E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
La courbe représentative $C$ d’une fonction $f$ définie sur $\R$ est donnée ci-dessous :

  1. Par lecture graphique, résoudre l’équation $f(x)=0$ d’inconnue $x$.
    $\quad$
  2. On donne $f'(x)=-x+0,5$ pour tout réel $x$.
    Déterminer qu’une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d’abscisse $-1$ est $y=1,5x+3,5$
    $\quad$
  3. On considère le point $E$ de coordonnées $(1 ; 5)$.
    Dans cette question, on cherche à déterminer les points de la courbe $C$ en lesquels la tangente passe par le point $E$.
    a. Montrer que le point $E$ appartient à la tangente $T$.
    $\quad$
    b. Déterminer l’autre point de la courbe en lequel la tangente passe par le point $E$.
    $\quad$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Graphiquement, les solutions de l’équation $f(x)=0$ sont $-2$ et $3$.
    $\quad$
  2. Une équation de la tangente $T$ est de la forme $u=f'(-1)\left(x-(-1)\right)+f(1)$.
    On lit que $f(-1)=2$
    D’après l’énoncé :
    $\begin{align*} f'(-1)&=-(-1)+0,5\\
    &=1,5\end{align*}$
    Ainsi une équation de $T$ est $y=1,5(x+1)+2$ soit $y=1,5x+3,5$.
    $\quad$
  3. a. On a :
    $\begin{align*} 1,5x_E+3,5&=1,5\times 1+3,5\\
    &=5\\
    &=y_E\end{align*}$
    Le point $E$ appartient à la tangente $T$.
    $\quad$
    b. Montrons que la tangente $T’$ au point d’abscisse $3$ passe par le point $E$.
    D’après la question 1., $f(3)=0$
    On a également :
    $\begin{align*} f'(3)&=-3+0,5\\
    &=-2,5\end{align*}$
    Une équation de $T’$ est alors $y=-2,5(x-3)+0$ soit $y=-2,5x+7,5$.
    On a alors :
    $\begin{align*} -2,5x_E+7,5&=-2,5\times 1+7,5\\
    &=5\\
    &=y_E\end{align*}$
    Le point $E$ appartient donc à $T’$.
    Par conséquent, la tangente à la courbe au point d’abscisse $3$ passe par le point $E$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On s’intéresse à la consommation d’essence d’un véhicule en fonction de sa vitesse.

Lecture graphique.
Le graphique ci-dessous représente la consommation d’essence en litres pour $100$ km en fonction de la vitesse en km.h$^{-1}$ du véhicule

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes :

  1. Quelle est la consommation du véhicule lorsque celui-ci roule à $40$ km.h$^{-1}$ ?
    $\quad$
  2. Pour quelle(s) vitesse(s) le véhicule consomme-t-il $8$ litres pour $100$ km ?
    $\quad$
  3. Pour quelle vitesse la consommation du véhicule semble-t-elle minimale ?
    $\quad$

Modélisation.
Si on note $x$ est la vitesse du véhicule en km.h$^{-1}$, avec $30\pp x\pp 130$, la consommation d’essence en litres pour $100$ km est modélisée par la fonction $f$ d’expression : $$f(x)=\dfrac{20x^2-1~600x+40~000}{x^2}$$
On désigne par $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[30;130]$.

  1. Montre que pour tout $x \in [30;130]$, $$f'(x)=\dfrac{800(2x-100)}{x^3}$$
  2. Démontrer la conjecture de la question 3.
    $\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. À $40$ km.h$^{-1}$ la consommation semble être de $5$ litres pour $100$ km.
    $\quad$
  2. Le véhicule consomme $8$ litres pour $100$ km s’il roule environ à $33$ km.h$^{-1}$ ou $100$ km.h$^{-1}$.
    $\quad$
  3. La consommation semble être minimale quand le véhicule roule à $50$ km.h$^{-1}$.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est dérivable comme quotient de fonctions dérivables sur l’intervalle $[30;130]$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[30;130]$ on a
    $\begin{align*} f(x)&=\dfrac{20x^2-1~600x+40~000}{x^2} \\
    &=20-\dfrac{1~600}{x}+\dfrac{40~000}{x^2}\end{align*}$
    Ainsi
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1~600}{x^2}-\dfrac{2\times 40~000}{x^3} \\
    &=\dfrac{1~600x-80~000}{x^3} \\
    &=\dfrac{800(2x-100)}{x^3}\end{align*}$
    $\quad$
  5. Sur l’intervalle $[30;130]$ on a $800>0$ et $x^3>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x-100$.
    Or $2x-100>0 \ssi 2x>100 \ssi x>50$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[30;50]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[50;130]$.
    Par conséquent la fonction $f$ atteint pour $x=50$.
    Cela démontre donc la conjecture de la question 3.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence