Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 1 – 18 mai 2022

Centres étrangers – Liban – 18 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
On a
$\begin{align*} P(J\cap C)&=P(J)\times P_J(C)\\
&=0,2\times 0,06 \\
&=0,012\end{align*}$
$\quad$
$\left(J,\conj{J}\right)$ forme un système complet d’événements.
D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(C)&=P(J\cap C)+P\left(\conj{J}\cap C\right) \\
&=0,012+P\left(\conj{J}\right)P_{\conj{J}}(C)\\
&=0,012+0,8\times 0,125 \\
&=0,112\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_C\left(\conj{J}\right)&=\dfrac{P\left(C\cap \conj{J}\right)}{P(C)} \\
&=\dfrac{0,8\times 0,125}{0,112} \\
&\approx 0,893\end{align*}$
La probabilité que le skieur ait un forfait SÉNIOR sachant qu’il a choisi l’option coupe-file est environ égale à $0,893$.
$\quad$
Un skieur ayant choisi l’option coupe-file a moins de vingt-cinq ans ou plus de vingt-cinq ans.
Ainsi :
$\begin{align*} P_C(J)&=1-P_C\left(\conj{J}\right) \\
&\approx 0,107\\
&<0,15\end{align*}$
L’affirmation est donc vraie.
$\quad$

Partie B

$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,112$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
&=1-(1-0,112)^{30} \\
&=1-0,888^{30} \\
&\approx 0,972\end{align*}$
La probabilité qu’au moins un des $30$ skieurs ait choisi l’option coupe-file est environ égale à $0,972$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(X\pp 1)&=P(X=0)+P(X=1) \\
&=0,888^{30}+\dbinom{30}{1}0,112^1\times 0,888^{29} \\
&\approx 0,136\end{align*}$
La probabilité qu’au plus un des $30$ skieurs ait choisi l’option coupe-file est environ égale à $0,136$.
$\quad$
L’espérance mathématique de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=np\\
&=30\times 0,112 \\
&=3,36\end{align*}$
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

On appelle $v_n$ le volume d’eau, en litres, contenu dans la bouteille au bout de $n$ heures.
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=(1-0,15)v_n$ soit $v_{n+1}=0,85 v_n$.
$\left(v_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $1$.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $v_n=0,85^n$.
$\begin{align*} u_n \pp 0,25&\ssi 0,85^n \pp 0,25 \\
&\ssi n\ln(0,85)\pp \ln(0,25) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,85)} \qquad \text{car } \ln(0,85)<0 \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,85)}\approx 8,53$.
C’est donc au bout de $9$ heures que le volume d’eau devient inférieur à un quart de litre.
Réponse c
$\quad$
Pour tout $n\in \N$, on pose $P(n):~u_n=6$.
Initialisation : $u_0=6$ donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{2} u_n+3 \\
&=\dfrac{1}{2}\times 6+3 \\
&=6\end{align*}$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Donc, pour tout entier naturel $n,~ u_n=6$.
Réponse d
$\quad$
Soit $x\in ]0;+\infty[$
$\begin{align*} f(2x)&=4\ln(3\times 2x) \\
&=4\left(\ln(2)+\ln(3x)\right) \\
&=4\ln(2)+4\ln(3x)\\
&=\ln\left(2^4\right)+f(x)\\
&=\ln(16)+f(x)\end{align*}$
Réponse b
$\quad$
Pour tout réel $x>1$ on a $g(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{x}{x-1}$.
Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$
D’après la limite du quotient des termes de plus haut degré $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x}=1$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=0$ : $C_g$ admet une asymptote horizontale d’équation $y=0$.
$\quad$
$C_g$ ne peut avoir d’asymptote verticale qu’en $1$.
Pour tout réel $x\in ]1;+\infty[$ on a $g(x)=\dfrac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1}$.
Ainsi $g(x)$ est le taux d’accroissement de la fonction $\ln$ entre $1$ et $x$.
Donc $\lim\limits_{x\to 1^+} g(x)=\ln'(1)=\dfrac{1}{1}$.
$C_g$ n’a pas d’asymptote verticale.
Réponse c
$\quad$
$h$ est définie sur $]0;2]$. Par conséquent :
$\begin{align*} h(x)=0&\ssi 1+2\ln(x)=0 \\
&\ssi 2\ln(x)=-1 \\
&\ssi \ln(x)=-0,5 \\
&\ssi x=\e^{-0,5}\end{align*}$
Or $\e^{-0,5}\in \left[\dfrac{1}{\e};2\right]$.
Réponse b
$\quad$
D’une part
$\begin{align*} h\left(\sqrt{\e}\right)&=\left(\sqrt{\e}\right)^2\left(1+2\ln\left(\sqrt{\e}\right)\right) \\
&=\e\left(1+2\times \dfrac{1}{2}\ln(\e)\right) \\
&=2\e\end{align*}$
D’autre part
$\begin{align*} h’\left(\sqrt{\e}\right)&=4\left(\sqrt{\e}\right)\left(1+\ln\left(\sqrt{\e}\right)\right) \\
&=4\sqrt{e}\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\\
&=6\sqrt{\e}\end{align*}$
Une équation de la tangente à $C_h$ au point d’abscisse $\sqrt{\e}$ est donc $y=6\sqrt{\e}\left(x-\sqrt{\e}\right)+2\e$
Or
$\begin{align*} 6\sqrt{\e}\left(x-\sqrt{\e}\right)+2\e&=6\sqrt{\e}x-6\e+2\e \\
&=6\sqrt{\e}x-4\e \\
&=\left(6\e^{1/2}\right).x-4\e\end{align*}$
Réponse d
$\quad$
Pour tout réel $x\in ]0;2]$ on a
$\begin{align*} h\dsec(x)&=4\left(1+\ln(x)\right)+4x\times \dfrac{1}{x} \\
&=4+4\ln(x)+4 \\
&=8+4\ln(x)\end{align*}$
$\begin{align*} h\dsec(x)>0&\ssi 8+4\ln(x)>0 \\
&\ssi 4\ln(x)>-8 \\
&\ssi \ln(x)>-2 \\
&\ssi x>\e^{-2}\end{align*}$.
On a, de même, $h\dsec(x)=0 \ssi x=\e^{-2}$.
$\e^{-2}\in ]0;2]$.
La courbe $C_h$ possède donc un unique point d’inflexion sur $]0;2]$.
Réponse b
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

a. $\lim\limits_{x\to -\infty} 0,5x-2=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{0,5x-2}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ non nul on a
$\begin{align*} 1+0,5x\left(2-\dfrac{\e^{0,5x}}{0,5x}\times \e^{-2}\right) &=1+x-\e^{-0,5x}\times \e^{-2} \\
&=f(x)\end{align*}$
$\lim\limits_{x\to +\infty} 0,5x=+\infty$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{\e^X}{X}=+\infty$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{0,5x}}{0,5x}=+\infty$.
Par produit des limites, $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=1-0,5\e^{0,5x-2}$
$\quad$
b.
$\begin{align*} f'(x)<0&\ssi 1-0,5\e^{0,5x-2}<0 \\
&\ssi -0,5\e^{0,5x-2}<-1 \\
&\ssi \e^{0,5x-2}>2 \\
&\ssi 0,5x-2>\ln(2) \\
&\ssi 0,5x>2+\ln(2) \\
&\ssi x>4+2\ln(2)\end{align*}$
Ainsi l’ensemble des solutions de l’inéquation $f'(x)<0$ est bien $\left]4+2\ln(2);+\infty\right[$.
$\quad$
En raisonnant de la même façon on obtient $f'(x)=0 \ssi x=4+2\ln(2)$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :

$\begin{align*} f\left(4+2\ln(2)\right)&=1+4+2\ln(2)-\e^{2+\ln(2)-2} \\
&=5+2\ln(2)-2\\
&=3+2\ln(2)\end{align*}$
$\quad$
$4+2\ln(2)>0$.
La fonction $f$ est donc continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[-1;0]$.
$f(-1)=-\e^{-2,5}<0$ et $f(0)=1-\e^{-2}>0$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet donc une unique solution sur l’intervalle $[-1;0]$.
$\quad$

Partie B

a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~u_n\pp u_{n+1} \pp 4$
Initialisation : $u_0=0$ et $u_1=1-\e^{-2}\approx 0,86$
Donc $u_0\pp u_1\pp 4$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]-\infty;4+2\ln(2)\right]$ donc sur $[0;4]$.
$\begin{align*} u_n\pp u_{n+1} \pp 4&\Rightarrow f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(4) \\
&\Rightarrow u_{n+1}\pp u_{n+2}\pp 5-1\end{align*}$
Par conséquent $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n \pp u_{n+1} \pp 4$.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $4$; elle converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
a. $\ell$ est solution de l’équation $x=f(x)$
$\begin{align*} x=f(x)&\ssi 1+x-\e^{0,5x-2}=x \\
&\ssi 1-\e^{0,5x-2}=0 \\
&\ssi \e^{0,5x-2}=1 \\
&\ssi 0,5x-2=0 \\
&\ssi 0,5x=2 \\
&\ssi x=4\end{align*}$
Ainsi $\ell =4$.
$\quad$
b. La fonction $\texttt{valeur}$ renvoie le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>a$.
Cela signifie donc le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>3,99$ est $12$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. On a $R(3;2;-1)$ et $\vect{AB}\begin{pmatrix} -4\\4\\0\end{pmatrix}$
$\quad$
b. Une équation du plan $\mathscr{P}_1$ est donc de la forme $-4x+4y+d=0$.
$R(3;2;-1)$ appartient au plan $\mathscr{P}_1$ donc $-12+8+d=0 \ssi d=4$.
Une équation de $\mathscr{P}_1$ est donc $-4x+4y+4=0$ soit $x-y-1=0$.
$\quad$
c. $10-9-1=0$ donc $E(10;9;8)$ appartient à $\mathscr{P}_1$.
$\vect{EA}\begin{pmatrix} -5\\-9\\-9\end{pmatrix}$ et $\vect{EB}\begin{pmatrix} -9\\-5\\-9\end{pmatrix}$
$\begin{align*} EA&=\sqrt{(-5)^2+(-9)^2+(-9)^2}\\
&=\sqrt{25+81+81} \\
&=\sqrt{187}\end{align*}$
$\begin{align*} EB&=\sqrt{(-9)^2+(-5)^2+(-9)^2}\\
&=\sqrt{187}\end{align*}$
On a donc $EA=EB$.
$\quad$
a. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_2$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$
$\vect{AB}$ et $\vec{n}$ ne sont pas colinéaires.
Les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont par conséquent sécants.
$\quad$
b. Soit $t\in \R$.
$\begin{align*} (2+t)-(1+t)-1&=2+t-1-t-1 \\
&=0\end{align*}$
La droite dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\end{cases},~(t\in \R)$ est incluses dans le plan $\mathscr{P}_1$.
$\begin{align*} (2+t)-t-2&=2+t-t-2 \\
&=0\end{align*}$
La droite dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\end{cases},~(t\in \R)$ est incluses dans le plan $\mathscr{P}_2$.
L’intersection de deux plans est une droite.
Ainsi une représentation paramétrique de $\Delta$ est $\begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\end{cases},~(t\in \R)$.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\\y+z-3=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\\1+t+t-3=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\\t=1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} t=1\\x=3\\y=2\\z=1\end{cases}\end{align*}$
La droite $\Delta$ est sécante au plan $\mathscr{P}_3$ en $\Omega(3;2;1)$.
$\quad$
a. $\Omega$ appartient au plan médiateur de $[AB]$ donc $\Omega A=\Omega B$.
$\Omega$ appartient au plan médiateur de $[AC]$ donc $\Omega A=\Omega C$.
$\Omega$ appartient au plan médiateur de $[AD]$ donc $\Omega A=\Omega D$.
Ainsi $\Omega A=\Omega B=\Omega C=\Omega D$.
$\quad$
b. Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent donc à la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $\Omega A$.
Or
$\begin{align*} \Omega A&=\sqrt{(5-3)^2+(0-2)^2+(-1-1)^2} \\
&=\sqrt{4+4+4} \\
&=2\sqrt{3}\end{align*}$
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 7 points

Thème : probabilités

Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l’âge du skieur :

un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de vingt-cinq ans ;
un forfait SÉNIOR pour les autres.

Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge,
l’option coupe-file qui permet d’écourter le temps d’attente aux remontées
mécaniques.

On admet que :

$20\%$ des skieurs ont un forfait JUNIOR ;
$80\%$ des skieurs ont un forfait SÉNIOR ;
parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, $6\%$ choisissent l’option coupe-file ;
parmi les skieurs ayant un forfait SÉNIOR, $12,5\%$ choisissent l’option coupe-file.

On interroge un skieur au hasard et on considère les événements :

$J$ : « le skieur a un forfait JUNIOR » ;
$C$ : « le skieur choisit l’option coupe-file ».

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

Traduire la situation par un arbre pondéré.
$\quad$
Calculer la probabilité $P(J\cap C)$.
$\quad$
Démontrer que la probabilité que le skieur choisisse l’option coupe-file
est égale à $0,112$.
$\quad$
Le skieur a choisi l’option coupe-file. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un skieur ayant un forfait SÉNIOR ? Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
$\quad$
Est-il vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de $15\%$ des skieurs ayant choisi l’option coupe-file ? Expliquer.
$\quad$

Partie B
On rappelle que la probabilité qu’un skieur choisisse l’option coupe-file est
égale à $0,112$.

On considère un échantillon de $30$ skieurs choisis au hasard.

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre des skieurs de l’échantillon ayant choisi l’option coupe-file.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
Donner les paramètres de cette loi.
$\quad$
Calculer la probabilité qu’au moins un des $30$ skieurs ait choisi l’option coupe-file.
Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
$\quad$
Calculer la probabilité qu’au plus un des $30$ skieurs ait choisi l’option coupe-file.
Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
$\quad$
Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Thème : suites, fonctions, fonction logarithme

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la
réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Un récipient contenant initialement $1$ litre d’eau est laissé au soleil.
Toutes les heures, le volume d’eau diminue de $15\%$.
Au bout de quel nombre entier d’heures le volume d’eau devient-il inférieur à un quart de litre ?
a. $2$ heures
b. $8$ heures
c. $9$ heures
d. $13$ heures
$\quad$
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3$ et $u_0=6$. On peut affirmer que :
a. la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.
b. la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
c. la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas monotone.
d. la suite $\left(u_n\right)$ est constante.
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x)=4\ln(3x)$
Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;+\infty[$ , on a :
a. $f(2x)=f(x)+\ln(24)$
b. $f(2x)=f(x)+\ln(16)$
c. $f(2x)=\ln(2)+f(x)$
d. $f(2x)=2f(x)$
$\quad$
On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]1;+\infty[$ par :
$$g(x)\dfrac{\ln(x)}{x-1}$$
On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal.
La courbe $\mathcal{C}_g$ admet :
a. une asymptote verticale et une asymptote horizontale.
b. une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
c. aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.
d. aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
$\quad$

Dans la suite de l’exercice, on considère la fonction $h$ définie sur l’intervalle $]0 ; 2]$ par : $$h(x) = x^2\left(1 + 2 \ln(x)\right)$$
On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère du plan.
On admet que $h$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $]0 ; 2]$.
On note $h’$ sa dérivée et $h\dsec$ sa dérivée seconde.

On admet que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ; 2]$, on a :$$h'(x)=4x\left(1+\ln(x)\right)$$

Sur l’intervalle $\left[\dfrac{1}{\e};2\right]$, la fonction $h$ s’annule :
a. exactement $0$ fois.
b. exactement $1$ fois.
c. exactement $2$ fois.
d. exactement $3$ fois.
$\quad$
Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_h$ au point d’abscisse $\sqrt{\e}$ est :
a. $y=\left(6\e^{\frac{1}{2}}\right).x$
b. $y=\left(6\sqrt{\e}\right).x+2\e$
c. $y=6\e^{\frac{x}{2}}$
d. $y=\left(6\e^{\frac{1}{2}}\right).x-4\e$
$\quad$
Sur l’intervalle $]0 ; 2]$, le nombre de points d’inflexion de la courbe $\mathcal{C}_h$ est égal à :
a. $0$
b. $1$
c. $2$
d. $3$
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Thème : suites, fonctions, fonction exponentielle

Partie A

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : $$f(x)=1+x-\e^{0,5x-2}$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$. On note $f’$ sa dérivée.

a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
$\quad$
b. Démontrer que, pour tout réel $x$ non nul, $f(x) = 1 + 0,5x\left(2-\dfrac{\e^{0,5x}}{0,5x}\times \e^{-2}\right)$.
En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\quad$
a. Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
$\quad$
b. Démontrer que l’ensemble des solutions de l’inéquation $f'(x)<0$ est
l’intervalle $]4 + 2\ln(2) ; +\infty[$.
$\quad$
Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
On fera figurer la valeur exacte de l’image de $4 + 2\ln(2)$ par $f$.
$\quad$
Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[-1; 0]$.
$\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$ ,
$$u_{n+1}=f\left(u_n\right) \text{ où } f \text{ est la fonction définie à la }\textbf{ partie A.}$$

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , on a : $$u_n\pp u_{n+1}\pp 4$$
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge. On notera $\ell$ la limite.
$\quad$
a. On rappelle que $\ell$ vérifie la relation $\ell=f(\ell)$.
Démontrer que $\ell = 4$.
$\quad$
b. On considère la fonction $\texttt{valeur}$ écrite ci-dessous dans le langage Python :
$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def valeur(a):}\\
\quad\text{u=0}\\
\quad\text{n=0}\\
\quad\text{while u<=a:}\\
\qquad\text{u=1+u-exp(0.5*u-2)}\\
\qquad\text{n=n+1}\\
\quad\text{return n}\\
\hline
\end{array}$
L’instruction $\texttt{valeur(3.99)}$ renvoie la valeur $12$.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

Thème : Géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(5 ; 0 ; -1)$, $B(1 ; 4 ; -1)$, $C(1 ; 0 ; 3)$, $D(5 ; 4 ; 3)$ et $E(10 ; 9 ; 8)$

a. Soit $R$ le milieu du segment $[AB]$.
Calculer les coordonnées du point $R$ ainsi que les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$.
$\quad$
b. Soit $\mathcal{P}_1$ le plan passant par le point $R$ et dont $\vect{AB}$ est un vecteur normal.
Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_1$ est :
$$x-y-1=0$$
$\quad$
c. Démontrer que le point $E$ appartient au plan $\mathcal{P}_1$ et que $EA = EB$.
$\quad$
On considère le plan $\mathcal{P}_2$ d’équation cartésienne $x-z-2=0$.
a. Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants.
$\quad$
b. On note $\Delta$ la droite d’intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ .
Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :$$\begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\end{cases} \quad (t\in \R)$$
$\quad$
On considère le plan $\mathcal{P}_3$ d’équation cartésienne $y+z-3=0$.
Justifier que la droite $\Delta$ est sécante au plan $\mathcal{P}_3$ en un point $\Omega$ dont on déterminera les coordonnées.

Si $S$ et $T$ sont deux points distincts de l’espace, on rappelle que l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que $MS = MT$ est un plan, appelé plan médiateur du segment $[ST]$.
On admet que les plans $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont les plans médiateurs respectifs des segments $[AB]$, $[AC]$ et $[AD]$.

a. Justifier que $\Omega A = \Omega B = \Omega C = \Omega D$.
$\quad$
b. En déduire que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à une même sphère dont on précisera le centre et le rayon.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 2 – 12 mai 2022

Centres étrangers – 12 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1\times\e^x-x\e^x}{\left(\e^x\right)^2} \\
&=\dfrac{(1-x)\e^x}{\e^{2x}} \\
&=\dfrac{1-x}{\e^x} \\
&=(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
Réponse C
$\quad$
La fonction $f\dsec$ semble donc strictement positive sur $]-3;-1[$ et strictement négative sur $]-1;1[$.
La fonction $f’$ semble donc croissante sur $[-3;-1]$ et strictement décroissante sur $[-1;1]$.
Ainsi $f’$ admet un maximum en $x=-1$.
Réponse D
$\quad$
On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)\e^{-x^2}$.
Elle est dérivable sur $\R$ en tant que produit et composée de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$
$\begin{align*} F'(x)&=-\dfrac{1}{2}\left(2x\e^{-x^2}+\left(x^2+1\right)\times (-2x)\e^{-x^2}\right)\\
&=-\dfrac{1}{2}\left(2x\e^{-x^2}-2x^3\e^{-x^2}-2x\e^{-x^2}\right) \\
&=-\dfrac{1}{2}\times \left(-2x^3\right) \e^{-x^2}\\
&=f(x)\end{align*}$
Réponse C
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} \dfrac{\e^x+1}{\e^x-1}&=\dfrac{\e^x\left(1+\e^{-x}\right)}{\e^x\left(1-\e^{-x}\right)} \\
&=\dfrac{1+\e^{-x}}{1-\e^{-x}}\end{align*}$
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x+1}{\e^x-1}=1$.
Réponse B
$\quad$
Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{2x+1}+K$
$\begin{align*} F(0)=1&\ssi \dfrac{1}{2}\e+K=1 \\
&\ssi K=1-\dfrac{1}{2}\e\end{align*}$
Donc, pour tout réel $x$, $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{2x+1}+1-\dfrac{1}{2}\e$.
Réponse C
$\quad$
La fonction $f$ semble concave sur $[-2;1]$ et convexe sur $[1;4]$.
Par conséquent $f\dsec(x)$ est négatif sur $[-2;1]$ et positif sur $[1;4]$ en ne s’annulant qu’en $1$.
Réponse A
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=0$ donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$.
$\quad$
$\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} x\ln(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ strictement positif,
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x} \\
&=\ln(x)+1\end{align*}$
$\quad$
b. $\ln(x)+1=0 \ssi \ln(x)=-1 \ssi x=\e^{-1}$
$\ln(x)+1>0\ssi \ln(x)>-1 \ssi x>\e^{-1}$
On obtient donc le tableau de variations suivant :

$\quad$
c. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left]0;\e^{-1}\right[$
Donc pour tout $x\in \left]0;\e^{-1}\right]$ on a $0<1-\e^{-1}\pp f(x) <1$.
$f(1)=1$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]0;\e^{-1}\right[$
Donc pour tout $x\in \left[\e^{-1};1\right[$ on a $0<1-\e^{-1}\pp f(x) < 1$.
Ainsi, pour tout $x\in [0;1]$ on a $0<f(x)<1$.
$\quad$
a. $f'(1)=1$ et $f(1)=1$
Une équation de $(T)$ est donc $y=1\times (x-1)+1$ soit $y=x$.
$\quad$
b. La fonction $f’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x\in ]0;+\infty[$ on a $f\dsec(x)=\dfrac{1}{x}>0$.
La fonction $f$ est donc convexe sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
c. La courbe $C_f$ est donc au-dessus de toutes ses tangentes en particulier au-dessus de $T$.
Donc, pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x)\pg x$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0<u_n<1$.
Initialisation : $u_0\in ]0;1[$ par définition. Donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
On a $0<u_n<1$ donc, d’après la question 2.c., $0<f\left(u_n\right)<1$ soit $0<u_{n+1}<1$.
$P(n+1)$ est donc vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0<u_n<1$.
$\quad$
b. Soit $n\in \N$
D’après la question 3.c. on a $f\left(u_n\right)\pg u_n$ soit $u_{n+1}\pg u_n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
$\quad$
c. La suite $\left(un\right)$ est croissante et majorée par $1$. Elle est donc convergente.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

$\vect{AB}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}$, $\vect{AC}\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}$ et $\vect{AD}\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}$
$A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels $x$ et $y$ tels que :
$\begin{align*} \vect{AD}=x\vect{AB}+y\vect{AC}&\ssi \begin{cases} 3x+3y&=-3\\3x&=6\\3x-3y&=-3\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x+y&=-3\\x&=2\\x-y&=-1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2\\y=-5\\y=3\end{cases}\end{align*}$
Les deux dernières lignes du système sont incompatibles.
Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont donc pas coplanaires.
$\quad$
a.
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=3\times 3+3\times 0+3\times (-3) \\
&=9+0-9\\
&=0\end{align*}$
Ces deux vecteurs sont orthogonaux.
Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
$\quad$
b.
$\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AB}&=-3\times 3+6\times 3+(-3)\times 3 \\
&=-9+18-9 \\
&=0\end{align*}$
$\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AC}&=-3\times 3+6\times 0+(-3)\times (-3) \\
&=-9+0+9 \\
&=0\end{align*}$
Le vecteur $\vect{AD}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (ils sont orthogonaux d’après la question précédente) du plan $(ABC)$.
La droite $(AD)$ est par conséquent perpendiculaire au plan $(ABC)$.
$\quad$
c.
$\begin{align*} AD&=\sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2} \\
&=\sqrt{9+36+9} \\
&=\sqrt{54}\end{align*}$
$\begin{align*} AB&=\sqrt{3^2+3^2+3^2} \\
&=\sqrt{9+9+9} \\
&=\sqrt{27}\end{align*}$
$\begin{align*} AC&=\sqrt{3^2+0^2+(-3)^2} \\
&=\sqrt{9+0+9} \\
&=\sqrt{18}\end{align*}$
L’aire du triangle $ABC$ est
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AB\times AC}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{27}\times \sqrt{18}}{2}\\
&=\dfrac{9\sqrt{6}}{2}\end{align*}$
Par conséquent le volume du tétraèdre $ABCD$ est
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times AD\times \mathscr{A} \\
&=\dfrac{1}{3}\times \sqrt{54}\times \dfrac{9\sqrt{6}}{2}\\
&=27\end{align*}$
$\quad$
a. $\vect{BH}\begin{pmatrix}-1\\-1\\-4\end{pmatrix}$, $\vect{BC}\begin{pmatrix}0\\-3\\-6\end{pmatrix}$ et $\vect{BD}\begin{pmatrix}-6\\3\\-6\end{pmatrix}$
$\begin{align*} \vect{BH}=\alpha\vect{BC}+\beta\vect{BD}&\ssi \begin{cases} -6\beta&=-1 \\
-3\alpha+3\beta&=-1\\
-6\alpha-6\beta&=-4\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} \beta=\dfrac{1}{6}\\\alpha=\dfrac{1}{2}\end{cases}\end{align*}$
Par conséquent $\vect{BH}=\dfrac{1}{2}\vect{BC}+\dfrac{1}{6}\vect{BD}$.
$\quad$
b. $\vect{AH}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$
$\begin{align*} \vect{AH}.\vect{BC}&=2\times 0+2\times (-3)+(-1)\times (-6) \\
&=0\end{align*}$
$\begin{align*} \vect{AH}.\vect{BD}&=2\times (-6)+2\times 3+(-1)\times (-6) \\
&=0\end{align*}$
Le vecteur $\vect{AH}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BCD)$.
C’est donc un vecteur normal à ce plan.
D’après la question précédente, $H$ appartient au plan $(BCD)$.
Donc $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $(BCD)$.
$\quad$
c.
$\begin{align*} AH&=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2} \\
&=\sqrt{9} \\
&=3\end{align*}$
La distance du point $A$ au plan $(BCD)$ est égale à $3$ unités de longueur.
$\quad$
On note $\mathscr{A}$ l’aire du triangle $BCD$.
$\begin{align*} V=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times h&\ssi 27=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times 3\\
&\ssi \mathscr{A}=27\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. On appelle :
$\bullet ~~N_i$ l’événement « le jeton tiré lors du $i$-ème tirage est noir » ;
$\bullet ~~B_i$ l’événement « le jeton tiré lors du $i$-ème tirage est blanc ».
On obtient donc l’arbre pondéré suivant :
$ \quad$
$\quad$
b. La probabilité de perdre $9$ € sur une partie est égale à :
$\begin{align*} P\left(B_1\cap B_2\right)&=P\left(B_1\right)\times P_{B_1}\left(B_2\right) \\
&=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{3}{5} \\
&=\dfrac{9}{25}\end{align*}$
$\quad$
a. À chaque tirage, la probabilité de tirer un jeton noir vaut $\dfrac{N}{N+3}$ et la probabilité de tirer un jeton blanc vaut $\dfrac{3}{N+3}$.
La probabilité de tirer deux jetons blancs est égale à $\left(\dfrac{3}{N+3}\right)^2$.
La probabilité de tirer deux jetons noirs est égale à $\left(\dfrac{N}{N+3}\right)^2$.
Par conséquent la probabilité de tirer deux jetons de couleurs différentes est égale à :
$\begin{align*} p&=1-\left(\dfrac{3}{N+3}\right)^2-\left(\dfrac{N}{N+3}\right)^2 \\
&=1-\dfrac{9}{(N+3)^2}-\dfrac{N^2}{(N+3)^2} \\
&=\dfrac{(N+3)^2-9-N^2}{(N+3)^2} \\
&=\dfrac{N^2+6N+9-9-N^2}{(N+3)^2} \\
&=\dfrac{6N}{(N+3)^2}\end{align*}$
On obtient ainsi la loi de probabilité suivante :
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x&-9&-1&5\\
\hline
P(X=x)&\dfrac{9}{(N+3)^2}&\dfrac{N^2}{(N+3)^2}&\dfrac{6N}{(N+3)^2}\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
b. Le discriminant de $-x^2+30x-81$ est $\Delta=576>0$.
Les racines de $-x^2+3x-81$ sont donc $x_1=\dfrac{-30-\sqrt{576}}{-2}=27$ et $x_1=\dfrac{-30+\sqrt{576}}{-2}=3$.
Le coefficient principal du polynôme du second degré est $a=-1<0$.
Par conséquent l’ensemble solution de $-x^2+3x-81>0$ est $]3;27[$.
$\quad$
c. Le jeu est favorable au joueur si, et seulement si, l’espérance de $X$ est strictement positive.
$\begin{align*} E(X)>0&\ssi -9\times \dfrac{9}{(N+3)^2}-1\times \dfrac{N^2}{(N+3)^2}+5\times \dfrac{6N}{(N+3)^2}>0 \\
&\ssi -81-N^2+30N>0\end{align*}$
D’après la question précédente, le jeu est favorable au joueur si, et seulement si, $N$ est un entier naturel compris entre $4$ et $26$, tous les deux inclus.
$\quad$
d. On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{-x^2+30x-81}{(x+3)^2}$.
Elle est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x\in[0;+\infty[$ on a
$\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{(-2x+30)(x+3)^2-2(x+3)\left(-x^2+30x-81\right)}{(x+3)^4} \\
&=\dfrac{(-2x+30)(x+3)-2\left(-x^2+30x-81\right)}{(x+3)^3} \\
&=\dfrac{-2x^2-6x+30x+90+2x^2-60x+162}{(x+3)^3}\\
&=\dfrac{-36x+252}{(x+3)^3}\end{align*}$
$g'(x)$ est donc du signe de $-36x+252$ sur $[0;+\infty[$.
Or $-36x+252>0\ssi -36x>-252 \ssi x<7$.
Par conséquent $g$ est strictement croissante sur $[0;7]$ et strictement décroissante sur $[7;+\infty[$.
Elle atteint donc son maximum pour $x=7$.
Or $E(X)=g(N)$ et $7\in [4;26]$.
Le gain moyen est donc maximal s’il y a $7$ jetons noirs.
$\quad$
$N=7$ donc $P(X=5)=0,42$.
On répète $10$ fois de façons indépendantes la même expérience de Bernoulli. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de joueur ayant gagné $5$ euros.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,42$.
$\begin{align*} P(Y\pg 1)&=1-P(Y=0) \\
&=1-(1-0,42)^{10} \\
&=1-0,58^{10}\\
&\approx 0,996\end{align*}$
La probabilité d’avoir au moins un joueur gagnant $5$ euros est environ égale à $0,996$.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 7 points

Thème : Fonction exponentielle

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question en rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $$f(x)=\dfrac{x}{\e^x}$$
On suppose que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
a. $f'(x)=\e^{-x}$
b. $f'(x)=x\e^{-x}$
c. $f'(x)=(1-x)\e^{-x}$
d. $f'(x)=(1+x)\e^{-x}$
$\quad$
Soit $f $ une fonction deux fois dérivable sur l’intervalle $[-3;1]$. On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée seconde $f\dsec$.
On peut alors affirmer que :
a. La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[-1;1]$
b. La fonction $f$ est concave sur l’intervalle $[-2;0]$
c. La fonction $f’$ est décroissante sur l’intervalle $[-2;0]$
d. La fonction $f’$ admet un maximum en $x=-1$
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=x^3\e^{-x^2}$$
Une primitive $F$ de la fonction $f$ est définie sur $\R$ par :
a. $F(x)=-\dfrac{1}{6}\left(x^3+1\right)\e^{-x^2}$
b. $F(x)=-\dfrac{1}{4}x^4\e^{-x^2}$
c. $F(x)=-\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)\e^{-x^2}$
d. $F(x)=x^2\left(3-2x^2\right)\e^{-x^2}$
$\quad$
Que vaut $$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x+1}{\e^x-1}$$
a $-1$
b. $1$
c. $+\infty$
d. N’existe pas
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{2x+1}$.
La seule primitive de $F$ sur $\R$ de la fonction $f$ telle que $F(0)=1$ est la fonction :
a. $x\mapsto 2\e^{2x+1}-2\e+1$
b. $x\mapsto \e^{2x+1}-\e$
c. $x\mapsto \dfrac{1}{2}\e^{2x+1}-\dfrac{1}{2}\e+1$
d. $x\mapsto \e^{x^2+x}$
$\quad$
Dans un repère, on a tracé ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $[-2;4]$.
Parmi les courbes suivantes, laquelle représente la fonction $f\dsec$, dérivée seconde de $f$?
a.
b. c. d. $\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Thème : Fonction logarithme et suite

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par $$f(x)=x\ln(x)+1$$

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ ainsi que sa limite en $+\infty$.
$\quad$
a. On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on notera $f’$ sa fonction dérivée.
Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $$f'(x)=1+\ln(x)$$
$\quad$
b. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
On y fera figurer la valeur exacte de l’extremum de $f$ sur $]0;+\infty[$ et les limites.
$\quad$
c. Justifier que pour tout $x\in ]0;1[$, $f(x)\in ]0;1[$.
$\quad$
a. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $1$.
$\quad$
b. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
c. En déduire que pour tout réel $x$ strictement positif $$f(x)\pg x$$
$\quad$
On définit la suite $\left(u_n\right)$ par son premier terme $u_0$ élément de l’intervalle $]0;1[$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$$
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $0<u_n<1$.
$\quad$
b. Déduire de la question 3c la croissance de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
c. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Thème : Géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé $Oijk$.

On considère les points $A(3;-2;2)$, $B(6;1;5)$, $C(6;-2;-1)$ et $D(0;4;-1)$.

On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times h$$
où $\mathscr{A}$ est l’aire de la base et $h$ la hauteur correspondante.

Démontrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
$\quad$
a. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
$\quad$
b. Montrer que la droite $(AD)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
$\quad$
c. En déduire le volume du tétraèdre $ABCD$.
$\quad$
On considère le point $H(5;0;1)$.
a. Montrer qu’il existe des réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\vect{BH}=\alpha \vect{BC}+\beta\vect{BD}$.
$\quad$
b. Démontrer que $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $(BCD)$.
$\quad$
c. En déduire la distance du point $A$ au plan $(BCD)$.
$\quad$
Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $BCD$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

Thème : Probabilités

Une urne contient des jetons blancs et noirs tous indiscernables au toucher.

Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux jetons de cette urne.

On établit la règle de jeu suivante :

un joueur perd $9$ euros si les deux jetons tirés sont de couleur blanche;
un joueur perd $1$ euro si les deux jetons tirés sont de couleur noire;
un joueur gagne $5$ euros si les deux jetons tirés sont de couleurs différentes.

On considère que l’urne contient $2$ jetons noirs et $3$ jetons blancs.
a. Modéliser la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
$\quad$
b. Calculer la probabilité de perdre $9$ € sur une partie.
$\quad$
On considère maintenant que l’urne contient $3$ jetons blancs et au moins deux jetons noirs mais on ne connait pas le nombre exact de jetons noirs. On appellera $N$ le nombre de jetons noirs.
a. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le gain du jeu pour une partie.
Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.
$\quad$
b. Résoudre l’inéquation pour $x$ réel : $$-x^2+30x-81>0$$
$\quad$
c. En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer le nombre de jetons noirs que l’une doit contenir afin que ce jeu soit favorable au joueur.
$\quad$
d. Combien de jetons noirs le joueur doit-il demander afin d’obtenir un gain moyen maximal?
$\quad$
On observe $10$ joueurs qui tentent leur chance en effectuant une partie de ce jeu, indépendamment les uns des autres. On suppose que $7$ jetons noirs ont été placés dans l’urne (avec $3$ jetons blancs). Quelle est la probabilité d’avoir au moins $1$ joueur gagnant $5$ euros?
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 1 – 11 mai 2022

Centres étrangers – 11 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

$\quad$
$\begin{align*} f(x)=2~022 &\ssi \ln\left(1+x^2\right)=2~022\\
&\ssi 1+x^2=\e^{2~022} \\
&\ssi x^2=\e^{2~022}-1 \end{align*}$
Or $\e^{2~022}-1>0$
Les solutions de l’équation $x^2=\e^{2~022}-1$ sont donc $\sqrt{\e^{2~022}-1}$ et $-\sqrt{\e^{2~022}-1}$.
Réponse C
$\quad$
La fonction $g$ dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
Pour tout réel $x>0$ on a
$\begin{align*} g'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-2x \\
&=\ln(x)+1-2x\end{align*}$
La fonction $g’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
Pour tout réel $x>0$ on a
$\begin{align*} g\dsec(x)&=\dfrac{1}{x}-2 \\
&=\dfrac{1-2x}{x}\end{align*}$
Sur $]0;+\infty[$, $g\dsec(x)$ ne dépend que du signe de $1-2x$.
Or $1-2x>0\ssi -2x>-1 \ssi x<\dfrac{1}{2}$ et $1-2x=0 \ssi x=\dfrac{1}{2}$.
Ainsi $g\dsec(x)$ s’annule en changeant de signes qu’une seule fois pour $x=\dfrac{1}{2}$.
La courbe $C_g$ admet donc exactement un point d’inflexion sur $]0;+\infty[$.
Réponse C
$\quad$
Pour tout réel $x\in ]-1;1[$ on a $f(x)=-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{-2x}{1-x^2}$
On reconnaît une dérivée de la forme $\dfrac{u’}{u}$ dont une primitive est $\ln(u)$ avec $u(x)=1-x^2$.
Une primitive de $f$ est donc la fonction $g$ définie sur $]-1;1[$ par $g(x)=-\dfrac{1}{2}\ln\left(1-x^2\right)$.
Réponse A
$\quad$
La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$.
$-x^2-x+6$ a pour discriminant $\Delta = 25>0$.
Les solutions de l’équation $-x^2-x+6=0$ sont $x_1=2$ et $x_2=-3$.
Le coefficient principal est $a=-1<0$.
Ainsi $-x^2-x+6>0$ sur $]-3;2[$.
Réponse A
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $]0,5;+\infty[$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x\in ]0,5;+\infty[$ on a $f'(x)=-2x-4+\dfrac{6}{2x-1}$
Par conséquent $f'(1)=4$ et $f(1)=-3$.
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $1$ est $y=4(x-1)-3$ soit $y=4x-7$.
Réponse A
$\quad$
Remarque : On pouvait se contenter de calculer $f'(1)$ car tous les coefficients directeurs fournis sont différents les uns des autres. Le reste du calcul permet de vérifier que l’ordonnée à l’origine est bien égale à ce qui est proposé.
$\quad$
$x+3>0\ssi x>-3$ et $x+1>0\ssi x>-1$.
L’inégalité n’est donc définie que sur $]-1;+\infty[$.
$\begin{align*} \ln(x+3)<2\ln(x+1)&\Rightarrow \ln(x+3) <\ln\left((x+1)^2\right) \\
&\Rightarrow x+3<(x+1)^2 \\
&\Rightarrow x+3<x^2+2x+1\\
&\Rightarrow x^2+x-2>0\end{align*}$
Le discriminant est $\Delta=9>0$.
Les solutions de $x^2+x-2=0$ sont donc $-2$ et $1$.
Le coefficient principal est $a=1>0$ donc $x^2+x-2>0$ sur $]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[$.
Ainsi
$\begin{align*} \mathscr{S}&=]-1;+\infty[ \cap \left(]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[\right) \\
&=]1;+\infty[\end{align*}$
Réponse B
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Calcul d’un angle
a. On a $\vect{AB}(-2;2;-2)$ et $\vect{AC}(-3;-1;-1)$.
$\dfrac{-3}{-2}=1,5$ et $\dfrac{-1}{2}=-0,5$. Or $1,5\neq -0,5$.
Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Par conséquent $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
$\quad$
b.
$\begin{align*} AB&=\sqrt{(-2)^2+2^2+(-2)^2} \\
&=\sqrt{12} \\
&=2\sqrt{3}\end{align*}$
$\begin{align*} AC&=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+(-1)^2} \\
&=\sqrt{11}\end{align*}$
$\quad$
c.
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=-2\times (-3)+2\times (-1)+(-2)\times (-1) \\
&=6\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\widehat{BAC}\right) &\ssi \cos\left(\widehat{BAC}\right)=\dfrac{\vect{AB}.\vect{AC}}{AB\times AC} \\
&\ssi \cos\left(\widehat{BAC}\right)=\dfrac{6}{2\sqrt{3}\times \sqrt{11}} \\
&=\dfrac{3}{\sqrt{33}}\end{align*}$
Par conséquent $\widehat{BAC}\approx 58,5$°
$\quad$
Calcul d’une aire
a. $\vect{AB}$ est donc un vecteur normal au plan $P$
Une équation de $P$ est donc de la forme $-2x+2y-2z+d=0$.
$C(-1;-1;2)$ appartient à $P$. Donc $2-2-4+d=0 \ssi d=4$.
Une équation cartésienne de $P$ est $-2x+2y-2z+4=0$ ou encore $-x+y-z+2=0$.
$\quad$
b. Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est $\begin{cases} x=2-2t\\y=2t\\z=3-2t\end{cases}$.
$\quad$
c.
$\begin{align*}\begin{cases} x=2-2t\\y=2t\\z=3-2t\\-x+y-z+2=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=2-2t\\y=2t\\z=3-2t\\-(2-2t)+2t-(3-2t)+2=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2-2t\\y=2t\\z=3-2t\\-2+2t+2t-3+2t+2=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=2-2t\\y=2t\\z=3-2t\\6t =3\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=\dfrac{1}{2}\\x=1\\y=1\\z=2\end{cases}\end{align*}$
Le point $E$ a donc pour coordonnées $(1;1;2)$.
$\quad$
d. L’aire du triangle $ABC$ est
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{1}{2}\times AB\times AC\times \sin\left(\widehat{ABC}\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times \sqrt{11}\times \sin\left(\widehat{ABC}\right) \\
&=\sqrt{33}\times \sin\left(\widehat{ABC}\right)\\
&=2\sqrt{6}\\
&\approx 4,899\end{align*}$
$\quad$
Remarque : Pour calculer la valeur exacte de $\sin\left(\widehat{ABC}\right)$ on peut utiliser la propriété suivante : pour tout réel $x$, $\sin^2x+\cos^2 x=1$, connaissant la valeur de $\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{3}{\sqrt{33}}$
On a donc $\sin^2\left(\widehat{ABC}\right)+\dfrac{9}{33}=1$ soit $\sin^2\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{8}{11}$.
Or $\sin\left(\widehat{ABC}\right)>0$ (sinon l’aire est négative!) donc $\sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$
$\quad$
Calcul d’un volume
a. $\vect{AF}(-1;-1;0)$ or $\vect{AB}(-2;2;-2)$ et $\vect{AC}(-3;-1;-1)$.
Par conséquent (après résolution d’un système éventuellement) $\vect{AF}=-\dfrac{1}{4}\vect{AB}+\dfrac{1}{2}\vect{AC}$.
Ainsi, les points $A$, $B$, $C$ et $F$ sont coplanaires.
$\quad$
b. $\vect{FD}(2;-2;-4)$.
$\begin{align*} \vect{FD}.\vect{AB}&=2\times (-2)-2\times 2-4\times (-2) \\
&=0\end{align*}$
$\begin{align*} \vect{FD}.\vect{AC}&=2\times (-3)-2\times (-1)-4\times (-1) \\
&=0\end{align*}$
Le vecteur $\vect{FD}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
$(FD)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
c.
$\begin{align*} FD&=\sqrt{2^2+(-2)^2+(-4)^2} \\
&=\sqrt{24}\end{align*}$
Le volume de $ABCD$ est
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times FD\times \mathscr{A} \\
&=8\end{align*}$
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

$\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} -x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} h(x)=+\infty$
Pour tout réel $x$, $h(x)=\e^x\left(1-\dfrac{x}{\e^x}\right)$. $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ et par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{\e^x}=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=+\infty$
$\quad$
La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a $h'(x)=\e^x-1$.
Or $\e^x-1=0 \ssi x=0$ et $\e^x-1>0 \ssi x>0$.
La fonction $h$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
On obtient alors le tableau de variations suivant :$\quad$
La fonction $h$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
Donc, pour tous réels $a$ et $b$ tels que $0\pp a\pp b$ on a $h(a)\pp h(b)$ c’est-à-dire $h(a)-h(b) \pp 0$.
$\quad$

Partie B

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction exponentielle.
Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\e^x$.
$f(0)=1$ et $f'(0)=1$.
Une équation de $T$ est donc $y=x+1$.
$\quad$
$\lim\limits_{n\to +\infty } \dfrac{1}{n}=0$ et $\lim\limits_{x\to 0} \e^x=1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
$\quad$
a. Soit $n$ un entier naturel non nul.
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\exp\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-\dfrac{1}{n+1}-1-\left(\exp\left(\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}-1\right) \\
&=\exp\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-\dfrac{1}{n+1}-\exp\left(\dfrac{1}{n}\right)+\dfrac{1}{n} \\
&=h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac{1}{n}\right)\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}$.
Donc d’après la question A.3. $h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac{1}{n}\right)\pp 0$.
Donc $u_{n+1}-u_n\pp 0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
D’après le tableau de valeurs $u_n<10^{-2}$ à partir de $n=8$.
C’est donc à partir de $n=8$ que l’écart entre $T$ et $C_f$ semble être inférieur à $10^{-2}$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

On obtient le tableau suivant :
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&A&\conj{A}&\text{Total} \\
\hline
B&0,05&0,15&0,2\\
\hline
\conj{B}&0,05&0,75&0,8 \\
\hline
\text{Total}&0,1&0,9&1\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
a. On veut calculer
$\begin{align*} P(A\cup B)&=1-P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right) \\
&=1-0,75 \\
&=0,25\end{align*}$
La probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour au moins un des deux traitements est donc égale à $0,25$.
$\quad$
b. On veut calculer $P(A\cap B)=0,05$.
La probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour les deux traitements est donc égale à $0,05$.
$\quad$
c. $P(A)\times P(B)=0,02$ et $P(A\cap B)=0,05$.
Donc $P(A)P(B)\neq P(A\cap B)$
Les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} P\left(A\cap \conj{B}\right)+P\left(B\cap \conj{A}\right) &=0,15+0,05 \\
&=0,2\end{align*}$
La probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour un seul des deux traitements est donc égale à $0,2$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_A(B)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} \\
&=\dfrac{0,05}{0,1} \\
&=0,5\end{align*}$
La probabilité qu’une paire de verres présente un défaut de traitement T2 sachant qu’elle présente un défaut de traitement T1 est égale à $0,5$.
$\quad$

Partie B

On répète indépendamment $50$ fois la même expérience de Bernoulli. $X$ compte le nombre de paires de verres qui présentent le défaut pour le traitement T1.
Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,1$.
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} P(X=10)&=\dbinom{50}{10}\times 0,1^{10} \times (1-0,1)^{50-10} \\
&\approx 0,015\end{align*}$
La probabilité qu’exactement $10$ paires de verres présentent ce défaut dans l’échantillon est environ égale à $0,015$.
$\quad$
L’espérance de $X$ est $E(X)=50\times 0,1=5$.
Ainsi, en moyenne, on peut trouver $5$ paires de verres ayant ce défaut dans un échantillon de $50$ paires.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 7 points

Thème : Fonction logarithme

Cet exercice est un questionnaire d choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.

Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\ln\left(1+x^2\right)$.
Sur $\R$, l’équation $f(x)=2~022$
a. n’admet aucune solution.
b. admet exactement une solution.
c. admet exactement deux solutions.
d. admet une infinité de solutions.
$\quad$
Soit la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par : $$g(x) = x \ln(x)− x^2$$
On note $\mathscr{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
a. La fonction $g$ est convexe sur $]0 ; +\infty[$.
b. La fonction $g$ est concave sur $]0 ; +\infty[$.
c. La courbe $\mathscr{C}_g$ admet exactement un point
d’inflexion sur $]0 ; +\infty[$.
d. La courbe $\mathscr{C}_g$ admet exactement deux
points d’inflexion sur $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur $]-1;1[$ par $$f(x)=\dfrac{x}{1-x^2}$$
Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]-1;1[$ par :
a. $g(x)=-\dfrac{1}{2}\ln\left(1-x^2\right)$
b. $g(x)=\dfrac{1+x^2}{\left(1-x^2\right)^2}$
c. $g(x)=\dfrac{x^2}{2\left(x-\dfrac{x^3}{3}\right)}$
d. $g(x)=\dfrac{x^2}{2}\ln\left(1-x^2\right)$
$\quad$
La fonction $x\mapsto \ln\left(-x^2-x+6\right)$ est définie sur
a. $]-3;2[$
b. $]-\infty;6[$
c. $]0;+\infty[$
d. $]2;+\infty[$
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur $]0,5;+\infty[$ par $$f(x)=x^2-4x+3\ln(2x-1)$$
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $1$ est :
a. $y=4x-7$
b. $y=2x-4$
c. $y=-3(x-1)+4$
d. $y=2x-1$
$\quad$
L’ensemble $\mathscr{S}$ des solutions dans $\R$ de l’inéquation $\ln(x+3)<2\ln(x+1)$ est :
a. $\mathscr{S}=]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[$
b. $\mathscr{S}=]1;+\infty[$
c. $\mathscr{S}=\emptyset$
d. $\mathscr{S}=]-1;1[$
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Thème : Géométrie dans l’espace

Dans l’espace, rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points : $$A(2;0;3),~B(0;2;1),~C(-1;-1;2) \text{ et } D(3;-3;-1)$$

Calcul d’un angle.
a. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{AB}$ et
$\vect{AC}$ et en déduire que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
$\quad$
b. Calculer les longueurs $AB$ et $AC$.
$\quad$
c. À l’aide du produit scalaire $\vect{AB}.\vect{AC}$, déterminer la valeur du cosinus de l’angle $\widehat{BAC}$ puis donner une valeur approchée de la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ au dixième de degré.
$\quad$
Calcul d’une aire.
a. Déterminer une équation du plan $P$ passant par le point $C$ et perpendiculaire à la droite $(AB)$.
$\quad$
b. Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
$\quad$
c. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal $E$ du point $C$ sur la droite $(AB)$, c’est-à-dire du point d’intersection de la droite $(AB)$ et du plan $P$.
$\quad$
d. Calculer l’aire du triangle $ABC$.
$\quad$
Calcul d’un volume.
a. Soit le point $F(1 ; −1 ; 3)$. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $F$ sont coplanaires.
$\quad$
b. Vérifier que la droite $(FD)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
$\quad$
c. Sachant que le volume d’un tétraèdre est égal au tiers de l’aire de sa base multiplié par sa hauteur, calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Thème : Fonction exponentielle et suite

Partie A :

Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $$h(x)=\e^x-x$$

Déterminer les limites de $h$ en $-\infty$ et $+\infty$.
$\quad$
Étudier les variations de $h$ et dresser son tableau de variation.
$\quad$
En déduire que :
si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0\pp a\pp b$ alors $h(a)-h(b)\pp 0$.
$\quad$

Partie B :

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $$f(x)=\e^x$$

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère $\Oij$.

Déterminer une équation de la tangente $T$ à $C_f$ au point d’abscisse $0$.

Dans la suite de l’exercice on s’intéresse à l’écart entre $T$ et $C_f$ au voisinage de $0$. Cet écart est défini comme la différence des ordonnées des points de $T$ et $C_f$ de même abscisse.

On s’intéresse aux points d’abscisse $\dfrac{1}{n}$, avec $n$ entier naturel non nul.

On considère alors la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par : $$u_n=\exp\left(\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}-1$$

Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
a. Démontrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $$u_{n+1}-u_n=h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac{1}{n}\right)$$
où $h$ est la fonction définie à la partie A.
$\quad$
b. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées à $10^{-9}$ des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
n &u_n \\ \hline
1 &0,718281828\\ \hline
2& 0,148721271\\ \hline
3& 0,062279092 \\ \hline
4& 0,034025417\\ \hline
5& 0,021402758\\ \hline
6& 0,014693746\\ \hline
7& 0,010707852\\ \hline
8& 0,008148453\\ \hline
9& 0,006407958\\ \hline
10& 0,005170918\\ \hline
\end{array}$$
Donner la plus petite valeur de l’entier naturel $n$ pour laquelle l’écart entre $T$ et $C_f$ semble être inférieur à $10^{-2}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

Thème : Probabilités

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Au cours de la fabrication d’une paire de lunettes, la paire de verres doit subir deux traitements notés T1 et T2.

Partie A

On prélève au hasard une paire de verres dans la production.

On désigne par $A$ l’évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 ».

On désigne par $B$ l’évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 ».

On note respectivement $\conj{A}$ et $\conj{B}$ les évènements contraires de $A$ et $B$.

Une étude a montré que :

la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 notée $P(A)$ est égale à $0,1$.
la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 notée $P(B)$ est égale à $0,2$.
la probabilité qu’une paire de verres ne présente aucun des deux défauts est $0,75$.

Recopier et compléter le tableau suivant avec les probabilités correspondantes $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&A&\conj{A}&\text{Total} \\
\hline
B&\phantom{123}&\phantom{123}&\phantom{123}\\
\hline
\conj{B}&\phantom{123}&\phantom{123}&\phantom{123}\\
\hline
\text{Total}&\phantom{123}&\phantom{123}&1\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
a. Déterminer, en justifiant la réponse, la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T1 ou T2.
$\quad$
b. Donner la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente deux défauts, un pour chaque traitement T1 et T2.
$\quad$
c. Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
$\quad$
Calculer la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour un seul des deux traitements.
$\quad$
Calculer la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour le traitement T2, sachant que cette paire de verres présente un défaut pour le traitement T1.
$\quad$

Partie B

On prélève, au hasard, un échantillon de $50$ paires de verres dans la production. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre de paires de verres qui présentent le défaut pour le traitement T1.

Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
$\quad$
Donner l’expression permettant de calculer la probabilité d’avoir, dans un tel échantillon, exactement $10$ paires de verres qui présentent ce défaut.
Effectuer ce calcul et arrondir le résultat à $10^{-3}$.
$\quad$
En moyenne, combien de paires de verres ayant ce défaut peut-on trouver dans un échantillon de $50$ paires ?
$\quad$