Géométrie dans l’espace

E3C – Séries technologiques – Géométrie – Janvier 2020

E3C – Géométrie

Séries technologiques

Un designer veut réaliser une boite originale pour un bijoutier. Une vue de la boite ouverte est présentée ci-dessous.

 

Il décide de partir d’un cube $ABCDEFGH$ dont une partie est représentée en annexe.

  1. Terminer la représentation du cube en perspective cavalière en annexe (à remettre avec la copie) en traçant en pointillés les arêtes cachées. Le plan $(ABE)$ est un plan de face.
    $\quad$
  2. On se place dans le repère orthonormé de l’espace $(A,B,D,E)$. Dans ce repère on a $A(0,0,0)$ et $G(1,1,1)$. Donner les coordonnées des autres sommets du cube dans ce repère.
    $\quad$
  3. On considère les points $I\left(0;\dfrac{2}{3};1\right), J\left(0;0;\dfrac{2}{3}\right)$ et $K\left(1;0;\dfrac{1}{6}\right)$.
    Placer les points $I$, $J$ et $K$ sur la figure de l’annexe.
    $\quad$
  4. Tracer la section du cube par le plan $(IJK)$. Quelle est la nature de cette section ?
    $\quad$
  5. On suppose que $[JK]$ représente la charnière de la boîte et que l’unité de longueur $AB$ vaut $6$ cm.
    a. Calculer la longueur $JK$ de la charnière de la boîte.
    $\quad$
    b. Quelle propriété de la perspective cavalière permet de vérifier la
    cohérence de votre résultat sur la figure de l’annexe ? Conclure.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient la figure suivante :

    $\quad$

  2. On a $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $E(0,0,1)$, $F(1,0,1)$ et $H(0,1,1)$.
    $\quad$
  3. On obtient la figure suivante :


    $\quad$

  4. On obtient la section suivante :

    La section est un pentagone.
    $\quad$

  5. a. On appelle $L$ le point de coordonnées $\left(0;0;\dfrac{1}{6}\right)$.
    Le triangle $JKL$ est alors rectangle en $L$.
    On a $JL=\dfrac{1}{2}\times 6=3$ cm et $LK=6$ cm.
    D’après le théorème de Pythagore on a :
    $\begin{align*} JK^2&=LK^2+LJ^2 \\
    &=36+9\\
    &=45\end{align*}$
    Donc $JK=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ cm.
    $\quad$
    b. On vérifie que dans les longueurs sont conservées dans le plan de face.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Géométrie repérée – Janvier 2020

E3C – Géométrie repérée

Séries technologiques

La figure donnée en annexe à rendre avec la copie représente une pièce d’une maison.

On considère le repère orthonormé $( O , I , J , K )$ avec $OI = OJ = OK = 1$ unité de longueur $= 35$ cm.

  1. Déterminer la superficie au sol de cette pièce en cm$^2$.
    $\quad$
  2. Le mur $(OIK)$ contient une fenêtre carrée $MNPQ$ avec $M( 6 ; 0 ; 3 )$.
    Donner les coordonnées des points $N$, $P$ et $Q$.
    $\quad$
  3. On place dans cette pièce un bureau contre le mur $(OJK)$ dont le plateau est un rectangle de sommet $A ( 0 ; 6 ; 2 )$ , $B ( 0 ; 10 ; 2 )$ , $C ( 2 ; 10 ; 2 )$ et $D ( 2 ; 6 ; 2 )$.
    Dessiner le plateau de ce bureau sur la figure.
    $\quad$
  4. Le point $E ( 1 ; 8 ; 6 )$ matérialise l’emplacement d’un éclairage.
    Cet éclairage est-il situé au-dessus du centre de la table ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  5. Des rayons lumineux traversent la fenêtre jusqu’au sol.
    Le point $q$ représente le projeté sur le sol du point $Q$ parallèlement au rayon lumineux $(Qq)$.
    Construire les projetés des points $M$, $N$ et $P$ sur le sol puis tracer l’ombre de la fenêtre au sol.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La surface au sol est :
    $\begin{align*} S&=(8\times 35) \times (12\times 35)\\
    &=117~600 \text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $N(3;0;3)$, $P(3;0;6)$ et $Q(6,0,6)$.
    $\quad$
  3. Voir figure plus bas
    Pour placer le point $D$ on trace la parallèle à $(OI)$ et on reporte la longueur $2OI$. On procède de la même manière pour placer le point $C$.
    $\quad$
  4. Le centre de la table est le milieu de $[AC]$.
    Il a pour coordonnées $\left(\dfrac{0+2}{2};\dfrac{6+10}{2};\dfrac{2+2}{2}\right)$ soit $(1;8;2)$.
    Les deux premières coordonnées du point $E$ et du milieu de la table sont donc égales.
    Ainsi l’éclairage est bien situé au-dessus du centre de la table.
    $\quad$
  5. On obtient la figure suivante:

    On utilise le fait que les points de la droite $(OI)$ sont leur propre ombre. On trace ensuite la droite $(Qq)$, sa parallèle passant par $M$. L’image de la droite $(QM)$ passe par le projeté de $Q$ sur $(OI)$ et par $q$. On obtient ainsi le point $m$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Géométrie repérée – Janvier 2020

E3C – Géométrie repérée

Séries technologiques

On considère le modèle d’enceinte ci-dessous (Le Haut-Parleur Bluetooth Cube) dont les dimensions en cm sont : $$4,9 \times 4,9 \times 5,5$$
L’objectif est d’étudier le bouton de cette enceinte.

Cette enceinte est modélisée par un pavé droit $ABCDEFGH$ représenté sur la figure ci-dessus et tel que $\boldsymbol{AB=4,9, AD=4,9}$ et $\boldsymbol{AE=5,5}$.

On considère alors les points $I$, $J$ et $K$ respectivement situés sur les arêtes $[AB], [AD]$ et $[AE]$ tels que $AI=AJ=AK=1$. On munit ainsi l’espace d’un repère orthonormé $\left(A,\vect{AI},\vect{AJ},\vect{AK}\right)$, repère représenté dans l’Annexe 1 à joindre avec la copie.
Le bouton étudié y est représenté par le triangle $MNP$ de coordonnées $M(4,9; 3,7; 5,5)$, $N(3,7; 4,9; 5,5)$ et $P(4,9; 4,9; 4,4)$.

  1. Placer $M$, $N$ et $P$ sur la figure et colorier en rouge la section du cube par $MNP$.
    $\quad$
  2. Le bouton est conforme si chacune de ses dimensions mesure au moins $1$ cm.
    a. Calculer les longueurs $MN$, $MP$ et $NP$.
    $\quad$
    b. Le bouton est-il conforme ?
    $\quad$
  3. On considère un autre modèle d’enceinte constituée :
    – d’un cube de $8,1$cm de côté ;
    – d’un bouton en forme de croix, centrée sur la face supérieure, constituée de $2$ rectangles dont les côtés sont parallèles aux axes et mesurent chacun $2,2 \times 6,6$ cm ;
    – de hauts parleurs sur les faces latérales, représentées par des cercles de rayon $3,3$ cm, centrés sur chacune des faces.
    L’objectif de cette partie est de compléter la représentation en perspective parallèle de l’enceinte, représentation commencée dans l’Annexe 2 et à rendre avec la copie.
    Terminer la construction de la croix sur la face supérieure.
    $\quad$
  4. Un des hauts parleurs est représenté en Annexe 2. Représenter le haut-parleur de la
    deuxième face latérale visible. (On a déjà représenté un carré circonscrit au cercle).
    $\quad$

Annexe 1

Annexe 2

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient la figure suivante :

    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} MN&=\sqrt{(3,7-4,9)^2+(4,9-3,7)^2+(5,5-5,5)^2}\\
    &=\sqrt{2,88}\\
    &>1\end{align*}$
    $\begin{align*} MP&=\sqrt{(4,9-4,9)^2+(4,9-3,7)^2+(5,5-4,4)^2} \\
    &=\sqrt{2,65}\\
    &>1\end{align*}$
    $\begin{align*} NP&=\sqrt{(4,9-3,7)^2+(4,9-4,9)^2+(4,4-5,5)^2}\\
    &=\sqrt{2,65}\\
    &>1\end{align*}$
    $\quad$
    b Les trois longueurs sont bien supérieures à $1$ cm.
    Le bouton est donc conforme.
    $\quad$
  3. On obtient la figure suivante :

    $\quad$
  4. On obtient la figure suivante :
    $\quad$

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$\quad$

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