E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Quelle est la fraction irréductible égale à $\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{3}$?
$\quad$

Correction Question 1

$\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{21}-\dfrac{14}{21}=-\dfrac{11}{21}$.
$\quad$

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$\quad$
Un objet coûte $25$ €. Son prix baisse de $20\%$. Quel est son nouveau prix?
$\quad$

Correction Question 2

$25\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=\dfrac{100}{4}\times \dfrac{80}{100}=20$.
Le nouveau prix est $20$ €.
$\quad$

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$\quad$
Ecrire le nombre suivant sous la forme $a^n$ avec $a,n \in \N$.
$$5^6\times \left(4^3\right)^2$$
$\quad$

Correction Question 3

$5^6\times \left(4^3\right)^2=5^6\times 4^6=20^6$
$\quad$

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$\quad$
Donner un ordre de grandeur de $$101\times 99$$
$\quad$

Correction Question 4

Un ordre de grandeur de $101\times 99$ est $100\times 100=10~000$.
$\quad$

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$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’équation d’inconnue $x$ suivante : $$3x^2-1=48$$
$\quad$

Correction Question 5

$3x^2-1=48 \ssi 3x^2=49 \ssi x^2=\dfrac{49}{3}$.
Les solutions sont donc $-\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{3}}$ soit $-\dfrac{7}{\sqrt{3}}$ et $\dfrac{7}{\sqrt{3}}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’inéquation d’inconnue $x$ suivante : $$-2x+1\pp 3$$
$\quad$

Correction Question 6

$-2x+1\pp 3 \ssi -2x \pp 2 \ssi x\pg -1$
L’ensemble solution est $[-1;+\infty[$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Factoriser $9x^2-30x+25$
$\quad$

Correction Question 7

$9x^2-30x+25=(3x)^2-2\times 3x\times 5+5^2=(3x-5)^2$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(-x+1)(-2x+4)$.
Déterminer le tableau de signes de $f(x)$.
$\quad$

Correction Question 8

$-x+1=0 \ssi x=1$ et $-x+1>0 \ssi x<1$
$-2x+4=0 \ssi -2x=-4 \ssi x=2$ et $-2x+4>0 \ssi -2x>-4 \ssi x<2$
On obtient donc le tableau de signes suivant :$\quad$

[collapse]

$\quad$
$\quad$
En utilisant la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[-3;2]$ donnée ci-dessous, résoudre l’inéquation $f(x)\pg 0$.
$\quad$

Correction Question 9

L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\pg 0$ est $[-2;1]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Par lecture graphique donner l’équation réduite de la droite d représentée ci-dessus.
$\quad$

Correction Question 10

L’équation réduite de la droite $d$ est : $y=-\dfrac{1}{2}x-1$.
$\quad$

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$\quad$

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Séries technologiques

$0,5\%$ de $12~641$ €
$\quad$

Correction Question 1

$1\%$ de $12~641$ est égale à $126,41$€
Donc $0,5\%$ de $12~641$ est égale à $63,205$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Développer $(2x+3)^2$.
$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} (2x+3)^2&=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2\\
&=4x^2+12x+9\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Donner un antécédent de $0$ par $f:x\mapsto (x+3)(x-1)$.
$\quad$

Correction Question 3

On veut donc résoudre l’équation $(x+3)(x-1)=0$.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
Ainsi $(x+3)(x-1)=0 \ssi x+3=0$ ou $x-1=0$.
$\ssi x=-3$ ou $x=1$
Les antécédents de $0$ par la fonction $f$ sont donc $-3$ et $1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’inéquation : $3-2x\pg 0$
$\quad$

Correction Exercice 4

$3-2x\pg 0\ssi -2x\pg -3 \ssi x\pp \dfrac{3}{2}$
L’ensemble solution est donc $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Soit $f(x)=ax^2$ où $a$ est un nombre réel.
Donner la valeur de $a$ sachant que $f(-2)=10$.
$\quad$

Correction Question 5

$f(-2)=4a$
Ainsi $f(-2)=10 \ssi 4a=10 \ssi a=\dfrac{5}{2}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$
Dans une classe de première, $42 \%$ des élèves sont des garçons et parmi eux, $4 \%$ sont internes.
Donner le pourcentage de garçons internes.
$\quad$

Correction Question 6

$\dfrac{42}{100}\times \dfrac{4}{100}=\dfrac{168}{10~000}=1,68\%$
Le pourcentage de garçons internes est donc égale à $1,68\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
La population d’une ville de $1~520$ habitants baisse chaque année de $10\ %$.
Donner l’arrondi à l’unité du nombre d’habitants au bout de $3$ ans.
$\quad$

Correction Question 7

Au bout d’un an la population a baissé de $152$ habitants. Il reste donc $1~368$ habitants.
La deuxième année la population a baissé d’environ $137$ habitants. Il reste donc $1231$ habitants
La troisième année la population a baisse d’environ $123$ habitants. Il reste donc $1~108$ habitants
$\quad$

[collapse]

$\quad$

La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-6 ; 9]$. Cette fonction est celle qui est considérée dans les questions 8 à 10.
La droite passant par les points $A(0 ; -2)$ et $B(5 ; 0)$ est la représentation graphique d’une fonction affine $g$ définie sur $\R$.
Remarque : l’ordonnée du point $B$ a été modifiée pour correspondre à ce qui est donné sur le graphique.

$f(-5)$ est égal à :
$\quad$

Correction Question 8

D’après le graphique $f(-5)=1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le nombre de solutions de l’équation $f(x)=-2$ est :
$\quad$

Correction Question 9

La droite d’équation $y=-2$ coupe la courbe représentant la fonction $f$ en trois points.
L’équation $f(x)=-2$ possède donc $3$ solutions.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
$f$ est décroissante sur les intervalles :
$\quad$

Correction Question 10

D’après le graphique, $f$ est décroissante sur les intervalles $[-5;-2]$ et $[5;9]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Exprimer en kilogrammes $\dfrac{5}{6}$ de $360$ kg.
$\quad$

Correction Question 1

$\dfrac{5}{6}\times 360=5\times 60=300$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Développer $(2x+3)^2$.
$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} (2x+3)^2&=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2\\
&=4x^2+12x+9\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Remarque : Dans l’énoncé original il n’y avait pas le $^2$.
$\quad$
Donner un antécédent de $0$ par $f:x\mapsto (x+3)(x-1)$.
$\quad$

Correction Question 3

On veut donc résoudre l’équation $(x+3)(x-1)=0$.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
Ainsi $(x+3)(x-1)=0 \ssi x+3=0$ ou $x-1=0$.
$\ssi x=-3$ ou $x=1$
Les antécédents de $0$ par la fonction $f$ sont donc $-3$ et $1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’inéquation : $3-2x\pg 0$
$\quad$

Correction Exercice 4

$3-2x\pg 0\ssi -2x\pg -3 \ssi x\pp \dfrac{3}{2}$
L’ensemble solution est donc $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Soit $f(x)=ax^2$ où $a$ est un nombre réel.
Donner la valeur de $a$ sachant que $f(-2)=10$.
$\quad$

Correction Question 5

$f(-2)=4a$
Ainsi $f(-2)=10 \ssi 4a=10 \ssi a=\dfrac{5}{2}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$
Dans une classe de première, $42 \%$ des élèves sont des garçons et parmi eux, $4 \%$ sont internes.
Donner le pourcentage de garçons internes.
$\quad$

Correction Question 6

$\dfrac{42}{100}\times \dfrac{4}{100}=\dfrac{168}{10~000}=1,68\%$
Le pourcentage de garçons internes est donc égale à $1,68\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-6 ; 9]$. Cette fonction est celle qui est considérée dans les questions 7 à 10.
La droite passant par les points $A(0 ; -2)$ et $B(5 ; 0)$ est la représentation graphique d’une fonction affine $g$ définie sur $\R$.
Remarque : l’ordonnée du point $B$ a été modifiée pour correspondre à ce qui est donné sur le graphique.

$f(-5)$ est égal à :
$\quad$

Correction Question 7

D’après le graphique $f(-5)=1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le nombre de solutions de l’équation $f(x)=-2$ est :
$\quad$

Correction Question 8

La droite d’équation $y=-2$ coupe la courbe représentant la fonction $f$ en trois points.
L’équation $f(x)=-2$ possède donc $3$ solutions.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
L’intervalle des valeurs de $f(x)$ est :
$\quad$

Correction Question 9

D’après le graphique, $f(x)\in[-6;1]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
$\quad$

Correction Question 10

$A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc :
$\begin{align*} m&=\dfrac{0-(-2)}{5-0} \\
&=\dfrac{2}{5}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

À quelle évolution globale correspond une hausse de $20\%$ suivi d’une baisse de $30\%$ ?
$\quad$

Correction Question 1

Le coefficient multiplicateur est :
$\begin{align*} m&=\left(1+\dfrac{20}{100}\right)\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\\
&=1,2\times 0,7\\
&=0,84\\
&=1-0,16\end{align*}$
Il s’agit donc, au global, d’une baisse de $16\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Convertir $3,52$ h en heure minute seconde.
$\quad$

Correction Question 2

$0,52$h $=0,52\times 60$ min $= 31,2$ min
$0,2$ min $=0,2\times 60$ s $=12$ s.
Ainsi $3,52$h $=3$h $31$min $12$s
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Soit $(d)$ la droite d’équation réduite $y = -3x + 2$.
Le point $B\left(\dfrac{1}{3};1\right)$ appartient-il à la droite $(d)$ ?
$\quad$

Correction Question 3

$-3\times \dfrac{1}{3}+2=-1+2=1$ donc $B$ appartient à la droite $(d)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Développer et réduite l’expression suivante :
$A(x)=(2x-1)^2+3x+2$
$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} A(x)&=(2x-1)^2+3x+2 \\
&=(2x)^2-2\times 2x\times 1+1^2+3x+2\\
&=4x^2-4x+1+3x+2\\
&=4x^2-x+3\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Soit $f$ la fonction définie par la représentation graphique ci-dessous :

Déterminer graphiquement l’ensemble des solutions de l’équation $f(x)=0$.
$\quad$

Correction Question 5

L’ensemble solution cherché est, graphiquement, $\left\{-3;0;2;4\right\}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’inéquation d’inconnue $x$ suivante : $-2x-4\pg x+2$.
$\quad$

Correction Question 6

$\begin{align*} -2x-4\pg x+2&\ssi -3x\pg 6\\
&\ssi x\pp -2 \text{ on divise par $-3$ qui est négatif}\end{align*}$
L’ensemble solution est donc $]-\infty;-2]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Quelle est la fraction irréductible égale à $\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{12}$?
$\quad$

Correction Question 7

$\begin{align*}\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{12}&=\dfrac{9}{24}+\dfrac{10}{24} \\
&=\dfrac{19}{24}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On considère le calcul suivant : $0,003\times 1,5\times 10^8$.
Donner le résultat en écriture scientifique.
$\quad$

Correction Question 8

$\begin{align*}0,003\times 1,5\times 10^8&=3\times 10^{-3}\times 15\times 10^{-1}\times 10^8 \\
&=45\times 10^4 \\
&=4,5\times 10^5\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’équation d’inconnue $x$ suivante : $$3x^2+1=13$$
$\quad$

Correction Question 9

$\begin{align*}3x^2+1=13&\ssi 3x^2=12\\
&\ssi x^2=4\\
&\ssi x=2 \text{ ou } x=-2\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Les tailles des élèves d’une classe de terminale ont été représentées par l’histogramme ci‐dessous :

Trois élèves ont une taille inférieure à $160$ cm.
Déterminer le nombre d’élèves dans cette classe de terminale.
$\quad$

Correction Question 10

$6$ “petits rectangles” représentent donc $3$ élèves.
Donc $2$ “petits rectangles” représentent $1$ élève.
Il y a par conséquent $33$ élèves dans cette classe.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Pour les question 1 et 2, on utilisera l’énoncé suivant :

On note $T_F$ la température en degrés Fahrenheit et $T_C$ la température en degrés Celsius.
On a la relation : $T_F=1,8T_C+32$.

Si $T_C=30$, a valeur exacte de $T_F$ est :
$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} T_F&=1,8T_C+32\\
&=1,8\times 30+32\\
&=54+32\\
&=86\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Si $T_F=50$, alors $T_C$ est égale à :
$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} 50=1,8T_C+32&\ssi 18=1,8T_C\\
&\ssi T_C=10\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un objet coûte $45$ €. Il augmente de $30 \%$. Quel est son nouveau prix ?
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} 45\times \left(1+\dfrac{30}{100}\right)&=45\times 1,3\\
&=58,5\end{align*}$
Après l’augmentation l’article coûte $58,5$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un prix augmente de $10\%$ puis baisse de $30 \%$.
Quelle est l’évolution globale de ce prix ?
$\quad$

Correction Question 4

Le coefficient multiplicateur est :
$\begin{align*} C_M&=\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\\
&=1,1\times 0,7\\
&=0,77\\
&=1-\dfrac{23}{100}\end{align*}$
Le prix a donc baissé de $23\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’équation $5x+1=4(2x-3)$.
$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} 5x+1=4(2x-3)&\ssi 5x+1=8x-12\\
&\ssi -3x=-13\\
&\ssi x=\dfrac{13}{3}\end{align*}$
La solution de l’équation est $\dfrac{13}{3}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Résoudre l’inéquation $-4x+1<3-2x$.
$\quad$

Correction Question 6

$\begin{align*} -4x+1<3-2x&\ssi -2<2x\\
&\ssi -1<x\end{align*}$
L’ensemble solution est donc $]-1;+\infty[$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Pour les questions 7 à 10, on utilisera l’énoncé suivant :
Sur le graphique suivant, on a représenté la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $\R$

Lire sur le graphique l’image de $-1$ par $f$.
$\quad$

Correction Question 7

Graphiquement $f(-1)=4$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre $f(x)=-2$ avec la précision que permet le graphique.
$\quad$

Correction Question 7

Graphiquement les solutions de $f(x)=-2$ sont, approximativement $-2,2$ ; $2$ et $2,2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Dresser le tableau de signe de la fonction $f$ sur $[-2 ; 3]$.
$\quad$

Correction Question 9

$\quad$

[collapse]
Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[-2 ; 3]$.

Correction Question 10

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Pour un coefficient multiplicateur de $1,33$ le taux d’évolution en pourcentage est :
$\quad$

Correction Question 1

$1,33=1+\dfrac{33}{100}$
Le taux d’évolution est donc de $33\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Après une hausse de $120 \%$ un produit coûte $1~200$ €.
Quel était son prix initial ?
$\quad$

Correction Question 2

On appelle $P$ le prix initial.
On a donc :
$\begin{align*}
P\left(1+\dfrac{120}{100}\right)=1~200 &\ssi 2,2P=1~200\\
&\ssi P=\dfrac{1~200}{2,2}
\end{align*}$
$P$ n’admet pas d’écriture décimale. Une écriture sous la forme d’une fraction irréductible est $P=\dfrac{6~000}{11}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Écrire sous la forme décimale le résultat du calcul suivant $3\times 10^3+6\times 10^2+4+5\times 10^{-1}$.
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} &3\times 10^3+6\times 10^2+4+5\times 10^{-1}\\=&3\times 1~000+6\times 100+4+5\times 0,1\\
=&3~604,5\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’équation $5-2x=0$.
$\quad$

Correction Question 4

$5-2x=0 \ssi 2x=5\ssi x=\dfrac{5}{2}$.
La solution de l’équation est $\dfrac{5}{2}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
L’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x+6>0$ est
$\quad$

Correction Question 5

$-3x+6>0\ssi -3x>-6\ssi x<2$
L’ensemble des solutions est $]-\infty;2[$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Factoriser $3x(x+5)-(x+5)^2$.
$\quad$

Correction Question 6

$\begin{align*} 3x(x+5)-(x+5)^2&=(x+5)\left[3-(x+5)\right] \\
&=(x+5)(3x-x-5)\\
&=(x+5)(2x-5)\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
$x$ et $y$ sont des nombres réels tels que $6-2x\pp 4y$.
Isoler $x$ dans cette inégalité.
$\quad$

Correction Question 7

$6-2x\pp 4y \ssi -2x\pp 4y-6 \ssi x\pg 3-2y$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
$f(x)=x^2-3$
Calculer l’image de $\sqrt{2}$ par cette fonction.
$\quad$

Correction Question 8

$\begin{align*} f\left(\sqrt{2}\right)&=\sqrt{2}^2-3\\
&=2-3\\
&=-1\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Les coordonnées du point d’intersection de la droite d’équation $y=3x+2$ avec l’axe des abscisses sont
$\quad$

Correction Question 9

$3x+2=0\ssi 3x=-2 \ssi x=-\dfrac{2}{3}$
Les coordonnées du point d’intersection de la droite d’équation $y=3x+2$ avec l’axe des abscisses sont $\left(-\dfrac{2}{3};0\right)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Donner l’équation réduite de la droite $(D)$ représentée ci-dessous
$\quad$

Correction Question 10

On lit que l’ordonnée à l’origine est $-1$ et que le coefficient directeur est $\dfrac{1}{2}$ (on “monte” de $1$ unité quand on se déplace de $2$ unités vers la droite).
L’équation réduite de $(D)$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x-1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Le plan étant muni d’un repère, la droite d’équation $y = 2x-2,5$ passe par le point $A$ d’ordonnée $0$ et d’abscisse :
A. $-2,5$
B. $1,5$
C. $-1,25$
D. $\dfrac{5}{4}$
$\quad$

Correction Question 1

$2x-2,5=0\ssi 2x=2,5 \ssi x=1,25\ssi x=\dfrac{5}{4}$
Réponse D
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Une diminution de $50 \%$ est compensée par une augmentation de :
A. $50 \%$
B. $100 \%$
C. $150 \%$
D. $200 \%$
$\quad$

Correction Question 2

On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*}\left(1-\dfrac{50}{100}\right)\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1&\ssi 0,5\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1 \\
&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=2 \\
&\ssi x=100\end{align*}$
Réponse B
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On considère une augmentation de $5 \%$, deux années consécutives. Le coefficient multiplicateur est :
A. $1,055$
B. $1,10$
C. $1,102~5$
D. $2,10$
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*}\left(1+\dfrac{5}{100}\right)^2&=1,05^2 \\
&=1,102~5\end{align*}$
Remarque : le carré d’un nombre se terminant par $5$ se termine par $25$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le prix d’un survêtement est passé de $40$ € à $30$ € entre juin 2019 et juillet 2019. Sachant que l’indice du prix de ce survêtement était $80$ en juin 2019, son indice en juillet 2019 est :
A. $70$
B. $75$
C. $90$
D. $60$
$\quad$

Correction Question 4

On a le tableau de proportionnalité suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Prix}&40&30\\
\hline
\text{indice}&80&x\\
\hline
\end{array}$$
$x=\dfrac{30\times 80}{40}=60$
Réponse D
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Selon une enquête de l’INSEE sur la production de déchets non dangereux dans le commerce en 2016, $75 \%$ des déchets non dangereux du commerce ont été triés en 2016 et $3 \%$ des déchets triés du commerce en 2016 ont été mis en décharge.
En 2016, le pourcentage de déchets du commerce qui ont été triés et mis en décharge est :
A. $2,25 \%$
B. $78 \%$
C. $39 \%$
D. $25 \%$
$\quad$

Correction Question 5

$\dfrac{3}{100}\times \dfrac{75}{100}=\dfrac{2,25}{100}=2,25\%$
Réponse A
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Lors de deux évolution $CM=(1+t)^2. Alors :
A. $t=\sqrt{CM-1}$
B. $t=\sqrt{CM}-1$
C. $t=\sqrt{1-CM}$
D. $t=1-\sqrt{CM}$
$\quad$

Correction Question 6

On a donc $\sqrt{CM}=1+t$ soit $t=\sqrt{CM}-1$
Réponse B
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Pour tout réel $x$, $(1-2x)^2$ est égal à :
A. $1-4x+2x^2$
B. $4x^2-4x+1$
C. $1-4x^2$
D. $1-2x^2$
$\quad$

Correction Question 7

$\begin{align*} (1-2x)^2&=1^2-2\times 1\times 2x+(2x)^2 \\
&=1-4x+4x^2\end{align*}$
Réponse B
$\quad$

[collapse]

$\quad$
L’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $-2x+6$ est négatif est :
A. $[3;+\infty[$
B. $]-\infty;3]$
C. $[-3;+\infty[$
D. $]-\infty;-3]$
$\quad$

Correction Question 8

$-2x+6\pp 0 \ssi -2x\pp -6 \ssi x\pg 3$
L’ensemble solution est donc $[3;+\infty[$.
Réponse A
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On donne la courbe $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$ définie sur $[-3 ; 2]$ :

L’équation $f(x) = 0$ admet :
A. une solution négative ;
B. deux solutions positives ;
C. deux solutions négatives ;
D. une solution positive et une solution négative.
$\quad$

Correction Question 9

La courbe $\mathscr{C}$ coupe $2$ l’axe des abscisses : une des abscisses est positive l’autre est négative.
Réponse D
$\quad$

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$\quad$
Le diagramme en barres ci-dessous donne la production brute d’électricité, en Twh (térawatt-heure) selon son origine (source : INSEE).

Indiquer la seule proposition vraie :
A. La quantité d’électricité d’origine hydraulique a diminué entre 2011 et 2016.
B. La quantité d’électricité d’origine hydraulique était de $575$ Twh en 2006.
C. La quantité d’électricité d’origine nucléaire n’a pas cessé de diminuer entre 2001 et 2016.
D. La quantité d’électricité d’origine thermique était d’environ $40$ Twh en 1995.
$\quad$

Correction Question 10

Réponse D
$\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Le prix d’un objet est passé de $30$ euros à $36$ euros.
Calculer le taux d’évolution en pourcentage ?
$\quad$

Correction Question 1

$\dfrac{36-30}{30}=0,2$.
Le taux d’évolution est donc égal à $20\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Par combien faut-il multiplier une quantité positive pour que celle-ci diminue de $15\%$ ?
$\quad$

Correction Question 2

Le coefficient multiplicateur est $1-\dfrac{15}{100}=0,85$.
$\quad$

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$\quad$
Après une augmentation du prix de $10\%$, un article est vendu $44$ euros.
Quel était le prix de départ?
$\quad$

Correction Question 3

On appelle $P$ le prix de départ. On a donc :
$\begin{align*} P\times \left(1+\dfrac{10}{100}\right)=44&\ssi 1,1P=44 \\
&\ssi P=\dfrac{44}{1,1}\\
&\ssi P=40\end{align*}$
Le prix de départ était de $40$ euros.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’équation suivante : $2(x-3)-4=7x$.
$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} 2(x-3)-4=7x&\ssi 2x-6-4=7x\\
&\ssi -10=5x\\
&\ssi x=-2\end{align*}$
La solution de l’équation est $-2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’équation suivante $(x+1)^2=7$.
$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} (x+1)^2=7 &\ssi x+1=\sqrt{7} \text{ ou } x+1=-\sqrt{7}\\
&\ssi x=\sqrt{7}-1 \text{ ou } x=-\sqrt{7}-1\end{align*}$
Les solutions de l’équation sont $\sqrt{7}-1$ et $-\sqrt{7}-1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’inéquation $2(x-1) \pp -3x+8$.
$\quad$

Correction Question 6

$\begin{align*} 2(x-1) \pp -3x+8 &\ssi 2x-2 \pp -3x+8 \\
&\ssi 5x\pp 10 \\
&\ssi x\pp 2\end{align*}$
L’ensemble solution est $]-\infty;2]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la droite $\Delta$ représentée ci-dessous.

$\quad$

Correction Question 7

L’ordonnée à l’origine est $2$.
La droite passe par les points de coordonnées $(0;2)$ et $(1;-1)$.
Le coefficient directeur est donc :
$\begin{align*} a&=\dfrac{2-(-1)}{0-1}\\
&=-3\end{align*}$
Ainsi l’équation réduite de $\Delta$ est $y=-3x+2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Étudier le signe de l’expression $(10x-7)(-x+3)$ sur $\R$.
$\quad$

Correction Question 8

$10x-7=0 \ssi 10x=7 \ssi x=0,7$ et $10x-7>0 \ssi 10x>7\ssi x>0,7$.
$-x+3=0 \ssi x=3$ et $-x+3>0 \ssi x<3$
On obtient donc le tableau de signes suivant :

$\quad$

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$\quad$

Pour les questions 9 et 10, on considère la situation suivante :
Entre le 1$\ier$ et le 8 mars 2020, une agence bancaire a étudié nombre de paiements effectués par $500$ de ses clients en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire. Elle a obtenu le diagramme en barres ci-dessous.

Combien de clients ont effectué $28$ paiements en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire entre le 1$\ier$ et le 8 mars 2020 ?
$\quad$

Correction Question 9

D’après le graphique, $20$ clients ont effectué $28$ paiements « sans contact ».
$\quad$

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$\quad$
Combien de clients ont effectué au moins $30$ paiements en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire entre le 1$\ier$ et le 8 mars 2020 ?
$\quad$

Correction Question 10

$10+14+8=32$.
$32$ clients ont effectué au moins $30$ paiement en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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