E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise de recyclage peut produire au maximum $10$ tonnes de plastique recyclé par an. Elle revend la totalité de ce plastique recyclé au prix unitaire de $700$ € la tonne.
On rappelle que :

  • le coût moyen correspondant à la production de $x$ tonnes de plastique recyclé est défini par $C_M(x) = \dfrac{C_T(x)}{x}$, où $C_T(x)$ est le coût total pour la production de $x$ tonnes de plastique recyclé.
  • le coût marginal, noté $C_m(x)$, est le coût induit par la production d’une tonne de plastique recyclé supplémentaire lorsqu’on en a déjà produit $x$ tonnes.

Les courbes représentant les coûts moyen et marginal (en euro) en fonction de la quantité de plastique recyclé produite (en tonne) ainsi que le segment horizontal représentant le prix de vente unitaire sont tracés dans le repère donné en annexe à rendre avec la copie.
Répondre sur la copie aux questions suivantes avec la précision permise par le graphique.

  1. Déterminer le coût moyen issu de la production de $7$ tonnes de plastique recyclé et en déduire le coût total correspondant.
    $\quad$
  2. Quelle est la quantité de plastique recyclé que doit produire l’entreprise pour que le coût moyen soit minimal ? Donner ce coût moyen minimal et en déduire le coût total correspondant.
    $\quad$
  3. Donner le coût induit par la production d’une tonne supplémentaire lorsque l’entreprise a déjà produit $7$ tonnes de plastique recyclé.
    $\quad$

On considère que l’entreprise réalise des bénéfices lorsque le prix de vente unitaire est strictement supérieur au coût moyen.

  1. Déterminer graphiquement la quantité de plastique recyclé que doit produire et vendre l’entreprise pour réaliser des bénéfices.
    $\quad$

On admet que les bénéfices de l’entreprise sont maximum lorsque le coût marginal est égal au prix de vente unitaire.

  1. Déterminer graphiquement la quantité de plastique recyclé que doit produire et vendre l’entreprise pour que les bénéfices soient maximaux.
    $\quad$

Annexe 

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. D’après le graphique, le coût moyen issu de la production de $7$ tonnes de plastique recyclé est de $500$ €.
    Le coût total est donc alors $500\times 7=3~500$ €.
    $\quad$
  2. D’après le graphique, le coût moyen est minimal quand l’entreprise recycle $5$ tonnes de plastique.
    Ce coût minimal est de $400$ €.
    $\quad$
  3. On veut déterminer $C_m(7)$.
    Graphiquement on lit $C_m(7)\approx 1~100$.
    Le coût induit par la production d’une tonne supplémentaire lorsque
    l’entreprise a déjà produit $7$ tonnes de plastique recyclé est environ égal à $1~100$ €.
    $\quad$
  4. Graphiquement, on lit que l’entreprise réalise des bénéfices lorsqu’elle recycle entre $2$ et $9$ tonnes de plastique.
    $\quad$
  5. Graphiquement, on lit que l’entreprise doit produire et vendre $6$ tonnes de plastique pour que les bénéfices soient maximaux.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Soit $f$ une fonction polynôme du second degré, définie sur $\R$ et représentée par la parabole ci-dessous.

  1. Par lecture graphique :
    a. Donner l’image de $0$ par $f$.
    $\quad$
    b. Déterminer les racines de la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Donner le nombre de solutions de l’équation $f(x)=1$.
    $\quad$
  2. Expliquer pourquoi $f(x)$ peut s’écrire sous la forme $2(x+1)(x-2)$.
    $\quad$
  3. Pour trouver un encadrement de la solution de l’équation $f(x)=1$ dans l’intervalle $[2;3]$ on a écrit les fonctions Python ci-dessous.
    $$\begin{array}{|cl|}
    \hline
    1&\text{def f(x):}\\
    2&\quad \text{return 2*(x+1)*(x-2)}\\
    3&\text{def balayage(pas):}\\
    4&\quad \text{x=2}\\
    5&\quad \text{while f(x)<1:}\\
    6&\qquad \text{x=x+pas}\\
    7&\quad \text{return (x-pas,x)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Par exemple, l’appel $\text{balayage(1)}$ renvoie le résultat $(2,3)$:
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    >>>~~\text{balayage(1)}\\
    (2,3)\\
    \hline\end{array}$$
    L’instruction $\text{balayage(0.0001)}$ renvoie le résultat $(2.1583,2.1584)$.
    Que signifie ce résultat?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Graphiquement on lit que $f(0)=-4$.
    $\quad$
    b. Graphiquement les racines de la fonction $f$ sont $-1$ et $2$.
    $\quad$
    c. Graphiquement, l’équation $f(x)=1$ possède deux solutions.
    $\quad$
  2. $-1$ et $2$ semblent être les racines de la fonction du second degré $f$.
    Pour tout réel $x$ on peut donc écrire $f(x)=a\left(x-(-1)\right)(x-2)$ soit $f(x)=a(x+1)(x-2)$.
    Ainsi $f(0)=a\times -2$.
    Or $f(0)=-4$ donc $-2a=-4$ soit $a=2$.
    Par conséquent $f(x)=2(x+1)(x-2)$.
    $\quad$
  3. Cela signifie qu’un encadrement à $0,000~1$ près de la solution de l’équation $f(x)=1$ dans l’intervalle $[2;3]$ est $[2,158~3;2,158~4]$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Fraction irréductible égale à $\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}$.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\begin{align*}\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}&=\dfrac{10}{15}-\dfrac{6}{15}\\
    &=\dfrac{4}{15}\end{align*}$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Compléter $\dfrac{14}{3}-\ldots=2$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $2=\dfrac{6}{3}$ on a donc $\dfrac{14}{3}-2=\dfrac{14}{3}-\dfrac{6}{3}=\dfrac{8}{3}$
    Ainsi $\dfrac{14}{3}-\dfrac{8}{3}=2$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Compléter $(2x)^3=\ldots x^3$
    $\quad$
    Correction Question 3

    $(2x)^3=2^3x^3=8x^3$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Compléter : Augmenter une quantité de $14\%$ c’est la multiplier par $\ldots$
    $\quad$
    Correction Question 4

    Augmenter une quantité de $14\%$ c’est la multiplier par $1+\dfrac{14}{100}=1,14$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Après augmentation d’un prix de $50\%$ on obtient $36$ €. Quel est ce prix?
    $\quad$
    Correction Question 5

    On appelle $P$ le prix cherché.
    On a donc $x\times \left(1+\dfrac{50}{100}\right)=36$
    Soit $1,5x=36$
    et donc $x=\dfrac{36}{1,5}$
    C’est-à-dire $x=24$ (diviser par $1,5$ revient à diviser par $3$ puis multiplier par $2$)
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  6. Factoriser $3(x+7)-(x+1)(x+7)$
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} 3(x+7)-(x+1)(x+7)&=(x+7)\left[3-(x+1)\right] \\
    &=(x+7)(3-x-1)\\
    &=(x+7)(2-x)\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Voici la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $[-1;3]$.

Compléter par lecture graphique.

  1. $f(2)=$
    $\quad$
    Correction Question 7

    $f(2)=0$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Nombre d’antécédents de $-0,2$ par $f$ :
    $\quad$
    Correction Question 7

    Graphiquement, il semblerait que la droite d’équation $y=-0,2$ coupe $3$ fois la courbe représentant la fonction $f$.
    $-0,2$ semble donc avoir $3$ antécédents par $f$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

On considère la droite $(D)$ ci-dessous.


Compléter par lecture graphique

  1. Équation réduite de $(D)$ : $\ldots$
    $\quad$
    Correction Question 9

    Graphiquement, il semblerait que le coefficient directeur de la droite soit $\dfrac{1}{2}$ et son ordonnée à l’origine $1$.
    Une équation réduite de $(D)$ semble donc être $y=\dfrac{1}{2}x+1$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Si $A$ est le point de $(D)$ d’ordonnée $3$, son abscisse est : $\ldots$
    $\quad$
    Correction Question 10

    L’ordonnée augmente d’une unité quand l’abscisse augmente de deux unités.
    L’abscisse du point $A$ est donc $4$.
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. $0,5\%$ de $12~641$ €
    $\quad$
    Correction Question 1

    $1\%$ de $12~641$ est égale à $126,41$€
    Donc $0,5\%$ de $12~641$ est égale à $63,205$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Développer $(2x+3)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} (2x+3)^2&=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2\\
    &=4x^2+12x+9\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Donner un antécédent de $0$ par $f:x\mapsto (x+3)(x-1)$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    On veut donc résoudre l’équation $(x+3)(x-1)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $(x+3)(x-1)=0 \ssi x+3=0$ ou $x-1=0$.
    $\ssi x=-3$ ou $x=1$
    Les antécédents de $0$ par la fonction $f$ sont donc $-3$ et $1$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Résoudre l’inéquation : $3-2x\pg 0$
    $\quad$
    Correction Exercice 4

    $3-2x\pg 0\ssi -2x\pg -3 \ssi x\pp \dfrac{3}{2}$
    L’ensemble solution est donc $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Soit $f(x)=ax^2$ où $a$ est un nombre réel.
    Donner la valeur de $a$ sachant que $f(-2)=10$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $f(-2)=4a$
    Ainsi $f(-2)=10 \ssi 4a=10 \ssi a=\dfrac{5}{2}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$
  6. Dans une classe de première, $42 \%$ des élèves sont des garçons et parmi eux, $4 \%$ sont internes.
    Donner le pourcentage de garçons internes.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\dfrac{42}{100}\times \dfrac{4}{100}=\dfrac{168}{10~000}=1,68\%$
    Le pourcentage de garçons internes est donc égale à $1,68\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. La population d’une ville de $1~520$ habitants baisse chaque année de $10\ %$.
    Donner l’arrondi à l’unité du nombre d’habitants au bout de $3$ ans.
    $\quad$
    Correction Question 7

    Au bout d’un an la population a baissé de $152$ habitants. Il reste donc $1~368$ habitants.
    La deuxième année la population a baissé d’environ $137$ habitants. Il reste donc $1231$ habitants
    La troisième année la population a baisse d’environ $123$ habitants. Il reste donc $1~108$ habitants
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-6 ; 9]$. Cette fonction est celle qui est considérée dans les questions 8 à 10.
La droite passant par les points $A(0 ; -2)$ et $B(5 ; 0)$ est la représentation graphique d’une fonction affine $g$ définie sur $\R$.
Remarque : l’ordonnée du point $B$ a été modifiée pour correspondre à ce qui est donné sur le graphique.

 

  1. $f(-5)$ est égal à :
    $\quad$
    Correction Question 8

    D’après le graphique $f(-5)=1$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Le nombre de solutions de l’équation $f(x)=-2$ est :
    $\quad$
    Correction Question 9

    La droite d’équation $y=-2$ coupe la courbe représentant la fonction $f$ en trois points.
    L’équation $f(x)=-2$ possède donc $3$ solutions.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. $f$ est décroissante sur les intervalles :
    $\quad$
    Correction Question 10

    D’après le graphique, $f$ est décroissante sur les intervalles $[-5;-2]$ et $[5;9]$.
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Exprimer en kilogrammes $\dfrac{5}{6}$ de $360$ kg.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\dfrac{5}{6}\times 360=5\times 60=300$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Développer $(2x+3)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} (2x+3)^2&=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2\\
    &=4x^2+12x+9\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
    Remarque : Dans l’énoncé original il n’y avait pas le $^2$.
    $\quad$
  3. Donner un antécédent de $0$ par $f:x\mapsto (x+3)(x-1)$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    On veut donc résoudre l’équation $(x+3)(x-1)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $(x+3)(x-1)=0 \ssi x+3=0$ ou $x-1=0$.
    $\ssi x=-3$ ou $x=1$
    Les antécédents de $0$ par la fonction $f$ sont donc $-3$ et $1$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Résoudre l’inéquation : $3-2x\pg 0$
    $\quad$
    Correction Exercice 4

    $3-2x\pg 0\ssi -2x\pg -3 \ssi x\pp \dfrac{3}{2}$
    L’ensemble solution est donc $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Soit $f(x)=ax^2$ où $a$ est un nombre réel.
    Donner la valeur de $a$ sachant que $f(-2)=10$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $f(-2)=4a$
    Ainsi $f(-2)=10 \ssi 4a=10 \ssi a=\dfrac{5}{2}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$
  6. Dans une classe de première, $42 \%$ des élèves sont des garçons et parmi eux, $4 \%$ sont internes.
    Donner le pourcentage de garçons internes.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\dfrac{42}{100}\times \dfrac{4}{100}=\dfrac{168}{10~000}=1,68\%$
    Le pourcentage de garçons internes est donc égale à $1,68\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-6 ; 9]$. Cette fonction est celle qui est considérée dans les questions 7 à 10.
La droite passant par les points $A(0 ; -2)$ et $B(5 ; 0)$ est la représentation graphique d’une fonction affine $g$ définie sur $\R$.
Remarque : l’ordonnée du point $B$ a été modifiée pour correspondre à ce qui est donné sur le graphique.

 

  1. $f(-5)$ est égal à :
    $\quad$
    Correction Question 7

    D’après le graphique $f(-5)=1$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Le nombre de solutions de l’équation $f(x)=-2$ est :
    $\quad$
    Correction Question 8

    La droite d’équation $y=-2$ coupe la courbe représentant la fonction $f$ en trois points.
    L’équation $f(x)=-2$ possède donc $3$ solutions.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. L’intervalle des valeurs de $f(x)$ est :
    $\quad$
    Correction Question 9

    D’après le graphique, $f(x)\in[-6;1]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
    $\quad$
    Correction Question 10

    $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
    Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{0-(-2)}{5-0} \\
    &=\dfrac{2}{5}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un skateur se lance sur une rampe d’un skate park. On assimile le skateur à un point et on note $\left(x;h(x)\right)$ les coordonnées du skateur sur la rampe dans le repère ci-dessous :

La fonction $h$ est définie sur l’intervalle $[0;7]$ par $h(x)=0,5x^2-4,5x+7$, où $h(x)$ sont exprimés en mètres.

  1. À quelle hauteur le skateur se lance-t-il sur la rampe ?
    $\quad$
  2. a. Sans justification, donner la valeur de $h(2)$.
    $\quad$
    b. Calculer $h(7)$. En déduire la forme factorisée de $h(x)$.
    $\quad$
  3. Déterminer l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles le skateur est en dessous de son point d’arrivée.
    $\quad$
  4. Déterminer le minimum de $h$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $h(0)=7$.
    Le skateur se lance sur la rampe à une hauteur de $7$ mètres.
    $\quad$
  2. a. $h(2)=0$ (on peut le lire sur le graphique ou le calculer avec l’expression de $h(x)$).
    $\quad$
    b. $h(7)=0,5\times 7^2-4,5\times 7+7=0$
    Ainsi $2$ et $7$ sont les racines du polynôme du second degré $h(x)$ dont le coefficient principal est $0,5$.
    Par conséquent $h(x)=0,5(x-2)(x-7)$.
    $\quad$
  3. On veut donc résoudre $h(x)<0$.
    $0,5>0$ par conséquent $h(x)<0$ sur $]2;7[$.
    $\quad$
  4. Le minimum est atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}=4,5$.
    $h(4,5)=-3,125$.
    Le minimum de $h$ est donc $-3,125$.
    La position la plus basse du skateur est donc $3,125$ mètres en dessous de son point d’arrivée.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

La courbe $C_f$ ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormé d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-6 ; 14]$.
La droite $T_A$ est la tangente à la courbe $C_f$ au point $A$.
La droite $T_B$ est la tangente à la courbe $C_f$ au point $B$.

Utiliser le graphique pour répondre aux questions suivantes.

  1. Déterminer $f(3)$ et $f'(-3)$.
    Il fallait certainement déterminer $f'(3)$ et non $f'(-3)$
    $\quad$
  2. Déterminer $f(-1)$ et $f'(-1)$.
    $\quad$
  3. Résoudre graphiquement l’équation $f(x) = 6$.
    $\quad$
  4. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-6 ; 14]$ en y faisant figurer le signe de $f'(x)$.
    $\quad$
  5. Une seule des trois courbes suivantes peut être la représentation graphique de $f’$, la fonction dérivée de la fonction $f$. Laquelle ? Justifier.

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Graphiquement $f(3)=7$ et $f(3)=0$ (tangente horizontale).
    $f(-3)=1$ : le coefficient directeur à la tangente à la courbe au point d’abscisse $-3$ semble être environ égal à $1$.
    $\quad$
  2. Graphiquement $f(-1)=3$ et $f'(-1)=2$ (le coefficient directeur de $T_A$ semble être égal à $2$).
    $\quad$
  3. Graphiquement $f(x)=6$ a pour solution $1$ et $5$.
    $\quad$
  4. On obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  5. D’après le tableau de variations précédents, c’est la courbe $C_3$ qui représente la fonction $f’$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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