E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.

On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.

On note:

$S$ l’événement « le voyageur fait sonner le portique »;
$M$ l’événement «le voyageur porte un objet métallique».

On note $\conj{S}$ et $\conj{M}$ les événements contraires des événements $S$ et $M$.

On considère qu’un voyageur sur $500$ porte sur lui un objet métallique.

On admet que :

Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,95$.
Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est de $0,96$.

À l’aide des données de l’énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_M(S)$ et $P_{\conj{M}}\left(\conj{S}\right)$.
$\quad$
Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous, modélisant cette situation :

$\quad$
Montrer que $P(S)=0,041~82$.
$\quad$
En déduire la probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait sonner le portique en passant. On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
$\quad$
Les événements $M$ et $S$ sont-ils indépendants?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a $P(M)=\dfrac{1}{500}$, $P_M(S)=0,95$ et $P_{\conj{M}}\left(\conj{S}\right)=0,96$.
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
$M$ et $\conj{M}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(S)&=P(M\cap S)+P\left(\conj{M}\cap S\right)\\
&=\dfrac{1}{500}\times 0,95+\dfrac{499}{500}\times 0,04\\
&=0,041~82\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_S(M)&=\dfrac{P(M\cap S)}{P(S)} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{500}\times 0,95}{0,041~82} \\
&\approx 0,045\end{align*}$
La probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait sonner le portique en passant est environ égale à $0,045$.
$\quad$
On a $P(S)=0,041~82$ et $P_M(S)=0,95$.
Ces deux probabilités sont différentes. Les événements $M$ et $S$ ne sont donc pas indépendants.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Au sein d’un lycée, parmi les élèves de première ayant choisi la spécialité
mathématique, il y a $110$ filles dont $5$ ne poursuivent pas la spécialité en terminale et $90$ garçons dont $8$ ne poursuivent pas la spécialité.

On interroge au hasard un élève et on définit les événements suivants :

$F$ l’événement : « L’élève interrogé est une fille »,
$G$ l’événement : « L’élève interrogé est un garçon »,
$S$ l’événement : « L’élève interrogé poursuit la spécialité ».

On donnera les valeurs exactes pour chacune des questions.

Calculer $p(G)$,$p\left(G\cap \conj{S}\right)$ et $p\left(\conj{S}\right)$.
$\quad$
L’élève interrogé ne poursuit pas la spécialité. Calculer la probabilité que ce soit un garçon.
$\quad$
Les événements $G$ et $S$ sont-ils indépendants ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} p(G)&=\dfrac{90}{110+90}\\
&=0,45\end{align*}$
$\begin{align*} p\left(G\cap \conj{S}\right)&=\dfrac{8}{90+110}\\
&=0,04\end{align*}$
$F$ et $G$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p\left(\conj{S}\right)&=p\left(F\cap \conj{S}\right)+p\left(G\cap \conj{S}\right) \\
&=\dfrac{5}{90+110}+\dfrac{8}{90+110}\\
&=0,065\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_{\conj{S}}(G)&=\dfrac{p\left(G\cap \conj{S}\right) }{p\left(\conj{S}\right)} \\
&=\dfrac{0,04}{0,065}\\
&=\dfrac{8}{13}\end{align*}$
La probabilité que l’élève interrogé soit un garçon sachant qu’il ne poursuit pas la spécialité est $\dfrac{8}{13}$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} p(S)&=1-p\left(\conj{S}\right) \\
&=1-0,065\\
&=0,935\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} p(G)\times p(S)&=0,45\times 0,935\\
&=0,420~75\end{align*}$
Or $\begin{align*} p(G\cap S)&=\dfrac{90-8}{90+110}\\
&=0,41\end{align*}$
Ces deux probabilités sont différentes. Les événements $G$ et $S$ ne sont donc pas indépendants.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, $\cos(25\pi+x)$ est égal à :

a. $\cos(x)$
b. $-\cos(x)$
c. $\cos(-x)$
a. $-1$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :

$\begin{align*} \cos(25\pi+x)&=\cos(2\times 12\pi+\pi+x) \\
&=\cos(x+\pi)\\
&=-\cos(x)\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-10 ; 10]$.
On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $f$ :

On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d’un repère $\Oij$
La tangente à la courbe $C$ au point d’abscisse $3$ a pour coefficient directeur :

a. $0$
b. $3$
c. $4$
d. $10$

$\quad$

Correction Question 2

D’après le tableau de variations on a $f'(3)=0$.
Ainsi le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C$ au point d’abscisse $3$ est $0$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

$E$ et $F$ sont deux événements indépendants d’un même univers.
On sait que $p(E) = 0,4$ et $p(F) = 0,3$ alors :

a. $p(E\cup F)=0,7$
b. $p(E\cap F)=1,2$
c. $p(E\cap F)=0$
d. $p(E\cap F)=0,12$

$\quad$

Correction Question 3

$E$ et $F$ sont indépendants.
Par conséquent :
$\begin{align*} p(E\cap F)&=p(E)\times p(F)\\
&=0,4\times 0,3\\
&=0,12\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

L’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x^2+11x+1\pp -3$ est :

a. $\left\{-\dfrac{1}{3};4\right\}$
b. $\left[-\dfrac{1}{3};4\right]$
c. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right]\cup[4;+\infty[$
d. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right[\cup]4;+\infty[$

$\quad$

Correction Question 4

$-3x^2+11x+1\pp -3 \ssi -3x^2+11x+4\pp 0$
Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=11^2-4\times (-3)\times 4\\
&=169\end{align*}$
Les deux racines réelles sont donc :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-11-\sqrt{169}}{-6} \\
&=4\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-11+\sqrt{169}}{-6} \\
&=-\dfrac{1}{3}\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=-3<0$.
Ainsi l’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x^2+11x+4\pp 0$ est $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right]\cup[4;+\infty[$.

Réponse c

$\quad$

Remarque : On pouvait également chercher à exclure les mauvaises réponses.

$a<0$ : on exclut donc les réponses a et b
L’inéquation n’est pas stricte : on exclut donc la réponse d

Il ne reste plus que la réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ est donnée par ce tableau :$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i&-3&2&5&10\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&0,3&0,21&0,13&0,36\\
\hline
\end{array}$$
On peut en déduire que :

a. $P(X>2)=0,49$
b. $P(X>2)=0,51$
c. $P(X\pg 2)=0,49$
d. $P(X \pg 2)=0,51$

$\quad$

Correction Question 5

On a :
$\begin{align*} P(X>2)&=P(X=5)+P(X=10)\\
&=0,13+0,36\\
&=0,49\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chacune des cinq questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse
n’apporte, ni ne retire de point.

Question 1

Soit $P$ une probabilité sur un univers $\Omega$ et $A$ et $B$ deux évènements indépendants tels que $P(A)= 0,5$ et $P(B) = 0,2$.
Alors $P(A\cup B)$ est égal à :

a. $0,1$
b. $0,7$
c. $0,6$
d. On ne peut pas savoir

$\quad$

Correction Question 1

$A$ et $B$ sont indépendants donc $P(A\cap B)=p(A)p(B)$.
Ainsi :
$\begin{align*} P(A\cup B)&=P(A)+p(B)-P(A\cap B)\\
&=P(A)+p(B)-P(A)P(B)\\
&=0,5+0,2-0,5\times 0,2\\
&=0,6\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

La valeur arrondie au centième de $1+1,2+1,2^2+1,2^3+\ldots+1,2^{10}$ est :

a. $3,27$
b. $25,96$
c. $26,96$
d. $32,15$

$\quad$

Correction Question 2

Il s’agit de la somme de termes d’une suite géométrique.
$\begin{align*} S&=1+1,2+1,2^2+1,2^3+\ldots+1,2^{10} \\
&=\dfrac{1-1,2^{11}}{1-1,2}\\
&\approx 32,15\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{\e^x}$.
Pour tout réel $x$, $f(x)$ est égal à :

a. $f(x)=\dfrac{\e^{-x}}{-x}$
b. $f(x)=x\e^{-x}$
c. $f(x)=-x\e^{-x}$
d. $f(x)=\dfrac{\e^{-x}}{x}$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f(x)&=\dfrac{x}{\e^x}\\
&=x\e^{-x}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=(2x-5)\e^x$. On admet que $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.
Alors pour tout réel $x$ , $g'(x)$ est égal à :

a. $(2x-3)\e^x$
b. $(-2x+7)\e^x$
c. $2\e^x$
d. $-5\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

On utilise la formule de dérivation d’un produit avec $u(x)=2x-5$ et $v(x)=\e^x$

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=2\e^x+(2x-5)\e^x\\
&=(2+2x-5)\e^x\\
&=(2x-3)\e^x\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Le nombre $\dfrac{\e^3\times \e^{-5}}{\e^2}$ est égal à :

a. $-1$
b. $\e^{-15/2}$
c. $\dfrac{1}{\e^4}$
d. $\dfrac{3\e^{-5}}{2}$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} \dfrac{\e^3\times \e^{-5}}{\e^2}&=\dfrac{\e^{3+(-5)}}{\e^2} \\
&=\dfrac{\e^{-2}}{\e^2}\\
&=\e^{-2-2}\\
&=\e^{-4}\\
&=\dfrac{1}{\e^4}\end{align*}$

Réponse c

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

On dispose d’un paquet de cartes contenant un nombre identique de cartes de la catégorie « Sciences » et de la catégorie « Économie ». Une question liée à un de ces deux thèmes figure sur chaque carte.
Les cartes sont mélangées et on en tire une au hasard dans le paquet. Ensuite, on essaye de répondre à la question posée.

Un groupe de copains participe à ce jeu. Connaissant leurs points forts et leurs faiblesses, on estime qu’il a :

$3$ chances sur $4$ de donner la bonne réponse lorsqu’il est interrogé en sciences ;
$1$ chance sur $8$ de donner la bonne réponse lorsqu’il est interrogé en économie.

On note $S$ l’événement «La question est dans la catégorie Sciences» et $B$ l’événement «La réponse donnée par le groupe est bonne»

Partie A :

Calculer $P(B\cap S)$
$\quad$
Déterminer la probabilité que le groupe de copains réponde correctement à la question posée.
$\quad$
Les événements $S$ et $B$ sont-ils indépendants ?
$\quad$

Partie B

Pour participer à ce jeu, on doit payer $5$ € de droit d’inscription.
On recevra :

$10$ € si on est interrogé en sciences et que la réponse est correcte ;
$30$ € si on est interrogé en économie et que la réponse est correcte ;
rien si la réponse donnée est fausse.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque partie jouée, associe son gain. On appelle gain la différence en euros entre ce qui est reçu et les $5$ € de droit d’inscription.

Déterminer la loi de probabilité de $X$.
$\quad$
Que retourne la fonction Jeu écrite ci-dessous en langage Python avec les listes : $\text{L} = [ -5 ; 5 ; 25]$ et $\text{G} = [0,5625 ; 0,375 ; 0,0625]$ ?
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\textcolor{blue}{\text{def }}\textbf{Jeu}(\text{L,G}):\\
\hspace{1cm} \text{n = }\textcolor{violet}{\text{len}}(\text{L})\\
\hspace{1cm} \text{E = }\textcolor{Mahogany}{0}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i}\textcolor{blue}{\text{ in }} \textcolor{violet}{\text{ range}}(\text{n}):\\
\hspace{2cm} \text{E = E + L[i]*G[i]}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{return}}(\text{E})\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice

Le paquet de cartes contenant un nombre identique de cartes de la catégorie « Sciences » et de la catégorie « Économie ».
Donc $P(S)=\dfrac{1}{2}$
On sait de plus que $P_S(B)=\dfrac{3}{4}$.
Donc :
$\begin{align*} P(B\cap S)&=P(S)\times P_S(B) \\
&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{4}\\
&=\dfrac{3}{8}\end{align*}$
$\quad$
$S$ et $\conj{S}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totale on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(B\cap S)+P\left(B\cap \conj{S}\right) \\
&=\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{8}\\
&=\dfrac{7}{16}\end{align*}$
La probabilité que le groupe de copains réponde correctement à la question posée est donc égale à $\dfrac{7}{16}$.
$\quad$
On a $P_S(B)=\dfrac{3}{4}$ et $P(B)=\dfrac{7}{16}$
Par conséquent $P_S(B)\neq P(B)$. Les événements $S$ et $B$ ne sont pas indépendants.
$\quad$

Partie B

La variable aléatoire $X$ peut donc prendre les valeurs $-5$, $5$ et $25$.
Ainsi :
$\begin{align*}P(X=5)&=P(B\cap S) \\
&=\dfrac{3}{8} \end{align*}$
$\begin{align*}P(X=25)&=P\left(B\cap \conj{S}\right) \\
&=P\left(\conj{S}\right)\times P_{\conj{S}}(B)\\
&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{8} \\
&=\dfrac{1}{16}\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=-5)&=1-P(X=5)-P(X=25)\\
&=1-\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{16}\\
&=\dfrac{9}{16}\end{align*}$
$\quad$
Remarque : Pour calculer $P(X=-5)$ on pouvait également procéder ainsi :
$B$ et $\conj{B}$ forment un système complet d’événements fini.
Donc
$\begin{align*} P(X=-5)&=P\left(\conj{B}\right)\\
&=1-P(B)\\
&=1-\dfrac{7}{16}\\
&=\dfrac{9}{16}\end{align*}$
$\quad$
Le programme Python permet de calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$.
Or :
$\begin{align*} E(X)&=-5\times P(X=-5)+5\times P(X=5)+25\times P(X=25)\\
&=-5\times \dfrac{9}{16}+5\times \dfrac{3}{8}+25\times \dfrac{1}{16}\\
&=0,625\end{align*}$
Ainsi la fonction retournera la valeur $0,625$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une chaîne de salons de coiffure propose à ses clients qui viennent pour une coupe deux prestations supplémentaires cumulables :

une coloration naturelle à base de plantes appelée « couleur-soin »,
des mèches blondes pour donner du relief à la chevelure, appelées « effet coup de soleil ».

Il apparaît que $40 \%$ des clients demandent une « couleur-soin ». Parmi ceux qui ne veulent pas de « couleur soin », $30 \%$ des clients demandent un « effet coup de soleil ». Par ailleurs, $24 \%$ des clients demandent une « couleur soin » et un « effet coup de soleil ».
On interroge un client au hasard.

On notera $C$ l’évènement « Le client souhaite une “couleur-soin.” ».
On notera $E$ l’évènement « Le client souhaite un “effet coup de soleil.” ».

Donner les valeurs de $P(C)$, $P( C \cap E)$ et $P_{\conj{C}}(E)$.
$\quad$
Calculer la probabilité que le client ne souhaite ni une « couleur-soin », ni un « effet coup de soleil ».
$\quad$
Montrer que la probabilité de l’évènement $E$ est égale à $0,42$.
$\quad$
Les évènements $C$ et $E$ sont-ils indépendants ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

D’après l’énoncé :
$P(C)=0,4$
$P(C\cap E)=0,24$
$P_{\conj{C}}(E)=0,3$
$\quad$
On a
$\begin{align*} P\left(\conj{C}\right)&=1-P(C)\\
&=0,6\end{align*}$
et
$\begin{align*} P_{\conj{C}}\left(\conj{E}\right)&=1-P_{\conj{C}}(E) \\
&=0,7\end{align*}$
Par conséquent :
$\begin{align*} P\left(\conj{C}\cap \conj{E}\right)&=P\left(\conj{C}\right)\times P_{\conj{C}}\left(\conj{E}\right) \\
&=0,6\times 0,7 \\
&=0,42\end{align*}$
La probabilité que le client ne souhaite ni une « couleur-soin », ni un «effet coup de soleil » est égale à $0,42$.
$\quad$
$C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(E)&=P(C\cap E)+P\left(\conj{C}\cap E\right) \\
&=0,24+P\left(\conj{C}\right)\times P_{\conj{C}}(E) \\
&=0,24+0,6\times 0,3 \\
&=0,42\end{align*}$
La probabilité de l’évènement $E$ est égale à 0,42.
$\quad$
D’une part on a $P(E)=0,42$
D’autre part :
$\begin{align*} P_C(E)&=\dfrac{P(C\cap E)}{P(C)} \\
&=\dfrac{0,24}{0,4} \\
&=0,6\end{align*}$
Par conséquent $P(E)\neq P_C(E)$.
Les événements $C$ et $E$ ne sont pas indépendants.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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