Géométrie

E3C – Séries technologiques – Géométrie – Janvier 2020

E3C – Géométrie

Séries technologiques

Un designer veut réaliser une boite originale pour un bijoutier. Une vue de la boite ouverte est présentée ci-dessous.

 

Il décide de partir d’un cube $ABCDEFGH$ dont une partie est représentée en annexe.

  1. Terminer la représentation du cube en perspective cavalière en annexe (à remettre avec la copie) en traçant en pointillés les arêtes cachées. Le plan $(ABE)$ est un plan de face.
    $\quad$
  2. On se place dans le repère orthonormé de l’espace $(A,B,D,E)$. Dans ce repère on a $A(0,0,0)$ et $G(1,1,1)$. Donner les coordonnées des autres sommets du cube dans ce repère.
    $\quad$
  3. On considère les points $I\left(0;\dfrac{2}{3};1\right), J\left(0;0;\dfrac{2}{3}\right)$ et $K\left(1;0;\dfrac{1}{6}\right)$.
    Placer les points $I$, $J$ et $K$ sur la figure de l’annexe.
    $\quad$
  4. Tracer la section du cube par le plan $(IJK)$. Quelle est la nature de cette section ?
    $\quad$
  5. On suppose que $[JK]$ représente la charnière de la boîte et que l’unité de longueur $AB$ vaut $6$ cm.
    a. Calculer la longueur $JK$ de la charnière de la boîte.
    $\quad$
    b. Quelle propriété de la perspective cavalière permet de vérifier la
    cohérence de votre résultat sur la figure de l’annexe ? Conclure.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient la figure suivante :

    $\quad$

  2. On a $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $E(0,0,1)$, $F(1,0,1)$ et $H(0,1,1)$.
    $\quad$
  3. On obtient la figure suivante :


    $\quad$

  4. On obtient la section suivante :

    La section est un pentagone.
    $\quad$

  5. a. On appelle $L$ le point de coordonnées $\left(0;0;\dfrac{1}{6}\right)$.
    Le triangle $JKL$ est alors rectangle en $L$.
    On a $JL=\dfrac{1}{2}\times 6=3$ cm et $LK=6$ cm.
    D’après le théorème de Pythagore on a :
    $\begin{align*} JK^2&=LK^2+LJ^2 \\
    &=36+9\\
    &=45\end{align*}$
    Donc $JK=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ cm.
    $\quad$
    b. On vérifie que dans les longueurs sont conservées dans le plan de face.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Géométrie – Janvier 2020

E3C – Géométrie

Séries technologiques

L’objectif de cet exercice est de représenter en perspective cavalière la sculpture de Victor Vasarely représentée en photo ci-dessous avec uniquement les cercles extérieurs sur chaque face visible.

La figure donnée en annexe, qui est à rendre avec la copie, représente le cube de Vasarely en perspective cavalière sur lequel sont représentées les cercles inscrits des faces $ABFE$ et de $BCGF$.

  1. Sur figure donnée en annexe, on considère le cercle inscrit dans la face $ABFE$.
    Tracer la tangente $(t)$ en $M$ à ce cercle et montrer que $(t)$ et $(BE)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Justifier que $OM=\dfrac{\sqrt{2}}{2}OA$.
    $\quad$
  3. Sur la face $ABCD$, construire le centre $O’$ de la face $ABCD$.
    $\quad$
  4. Le cercle inscrit dans la face $ABCD$ coupe respectivement les segments $[O’D]$, $[O’C]$, $[O’B]$ et $[O’A]$ en $M’$, $N’$, $P’$ et $Q’$.
    En utilisant les résultats établis dans la partie A (note personnelle : il s’agit du texte original !) et en effectuant les mesures nécessaires, construire ces points $M’$, $N’$, $P’$ et $Q’$.
    $\quad$
  5. Tracer ensuite les tangentes au cercle inscrit dans la face $ABCD$ en ces mêmes points en justifiant la construction, puis terminer le tracé de l’ellipse représentant le cercle inscrit dans le carré $ABCD$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient la figure suivante :
    $(t)$ est par définition perpendiculaire au rayon $[OM]$.
    Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires. Donc $[OM]$ et $(BE)$ sont perpendiculaires.
    Par conséquent, $(t)$ et $(BE)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $AEF$ rectangle en $E$ on applique le théorème de Pythagore.
    $AF^2=AE^2+EF^2$.
    $ABFE$ est un carré donc $AE=EF$
    Par conséquent $AF^2=2AE^2$. $AF$ et $AE$ sont des longueurs; elles sont des positives.
    Ainsi $AF=AE\sqrt{2} \ssi AE=\dfrac{1}{\sqrt{2}} AF\ssi AE=\dfrac{\sqrt{2}}{2}AF$
    Or $AF=2AO$ et $AE=2OM$ (car $[OM]$ est un rayon du cercle comme $[OI]$
    Ainsi $2OM=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times 2AO \ssi OM=\dfrac{\sqrt{2}}{2}OA$.
    $\quad$
  3. Voir figure plus bas
    $\quad$
  4. Voir figure plus bas
    On a $O’N’=O’Q’=\dfrac{\sqrt{2}}{2}O’A$ et $O’M’=O’P’=\dfrac{\sqrt{2}}{2}O’D$.
    $\quad$
  5. Les tangentes sont parallèles aux diagonales $[AC]$ et [BD]$.

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$\quad$

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