc $y=3,5x+5$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=a\e^{-0,1x}+(ax+b)\times \left(-0,1\e^{-0,1x}\right) \\
&=(a-0,1ax-0,1b)\e^{-0,1x}\end{align*}$
$f'(0)$ est le coefficient directeur de $T$ donc $f'(0)=3,5$.
Mais $f'(0)=a-0,1b$.
D’après la question 1. on a $b=5$.
Par conséquent $a-0,5=3,5 \ssi a=4$.
On en déduit donc que, pour tout réel $x$ on a $f(x)=(4x+5)\e^{-0,1x}$.
$\quad$
a. D’après la question 2.b. on a donc :
$\begin{align*} f'(x)&=(a-0,1ax-0,1b)\e^{-0,1x} \\
&=(4-0,4x-0,5)\e^{-0,1x} \\
&=(3,5-0,4x)\e^{-0,1x}\end{align*}$
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $3,5-0,4x$.
$3,5-0,4x=0 \ssi -0,4x=-3,5 \ssi x=8,75$
$3,5-0,4x>0\ssi -0,4x>-3,5 \ssi x<8,75$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;8,75]$ et strictement décroissante sur $[8,75;+\infty[$.
Elle admet un maximum qui est $f(8,75)=40\e^{-0,875}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique chaque jour $x$ tonnes d’un produit. Le coût total mensuel, en milliers d’euros, pour produire chaque jour $x$ tonnes de ce produit est modélisé par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0;10]$ par : $$C(x)=(5x-2)\e^{-0,2x}+2$$
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_C$ de la fonction $C$ dans un repère.

Par lecture graphique, donner une estimation de la quantité journalière de produit pour laquelle le coût total mensuel est maximal.
$\quad$
Le coût marginal $C_m$, qui correspond au supplément de coût total pour la production d’une unité de valeur supplémentaire, est assimilé à la dérivée de la fonction coût total.
a. Démontrer que le coût marginal $C_m$ est défini sur l’intervalle $[0;10]$ par : $$C_m(x)=(-x+5,4)\e^{-0,2x}$$
$\quad$
b. Pour quelle quantité de produit fabriqué par jour le coût marginal est-il négatif ?
$\quad$
c. Donner le tableau de variations de la fonction $C$ sur l’intervalle $[0;10]$.
$\quad$
d. Déterminer le coût total mensuel maximal sur l’intervalle considéré. On donnera la valeur arrondie à l’euro près.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Graphiquement le le coût total mensuel est maximal quand l’entreprise fabrique environ $5,5$ tonnes du produit.
$\quad$
a. La fonction $C$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;10]$ on a :
$\begin{align*} C_m(x)&=C'(x) \\
&=5\e^{-0,2x}+(5x-2)\times \left(-0,2\e^{-0,2x}\right) \\
&=(5-0,2\times 5x+2\times 0,2)\e^{-0,2x}\\
&=(-x+5,4)\e^{-0,2x}\end{align*}$
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $C_m(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x+5,4$.
$-x+5,4=0 \ssi x=5,4$
$-x+5,4<0 \ssi x>5,4$
Le coût marginal est négatif quand l’entreprise fabrique entre $5,4$ et $10$ tonnes de produit.
$\quad$
c. On obtient le tableau de variations suivant :

Avec $C(5,4)=25\e^{-1,08}+2\approx 10,490$
$C(10)=48\e^{-2}+2\approx 8,496$
$\quad$
d. Le coût total mensuel maximal est atteint quand l’entreprise fabrique $5,4$ tonnes de produit et vaut environ $10~490$ euros.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Des pucerons envahissent une roseraie.
On introduit alors des coccinelles, prédatrices des pucerons, à l’instant $t=0$, et on s’intéresse à l’évolution du nombre de pucerons à partir de cet instant et sur une période de $20$ jours.

Partie A :

Dans le repère ci-dessous, on a tracé :

La courbe $\mathcal{C}$ représentant le nombre de milliers de pucerons en fonction du nombre de jours écoulés depuis l’introduction des coccinelles.
La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$ passe par les points $A(0 ; 2,1)$ et $B(2 ; 4,3)$.

Déterminer par lecture graphique le nombre de pucerons à l’instant où l’on introduit les coccinelles puis le nombre maximal de pucerons sur la période de $20$ jours.
$\quad$
On assimile la vitesse de prolifération des pucerons à l’instant $t$ au nombre dérivé $f'(t)$.
Déterminer graphiquement la vitesse de prolifération des pucerons à l’instant $t=0$.
$\quad$

Partie B :

On modélise l’évolution du nombre de pucerons par la fonction $f$ définie, pour tout $t$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 20]$, par : $$f(t)=0,003t^3-0,12t^2+1,1t+2,1$$
où $t$ représente le nombre de jours écoulés depuis l’introduction des coccinelles et $f(t)$ le nombre de pucerons en milliers.

Déterminer $f'(t)$ pour tout $t$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 20]$ où $f’$ désigne la dérivée de la fonction $f$.
$\quad$
Dresser le tableau de signes de $f'(t)$ sur l’intervalle $[0 ; 20]$.
$\quad$
En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 20]$. Préciser les images des valeurs de $t$ apparaissant dans le tableau.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

À l’instant où l’on introduit les coccinelles il y a $2~100$ pucerons puisque le point $A(0 ; 2,1)$ appartient à la courbe.
Au maximum, il y avait environ $5~000$ pucerons sur cette période de $20$ jours.
$\quad$
$f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$.
Ainsi :
$\begin{align*} f'(0)&=\dfrac{2,1-4,3}{0-2} \\
&=1,1\end{align*}$
La vitesse de prolifération des pucerons à l’instant $t=0$ était de $1~100$ pucerons par jour.
$\quad$

Partie B

La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;20]$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;20]$ on a :
$\begin{align*} f'(t)&=0,003 \times 3t^2-0,12\times 2t+1,1 \\
&=0,009t^2-0,24t+1,1\end{align*}$
$\quad$
$f'(t)$ est un polynôme du second degré.
Son discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=(-0,24)^2-4\times 0,009\times 1,1\\
&=0,018\\
&>0\end{align*}$
Ses racines sont :
$\begin{align*} t_1&=\dfrac{0,24-\sqrt{0,018}}{0,018}\\
&=\dfrac{40-10\sqrt{5}}{3}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} t_2&=\dfrac{0,24+\sqrt{0,018}}{0,018}\\
&=\dfrac{40+10\sqrt{5}}{3}\end{align*}$
On a $t_1\in[0;20]$ et $t_2\notin [0;20]$
Le coefficient principal est $a=0,009>0$.
On obtient le tableau de signes et de variations suivant :

avec $f\left(t_1\right) \approx 5,03$
$\quad$
voir tableau précédent$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction définie sur l’ensemble $\R$ des nombre réels par $f(x)=3x^3-5x^2+2$.
On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
Donner l’expression de $f'(x)$, pour tout nombre réel $x$.
$\quad$
On note $T$ la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $-1$.
Donner l’équation réduite de la tangente $T$.
$\quad$
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=3x^3-4x+1$.
On note $C_g$ sa courbe représentative dans le même repère que la courbe $C_f$.
a. Montrer que pour tout nombre réel $x$,$f(x)-g(x)=-5x^2+4x+1$.
$\quad$
b. Étudier sur $\R$ le signe de $f(x)-g(x)$.
$\quad$
c. En déduire pour quelles valeurs de $x$ la courbe $C_f$ est au-dessus de la courbe $C_g$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin {align*} f'(x)&=3\times 3x^2-5\times 2x\\
&=9x^2-10x\end{align*}$
$\quad$
Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(-1)\left(x-(-1)\right)+f(-1)$
Or $f(-1)=-6$ et $f'(-1)=19$
Une équation de $T$ est donc $y=19(x+1)-6$ soit $y=19x+13$.
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(x)-g(x)&=3x^3-5x^2+2-\left(3x^3-4x+1\right) \\
&=3x^3-5x^2+2-3x^3+4x-1\\
&=-5x^2+4x+1\end{align*}$
$\quad$
b. $-5x^2+4x+1$ est un polynôme du second degré.
Son discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=4^2-4\times (-5)\times 1\\
&=36\\
&>0\end{align*}$
Ses deux racines réelles sont :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{36}}{-10}\\
&=1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{36}}{-10}\\
&=-\dfrac{1}{5}\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=-5<0$.
Par conséquent :
– $f(x)-g(x)>0$ sur $\left]-\dfrac{1}{5};1\right[$
– $f(x)-g(x)<0$ sur $\left]-\infty;-\dfrac{1}{5}\right[\cup]1;+\infty[$
– $f(x)-g(x)=0$ si $x\in \left\{-\dfrac{1}{5};1\right\}$
$\quad$
c. Par conséquent $C_G$ est au-dessus de $C_f$ sur $\left]-\infty;-\dfrac{1}{5}\right[\cup]1;+\infty[$ et au-dessous sur $\left]-\dfrac{1}{5};1\right[$. Les abscisses des points d’intersection des deux courbes sont $-\dfrac{1}{5}$ et $1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit la fonction $p$ définie sur $\R$ par $p(x)=-x^3+3x^2+9x+5$.

Partie A :

Quelle est l’image de $5$ par $p$ ?
$\quad$
Montrer que pour tout réel $x$, $p(x)=(5-x)\left(x^2+2x+1\right)$.
$\quad$
En déduire le signe de $p(x)$ sur $\R$.
$\quad$

Partie B :

Déterminer la fonction dérivée de la fonction $p$.
$\quad$
Démontrer que la fonction $p$ admet un maximum sur l’intervalle $[0,5]$ dont on précisera la valeur.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

On a :
$\begin{align*} p(5)&=-5^3+3\times 5^2+9\times 5+5 \\
&=0\end{align*}$
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} &(5-x)\left(x^2+2x+1\right) \\
=~& 5x^2+10x+5-x^3-2x^2-x\\
=~& -x^3+3x^2+9x+5\\
=~& p(x)\end{align*}$
$\quad$
Par conséquent $p(x)=(5-x)(x+1)^2$
Un carré est toujours positif.
Ainsi $p(x)$ est du signe de $5-x$
Or $5-x>0 \ssi x<5$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $p(x)=0 \ssi 5-x=0$ ou $x+1=0$
Ainsi $p(x)=0 \ssi x=5$ ou $x=-1$.
Pour résumé :
– $p(x)<0$ si $x\in[5;+\infty[$
– $p(-1)=p(5)=0$
– $p(x)>0$ si $x\in]-\infty;-1[\cup]-1;5[$
$\quad$

Partie B

La fonction $p$ est dérivable sur $\R$ en tant que polynôme.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} p'(x)&=-3x^2+3\times 2x+9 \\
&=-3x^2+6x+9\end{align*}$
$\quad$
On étudie le signe de $p'(x)$.
Son discriminant est :
$\begin{align*} \Delta &=6^2-4\times (-3)\times 9\\
&=144\end{align*}$
Les deux racines réelles sont :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-6-\sqrt{144}}{-6}\\
&=3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-6+\sqrt{144}}{-6}\\
&=-1\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=-3<0$.
Par conséquent : $p'(x)>0$ sur $[0;3[$ et $p'(x)<0$ sur $]3;5]$.
La fonction $p$ admet donc un maximum atteint pour $x=3$ et sa valeur est $p(3)=32$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Partie A

Étudier sur $\R$ le signe de $P(x)=-10x^2-40x+120$.
$\quad$

Partie B

On se place dans un repère orthonormé. La courbe $H$ représentée sur le graphique ci -dessous est l’ensemble des points de l’hyperbole d’équation : $$y=\dfrac{10x+4}{x+2}$$
avec $x$ appartenant à l’intervalle $[0;8]$.

Pour toute abscisse $x$ dans l’intervalle $[0; 8]$, on construit le rectangle $ABDE$ comme indiqué sur la figure. On donne les informations suivantes :

$A$ et $B$ sont sur l’axe des abscisses ;
$A$ est d’abscisse $x$ ;
$B$ et $D$ ont pour abscisse $8$ ;
$E$ appartient à la courbe $H$ ;
$D$ et $E$ ont la même ordonnée.

L’objectif de ce problème est de déterminer la ou les valeurs éventuelles $x$ de l’intervalle $[0; 8]$ correspondant à un rectangle $ABDE$ d’aire maximale.

Déterminer l’aire du rectangle $ABDE$ lorsque $x = 0$.
$\quad$
Déterminer l’aire du rectangle $ABDE$ lorsque $x = 4$.
$\quad$

On définit la fonction $f$ qui à tout réel $x$ de $[0; 8]$, associe l’aire du rectangle $ABDE$.
On admet que : $$f(x)=\dfrac{-10x^2+76x+32}{x+2}$$

Répondre au problème posé.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

$P(x)$ est un polynôme du second degré.
Son discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=(-40)^2-4\times (-10)\times 120\\
&=6~400\\
&>0\end{align*}$
Il possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{40-\sqrt{6~400}}{-20} \\
&=2\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{40+\sqrt{6~400}}{-20} \\
&=-6\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=-10<0$.
Par conséquent :

$P(2)=P(-6)=0$;
$P(x)<0$ sur $]-\infty;-6[\cup]2;+\infty[$;
$P(x)>0$ sur $]-6;2[$.
$\quad$

Partie B

Si $x=0$ alors l’ordonnée du point $E$ est $\dfrac{4}{2}=2$.
L’aire du rectangle $ABDE$ est donc égale à $8\times 2=16$.
$\quad$
Si $x=4$ alors l’ordonnée du point $E$ est $\dfrac{10\times 4+4}{4+2}=\dfrac{22}{3}$.
L’aire du rectangle $ABDE$ est donc égale à $(8-4)\times \dfrac{22}{3}=\dfrac{88}{3}$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;8]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;8]$.
Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;8]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{(-10\times 2x+76)(x+2)-\left(-10x^2+76x+32\right)\times 1}{(x+2)^2} \\
&=\dfrac{-20x^2-40x+76x+152+10x^2-76x-32}{(x+2)^2}\\
&=\dfrac{-10x^2-40x+120}{(x+2)^2}\\
&=\dfrac{P(x)}{(x+2)^2}\end{align*}$
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $P(x)$.
Par conséquent, la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;2]$ et décroissante sur l’intervalle $[2;8]$.
L’aire du rectangle $ABDE$ est donc maximale quand $x=2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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