E3C – Séries technologiques – Automatismes – EC2

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Le nombre d’adhérents d’un club de sport est passé de 250 en 2018 à 210 en 2019.
    Déterminer le taux d’évolution du nombre d’adhérents entre 2018 et 2019.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\dfrac{210-250}{250}=\dfrac{-40}{250}=-\dfrac{4}{25}=-\dfrac{16}{100}$
    Le taux d’évolution du nombre d’adhérents est donc de $-16\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Développer $(x-3)(2x+5)$
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} (x-3)(2x+5)&=2x^2+5x-6x-15\\
    &=2x^2-x-15\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

On considère la fonction affine $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=3x-6$.

  1. Calculer $g\left(\dfrac{2}{7}\right)$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} g\left(\dfrac{2}{7}\right)&=3\times \dfrac{2}{7}-6\\
    &=\dfrac{6}{7}-\dfrac{42}{7}\\
    &=-\dfrac{36}{7}\end{align*}$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Déterminer l’antécédent de $2$ par la fonction $g$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    On veut résoudre l’équation :
    $\begin{align*} 3x-6=2&\ssi 3x=8 \\
    &\ssi x=\dfrac{8}{3}\end{align*}$
    L’antécédent de $2$ par la fonction $g$ est $\dfrac{8}{3}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Donner le tableau de signes de $g$ sur $\R$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $3x-6=0 \ssi 3x=6 \ssi x=2$ et $3x-6>0\ssi 3x>6\ssi x>2$
    On obtient le tableau de signes suivant :

    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

On a tracé dans le repère ci-dessous une droite $D$ et $C_f$, la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $[-1;6]$. Répondre aux
questions suivantes par lecture graphique :

  1. Donner le tableau de signes de la fonction 𝑓 sur l’intervalle $[-1;6]$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    D’après le graphique on obtient le tableau de signes suivant :$\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Déterminer $f(3)$.
    $\quad$
    Correction Question 7

    Graphiquement $f(3)=6$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Résoudre $f(x)=6$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    Deux points de la courbe $C_f$ ont pour ordonnées $6$ : celui d’abscisse $3$ et celui d’abscisse $5$.
    Les solutions de l’équation sont donc $3$ et $5$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Résoudre $f(x)\pg 3$.
    $\quad$
    Correction Question 9

    D’après le graphique, $f(x)\pg 3$ pour tout $x\pg 2$.
    L’ensemble solution est donc $[2;6]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Donner une équation de la droite $D$.
    $\quad$
    Correction Question 10

    L’ordonnée à l’origine est $4$.
    Pour un déplacement d’une unité vers la droite on descend de $2$ unités. Le coefficient directeur est donc $-2$.
    Une équation de la droite $D$ est par conséquent $y=-2x+4$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un artisan produit des vases en terre cuite. Sa capacité de production est limitée à $60$ vases.
Le coût de production, en euros, dépend du nombre de vases produits.
Ce coût de production peut être modélisé par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0 ; 60]$ par $$C(x)=x^2-10x+500$$

Un vase est vendu $50$ €. Les recettes, qui dépendent du nombre de vases produits et vendus, sont modélisées par une fonction $R$ définie sur l’intervalle $[0 ; 60]$.

  1. Calculer le coût et la recette réalisés lorsque l’artisan produit et vend $50$ vases.
    $\quad$
  2. Exprimer $R(𝑥)$ en fonction de $x$.
    $\quad$
  3. Le résultat, en euro, réalisé par l’artisan est modélisé par la fonction $B$ définie sur l’intervalle $[0 ; 60]$ par $B(x) = R(x)-C(x)$.
    a. Vérifier que $B(𝑥) = -(𝑥-10)(x-50)$.
    $\quad$
    b. Déterminer le nombre de vases à produire et à vendre pour que l’artisan réalise des bénéfices (c’est-à-dire pour que le résultat $B(x)$ soit positif).
    $\quad$
  4. On note $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$.
    a. Déterminer $B'(x)$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$ et en déduire le nombre de vases à vendre pour réaliser un bénéfice maximum.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} C(50)&=50^2-10\times 50+500 \\
    &=2~500\end{align*}$
    et $R(50)=50\times 50=2~500$.
    Le coût de fabrication de $50$ vases est de $2~500$ € et la recette réalisée est également de $2~500$ €.
    $\quad$
  2. Pour tout $x\in [0;60]$ on a $R(x)=50x$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout $x\in [0;60]$ on a d’une part :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x) \\
    &=50x-x^2+10x-500 \\
    &=-x^2+60x-500\end{align*}$
    D’autre part :
    $\begin{align*} -(x-10)(x-50)&=-\left(x^2-50x-10x+500\right)\\
    &=-\left(x^2-60x+500\right)\\
    &=-x^2+60x-500\end{align*}$
    Par conséquent $B(x)=-(x-10)(x-50)$.
    $\quad$
    b. $B(x)$ est un polynôme du second degré dont les racines sont $10$ et $50$ et le coefficient principal $a=-1$.
    Par conséquent $B(x)\pg 0$ sur l’intervalle $[10;50]$.
    Il faut donc produire entre $10$ et $50$ vases pour réaliser des bénéfices.
    $\quad$
  4. a. Pour tout $x\in [0;50]$ on a $B(x)=-x^2+60x-500$
    Donc : $B'(x)=-2x+60$.
    $\quad$
    b. $B'(x)=0 \ssi -2x+60=0 \ssi -2x=-60 \ssi x=30$
    $B'(x)>0 \ssi -2x+60>0\ssi -2x>-60 \ssi x<30$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    On en déduit donc qu’il faut vendre $30$ vases pour réaliser un bénéfice maximum.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Dans un repère du plan, on donne $A(2; 4)$ et $B(6; 16)$.
    Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
    Une équation de cette droite est donc de la forme $y=mx+p$.
    Le coefficient directeur est $m=\dfrac{16-4}{6-2}=3$.
    Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=3x+p$.
    Or $A(2;4)$ appartient à la droite $(AB)$.
    Par conséquent $4=3\times 2+p$. Donc $p=-2$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2-x+3$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
    Déterminer l’ordonnée du point de $C_f$ ayant pour abscisse $-3$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $f(-3)=2(-3)^2-(-3)+3=18+3+3=24$.
    Le point de $C_f$ ayant pour abscisse $-3$ a pour ordonnée $24$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Factoriser l’expression $4(x+2)+(x+2)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} 4(x+2)+(x+2)^2&=(x+2)\left[4+(x+2)\right]\\
    &=(x+2)(x+6)\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=-3x+7$.
    Déterminer l’antécédent de $-11$ par $g$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    On veut résoudre l’équation
    $\begin{align*} g(x)=-11&\ssi -3x+7=-11 \\
    &\ssi -3x=-18\\
    &\ssi x=6\end{align*}$
    L’antécédent cherché est donc $6$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Après une baisse de $20\%$ un produit coûte $200$ €. Quel était son prix initial?
    $\quad$
    Correction Question 5

    On appelle $P$ son prix initial.
    On a donc :
    $\begin{align*} P\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=200 &\ssi 0,8P=200\\
    &\ssi P=\dfrac{200}{0,8} \\
    &\ssi P = 250\end{align*}$
    Remarque : diviser par $0,8$ revient à diviser par $4$ puis à multiplier par $5$.
    Le produit coûtait donc initialement $250$ €.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Calculer $\dfrac{10+10^3}{10}$
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\dfrac{10+10^3}{10}=1+10^2=101$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Résoudre l’équation $x^2=25$
    $\quad$
    Correction Question 7

    Les solutions de l’équation sont $-5$ et $5$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. La formule de l’IMC (indice de masse corporelle; noté $I$) est $I=\dfrac{m}{t^2}$ où $m$ est la masse en kilogramme et $t$ la taille en mètre.
    Exprimer $t$ en fonction de $m$ et de $I$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    On a donc $t^2=\dfrac{m}{I}$ soit, puisque $t$ est positif, $t=\sqrt{\dfrac{m}{I}}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Compléter le tableau de signe de l’expression $(x-1)(x+3)$.
    $\quad$
    Correction Question 9

    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x+3=0 \ssi x=-3$ et $x+3>0 \ssi x>-3$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Par lecture graphique, dresser le tableau de variation de la fonction $h$ définie sur $[-6; 6]$ et représentée ci-dessous dans un repère du plan :

    $\quad$

    $\quad$
    Correction Question 10

    [collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une société d’autoroute s’intéresse à l’affluence quotidienne de véhicules au niveau d’un péage.
Des observations menées entre $14$h et $23$h aboutissent au nuage de points ci-dessous représentant le nombre de véhicules présents au péage selon l’heure d’observation.

  1. Pourquoi semble-t-il pertinent de modéliser l’affluence au péage en fonction du temps par une fonction polynôme du second degré ?

Pour la suite, on décide de modéliser le nombre de véhicules présents au péage en fonction de l’heure de la journée $t$, par la fonction définie sur l’intervalle $[14 ; 23]$ par : $$f(t) = -2t^2+74t-600$$

  1. Selon ce modèle, combien de voitures seront présentes au péage à $20$h$00$ ?
    $\quad$
  2. Toujours selon ce modèle, à quelle heure de la demi-journée l’affluence au péage sera–t-elle maximale ? Quel sera alors le nombre de voitures présentes au péage ?

Pour l’affluence du début de journée (entre $t = 0$ et $t = 12$), le modèle choisi est la fonction $g$ définie sur $[0 ; 12]$ par $g(t) = -0,3t^3+5,2t^2-17,3t+18,6$ dont la courbe est fournie en annexe.
Le responsable du péage sait que lorsque l’affluence dépasse $40$ véhicules, il lui est nécessaire pour fluidifier le trafic, d’ouvrir toutes les voies de paiement.

  1. À quelle heure, à $10$ minutes près, l’affluence est-elle maximale en début de journée ? Combien de véhicules sont présents au péage à cet instant ?
    $\quad$
  2. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, la tranche horaire durant laquelle toutes les voies doivent être ouvertes.
    $\quad$

Annexe

Le graphique original ne correspondait à la fonction donnée. 

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Les points du graphique semblent être placés sur une parabole. Il semble donc judicieux de modéliser l’affluence au péage par une fonction polynôme du second degré.
    $\quad$
  2. $f(20)=80$
    Selon ce modèle, $80$ voitures seront présentes au péage à $20$h$00$.
    $\quad$
  3. Le coefficient principal de la fonction $f$ est $a=-2<0$.
    La fonction $f$ admet donc un maximum atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}=18,5$.
    $f(18,5)=84,5$
    Selon ce modèle, l’affluence au péage sera maximale à $18$h$30$. Environ $85$ voitures seront alors présentes au péage.
    $\quad$
  4. D’après le graphique, l’affluence semble être maximale à environ $9$h$30$.
    Il y a alors environ $66$ voitures au péage à cet instant.
    $\quad$
  5. D’après le graphique, il faut ouvrir toutes les voies entre $6$h$15$ et $12$h.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Le but de cet exercice est d’étudier et de tracer la fonction $f$ définie, pour tout $x$ de l’intervalle $[-1 ; 10]$, par $f(x) = -0,1x^2+1,05x+1,15$.

  1. Compléter le tableau de valeurs fourni en annexe.
    $\quad$
  2. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$. Pour tout $x$ de l’intervalle $[-1 ; 10]$, justifier que l’expression de $f'(x)$ est donnée par : $f'(x)=-0,2x+1,05$.
    $\quad$
  3. Etudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[-1 ; 10]$.
    En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[-1 ; 10]$.
    $\quad$
  4. Déterminer la valeur de $f'(-1)$ puis en déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $-1$.
    $\quad$
  5. Dans le repère fourni en annexe, tracer $T$ puis la courbe représentative de la fonction $f$ en utilisant les résultats des questions précédentes.
    $\quad$

Annexes

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-1&0&1&2&3&4&6&8&10\\
\hline
f(x)&0&&2,1&2,85&&3,75&&&1,65\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&-1&0&1&2&3&4&6&8&10\\
    \hline
    f(x)&0&1,15&2,1&2,85&3,4&3,75&3,85&3,15&1,65\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Pour tout $x$ de l’intervalle $[-1;10]$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=-0,1\times 2x+1,05 \\
    &=-0,2x+1,05\end{align*}$
    $\quad$
  3. $f'(x)=0 \ssi -0,2x+1,05=0 \ssi -0,2x=-1,05 \ssi x=5,25$
    $f'(x)>0 \ssi -0,2x+1,05>0 \ssi -0,2x>-1,05 \ssi x<5,25$
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  4. On a $f'(-1)=1,25$
    Une équation de la tangente $T$ est donc $y=1,25\left(x-(-1)\right)+0$ soit $y=1,25(x+1)$.
    $\quad$
  5. On obtient donc le graphique suivant :

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise fixe à chacun de ses employés le mode de rémunération mensuel suivant : un salaire net fixe de $1~300$ € accompagné d’une prime ou d’une pénalité.
Si $𝑥$ est le chiffre d’affaire en millier d’euros réalisé par un employé dans le mois, sa prime ou pénalité exprimée en millier d’euros est de $f(x) = 0,01(x^2-2x)$.
Par exemple, si un employé réalise un chiffre d’affaire mensuel de $1~000$ €, alors $x = 1$ et $f(x) = f(1) = -0,01$. Dans ce cas, l’employé est pénalisé de $0,01$ millier d’euros, c’est-à-dire $10$ €. Son salaire net mensuel est alors de $1~300-10 = 1~290$ €.
De même, si un employé réalise un chiffre d’affaire mensuel de $10~000$ €, alors $x = 10$ et $f(x) = f(10) = 0,8$. Dans ce cas, l’employé perçoit une prime de $0,8$ millier d’euros, c’est-à-dire $800$ €. Son salaire net mensuel est alors de $1~300 + 800 = 2~100$ €.

  1. a. Si l’employé réalise un chiffre d’affaire mensuel de $1~500$ €, aura-t-il une prime ou une pénalité ? De quel montant ? Quel sera alors son salaire net mensuel ?
    $\quad$
    b. Mêmes questions avec un chiffre d’affaire mensuel de $20~000$ €.
    $\quad$
  2. La courbe $C_f$ ci-dessous représente la fonction $f$ dans un repère du plan dont la graduation de l’axe des abscisses a été effacée.

    a. Montrer que $f(x) = 0,01x(x-2)$.
    $\quad$
    b. Donner les abscisses des points d’intersection de $C_f$ avec l’axe des abscisses.
    $\quad$
    c. À partir du graphique estimer le chiffre d’affaire mensuel à réaliser afin d’obtenir un salaire net mensuel de $1~380$ €.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $f(1,5)=0,01(1,5^2-2\times 1,5)=-0,007~5$
    L’employé sera donc pénalisé de $0,007~5$ millier d’euros soit $0,75$ €. Son salaire net mensuel sera alors de $1~300-0,75=1~299,25$ €.
    $\quad$
    b. $f(20)=3,6$
    L’employé reçoit dont une prime de $3,6$ milliers d’euros soit $3~600$ €. Son salaire net mensuel sera alors de $1~300+3~600=4~900$ €.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ positif on a :
    $\begin{align*} f(x)&=0,01\left(x^2-2x\right) \\
    &=0,01\left(x\times x-2\times x\right)\\
    &=0,01x(x-2)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Les abscisses des points d’intersection de $C_f$ avec l’axe des abscisses sont les solutions de l’équation :
    $f(x)=0 \ssi 0,01x(x-2)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $0,01x=0$ ou $x-2=0$ soit $x=0$ ou $x=2$.
    $C_f$ coupe donc l’axe des abscisses aux points d’abscisses $0$ et $2$.
    $\quad$
    b. L’employé reçoit donc une prime de $80$ € soit $0,08$ millier d’euros.
    D’après le graphique cela correspond à un chiffre d’affaire mensuel de $4$ milliers d’euros, c’est-à-dire, $4~000$ €.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

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Séries technologiques

Une entreprise fabrique et commercialise des trottinettes. La capacité maximale de production de l’entreprise est de $21$ trottinettes.
Le coût total de fabrication (en euros) de $x$ trottinettes est modélisé par la fonction $C$ définie par : $$C(x) = 2x^3-50x^2+452x$$
Le prix de vente est de $200$ € par trottinette.

  1. Calculer, pour $12$ objets fabriqués et vendus, le coût de fabrication, la recette et le bénéfice.
    $\quad$
  2. On note $R(x)$ et $B(x)$ la recette et le bénéfice pour $x$ trottinettes vendues.
    a. Exprimer $R(x)$.
    $\quad$
    b. Montrer que le bénéfice réalisé pour $x$ trottinettes vendues est : $$B(x)=-2x^3+50x^2-252x$$
    $\quad$
  3. a. Montrer que $B(x)=-2x(x-7)(x-18)$.
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $B(x)$ sur l’intervalle $[0 ; 21]$ et interpréter le signe de $B(x)$ dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le coût de fabrication est $C(12)=1~680$ €.
    La recette est $200\times 12 = 2~400$ €.
    Le bénéfice est $2~400-1~680=720$ €
    $\quad$
  2. a. On a $R(x)=200x$.
    $\quad$
    b. Le bénéfice réalisé pour $x$ trottinettes vendues est :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x)\\
    &=200x-\left(2x^3-50x^2+452x\right) \\
    &=200x-2x^3+50x^2-452x\\
    &=-2x^3+50x^2-252x\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} -2x(x-7)(x-18)&=-2x\left(x^2-18x-7x+126\right) \\
    &=-2x\left(x^2-25x+126\right)\\
    &=-2x^3+50x^2-252x\\
    &=B(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $2x=0 \ssi x=0$ et $2x>0 \ssi x>0$
    $x-7=0\ssi x=7$ et $x-7>0\ssi x>7$
    $x-18=0\ssi x=18$ et $x-18>0 \ssi x>18$
    On obtient alors le tableau de signes suivant :L’entreprise réalise donc un bénéfice si elle produit et vend entre $7$ et $18$ trottinettes.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un athlète s’entraîne au lancer de javelot. Au moment du lancer, le lanceur tient le javelot de telle manière que la pointe se trouve à la hauteur du sommet de son crâne. Pendant sa course, on considère que les frottements qui s’exercent sur la pointe du javelot sont négligeables, et que le javelot n’est soumis qu’à son poids. La trajectoire de la pointe du javelot est donc modélisée par une parabole.

  1. Lors du premier essai de l’athlète, la trajectoire de la pointe du javelot est donnée par la fonction $f$ telle que $f(x)=-0,01x^2+0,57x+1,8$, où $x$ est la distance au sol en mètres parcourue par la pointe du javelot et $f(x)$ l’altitude, en mètres, de la pointe du javelot quand celle-ci se trouve à une distance au sol de $x$ mètres du lanceur. On donne ci-dessous la représentation graphique de $f$.
    a. Calculer $f(0)$. Quelle est la taille de l’athlète ?
    $\quad$
    b. Vérifier que $f(x)=-0,01(x+3)(x-60)$.
    $\quad$
    c. Quelle est la distance au sol totale parcourue par le javelot ?
    $\quad$
    d. Donner le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$. La hauteur maximale atteinte par le javelot dépasse-t-elle $10$ m? Justifier.
    $\quad$
  2. Lors du deuxième essai, la pointe du javelot réalise une trajectoire décrite par la fonction $h$ telle que $h(x) = -0,01x^2+0,6x+1,8$, où $x$ est la distance au sol en mètres parcourue par la pointe du javelot et $h(x)$ l’altitude en mètres de la pointe du javelot quand celle-ci se trouve à une distance au sol de $x$ mètres du lanceur.
    On a écrit le script suivant en Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{x=60}\\
    \text{for i in range(1,6):}\\
    \hspace{1cm} \text{print(” x= “,x , “h(x)=”,-0.01*x**2+0.6*x+1.8)}\\
    \hspace{1cm} \text{x=60+i}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Lorsqu’on l’exécute, on obtient l’affichage suivant :
    $\qquad \text{x= 60 h(x)= 1.8}$
    $\qquad \text{x= 61 h(x)= 1.1900000000000006}$
    $\qquad \text{x= 62 h(x)= 0.559999999999998}$
    $\qquad \text{x= 63 h(x)= -0.09000000000000052}$
    $\qquad \text{x= 64 h(x)= -0.7600000000000022}$
    L’athlète a-t-il amélioré sa performance par rapport à son premier lancer ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $f(0)=-0,01\times 0^2+0,57\times 0+1,8=1,8$
    L’athlète mesure donc $1,8$ m.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} -0,01(x+3)(x-60)&=-0,01\left(x^2-60x+3x-180\right)\\
    &=-0,01\left(x^2-57x-180\right)\\
    &=-0,01x^2+0,57x+1,8\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
    c. $f(x)=0 \ssi x+3=0$ ou $x-60=0$ $\ssi x=-3$ ou $x=60$.
    Le javelot touche donc le sol après avoir parcouru $60$ mètres.
    $\quad$
    d. $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=-0,01<0$.
    Son maximum est atteint en $-\dfrac{b}{2a}=28,5$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    La hauteur maximale est donc $9,922~5$ m. Elle ne dépasse donc pas $10$ m.
    $\quad$
  2. D’après le script $h$ s’annule pour $x\in ]62;63[$.
    La distance parcourue par le javelot est donc supérieure à $60$ m.
    L’athlète a donc amélioré sa performance par rapport à son premier lancer.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Lorsqu’on conduit une voiture, il est conseillé de laisser entre son propre véhicule et celui qui précède, une distance de sécurité $D$ qui est fonction de la vitesse $v$ à laquelle on roule.
On admet que : $D(v)=0,003v^2+0,3v+8$ où $v$ est exprimée en km/h et $D$ en mètres.
Cette formule est valable pour une vitesse v comprise entre $10$ km/h et $130$ km/h.

  1. . Calculer, arrondies au mètre près, les distances à respecter pour des vitesses de $50$ km/h et $130$ km/h.
    $\quad$
  2. La distance de sécurité est-elle proportionnelle à la vitesse ? Justifier votre réponse.
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $D$ est dérivable sur $[10 ; 130]$ et on note $D’$ sa dérivée.
    On admet que :
    $$D'(v) = 0,006v + 0,3$$
    En déduire que la fonction $D$ est strictement croissante sur l’intervalle $[10 ; 130]$.
    $\quad$
  4. Un tableur permet d’obtenir le tableau de valeurs suivant, dans lequel les valeurs de $D(v)$ sont données à l’unité près :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \boldsymbol{v}&20&40&60&80&100&120\\
    \hline
    \boldsymbol{D(v)}&15&25&37&51&68&87\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle est la vitesse à ne pas dépasser si on suit un véhicule à $51$ m ?
    $\quad$
  5. La société d’autoroute installe des panneaux de signalisation pour sensibiliser les conducteurs : « Un trait : danger, deux traits : sécurité ».
    Sachant qu’un trait mesure $38$ m et que l’intervalle séparant deux traits mesure $19$ m, que pensez-vous de cette consigne pour une voiture roulant à $130$ km/h ?
    Justifier votre réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $D(50)=30,5$ et $D(130)=97,7$
    La distance à respecter pour une vitesse de $50$ km/h est environ égale à $31$ m et celle à respecter pour une vitesse de $130$ km/h est environ égale à $98$ m.
    $\quad$
  2. $\dfrac{30,5}{50}=0,61$ et $\dfrac{97,7}{130}\approx 0,75$
    Les quotients ne sont pas égaux. Il n’y a donc pas proportionnalité.
    $\quad$
  3. Sur $[10;130]$, on a $0,006v+0,3>0$ (somme de termes positifs).
    La fonction $D$ est donc strictement positive sur l’intervalle $[10;30]$.
    $\quad$
  4. D’après le tableau, il ne faut pas dépasser $80$ km/h.
    $\quad$
  5. $D(130)=97,7$ m
    Distance de sécurité d’après le panneau de signalisation : $38\times 2+19=95$ m
    L’indication du panneau est donc une approximation légèrement inférieure à la valeur donnée par la formule pour une vitesse de $130$ km/h.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un skateur se lance sur une rampe d’un skate park. On assimile le skateur à un point et on note $\left(x;h(x)\right)$ les coordonnées du skateur sur la rampe dans le repère ci-dessous :

La fonction $h$ est définie sur l’intervalle $[0;7]$ par $h(x)=0,5x^2-4,5x+7$, où $h(x)$ sont exprimés en mètres.

  1. À quelle hauteur le skateur se lance-t-il sur la rampe ?
    $\quad$
  2. a. Sans justification, donner la valeur de $h(2)$.
    $\quad$
    b. Calculer $h(7)$. En déduire la forme factorisée de $h(x)$.
    $\quad$
  3. Déterminer l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles le skateur est en dessous de son point d’arrivée.
    $\quad$
  4. Déterminer le minimum de $h$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $h(0)=7$.
    Le skateur se lance sur la rampe à une hauteur de $7$ mètres.
    $\quad$
  2. a. $h(2)=0$ (on peut le lire sur le graphique ou le calculer avec l’expression de $h(x)$).
    $\quad$
    b. $h(7)=0,5\times 7^2-4,5\times 7+7=0$
    Ainsi $2$ et $7$ sont les racines du polynôme du second degré $h(x)$ dont le coefficient principal est $0,5$.
    Par conséquent $h(x)=0,5(x-2)(x-7)$.
    $\quad$
  3. On veut donc résoudre $h(x)<0$.
    $0,5>0$ par conséquent $h(x)<0$ sur $]2;7[$.
    $\quad$
  4. Le minimum est atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}=4,5$.
    $h(4,5)=-3,125$.
    Le minimum de $h$ est donc $-3,125$.
    La position la plus basse du skateur est donc $3,125$ mètres en dessous de son point d’arrivée.
    $\quad$

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$\quad$

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