Exercice 1

Partie A

1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   $\quad$
   $\quad$
   b. On veut calculer :
   $\begin{align*} P(R\cap F)&=P(R)\times P_R(F)\\
   &=0,6_times 0,47 \\
   &=0,282\end{align*}$
   La probabilité que le client interrogé soit un client régulier et qu’il ait acheté la carte de fidélité est égale à $0,282$.
   $\quad$
   c. $\left(R,\conj{R}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*}P(F)=P(R\cap F)+P\left(\conj{R}\cap F\right) &\ssi 0,38=0,282+P\left(\conj{R}\right)\times P_{\conj{R}}(F) \\
   &\ssi 0,098=0,4\times P_{\conj{R}}(F) \\
   &\ssi  P_{\conj{R}}(F)=0,245\end{align*}$
   La probabilité que le client ait acheté la carte de fidélité sachant que ce n’est pas un client régulier est égale à $0,245$.
   $\quad$
   d. On a  :
   $\begin{align*} P_F(R)&=\dfrac{P(R\cap F)}{P(F)} \\
   &=\dfrac{0,282}{0,38} \\
   &\approx 0,742 \\
   &<0,8\end{align*}$
   L’affirmation est donc fausse.
   $\quad$
2. a. On répète $20$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,38$.
   $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,38$.
   $\quad$
   b. On veut calculer :
   $\begin{align*} P(X\pg 5)&=1-P(X<5) \\
   &=1-P(X\pp 4) \\
   &\approx 0,927\end{align*}$
   La probabilité qu’au moins $5$ clients aient acheté la carte de fidémité dans un échantillon de $20$ est environ égale à $0,927$.
   $\quad$

Partie B

1. $X_2$ suit la loi binomiale de paramètres $1~000$ et $0,47$. Donc :
   $\begin{align*} E\left(X_2\right)&=1~000\times 0,47 \\
   &=470\end{align*}$
   En moyenne $470$ clients sur les $1~000$ interrogés ont acheté la carte de fidélité.
   $\quad$
2. $Z$ modélise la somme moyenne, en euros, offerte aux $1~000$ clients interrogés.
   On a, par linéarité de l’espérance :
   $\begin{align*}E(Z)=\dfrac{1}{1~000} E(Y) \\
   &=\dfrac{1}{1~000}\left(E\left(Y_1\right)+E\left(Y_2\right)\right)\\
   &=\dfrac{1}{1~000}\left(30~000+50E\left(X_2\right)\right) \\
   &=\dfrac{1}{1~000}(30~000+23~500) \\
   &=\dfrac{53~500}{1~000} \\
   &=53,5\end{align*}$
   $\quad$
   On a :
   $\begin{align*} V\left(X_2\right)&=1~000\times 0,47\times 0,53 \\
   &=249,1\end{align*}$
   Par conséquent :
   $\begin{align*} V\left(Y_2\right)&=50^2V\left(X_2\right) \\
   &=2~500\times 249,1 \\
   &=622~750\end{align*}$
   $Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes donc :
   $\begin{align*} V(Z)&=\dfrac{1}{1~000^2}V(Y)\\
   &=\dfrac{1}{1~000~000}\left(V\left(Y_1\right)+V\left(Y_2\right)\right) \\
   &=\dfrac{722~750}{1~000~000}\\
   &=0,72~275\end{align*}$
   $\quad$
3. On a :
   $\begin{align*} P(51,7<Z<55,3)&=P\left(-1,8<Z-E(Z)<1,8\right) \\
   &=P\left(\abs{Z-E(Z)}<1,8\right) \\
   &=1-P\left(\abs{E-E(Z)}\pg 1,8\right) \\
   &\pg 1-\dfrac{V(Z)}{1,8^2} \qquad \text{(inégalité de Bienaymé-Tchebychev)} \end{align*}$
   Or $1-\dfrac{V(Z)}{1,8^2}\approx 0,777>0,75$.
   La probabilité que $Z$ soit strictement compris entre $51,7$ et $55,3$ euros est supérieure à $0,75$.
   $\quad$

Exercice 2

1. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-3\\6\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}6\\-6\\0\end{pmatrix}$.
   Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
   D’une part $\vec{n}.\vect{AB}=12-6-6=0$.
   D’autre part $\vec{n}.\vect{AC}=12-12+0=0$.
   Ainsi $\vec{n}$  est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. C’est donc un vecteur normal au plan $(ABC)$.
   Affirmation 1 vraie.
   $\quad$
2. Si on prend $t=-1$ dans la représentation paramétrique fournie on obtient le point de coordonnées $(0;4;1)$ c’est-à-dire le point $A$.
   Si on prend $t=2$ dans la représentation paramétrique fournie on obtient le point de coordonnées $(6;1;5)$ c’est-à-dire le point $B$.
   Il s’agit donc bien d’une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
   Affirmation 2 vraie.
   $\quad$
3. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-3\\6\end{pmatrix}$ est normal au plan $\mathcal{P}$.
   Un vecteur normal au plan d’équation $2x+2y-z-9=0$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$.
   Or $\dfrac{6}{2}=3\neq \dfrac{-3}{2}$.
   Ainsi $\vect{AB}$ et $\vec{u}$ ne sont pas colinéaires.
   Affirmation 3 fausse.
   $\quad$
4. Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{a}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $\mathcal{D}’$ est $\vec{b}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$
   Or $\dfrac{2}{1}\neq \dfrac{-1}{1}$.
   Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires par conséquent les deux droites de ne sont pas parallèles.
   Résolvons le système :
   $\begin{align*} \begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\\x=2t’\\y=4-t’\\z=-1+2t’\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\\3+t=2t’\\1+t=4-t’\\2+t=-1+2t’\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\\t=2t’-3\\1+2t’-3=4-t’\\2+2t’-3=-1+2t’\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\\t=2t’-3\\3t’=6\\-1=-1\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=4\\y=2\\z=3\\t=1\\t’=2\end{cases} \end{align*}$
   $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}’$ sont sécantes au point de coordonnées $(4;2;3)$.
   Affirmation 4 fausse
   $\quad$

$\quad$

 

Exercice 3

Partie A : étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$ dans le cas $\boldsymbol{1<a<2}$.

1. a.  Soit $n$ un entier naturel.
   $\begin{align*} u_{n+1}-2&={u_n}^2-2u_n+2-2 \\
   &=u_n\left(u_n-2\right)\end{align*}$
   $\quad$
   b. Soit $n$ un entier naturel.
   D’une part :
   $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&={u_n}^2-2u_n+2-u_n \\
   &={u_n}^2-3u_n+2\end{align*}$
   D’autre part :
   $\begin{align*} \left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right) &={u_n}^2-2u_n-u_n+2 \\
   &={u_n}^2-3u_n+2\end{align*}$
   Donc $u_{n+1}-u_n=\left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right)$.
   $\quad$
2. a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~u_n<2$.
   Initialisation : $u_0=a<2$ donc $P(0)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
   Or $u_n<2 \ssi u_n-2<0$.
   Par hypothèse, $u_n>1>0$ donc $u_n\left(u_n-2\right)<0$ c’est-à-dire $u_{n+1}-2<0$.
   Par conséquent $P(n+1)$ est vraie.
   $\quad$
   Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n<2$.
   $\quad$
   b. On a $u_n>1\ssi u_n-1>0$ et $u_n<2\ssi u_n-2<0$ donc $\left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right)<0\ssi u_{n+1}-u_n<0$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone elle converge vers un réel $\ell$ appartenant à $[0;1]$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-2x+2$. Cette fonction est continue sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
   Ainsi $\ell$ est solution de l’équation :
   $\begin{align*} f(x)=x&\ssi x^2-2x+2=x \\
   &\ssi x^2-3x+2=0 \\
   &\ssi (x-1)(x-2)=0\end{align*}$
   Ainsi $\ell$ vaut $1$ ou $2$.
   Or $\left(u_n\right)$ est décroissante et $u_0=a<2$.
   Ainsi $\ell=1$.
   $\quad$

Partie B : étude dans le cas particulier $\boldsymbol{a=2}$.

1.  $\text{u(2,1)}$ renvoie la valeur de $u_1$ et $\text{u(2,2)}$ renvoie la valeur de $u_2$.
   Or $2^2-2\times 2+2=2$.
   Ainsi les deux appels vont renvoyer la même valeur $2$.
   $\quad$
2. On peut donc conjecturer que si $a=2$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est constante égale à $2$.
   $\quad$

Partie C : étude dans le cas général.

1.  a. Soit $n\in \N$.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=\ln\left(u_{n+1}-1\right) \\
   &=\ln\left({u_n}^2-2u_n+1\right) \\
   &=\ln\left(\left(u_n-1\right)^2\right) \\
   &=2\ln\left(u_n-1\right) \\
   &=2v_n\end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0=\ln(a-1)$.
   $\quad$
   b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=\ln(a-1)\times 2^n$.
   La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ et $v_n=\ln\left(u_n-1\right)$.
   Par conséquent $u_n-1=\e^{v_n} \ssi u_n=1+\e^{v_n}$.
   Ainsi $u_n=1+\e^{2^n\times \ln(a-1)}$.
   $\quad$
2. $2>1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 2^n=+\infty$.
   $\bullet$ Si $a\in ]1;2[$ alors, d’après la partie A, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$.
   $\bullet$ Si $a=2[$ alors, d’après la partie B, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=2$.
   $\bullet$ Si $a>2$ alors $a-1>1$ et $\ln(a-1)>0$. Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} 2^n \times \ln(a-1)=+\infty$. Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A : étude graphique

1. a. Graphiquement $f(0)=2$
   $\quad$
   b. $f'(0)$ est égal au coefficient directeur de la droite $T$, droite passant par $M(0;2)$ et $P(2;0)$.
   Ainsi $f'(0)=\dfrac{2-0}{0-2}=-1$.
   $\quad$
2. Graphiquement, l’équation $f(x)=0$ semble n’avoir qu’une seule solution $-2$.
   $\quad$
3. La courbe $C_f$ semble posséder un point d’inflexion d’abscisse environ égale à $0$.
   La fonction $f$ n’est donc pas convexe sur $\R$.
   $\quad$
4. La fonction $f$ semble être négative sur $]-\infty;-2]$ et positive sur $[-2;+\infty[$.
   Ses primitives sont donc décroissantes sur $]-\infty;-2]$ et croissantes sur $[-2;+\infty[$.
   Seule la courbe $2$ semble vérifier ces variations.
   La courbe $2$ peut donc représenter une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
   $\quad$

Partie B : recherche d’une expression algébrique

1. $f(0)=2\ssi b\e^0=2 \ssi b=2$.
   $\quad$
2.   $f(-2)=0\ssi (-2a+b)\e^{-2\lambda}=0 \ssi -2a+b=0$ car $\e^t>0$ pour tout $t\in \R$.
   Or $b=2$ ainsi $-2a+2=0\ssi 2(1-a)=0 \ssi a=1$.
   $\quad$
3. Pour tout réel $x$ on a donc $f(x)=(x+2)\e^{\lambda x}$.
   La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ par hypothèse.
   Ainsi, pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=\e^{\lambda x}+\lambda(x+2)\e^{\lambda x} \\
   &=(1+\lambda x+2\lambda)\e^{\lambda x} \end{align*}$
   Or $f'(0)=-1$ d’après la partie A.
   Donc $(1+2\lambda)\e^0=-1 \ssi 2\lambda+1=-1 \ssi 2\lambda =-2 \ssi \lambda =-1$.
   Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f(x)=(x+2)\e^{-x}$.
   $\quad$

Partie C : étude algébrique

1. $\lim\limits_{x\to -\infty} x+2=-\infty$
   $\lim\limits_{x\to -\infty} -x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-x}=+\infty$.
   Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$.
   $\quad$
2. Pour tout réel $x$ on a $\e^{-x}>0$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x-1$.
   Or $-x-1=0 \ssi x=-1$ et $-x-1>0\ssi x<-1$.
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
   Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x\e^{-x}+2\e^{-x}$.
   Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} x\e^{-x}=0$. Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
   $\quad$
3. a. La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ par hypothèse.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f\dsec(x)&=-\e^{-x}-(-x-1)\e^{-x} \\
   &=(-1+x+1)\e^{-x} \\
   &=x\e^{-x}\end{align*}$
   La fonction exponentielle étant strictement positiver sur $\R$ le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $x$.
   Ainsi :
   $\bullet$ pour tout $x<0$ on a $f\dsec(x)<0$ ;
   $\bullet$ pour tout $x>0$ on a $f\dsec(x)>0$ ;
   $\bullet$ $f\dsec(0)=0$.
   La fonction $f$ est donc concave sur $]-\infty;0]$ et convexe sur $[0;+\infty[$.
   $\quad$
   b. D’après la réponse précédente, la courbe $C_g$ possède un unique point d’inflexion de coordonnées $(0;2)$.
   $\quad$
4. a. On réalise une intégration par parties à l’aides des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[-2;t]$ définies par :
   $$\begin{array}{lll} u(x)=x+2&\phantom{123}&u'(x)=1 \\
   v(x)=-\e^{-x}&&v'(x)=\e^{-x}\end{array}$$
   Par conséquent :
   $\begin {align*}I(t)&=\int_{-2}^t f(x)\dx \\
   &=\Big[-(x+2)\e^{-x}\Big]_{-2}^t-\int_{-2}^t -\e^{-x}\dx \\
   &=-(t+2)\e^{-t}-\Big[\e^{-x}\Big]_{-2}^t \\
   &=(-t-2)\e^{-t}-\left(\e^{-t}-\e^2\right) \\
   &=(-t-2-1)\e^{-t}+\e^2 \\
   &=(-t-3)\e^{-t}+\e^2\end{align*}$
   $\quad$
   b. On a donc, pour tout $t\pg 0$, $I(t)=-t\e^{-t}-3\e^{-t}+\e^2$.
   Or $\lim\limits_{t\to +\infty} 3\e^{-t}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{t\to +\infty} t\e^{-t}=0$. Donc $\lim\limits_{t\to +\infty} I(t)=\e^2$.
   La fonction $f$ est continue sur $\R$ (car dérivable) et positive sur $[-2;+\infty[$.
   Ainsi $I(t)$ est l’aire de la surface comprise entre l’axe des abscisses, la courbe $C_f$ et les droites d’équation $x=-2$ et $x=t$.
   Par conséquent la surface comprise entre l’axe des abscisses, la courbe $C_f$ et à droite de la droite d’équation $x=-2$ est non limitée et son aire est finie (elle vaut $\e^2$.
   $\quad$

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées

Exercice 1     (5 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Une société de vente en ligne procède à une étude du niveau de fidélité de ses clients. Elle définit pour cela comme «régulier » un client qui a fait des achats chaque année depuis trois ans. Elle constate que $60\%$ de ses clients sont des clients réguliers, et que parmi eux, $47\%$ ont acheté la carte de fidélité.
Par ailleurs, parmi l’ensemble de tous les clients de la société, $38\%$ ont acheté la carte de fidélité.

On interroge au hasard un client et on considère les événements suivants :

• $R$ : « le client est un client régulier » ;
• $F$ « le client a acheté la carte de fidélité ».

Pour un événement $E$ quelconque, on note $\conj{E}$ son événement contraire et $P(E)$ sa probabilité.

1. a. Reproduire l’arbre ci-dessous et compléter les pointillés.
   $\quad$
   
   $\quad$
   b. Calculer la probabilité que le client interrogé soit un client régulier et qu’il ait acheté la carte de fidélité.
   $\quad$
   c. Déterminer la probabilité que le client ait acheté la carte de fidélité sachant que ce n’est pas un client régulier.
   $\quad$
   d. Le directeur du service des ventes affirme, que parmi les clients qui ont acheté la carte de fidélité, plus de $80\%$ sont des clients réguliers. Cette affirmation est-elle exacte ?
   $\quad$
2. On choisit un échantillon de $20$ clients de la société sélectionnés de manières indépendante.
   On suppose que ce choix s’assimile à un tirage avec remise.
   On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de $20$ clients associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux. On rappelle que $P(F)=0,38$.
   les valeurs des probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$ près.
   a. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire $X$ ? Justifier.
   $\quad$
   b. Déterminer la probabilité qu’au moins $5$ clients aient acheté la carte de fidélité dans un échantillon de $20$.
   $\quad$

Partie B

La société demande à un institut de sondage de faire une enquête sur le profil de ses clients réguliers. L’institut a élaboré un questionnaire en ligne constitué d’un nombre valable de questions.
On choisit au hasard un échantillon de $1~000$ clients réguliers, à qui le questionnaire est proposé. On considère que ces $1~000$ clients répondent.

• Pour les remercier, la société offre un bon d’achat à chacun des clients de l’échantillon. Le montant de ce bon d’achat, dépend du nombre de questions posées au client.
• La société souhaite récompenser particulièrement les clients de l’échantillon qui ont acheté une carte de fidélité et, en plus du bon d’achat, offre à chacun d’eux une prime d’un montant de $50$ euros versée sur la carte de fidélité.

On note $Y_1$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $1~000$ clients réguliers, associe le total, en euros, des montants du bon d’achat des $1~000$ clients. On admet que son espérance $E\left(Y_1\right)$ est égale à $30~000$ et que sa variance $V\left(Y_1\right)$ est égale à $100~000$.

On note $X_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $1~000$ clients réguliers, associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux, et on note $Y_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $1~000$ clients, associe le total en euros des montants de la prime de fidélité versée.
On admet que $X_2$ suit la loi binomiale de paramètres $1~000$ et $0,47$ et que $Y_2=50X_2$.

1. Calculer l’espérance $E\left(X_2\right)$ de la variable $X_2$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

On note $Y=Y_1+Y_2$ la variable aléatoire égale au total général, en euros, des montants offerts (bon d’achat et prime de fidélité) aux $1~000$ clients. On admet que les variables aléatoires $Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes.

On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z=\dfrac{Y}{1~000}$.

2. Préciser ce que modélise la variable $Z$ dans le contexte de l’exercice. Vérifier que son espérance $E(Z)$ est égale à $53,5$ et que sa variance $V(Z)$ est égale à $0,722~75$.
   $\quad$
3. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, vérifier que la probabilité que $Z$ soit strictement compris entre $51,7$ euros et $55,3$ euros est supérieure à $0,75$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse ne rapporte aucun point.
Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonomé $\Oijk$, on considère les points $A(0;4;-1)$, $B(6;1;5)$ et $C(6;2;-1)$. On admet que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

Affirmation 1 : Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 2\\2\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur  normal au plan $(ABC)$.
$\quad$

Affirmation 2 : Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est $\begin{cases} x=2+2t\\y=3-t\\z=1+2t\end{cases} ~~$ où $t\in \R$.
$\quad$

Affirmation 3 : Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par le point $C$ et orthogonal à la droite $(AB)$ est $2x+2y+z+9=0$.
$\quad$

On considère les droite $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}’$ dont on donne ci-dessous une représentation paramétrique $$\mathcal{D}:~\begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\end{cases}~~\text{où } t\in \R\qquad \mathcal{D}’:~\begin{cases} x=2t’\\y=4-t’\\z=-1+2t’\end{cases}~~ \text{où } t’\in \R$$
Affirmation 4 : $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}’$ ne sont pas coplanaires.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3     (5 points)

Soit $a$ un nombre réel strictement supérieur à $1$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=a$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}={u_n}^2-2u_n+2$$
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n>1$.

L’objectif de cet exercice est d’étudier la suite $\left(u_n\right)$ pour différentes valeurs du nombre réel $a$.

Partie A : étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$ dans le cas $\boldsymbol{1<a<2}$.

1. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}-2=u_n\left(u_n-2\right)$.
   $\quad$
   b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}-u_n=\left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right)$.
   $\quad$
2. Dans cette question, on pourra utiliser les égalités établies dans la question précédente.
   a. En utilisant un raisonnement par récurrence démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $$u_n<2$$
   $\quad$
   b. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
   $\quad$

Partie B : étude dans le cas $\boldsymbol{a=2}$.

1. On donne ci-dessous la fonction $\text{u}$ écrite en langage Python.
   
   Python

   def u(a,n) : u = a for k in range(n): u = u**2 - 2 * u + 2 return u

   1 2 3 4 5

   def u(a,n) :    u = a    for k in range(n):       u = u**2 - 2 * u + 2    return u

   
   Déterminer les valeurs renvoyées par le programme lorsque l’on saisit $\text{u(2,1)}$ et $\text{u(2,2)}$ dans la console Python.
   $\quad$
2. Quelle conjecture peut-on formuler concernant la suite $\left(u_n\right)$ dans le cas où $a=2$ ? On admettra ce résultat sans démonstration.
   $\quad$

Partie C : étude dans le cas général.

1. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=\ln\left(u_n-1\right)$.
   a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $2$ dont on précisera le premier terme en fonction de $a$.
   $\quad$
   b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=1+\e^{2^n\times \ln(a-1)}$.
   $\quad$
2. Déterminer, suivant les valeurs du réel $a$ strictement supérieur à $1$, la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (5 points)

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $\R$. On note $f’$ sa fonction dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.
Dans le repère orthonormé ci-dessous ont été représentés :

• la courbe représentative $C_f$ de la fonction $f$ ;
• la tangente $T$ à $C_f$ en son point $N(0;2)$ ;
• le point $M(-2;0)$ appartenant à $C_f$ et $P(2;0)$ appartenant à la tangente $T$.

On précise que la fonction $f$ est strictement positive sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et qu’elle est strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty;-1]$.

Partie A : étude graphique.

On répondra aux questions suivantes en utilisant le graphique.

1. a. Donner $f(0)$.
   $\quad$
   b. Déterminer $f'(0)$.
   $\quad$
2. Résoudre l’équation $f(x)=0$.
   $\quad$
3. La fonction $f$ est-elle convexe sur $\R$ ? Justifier.
   $\quad$
4. Parmi les courbes suivantes, indiquer laquelle peut représenter une primitive de $f$ sur $\R$. Justifier.
   $\quad$
   
   $\quad$

Partie B : recherche d’une expression algébrique.

On admet que la fonction $f$ est de la forme $f(x)=(ax+b)\e^{\lambda x}$ où $a$, $b$ et $\lambda$ sont des constantes réelles. pour répondre aux questions suivantes, on utilisera les résultats de la partie A.

1. Justifier que $b=2$.
   $\quad$
2. Justifier que $-2a+b=0$ puis en déduire la valeur de $a$.
   $\quad$
3. Déterminer une expression algébrique de $f$. Justifier.
   $\quad$

Partie C : étude algébrique.

On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=(x+2)\e^{-x}$.

1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
   $\quad$
2. On admet que $f'(x)=(-x-1)\e^{-x}$. Dresser le tableau de variations complet de $f$. Justifier.
   $\quad$
3. a. Étudier la convexité de $f$.
   $\quad$
   b. Préciser les coordonnées des éventuels points d’inflexion de la courbe $C_f$.
   $\quad$
4. pour tout nombre réel $t\pg 0$, on pose : $$I(t)=\int_{-2}^t f(x)\dx$$
   a. En utilisant une intégration par parties, monter que $I(t)=(-t-3)\e^{-t}+\e^2$.
   $\quad$
   b. En déduire un exemple de surface non limitée dont l’aire est finie.
   $\quad$

$\quad$